Die physikalische Umgebung der Arbeit

Die Rechnungen beschreiben ein Szenario auf der frühen Erde, um die Zeit der Mondentstehung vor etwa 4.5 Milliarden Jahren. Im Anfangszustand ist die Masse des Materials, das den Mond bilden wird, im Mutterkörper enthalten — der jungen Erde, bevor der Mond sie verließ. Während des Aufbaus geht diese Masse auf einen sich entwickelnden Körper über, während sich Dichteverteilung, Rotation, Schwerefeld und thermischer Zustand ändern. Diese Arbeit behandelt den gesamten Aufbau — die Speisung von innen und den Aufstieg der äußeren Schale — als einen Prozess an einem Körper.

Weil sich während des Prozesses so viel ändert, kann ein Wert aus einem Zeitpunkt nicht für einen anderen verwendet werden. Die Tabelle definiert daher die Umgebung: Für jeden Bereich gibt sie an, welche Werte Eingaben sind, welche sich mit der Zeit ändern und welche zu einem definierten Prüfzustand gehören. Ein isolierter Zahlenwert kann das für eine Rechnung erforderliche physikalische Profil nicht ersetzen. Die linke Spalte nennt den Bereich; die rechte gibt die Arbeitswerte und die Regeln für ihre Verwendung.

Mehrere Zeilen bedürfen einer Erläuterung. Masse. Die Anfangsmasse $M_0$ ist die heutige Erde und der heutige Mond zusammengenommen; es wird nicht angenommen, dass etwas entweicht, sodass der ganze Mond einst Teil der Erde war, und seine $7.35\times10^{22}$ kg werden einmal gezählt — vor dem Übergang im Mutterkörper, danach im Mond und im Transit (die Verbindung, ausgeworfenes und zurückfallendes Material) nur, solange sie unterwegs sind. Größe und Form. Der Radius von 6,517 km ist größer als der heutige Erdradius, weil eine junge, heiße Erde ausgedehnt ist (Paper 2). Ein rotierender flüssiger Körper wölbt sich an seinem Äquator auf; der Maclaurin-Zustand ist die klassische Gleichgewichtsform einer rotierenden Flüssigkeit gleichförmiger Dichte, eine abgeplattete Kugel, und er macht aus diesem Volumen einen Äquatorradius von etwa 6,721 km und einen Polradius von etwa 6,128 km. Rotation. Drehimpuls, $L_0$, ist die Menge an Rotation, die das System enthält; innere Prozesse können ihn nur von einem Teil auf einen anderen übertragen. Das Trägheitsmoment, $I(t)$, misst, wie die Masse um die Rotationsachse verteilt ist: Nach außen verlagerte Masse erhöht es und verlangsamt die Rotation, nach innen verlagerte Masse senkt es und beschleunigt die Rotation, so wie eine Eiskunstläuferin sich mit ausgebreiteten Armen langsamer und mit angezogenen schneller dreht. Deshalb ist der Tag nicht auf 5.5 Stunden festgelegt: Die Birne trägt Masse nach außen, und das sich im Kern sammelnde Eisen trägt Masse nach innen, und bei der Ablösung hinterlassen beide einen Tag von 5.77 Stunden.

Korotation. Alles, was sich mit der Erde dreht, läuft in jedem Erdtag einmal herum, und je weiter außen es ist, desto schneller bewegt es sich; die für eine freie Kreisbahn nötige Geschwindigkeit nimmt mit der Entfernung ab. Der Korotationsradius ist die Entfernung, in der beide gleich sind — bei der Ablösung etwa 16,400 km, etwa zweieinhalb Erdradien. Ein Körper, der bis dorthin getragen wird, während er sich noch mit der Erde dreht, hat bereits die Geschwindigkeit einer Umlaufbahn. Der Testteilchenwert (16,331 km) behandelt den Mond als kleines Teilchen; der Zweikörperwert (16,399 km) berücksichtigt seine eigene Masse, und der kleine Unterschied zeigt, wie wenig diese Vereinfachung ausmacht. Bei 22.5° Breite liegt die Linie weiter außen, bei 17,287 km, weil dort ein Körper im gleichen Abstand vom Zentrum näher an der Rotationsachse liegt und sich langsamer bewegt. Der Körper. Dieselbe Mondmasse nimmt ein größeres Volumen ein, wenn sie weniger dicht ist; daher führt die Tabelle ihre Größe bei mehreren Dichten auf. Bei 1,300 kg/m³ ist der Körper aufgeschäumt — voller Gas aus seinen flüchtigen Stoffen, bei deutlich weniger als der halben Dichte des heutigen Mondes —, und in diesem leichten Zustand kann der Druck aus Teil A ihn speisen und Material innerhalb der Birne heben, während die Birne den Körper hebt. Dies sind Prüfzustände für die Rechnungen, keine gelöste Geschichte der Kontraktion des Körpers.

Die Schale ist Sial: die leichte äußere Schicht des Mutterkörpers, reich an Silizium und Aluminium, die auf dem dichteren, magnesiumreichen Sima darunter liegt (§C.10). Die Öffnungen sind Löcher durch diese Schale, durch die tiefes Material aufstieg und ausgeworfen wurde. Druck und flüchtige Stoffe. Der Druck, der die Speisung antreibt, und der Druck, den die Speisung überwinden muss, werden im selben Feld berechnet, sodass die Prüfung keinen günstigen Wert aus dem einen Bild und einen ungünstigen aus einem anderen entlehnen kann. Die flüchtigen Stoffe fügen keinen Druck hinzu; der Quelldruck bleibt beim lithostatischen Wert, dem Gewicht des überlagernden Materials. Was sie bewirken, ist, die aufsteigende Schmelze leichter zu machen, sodass derselbe Druck sie höher hebt. Dichte und Viskosität. Dichte ist, wie schwer ein Material für sein Volumen ist; Viskosität ist, wie stark es dem Fließen widersteht. Eine Schale von $10^{23}$ Pa s oder mehr fließt so langsam, dass ihre Krater ihre Form behalten (§B.3), während das heiße Innere darunter leicht fließt; wo beide aufeinandertreffen, liegt die Schicht, die zuerst nachgibt. Ort. Die Basis der Birne stand nahe Kiritimati, im zentralen Pazifik. Unter ihr, am Boden des Mantels, liegt die pazifische große Provinz niedriger Geschwindigkeit: eine kontinentgroße Region, in der seismische Wellen langsam laufen; ihre Natur bleibt offen (Teil E). Die Region bei 25°N, 165°E, früher als die Quelle gelesen, ist die Rückseite der Birne, die sich nach Westen und Norden neigte.

Was die Zusammenfassung bedeutet, in einfachen Worten. Von innen gespeist und von außen aufgestiegen beschreibt zwei Zufuhren zu einem Körper. Man stelle sich einen Ballon vor, der aus einem Rohr unter ihm gefüllt wird, während seine eigene Haut die gedehnte Oberfläche des Bodens ist, auf dem er lag. Die Füllung ist die Speisung: tiefes, heißes Material, das unter Druck aufsteigt und in den Körper fließt. Die Haut ist die Schale: die äußere Schicht der Erde über der Aufbauregion, die mit der Birne aufstieg und langsam zu ihrer Spitze hinaufglitt, in den Körper, wo sie zur Oberfläche des Körpers wurde. Keine der beiden Zufuhren allein macht den Mond. Die Speisung gibt dem Körper sein Inneres — den eigenen Mantel der Erde, weshalb beide ihre Zusammensetzung teilen (§C.10) —, und die Schale gibt ihm eine Kruste, die bereits Krater aus ihrer Zeit auf der Erde trug.

Was 150 GPa bedeutet. Tief im Inneren jedes großen Körpers wird das Material vom Gewicht alles Darüberliegenden zusammengepresst. Im Zentrum des Mutterkörpers beträgt dieses Gewicht, durch die Rotation leicht entlastet, 150.26 GPa. Dieser Druck ist der Motor der Speisung: Öffnet man einen Weg vom tiefen Inneren zur Oberfläche, steigt das zusammengepresste Material darin auf, wie Zahnpasta aufsteigt, wenn man die Tube drückt. Die Frage ist, ob der Schub stark genug ist. Um Schmelze aus der Tiefe der Quelle bis hinauf zum Korotationsradius zu tragen, muss der Druck das Gewicht der ganzen Schmelzsäule entlang dieses Weges tragen; für Schmelze von 3,500 kg/m³ in der Tiefe, über der Oberfläche auf 1,500 kg/m³ aufgeschäumt, beträgt dieses Gewicht 139.78 GPa. Der Schub übersteigt es um 10.49 GPa, und er würde es für jede Schmelze leichter als etwa 3,864 kg/m³ übersteigen. Das ist die Bedeutung von „der Schub ist beziffert“: Die Arbeit nimmt nicht an, dass der Druck ausreicht, sie berechnet es.

Warum die Verbindung breit sein muss. Stiege die Speisung durch ein dünnes Rohr auf, müsste das Rohr den Körper gegen den Zug der Erde entlang der Linie zwischen beiden halten (die radiale Last) und gegen den seitlichen Zug der Rotation bei 22.5° Breite, der den Körper zur Äquatorebene zieht (die seitliche Last). Nur ein Durchgang mit mehr als etwa 1,000 km Radius besteht die radiale Prüfung, und ein so breiter Durchgang ist nicht mehr dünn: Er enthält selbst fast eine halbe Mondmasse an Material und trägt eine Seitenkraft in der Größenordnung von $10^{22}$ N. Die Schlussfolgerung ist, dass die Verbindung ein breiter, heißer, massiver Teil der Erde ist, und Teil C zeigt, was sie ist: die Birne.

Was die Birne ist. Die Birne ist eine ausgezogene Aufwölbung der Erde. Der Druck, der über der Quelle einen Hügel hob, hob ihn weiter, und der Hügel wuchs zu einer langen, breiten Verlängerung aus dem eigenen Material der Erde: breit an ihrer Basis auf der Erdoberfläche — 9,000 bis 11,000 km, breiter als der Erdradius — und in einer glatten Kurve zu ihrer Spitze hin verjüngt, die den Körper trägt. Sie ist Teil der Erde, und sie wird von der Schwerkraft der Erde gehalten wie jeder andere Teil der Erde. Sie wird nicht hinausgeschleudert, weil ihre Geschwindigkeit keine Wurfgeschwindigkeit ist und sie ganz innerhalb der Korotationslinie liegt (§C.7). Ihre Masse, aus der Breite ihrer Basis abgeleitet, beträgt etwa neun bis zwölf Mondmassen, und die zu ihrer Hebung nötige Energie liegt in der Größenordnung derjenigen, die frei wird, wenn das Eisen der Erde in ihren Kern sinkt (§C.9).

Warum die Ablösung dort erfolgt, wo sie erfolgt. Die ganze Birne liegt innerhalb der Korotationslinie, und dort weist der gemeinsame Zug von Schwerkraft und Rotation zur Erde, und die Birne wird dort von der Schwerkraft der Erde als Teil der Erde gehalten. Der Körper auf ihrer Spitze steigt mit ihr auf, bis sein Massenschwerpunkt die Linie erreicht, und dort beginnt er sich zu trennen. Dort ist die Geschwindigkeit, die er bereits durch die Drehung mit der Erde hat, die Geschwindigkeit einer Kreisbahn, und jenseits davon zieht die Rotation stärker nach außen, als die Schwerkraft nach innen zieht; der Kontakt leistet nur wenig Widerstand, und der Körper wird mit Kraft nach außen gezogen und etwa 210 km jenseits der Linie abgelöst (§C.5). Die Birne bleibt innerhalb der Linie, Teil der Erde, und nach der Ablösung führt die Sortierung sie über Dutzende bis Hunderte Millionen Jahre in die Erde zurück.

Wie der Kasten zu lesen ist. Der erste Absatz nennt die beiden Zufuhren und was jede am heutigen Mond erklärt. Die Kappe der Vorderseite von etwa 31° ist der Bereich des Körpers, der der 3,000-km-Kontakt mit der Birne war: Er wurde bis zur Ablösung nicht ganz bedeckt: Serenitatis schälte sich zuerst von ihm ab, während Imbrium bis zur Abtrennung verbunden blieb. Der Gürtel von 31° bis 70° ist der Ring der unteren Kuppel, der sich während der Rundung nach außen von der Erde abschälte und das Sial mitnahm, auf dem er saß. Alles jenseits von 70° ist die obere Kuppel: von Anfang an Schale, ab der flachen Stufe exponiert und ihre Krater mit sich hinauftragend (§B.4). Die Rundung wirkt wie ein leicht gestauchter Ball, der rund wird: Jeder Bereich seiner Oberfläche schrumpft im gleichen Verhältnis, sodass sich keine Zone relativ zu einer anderen verschiebt. Die darauf folgende Abplattung ist die Rotation, die den Körper an seinen Polen abplattet; die Rundung nach innen ist der Körper, der wieder rund wird, während er sich verdichtet. Während der Rundung nach innen wurde die Polaroberfläche am stärksten eingezogen, während die bereits darauf befindlichen Krater ihre Größe behielten, sodass sie nahe den Polen zusammengedrängt wurden (Paper 7). Diese Veränderungen geschahen, während der Körper verbunden war: Das Achsenverhältnis erreichte auf dem Höhepunkt der Abplattung 1.69 und fiel spät in der verbundenen Phase auf 1.2 (Paper 7), und bei der Ablösung war der Körper rund, seine äußere Schale starr, sein Achsenverhältnis höchstens 1.04 (Paper 2, §B.7).

Der zweite Absatz nennt die Bedingung an die Verbindung und ihre Folge. Der dritte nennt, was aus der Birne wird. Die Birne geht bei der Ablösung nicht verloren; nach der Ablösung führt die Sortierung sie allmählich, über Dutzende bis Hunderte Millionen Jahre, in die Erde zurück. Ihr schwerer Teil — einschließlich des größten Teils des Eisens, das in sie aufstieg (§C.10) — sinkt unter der Basis der Birne tief in die Erde (Teil E); ihre vordere Seite wird in die Streifen des Nordpazifiks gesammelt und ihre Rückseite in die Bögen des westlichen Pazifiks (Paper 9, Die Streifen). Die Masse verlässt die Erde nicht; sie bewegt sich von hoch außen nach tief innen. Ihre Spanne von neun bis zwölf Mondmassen ist durch die Breite der Basis bestimmt, 9,000 bis 11,000 km, und wird in §C.7 abgeleitet.

Einleitung — ein Körper, zwei Zufuhren

Im Modell wirft der Mutterkörper keinen fertigen Mond aus. Der verbundene Körper wächst und bewegt sich nach außen, während er Material aus zwei Quellen zugleich erhält: Tiefes Material steigt durch einen magmatischen Aufstrom in ihn auf, und die äußere Schale des Mutterkörpers — die sialische Schicht über der Aufbauregion — steigt als seine Oberfläche mit ihm auf. Paper 2, Der LEF-Mechanismus im Prinzip, hat gezeigt, dass am Korotationsradius die Geschwindigkeit, die eine korotierende Masse bereits hat, die Geschwindigkeit ist, die eine freie Umlaufbahn erfordert, und dass das Drehimpulsbudget des Mutterkörpers den Übergang zulässt. Mit anderen Worten zeigte Paper 2, wo der Mond abgelöst werden musste und dass die Erde genug Rotation hatte, um ihn dorthin zu bringen. Diese Arbeit fragt, wie die Masse diesen Radius erreichte und was sie unterwegs trug.

Die beiden Quellen tragen zum selben Körper bei. Die Schale wandert zum Körper: Sie steigt mit der Birne auf, löst sich langsam und gleitet zu ihrer Spitze hinauf, in den Körper, wo sie zur Haut des Körpers wird; das Gleiten wird durch die geschmierte Schicht zwischen Sial und Sima erleichtert (§C.10). Die Aufbauregion ist eine Kuppel, die Kuppel steigt auf, und ihre Oberfläche geht mit: Die Kruste ist die der Erde, sie trug ihre Krater auf den Mond, und auf der Rückseite wurde sie in Schichten aufgebaut. Deshalb behandelt eine Arbeit beide Zufuhren: Sie sind nicht zwei Mechanismen, die miteinander um die Erklärung des Mondes konkurrieren, sondern das Innere und das Äußere eines wachsenden Körpers.

Die Korotation stellt eine Verbindung zwischen Rotation und Orbitalgeschwindigkeit her. Sie hebt kein Material — das tut die Birne —, aber sie ist es, die den Mond abtrennt: Sobald der Massenschwerpunkt des Mondes die Linie erreicht, ziehen ihn die Korotationskräfte frei. Material an der Erdoberfläche dreht sich mit ihr, aber weit langsamer, als eine Umlaufbahn erfordert; etwas muss es nach außen tragen und dort halten, bis es den Korotationsradius erreicht. Dafür sind ein antreibender Druck, eine Massen- und Energiebilanz, eine Struktur, die Fließen zulässt, und eine Verbindung nötig, die die erforderliche Last tragen kann. Wir untersuchen diese in vier Teilen: A, die Speisung von innen — das Transportproblem, die Quelle, die thermischen Grenzen und ob Druck, Rate und Energie ausreichen; B, der Aufstieg von außen — die vier Stufen der Kuppel, ihre Geometrie und was aus ihr wird; C, die Verbindung und die Ablösung — die Lasten, die sie trägt, und wie der Körper sich an der Korotationslinie zu trennen beginnt und knapp jenseits davon abgelöst wird; D, Vorhersagen, Prüfungen und Schlussfolgerungen. Teil C verfolgt auch die Birne, die die Verbindung bildet, woraus der Körper besteht und das Material, das die Erde nach der Ablösung weiter auswarf. Ein fünfter Teil, E, verfolgt die Birne zurück in die Erde, hält fest, wo ihre Basis relativ zur heute sichtbaren tiefen Erde stand, und fragt, was sie mit dem Erdinneren machte; ein abschließender Abschnitt sammelt Ansätze für weitere Forschung.

Das Neue ist die Verbindung der Prozesse zu einem zusammenhängenden Aufbau. Die Gesetze der Gravitation, des Fließens, der Wärmeleitung und der viskosen Haftung sind die Physik, mit der der Mechanismus untersucht wird, kein unabhängiger Beleg dafür, dass er stattfand. Jedes dieser Gesetze ist Standard; was die Arbeit hinzufügt, ist ihre Anwendung auf einen Körper in einer Abfolge, mit den Zahlen einer konsistenten Umgebung, sodass jeder Schritt am nächsten geprüft werden kann.

Paper 2, Der LEF-Mechanismus im Prinzip, zeigte, wo der Mond abgelöst wird — am Korotationsradius, wo die Geschwindigkeit der Drehung mit der Erde bereits die Geschwindigkeit einer freien Umlaufbahn ist — und dass der Drehimpuls der Erde ausreicht, um Material dorthin zu bringen. Es zeigte nicht, wie das Material dorthin gelangte. Dieser Teil greift diese Frage vom Inneren der Erde her auf. Er führt zunächst Buch über die Masse (§A.1), erklärt dann, warum die Rotation der Erde allein den Körper nicht heben kann (§A.2), und schreibt dann die Kräftebilanz, die jede Speisung aus der Tiefe erfüllen muss (§A.3). Die folgenden Abschnitte beschreiben die Quelle, den Durchgang und die thermischen Grenzen (§A.4–A.8), und die nächste Fortsetzung dieses Teils beziffert Druck, Rate und Energie (§A.9–A.13).

A.1Ein Körper, der wächst, während er sich bewegt

Der erste Schritt ist Buchführung. Bevor irgendeine Kraft berechnet wird, müssen wir sagen können, wo jedes Kilogramm zu jedem Zeitpunkt ist, sodass keine Masse doppelt gezählt wird und keine aus der Bilanz verloren geht.

Zu Beginn der Massenbilanz ist das Mondmaterial im Mutterkörper enthalten: Im Anfangszustand gibt es nur einen Körper, den Mutterkörper, mit der Masse $M_0$. Mit fortschreitendem Aufbau wird diese Masse auf vier Reservoirs aufgeteilt. Wenn ein irdisches Reservoir, ein sich entwickelnder Körper und Material im Transit unterschieden werden, lautet die Bilanz:

$$M_0=M_E(t)+m(t)+M_{\mathrm{transit}}(t)+M_{\mathrm{escaped}}(t). \tag{1}$$

In Worten: Zu jeder Zeit $t$ ist die Anfangsmasse gleich der noch in der Erde befindlichen Masse, $M_E(t)$, plus der Masse, die bereits im sich entwickelnden Körper ist, $m(t)$, plus der Masse, die zwischen beiden unterwegs ist (in der Verbindung oder hochgeworfen und noch nicht gelandet), $M_{\mathrm{transit}}(t)$, plus dem, was das System ganz verlassen hat, $M_{\mathrm{escaped}}(t)$. Die Gleichung ist schlicht die Massenerhaltung; ihr Nutzen ist, dass sie jedes Kilogramm an genau einen Ort zwingt.

Die im Körper angesammelte Masse erfüllt:

$$\frac{dm}{dt}=\dot M_{\mathrm{int}}+\dot M_{\mathrm{ext}}-\dot M_{\mathrm{out}}. \tag{2}$$

Gleichung (2) sagt, wie schnell der Körper wächst. Ein Punkt über einer Masse bezeichnet eine Rate, in Kilogramm pro Sekunde. $\dot M_{\mathrm{int}}$ ist die innere Speisung — tiefes Material, das von unten durch die Verbindung ankommt; $\dot M_{\mathrm{ext}}$ ist die Einverleibung der Schale, die mit dem Körper aufsteigt (Teil B) — die äußere Schicht der Erde, die zur Haut des Körpers wird; und $\dot M_{\mathrm{out}}$ ist der Ausgang aus dem Körper, das durch seine Öffnungen ausgeworfene Material. Die Masse des Körpers wächst um das, was von innen und von außen hereinkommt, abzüglich dessen, was hinausgeht.

Material, das austritt und zurückkehrt, wird entsprechend in beiden Raten erfasst: Ein durch eine Öffnung ausgeworfenes Paket wird beim Austritt abgezogen und beim Wiederauftreffen auf dem Körper wieder hinzugezählt. Nicht jeder Ausgang ist daher mit dem Entweichen aus dem System gleichzusetzen; das meiste ausgeworfene Material bleibt als Material im Transit in der Bilanz und kehrt zurück. Der innere Anteil des endgültigen Mondes — wie viel davon aus der Tiefe statt aus der aufsteigenden Schale stammt — wird aus dem Integral der Speisung und der Verluste über den gesamten Aufbau bestimmt, nicht aus der Annahme eines festen Prozentsatzes. (Teil B.7 erörtert diese Aufteilung.)

A.2 Warum die Rotation nicht selbst der Transport ist

Die Frage, die dieser Abschnitt beantwortet, ist, warum der Mond nicht einfach von der rotierenden Erde abgeworfen werden konnte und warum ihn daher etwas hinaustragen muss.

Paper 2 (§A.1.2) nannte den Grund, aus dem ein geworfener Körper scheitert. Am Äquator eines Mutterkörpers, der sich einmal in 5.5 Stunden dreht, bewegt sich der Boden mit etwa 2,133 m/s, während eine freie Umlaufbahn knapp über der Oberfläche etwa 7,701 m/s erfordert. Material, das von der Oberfläche losgelassen oder von ihr hochgeworfen wird, bewegt sich seitwärts viel zu langsam, um im Orbit zu bleiben: Seine Bahn ist eine kurze Ellipse, die in den Mutterkörper zurückführt, und es fällt zurück. Erst am Korotationsradius, etwa 15,818 km vom Zentrum beim 5.5-Stunden-Tag, erreicht die Geschwindigkeit der Drehung mit der Erde die Geschwindigkeit einer Umlaufbahn. Das Material muss daher in diese Entfernung gebracht werden, solange es noch verbunden ist und sich noch mit der Erde dreht. Es dorthin zu bringen, nennen wir Transport: eine kontinuierliche Zufuhr tiefen Materials, von einer Quelle im Erdinneren durch eine Verbindung in den wachsenden Körper hinaufgedrückt, statt eines einzelnen Wurfs.

Ein naheliegender Einwand ist, dass die schnelle Rotation der Erde das Heben allein leisten könnte. Das folgende Lastbeispiel prüft dies. Im Beispiel eines Körpers mit der vollen Mondmasse und einem äquivalenten Radius von 2,270 km (dem Radius einer Kugel mit der Masse des Mondes bei der niedrigen Dichte von 1,500 kg/m³), der einen Mutterkörper mit dem Äquatorradius 6,721 km berührt, beträgt der Abstand zwischen den Zentren 8,991 km — die Summe der beiden Radien. (In Stufe 2 von Teil B sitzt dieselbe Masse als gestauchter Körper über einem 6,000-km-Kontakt auf der Spitze der Birne; das Lastbeispiel wird zum Vergleich mit Paper 2 in der Kugelform beibehalten.) In diesem Abstand vergleichen wir zwei Beschleunigungen im Zentrum des Körpers: den nach innen gerichteten Schwerezug der Erde und die nach außen gerichtete Zentrifugalbeschleunigung, die die Rotation einem mit der Erde drehenden Körper verleiht. Mit $M_E$ und einer 5.5-Stunden-Rotation ergibt sich näherungsweise:

$$g_E=4.93\ \mathrm{m\,s^{-2}},\qquad \omega^2r=0.905\ \mathrm{m\,s^{-2}}. \tag{3}$$

Hier ist $g_E=GM_E/r^2$ der Zug der Erde bei $r=8{,}991$ km, wobei $G$ die Gravitationskonstante ist, und $\omega^2r$ ist die Zentrifugalbeschleunigung, wobei $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit einer 5.5-Stunden-Rotation ist ($2\pi$ geteilt durch die Periode in Sekunden). Der Vergleich ist derjenige, den ein Kind auf einem sich drehenden Karussell spürt: Je schneller es sich dreht und je weiter außen es steht, desto stärker wird es nach außen gedrückt. Bei 8,991 km beträgt der Schub nach außen weniger als ein Fünftel des Zugs nach innen. Gleich wären beide erst am Korotationsradius, wo der Zug mit dem Quadrat der Entfernung schwächer geworden und der Zentrifugalterm proportional zu ihr gewachsen ist.

Die verbleibende nach innen gerichtete Beschleunigung beträgt etwa 4.03 m/s² (4.93 minus 0.905): Jedes Kilogramm des Körpers wiegt, zur Erde hin, noch etwa zwei Fünftel dessen, was es heute an der Erdoberfläche wiegen würde. Dies ist ein definiertes Lastbeispiel, keine Beschreibung einer winzigen Aufwölbung zu Beginn des Aufbaus. Es zeigt, warum ein zusätzlicher Mechanismus erforderlich ist, der Kraft und Energie überträgt: Die Rotation allein liefert in diesem Zustand keine Stütze. Die Rotation erleichtert die Last; sie trägt sie nicht.

Auftrieb kann leichtes Material innerhalb dichteren Materials antreiben, so wie Öl durch Wasser aufsteigt. Doch Auftrieb braucht ein dichteres umgebendes Medium, gegen das er drückt, und über der Oberfläche des Mutterkörpers gibt es keines; der Durchgang über die Oberfläche des Mutterkörpers hinaus erfordert daher eine Lösung, die die äußere Form und die Verbindung einschließt. Der hier untersuchte Mechanismus ist kontinuierliche Speisung unter Druck: Tiefes Material wird vom Druck des Inneren des Mutterkörpers durch eine Verbindung in den Körper hinaufgedrückt. Es ist nicht nötig, jeden anderen möglichen Auswurfmechanismus auszuschließen, um ihn zu untersuchen. Die Arbeit fragt, ob dieser eine Mechanismus funktioniert, und unterzieht ihn quantitativen Prüfungen.

A.3Was das Material antreibt

Nachdem der Mechanismus benannt ist, schreiben wir die Bilanz, die er erfüllen muss. Die Frage ist, wie groß ein Druck sein muss, um Material aus der Tiefe einen Weg hinauf zum Körper zu drücken.

In einem mit konstanter Rate rotierenden Bezugssystem — also aus der Sicht eines Beobachters, der sich mit der Erde dreht — lassen sich Schwerkraft und Zentrifugaleffekt zu einer einzigen Größe zusammenfassen, dem effektiven Potential. Ein Potential ist die Energie pro Kilogramm, die ein Paket aufgrund seines Ortes hat; Material neigt dazu, sich von hohem zu niedrigem Potential zu bewegen, so wie Wasser bergab fließt. Das effektive Potential ist:

$$\Phi_{\mathrm{eff}}=\Phi_{\mathrm{grav}}-\frac{1}{2}\omega^2\varpi^2, \tag{4}$$

wobei $\Phi_{\mathrm{grav}}$ das Gravitationspotential ist, $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit und $\varpi$ der Abstand von der Rotationsachse. Der zweite Term ist der Zentrifugalbeitrag: Er senkt das Potential, je weiter ein Paket von der Achse entfernt ist, weshalb die Drehung den Aufstieg nach außen erleichtert. Material in diesem Bezugssystem nach außen zu heben, heißt, einen Hang in $\Phi_{\mathrm{eff}}$ zu erklimmen, der mit der Entfernung flacher wird und am Korotationsradius eben wird.

Entlang eines langsamen Speisungswegs ist die Komponente der Kräftebilanz näherungsweise:

$$\frac{dp}{ds}=-\rho\frac{d\Phi_{\mathrm{eff}}}{ds} -\mathcal R_{\mathrm{visc}}, \tag{5}$$

wobei $s$ der entlang des Weges gemessene Abstand ist, $p$ der Druck, $\rho$ die Dichte des Materials im Weg, und $\mathcal R_{\mathrm{visc}}$ den Fließwiderstand pro Längeneinheit darstellt — die Reibung eines viskosen Materials, das sich durch einen Kanal bewegt. Gleichung (5) besagt, dass der Druck entlang des Weges pro Längeneinheit um zwei Beträge fallen muss: das Gewicht des Materials im effektiven Feld (der erste Term) und die Reibung seiner Bewegung (der zweite). Der erste Term ist die bekannte Regel, dass der Druck mit der Tiefe unter dem Gewicht des darüberliegenden Materials zunimmt; der Druck, der erforderlich ist, um eine Säule gegen die effektive Schwerkraft zu halten, heißt ihre hydrostatische Druckhöhe. Man beachte, dass die Druckhöhe proportional zur Dichte $\rho$ ist: Ein leichteres Material braucht weniger Druck, um um dieselbe Strecke gehoben zu werden. Aus diesem Grund wird die Dichte des aufsteigenden Materials in §A.10 zur entscheidenden Größe.

Die Druckdifferenz muss die Druckhöhe der effektiven Schwerkraft, den Widerstand und die Last an der aufnehmenden Grenze tragen — das Gewicht des Körpers, der auf das obere Ende der Speisung drückt. Diese Gleichung drückt die Impulsbilanz des Kontinuums entlang des Speisungswegs aus; bei veränderlicher Rotationsrate und in dreidimensionaler Strömung müssen auch Beschleunigungen und der mit dem Material mitgeführte Impuls einbezogen werden [1]. Für die hier untersuchte langsame, stetige Speisung sind diese Terme klein, und Gleichung (5) ist die Form, die die Druckprüfung von §A.9 verwendet.

Die vorangehenden Abschnitte haben festgestellt, dass der Körper unter Druck aus der Tiefe gespeist werden muss. Diese Fortsetzung stellt drei praktische Fragen zu dieser Speisung: woher sie im Erdinneren kommt und warum sie auf einen Ort konzentriert bleibt (§A.4); was den Durchgang offen hält (§A.5); und wie der Körper eine sich verfestigende Außenseite haben kann, während sein Inneres und seine Speisung heiß und beweglich bleiben (§A.6–A.7). Sie endet mit der Reihenfolge, in der die Schritte ablaufen (§A.8).

A.4 Die Speisungsquelle und die innere Organisation

Eine Speisung, die über die Erde wanderte, würde viele kleine Haufen bauen, nicht einen Mond. Die Quelle muss daher konzentriert sein und muss lange Zeit dieselbe Oberflächenregion speisen.

Die Arbeitshypothese ist, dass die Speisung in einer Region des Erdinneren konzentriert war, während sich das Innere neu ordnete; diese Region lag nördlich des Äquators (§B.1). In der jungen Erde sank Eisen ab, um den Kern zu bilden, und das Innere trennte sich in Schichten; während dieser Neuordnung musste das Innere nicht symmetrisch sein. Ungleichförmigkeit in Zusammensetzung, Temperatur und der Verteilung dichten Materials kann den Druck und die Fließwege verändern. Im Modell kann diese Ungleichförmigkeit eine langanhaltende Speisung derselben Oberflächenregion aufrechterhalten: Heißes, leichteres Material sammelt sich auf einer Seite und steigt weiter unter demselben Ort auf, so wie ein außermittig beheizter Topf an derselben Stelle weiterkocht.

Eine solche konzentrierte Speisungsregion folgt nicht aus der bloßen Existenz der Differentiation. Um sie zu untersuchen, müssen das Potential der Massenverteilung und seine Antwort auf die Speisung berechnet werden. Sowohl die Umverteilung dichten Materials als auch die Verlagerung von Masse nach außen ändern das Trägheitsmoment — das Maß dafür, wie weit von der Rotationsachse die Masse sitzt — und ändern daher die Rotation. Nach innen sinkendes Eisen lässt die Erde schneller drehen, wie eine Eiskunstläuferin, die ihre Arme anzieht; nach außen getragene Masse verlangsamt sie. Aus diesem Grund werden die gekoppelten Zustände von Paper 2 verwendet statt einer über den ganzen Prozess konstanten Rotation: Der Tag verlängert sich bis zur Ablösung nur von 5.5 auf 5.77 Stunden, weil sich die beiden Effekte weitgehend aufheben (Paper 2, §A.4).

Wenn der Körper wächst, beginnt seine eigene Schwerkraft eine Rolle zu spielen. Die Schwerkraft des sich entwickelnden Körpers wird für Material in seiner Nähe zunehmend wichtig:

$$g_{\mathrm{self}}=\frac{Gm(t)}{R_b(t)^2}. \tag{6}$$

Hier ist $m(t)$ die Masse des Körpers zur Zeit $t$ und $R_b(t)$ sein Radius; $g_{\mathrm{self}}$ ist die an seiner Oberfläche spürbare Beschleunigung zum eigenen Zentrum des Körpers. Sie wächst, während sich Masse ansammelt, und für den geschlossenen Körper bei 1,890 km erreicht sie 1.37 m/s² (Teil B.3). Sie kann ankommendes Material anziehen und den Körper formen: Zurückkehrende Auswürfe landen wieder auf ihm, und sein Material zieht sich selbst zu einer gerundeten Form zusammen. Innere Kräfte beschleunigen jedoch nicht den Massenschwerpunkt des Körpers selbst. Man kann sich nicht an den eigenen Stiefeln hochziehen: Jedem inneren Zug zwischen zwei Teilen des Körpers steht ein gleicher und entgegengesetzter Zug gegenüber, und beide heben sich auf. Das Heben insgesamt erfordert weiterhin einen Austausch von Kraft und Impuls mit der Umgebung — mit der Erde, über die Verbindung und die Speisung.

A.5Was einen Durchgang offen hält

Schmelze, die durch einen kühleren Körper aufsteigt, neigt dazu, zu erstarren und ihren Weg zu verstopfen. Der Weg ist kein ummauerter Kanal: Die Birne selbst ist der verbindende Durchgang zwischen dem Erdinneren und dem Körper. Dieser Abschnitt nennt, was diesen Durchgang offen hält und was dies leistet und was nicht.

Die Verbindung erhält Wärme von der Speisung und von den heißen Körpern um sie herum: Die Schmelze, die durch sie hindurchgeht, trägt Wärme aus der Tiefe herauf, und der Mutterkörper unten und der wachsende Körper oben sind beide heiß. Die äußere Oberfläche, im Kontakt mit der kalten Umgebung, kann zugleich Wärme verlieren und sich verfestigen. Das System kann daher ein bewegliches Inneres und ein festeres Äußeres haben, mit einer dazwischen variierenden Viskosität. Viskosität ist der Widerstand eines Materials gegen das Fließen — Honig ist viskoser als Wasser; ein heißes Inneres hat eine niedrige Viskosität und fließt leicht, ein abgekühltes Äußeres eine hohe und behält seine Form.

Erwärmung auf beiden Seiten der Verbindung hilft, örtliches Erstarren zu verhindern, ist aber für sich keine einschließende Kraft: Wärme hält den Weg flüssig, schließt ihn aber nicht von selbst ein; der Weg ist das heiße Innere der Birne. Die Form des Durchgangs muss eine Bilanz von Drücken und seitlichen Spannungen erfüllen, gegen Schwerkraft, Rotation und Strömung. Die dreidimensionale Stabilität der verbundenen Struktur ist eine Anforderung, die der Mechanismus an sich selbst stellt; die Druckrechnung von §A.9–A.13 ist die erste ihrer Prüfungen, und §D.1 führt die übrigen auf.

A.6 Flüchtige Stoffe, Atmosphäre und Abkühlung des Äußeren

Zwei Eigenschaften der jungen Erde prägen sowohl die Dichte des aufsteigenden Materials als auch die Art, wie das Äußere abkühlt: die flüchtigen Stoffe, die sie enthielt, und die Atmosphäre, die sie bildeten.

Flüchtige Stoffe sind die Substanzen, die leicht in Gas übergehen — vor allem Wasser, zusammen mit Kohlendioxid und ähnlichen Verbindungen. Tief unter Druck bleiben sie in der Schmelze gelöst, so wie Kohlendioxid in einer geschlossenen Flasche gelöst bleibt. Im untersuchten Szenario gibt es ein ursprüngliches Inventar flüchtiger Stoffe, das größer ist als das heute verbliebene. Bei Druckentlastung — wenn die Schmelze aufsteigt und der Druck auf sie fällt — können flüchtige Stoffe aus dem Magma freigesetzt werden und seine Dichte und sein Verhalten ändern, so wie die Flasche beim Öffnen schäumt. Eine Schmelze voller Gasblasen ist eine aufgeschäumte Schmelze. Ihre Dichte ist weit geringer als die derselben Schmelze ohne Blasen, weil ein Teil ihres Volumens Gas ist.

Diese niedrige Dichte ist es, die die Speisung möglich macht. Nach Gleichung (5) ist der zum Heben von Material nötige Druck proportional zu seiner Dichte: Eine aufgeschäumte Schmelze braucht viel weniger Schub, um dieselbe Höhe zu erreichen, als eine dichte. Teil A.10 macht daraus einen Schwellenwert — der Quelldruck des Mutterkörpers kann tiefe Schmelze nur dann bis zum Korotationsradius heben, wenn diese Schmelze leichter als etwa 3,864 kg/m³ ist —, und Teil B.2 findet, dass der Körper auf der Spitze der Birne die aufgeschäumte Dichte von etwa 1,300 kg/m³ hat. Die Rolle der flüchtigen Stoffe ist, die Dichte des aufsteigenden Materials zu senken, nicht den Quelldruck über den lithostatischen Wert zu heben (den durch das Gewicht des überlagernden Materials gesetzten Druck); und Blasen dürfen nicht in allen Tiefen angenommen werden, da die flüchtigen Stoffe in großer Tiefe noch gelöst sein können.

Das Vorhandensein von Wasser in lunaren Einschlüssen — winzigen Schmelztröpfchen, die in Kristallen lunaren vulkanischen Materials eingeschlossen sind und ihr ursprüngliches Wasser behielten — liefert eine Randbedingung für einige lunare Magmaquellen; es misst nicht das gesamte Inventar flüchtiger Stoffe zur Zeit des Aufbaus [2]. Es zeigt, dass ein Teil des Ausgangsmaterials des Mondes nicht trocken war, ohne festzulegen, wie viel Wasser das ganze System enthielt.

Ein Zyklus aus Aufstieg, Abkühlung und Rückkehr kann Wärme vom Material an die Umgebung übertragen: Durch die Öffnungen hochgeworfenes Material verliert im Flug etwas Wärme, landet aber noch heiß. Die Abkühlung des ganzen Systems erfordert jedoch, dass Energie in den Weltraum entweicht; vom Material an seine Umgebung übertragene Wärme ist noch nicht verloren. Eine Dampfatmosphäre kann zudem die ausgehende Strahlung begrenzen: Wasserdampf absorbiert die Infrarotstrahlung, durch die eine heiße Oberfläche abkühlt, sodass eine dicke Dampfatmosphäre wie eine Decke wirkt und die ganze Oberfläche nicht so modelliert werden kann, als wäre sie einem Vakuum ausgesetzt. Rechnungen einer gesättigten Atmosphäre zeigen unter bestimmten Bedingungen eine Strahlungsgrenze — eine Obergrenze für den Wärmefluss, den ein dampfbedeckter Körper abstrahlen kann; ein konstanter Fluss aus diesen Rechnungen kann nicht auf jede Höhe und Stufe in diesem Szenario angewendet werden [3], weil sich Atmosphäre, Temperatur und Schwerkraft ändern, während der Körper aufsteigt.

A.7Eine abkühlende Hülle über einer beweglichen Basis

Der Körper braucht eine feste Haut, während sein Inneres und seine Speisung geschmolzen bleiben. Dieser Abschnitt schätzt ab, wie schnell sich eine solche Haut bildet. Eine Erstarrungsfront ist die Grenze zwischen der festen Schicht, die sich an der kalten Oberfläche gebildet hat, und der Schmelze darunter; während Wärme durch den Festkörper entweicht, rückt die Front nach unten vor und die feste Schicht wird dicker. Die erstarrte Kappe ist für das thermische Überleben des Körpers wichtig: Einmal gebildet, steht sie zwischen der heißen Schmelze und dem kalten Äußeren, und weil Wärme nur durch Leitung durch sie entweichen kann, verliert die Schmelze darunter umso langsamer Wärme, je dicker sie wird. Die Kappe schützt so das bewegliche Innere, das die Speisung erfordert, während sie selbst zur festen äußeren Grenze wird.

Eine einfache Abschätzung durch Wärmeleitung für das Vorrücken einer Erstarrungsfront lautet:

$$h_{\mathrm{fr}}(t)\simeq \sqrt{\frac{2k\Delta T\,t}{\rho_s L_f}}. \tag{7}$$

Hier ist $h_{\mathrm{fr}}$ die Dicke der festen Schicht nach der Zeit $t$; $k$ ist die Wärmeleitfähigkeit des Festkörpers — wie leicht er Wärme durchlässt; $\Delta T$ ist die Temperaturdifferenz über die feste Schicht, zwischen der Schmelze an ihrer Basis und der kalten Oberseite; $\rho_s$ ist die Dichte des Festkörpers; und $L_f$ ist die latente Schmelzwärme — die Wärme, die jedem Kilogramm Schmelze entzogen werden muss, um es ohne jede Änderung seiner Temperatur erstarren zu lassen. Die Gleichung besagt, dass die Dicke mit der Quadratwurzel der Zeit wächst. Der Grund ist die eben beschriebene Schutzwirkung: Je dicker der Festkörper, desto weniger Wärme geht durch ihn hindurch und desto langsamer erstarrt die nächste Schicht. Die Verdopplung der Dicke dauert viermal so lange; eine fünfzigmal dickere Schicht dauert 2,500-mal so lange.

Dies ist eine eindimensionale Näherung einer Bilanz der latenten Wärme, mit konstanter Temperaturdifferenz und Wärmeleitung durch die erstarrte Schicht. Das Einsetzen von $k=3\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$, $\rho_s=3{,}000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ und $L_f=4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$ — für Silikatmaterial typischen Werten — ergibt die folgenden Zeiten. Die beiden Spalten sind zwei Wahlen der Temperaturdifferenz: 1,200 K für eine stark gekühlte Oberfläche und 100 K für eine warm gehaltene Oberfläche, etwa durch eine Dampfatmosphäre oder eine heiße Umgebung (§A.6).

Die Tabelle liest sich in jeder Spalte nach unten, während der Festkörper wächst, und in jeder Zeile nach rechts, während die Kühlung schwächer wird. In einer Spalte steigen die Zeiten steil an: Ein Meter Festkörper bildet sich in Tagen, ein Kilometer in Tausenden von Jahren, fünfzig Kilometer in Millionen. In einer Zeile ist jede Zeit im warmen Fall zwölfmal länger, weil die Zeit bis zu einer gegebenen Dicke umgekehrt proportional zu $\Delta T$ ist. Der erste Meter bildet sich daher fast sofort, unabhängig von den Bedingungen; eine dicke Schale nicht.

Die Tabelle zeigt die Empfindlichkeit gegenüber den Randbedingungen. Sie bestimmt nicht die endgültige Dicke, weil heiße Speisung, innere Konvektion, eine Atmosphäre und ein endlicher Wärmevorrat die Lösung ändern: Von unten ankommende heiße Speisung schmilzt die Basis des Festkörpers wieder auf, Konvektion trägt ihr Wärme zu, eine Atmosphäre verringert $\Delta T$, und ein Körper mit begrenztem Wärmevorrat kühlt schließlich durchgehend ab. Die Gezeitensteifigkeit eines mondgroßen Körpers — seine Fähigkeit, der Verformung durch die Gezeiten der Erde zu widerstehen — wird von der Schale aus Teil B geliefert, nicht von diesem ersten Meter.

Abbildung 1 zeigt dasselbe Gesetz über den ganzen Zeitbereich. Beide Achsen sind logarithmisch, sodass ein Quadratwurzelgesetz als Gerade erscheint, die für je zwei Schritte in der Zeit um einen Schritt in der Dicke steigt. Die marineblaue Linie (starke Kühlung) und die rote Linie (warme Oberfläche) sind parallel: Der warme Fall erreicht jede Dicke um denselben Faktor später. Die gestrichelte Linie markiert 50 km, eine Beispieldicke, und die Punkte sind die Einträge der Tabelle.

Die Kruste der Mondrückseite ist unter anderem aus der sialischen Schale aufgebaut, die als Oberfläche der Kuppel aufsteigt — der leichten, silizium- und aluminiumreichen äußeren Schicht des Mutterkörpers. Das innere Material, das durch die Speisung von der Erde in den Mond gelangte, erstarrte mit der Zeit und blieb im Zentrum des Mondes und in seinem vorderen Teil. Teil B untersucht ihre jeweiligen Beiträge und die Geometrie der Kuppel. Hier ist nur erforderlich, dass sich die äußere Grenze verfestigen kann, während der Speisungsdurchgang beweglich bleibt, und die Abschätzung zeigt, dass sie es kann: Eine feste Haut bildet sich innerhalb von Tagen, während die Schmelze darunter, von ihr isoliert und von unten nachgeliefert, flüssig bleibt.

A.8Die Reihenfolge des Aufbaus

Die Bausteine von Teil A wirken zusammen, und ihre Reihenfolge ist wichtig, weil ein Schritt außerhalb der Reihenfolge dem Befund widersprechen würde, den der Körper trägt.

In diesem Szenario überlappen sich innere Speisung und Hebung der Kuppel, während noch Auswürfe durch die Öffnungen stattfinden: Der Körper wird von unten gespeist, seine Schale steigt mit ihm auf, und Material wird durch die Öffnungen ausgeworfen und kehrt zurück, alles zugleich. Die Auswürfe hören nie auf, solange der Körper verbunden ist: Sie nehmen ab, während die Birne wächst und der Körper sich vom Erdmittelpunkt entfernt, und sie enden bei der Abtrennung, wenn der Körper vom Druck der Erde abgeschnitten wird. Das Schließen der äußeren Schale spielt dabei keine Rolle. Die ganze Abfolge, vom Beginn der Aufwölbung bis zur Ablösung, dauert etwa 600 Millionen Jahre — rund 400 Millionen für die Aufwölbung und die Birne, etwa 100 Millionen für die Abplattung und etwa 100 Millionen weitere bis zur Ablösung vor 3.873 Milliarden Jahren; dies ist das 600-Millionen-Jahre-Szenariofenster der Umgebungstabelle, und der Fall von 100 Millionen Jahren bleibt eine Sensitivitätsprüfung. Auswürfe der Aufbauphase dürfen nicht mit spätem Vulkanismus in einem bereits getrennten Körper gleichgesetzt werden; sie gehören zum verbundenen Körper und sind ein anderer Prozess als der Vulkanismus eines freien Mondes. Die vier Stufen werden in Teil B dargelegt.

Was wir nun haben: eine Massenbilanz, die jedes Kilogramm verortet, den Grund, warum der Körper getragen statt geworfen werden muss, die Kräftebilanz, die die Speisung erfüllen muss, eine konzentrierte Quelle, einen durch Wärme offen gehaltenen Durchgang, eine aufgeschäumte Schmelze, leicht genug, um gehoben zu werden, und eine erstarrte Haut, die sich rasch über einem beweglichen Inneren bildet. Ob Druck, Rate und Energie ausreichen, ist Gegenstand der nächsten Fortsetzung dieses Teils.

Die vorangehenden Abschnitte beschrieben die Speisung in Worten: eine tiefe Quelle, ein durch Wärme offen gehaltener Durchgang und ein an seinem Ende wachsender Körper. Diese Fortsetzung von Teil A fragt, ob diese Beschreibung standhält, wenn sie beziffert wird. Drei Fragen werden nacheinander gestellt, und jede hat eine Zahl als Antwort. Erstens, Druck: Hält der Mutterkörper an seiner Quelle genug Druck, um tiefe Schmelze ganz bis zum Korotationsradius hinaufzudrücken (§A.9–A.10)? Zweitens, Rate: Wenn ja, kann der Schub die Mondmasse in der verfügbaren Zeit durch einen Durchgang bewegen (§A.11)? Drittens, Energie: Woher kommt die Arbeit, die Masse zu heben (§A.12)? Der letzte Abschnitt (§A.13) bringt Druck, Strömung und Last in einem Zustand nahe der Ablösung zusammen und zeigt, wie die Verbindung aussehen muss, damit alle drei zugleich erfüllt sind. Dieses letzte Ergebnis ist die Brücke zu den Teilen B und C.

A.9Eine definierte Druckprüfung

Die Frage, die dieser Abschnitt beantwortet, ist einfach zu stellen: Ist der eigene Innendruck des Mutterkörpers stark genug, um eine Schmelzsäule zu halten, die von seinem Zentrum bis zum Korotationsradius reicht? Um sie zu beantworten, werden zwei Drücke aus demselben Feld berechnet und verglichen: der an der Quelle verfügbare Druck und der Druck, den die Säule verlangt.

Was eine hydrostatische Druckhöhe ist. Eine Materialsäule, die in einem Schwerefeld steht, drückt mit ihrem Gewicht auf ihre eigene Basis. Der an der Basis nötige Druck, um die Säule zu halten — weder sinkend noch steigend —, heißt die hydrostatische Druckhöhe der Säule. Eine Pumpe, die Wasser zu einem Tank auf einem Dach schickt, muss mindestens die Druckhöhe der Wassersäule zwischen Pumpe und Tank liefern; liefert sie weniger, kommt das Wasser nicht an. Die Speisung des Mondes ist dasselbe Problem im planetaren Maßstab: Die Quelle muss mindestens die Druckhöhe einer Schmelzsäule liefern, die von tief im Mutterkörper bis hinauf zum Körper reicht. In einem gleichförmigen Feld ist die Druckhöhe einfach Dichte mal Schwerkraft mal Höhe; hier ändert sich die Schwerkraft entlang der Säule, und die Rotation wirkt ihr entgegen, sodass die Druckhöhe als Dichte mal Änderung des effektiven Potentials entlang des Weges berechnet wird (Gleichung 5 aus §A.3, integriert).

Wir wählen einen Referenzschnitt des Mutterkörpers vor der Aufteilung der Masse: $M_0$, $R_V$, $T_0$ aus der Tabelle. Das heißt, der ganze Mutterkörper mit dem Mondmaterial noch in ihm ($M_0=6.0455\times10^{24}$ kg), sein angenommener Volumenradius (6,517 km) und sein anfänglicher 5.5-Stunden-Tag. Nur für eine analytische Prüfung verwenden wir das Feld einer homogenen Kugel und einen rotierenden Äquatorschnitt. Dies ist eine Kugelnäherung mit einer Zentrifugalkorrektur, keine exakte Gleichgewichtslösung eines Maclaurin-Sphäroids. Die Wahl hält die Arithmetik durchsichtig: Jeder Term lässt sich in geschlossener Form schreiben und von Hand prüfen, und die wahre abgeplattete Figur ändert die Zahlen nur mäßig.

Es sei $R=R_V$, $\rho_p=3M_0/(4\pi R^3)$; $\rho_p$ ist die mittlere Dichte des Mutterkörpers, seine Masse geteilt durch sein Volumen. Das innere Feld ist $g(r)=GM_0r/R^3$, und das äußere Feld $GM_0/r^2$. Im Inneren einer gleichförmigen Kugel wächst die Schwerkraft proportional zum Abstand vom Zentrum — null im Zentrum, voller Wert an der Oberfläche —, weil nur die Masse unterhalb einer gegebenen Tiefe zieht; außerhalb fällt sie mit dem inversen Quadrat des Abstands ab. Der Endpunkt der Säulenprüfung ist:

$$r_*=\left(\frac{GM_0}{\omega_0^2}\right)^{1/3} =15{,}882.9\ \mathrm{km}. \tag{8}$$

Gleichung (8) ist der Korotationsradius aus Paper 2 (§A.5) mit der Masse des ganzen Mutterkörpers darin: der Abstand, bei dem die Schwerkraft genau durch den Zentrifugaleffekt der Rotation ausgeglichen wird. Er ist das natürliche Ende der Säule. Unterhalb von $r_*$ ist der Nettozug nach innen gerichtet, und jeder Kilometer Säule fügt Gewicht hinzu, das die Quelle halten muss; bei $r_*$ ist der Nettozug null, sodass Material dort im rotierenden Bezugssystem nichts wiegt, und jenseits davon weist der Nettozug nach außen. Die Druckhöhe muss daher nur bis $r_*$ bezahlt werden.

Dies ist ein Referenzpunkt im vollen Feld des anfänglichen Mutterkörpers; es ist nicht der Ablösungsabstand zweier Körper am Ende des Übergangs. Der Unterschied zwischen ihm und der Referenz von 15,818 km rührt von der Masse in der Gleichung her: 15,818 km wird mit der endgültigen Erdmasse $M_E$ berechnet, 15,882.9 km mit der vollen Masse des Mutterkörpers $M_0$, die um die Masse des Mondes größer ist, und eine größere Masse legt den Gleichgewichtspunkt etwas weiter nach außen.

Woher der Quelldruck kommt. Die tiefe Quelle ist kein eigener Motor. Sie ist das eigene Innere des Mutterkörpers, gepresst vom Gewicht alles Darüberliegenden. Im Zentrum des Mutterkörpers lastet das volle Gewicht des überlagernden Materials; die Rotation erleichtert dieses Gewicht am Äquator ein wenig, weil der Zentrifugaleffekt dort der Schwerkraft entgegenwirkt. Wenn sich ein Weg vom tiefen Inneren zur Oberfläche öffnet, ist es dieser Druck — Gewicht minus Rotation —, der Schmelze entlang ihm drückt. Der Quelldruck im Zentrum, relativ zum Oberflächendruck am Äquator, ist:

$$p_s=\frac{\rho_p}{2} \left(\frac{GM_0}{R}-\omega_0^2R^2\right) =150.26\ \mathrm{GPa}. \tag{9}$$

In Worten: Der erste Term in der Klammer, $GM_0/R$, ist der Gravitationsanteil; der Faktor $\tfrac{1}{2}$ erscheint, weil die Schwerkraft im Inneren einer gleichförmigen Kugel stetig von null im Zentrum bis zu ihrem vollen Wert an der Oberfläche ansteigt, sodass sie entlang des Radius im Mittel mit halber Stärke wirkt. Der zweite Term, $\omega_0^2R^2$, ist die Entlastung durch die Rotation entlang des Äquatorradius. Mit der mittleren Dichte des Mutterkörpers multipliziert, ergibt die Klammer einen Druck: 150.26 GPa. Dies ist der Druck, den der Mutterkörper durch seine eigene Masse und Rotation an seiner Quelle hält.

In einer Säule mit konstanter Tiefendichte $\rho_d$ und einer äußeren Dichte $\rho_o$ ist die erforderliche Druckhöhe:

$$p_{\mathrm{head}}=\rho_d I_d+\rho_o I_o, \tag{10}$$

Die Säule wird in zwei Abschnitte geteilt, weil das Material in ihnen verschieden ist. Der tiefe Abschnitt reicht vom Zentrum bis zur Oberfläche des Mutterkörpers und ist mit tiefer Schmelze der Dichte $\rho_d$ gefüllt. Der äußere Abschnitt reicht von der Oberfläche hinauf bis $r_*$, über dem Mutterkörper, und ist mit dem leichteren äußeren Material der Dichte $\rho_o$ gefüllt. Jeder Abschnitt trägt Dichte mal ein Integral $I$ bei, und $I$ ist die Änderung des effektiven Potentials (gravitativ minus zentrifugal) entlang dieses Abschnitts — die Energie, die nötig ist, um ein Kilogramm entlang ihm zu heben, in Joule pro Kilogramm, was dasselbe ist wie $\mathrm{m^2\,s^{-2}}$. Dichte (Kilogramm pro Kubikmeter) mal Energie pro Kilogramm ergibt Energie pro Kubikmeter, also einen Druck.

$$I_d=\frac{1}{2}\left(\frac{GM_0}{R}-\omega_0^2R^2\right) =2.88173\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}, \tag{11}$$

Gleichung (11) ist der Potentialschritt im Inneren des Mutterkörpers, vom Zentrum bis zur Äquatoroberfläche. Es ist dieselbe Klammer wie in Gleichung (9); der einzige Unterschied ist die Dichte, mit der sie multipliziert wird. Diese Identität ist das Herz der Prüfung: Der Quelldruck ist die Druckhöhe einer Säule mit der eigenen mittleren Dichte des Mutterkörpers, und die erforderliche Druckhöhe ist dieselbe Säule, mit Schmelze gefüllt. Eine Schmelzsäule, so dicht wie der Mutterkörper, wäre genau im Gleichgewicht und stiege nicht über die Oberfläche hinaus. Nur eine Schmelze, die leichter als der Mutterkörper ist, gewinnt einen Überschuss, und dieser Überschuss muss dann den äußeren Abschnitt bezahlen.

$$I_o=GM_0\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_*}\right) -\frac{\omega_0^2}{2}\left(r_*^2-R^2\right) =2.59450\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}. \tag{12}$$

Gleichung (12) ist der Potentialschritt außerhalb des Mutterkörpers, von der Oberfläche bis $r_*$: Der erste Term ist die Arbeit gegen die äußere Schwerkraft, der zweite die Hilfe der Rotation über dieselbe Strecke. Obwohl dieser Abschnitt mehr als doppelt so lang ist wie der tiefe, ist sein Wert etwas kleiner, weil die Schwerkraft mit der Entfernung schwächer wird und die Hilfe der Rotation wächst. Die beiden Integrale zusammen legen die Druckhöhe für jedes Paar von Dichten fest; der nächste Abschnitt wertet sie aus.

Die Säule dient als Druckprüfung in einem gegebenen Feld; ihre Masse und ihre Wirkung auf die Form des Körpers werden hier nicht gelöst. Die Prüfung darf daher nicht automatisch auf den Übergang der ganzen Mondmasse ausgedehnt werden. Sie beantwortet eine Frage — kann die Quelle eine Schmelzlinie halten, die bis zum Korotationsradius reicht — und überlässt das Gewicht einer realen, endlichen Verbindung §A.13.

A.10Ein Dichteschwellenwert und Sensitivität

Die Druckhöhe hängt davon ab, was die Säule füllt, der Quelldruck nicht. Die Frage ist daher, welche Tiefendichten die Quelle tragen kann und wo die Grenze liegt.

Unter der Annahme $\rho_o=1{,}500\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ erhält man:

Wie die Tabelle zu lesen ist. Jede Zeile füllt den tiefen Abschnitt mit einer Schmelze anderer Dichte; der äußere Abschnitt wird bei 1,500 kg/m³ gehalten. Die mittlere Spalte ist die Druckhöhe, die diese Säule verlangt, nach Gleichung (10). Die rechte Spalte, der Rest, ist der Quelldruck von 150.26 GPa minus dieser Druckhöhe: was vom Schub übrig bleibt, nachdem die Säule gehalten ist. Ein positiver Rest bedeutet, dass der Schub ausreicht — die Säule wird gehalten, und es bleibt Druck übrig, um den Körper an ihrem Ende zu tragen und die Strömung anzutreiben. Ein negativer Rest bedeutet, dass der Schub nicht ausreicht: Die Säule ist zu schwer, und die Schmelze erreicht den Korotationsradius nicht. Nach unten gelesen steigt die Druckhöhe für je 500 kg/m³ um denselben Schritt, und der Rest fällt um denselben Schritt; das Vorzeichen wechselt zwischen 3,500 und 4,000 kg/m³. Bei 3,500 kg/m³, dem im übrigen Teil A verwendeten Referenzwert, bleiben 10.49 GPa.

Die Fließbedingung lautet:

$$p_s-p_{\mathrm{head}}-p_{\mathrm{load}}-\Delta p_{\mathrm{loss}}>0, \tag{13}$$

Gleichung (13) stellt das volle Budget auf. Der Quelldruck muss drei Rechnungen bezahlen: die Druckhöhe der Säule, $p_{\mathrm{head}}$; die Last am Ende der Säule, $p_{\mathrm{load}}$, also den Körper selbst, der auf den Durchgang zurückdrückt; und die Reibungsverluste beim Fließen der Schmelze, $\Delta p_{\mathrm{loss}}$. Schmelze bewegt sich nur so lange nach außen, wie nach Bezahlung aller drei etwas übrig bleibt. Die obige Tabelle zeigt nur die erste Rechnung, weshalb ihre letzte Spalte der Rest vor Endlast und Verlusten heißt.

und der Dichteschwellenwert ist daher:

$$\rho_{d,\max}= \frac{p_s-\rho_o I_o-p_{\mathrm{load}}-\Delta p_{\mathrm{loss}}}{I_d}. \tag{14}$$

Gleichung (14) ist Gleichung (13), nach der Tiefendichte aufgelöst: die schwerste tiefe Schmelze, die die Quelle noch hindurchdrücken kann, nachdem der äußere Abschnitt, die Endlast und die Verluste bezahlt sind. Der Grund für die Existenz eines Schwellenwerts folgt aus §A.9. Der Quelldruck ist durch die mittlere Dichte des Mutterkörpers festgelegt, aber die Druckhöhe des tiefen Abschnitts wächst mit der Dichte der Schmelze darin; irgendwo treffen sich beide. Die Lage ist die zweier verbundener Röhren, die eine mit Wasser, die andere mit Öl gefüllt: Die Ölsäule steht höher als die Wassersäule, weil sie leichter ist. Ebenso steigt die tiefe Schmelze nur deshalb über die Oberfläche des Mutterkörpers, weil sie leichter ist als der Mutterkörper um sie herum, und je leichter sie ist, desto höher kann sie stehen.

Bei Vernachlässigung von Last und Verlusten gilt $\rho_{d,\max}\simeq3{,}864\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$. Jedes zusätzliche Gigapascal an Last oder Verlust senkt den Schwellenwert um etwa 34.7 kg/m³: ein Gigapascal geteilt durch $I_d$, weil jedes anderswo verbrauchte Gigapascal ein Gigapascal ist, das der tiefe Abschnitt nicht mehr nutzen kann. Der Schwellenwert ist auch empfindlich gegenüber der Dichte des äußeren Abschnitts: $d\rho_{d,\max}/d\rho_o=-I_o/I_d\simeq-0.900$. In Worten: Jedes dem äußeren Abschnitt hinzugefügte Kilogramm pro Kubikmeter nimmt dem tiefen Schwellenwert 0.900 kg/m³, weil die beiden Integrale nahezu gleich sind und die beiden Abschnitte sich eine Quelle teilen.

Die Druckprüfung besteht für eine tiefe Schmelze leichter als 3,864 kg/m³ und scheitert darüber. Dies ist die erste Anforderung, die der Mechanismus an das tiefe Material stellt, und sie ist die schärfste: Eine an flüchtigen Stoffen reiche Schmelze erfüllt sie, eine trockene nicht. Der Grund ist, dass gelöste flüchtige Stoffe — Wasser und andere leichte Komponenten — die Dichte einer Silikatschmelze senken (§A.6), und die Spanne zwischen Bestehen und Scheitern liegt innerhalb des Bereichs, den sie liefern können. Eine Schaumdichte nahe der Oberfläche ist kein Beleg für eine ähnliche Dichte in der Tiefe: Blasen bilden sich nur dort, wo der Druck niedrig genug ist, dass flüchtige Stoffe aus der Lösung austreten, sodass eine Schmelze nahe der Oberfläche viel leichter sein kann als dieselbe Schmelze in der Tiefe. In einem Modell mit variabler Dichte müssen die beiden Terme durch ein Integral über $\rho[p(s),T(s),X(s)]$ ersetzt werden — die Dichte als Funktion von Druck, Temperatur und Zusammensetzung entlang des Weges $s$ —, und Quelldruck und Schwerefeld müssen ebenfalls neu berechnet werden. Die Prüfung mit konstanter Dichte ist der erste Schritt dieser Rechnung, und ihr Schwellenwert ist die Zahl, an der die Zustandsgleichung der tiefen Schmelze zu prüfen ist (§D.1).

Abbildung 2 zeichnet die Tabelle als zwei Linien. Die flache rote Linie ist, was die Quelle liefert; sie hängt nicht von der Schmelze ab. Die steigende marineblaue Linie ist, was die Säule kostet; sie steigt mit der Tiefendichte. Links von ihrem Schnittpunkt gewinnt die Quelle, und der senkrechte Abstand zwischen den Linien ist der Rest — 10.49 GPa bei 3,500 kg/m³, durch den Pfeil markiert. Rechts vom Schnittpunkt gewinnt die Säule, und die Speisung kommt zum Stillstand. Der Schnittpunkt, 3,864 kg/m³, ist der Schwellenwert.

Was wir nun haben: Der Mutterkörper hält an seiner Quelle 150.26 GPa, und dies reicht aus, um eine Schmelzsäule bis zum Korotationsradius zu halten, sofern die tiefe Schmelze leichter als etwa 3,864 kg/m³ ist. Die Säule zu halten heißt noch nicht, Masse entlang ihr zu bewegen; der nächste Abschnitt fragt, wie schnell sich die Masse bewegen muss.

A.11Wie schnell muss die Speisung arbeiten?

Ein Drucküberschuss bedeutet, dass Schmelze fließen kann; er sagt nicht, wie viel. Die Frage hier ist, wie viel Masse die Speisung jede Sekunde liefern muss, um den Mond in der verfügbaren Zeit zu bauen, und was das vom Durchgang verlangt.

Wenn ein Anteil $f_{\mathrm{int}}$ der Zielmasse über $\mathcal T$ von innen ankommt, ist die mittlere Rate:

$$\overline{\dot M}_{\mathrm{int}}=\frac{f_{\mathrm{int}}m}{\mathcal T}. \tag{15}$$

Gleichung (15) ist die einfachstmögliche Bilanz: die von der Speisung gelieferte Masse, $f_{\mathrm{int}}m$ (der innere Anteil der Mondmasse $m$; der Rest kommt von der aufsteigenden Schale, Teil B), geteilt durch die Zeit $\mathcal T$, über die sie ankommt.

Für $f_{\mathrm{int}}=1$ erhält man etwa $2.33\times10^7\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ über 100 Millionen Jahre und etwa $3.88\times10^6\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ über 600 Millionen Jahre. Die beiden Fenster sind die der Umgebungstabelle: 600 Millionen Jahre sind das Szenariofenster, 100 Millionen Jahre der Sensitivitätsfall. Für einen kleineren inneren Anteil fällt die mittlere Rate im direkten Verhältnis. Diese Raten beschreiben die mittlere Nettoansammlung von Masse im Körper; jeder Verlust gelieferten Materials erfordert eine größere Bruttospeisungsrate. Intermittierende Speisung erfordert eine größere Rate während der Aktivität: Läuft die Speisung nur einen Teil der Zeit, muss sie, während sie läuft, schneller laufen, um dieselbe Gesamtmenge zu liefern.

Für eine Sensitivitätsprüfung lässt sich ein geometrisch begrenzter Abschnitt als laminare Newtonsche Strömung in einem zylindrischen Durchgang mit Radius $b$, Länge $\ell$ und Haftbedingung darstellen:

$$Q=\frac{\pi b^4\Delta p}{8\eta\ell}, \qquad \eta_{\max}=\frac{\pi b^4\Delta p\,\rho_d\mathcal T} {8\ell f_{\mathrm{int}}m}. \tag{16}$$

Die Begriffe brauchen je ein Wort. Laminare Strömung bewegt sich in glatten Schichten, ohne Turbulenz; Newtonsch heißt, dass der Widerstand des Fluids durch eine Zahl beschrieben wird, seine Viskosität $\eta$ — den Widerstand des Materials gegen das Fließen, niedrig für Wasser, sehr hoch für kaltes Glas oder für den festen Mantel, der über geologische Zeiten kriecht; Haftbedingung heißt, dass sich das Fluid an der Wand des Durchgangs nicht bewegt, sodass die Strömung entlang der Achse am schnellsten und an der Wand am langsamsten ist. Der erste Teil von Gleichung (16) gibt das Schmelzvolumen $Q$, das jede Sekunde durch einen Durchgang mit Radius $b$ und Länge $\ell$ strömt, wenn eine Druckdifferenz $\Delta p$ es antreibt. Der zweite Teil kehrt die Frage um: Er ist der erste Teil, nach der Viskosität aufgelöst, wobei $Q$ auf die Volumenrate gesetzt wird, die der Aufbau braucht (die Massenrate aus Gleichung 15 geteilt durch die Schmelzdichte). Das Ergebnis, $\eta_{\max}$, ist die höchste Viskosität, die das Material im Durchgang haben darf und dabei die Mondmasse noch rechtzeitig liefert. Jedes Material, das weniger viskos ist als $\eta_{\max}$, besteht; jedes steifere scheitert.

Dies ist die Poiseuille-Lösung [1], hier als Abschätzung für einen begrenzten Abschnitt verwendet; ihre Wandrandbedingung kann nicht als im ganzen unbegrenzten äußeren Teil gültig angenommen werden.

Für $\ell=10^7\ \mathrm m$, $\rho_d=3{,}500$, $\Delta p=10\ \mathrm{GPa}$ und $f_{\mathrm{int}}=1$:

Die Eingaben sind ein 10,000 km langer Durchgang ($10^7$ m, vergleichbar mit der Entfernung von der tiefen Quelle zum Körper), die Referenzdichte der Schmelze von 3,500 kg/m³ und ein antreibender Überschuss von 10 GPa — nahe am Rest von 10.49 GPa aus §A.10 —, wobei der ganze Mond von der Speisung geliefert wird.

Wie die Tabelle zu lesen ist. Jede Zelle ist das steifste Material, das den Mond durch einen Durchgang des gegebenen Radius in der gegebenen Zeit noch bauen würde. In einer Spalte nach unten gelesen steigt die Obergrenze steil mit dem Radius: Ein breiter Durchgang verträgt ein weit steiferes Material als ein schmaler. In einer Zeile gelesen ist die Obergrenze für 600 Millionen Jahre sechsmal höher als für 100 Millionen, weil eine längere Zeit eine langsamere Strömung erfordert. Zum Vergleich setzt die Umgebungstabelle die steife, kalte Schale bei $\gtrsim10^{23}$ Pa·s an; nur der breiteste Durchgang über das längste Fenster nähert sich diesem Wert.

Die starke Empfindlichkeit ist $b^4$: Die Halbierung des Radius verringert die Rate bei gleichem Drucküberschuss und gleicher Viskosität um das Sechzehnfache. Der Grund ist, dass ein breiterer Durchgang doppelt gewinnt: Er hat mehr Querschnitt, und sein Zentrum liegt weiter von den Wänden entfernt, die die Strömung zurückhalten. Zwischen 100 und 500 km wächst der Radius um das Fünffache und die Obergrenze um $5^4$, was der Schritt zwischen den ersten beiden Zeilen ist. Die Viskositätswerte in der Tabelle sind mathematische Obergrenzen für die Abschätzung, keine an Magma gemessenen Eigenschaften. Ein Überschuss von 10 GPa ist ein Prüfparameter; wenn das Tragen des Körpers den verbleibenden Druck verbraucht, steht dieser Druck nicht zur Verfügung, um die Strömung anzutreiben. Ein langes Zeitfenster kann die Anforderung an die Rate erleichtern, verlangt aber, dass der Durchgang über diese Zeit beweglich und stabil bleibt.

Was wir nun haben: Mit einem Überschuss von der Größe, die die Druckprüfung übrig lässt, kann ein Durchgang von einigen hundert Kilometern oder mehr die Mondmasse im Szenariofenster tragen, sofern er heiß und beweglich bleibt. Die Breite des Durchgangs zählt weit mehr als jede andere Eingabe; §A.13 kommt darauf zurück.

A.12 Energie: Was ist die Quelle der Arbeit?

Druck und Rate betreffen, wie sich die Masse bewegt; die Energie betrifft, was ihre Bewegung bezahlt. Die Masse des Mondes von der Erdoberfläche zum Korotationsradius zu heben, ist Arbeit gegen die Schwerkraft, und das Modell muss sagen, woher diese Arbeit kommt.

Eine Größenordnungsprüfung der Gravitationsarbeit für die volle Zielmasse in einem festen irdischen Feld, von 8,991 km bis zur Ablösung bei 16,400 km, ergibt:

$$W_g=GM_Em\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}\right) \simeq1.47\times10^{30}\ \mathrm J. \tag{17}$$

Gleichung (17) ist die übliche Arbeit, die nötig ist, um eine Masse $m$ in der Schwerkraft einer Masse $M_E$ von einem Abstand $r_0$ auf einen Abstand $r_1$ von deren Zentrum nach außen zu bewegen. Hier ist $r_0=8{,}991$ km der Abstand zwischen den Zentren, wenn ein Körper mit der vollen Mondmasse die Oberfläche des Mutterkörpers berührt (§A.2), und $r_1=16{,}400$ km ist der Ablösungsabstand am Äquator. „Festes irdisches Feld“ bedeutet, dass die Masse der Erde konstant gehalten und der Körper als Punkt behandelt wird.

Die Abschätzung bezieht sich darauf, eine gegebene Masse zwischen zwei Abständen zu bewegen; sie ist nicht die volle Arbeitsbilanz eines Körpers, der aus der tiefen Quelle herauswächst. Die volle Bilanz muss die Änderung der Gravitationsenergie des ganzen Systems, die Rotationsenergie, die innere Energie, die Verluste und die im abgehenden Material getragene Energie einschließen.

Die gesamte Bindungsenergie der Erde kann nicht automatisch als verfügbare Energie gezählt werden. Die Bindungsenergie ist die Energie, die nötig wäre, um die ganze Erde gegen ihre eigene Schwerkraft zu zerlegen; sie ist groß, aber sie ist nicht in einer Form gespeichert, die ausgegeben werden kann. Energie wird erst verfügbar, wenn der Körper in einen fester gebundenen Zustand übergeht. Eine physikalische Entwicklung, die Energie freisetzt, ist erforderlich: zum Beispiel eine Ordnung der Dichte, Kontraktion oder eine Abnahme der inneren Energie, zusammen mit einem Austausch von Rotationsenergie. Die Arbeit liegt in der Größenordnung von $10^{30}$ J, weniger als ein Prozent der Bindungsenergie des Mutterkörpers; die Entwicklung, die sie freisetzt — absinkendes Eisen und ein sich zusammenziehendes, abkühlendes Inneres —, ist dieselbe Entwicklung, die den Aufstrom antreibt. Wenn Eisen zum Zentrum sinkt, rückt die Masse des Mutterkörpers enger zusammen, und Gravitationsenergie wird frei; das Heben des Mondes braucht davon nur einen kleinen Bruchteil. Die volle Energiebilanz dieser Entwicklung ist eine in §D.1 aufgeführte Anforderung.

A.13 Eine gemeinsame Prüfung im selben Zustand: Druck, Strömung und Last

Die Abschnitte A.9 bis A.11 prüften Druck und Strömung getrennt und am anfänglichen Mutterkörper. Eine reale Verbindung trifft auf alle zugleich, und in einem späteren Zustand: eine kleinere Erde (die Masse des Mondes hat sie verlassen), ein langsamerer Tag, ein Körper fern vom Äquator und das Gewicht des Körpers, das auf das Ende des Durchgangs drückt. Die Frage hier ist, ob ein einziger Durchgang alle Prüfungen in ein und demselben Zustand bestehen kann — und, wenn er sie als dünne Röhre nicht bestehen kann, welche Form er haben muss.

Um die drei Größen zusammen zu prüfen, wählen wir den letzten Zustand des Aufstiegs, bei der Ablösungsbreite aus Teil C: Erdmasse $M_E$, Masse des Körpers $m$, ein 5.77-Stunden-Tag, 22.5° Breite und das Zentrum des Körpers einen Körperradius innerhalb der Korotationslinie, $r=15{,}397\ \mathrm{km}$ — seine abgewandte Seite berührt die Linie (bei der Ablösung, auf der Linie selbst, verschwindet die Radiallast, und nur die Seitenlast bleibt, §C.2). Die Korotationslinie bei 22.5° liegt bei 17,287 km (Paper 4); ein Körper mit Radius 1,889.77 km, dessen abgewandte Seite sie berührt, hat sein Zentrum bei 15,397 km. Es ist der letzte Zustand des Aufstiegs vor der Ablösung: Der Körper ist am weitesten entfernt, bevor sein Zentrum die Linie erreicht, und sein Gewicht auf dem Durchgang ist noch nicht auf null gefallen. Nur für einen analytischen Druckschnitt werden ein irdischer Volumenradius von 6,517 km und eine Näherung homogener Dichte beibehalten. Dies sind Schnittnäherungen, nicht die volle Gleichgewichtsform des verbundenen Körpers.

Wir definieren eine Achse $u$ vom Erdmittelpunkt zum Körper. Der äquivalente Radius des Körpers bei der Dichte 2,600 beträgt 1,889.77 km, sodass das nahe Ende des Speisungsdurchgangs bei $u_t=r-R_b=13{,}507.23\ \mathrm{km}$ liegt. Die Säule reicht daher vom Erdmittelpunkt ($u=0$) bis zur zugewandten Seite des Körpers ($u=u_t$); dort sitzt der Körper auf ihr. Das Potential entlang der Achse schließt die Anziehung des Körpers und die Beschleunigung des Ursprungs des irdischen Bezugssystems ein:

$$\Phi(u)=\Phi_E(u)-\frac{Gm}{r-u} +\frac{Gm}{r^2}u-\frac{1}{2}\omega^2u^2\cos^2\lambda. \tag{25}$$

Gleichung (25) führt jeden Effekt auf, der an einem Stück der Säule im Abstand $u$ zieht, geschrieben als potentielle Energie pro Kilogramm. Der erste Term, $\Phi_E$, ist die Schwerkraft der Erde. Der zweite ist die eigene Schwerkraft des Körpers, die die Säule zum Körper zieht und so der Speisung nahe ihrem oberen Ende hilft. Der dritte Term korrigiert dafür, dass die Erde selbst nicht ruht: Der Körper zieht den Erdmittelpunkt zu sich hin, sodass ein am Erdmittelpunkt festes Bezugssystem beschleunigt ist und alles in diesem Bezugssystem einen gleichförmigen scheinbaren Zug in die andere Richtung spürt. Der vierte Term ist der Zentrifugaleffekt der Rotation; bei der Breite $\lambda$ liegt ein Punkt im Abstand $u$ nur $u\cos\lambda$ von der Rotationsachse entfernt, weshalb $\cos^2\lambda$ erscheint.

Für die homogene irdische Kugel gilt:

$$\Phi_E(u)= \begin{cases} -\dfrac{GM_E}{2R}\left(3-\dfrac{u^2}{R^2}\right),&u\le R,\\ -\dfrac{GM_E}{u},&u\ge R. \end{cases} \tag{26}$$

Gleichung (26) ist das Potential einer gleichförmigen Kugel: Innen vertieft es sich zum Zentrum hin als Parabel, entsprechend einer Schwerkraft, die wie in §A.9 proportional zum Abstand vom Zentrum wächst; außen ist es die bekannte Punktmassenform.

Der lineare Term in Gleichung (25) hebt die gleichförmige Beschleunigung des Erdmittelpunkts durch den Körper auf. Man erhält $I_d=\Phi(R)-\Phi(0)=2.88219\times10^7$ und $I_o=\Phi(u_t)-\Phi(R)=2.42862\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}$. Dies sind dieselben zwei Potentialschritte wie in den Gleichungen (11) und (12), nun im späteren Zustand ausgewertet: Der tiefe Schritt ist fast unverändert, und der äußere Schritt ist etwas kleiner, vor allem weil die Säule an der zugewandten Seite des Körpers statt am Korotationsradius endet und die eigene Anziehung des Körpers hilft. Der Quelldruck entlang des Schnitts ist $p_s=\rho_p I_d=148.46\ \mathrm{GPa}$, wobei hier $\rho_p=5{,}150.96\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ gemäß der Masse der Erde nach der Aufteilung der Masse gilt. Wie in §A.9 ist der Quelldruck die Druckhöhe einer Säule mit der eigenen mittleren Dichte des Mutterkörpers, nun der der Erde ohne den Mond.

Für die Widerstandsprüfung wählen wir einen zylindrischen Durchgang mit Radius $b$, Tiefendichte 3,500, äußerer Dichte 1,500 kg/m³ und einer angenommenen gleichförmigen Viskosität $\eta=10^{19}\ \mathrm{Pa\,s}$. Die Massenrate ist das Referenzmittel für 600 Millionen Jahre, $\dot M=3.882\times10^6\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$; dies ist eine Zustandsprüfung, kein Beweis, dass der Zustand 600 Millionen Jahre andauert. Die Anwendung der Abschätzung für begrenzte Strömung auf die beiden Abschnitte ergibt:

$$\Delta p_{\mathrm{visc}}=\frac{8\eta\dot M}{\pi b^4} \left(\frac{R}{\rho_d}+\frac{u_t-R}{\rho_o}\right). \tag{27}$$

Gleichung (27) ist die Poiseuille-Beziehung aus Gleichung (16), nacheinander auf die beiden Abschnitte angewendet und addiert: der Druck, der für Reibung verbraucht wird, um die Massenrate $\dot M$ durch einen tiefen Abschnitt der Länge $R$, gefüllt mit Schmelze der Dichte $\rho_d$, und einen äußeren Abschnitt der Länge $u_t-R$, gefüllt mit Material der Dichte $\rho_o$, zu drücken. Die Division der Massenrate durch die Dichte macht aus ihr eine Volumenrate; das leichtere äußere Material muss für dieselbe Massenrate schneller fließen und kostet daher pro Kilometer mehr.

Die Radiallast am Ende wird als mittlere Spannung $p_r=m_r a_r/(\pi b^2)$ geschrieben und die seitliche Komponente als $\tau_\lambda=m_r a_\lambda/(\pi b^2)$. Hier ist $m_r a_r$ die Kraft, mit der der Körper entlang der Achse auf das Ende des Durchgangs drückt — sein Gewicht im rotierenden Bezugssystem, der nach innen gerichtete Zug der Schwerkraft abzüglich des nach außen gerichteten Zentrifugalanteils entlang der Achse —, und $m_r a_\lambda$ ist die Seitenkraft. Die Seitenkraft existiert, weil der Körper nicht am Äquator liegt: Der Zentrifugaleffekt weist von der Rotationsachse weg, nicht entlang der Linie vom Erdmittelpunkt, und bei 22.5° Breite drückt ein Teil davon den Körper seitwärts, zur Äquatorebene hin. Die Division jeder Kraft durch den Querschnitt des Durchgangs, $\pi b^2$, macht aus ihr eine Spannung, die das Ende des Durchgangs tragen muss. Diese Ausdrücke schließen das gemittelte Modell über einen Schnitt senkrecht zur Achse; sie lösen nicht die Druckverteilung über eine endliche Verbindung. Der radiale Druckrest ist:

$$\Delta p_{\mathrm{rem}}=p_s-\rho_d I_d-\rho_o I_o-p_r-\Delta p_{\mathrm{visc}}. \tag{28}$$

Gleichung (28) ist das volle Budget aus Gleichung (13), nun mit jeder Rechnung in einem Zustand beziffert: der Quelldruck, minus die Druckhöhe der beiden Abschnitte, minus das Gewicht des Körpers auf dem Ende, minus die Reibung der Strömung. Wie in §A.10 bedeutet ein positiver Rest, dass der Schub ausreicht.

Wie die Tabelle zu lesen ist. Jede Zeile ist ein Durchgang anderen Radius im selben Zustand. Bevor Last und Reibung bezahlt sind, lassen Quelle und Druckhöhe etwa 11 GPa übrig: 148.46 GPa minus die Druckhöhe der beiden Abschnitte (in jeder Zeile der Rest plus Radiallast und Fließverlust). Die Tabelle zeigt dann, was die übrigen Rechnungen davon nehmen. Die Radiallast ist das Gewicht des Körpers, verteilt über den Querschnitt des Durchgangs; sie fällt wie $1/b^2$, von 46.18 GPa bei 500 km auf 5.131 GPa bei 1,500 km, weil dasselbe Gewicht auf einer größeren Fläche ruht. Der Fließverlust ist in jeder Zeile winzig — höchstens etwa ein Hundertstel Gigapascal —, sodass die Reibung in diesem Zustand nicht die Grenze ist. Der radiale Rest ist, was übrig bleibt; er ist für einen 500-km-Durchgang stark negativ, bei 1,000 km knapp unter null und bei 1,500 km positiv. Die Seitenspannung ist der seitliche Druck, dem das Ende des Durchgangs widerstehen muss; sie ist in jeder Zeile fast so groß wie die Radiallast, weil bei 22.5° und so nahe an der Linie der seitliche und der radiale Anteil des effektiven Gewichts des Körpers ähnlich groß sind. Die letzte Spalte ist die Masse des Materials, das im äußeren Abschnitt des Durchgangs selbst steht, in Einheiten der Mondmasse; sie wächst wie $b^2$, von etwa einem Zehntel Mond bei 500 km bis zu einem vollen Mond bei 1,500 km.

Die Masse des äußeren Abschnitts wird in derselben Geometrie abgeschätzt:

$$M_{\mathrm{bridge,out}}=\pi b^2\rho_o(u_t-R). \tag{29}$$

Gleichung (29) ist das Volumen eines Zylinders mit Radius $b$ und Länge $u_t-R$, des Teils des Durchgangs, der über der Erdoberfläche steht, multipliziert mit der Dichte des Materials, das ihn füllt.

Ergebnis der Prüfung: Mit diesen Eingaben besteht die radiale Druckbilanz ab einem Radius von etwa 1,017 km. Doch schon an diesem Schwellenwert beträgt die Masse des äußeren Abschnitts etwa 0.46 der Mondmasse. Die Annahme einer Verbindung vernachlässigbarer Masse ist daher in dem Bereich, der die radiale Prüfung besteht, nicht konsistent. Diese Masse muss unter den Reservoirs in Gleichung (1) neu zugeordnet und ihr Schwerefeld und ihr Impuls einbezogen werden; sie darf nicht zu den beiden gegebenen Massen addiert werden, ohne den Zustand zu ändern. Einfach gesagt: Eine dünne Röhre scheitert, weil das Gewicht des Körpers, auf ein kleines Ende konzentriert, den Rest unter null drückt; eine Röhre, breit genug, um dieses Gewicht zu verteilen, ist so breit, dass sie selbst fast einen halben Mond an Material enthält. Die Verbindung kann nicht zugleich schmal und masselos sein.

Zudem liefert ein ruhendes Fluid, das Druck nur durch den radialen Schnitt überträgt, keine Seitenspannung. Eine ruhende Flüssigkeit kann drücken, aber keine Seitenkraft halten — das macht sie zur Flüssigkeit. Eine Schmelzsäule kann das Gewicht des Körpers entlang der Achse tragen, aber sie kann allein nicht verhindern, dass der Körper zum Äquator gedrückt wird. Eine mögliche Lösung müsste eine Form der Verbindung, viskose Spannungen oder die Festigkeit eines tragenden Materials sowie in der Strömung übertragenen Impuls definieren. Erwärmung erleichtert den Durchgang; die Seitenlast wird von der Form der Verbindung getragen, welche die breite Basis der Kuppel aus Teil B ist.

Die Empfindlichkeit gegenüber der Dichte bleibt entscheidend: Hebt man die äußere Dichte auf 2,000 kg/m³, wird der Rest bei einem Radius von 1,000 km etwa $-12.5\ \mathrm{GPa}$, bei sonst unveränderten Eingaben. Eine mäßige Erhöhung der Dichte des äußeren Abschnitts verschiebt den Schwellenradius also weit über 1,000 km hinaus, aus demselben Grund wie in §A.10: Jedes Kilogramm pro Kubikmeter in der Säule kostet Druckhöhe. Eine Verkürzung der Speisungszeit auf 100 Millionen Jahre versechsfacht in der Abschätzung den Fließverlust, beseitigt aber weder die Anforderung an die Seitenspannung noch die Masse der Verbindung. Auch versechsfacht bleibt der Fließverlust in allen drei Zeilen weit unter einem Gigapascal, sodass die Schlussfolgerung nicht vom Zeitfenster abhängt.

Dies ist eine quantitative Grenze der Zylindernäherung: Das Bestehen der Druckprüfung ist noch nicht das Bestehen der vollen Aufbauprüfung. Das Ergebnis sagt dem Modell, wie seine Verbindung aussehen muss: breit genug, um die radiale Bilanz zu bestehen (oberhalb von etwa 1,000 km), und daher massiv genug, dass ihre eigene Masse und ihre Seitenspannungen in die Bilanz eingehen. Diese Verbindung ist die Basis der Kuppel aus Teil B — ein Kontakt von 3,000 km Durchmesser, halb so breit wie die 6,000-km-Basis und ein Viertel ihrer Fläche —, und Teil C zeigt, wie der Körper sich an der Korotationslinie zu trennen beginnt und knapp jenseits davon abgelöst wird. Ein Kontakt von 3,000 km Durchmesser hat einen Radius von 1,500 km, die letzte Zeile der Tabelle, in der der radiale Rest positiv ist; seine Seitenlast wird nicht vom Fluiddruck getragen, sondern von seiner Form, einer breiten heißen Basis, die auf einer breiteren Birne steht.

Abbildung 3 zeigt die beiden Größen, die die Prüfung entscheiden, während sich der Durchgang verbreitert. Die marineblaue Kurve, der radiale Rest, steigt von tief unter null an und kreuzt die Null bei etwa 1,017 km; rechts von der gestrichelten Linie besteht die radiale Bilanz. Die rote Kurve, die Seitenspannung, fällt mit der Breite, bleibt aber durchweg bei mehreren Gigapascal — eine Seitenlast, die Druck allein nicht tragen kann. Der Kasten oben hält den Preis des Bestehens fest: Der äußere Abschnitt wiegt am Schwellenwert bereits 0.46 eines Mondes und bei 1,500 km einen vollen Mond.

Was wir nun haben: Der Druck des Mutterkörpers reicht aus, um eine Säule leichter Schmelze bis zum Korotationsradius zu halten; ein Durchgang von einigen hundert Kilometern oder mehr kann die Mondmasse im Szenariofenster tragen; das Heben kostet in der Größenordnung von $10^{30}$ J, einen kleinen Teil dessen, was das absinkende Eisen freisetzt. Doch die Verbindung, die alle drei in einem Zustand erfüllt, ist keine dünne Röhre. Sie ist breit, heiß und massiv, und sie trägt ihre Seitenlast durch ihre Form. Teil B beschreibt diese Form von außen.

Teil A verfolgte das Material, das im Inneren des Körpers aufsteigt: die tiefe Quelle, den Druck, der es antreibt, und Rate und Energie der Speisung. Dieser Teil betrachtet denselben Körper von außen. Seine Frage ist einfach zu stellen: Was geschieht mit der äußeren Haut der Erde über der Aufbauregion, während der Körper unter und über ihr gebaut wird, und wo landet jedes Stück dieser Haut auf dem Mond, den wir heute sehen? Die Antwort ist der geometrische Kern des Modells. Sie wird hier in vier Schritten aufgebaut, einer pro Stufe, und das Bild in jedem Schritt wird durch Zahlen festgelegt, bevor der nächste Schritt getan wird.

Der ganze Teil ruht auf einem Bild, und es hilft, es von Anfang an festzuhalten. Die äußere Schale der Erde bleibt nicht zurück, während der Körper aufsteigt; sie steigt mit dem Körper als Haut seiner oberen Kuppel auf. Der Körper selbst ist kein frei schwebender Ball, sondern ein gestauchter Ball, der auf der Spitze der Birne ruht: zwei Kuppeln, übereinander — eine untere Kuppel, die sich von oben an die gerundete Spitze schmiegt, und eine obere Kuppel, die hoch über ihr steht. Wenn sich der Körper später nach außen zu einem Ball rundet, behält jeder Teil seiner Oberfläche seinen Anteil am Ganzen, und so lässt sich jeder Teil bis auf den heutigen Mond verfolgen.

Die vier Stufen und wie sie in die Serie passen. Diese Arbeit nummeriert ihre eigenen Stufen: Stufe 1, die flache Stufe (§B.1); Stufe 2, der Körper auf der Spitze der Birne (§B.2); Stufe 3, die Rundung nach außen (§B.4); Stufe 4, die Abplattung, die Rundung nach innen und die Ablösung (§§B.6, C.4–C.8). Die Serie als Ganzes nummeriert die Geschichte des Mondes in den Stufen 0–8: 0 vor der Aufwölbung, 1 die Aufwölbung, 2 die Kuppel, 3 die Birne, 4 die Rundung (nach außen, dann Abplattung, dann nach innen), 5 die Ablösung, 6 das Schicksal der Birne, 7 das Zurückweichen, 8 heute. Die beiden Nummerierungen entsprechen einander wie folgt. Stufe 1 dieser Arbeit ist Serienstufe 0 und der Beginn der Aufwölbung, solange die Schale noch flach über der Speisung liegt. Stufe 2 ist die Aufwölbung, die Kuppel und die Birne (Serienstufen 1–3), gesehen in dem Moment, in dem der Körper als Kuppel auf der Spitze der Birne sitzt. Stufe 3 ist der erste Teil von Serienstufe 4, die Rundung nach außen. Stufe 4 ist der Rest von Serienstufe 4 — die Abplattung und die Rundung nach innen — zusammen mit Serienstufe 5, der Ablösung. Serienstufe 6, das Schicksal der Birne, ist Teil E dieser Arbeit; Stufe 7, das Zurückweichen, ist Paper 4, Die Umlaufbahn; Stufe 8, der heutige Mond, ist der Ort, an dem §§B.4–B.7 jede Region der Oberfläche verorten.

B.1 Stufe 1 — die flache Stufe und die zusammengezogene Schale

Bevor der Körper aufsteigt, liegt die äußere sialische Schicht des Mutterkörpers über der Aufbauregion flach, über einer aktiven Speisung. „Sialisch“ bezieht sich auf Sial, die leichte obere Schicht der Erdkruste, reich an Silizium und Aluminium; darunter liegt Sima, die dichtere, an Silizium und Magnesium reiche Schicht. Tiefes Material erreicht das Sial durch Öffnungen und wird durch sie ausgeworfen; ein Teil der Auswürfe kehrt zurück und landet auf der exponierten Schale, wo er Krater erzeugt (Paper 6, Die Krater). Die Schale ist in dieser Stufe die Quelle der Kruste des Mondes und seines frühesten Kraterbefunds. Das ist wichtig, weil es bedeutet, dass die älteste Oberfläche des Mondes nicht auf dem Mond entstand: Sie entstand hier, auf der Erde, bevor der Körper existierte, und wurde später hinaufgetragen.

Die anfängliche Fläche der Schale, die die Kuppel bilden wird, unterscheidet sich von der Oberfläche der entstehenden Kuppel. Das pazifische Becken in der Rekonstruktion des Autors (Abbildung 4) — etwa $1.65\times10^{14}$ m² mit seinen Randmeeren, etwa $1.0\times10^{14}$ m² ohne — ist 1.4- bis 2.4-mal so groß wie die Oberfläche der oberen Kuppel in Stufe 2 ($7.0\times10^{13}$ m², siehe unten). In diesem Bild wurde die Schale über der Region beim Entstehen der Kuppel in der Fläche um einen Faktor von bis zu etwa zwei nach innen zusammengezogen, so wie ein flach auf einem Tisch liegendes Tuch sich nach innen zusammenzieht, wenn man seine Mitte anhebt. Das Becken markiert daher die Herkunftsfläche des zusammengezogenen Materials, nicht den Grundriss der Kuppel selbst. Dies ist eine Lesart eines heutigen Merkmals, und die Arbeit nennt ihre Schwierigkeit wie schon Paper 2: Der heutige Boden des Beckens ist jünger als 180 Myr, und die Lesart bezieht sich auf eine hemisphärische Asymmetrie der Lithosphäre darunter — der starren äußeren Schicht der Erde, Kruste und oberster Mantel, die älter und tiefer verwurzelt ist als der Meeresboden, der sie heute bedeckt.

Die Basis der Birne und ihre Rückseite. Die in Abbildung 4 markierte Region ist die Birne von oben gesehen, wie sie sich neigte, nicht ihr Fuß. Die Basis der Birne lag im Osten, in Richtung Amerika, und über ihre ganze Breite trug sie Öffnungen — in die Birne und durch sie weiter zum Mond: In der Rekonstruktion des Autors liegt ihr Zentrum nahe Kiritimati, in den Line Islands von Kiribati — bei den Dörfern London, Paris und Poland — bei etwa 1.9°N, 157.5°W — etwa 4,800 km ostsüdöstlich der früheren Lesart.

Die Birne stand nicht aufrecht, und der Grund ist die Rotation der Erde. Als sie ausgezogen wurde, blieb ihr äußerer Teil, von der Achse weggetragen, hinter der Drehung der Erde zurück, so wie die Arme einer Eiskunstläuferin zurückbleiben, wenn sie sie ausbreitet, und die ganze Birne neigte sich zurück, nach Westen, ihre Spitze und der Mond darauf nachschleppend (§C.8). Sie neigte sich auch nach Norden: Von einer Basis nahe dem Äquator reichte ihre Spitze bis etwa 22.5°N, die Ablösungsbreite aus Paper 4. Diese Neigung nach Norden kommt nicht von der Rotation — in jeder Breite ist ihr seitlicher Schub zum Äquator gerichtet —, sie kommt von der Speisung: Die tiefe Quelle, die konzentrierte Speisungsregion aus §A.4, liegt nördlich des Äquators, und die Speisung stieg schräg von ihr auf, nördlich der Basis, und trug die Birne mit sich nach Norden (§D.1).

Die Westseite der Birne, unter der heute Japan liegt, ist ihre Rückseite, die nach der Ablösung in die Erde zurückgeführt wurde; die Vorderseite der Birne, beim Neigen unter Zug gedehnt, wurde in die Streifen von Paper 9, Die Streifen, zurückgeführt. Paper 9 verortet auch den Abdruck der Spitze selbst: zwischen zwei Biegungen der Streifen, eine 3,360 km breite Region mit Zentrum bei 9.3°N, 169.3°E, nach den Koordinaten etwa 3,760 km westlich der Basis (eine frühere Fassung gab 3,770 km an) — die Richtung, in die die geneigte Birne ihre Spitze trug —, während die zusammengezogene Rückseite in den Bögen des westlichen Pazifiks liegt. Die 22.5°N der Spitze bei der Ablösung und die 9.3°N dieses Abdrucks sind verschiedene Größen: Die erste ist die Richtung des Mondzentrums vom Erdmittelpunkt aus bei der Ablösung, die zweite der Abdruck der eingezogenen Spitze auf der heutigen Oberfläche, etwa 15° nördlich des Äquators des Streifensystems; sie werden in verschiedenen Bezugssystemen gemessen, und die Beziehung zwischen den beiden Bezugssystemen — die Achsen — ist künftige Arbeit. Die Birne verließ die Masse der Erde nie. Sie ging bei der Ablösung nicht verloren; nach der Ablösung führte die Sortierung sie allmählich, über Dutzende bis Hunderte Millionen Jahre, in die Erde zurück — ihren schweren Teil tief in die Erde unter der Basis der Birne (Teil E), ihre vordere Seite in die Streifen des Nordpazifiks und ihre Rückseite in die Bögen des westlichen Pazifiks. Die Masse bewegte sich von hoch außerhalb der Erde nach tief in ihr Inneres. Die Basis liegt über der pazifischen großen Provinz niedriger Geschwindigkeit am Boden des Mantels — einer ausgedehnten, in seismischen Bildern sichtbaren Region, durch die Erdbebenwellen langsamer laufen als im umgebenden Mantel — in veröffentlichten Karten dieser Provinz, die von nahe Hawaii nach Süden reicht; der gemessene Abstand von der Basis zum Zentrum und Rand der Provinz wird in §E.4 angegeben. Die Natur der tiefen Provinzen bleibt offen.

Abbildung 4 ist als Ansicht eines geneigten Objekts von oben zu lesen. Die markierte Fläche im nördlichen Zentralpazifik ist der Ort, an dem der Leib der Birne über der Erde lag, als sie sich nach Westen zurückneigte; der Fuß der Birne, wo sie aus der Erde aufstieg, lag östlich davon, nahe Kiritimati, dicht am Äquator. Die beiden in der Legende genannten Ränder begrenzen die Herkunftsregion auf der asiatischen und der amerikanischen Seite.

Was wir nun haben: eine flache Sialschale über einer aktiven Speisung, die bereits Krater von zurückkehrendem Material trägt, nach innen aus einer Region von der Größe des Pazifiks zusammengezogen, und den Ort, an dem die Birne später stand und sich neigte.

B.2 Stufe 2 — der Körper auf der Spitze der Birne

Die Frage dieses Abschnitts ist die Form des Körpers in dem Moment, in dem er erstmals ein Körper ist: wie groß er ist, wie sich seine Oberfläche aufteilt und wie dicht er sein muss. In der Zwischenstufe sitzt der Körper auf der Spitze der Birne aus §C.7, und die Spitze ist breit: Der Kontakt hat 6,000 km Durchmesser. Der Körper ist ein gestauchter Ball, der auf der gerundeten Spitze der Birne sitzt. Seine untere Kuppel liegt auf der gekrümmten Spitze und folgt ihr — die Spitze, mit einem Krümmungsradius von etwa 4,000 km, dringt unter der Mitte des Kontakts rund 1,350 km in den Körper ein —, und seine obere Kuppel erhebt sich darüber: zwei Kuppeln, übereinander, die untere an die Spitze geschmiegt. Die Zahl 1,350 km folgt aus der Geometrie: Eine gekrümmte Fläche mit Radius etwa 4,000 km, die eine Sehne von 6,000 km überspannt, erhebt sich in ihrer Mitte etwa 1,350 km über die Linie ihres Randes. Die Unterseite des Körpers ist also nicht flach; sie wird von unten von der Spitze hochgedrückt, wie eine über einen Kopf gezogene Mütze. Ihre Geometrie, für die volle Mondmasse:

Die Tabelle vergleicht dieselbe Masse — die volle Masse des Mondes — in drei Zuständen. Von links nach rechts gelesen wird der Körper kleiner und dichter. Auf der Spitze der Birne ist er groß und leicht, sein Volumen etwa zweieinhalbmal so groß wie heute; als Kugel bei der Ablösung beträgt sein Radius 1,890 km und seine Dichte 2,600 kg/m³; heute beträgt sein Radius 1,737 km und seine Dichte 3,344 kg/m³. Die erste Spalte von oben nach unten gelesen: Zwei Drittel der Oberfläche auf der Spitze der Birne sind die obere Kuppel, ein Drittel ist die untere Kuppel, die auf der Spitze ruht. Diese beiden Anteile sind der Ausgangspunkt der Übertragungsregel aus §B.4.

Die Höhe der oberen Kuppel wird durch die Dichte bestimmt, weil die Masse feststeht: Je höher die Kuppel über demselben Kontakt, desto größer das Volumen und desto niedriger die Dichte. Dieselbe Masse über demselben Kontakt hat eine Dichte von etwa 2,000 kg/m³, wenn ihre obere Kuppel so hoch wie eine Halbkugel ist, 3,000 km, und die heutigen 3,344, wenn sie 2,450 km hoch ist, die niedrigstmögliche Höhe (Abbildung 7) — niedrigstmöglich, weil ein Körper von Mondmasse nicht dichter sein kann als der Mond heute. Wir übernehmen die hohe Kuppel: 1,300 kg/m³ ist der aufgeschäumte Startzustand, den die Druckprüfung aus Teil A erfordert — gegenüber den dort angenommenen 1,500 —, und es ist die Dichte, bei der die Abplattung aus Paper 7, Die Pole, beginnt. „Aufgeschäumt“ bedeutet eine Schmelze voller Gasblasen, so wie ein aufgehender Teig leichter ist als das Mehl und Wasser, aus denen er besteht; eine leichte Säule ist das, was der Quelldruck aus Teil A bis zur Korotationslinie heben kann. Der Körper ist aufgeschäumt, und seine obere Kuppel steht hoch.

Die untere Kuppel ist der Kontakt mit dem Mutterkörper: $3.4\times10^{13}$ m². In dieser Stufe ist die Eigengravitation des Körpers — der Zug seiner eigenen Masse, der ihn zusammenhält — klein gegenüber der Gezeitendehnung durch den Mutterkörper, dem Unterschied zwischen dem Zug der Erde auf der zugewandten und der abgewandten Seite des Körpers, der ihn auszuziehen sucht: Das Verhältnis aus §C.4 beträgt etwa 0.11 (wobei die Größe des Körpers als seine volle Höhe von etwa 5,000 km genommen wird, bei einem Zentrum etwa 13,000 km vom Erdmittelpunkt; für die äquivalente Kugel von 2,381 km wäre das Verhältnis etwa 1), sodass der eigene Zug des Körpers etwa ein Neuntel der Dehnung über seine volle Höhe beträgt. Der Körper wird daher gehalten; er ist eine Kuppel auf der Spitze, noch kein eigener Körper.

Abbildung 5 ist die Geschichte dieses Teils in fünf Bildern, in ihrer nummerierten Reihenfolge zu lesen. Ihre Felder sind als Bilder nummeriert, nicht als Stufen: Feld (1) ist Stufe 2 dieser Arbeit, Feld (2) ist Stufe 3, die Felder (3) und (4) sind Stufe 4, und Feld (5) ist der heutige Mond. Man betrachte zuerst die beiden Kuppeln in Feld (1) und die Linie, an der die untere Kuppel auf die Spitze trifft; dann folge man dieser Linie, wie sie in Feld (2) nach innen schrumpft, und dem Umriss des Körpers, wie er sich in Feld (3) abplattet und in Feld (4) wieder rundet. Die Rundung nach innen ist abgeschlossen, bevor der Körper sich entfernt: Bei der Ablösung war der Körper rund, seine äußere Schale starr (Paper 2, §B.7: Achsenverhältnis höchstens 1.04).

B.3Was sich bewegt und was nicht

Wer sich eine Kruste vorstellt, die Tausende von Kilometern von der Erde zum Mond wandert, wird fragen, welche Kraft eine Kruste so weit trägt. Die Schale wandert tatsächlich, aber sie wird nicht über den Mutterkörper geschleift: Sie steigt mit dem Leib der Birne auf, und zugleich löst sie sich langsam vom Sima unter ihr und gleitet die Birne hinauf zu ihrer Spitze, in den Körper. Die Kräfte der Rotation treiben sie an, in Richtung der Sortierung nach außen, und die geschmierte Schicht zwischen Sial und Sima erleichtert das Gleiten unter Scherung (§C.10). Deshalb trennt sich die Spitze als eigener Körper ab. (Das Zusammenziehen nach innen aus §B.1 gehört zu Stufe 1, vor der Kuppel.)

Was sich während Stufe 3 zusammenzieht, ist der Ring der unteren Kuppel — der Ring der Unterseite des Körpers zwischen dem Rand des Kontakts und seinem Zentrum, die exponierte Oberfläche des Körpers, keine Schale: vom Rand bei 3,000 km Radius bis zum Kontakt bei 1,500 km, etwa 1,500 km Bewegung nach innen über die ganze Stufe 3, an derselben schwachen Grenzfläche. Die Kuppel erfordert eine geschichtete rheologische Struktur — „rheologisch“ bedeutet, wie jede Schicht unter Last fließt: eine steife, kalte Schale ($\eta\gtrsim10^{23}$ Pa s, der Wert, der einen 100-km-Krater daran hindert, in $10^7$ yr bei $g=8.25$ zu relaxieren) über einem beweglichen Inneren, mit der schwächsten Schicht an ihrer Grenzfläche. Hier ist $\eta$ die Viskosität, der Widerstand eines Materials gegen das Fließen — Honig hat eine höhere Viskosität als Wasser, und eine kalte Schale eine ungeheuer viel höhere als beide; eine Schale von $10^{23}$ Pa s hält die Form eines 100 km breiten Kraters zehn Millionen Jahre lang, ohne einzusinken. Das Abschälen des Kontakts von 6,000 auf 3,000 km und die Rundung des Körpers dauerten Millionen von Jahren: langsam am Anfang, über Hunderte Millionen Jahre, und schneller gegen Ende, über Dutzende Millionen Jahre; der zeitliche Ablauf der Schale ist der zeitliche Ablauf des Aufstiegs.

Die Schwerkraft des sich entwickelnden Körpers hält die Schale an seiner Oberfläche. Am Scheitel der oberen Kuppel beträgt die eigene Schwerkraft des Körpers etwa 0.9 m/s² (für die äquivalente Kugel, 2,381 km bei 1,300 kg/m³ — die Kugel gleichen Volumens) und steigt auf 1.37 m/s² am geschlossenen Körper bei 1,890 km. Auf einer Oberfläche, die um den Massenschwerpunkt des Körpers zentriert ist, steht diese Schwerkraft senkrecht auf der Oberfläche — sie weist gerade nach unten in den Körper — und hält die Schale; sie wird nicht als tangentialer Antrieb gezählt; das Gleiten des Sials zur Spitze wird von den Kräften der Rotation angetrieben.

B.4 Stufe 3 — die Rundung nach außen, der Kontakt und die Übertragungsregel

Dieser Abschnitt beantwortet die zentrale Frage von Teil B: Wenn der gestauchte Körper zu einem Ball wird, wohin geht jeder Teil seiner Oberfläche? Der Körper ist die Last auf der Spitze der Birne aus §C.7, und die Stufen 3 und 4 sind dieselbe Spitze, ausgezogen, während der Körper auf ihr sich rundet und abgelöst wird. Mit wachsender Eigengravitation rundet sich der Körper nach außen (§C.4): Der gestauchte Körper wird zu einem Ball, bei konstantem Volumen und ohne Ausdehnung. Der Kontakt verengt sich von 6,000 auf 3,000 km und bleibt verbunden; der Rest der unteren Kuppel, der Ring zwischen beiden, löst sich langsam, indem er sich vom Rand nach innen mit dem Sial abschält, auf dem er saß (§C.4a) — so wie ein weicher, halb entleerter Ball, der auf die Oberseite einer gerundeten Stütze gedrückt ist, sich beim Aufpumpen vom Rand nach innen von ihr abschält. Der Prozess ist kontinuierlich und braucht Zeit. An seinem Ende wird der Körper über einer Scheibe gestützt, die breit genug ist, dass die Verbindung eine Schicht statt eines Halses ist (§C.5).

Was die Oberfläche des Körpers auf der Kugel wird, legt eine Regel fest: Bei der Rundung nach außen behält jeder Teil seinen Anteil an der Oberfläche.

Die Regel besagt, dass ein Teil, der 7% der Oberfläche des gestauchten Körpers bedeckt, 7% der Oberfläche des Balls bedeckt, und so für jeden Teil. Auf einer Kugel ist ein von einem Punkt aus gemessener Anteil der Oberfläche ein fester Winkel von diesem Punkt: Eine Kappe, die 7% einer Kugel bedeckt, reicht etwa $31^\circ$ von ihrem Zentrum, und eine Kappe, die 33% bedeckt, reicht etwa $70^\circ$. Der Punkt, von dem aus die Winkel gemessen werden, ist das Zentrum des Kontakts — die Spitze der Birne, bei etwa 22–24°N. Die Zonen werden um 24.1°N 335.2°E berechnet, das Zentrum des Kontakts, wie der Autor ihn umrissen hat, 34.0° vom subterrestrischen Punkt. Die Tabelle wendet die Regel auf die drei Teile des Körpers an:

Die Farben der Tabelle verlaufen von der Erde nach außen: Rot für den Kontakt, den Teil, der die Erde bis zum Ende berührte; Orange für den Ring, der während der Rundung abgeschält wurde; Blau für die obere Kuppel, von Anfang an dem Weltraum ausgesetzt. Jede Zeile wird von links nach rechts gelesen: der Teil, seine Fläche auf der Spitze der Birne, sein Anteil am Ganzen und die Winkel, die er auf dem Ball einnimmt. Kontakt und Ring zusammen ergeben die 33% der unteren Kuppel; die obere Kuppel ist der Rest von 67%. Eine Kappe von $31^\circ$ hat auf dem heutigen Mond etwa 1,900 km Durchmesser.

Der Ball hat eine kleinere Oberfläche als der gestauchte Körper gleichen Volumens — $7.1\times10^{13}$ m² gegenüber $1.04\times10^{14}$, ein Faktor 0.68 in der Fläche und 0.83 in der Länge —, und da jeder Teil seinen Anteil behält, ist die Änderung überall gleich: Sie verschiebt keine Zone und keinen Krater relativ zu einem anderen. Ein Ball hat für sein Volumen stets die kleinste Oberfläche; die Rundung nach außen verkleinert daher die Oberfläche, aber gleichmäßig, so wie ein verkleinert abgezogenes Foto jede Figur an ihrem Platz behält. Die Expositionsfolge des Aufbaus ist auf dem Mond als drei konzentrische Zonen um das Kontaktzentrum geschrieben:

• Die Kappe von etwa $31^\circ$ war der Kontakt; sie wurde bis zur Ablösung nicht ganz bedeckt: Serenitatis schälte sich zuerst von ihr ab, und Imbrium wurde als letztes abgetrennt.

• Der Gürtel von $31^\circ$ bis $70^\circ$ war der abgeschälte Ring — das Sial, auf dem der Körper saß, vom Mutterkörper abgeschält, als der Kontakt vom Rand zur Scheibe schrumpfte —, exponiert während der Rundung nach außen.

• Die Rückseite, jenseits von $70^\circ$, war die obere Kuppel: durchgehend Schale, ab der flachen Stufe exponiert, ihre Krater hinaufgetragen.

Die Winkel bleiben durch die späteren Stufen erhalten, denn was auf die Rundung nach außen folgt — die Abplattung und die Rundung nach innen (Paper 7) —, verändert die Pole gegenüber dem Äquator, nicht die Vorderseite gegenüber der Rückseite. Bei der Abplattung verbreitert die Rotation den Körper an seinem Äquator und senkt ihn an seinen Polen, und bei der Rundung nach innen wird dies rückgängig gemacht; beide wirken symmetrisch um die Rotationsachse und lassen die Teilung zwischen Vorder- und Rückseite, wo sie war. Die Arbeit übergibt die Zonen an Paper 11, Die Anforderungen, als eine an den Becken zu prüfende Anforderung; die Gleichsetzung der Kappe mit der Region Procellarum ist die von Paper 11, nicht die dieser Arbeit.

Die beiden Regionen auf dem heutigen Mond. Die Basis des Hügels und der letzte Kontakt lassen sich beide auf der heutigen Vorderseite einzeichnen, nach ihren Umrissen auf der LROC-Karte (der Karte der Lunar Reconnaissance Orbiter Camera):

Die Tabelle schachtelt drei Regionen, jede innerhalb der darüber stehenden. Der Hügel, die Basis der Aufwölbung, auf der der Körper in Stufe 2 saß, enthält 99% der Maria der Vorderseite — der dunklen Ebenen der Vorderseite; der Kontakt, die letzten 3,000 km, die verbunden blieben, enthält zwei Drittel davon; und Mare Imbrium liegt innerhalb des Kontakts.

Beide Regionen liegen auf der Vorderseite, der Kontakt innerhalb des Hügels und Mare Imbrium innerhalb des Kontakts: Der Druck und die Speisung, die aus dem Erdinneren aufstiegen, traten durch Imbrium und Serenitatis in den Körper ein; Serenitatis schälte sich zuerst ab, und Imbrium blieb bis zur Abtrennung verbunden, das letzte Glied. Imbrium liegt innerhalb des Kontakts, nicht notwendigerweise in seinem Zentrum. Die Winkel der Regel werden um das Kontaktzentrum gemessen, 24.1°N 335.2°E; die Regel legt die Größe der Zonen fest, die Umrisse legen fest, wo sie heute liegen. Die beiden Arten von Information werden absichtlich getrennt gehalten: Die Regel ist eine Rechnung mit Anteilen und braucht keine Karte; die Umrisse sind eine Lesart der Karte und sagen, wo die berechneten Zonen liegen.

Abbildung 6 ist die Tabelle der Übertragungsregel als Zeichnung. In Feld A suche man jeden der drei Teile des gestauchten Körpers heraus; in Feld B finde man denselben Teil auf dem Ball. Zu sehen ist, dass nichts seine Reihenfolge ändert: Der Kontakt, im Zentrum der Unterseite, wird zur Kappe im Zentrum der Vorderseite; der Ring um ihn wird zum Ring um die Kappe; und die obere Kuppel umhüllt den Rest des Balls.

Abbildung 7 zeigt die in §B.2 verwendete Beziehung zwischen der Höhe der oberen Kuppel und der Dichte des Körpers. Man betrachte die drei in der Legende genannten Fälle. Je höher die Kuppel, desto niedriger die Dichte; die angenommene Kuppel steht am leichten Ende, wo der Körper die aufgeschäumte Dichte hat, die Teil A erfordert.

Abbildung 8 überträgt die Regel auf den realen Mond. GRAIL, die Schwerefeldmission mit zwei Raumsonden, kartierte das Schwerefeld des Mondes und über dieses die Dicke seiner Kruste. Die blaue Linie markiert, wo die Basis des Körpers von Stufe 2 — der Rand der unteren Kuppel — heute liegt; die schwarze Linie markiert den letzten Kontakt. Man betrachte die dunklen Maria: Fast alle liegen innerhalb der blauen Linie, die meisten innerhalb der schwarzen.

Was wir nun haben: eine Regel, die die Geometrie des Körpers auf der Spitze der Birne in eine Karte des Mondes übersetzt — eine Kappe der Vorderseite, einen Gürtel um sie und eine Rückseite —, wobei jede Zone zu einer anderen Zeit exponiert wurde.

B.5Die Öffnungen

Die Schale ist nicht durchgehend. Die Speisung aus Teil A erreicht die Kuppel durch Öffnungen, und Material wird durch sie ausgeworfen; in Stufe 1 sind sie die Maria der flachen Schale, in Stufe 2 werden jene auf der oberen Kuppel exponiert, während sie aufsteigt, und jene unter der unteren Kuppel bleiben bis zur Ablösung bedeckt. Die Öffnungen unterscheiden sich daher danach, wann sie exponiert wurden und was durch sie hindurchging. Die Öffnungen auf Scheitel und Flanke waren aktiv, solange sie exponiert waren, und Material wurde durch sie nach außen ausgeworfen. Die Öffnungen unter der unteren Kuppel — die Maria der Vorderseite — waren innere Durchgänge: Solange sie bedeckt waren, trugen sie den Druck der Erde durch die Birne in die Maria, die wir sehen, und von dort in den Mond, und Material ging durch sie hindurch wie durch ein Rohr.

Serenitatis wurde vor Imbrium exponiert, und als es exponiert wurde, war es noch leicht aktiv: Im Ring um es herum sieht man Spritzer, aber keine Riesenkrater. Große Krater werden von großem Material erzeugt, das vom Druck hinausgetrieben wird; die kleinen Krater in den Ringen um die Maria stammen von Blasenbildung und Spritzern, von denen die meisten in das Mare zurückkehren, während ein kleiner Teil an seinem Rand landet und dort seine Spur hinterlässt. Imbrium wurde als letztes exponiert. Sobald es exponiert war, hörte der innere Druck des Mondes auf — nicht sofort, aber rasch — und mit ihm das Aufplatzen der lunaren Maria. Die Erde setzte ihre eigene Aktivität fort und warf weiter Material in alle Richtungen, das meiste davon klein; ein Teil davon kehrte zur Erde zurück, und ein Teil landete auf dem Mond. Deshalb bedecken kleine Krater den ganzen Mond, die Vorderseite eingeschlossen (§C.11).

Die Beobachtungsform dieses Bildes — welche Becken welche sind und welche Signatur jedes tragen sollte — ist eine Sache des lunaren Befunds und wird in Paper 11 untersucht; hier treten die Öffnungen nur als die Orte auf, an denen die Speisung aus Teil A auf die Schale aus Teil B trifft.

B.6Der auf dem Körper getragene Befund

Ein Krater, der von zurückkehrendem Material in der Schale erzeugt wurde, während die Schale in Stufe 1 exponiert lag, oder auf der oberen Kuppel in Stufe 2, wandert mit der Schale, während der Körper sich rundet. Dies ist Stratigraphie — das Lesen der Reihenfolge aus dem, was auf was liegt —, keine neue Physik: $t_{\mathrm crater}<t_{\mathrm cover}$ für den betreffenden Abschnitt. In Worten: Ein Krater, der entstand, bevor sein Stück Oberfläche bedeckt oder getragen wurde, wird mit ihm getragen. Der Befund überdauert, wenn die Schale ihre Form behält, was die Anforderung ist, die sie zur Schale macht: eine Viskosität in der Größenordnung von $10^{23}$ Pa s oder mehr an der Oberfläche über die $10^7$ yr des Aufstiegs. Die Schale versteifte sich früh, im ersten Teil des magmatischen Sturms; eine steife Schale wurde weder gedehnt, als der Körper wuchs, noch zusammengedrückt, als er sich rundete, und die Krater auf ihr behielten ihre Größe.

Der Befund wird in drei Stufen geschrieben:

Bei der Rundung nach außen ändern sich die bereits vorhandenen Krater mit der Oberfläche, überall gleich, und neue kommen weiter hinzu; die Pole werden gebildet.

Bei der Abplattung, die folgt, entstehen die meisten Krater, und die größten: Die Differentiation ist fortgeschritten, das ausgeworfene Material ist wasserreich, und die bereits gebildeten Pole erhalten mehr.

Bei der Rundung nach innen, während die Abplattung nachlässt und der ganze Körper sich verdichtet, behalten die Krater ihre Größe, und die Oberfläche zwischen ihnen schließt sich, am stärksten an den Polen, die sie sammeln (Paper 7) — so wie sich die Abstände zwischen auf ein Tuch genähten Knöpfen schließen, wenn das Tuch gerafft wird, während die Knöpfe gleich groß bleiben.

Der Gürtel und die Kappe lagen unter der unteren Kuppel und erhielten vor ihrer Exposition keine Krater; ihre ältesten Populationen sind jünger als die der Rückseite. Eine Rückseite, deren älteste Population die dichteste ist, ein Gürtel mit weniger dichter und eine Kappe mit der dünnsten, ist das, was die Regel vorhersagt, und es wird in Teil D mit seiner Prüfung genannt. Dies ist die Prüfung, die die Übertragungsregel dem Mond übergibt: Die Reihenfolge, in der die Zonen exponiert wurden, muss sich in der Reihenfolge ihrer ältesten Krater lesen lassen.

Hinter den Kulissen. Eine frühere Fassung dieses Teils ließ die Rückseite sich auf ein Drittel ihrer Fläche schließen, wobei ihre Krater um 0.58 schrumpften und ihre Dichte sich verdreifachte. Die Krater wurden direkt befragt, mit Maßen, die eine Maßstabsänderung verschieben würde — dem Durchmesser des Übergangs von einfachen zu komplexen Kratern, den größten Kratern auf gleicher Fläche, den alten gegenüber den frischen (Paper 7, §D.5). Kleine Krater sind einfache Schüsseln; oberhalb eines bestimmten Durchmessers entwickeln sie terrassierte Wände und Zentralberge, und dieser Übergangsdurchmesser hätte sich geändert, wenn die Oberfläche, die sie trägt, zusammengedrückt worden wäre. Zwischen dem Hochland der Rückseite und dem der Vorderseite finden sie keinen Maßstabsunterschied: Der Übergang liegt auf der Rückseite bei 16.5–17.1 km und auf der Vorderseite bei 14.3–15.1 km. Die Geometrie von §§B.2–B.4 folgt daraus.

B.7Die Massen- und Dickenbilanz

Die letzte Frage von Teil B ist, ob sich die Kruste, die der Mond tatsächlich hat, auf diese Weise bilden lässt, sowohl in ihrer Masse als auch in ihrer ungleichen Dicke. Heute gemessen beträgt die Kruste der Rückseite — nach GRAIL etwa 55 km dick, bei 2,550 kg/m³ über der abgewandten Hemisphäre — etwa $2.6\times10^{21}$ kg, 3.5% des Mondes (eine frühere Fassung gab $2.7\times10^{21}$ kg und 3.6% an; neu berechnet in Paper 11, §B.3). Dies sind Beobachtungen der Kruste, wie sie heute ist, nicht die Dicke einer Modellschale. Im Modell besteht die Kruste der Rückseite aus vielen Schichten verdichteten Sials. Zwei Zufuhren bauten sie, Schicht auf Schicht, auf der oberen Kuppel auf: das Sial des Mutterkörpers, das die Birne über das Sima hinaufglitt und sich an ihrer Spitze sammelte (§C.10), und das durch die Öffnungen ausgeworfene Material, das immer wieder auf den abgewandten Teil des Körpers zurückkehrte.

Der Auswurf hörte nie auf, und die Differentiation — die Trennung des tiefen Materials nach Dichte, wobei schweres Eisen absinkt und leichtes, an flüchtigen Stoffen reiches Material aufsteigt — schritt mit der Zeit voran. Während sie voranschritt, war das austretende Material immer leichter und reicher an Fluiden: Bei der Abplattung bestanden die Ausflüsse aus relativ leichtem irdischem Material, voller Wasser. Jede früher abgelagerte Schicht trat weniger sortiert aus und trägt daher mehr Eisen als die Schichten über ihr. Die Kruste der Rückseite ist daher nach Alter und Sortierung geschichtet, und ihr Eisengehalt steigt mit der Tiefe: Je tiefer die Schicht, desto früher entstand sie und desto reicher ist sie an Eisen — und desto dichter. Das ist eine Vorhersage, abzulesen an der Zusammensetzung von Zentralbergen der Krater gegenüber ihrer Herkunftstiefe (§D.1).

Die Vorderseite trägt eine Kruste von 30–35 km — das abgeschälte Sial des Rings und, über dem Kontakt, eine durch Wärme und Schwerkraft geglättete Kruste —, etwa $1.5\times10^{21}$ kg mehr bei derselben Dichte (eine frühere Fassung gab $2\times10^{21}$ kg an, was die Summe auf 6.3% brächte); zusammen sind sie die 4–6% der Mondmasse, die GRAIL-Modelle für die ganze Kruste angeben [4]. Die übrigen 94–96% der Mondmasse sind das tiefe Material aus Teil A — eine Aufteilung, die aus dem früheren Bild der Schale abgeschätzt ist und für die geschichtete Kruste neu zu berechnen ist —, und das Metall, das das Innere für einen Kern von 1.4% tragen muss, ist eine Anforderung an die Speisung aus Teil A, nicht an die Kruste (Paper 11, R2). Die Bilanz zeigt daher, dass die Kruste, die die beiden Zufuhren außen aufbauen, ein kleiner Bruchteil des Mondes ist und der Großteil der Masse das ist, was Teil A von innen hebt.

Die Rückseite ist dicker als die Vorderseite (Abbildung 9), weil beide verschieden gebaut wurden: Die obere Kuppel, durchgehend exponiert, sammelte Sial und zurückkehrendes Material Schicht auf Schicht; die untere Kuppel trug nur das Sial, auf dem sie saß, und verlor in ihrem Zentrum selbst dieses an die Hitze des Kontakts. Die Vorderseite ist dort am dünnsten, wo sie geöffnet ist: Die Maria sind die Öffnungen aus §B.5, und die Kruste unter ihnen ist dünn, weil sie Öffnungen sind. Die Kruste der Rückseite ist die ältere und die dickere; die Grenze zwischen beiden liegt am Rand der unteren Kuppel (§B.4).

Abbildung 9 ist eine flach abgerollte Karte des ganzen Mondes, die Vorderseite in der Mitte und die Rückseite auf die beiden Ränder aufgeteilt; LOLA ist der Laseraltimeter, der die Höhen der Oberfläche vermaß. Man betrachte die Farben von der Mitte nach außen: Blau unter den Maria der Vorderseite, in der Mitte der Karte, wo der Kontakt und die Öffnungen lagen; Rot und Weiß zu beiden Rändern hin, auf der Rückseite, wo die obere Kuppel ihre Schichten sammelte. Die Karte ist die Übertragungsregel, gesehen in der Dicke der Kruste.

Was Teil B ergeben hat: Die Kruste des Mondes und seine ältesten Krater kamen von der äußeren Schale der Erde, die als Haut der oberen Kuppel aufstieg; der Körper saß als zwei Kuppeln auf der Spitze der Birne; als er sich nach außen rundete, behielt jeder Teil seinen Anteil an der Oberfläche, sodass der Kontakt zu einer Kappe der Vorderseite wurde, der abgeschälte Ring zu einem Gürtel und die obere Kuppel zur Rückseite. Teil C wendet sich nun der Verbindung unter dem Körper zu — was sie trägt und wie der Körper abgelöst wird.

Teil A zeigte, dass der Druck den Körper speisen kann, und Teil B verfolgte die Oberfläche des Körpers von der flachen Stufe bis zur Rundung nach außen. Dieser Teil stellt die mechanische Frage, die beide offen lassen: Was hält den Körper an der Erde, während er aufsteigt, und wie wird er abgelöst? Die Antwort wird in Schritten aufgebaut. Die Abschnitte C.1–C.3 berechnen die Last, die die Verbindung bei der Ablösung tragen muss, und zeigen, warum ein schmaler Hals sie nicht tragen kann. Die Abschnitte C.4–C.5 zeigen, wie ein breiter, heißer Kontakt sie trägt und wie der Körper sich an der Linie zu trennen beginnt und etwa 210 km jenseits davon abgelöst wird, wobei der Kontakt nur wenig Widerstand leistet; §C.5a gibt die Suche nach dem Ablösungsabstand. Abschnitt C.6 übergibt den Ablösungszustand an Paper 4 (Die Umlaufbahn). Die Abschnitte C.7–C.9 beschreiben die Struktur unter dem Kontakt — eine zu einer Birne ausgezogene Aufwölbung der Erde, ein Teil der Erde, der von der Schwerkraft der Erde gehalten wird — mit ihrer Breite, Länge und Masse. Die Abschnitte C.10–C.11 schließen mit dem, was der Körper mitnahm, und dem, was die Erde nach der Ablösung weiter tat.

Drei Wörter werden durchweg auseinandergehalten. Eine Kraft ist der gesamte Zug oder Druck, in Newton. Eine Spannung ist diese Kraft geteilt durch die Fläche, die sie trägt, in Pascal (ein Gigapascal, GPa, ist etwa das Zehntausendfache des Luftdrucks auf Meereshöhe). Eine Formänderung ist das, was ein Material tut, wenn die Spannung auf ihm nicht ausgeglichen ist. Eine Verbindung kann eine große Kraft mit kleiner Spannung tragen, wenn sie breit ist, und dieselbe Kraft kann eine schmale zerreißen.

C.1 Die Kappe trägt nicht den ganzen Quelldruck

Die Frage dieses Abschnitts ist eine einfache, die leicht falsch beantwortet wird: Drückt der volle Druck der tiefen Quelle auf die äußere Kappe des Körpers? Er tut es nicht. Im hydrostatischen Gleichgewicht — dem Zustand, in dem der Druck eines Fluids in jeder Tiefe gerade das Gewicht dessen trägt, was darüber liegt — variiert der Druck entlang des Weges. Er ist an der tiefen Quelle am höchsten und fällt auf dem Weg nach oben, weil er bei jedem Schritt das Gewicht der Säule darüber getragen hat. Der tiefe Quelldruck (etwa 150 GPa, Teil A) darf daher nicht als gleichförmige Druckdifferenz über die äußere Kappe eingesetzt werden.

Ein nützlicher Maßstab ist der Druck, den der Körper durch sein eigenes Gewicht erzeugt. Für einen homogenen kugelförmigen Körper von Mondmasse und der Dichte 2,600 kg/m³ erhält man einen Radius von etwa 1,890 km und einen durch seine eigene Schwerkraft bedingten Zentraldruck:

$$p_c=\frac{3Gm^2}{8\pi R_b^4}\simeq3.37\ \mathrm{GPa}. \tag{18}$$

Hier ist $G$ die Gravitationskonstante, $m$ die Mondmasse und $R_b$ der Radius des Körpers. Die Formel ist das Standardergebnis für eine gleichförmige Kugel: Jede Schicht wird vom Gewicht der Schichten über ihr gedrückt, und die Summe erreicht im Zentrum ihren größten Wert. In Worten: Die eigene Schwerkraft des Körpers allein presst sein Zentrum auf etwa 3.37 GPa zusammen — rund vierzigmal weniger, als die tiefe Quelle hält. Der Druck, der den Körper erreicht, ist daher zum größeren Teil bereits für das Heben der Säule unter ihm verbraucht.

Der hydrostatische Druck nimmt zur Grenze hin ab. Eine Hülle endlicher Dicke, Zustrom, Gezeiten und nichtsphärische Geometrie können dieser Grenze jedoch Lasten auferlegen. Die Druckdifferenz und die örtlichen Spannungen müssen daher berechnet werden; sie dürfen nicht automatisch als null angenommen werden. Aus diesem Grund berechnen die folgenden Abschnitte die Last der Verbindung direkt aus der Bewegung des Körpers statt aus dem Quelldruck.

C.2 Was erfordert die Verbindung bei einer Breite ungleich null?

Der Körper ist mit der Erde verbunden und dreht sich mit ihr. Um sich an einem festen Ort weiter mit der Erde zu drehen, muss ihm in jedem Moment genau die Beschleunigung gegeben werden, die diese Kreisbewegung erfordert; was Schwerkraft und Rotation nicht liefern, muss die Verbindung liefern. Dieser Abschnitt berechnet diesen Rest im Moment der Ablösung.

Wir definieren $r$ als den Abstand zwischen den Zentren, $K=G(M_E+m)$ und $m_r=M_Em/(M_E+m)$. $M_E$ ist die Masse der Erde; $K$ misst die gemeinsame Schwerkraft des Paares; und $m_r$ ist die reduzierte Masse, die einzelne Masse, die für die beiden Körper steht, wenn ihre gegenseitige Bewegung als Bewegung eines Körpers behandelt wird (sie ist etwas kleiner als $m$, weil sich auch die Erde ein wenig um den gemeinsamen Schwerpunkt bewegt). Für verbundene Bewegung in Korotation — der Körper dreht sich mit der Rotation der Erde, mit derselben Winkelrate $\omega$ — bei konstanter Breite $\lambda$ und konstanter Rate im untersuchten Moment sind die erforderlichen Stützbeschleunigungen:

$$a_r=\frac{K}{r^2}-\omega^2r\cos^2\lambda, \qquad a_\lambda=\omega^2r\sin\lambda\cos\lambda. \tag{19}$$

Die erste ist nach außen positiv, und die zweite weist auf der Nordhalbkugel zum Pol. In Worten: $a_r$ ist die radiale Stütze, der Zug der Erde $K/r^2$ abzüglich des Teils des Schleuderns der Rotation nach außen, der gerade vom Erdmittelpunkt weg weist. $a_\lambda$ ist die seitliche Stütze. Abseits des Äquators weist das Schleudern der Rotation nach außen, $\omega^2 r\cos\lambda$, von der Rotationsachse weg, nicht vom Erdmittelpunkt weg; ein Teil davon verläuft daher entlang des Bodens zum Äquator, so wie eine auf einen drehenden Reifen gefädelte Perle zur weitesten Stelle des Reifens gedrückt wird. Um den Körper auf seiner Breite zu halten, muss die Verbindung ihn mit einer Beschleunigung, die diesem seitlichen Teil gleich ist, zum Pol ziehen. Die in der Zweikörpernäherung von der Verbindung insgesamt geforderte Kraft ist:

$$F_{\mathrm{conn}}=m_r\sqrt{a_r^2+a_\lambda^2}. \tag{20}$$

Dies ist die reduzierte Masse mal die kombinierte Beschleunigung, wobei die beiden Komponenten rechtwinklig addiert werden.

Im in der Serie angenommenen Ablösungszustand — Breite $\lambda=22.5^\circ$, ein Erdtag von 5.77 h und der Massenschwerpunkt des Mondes auf der Korotationslinie bei dieser Breite, $r=r_{\mathrm co}\cos^{-2/3}\lambda$ (Papers 2 und 4) — erhält man:

$$T=5.77\ \mathrm h,\qquad r=17{,}287\ \mathrm{km}, \tag{21}$$

$$a_r=0,\qquad a_\lambda=0.559\ \mathrm{m\,s^{-2}},\qquad F_{\mathrm{conn}}=4.06\times10^{22}\ \mathrm N. \tag{22}$$

Die Korotationslinie ist die Menge der Punkte, an denen sich ein mit der Erde drehender Körper bereits mit der Geschwindigkeit einer freien Kreisbahn bewegt; am Äquator liegt sie bei $r_{\mathrm co}$, 16,399 km beim 5.77-Stunden-Tag, und bei der Breite $\lambda$ liegt sie weiter außen, bei $r_{\mathrm co}\cos^{-2/3}\lambda$, 17,287 km bei 22.5°. Auf dieser Linie verschwindet die radiale Anforderung exakt, $a_r=0$: Schwerkraft und Rotation gleichen sich entlang des Radius aus, und die Verbindung muss weder nach außen drücken noch ziehen. Die seitliche Anforderung verschwindet nicht. Sie beträgt 0.559 m s$^{-2}$, etwa zwei Fünftel der eigenen Oberflächenschwerkraft des Körpers bei der Ablösung (1.37 m/s², §B.3), und auf die reduzierte Masse angewendet ergibt sie eine Kraft von $4.06\times10^{22}$ N. Das ist die Last, die die Verbindung bei der Ablösung tragen muss, und sie ist vollständig seitlich.

Eine Kraft sagt wenig über eine Verbindung aus, bis sie durch die Fläche geteilt wird, die sie trägt. Über einen kreisförmigen Schnitt mit Radius $b$ ist die äquivalente mittlere Spannung $F_{\mathrm{conn}}/(\pi b^2)$:

Die Tabelle wird von oben nach unten gelesen: Die Spannung fällt mit dem Quadrat des Radius, sodass eine Verdopplung der Breite der Verbindung die Spannung durch vier teilt. Bei einem Radius von 1,500 km erfordert ein Schnitt senkrecht zur radialen Richtung keine Normalkomponente — auf der Linie ist die radiale Bilanz erfüllt —, aber eine seitliche Komponente von etwa 5.74 GPa. Diese seitliche Komponente ist eine Scherung: Sie versucht, eine Seite des Schnitts an der anderen vorbeizuschieben. Ein isotroper Druck auf einen solchen Schnitt — ein Druck, der in alle Richtungen gleich drückt, wie in einem ruhenden Fluid — liefert für sich die seitliche Komponente nicht. Eine andere Form der Verbindung kann die Verteilung der Spannungen ändern, aber sie muss berechnet werden. Wenn die Masse der Verbindung erheblich ist, müssen sie und der Strömungsimpuls ebenfalls einbezogen werden; die Tabelle ist eine Lastabschätzung für zwei Körper, keine Lösung für eine massive Verbindung.

Warum ein schmaler Hals die Aufgabe nicht erfüllen kann. Die Tabelle zeigt die Schwierigkeit einer schmalen Verbindung. Ein Hals von 1,000 km Radius müsste 12.92 GPa Scherung tragen, und die gemeinsame Prüfung aus §A.13 ergibt 46.04 GPa für einen Durchgang von 500 km Radius. Ein Hals, der die Speisung trägt, ist heiß und teilweise geschmolzen, und ein geschmolzenes Material trägt überhaupt keine dauerhafte Scherung: Unter einer stetigen Seitenlast fließt es. Ein schmaler Hals kann den Körper daher nicht bei 22.5° halten; er würde sich biegen und zum Äquator fließen. Der Ausweg ist nicht ein festerer Hals, sondern eine breitere Struktur: ein Teil der Erde selbst, von der Schwerkraft der Erde gehalten, der die Seitenlast trägt, wie die Erde ihre Gebirge trägt. Diese Struktur ist die breite Basis der Kuppel und die Birne darunter (§C.4, §C.7). Abbildung 10 zeigt die zu tragende Last.

Die Abbildung wird vom Körper aus gelesen: Der kurze rote Pfeil entlang des Radius ist die radiale Anforderung, die auf der Linie null ist; der lange rote Pfeil zum Pol ist die seitliche Anforderung, die bleibt. Die Verbindung muss die zweite liefern.

C.3Wie die Korotation den Körper abtrennt

Die Korotation ist es, die den Körper abtrennt, aber nicht wie ein Schalter, der an einem einzelnen Punkt umgelegt wird. Dieser Abschnitt erklärt, was an der Linie geschieht. In der Äquatorebene und in der Punktkörpernäherung ändert der Vorzeichenwechsel von $\omega^2r-K/r^2$ die Richtung der erforderlichen Stütze: Innerhalb der Linie muss die Verbindung den Körper gegen den Zug der Erde hochhalten, jenseits davon muss sie ihn gegen das Schleudern nach außen festhalten. An der Linie selbst geht die Anforderung durch null. Bei einer Breite ungleich null bleibt, selbst wenn $a_r=0$, $a_\lambda\ne0$ bestehen. Im Ablösungszustand ist dieser Punkt die Linie selbst, 17,287 km bei 22.5°, und die Last der Verbindung beträgt dort noch $4.06\times10^{22}$ Newton.

Die Korotationslinie ist daher der Ort, an dem die Richtung der radialen Anforderung umschlägt; sie ist auch der Ort, an dem der Körper sich zu trennen beginnt. Die Verbindung gibt ein wenig jenseits davon nach, sobald sie die erforderliche Kraft, das Drehmoment und den Impulsfluss nicht mehr übertragen kann. Hohe Temperatur und Schmelzen können ihren Widerstand gegen Verformung verringern; Druck kann zum Schub beitragen; die Rundung ändert die Kontaktform und den Spannungsweg. Erwärmung, Druck und Rundung wirken im selben System zusammen. Die folgenden Abschnitte zeigen, wie sie an der Linie zusammenwirken: Die Linie legt fest, wo der radiale Nettozug nach außen umschlägt, und jenseits davon wird der Körper, wobei der Kontakt nur wenig Widerstand leistet, nach außen gezogen und etwa 210 km hinter der Linie abgelöst (§C.5–C.5a).

C.4 Die Rundung nach außen und eine breite Verbindung

Die Rundung ist eine Antwort der Form auf Eigengravitation, Gezeiten, Rotation und Rheologie (die Art, wie ein Material unter Last fließt). Ein durch seine eigene Schwerkraft zusammengehaltener Körper neigt dazu, ein Ball zu werden; die Gezeiten der Erde ziehen ihn entlang der Verbindungslinie beider in eine längliche Form; die Rotation plattet ihn ab; und seine Viskosität bestimmt, wie schnell er diesen Zügen folgen kann. Der Vergleich:

$$\frac{Gm}{R_b^2}>\frac{2GM_ER_b}{r^3} \tag{23}$$

gibt eine örtliche Abschätzung des Wettstreits zwischen Eigengravitation und Gezeitendehnung. Die linke Seite ist die eigene Schwerkraft des Körpers an seiner Oberfläche, die ihn zusammenhält. Die rechte Seite ist die Gezeitendehnung über den Körper: Die Erde zieht an der zugewandten Seite stärker als am Zentrum und am Zentrum stärker als an der abgewandten Seite, und der Unterschied über einen Körperradius ist $2GM_ER_b/r^3$. Gewinnt die linke Seite, hält sich der Körper selbst; gewinnt die rechte Seite, wird der Körper nur von dem gehalten, worauf er ruht. In Stufe 2, auf der breiten Spitze, beträgt das Verhältnis der beiden etwa 0.11 (§B.2): Der Körper ist noch eine Kuppel auf der Spitze, noch kein eigener Körper. Das Überleben im Orbit und das Zerreißen der Verbindung sind die beiden Bedingungen, die Paper 2 an den abgelösten Körper stellt, und an diesem Vergleich treten sie ein.

Die breite Verbindung kann sich dehnen und trennen, während sie fließt und sich verformt, ohne sich zuerst zu einem Hals zu verengen. Das ist der zentrale Unterschied zu einer Abschnürung: Ein Tropfen, der eine Spritze verlässt, verdünnt sich zu einem Faden und reißt ab, aber eine breite, weiche Schicht, die auseinandergezogen wird, öffnet sich auf ihrer ganzen Breite zugleich (§C.5).

Die Reihenfolge der Formänderungen steht fest. Der Körper schloss seine Rundung nach außen lange vor der Ablösung ab, während er sich noch mit der Erde drehte; dann plattete er sich mit der Rotation ab, und die Abplattung und die Rundung nach innen, die sie zurückbildete, geschahen beide, während der Körper verbunden war. Bei der Rundung nach innen fiel das Achsenverhältnis von 1.69 auf dem Höhepunkt der Abplattung auf $a/c\simeq1.2$ spät in der verbundenen Phase (Paper 7, Die Pole). Bei der Ablösung war der Körper rund, seine äußere Schale starr (Paper 2, §B.7: ein Achsenverhältnis von höchstens 1.04). Die genauen Spannungen und die Entwicklung der Geometrie sind noch zu lösen. Der Kontakt in diesem Bild ist die 3,000-km-Scheibe, die in Stufe 3 von der unteren Kuppel des Körpers bleibt (Teil B.4); ihre Breite, 1,500 km im Radius, ist das $R_c$ der Ablösungsrechnung in §C.5.

Warum die breite Basis die Aufgabe erfüllen kann. Zwei Dinge ändern sich, wenn die Verbindung die breite Basis des Körpers statt eines Halses ist. Die Last wird über eine Scheibe von 1,500 km Radius verteilt, sodass die mittlere Spannung auf die 5.74 GPa der Tabelle in §C.2 fällt, statt mit schrumpfendem Radius zu steigen. Und unter der Scheibe ist die Stütze kein Faden, sondern ein breiter Teil der Erde selbst, die Birne aus §C.7, ein Teil der Erde, der von der Schwerkraft der Erde gehalten wird. Der Kontakt muss die Last nur über eine kurze Strecke in die Birne weitergeben; die Birne trägt sie hinab zur Erde.

C.4a Abschälen: Der Körper geht mit dem Sial, auf dem er saß

Dieser Abschnitt beschreibt, was über den Teilen der unteren Kuppel geschieht, die nicht der endgültige Kontakt sind. Der Körper saß von Anfang an auf der sialischen Schicht des Mutterkörpers — der leichten äußeren Schicht, reich an Silizium und Aluminium (§C.10) —, er wuchs auf ihr, und er ging mit ihr. Das Bild ist ein entleerter Fußball oder Basketball, der auf die gerundete Oberseite eines Ständers gedrückt und aufgepumpt wird, während er noch auf dem Ständer liegt: Während er anschwillt und sich rundet, schält sich die Wand, die den Ständer berührt, vom Rand nach innen von ihm ab und rundet sich mit dem übrigen Ball. Hier ist der Ständer die Spitze der Birne.

Über der 6,000-km-Basis ist die Trennung ein Abschälen. Als der Körper sich nach außen rundete (§C.4), schrumpfte der Kontakt vom Rand der unteren Kuppel, 6,000 km im Durchmesser, auf die 3,000-km-Scheibe (§B.4); das Abschälen ist langsam, und die Scheibe bleibt bis zum Ende verbunden. Über diesen Ring — den Ring zwischen dem 6,000-km-Rand und der 3,000-km-Scheibe — riss der Körper nicht vom Mutterkörper ab: Das Sial unter ihm schälte sich vom Sima darunter (der dichteren, magnesiumreichen Schicht unter dem Sial) ab, entlang der geschmierten Grenze zwischen den beiden Schichten (§C.10), und ging mit dem Körper. Dieses abgeschälte Sial ist der heutige Gürtel zwischen $31^\circ$ und $70^\circ$ vom Kontaktzentrum (§B.4).

Der 3,000-km-Kontakt ist ein heißer Mechanismus. Im Zentrum der unteren Kuppel stand der Körper auf der Oberseite der Birne, und dort war die Hitze extrem: Sie schmolz die Sialschicht und entfernte sie. Die letzte Trennung dort war womöglich nicht sauber, aber die Hitze und die Schwerkraft des Körpers glätteten die ganze Region. Wo die Kruste der Vorderseite am dünnsten ist, ist sie geöffnet: Die Maria sind die Öffnungen aus §B.5, und die Kruste unter ihnen ist dünn, weil sie Öffnungen sind.

Und die Ablösung selbst. Wenn der Massenschwerpunkt des Mondes die Korotationslinie erreicht, beginnt der Körper sich zu trennen; die Korotationskräfte ziehen ihn mit Kraft nach außen, und der letzte Rest des Kontakts, der nur wenig Widerstand leistet, gibt etwa 210 km jenseits der Linie nach (§C.5, C.5a, C.8). Der Körper geht dann mit seinem Sial: der Schale über der Kuppel, dem abgeschälten Sial über dem Ring und über dem Kontakt einer bereits durch Hitze geglätteten Oberfläche.

Der Körper trennt sich somit auf zwei Weisen zugleich: durch ein langsames Abschälen über dem Ring, wo das Sial mit ihm geht, und durch einen Zug über der zentralen Scheibe, wo der heiße Kontakt nur wenig Widerstand leistet. Der zweite wird als Nächstes abgeschätzt.

C.5 Wie der Körper jenseits der Korotationslinie abgelöst wird

Paper 2 legt die Ablösung dorthin, wo der Massenschwerpunkt des Mondes die Korotationslinie erreicht: Jenseits davon ziehen die Korotationskräfte den Körper nach außen. Der Mond beginnt sich zu trennen, wenn sein Massenschwerpunkt die Linie erreicht, und wird etwa 210 km jenseits davon abgelöst, wenn etwas mehr als die Hälfte von ihm sie überquert hat (§C.5a). Der Kontakt zwischen der Birne und dem Körper leistet nur wenig Widerstand; der Körper wird mit Kraft nach außen gezogen, und dieser Zug zog die Spatelrücken hoch. Dieser Abschnitt schätzt ab, wie viel Widerstand der Kontakt leistete.

Warum der Massenschwerpunkt und warum die Linie. Ein Körper, der sich als ein Stück bewegt, reagiert auf die Summe der Kräfte auf ihn, und diese Summe wirkt, als säße seine ganze Masse in seinem Massenschwerpunkt. Innerhalb der Korotationslinie ist der Zug der Erde auf den Körper größer als das, was seine Kreisbewegung braucht, sodass der Körper als Ganzes zur Erde drückt und der Kontakt unter Druck steht: Er wird gedrückt, nicht gezogen, und er hält. Die abgewandte Seite des Körpers erreicht die Linie zuerst (die Tabelle der Spitze in §C.7), aber solange das Zentrum innerhalb liegt, überwiegen die Teile innerhalb der Linie die Teile jenseits davon, und der Körper drückt weiterhin nach innen. Wenn das Zentrum die Linie überquert, kehrt sich die Summe um: Das Schleudern nach außen übersteigt den Zug, und der Körper beginnt am Kontakt zu ziehen. Von da an steht der Kontakt unter Zug, und die Frage wird, wie sich eine heiße, viskose Schicht verhält, wenn an ihr gezogen wird.

Was Stefan-Ablösung bedeutet. Zwei ebene Glasplatten mit einem dünnen Wasserfilm dazwischen lassen sich leicht gegeneinander verschieben, aber nur schwer senkrecht auseinanderziehen. Damit sich der Spalt öffnet, muss Flüssigkeit von den Rändern zur Mitte hin einströmen, und je dünner der Spalt, desto schwerer strömt sie. Langsam gezogen, trennen sich die Platten zunächst langsam; sobald sich der Spalt ein wenig geweitet hat, strömt die Flüssigkeit leicht nach, und sie trennen sich mit einem Mal. Der Widerstand ist keine Festigkeit, die bricht; er ist ein Widerstand gegen die Geschwindigkeit der Öffnung, bestimmt durch die Viskosität des Films — seinen Widerstand gegen das Fließen —, durch die Größe der Platten und durch die Weite des Spalts. Das ist das Stefan-Problem, und der Kontakt ist ein solcher Film in sehr großem Maßstab.

Wir modellieren den Kontakt in Stadium 3 als newtonsche Schicht der Dicke $d_0$, mit dem Radius $R_c=1{,}500$ km (die 3,000-km-Scheibe aus §B.4) und der Viskosität $\eta_c$. Eine newtonsche Schicht ist eine Schicht, deren Widerstand gegen das Fließen proportional dazu ist, wie schnell sie zum Fließen gebracht wird, wie bei Wasser oder Honig. Eine solche Schicht trägt keine Zugspannung; sie widersetzt sich der Geschwindigkeit, mit der sich die beiden Körper trennen. Für zwei Scheiben, die sich mit der Rate $\dot d$ trennen, ist der Widerstand der Stefan-Widerstand,

$$F=\frac{3\pi\eta_cR_c^4\,\dot d}{2d^3}, \tag{30}$$

Dabei ist $d$ der Spalt zu einem gegebenen Zeitpunkt und $\dot d$ die Rate, mit der er sich öffnet. Die Gleichung sagt dreierlei. Der Widerstand wächst mit der Viskosität und mit der Geschwindigkeit der Öffnung: Ein langsamer Zug trifft auf geringen Widerstand. Er wächst sehr steil mit der Größe der Scheibe, wie $R_c^4$: Eine doppelt so breite Scheibe widersteht sechzehnmal so stark. Und er fällt sehr steil, während sich der Spalt öffnet, wie $d^{-3}$: Ein doppelt so weiter Spalt widersteht achtmal schwächer.

Die Kraft, die die Trennung antreibt, sobald der Massenmittelpunkt des Körpers den Korotationsradius um $\Delta r$ überschritten hat, ist die nach außen gerichtete Nettokraft im rotierenden Bezugssystem, $F_{\mathrm net}=m\,(3\omega^2)\,\Delta r$, mit $3\omega^2=2.7\times10^{-7}\ \mathrm{s^{-2}}$ beim 5.77-Stunden-Tag der Ablösung (Paper 2). Der Faktor $3\omega^2$ gibt an, wie schnell die nach außen gerichtete Nettobeschleunigung mit dem Abstand jenseits der Linie wächst: Die Fliehbeschleunigung $\omega^2 r$ wächst nach außen, während die Anziehung $K/r^2$ abnimmt, und an der Linie ändern sich beide zusammen um $3\omega^2$ je Meter Abstand. An der Linie ist die antreibende Kraft null; ein kleiner Schritt darüber hinaus ergibt eine kleine nach außen gerichtete Kraft, ein größerer Schritt eine größere. Wird die gesamte Dehnung der Schicht zugeschrieben, $\Delta r=d-d_0$:

$$\dot d=\frac{2m\cdot3\omega^2\,(d-d_0)\,d^3}{3\pi\eta_cR_c^4}. \tag{31}$$

Gleichung (31) setzt die antreibende Kraft dem Widerstand gleich und löst nach der Öffnungsrate auf. Sie enthält beide Effekte, die die Ablösung beschleunigen: Die antreibende Kraft wächst mit $d-d_0$, und der Widerstand fällt mit $d^3$.

Die Lösung läuft davon: Der Widerstand fällt wie $d^{-3}$, während sich der Spalt öffnet, sodass der geringe Widerstand des Kontakts bald nachgibt; als Ablösung wird hier definiert, dass der Spalt $d=3d_0$ erreicht, wo der Widerstand um den Faktor 27 gefallen ist und die Lösung davonläuft. Der Abstand bei der Ablösung wird allein durch die Dicke der Schicht bestimmt, $\Delta r_{\mathrm release}=d-d_0\simeq2d_0$ (eine frühere Fassung gab $(1$–$2)\,d_0$ an); Viskosität und Kontaktradius bestimmen nur die Zeit. Der Grund ist, dass sich der Spalt um ein festes Vielfaches der Anfangsdicke öffnen muss, bevor der Widerstand zusammenbricht, unabhängig von der Viskosität; eine steifere Schicht lässt dieselbe Öffnung nur länger dauern. Die Tabelle zeigt vier Fälle; die Zeitspalte ändert sich mit der Viskosität und der Dicke, die Spalte des Abstands nur mit der Dicke:

Die Zeiten ergeben sich durch Integration von Gleichung (31) vom Anfangsspalt $d_0(1+10^{-3})$ bis zum Ablösungsspalt $3d_0$ mit der Mondmasse; sie skalieren wie $\eta_c/d_0^{3}$. Eine frühere Fassung dieser Tabelle gab für die letzten drei Zeilen etwa 4,800, 320 und $5\times10^{5}$ Jahre an; diese Werte folgten nicht aus Gleichung (31), die die jetzt gezeigten Zeiten liefert und mit den Kurven von Abbildung 11 übereinstimmt. Eine spätere Fassung gab etwa 240, 25,700, 1,640 und $2.6\times10^{6}$ Jahre an; die jetzt gezeigten Zeiten sind das Integral selbst, und die vier Zeilen skalieren untereinander wie $\eta_c/d_0^{3}$. Die Spalte des Abstands ist unverändert.

Eine Kontaktschicht von 20–50 km Dicke ergibt 40–100 km, und die angenommene Ablösung von etwa 210 km (§C.5a) entspricht einer Schicht von etwa 105 km Dicke — in jedem Fall ein kleiner Abstand gegenüber einer Ablösungsdistanz von 16,400–17,300 km, unter anderthalb Prozent davon. Der Körper löst sich daher praktisch auf der Linie, wie Paper 2 es verlangt, und die Umlaufbahn, in die er eintritt, wird durch die Linie bestimmt, nicht durch die Einzelheiten der Schicht. In der Darstellung von §C.7–C.8 ist dies die letzte Öffnung des Kontakts, nachdem der Mittelpunkt des Mondes die Linie erreicht hat und die Korotationskräfte und der innere Druck zusammenwirken. Die Ablösung an der Linie wird daher durch die Verbindung vollzogen, die dieses Paper findet, ohne schmalen Hals und ohne neue Annahme: Der Kontakt, heiß und weich (§A.5, §B.4), widersteht nur wenig, und bei einer Schicht von etwa 105 km Dicke löst sich der Körper etwa 210 km jenseits der Linie (eine frühere Fassung nahm eine Schicht von 50 km Dicke und eine Ablösung etwa 100 km jenseits der Linie an).

Die Zeiten in der Tabelle, von einigen hundert Jahren bis zu einigen Millionen Jahren (eine frühere Fassung sagte „bis zu einigen hunderttausend Jahren“), sind kurz gegenüber der Dauer des Aufbaus. Sie schätzen den geringen Widerstand des Kontakts ab; der Körper selbst wird mit Kraft nach außen gezogen, und dieser Zug zog die Spatelrücken hoch.

Die Rotationskopplung. Eine zweite Frage ist, ob derselbe Kontakt den Körper mit der Erde mitdrehen lassen kann, während er aufsteigt. Wenn sich der Körper nach außen bewegt, muss ihm mehr seitliche Geschwindigkeit gegeben werden, damit er mit der Rotation Schritt hält, und das erfordert ein Drehmoment — eine drehende Kraft. Dieselbe Schicht beantwortet die Frage der Rotationskopplung: Das Drehmoment, das nötig ist, um den Körper korotierend zu halten, während er um 1 km/yr aufsteigt, beträgt $2m\omega r\dot r\simeq2\times10^{22}$ N m; die seitliche Kraft, die es am Körper bedeutet, $2m\omega\dot r\simeq1.4\times10^{15}$ N, ergibt über den Kontakt verteilt eine Scherspannung von etwa 0.2 kPa (eine frühere Fassung gab 7 kPa an) — vernachlässigbar für jede Viskosität der Tabelle. Ein Fünftel Kilopascal ist etwa ein Fünfhundertstel des Luftdrucks auf Meereshöhe; eine Schicht jeder der obigen Viskositäten trägt es bei einer vernachlässigbaren Scherrate. Der breite Kontakt erhält die Rotationskopplung aufrecht: Er hält den Körper seitlich, während er aufsteigt, und entlang des Radius widersteht er nur wenig, sobald der Mittelpunkt die Linie passiert hat.

Abbildung 11 zeigt die Öffnung des Spalts in der Zeit für zwei der Fälle. Beide Kurven bleiben die meiste Zeit fast flach und steigen dann steil an: Der Widerstand gibt nach, sobald sich der Spalt ein wenig geöffnet hat. Die dickere Schicht löst früher ab, doch in beiden Fällen hat sich der Spalt bei der Ablösung auf das Dreifache der Anfangsdicke geöffnet, sodass der Abstand jenseits der Linie, $d-d_0$, das Doppelte der Schichtdicke beträgt — 40 km für die 20-km-Schicht und 100 km für die 50-km-Schicht, wie in der Tabelle (eine frühere Fassung dieses Satzes nannte den Abstand das Dreifache der Dicke).

Die Reihenfolge ist festgelegt: Der Körper rundete sich nach außen und plattete sich ab während des angehefteten Stadiums, und seine Rundung nach innen war vor der Ablösung abgeschlossen — das Achsenverhältnis von 1.2 gehört zum späten angehefteten Stadium, und bei der Ablösung war der Körper rund, seine Schale starr (Paper 7; Paper 2, §B.7). Die Trennung ist eine Dehnung der Schicht, keine Abschnürung, und der Körper, den sie freigibt, trägt eine Schale.

Warum der Körper nicht zum Äquator glitt. Ein Körper, der auf einem Mutterkörper ruht, der sich einmal in 5.5 Stunden dreht, spürt eine Zentrifugalkraft — die nach außen gerichtete Fliehwirkung der Rotation. Am Äquator ist diese Kraft rein radial; in der Breite $\varphi$ hat sie eine tangentiale Komponente, $\omega^2 r\sin\varphi\cos\varphi$, die zum Äquator gerichtet ist. Dies ist dieselbe Komponente wie $a_\lambda$ aus Gleichung (19), von der anderen Seite gesehen: Dort ist sie das, was die Verbindung liefern muss, hier ist sie das, was den Körper bewegen würde, wenn nichts sie lieferte. Auf einem flüssigen Mutterkörper würde ein Körper bei 22.5° zum Äquator gleiten und sich von dort ablösen, mit der Inklination null. Was verhinderte das?

Auf der breiten Spitze — Verankerung. Der Körper ruht auf einer 6,000 km breiten Basis innerhalb einer Öffnung in der starren sialischen Schale. Das ist die Schale, die das Modell ohnehin verlangt, mit einer Viskosität von $10^{23}$ Pa s oder mehr, damit die Kraterüberlieferung auf ihr erhalten bleibt (§B.6). Eine Schale, die Krater hält, hält ihre Position: Eine über einer solchen Fläche verankerte Basis wandert nicht. Eine Schale, die so steif ist, dass ein 100-km-Krater in zehn Millionen Jahren nicht relaxiert (§B.3), ist viel zu steif, um eine 6,000 km breite Basis über sich gleiten zu lassen.

In der Rundung nach außen — die Birne. Der Kontakt schrumpft auf 3,000 km, doch der Körper ruht weiterhin auf der Spitze der Birne, einem Teil der Erde, der von der Schwerkraft der Erde gehalten wird und die seitliche Last zur Erde hinab ableitet (§C.4, §C.7). Der Körper driftet nicht zum Äquator.

Schlussfolgerung. Der Körper löst sich in der Breite, in der er getragen wurde, der Ablösungsbreite von Paper 4, 22.5°. Die Inklination ist die Neigung der Mondbahn gegen den Erdäquator; ein in einer bestimmten Breite abgelöster Körper beginnt auf einer Bahn, die um diese Breite geneigt ist. Die Basis der Birne stand ungefähr auf dem damaligen Äquator; ob dieser Äquator der heutige ist, bleibt den Achsen überlassen, die künftige Arbeit sind.

C.5a Wie weit jenseits der Linie: die Ablösungsdistanz

Abschnitt C.5 ergab, dass sich der Körper eine kurze Strecke jenseits der Korotationslinie ablöst. Dieser Abschnitt fragt, wie weit, was diese Distanz für die Umlaufbahn bedeutet und in welchen Bereich die reduzierten Gesetze der Serie sie legen. Die Antwort ist die Ablösung, die die Serie annimmt: etwa 210 km jenseits der Linie, als etwas mehr als die Hälfte des Mondes sie überschritten hatte. Die Frage ist von Bedeutung, weil die Distanz klein gegenüber dem Radius ist — weniger als ein Prozent davon —, aber nicht klein für die Form der Umlaufbahn. Ein Körper, der genau auf der Linie abgelöst wird, bewegt sich mit der Geschwindigkeit einer Kreisbahn und tritt in einen Kreis ein. Ein jenseits der Linie abgelöster Körper trägt etwas mehr Geschwindigkeit, als ein Kreis benötigt: Der Ablösungspunkt wird zum nächsten Punkt der Bahn, dem Perigäum, und die Bahn ist eine leicht gestreckte Ellipse. Ihre Exzentrizität $e_0$ — null für einen Kreis, wachsend, je mehr sich die Ellipse streckt — wächst mit der Distanz jenseits der Linie. Diese Exzentrizität und die etwas größere Bahn, die mit ihr einhergeht, gehen in die beiden Zahlen ein, an denen der heutige Mond geprüft werden kann: die Neigung seiner Bahn und die Streckung seiner Bahn.

Die Ausgangslage. Jede Zeile setzt den Massenmittelpunkt des Mondes im Moment der vollständigen Abtrennung um den angegebenen Versatz jenseits der Korotationslinie, mit dem Erdtag der Ablösung, 5.77 h, und dem Radius des Körpers bei der Ablösung, 1,890 km; „überschritten“ ist der Anteil des Mondvolumens, der in diesem Moment jenseits der Linie liegt. Die Anfangsbahn folgt aus den Formeln von Paper 4, Anhang A (das Geschwindigkeitsverhältnis $B$, $a_0=r_0/(2-B)$, $e_0=|1-B|$, Ablösungspunkt im Perigäum), und der Endwinkel aus dem reduzierten tan-Gesetz von Paper 4, Teil D, $\tan i=\tan\lambda\,(a_0/384{,}400\ \mathrm{km})^{1/2}$. Die Exzentrizität wird von der Ablösung bis zur heutigen Distanz von 384,400 km mit dem Gezeitenmodell konstanter Zeitverzögerung [21] fortgeführt — der auf der Erde erzeugten Gezeit plus der in einem synchronen Mond erzeugten Gezeit, deren Stärke relativ zu jener der Erde $A$ beträgt —, wobei die Erdrotation aus der Erhaltung des Drehimpulses folgt; die Sonne und die Evektionsresonanz sind nicht berücksichtigt.

Die Neigung. Die erste Tabelle löst den Körper in der Breite der Serie ab, 22.5°, wo die Korotationslinie bei 17,287 km liegt. Man liest sie von oben nach unten: Der Versatz wächst und mit ihm der Anteil des Körpers, der die Linie überschritten hat, die Exzentrizität bei der Ablösung, die Größe der Bahn und der Endwinkel bei der heutigen Distanz. Der Marineblau-Ton vertieft sich mit dem Endwinkel. Die grüne, fett gesetzte Zeile ist diejenige, deren Endwinkel dem beobachteten 5.145° entspricht; sie ist die angenommene Ablösung.

Tabelle C.5a.1. Ablösung bei 22.5° (Korotationslinie 17,287 km): die Anfangsbahn und der Endwinkel nach dem reduzierten Gesetz als Funktionen des Versatzes jenseits der Linie. Das Marineblau vertieft sich mit dem Endwinkel; Grün markiert die beobachteten 5.145°, die die angenommene Ablösung sind.

Der Endwinkel steigt langsam und stetig mit dem Versatz: um etwa drei Hundertstel Grad je 50 km. Ablösung auf der Linie ergibt 5.020°, Ablösung 100 km jenseits davon 5.079°, und die beobachteten 5.145° werden bei etwa 210 km erreicht, als 58% des Mondvolumens die Linie überschritten hatten. Der Winkel reagiert jedoch empfindlicher auf die Breite der Spitze als auf den Versatz. Der Autor legt die Spitze zwischen 22° und 24°; der Versatz, der 5.145° ergibt, verschiebt sich über diesen Bereich wie folgt:

Tabelle C.5a.2. Empfindlichkeit gegenüber der Breite der Spitze. Das Marineblau vertieft sich mit der Breite; Grün markiert die Breite der Serie.

Ein halbes Grad Breite verschiebt den Versatz um etwa 200 km. Die Neigung allein legt die Ablösung daher in einen Bereich, nicht auf einen Punkt; der zweite Test grenzt ihn ein.

Die Streckung. Die zweite Tabelle führt dieselbe Suche für die Exzentrizität durch. Sie erfolgt in der Ebene, mit Ablösung auf dem damaligen Äquator (Korotationslinie 16,399 km), wo die obigen Gezeitengleichungen formuliert sind; bei gegebenem Versatz ist die Exzentrizität bei der Ablösung nahezu dieselbe wie bei 22.5° (man vergleiche die beiden Tabellen). Die letzten drei Spalten geben die Exzentrizität bei der heutigen Distanz für drei Werte von $A$. Die Zahl $A$ gibt an, wie stark der junge Mond relativ zur Erde Gezeitenenergie aufnahm: Ein kalter, steifer Mond hat ein kleines $A$, ein heißer, weicher Mond ein großes. Die Gezeit in der Erde streckt die Bahn, während sie wächst; die Gezeit im Mond rundet sie. Der Marineblau-Ton vertieft sich mit $e_0$; die grüne Zelle liegt dem heutigen Wert, 0.0549, am nächsten.

Tabelle C.5a.3. Ablösung auf dem damaligen Äquator (Korotationslinie 16,399 km): die Anfangsbahn und die Exzentrizität bei der heutigen Distanz für drei Stärken $A$ der Gezeit im Mond. Das Marineblau vertieft sich mit $e_0$; Grün markiert den Wert, der dem heutigen 0.0549 am nächsten liegt.

Die erste Zeile ist die entscheidende. Ein genau auf der Linie abgelöster Körper tritt in einen Kreis ein, und die Gezeit trägt einen Kreis als Kreis nach außen: Welchen Wert $A$ auch hat, die Exzentrizität bleibt bis 384,400 km null. Jede Exzentrizität, die der Mond heute hat, muss daher als kleines $e_0$ bei der Ablösung beginnen. Bei geringer Dissipation im Mond ($A=0$ oder 1) streckt die Gezeit in der Erde selbst ein kleines $e_0$ zu einer langen Ellipse; bei einem heißen jungen Mond hält die Gezeit im Mond die Streckung zurück, und für $A=3$ liegt der heutige Wert 0.0549 zwischen der 200-km- und der 300-km-Zeile. Der Versatz, der die heutige Exzentrizität ergibt, hängt von $A$ ab: etwa 120 km für $A=2.5$, etwa 210 km für $A=3.0$, etwa 330 km für $A=3.5$ und etwa 460 km für $A=4.0$.

In den Begriffen von §C.5, wo der Abstand bei der Ablösung $\Delta r\simeq2d_0$ beträgt, entspricht der angenommene Versatz von etwa 210 km einer Kontaktschicht von etwa 105 km Dicke, dem Doppelten der 50-km-Schicht in der vorletzten Zeile der Tabelle in §C.5; der Widerstand bleibt der geringe Widerstand eines heißen, weichen Kontakts, und der Versatz bleibt unter anderthalb Prozent der Ablösungsdistanz.

Hinter den Kulissen. Eine frühere Fassung dieses Papers nahm eine Ablösung etwa 100 km jenseits der Linie an, die Schätzung des Autors für eine Kontaktschicht von etwa 50 km Dicke. Die obige Suche nach der Ablösungsdistanz zeigte, dass sich die beiden reduzierten Tests etwas weiter außen treffen, und die Serie nimmt nun den berechneten Wert an; die Schätzung lag im selben Bereich und nahe daran.

Was wir jetzt haben: Die Last bei der Ablösung ist bekannt (§C.2), sie wird von einem breiten, heißen Kontakt getragen statt von einem Hals (§C.4), und der Körper beginnt sich an der Linie zu trennen und löst sich etwa 210 km jenseits davon, mit Kraft nach außen gezogen gegen einen Kontakt, der nur wenig widersteht (§C.5); die Neigung und die Streckung der heutigen Bahn treffen sich unter den reduzierten Gesetzen nahe dieser Distanz (§C.5a). Der nächste Abschnitt formuliert dieses Ergebnis in der Form, die Paper 4 benötigt.

C.6 Die Übergabebedingungen für das Bahn-Paper

Die Umlaufbahn des Mondes nach der Ablösung ist Gegenstand von Paper 4 (Die Umlaufbahn). Es benötigt von diesem Paper nur den Zustand im Moment der Ablösung: wo der Mond war, wie schnell sich die Erde drehte und was die Verbindung noch leistete. Der an Paper 4 übergebene Zustand ist der von Paper 2, unter Berücksichtigung des Versatzes durch die sich verlängernde Birne und den sich zentralisierenden Kern. Die sich verlängernde Birne trägt Masse nach außen und verlangsamt so die Erdrotation; das zum Zentrum sinkende Eisen — der sich zentralisierende Kern — beschleunigt sie, so wie eine Eiskunstläuferin sich schneller dreht, wenn sie die Arme anzieht; beide zusammen ergeben den 5.77-Stunden-Tag (Paper 2, §A.4):

Die beiden Zeilen unterscheiden sich nur in der Breite. Am Äquator liegt die Linie bei 16,399 km, und die Verbindung trägt bei der Ablösung keine Last mehr außer dem geringen Widerstand des Kontakts; bei 22.5° liegt die Linie weiter außen, bei 17,287 km, und die seitliche Last aus §C.2 bleibt bestehen. In beiden Fällen verlässt der Mond die Erde auf einer nahezu kreisförmigen Bahn: Auf der Linie ist die Geschwindigkeit, die er mit der Rotation mitführt, die Geschwindigkeit einer Kreisbahn, und etwa 210 km jenseits davon etwas mehr, sodass der Ablösungspunkt das Perigäum ist (§C.5a, §C.8). (Eine frühere Fassung übergab eine Ablösung auf der Linie, auf einer Kreisbahn.)

Hinter den Kulissen. Eine frühere Fassung dieses Abschnitts übergab eine spätere Ablösung, 20,595 km bei einem 6.59-Stunden-Tag, jenseits der fluiden Roche-Grenze eines Körpers von 2,600 kg/m³. Dieser Zweig berücksichtigte nur die sich verlängernde Birne; mit dem sich zentralisierenden Kern beträgt der Tag bei der Ablösung 5.77 h, und die Linie liegt bei etwa 16,400 km (Paper 2, §A.4). Der dort abgelöste Körper liegt innerhalb der fluiden Roche-Grenze und weit außerhalb der starren (10,314 km bei 2,600 kg/m³): Er wird von seiner starren, gerundeten Schale zusammengehalten, nicht durch Flüssigkeitsgleichgewicht (Paper 7, §C.5). Die Roche-Grenze ist die Distanz von der Erde, innerhalb derer die Gezeitenstreckung die Eigengravitation eines Körpers übersteigt: Ein flüssiger Körper wird innerhalb dieser Grenze auseinandergezogen, während ein Körper mit einer starren Schale viel näher überlebt, bis hinab zur starren Grenze. Der Mond liegt bei der Ablösung zwischen beiden, und deshalb ist die starre Schale von Bedeutung.

C.7 Eine Aufwölbung: Die Erde, zu einer Birne ausgezogen, deren Spitze zum Mond wird

Dieser Abschnitt beschreibt die Struktur, die den Körper von unten trägt: was sie ist, warum sie die Form einer Birne hat, wie breit und lang sie ist und wie viel Masse sie enthält.

Bei der Ablösung liegt der Mittelpunkt des Körpers auf der Korotationslinie, etwa 16,400 km vom Erdmittelpunkt am Äquator, und seine zugewandte Oberfläche bei etwa 14,500 km — der Mittelpunkt abzüglich des Körperradius von 1,890 km. Zwischen der Erdoberfläche — 6,701 km vom Mittelpunkt am Äquator des abgeplatteten Mutterkörpers bei einem 5.77-Stunden-Tag — und dieser Oberfläche liegen rund 7,800 km. Etwas Angeheftetes muss sie ausfüllen, denn ein Körper, der die Erdoberfläche allein mit der Rotation verließe, trüge weniger als die Hälfte der Bahngeschwindigkeit und fiele zurück (§C.8). Wir schlagen vor, dass die Erde selbst sie ausfüllt, mit einer einzigen Aufwölbung: Der Druck, der den Hügel hob, hob ihn weiter, und die Aufwölbung wurde zu einer Birne aus dem eigenen Material der Erde ausgezogen, deren Spitze — die Kuppel aus Teil B — sich rundete und zum Mond wurde. Die Rotation, die Sortierung des Erdinneren und der innere Druck, die die Birne ausziehen, wirken als ein einziger Mechanismus; seine drei Seiten werden unten dargelegt, unter Die Birne vor diesem Paper.

Warum ein Strang es nicht kann und eine Birne es kann. Ein flüssiger Strang zwischen zwei Körpern kann den Körper nicht tragen: Die gemeinsame Schwerkraft von Erde und Körper zieht verdrängtes Material zwar zur Verbindungslinie zwischen ihnen zurück — in jeder Richtung und in jeder Höhe —, doch für einen 3,000–4,200 km breiten Strang hält diese rückstellende Anziehung nur ein Zehntel bis ein Fünfzigstel des Drucks, der nahe seiner Basis nötig ist, 35–81 GPa. Die Birne ist kein Strang. Sie ist ein breiter Teil der Erde selbst, und sie wird von der Schwerkraft der Erde gehalten wie jeder andere Teil der Erde, so wie die Erde ihre Gebirge hält. Sie wird nicht hinausgeschleudert, denn ihre Geschwindigkeit ist keine Wurfgeschwindigkeit, und sie liegt ganz innerhalb der Korotationslinie. Nahe der Erde ist sie breit, und sie verjüngt sich in einem einzigen Bogen zu ihrer Spitze, die den Kontakt bei etwa 15,400 km vom Mittelpunkt trägt — der Mondmittelpunkt bei 17,287 km abzüglich seines Radius von 1,890 km (eine frühere Fassung gab 16,100 km und 9,500 km für das obere Ende der Spitze an). Die Birne zu Beginn, als der Körper auf der breiten Spitze saß (§B.2), und bei der Ablösung:

Die beiden Spalten beschreiben das Wachsen der Birne. Zwischen Beginn und Ablösung verdoppelte sie ihre Länge ungefähr, von etwa 4,000 auf etwa 8,700 km, und ihre Spitze verjüngte sich um die Hälfte, von 6,000 auf 3,000 km, während sich der Körper auf ihr nach außen rundete.

Die Breite der Basis. Die Basis der Birne wird mit 9,000–11,000 km Breite angesetzt. Eine obere Schranke ergibt sich aus der Energie: Eine breitere Basis enthält mehr Masse, und mehr Masse zu heben kostet mehr Arbeit. Verbreitert man die Basis bei gleicher Form, so enthält die Birne bei der Ablösung 8.8 Mondmassen bei einer Basis von 9,000 km, 10.4 bei 10,000 km und 12.1 bei 11,000 km, und sie zu heben kostet $8.1\times10^{30}$, $9.3\times10^{30}$ und $1.05\times10^{31}$ J — der letzte Wert in der Größenordnung der Energie, die bei der Bildung des Erdkerns frei wird. Wir setzen die Basis mit 9,000–11,000 km an. Während der Körper aufstieg, verjüngte sich die Spitze von 6,000 auf 3,000 km, während sich die Basis verbreiterte.

Die Masse der Birne. Die Birne enthält daher 8.8–12.1 Mondmassen bei Basen von 9,000–11,000 km. Die in diesem Paper verwendete Angabe „etwa neun Mondmassen“ (§C.9) ist der 9,000-km-Fall, das schmale Ende des Bereichs; in Worten enthält die Birne etwa neun bis zwölf Mondmassen. Zum Vergleich: Die 9,000-km-Birne enthält etwa 11% der Erdmasse (§C.9) — eine große Aufwölbung, aber eine Region des Planeten, nicht der Planet.

Abbildung 12 zeichnet die beiden Spalten der Tabelle. Der Punkt, auf den es ankommt, ist der Umriss von Teilbild (B): Er verjüngt sich stetig von der Basis zur Spitze, in einem einzigen Bogen, ohne Taille, an der er sich abschnüren könnte, und er endet vor der Korotationslinie.

Die Spitze während des Aufstiegs. Die Spitze der Birne trägt den Körper aus Teil B, und der Körper verdichtet sich, während er aufsteigt; seine Rotation ist die der Erde. Die Stadien, mit der Figur eines rotierenden Körpers dieser Dichte und Rotation (Paper 7, §C.1). Das Achsenverhältnis $a/c$ ist das Verhältnis der längsten zur kürzesten Achse des Körpers: 1.00 für eine Kugel, größer für einen abgeplatteten Körper. Ein leichter Körper, der mit der Erde rotiert, plattet sich stark ab, weil seine eigene Schwerkraft gegenüber der Rotation schwach ist; während er sich verdichtet, wächst seine Schwerkraft, und er rundet sich nach innen. Die Tabelle wird von oben nach unten gelesen, mit steigender Dichte und gegen 1 fallendem Verhältnis:

Die Abplattung und die Rundung nach innen fanden beide statt, während der Körper angeheftet war: Das Verhältnis fiel von 1.69 auf dem Höhepunkt der Abplattung auf 1.20 spät im angehefteten Stadium. Bis zur Ablösung war die Rundung nach innen abgeschlossen; der Körper war rund, seine äußere Schale starr (Paper 2, §B.7: ein Achsenverhältnis von höchstens 1.04), und er hat sich seither auf die heutige Dichte von 3,344 kg/m³ verdichtet.

Drei Ergebnisse. Drei Ergebnisse folgen. Die Birne ist Teil der Erde und wird von der Schwerkraft der Erde gehalten, sodass die seitliche Frage der Verbindung durch die eigene Schwerkraft der Erde beantwortet wird: Die seitliche Last aus §C.2, die kein Hals tragen könnte, wird von einem breiten Körper aus dem eigenen Material der Erde getragen. In ihrem oberen Teil wird die Birne durch den Kontakt bestimmt, den sie trägt, 6,000 km zu Beginn und 3,000 bei der Ablösung. Und die gesamte Birne liegt innerhalb der Korotationslinie, sodass die effektive Schwerkraft entlang der Birne überall zur Erde weist: Sie wird in ihrer Längsrichtung zusammengedrückt, sie hat keine Taille, die sich abschnüren könnte, und nichts von ihr kann in der Umlaufbahn bleiben; nach der Ablösung sammelt die Sortierung sie über zehn bis hunderte Millionen Jahre vollständig in die Erde zurück.

Was aus der Birne wurde. Die Birne ging bei der Ablösung nicht verloren. Nach der Ablösung sammelte die Sortierung sie allmählich in die Erde zurück, über zehn bis hunderte Millionen Jahre. Ihr schwerer Teil sank tief in die Erde unter der Basis der Birne (Teil E); ihre Vorderseite wurde in die Streifen des Nordpazifiks gesammelt und ihre Rückseite in die Bögen des Westpazifiks (Paper 9, Die Streifen). Die Masse verließ die Erde nicht; sie wanderte von hoch außen nach tief innen, und sie hinterließ Falten an der Oberfläche, wo sie eintrat.

Hinter den Kulissen. Zuerst suchten wir einen schmalen Strang zwischen Erde und Körper; er kann die Last nicht tragen. Dann zeichneten wir die Birne mit einem langen Hals, der über die Korotationslinie hinausreichte und abgelöst wurde, als die Spitze sie überschritt. Als die Ablösung dorthin gelegt wurde, wo der Massenmittelpunkt des Mondes die Linie erreicht (Paper 2), verlor der Hals seine Rolle: Die Birne ist ein einziger Bogen von der Erdoberfläche bis zum Kontakt, ganz innerhalb der Linie.

Die Birne vor diesem Paper. Die Form ist für die Physik nicht neu. Poincaré [8] fand 1885, dass die Folge rotierender Flüssigkeitsgleichgewichte vom Maclaurin-Sphäroid zum Jacobi-Ellipsoid übergeht und sich dort in eine birnenförmige, piriforme Figur verzweigt, und er vermutete, dass sich eine Birne in zwei ungleiche Körper teilen könnte. Ein Maclaurin-Sphäroid ist die abgeplattete, im Grundriss runde Form eines gleichförmigen flüssigen Körpers, der langsam rotiert; ein Jacobi-Ellipsoid ist die gestreckte Form mit drei ungleichen Achsen, die ein solcher Körper bei schnellerer Rotation annimmt; die Birne verzweigt sich bei noch schnellerer Rotation von der Jacobi-Form. Darwin übertrug die Idee auf Erde und Mond, und es folgte die Poincaré-Darwin-Spaltungstheorie [9]. In dieser Theorie wird die Birne allein durch die Rotation gestreckt und erfordert daher eine Rotation nahe dem Zerreißen — der Drehimpuls-Einwand, der sie beendete; und Cartan zeigte später, dass dynamische Instabilität dort einsetzt, wo sich die Birne von der Jacobi-Folge verzweigt [10], was die langsame Entwicklung unterbricht, die die Theorie voraussetzte. Die hier vorgeschlagene Birne unterscheidet sich in ihrer Ursache. Ihre Ursache ist ein Mechanismus mit drei Seiten. Die Rotation erzeugt Zentrifugaldruck. Die Sortierung der Erde (Differenzierung) strebt danach, das schwere Material zu konzentrieren, und drückt dabei alles andere nach außen: Das ist der innere Druck. Und die Rotation treibt die Sortierung an. Zusammen erzeugen sie die Anomalie, die die Birne ist. Die Birne bildet sich bei einer 5.5-Stunden-Rotation, deren Rotationsparameter, $\Omega^2/\pi G\rho\simeq0.092$ für den homogenen Mutterkörper (eine frühere Fassung gab 0.093 an), weit unter dem Punkt liegt, an dem der Jacobi-Zweig beginnt. Der Rotationsparameter vergleicht die Rotation mit der Eigengravitation des Körpers; der Vergleich muss auf einer einzigen Skala erfolgen. Auf der hier verwendeten Skala $\Omega^2/(\pi G\rho)$ beginnt der Jacobi-Zweig bei 0.374 (Paper 2, §A.6.5), sodass die 0.092 des Mutterkörpers etwa ein Viertel davon sind; der für denselben Verzweigungspunkt oft angeführte Wert 0.187 ist derselbe Punkt auf der Skala $\Omega^2/(2\pi G\rho)$ und ist nicht direkt mit 0.092 zu vergleichen. Der 5.5-Stunden-Mutterkörper ist daher weit von der Rotation entfernt, bei der die Rotation allein ihn zu einer Birne machen würde. Die Birne wächst hier aus einer Region statt aus dem ganzen Körper; nur ihre Spitze löst sich, sobald der Massenmittelpunkt der Spitze die Korotationslinie erreicht, und der Rest wird durch die Sortierung in die Erde zurückgesammelt. Ein instabiles Gleichgewicht ist kein Hindernis für eine Figur, die angetrieben und dann freigegeben wird. In einem Körper, der bereits sortiert und langsam ist, wie die Erde heute, kann sich keine Birne bilden: Ein solcher Körper hat sich gesetzt, und nichts kann ihn verlassen. Zur Zeit der Birne war die Rotation schnell, die Viskosität gering und die Sortierung erst im Beginn; unter diesen Bedingungen bilden sich Birnen und aus ihnen Monde.

Näher an der vorliegenden Darstellung haben mehrere Autoren vorgeschlagen, dass der Mond eine langsamer rotierende Erde mit Hilfe aus dem Inneren verließ. De Meijer und Kollegen [13] nahmen eine nukleare Explosion nahe der Kern-Mantel-Grenze einer Proto-Erde an, die sich in etwa 5.8 Stunden drehte; Edwards [14] schlug vor, dass sich Wärme und flüchtige Stoffe oberhalb der Proto-LLVPs (großen Provinzen niedriger Scherwellengeschwindigkeit) ansammelten, bis eine Explosion dieses Material samt dem darüberliegenden Mantel in eine niedrige Umlaufbahn schleuderte, wo es sich zum Mond vereinigte. Lock und Stewart [15] zeigten, dass eine heiße, ausgedehnte Erde ihre Korotationsgrenze erreicht und jenseits davon eine ausgedehnte Struktur bildet; und Denton und Kollegen [16] fanden, dass bei Charon, nach einer Kollision an Pluto angeheftet, der Massenmittelpunkt jenseits des Korotationsradius von Pluto lag, bevor sich die beiden trennten. Die Darstellung hier teilt mit den ersten beiden einen Antrieb und mit den letzten beiden eine Grenze, und sie unterscheidet sich von allen in ihrem Verlauf: keine Explosion und keine Trümmerwolke, sondern ein zusammenhängender Körper, allmählich vom Druck gehoben, dessen Spitze sich zu trennen beginnt, wenn ihr Massenmittelpunkt die Korotationslinie erreicht, und kurz jenseits davon abgelöst wird.

Abbildung 13 stellt die beiden Birnen nebeneinander. Links die klassische Figur: der ganze Körper durch die Rotation gestreckt. Rechts die Birne dieses Abschnitts, maßstabsgetreu gezeichnet: eine rotierende Erde gewöhnlicher Form, aus deren einer Region der Druck eine Birne ausgezogen hat, mit dem Mond an ihrer Spitze und seinem Mittelpunkt auf der Linie.

Was die Birne nach außen treibt: erst eine Strömung, dann ein eingeschlossener Druck. Die Birne wächst in zwei Phasen, die durch die Öffnungen auf der Rückseite des Körpers bestimmt werden. Solange diese Öffnungen offen sind, entweicht der Druck durch sie, aber nicht ohne Wirkung: Er erzeugt eine Strömung, die die ganze Länge der Struktur durchläuft, von der tiefen Quelle durch die Birne und den Körper bis zu den Ausgängen auf der Rückseite. Diese Strömung baut die Rückseite und ihre Kraterüberlieferung auf (Paper 6, Die Krater), trägt Material zum äußeren Ende der Birne und hält den schmalen Teil heiß. Danach versiegeln sich die Öffnungen der Rückseite. Wir schlagen vor, dass zwei Ursachen zusammenwirkten: Die Öffnungen waren der Kälte des Weltraums ausgesetzt, und während die Birne wuchs, entfernte sich der ferne Teil des Körpers vom Brennpunkt der Erde und erhielt weniger von ihrer Wärme. Das Ergebnis ist eine Kettenreaktion: weniger Wärme, die fernen Maria versiegeln, weniger Ausgänge bleiben, der Druck steigt, und die Birne verlängert sich. Die meisten Maria der Rückseite versiegelten auf diese Weise und bildeten eine Art geschlossene Kappe, die der Druck von innen drückt. Von da an ist der Druck eingeschlossen, und da das Gewicht des aufsteigenden Materials an der Korotationslinie gegen null fällt, beschleunigt die Birne nach außen. Der Grund ist derselbe wie in §C.5: Nahe der Linie halten sich Schwerkraft und Fliehwirkung nahezu die Waage, sodass das Material dort fast nichts wiegt und ein eingeschlossener Druck, der nicht mehr entweicht, es leicht hinausdrücken kann. Die Basis der Vorderseite ist der heißen Erde zugewandt und versiegelt nicht, solange der Körper angeheftet ist. Bei der Abtrennung erreichte der Druck der Erde den Mond nicht mehr, und mit ihm endeten der innere Druck des Mondes und die Auswürfe. Die großen Maria der Vorderseite waren damals heiß und von geringer Viskosität, weshalb ihre Oberflächen glatt sind wie ein zugefrorener See; sie erstarrten danach langsam und von außen nach innen, über Hunderte Millionen Jahre bis zu ein oder zwei Milliarden — Serenitatis zuerst, sehr nahe der Erde, und Imbrium nach der Abtrennung. Die Krater auf ihnen sind überwiegend klein: Nach der Ablösung wurden kleine und mittlere, von der Erde geschleuderte Tropfen vom Mond angezogen und erzeugten sie (§C.11). Die alten Öffnungen der Rückseite hatten sich vor der Ablösung versiegelt. Ein Mare der Rückseite ist eine Ausnahme: Moscoviense blieb lange aktiv, nachdem die anderen versiegelt waren. Der Autor schlägt vor, dass es von Serenitatis aus gespeist wurde, solange Serenitatis noch innen lag, entlang eines geraden Durchgangs durch das Innere zwischen beiden, und dass es deshalb so lange aktiv blieb.

Die Strömung streckt den schmalen oberen Teil der Birne nicht durch Reibung. Sie streckt ihn durch das, was sie trägt, und durch die Wärme, die sie bringt. Die folgende Tabelle prüft beide Effekte. Für die Speisungsraten aus Teil A, den schmalen oberen Teil der Birne — 3,000 km im Durchmesser und rund 6,000 km lang — und eine Schmelze von 3,000 kg/m$^3$:

Die beiden Spalten sind die beiden Dauern der Speisung aus Teil A (in der letzten Zeile gab eine frühere Fassung 0.0006% für die 600-Myr-Speisung an): die gesamte Mondmasse, geliefert in 100 Millionen Jahren oder in 600 Millionen Jahren. Die Péclet-Zahl vergleicht, wie schnell die Strömung Wärme entlang der Birne trägt, mit der Geschwindigkeit, mit der Wärme durch Leitung abfließt; ein Wert von Tausenden bedeutet, dass die Strömung Wärme weit schneller heranbringt, als sie abfließen kann. Die erstarrte Haut ist die kalte äußere Kruste, die sich auf dem schmalen Teil bilden kann, während die Strömung sein Inneres heiß hält: Je mehr Wärme die Strömung bringt, desto dünner die Haut. Die letzten beiden Zeilen geben die Reibung der Strömung an den Wänden und vergleichen sie mit der Last aus §C.2.

Die Reibung ist vernachlässigbar; die Wärme nicht. Der Zug der Strömung an den Wänden beträgt weniger als ein Hundertstel Prozent der Last der Verbindung. Advektion — der Wärmetransport durch das bewegte Material — übertrifft die Wärmeleitung um drei Größenordnungen, und eine Haut von nur einigen Kilometern bis einigen zehn Kilometern erstarrt über einem schmalen Teil von 1,500 km Radius: Er bleibt geschmolzen und weich, während die Birne ausgezogen wird, und am heißen, unbedeckten Kontakt beginnt sich der Körper zu trennen, wenn sein Mittelpunkt die Linie erreicht, und wird kurz jenseits davon losgezogen (§C.8). Das ist der heiße, weiche Kontakt aus §C.5, der nur wenig widersteht.

C.8 Wo der Körper sich löst: sein Mittelpunkt erreicht die Linie

Dieser Abschnitt legt dar, wo die Ablösung stattfindet und warum der Körper auf eine Umlaufbahn geht, statt zurückzufallen. Der Körper beginnt sich zu trennen, wenn sein Massenmittelpunkt die Korotationslinie erreicht, und wird etwa 210 km jenseits davon abgelöst (§C.5a; Paper 2, §B.8): Dort ist die Geschwindigkeit, die er mit der Rotation mitführt, die Geschwindigkeit einer Kreisbahn, und jenseits davon ziehen ihn die Korotationskräfte nach außen; der innere Druck unter ihm wirkt unterstützend. In der Breite $\varphi$ liegt die Linie bei $r_{\mathrm co}/\cos^{2/3}\varphi$, mit $r_{\mathrm co}=16{,}399$ km beim 5.77-Stunden-Tag. Die Linie rückt mit wachsendem Abstand vom Äquator nach außen, weil der Körper in einer Breite der Rotationsachse näher ist als sein Abstand vom Mittelpunkt und sich auf einem kleineren Kreis dreht; er muss weiter außen liegen, bevor die Geschwindigkeit der Drehung der Bahn entspricht:

Die Distanz wächst langsam mit der Breite: um 888 km zwischen dem Äquator und 22.5°, etwa 5%. Die angenommene Ablösung, 17,287 km bei 22.5°, ist fett gesetzt.

Der Körper liegt dort weit jenseits der starren Roche-Grenze, 10,314 km bei 2,600 kg/m³, und wird von seiner starren, gerundeten Schale zusammengehalten (Paper 7, §C.5). Der Kontakt ist zugleich die schwächste Stelle der ganzen Struktur: die eine Stelle, die die Haut des Körpers nicht bedeckte, und die Stelle, an der die heiße Birne auf ihn trifft.

Was die Birne mit dem Mond tut: Sie hebt ihn, und sie führt ihn herum. Die Birne wirkt auf den Mond in zwei Richtungen zugleich. Radial hebt sie ihn: Der Druck, der die Birne auszieht, hebt den Körper an ihrer Spitze von der Erdoberfläche bis zur Korotationslinie, bei einem Gravitationsaufwand von etwa $1.5\times10^{30}$ J (§A.12). Seitlich führt sie ihn herum: Weil der Mond angeheftet ist, dreht ihn die Birne mit der Erde, und mit jedem Kilometer, den der Mond aufsteigt, muss ihm die seitliche Geschwindigkeit der Rotation bei seiner neuen Distanz gegeben werden. Das Bild ist ein Kind, das auf einem sich drehenden Karussell nach außen geht: Je weiter es hinausgeht, desto schneller muss es sich seitlich bewegen, um mitzuhalten, und das Karussell muss es anschieben, um ihm diese Geschwindigkeit zu geben. Die Birne liefert diese Geschwindigkeit über den Kontakt, und an der Linie ist die gegebene Geschwindigkeit genau die Geschwindigkeit einer dortigen Kreisbahn:

Am Äquator sind die beiden Geschwindigkeiten gleich, 4.96 km/s: Das bedeutet „auf der Linie“. Bei 22.5° beträgt die seitliche Geschwindigkeit $\omega r\cos\varphi$, weil sich der Mond auf einem Kreis mit dem Radius $r\cos\varphi$ um die Rotationsachse dreht; die daraus folgende Bahn wird in Paper 4 berechnet. Der Drehimpuls — Masse mal seitliche Geschwindigkeit mal Abstand von der Achse, die „Menge an Drehung“, die erhalten bleibt, wenn kein äußeres Drehmoment wirkt — steht in der letzten Spalte. Er wird hier mit der Mondmasse $m$ um die Rotationsachse der Erde berechnet; Paper 2 und 4 geben $5.9\times10^{33}$ für die Bahn bei der Ablösung an, dieselbe Größe am Äquator, geschrieben für die Zweikörperbahn mit der reduzierten Masse $m_r$, die 1.2% kleiner ist als $m$.

Der Drehimpuls, den die Birne an den Mond weitergibt, etwa ein Sechstel desjenigen des Systems, wird der Erdrotation entnommen — die Verlangsamung, die der sich zentralisierende Kern ausgleicht (Paper 2, §A.4). Das Heben bringt den Mond zur Linie; das Mitführen gibt ihm bei seiner Ankunft die Geschwindigkeit, um in der Umlaufbahn zu bleiben. Ein von der Erde geworfener Körper hat das Erste und ihm fehlt das Zweite:

Warum der Körper getragen, nicht geworfen werden muss. Die Rotation gibt einem Körper die Geschwindigkeit $\omega r$, die nach außen wächst, während eine Umlaufbahn $\sqrt{GM/r}$ benötigt, die abnimmt; beide treffen sich nur am Korotationsradius. Ein unterhalb der Linie abgelöster Körper fällt zurück, welchen Stoß nach außen er auch erhält, denn ein Stoß nach außen fügt Höhe hinzu, aber nicht die seitliche Geschwindigkeit einer Umlaufbahn. Die Tabelle verfolgt solche Körper auf einer 5.5-Stunden-Erde. „Höchster Punkt“ und „tiefster Punkt“ sind die größte und die kleinste Distanz der Bahn vom Erdmittelpunkt; ein tiefster Punkt unterhalb des Erdradius bedeutet, dass der Körper zur Erde zurückkehrt:

Die ersten drei Zeilen beginnen bei 8,991 km, dem oberen Ende eines Körpers, der tief auf der Erde sitzt: Welcher Stoß nach außen auch immer, selbst 7 km/s, die Bahn taucht dennoch bis etwa 900 km vom Mittelpunkt ab, tief im Inneren der Erde. Ein Stoß hebt den höchsten Punkt, verschiebt den tiefsten aber kaum, weil er keine seitliche Geschwindigkeit gibt. Nur die letzten beiden Zeilen, nahe der Linie bei 15,800 km abgelöst (die Linie liegt beim 5.5-Stunden-Tag bei 15,818 km), bleiben frei von der Erde, und dort genügt ein kleiner Stoß. Auf der Linie selbst ist keiner nötig.

Der angeheftete Aufstieg ist es, der dem Körper die seitliche Geschwindigkeit einer Umlaufbahn gibt. Die Birne hält mit der Rotation Schritt, während sie wächst: Nach außen getragenes Material muss Drehimpuls gewinnen, und die Birne liefert ihn, doch bei den Speisungsraten aus Teil A beträgt die Scherung, die dies vom schmalen oberen Teil der Birne verlangt, größenordnungsmäßig 0.03 Pa — vernachlässigbar für eine geschmolzene, viskose Verbindung —, sodass das Zurückbleiben kein Riss ist, sondern eine Neigung: Der äußere Teil der Birne, von der Achse weggetragen, bleibt hinter der Drehung der Erde zurück, und die ganze Birne neigt sich nach hinten, nach Westen, mit dem Mond an ihrer Spitze (§B.1). Der Drehimpuls, den der Mond noch benötigt, erreicht ihn über den Kontakt. Auf der Linie trägt der Körper die Geschwindigkeit einer Kreisbahn; etwa 210 km jenseits davon abgelöst, trägt er etwas mehr und geht auf eine nahezu kreisförmige Bahn, deren Perigäum der Ablösungspunkt ist (§C.5a; Paper 4). Die Schwerkraft hält ihn auf dieser Bahn, und die auf der schneller rotierenden Erde erzeugte Gezeit zieht ihn in den folgenden Millionen Jahren vorwärts und nach außen.

C.9Was die Birne verlangt

Die Birne ist eine große Struktur, und das Modell muss darlegen, was sie kostet. Dieser Abschnitt stellt ihre Anforderungen zusammen; jede ist eine Bedingung, die der Mechanismus sich selbst auferlegt.

• Masse. Für die Breiten aus §C.7 bei 3,000 kg/m³, von der Erdoberfläche bis zum Kontakt, enthält die Birne etwa 11% der Erdmasse, etwa neun Mondmassen — die 9,000-km-Basis aus §C.7; für Basen von 9,000–11,000 km enthält sie etwa neun bis zwölf. Da sie ganz innerhalb der Korotationslinie liegt, hinterlässt sie keinen Rest der Verbindung in der Umlaufbahn; nach der Ablösung sammelt die Sortierung sie über zehn bis hunderte Millionen Jahre in die Erde zurück, und die Erde wird wieder rund: ihr schwerer Teil tief in die Erde unter der Basis der Birne (Teil E), ihre Vorder- und Rückseite in die Streifen und Bögen des Pazifiks (Paper 9; §C.7).

• Energie. Diese Birne im rotierenden Feld zu heben kostet etwa $8\times10^{30}$ J — mehr als das Fünffache (etwa das 5.4-Fache) des Hebens des Mondes selbst (eine frühere Fassung sagte etwa das Sechsfache) (§A.12). Die Entwicklung, die sie freisetzt — das Absinken des Eisens in den Kern, das größenordnungsmäßig $10^{31}$ J freisetzt —, ist dieselbe, die den Aufstrom antreibt; die vollständige Bilanz ist eine Anforderung (§D.1). Während das Eisen sinkt, reicht die Gravitationsenergie, die es abgibt, der Größenordnung nach aus, um die Birne zu heben.

• Drehimpuls und Wärme. Die sich verlängernde Birne verlangsamt die Erdrotation, und der sich zentralisierende Kern beschleunigt sie; Paper 2 (§A.4) berücksichtigt beides. Die zurückkehrende Birne setzt ihre potentielle Energie als Wärme frei, die in die thermische Geschichte des Mutterkörpers eingeht.

• Druck. Die Quelle muss die Birne ebenso heben und halten wie den Körper; der Drucktest aus §A.9–A.13 ist mit der Masse der Birne zu wiederholen.

• Die Abplattung des Mutterkörpers. Der Drucktest verwendet ein kugelsymmetrisches Feld. Der abgeplattete Mutterkörper ($J_2\simeq0.036$) erhöht die nach innen gerichtete Anziehung um etwa 3% bei 9,000 km vom Mittelpunkt am Äquator und um 1.4% bei 25°N, und um 5.4% an der äquatorialen Oberfläche selbst, wo die Säule den Mutterkörper verlässt (eine frühere Fassung sagte „höchstens 3% nahe der Oberfläche“); entlang der äußeren Säule steigen die Kosten um etwa 3%, und selbst wenn die gesamten Kosten des Hebens um 3% stiegen, etwa 4 GPa, würde der Spielraum von 10.49 GPa sie tragen. Die Korotationslinie am Äquator rückt um etwa 50 km nach außen. ($J_2$ ist das übliche Maß für die äquatoriale Aufwölbung eines Planeten in seinem Schwerefeld; der Wert hier ist der des rotierenden Mutterkörpers.)

• Die Form selbst. Die obigen Breiten und Massen stammen aus runden Querschnitten gleichförmiger Dichte, ohne Strömung; die Gleichgewichtsfigur einer rotierenden Erde unter innerem Druck mit einem Körper an ihrer Spitze ist die Rechnung, die noch aussteht.

C.9aKein Ring um die junge Erde

Ein schneller, an flüchtigen Stoffen reicher junger Planet, der Dampf durch seine Spalten ausstößt, kann sich mit einem Ring umgeben: Der Dampf steigt auf, kondensiert weiter oben zu Eis und Staub und umkreist den Planeten mit Bahngeschwindigkeit. Um die junge Erde dieses Modells konnte sich kein solcher Ring bilden, aus vier Gründen.

1. Die Birne fegte den Raum frei. Die Birne drehte sich einmal am Tag mit der Erde, bis hinaus zur Korotationslinie. Innerhalb der Linie würde Ringmaterial schneller umlaufen, als sich die Birne drehte; es würde die Birne überholen und auf sie treffen. Was im Band der Birne kondensierte, wurde auf ihr gesammelt und wurde zu Material des Körpers auf ihrer Spitze.

2. Die flüchtigen Stoffe hatten einen Weg. Die breite, heiße Verbindung trug die an flüchtigen Stoffen reiche Schmelze hinauf in den Körper (Teil A). Was ein ausgasender Planet an den Weltraum verliert, speiste die Erde in den Mond.

3. Zu heiß, zu nahe an der Sonne. Die junge Erde war heiß und von einer Gesteinsdampfatmosphäre umhüllt (Paper 6, §J.3); in den Höhen, in denen ein Ring stünde, kondensierte Wasser nicht zu Eis.

4. Der Mond räumt den Rest ab. Nach der Ablösung würde der Mond, massereich und etwa 7,200 km jenseits der starren Roche-Grenze (§C.5a), jeden Überrest durch seine Gezeiten und Resonanzen beseitigen.

Der Mond trägt die Überlieferung dieses Fehlens. Ein Körper, der einen Ring durchquert, wird abgeschliffen: Seine Senken werden flach abgetragen, seine Ränder gerundet, seine kleinen Krater ausgelöscht, und der Körper selbst wird verkleinert — der glatte Deimos ist ein Beispiel für eine solche Oberfläche. Das Mondhochland bewahrt eine gesättigte Kraterüberlieferung, und der Mond behielt seine Masse: Er hat nie einen Ring durchquert (Paper 6, §L.8).

C.10 Woraus der Körper besteht: drei Schichten aus einer Birne

Die Birne trägt den Körper nicht nur; sie entscheidet, woraus der Körper besteht. Dieser Abschnitt verfolgt jede der drei Schichten des Mondes — Kruste, Mantel und Kern — zurück zu ihrem Ursprung in der Birne.

Die Birne sortiert, was sie trägt. Über der Aufbauregion ist die äußere Schicht des Mutterkörpers sialisch — leicht und reich an Silizium und Aluminium —, und sie liegt auf dem dichteren, magnesiumreichen Sima darunter. Das Sial war nicht trocken: Die Grenze zwischen den beiden Schichten war geschmiert, und während die Birne ausgezogen wurde, glitt das Sial über dem Sima die Birne hinauf, entlang ihrer Flanken, bis zur Spitze — die Richtung der Sortierung nach außen, angetrieben von den Kräften der Rotation —, und die geschmierte Grenze erleichterte das Gleiten unter Scherung. Als die Spitze abgelöst wurde, ging das Sial mit ihr und wurde zu ihrer Haut — über der oberen Kuppel als die Schale und über dem Ring der unteren Kuppel als das Sial, auf dem der Körper saß, mit ihm abgeschält (§C.4a); nur am Kontakt wurde es von der Wärme weggeschmolzen. Die Rückseite trägt die dicke Kruste, weil sich dort viele Schichten verdichteten Sials sammelten, zusammen mit dem Material, das immer wieder zurückkehrte (§B.7). Ein Teil des Sials blieb nicht an der Oberfläche; er gelangte ins Innere des Mondes.

Unter der Haut ist der Körper die Speisung: der eigene Mantel der Erde, vom Druck gehoben und entlang der Birne getragen. Das gesamte Metall des Mondes ist terrestrisch. Viel Eisen gelangte in die Birne, und zur Spitze hin weniger davon. Entlang der ganzen Birne, die innerhalb der Korotationslinie liegt, weist die effektive Schwerkraft zur Erde, sodass das schwere Material die Birne wieder hinabsank, während das leichte Material zur Spitze aufstieg — und der Druck hebt ohnehin nur Material, das leichter ist als etwa 3,864 kg/m$^3$ (§A.10). Die Birne wirkte als Absetzsäule: Schwere Körner sinken und leichte steigen, so wie sich Sand in einem geschüttelten Glas unter dem Wasser absetzt. Der größte Teil des Eisens, das in die Birne gelangte, kehrte daher nach der Ablösung mit dem Rest der Birne zur Erde zurück; der Mond behielt nur, was die Spitze erreicht hatte. Bei der Abtrennung befand sich das schwere Kernmaterial im letzten Drittel des Körpers; es überschritt die Korotationslinie nicht, und es ging die Birne wieder hinab. Deshalb ist der Mondkern klein: Er ist terrestrisches Eisen, das die Spitze erreichte, während der größte Teil des Kernmaterials in der Birne zur Erde zurückkehrte. Die Strömung, die entlang der Birne lief, trug Wärme und eisenreiches Material über Mare Imbrium und Mare Serenitatis in den Körper — Serenitatis bis zu seiner Abschälung, Imbrium bis zur Abtrennung —, die Öffnungen, die die Speisung aus dem Erdinneren mit dem Inneren des Mondes verbanden (§B.4).

Die Tabelle stellt jede Schicht des Modells neben das, was am Mond gemessen wird:

Jede Zeile stimmt überein: eine aluminiumreiche Kruste aus einer aluminiumreichen Schicht, ein Mantel mit den Sauerstoffisotopen der Erde aus dem Mantel der Erde und ein kleiner Kern, weil der größte Teil des Eisens in der Birne wieder hinabsank.

Die Bilanz lässt es zu. Sial von 30 km Dicke über einer Region von der Größe des Pazifikbeckens enthält etwa $1.4\times10^{22}$ kg bei den 2,800 kg/m$^3$ der Schale (eine frühere Fassung gab $1.3\times10^{22}$ an), rund das Vierfache der Mondkruste; bis zu einem Zehntel der Mondmasse an ins Innere getragenem Sial würde seine mittlere Dichte um etwa 65 kg/m$^3$ senken und seinen Aluminiumgehalt um etwa 1.5 Prozent erhöhen, innerhalb der Unsicherheit heutiger Modelle. Ein Test folgt daraus. Der Anorthosit der Kruste ist arm an Kalium und Thorium, während das Sial der Erde reich daran ist; eine aus dem Sial der Erde gebildete Kruste muss sie beim Schmelzen und Läutern der Haut verloren haben, und die Zusammensetzung der ursprünglichsten Mondanorthosite ist der Ort, dies zu prüfen.

C.11 Nach der Ablösung: Die Erde wirft weiter

Die Ablösung beendete die Aktivität der Erde nicht. Ihre Öffnungen warfen weiter Material aus; das meiste fiel auf die Erde zurück, und ein Teil erreichte den Mond, nun einen eigenständigen Körper, der sich aus einigen Erdradien Entfernung zurückzog. Um den Mond zu erreichen, musste das Material die Erde umso schneller verlassen, je weiter sich der Mond entfernte. Alles war sehr heiß: Die großen Stücke kamen zuerst heraus, und als sich der Magmasturm beruhigte, wurden kleine, noch heiße Stücke ausgeworfen, sodass die Stücke, die den Mond erreichten, mit der Zeit kleiner wurden. Der Mond bewahrte die Überlieferung, in drei Messungen:

Die erste Zeile ist die direkte Messung, grün hinterlegt: Allein auf dem Hochland, mit jedem Mare auf beiden Seiten ausgeschlossen, sodass der Vergleich gleichartig ist, trägt die Vorderseite 1.19-mal so viele frische Krater von 1–2 km wie die Rückseite. Die zweite und dritte Zeile lesen dieselbe Geschichte in den Maria: Die Böden erstarrten der Reihe nach, und die Krater auf ihnen reichen abgestuft von groß und geschmolzen bis klein und scharf.

Die Vorderseite, der Erde zugewandt, verlor ihre alten Krater früh, durch die Wärme des Kontakts und durch ihre eigenen Maria, und sammelte mehr von den letzten. Der letzte Verstreuer von Kratern auf dem Mond war die Erde. Die Überlieferung schließt die Darstellung der Verbindung ab: Der abgelöste Körper wurde nicht von einem ruhigen Mutterkörper abgetrennt, sondern von einer Erde, deren Öffnungen noch aktiv waren und deren Aktivität nachließ, während sich der Mond entfernte. Ein Fluss von Körpern von außen, wie die Literatur die kleinen Krater deutet, sagt keinen Überschuss auf der Vorderseite voraus, nur einen kleinen auf der in Bewegungsrichtung vorderen Seite.

Die Teile A–C haben den Mechanismus aufgebaut: Teil A bezifferte die Speisung von innen, Teil B verfolgte die Schale, die von außen aufstieg, und Teil C verband beide über die Birne und ihre Ablösung. Dieser Teil macht aus denselben Ergebnissen Tests. Der Grund, sie an einem Ort zusammenzustellen, ist einfach: Ein Modell kann immer Merkmale finden, die ihm ähneln, und solche Übereinstimmungen einzeln zu zählen beweist wenig. Entscheidend ist, ob jede Anforderung mit einer Zahl oder einer Geometrie formuliert werden kann und ob es eine Messung oder eine Rechnung gibt, die sie prüft. Jede Zeile der folgenden Tabelle gibt daher eine Aussage, die quantitative Anforderung dahinter und den Test, der sie prüft.

D.1Tests des Mechanismus

Die Tabelle wird Zeile für Zeile gelesen. Die ersten sechs Zeilen sind Anforderungen an den Mechanismus selbst (Druck, Rate, Energie, Stabilität, Abkühlung, Ablösung); die nächsten vier sind Vorhersagen über die Oberfläche und Kruste des Mondes, die aus der Anteilsregel von Teil B folgen; die letzten drei betreffen den Ablösungspunkt und das Schicksal der Birne.

Wie die Zeilen zu lesen sind. Die erste Zeile ist die Druckbilanz von Teil A in einer Zeile: Der Quelldruck $p_s$ muss die Summe aus der hydrostatischen Druckhöhe $p_{\mathrm{head}}$ (dem Gewicht der zu hebenden Materialsäule, von der Quelle bis zur Korotationslinie), der Last $p_{\mathrm{load}}$ des auf der Verbindung stehenden Körpers und den Verlusten $\Delta p_{\mathrm{loss}}$ der viskosen Strömung entlang des Weges übersteigen. Teil A findet diesen Rest positiv für jede tiefe Schmelze, die leichter ist als etwa 3,864 kg/m³. Die zweite Zeile fragt, ob die Speisung schnell genug ist: Die Nettoströmung, über die Zeit aufsummiert, muss die innere Masse $M_{\mathrm{int}}$ innerhalb der verfügbaren Zeit liefern. Im Szenario beträgt diese Zeit etwa 600 Millionen Jahre vom Beginn der Aufwölbung bis zur Ablösung bei 3.873 Ga — rund 400 Myr für die Aufwölbung und die Birne, etwa 100 Myr für die Abplattung und etwa 100 Myr weitere bis zur Ablösung —, wobei 100 Millionen Jahre als Sensitivitätsfall beibehalten werden (Teil A). Der Test ist die Strömung über den gesamten zulässigen Bereich von Viskosität und Öffnungsweite: Sie muss schnell genug sein, und der Durchgang muss offen bleiben, bis der Körper vollständig ist.

Die dritte bis sechste Zeile fragen, ob die Energie vorhanden ist, ob der angeheftete Körper in drei Dimensionen stabil ist, ob sein Äußeres sich versteifen kann, während seine Basis mobil bleibt, und ob die Verbindung die Last bis zum richtigen Moment trägt und dann nachgibt. Jede wird durch eine Rechnung über den gesamten zulässigen Bereich geprüft: Energie, die die sich entwickelnde Erde freisetzt, ein Körper, der zusammenhält, während seine Masse gesammelt wird, Abkühlung und Mobilität, die sich zeitlich überlappen, und eine Verbindung, die weder zu früh versagt (der Körper würde zurückfallen oder zerbrechen) noch für immer hält. Die siebte Zeile legt die Reihenfolge der Ereignisse fest: Der Körper rundet sich zuerst nach außen, plattet sich dann ab, rundet sich dann nach innen, und diese Abfolge ist vor der Abtrennung weit fortgeschritten. Sie wird durch ein einziges Zeitmodell geprüft, das die Speisung, die Abkühlung und das Versagen der Verbindung gemeinsam haben.

Die nächsten vier Zeilen sind Vorhersagen, die auf dem Mond selbst geschrieben stehen. Die Anteilsregel besagt, dass, während sich der gestauchte Körper nach außen rundete, jeder Teil seiner Oberfläche seinen Anteil am Ganzen behielt: Der Kontakt wurde zu einer Kappe auf der Vorderseite von etwa $31^\circ$ um das Kontaktzentrum, der abgeschälte Ring zu einem Gürtel bis $70^\circ$ und die obere Kuppel zum Rest, der Rückseite. Sie wird geprüft, indem man Beckenklassen und Krustendicke gegen den Winkelabstand vom Kontaktzentrum, 24.1°N 335.2°E, aufträgt (Paper 11). Die mitgeführte Überlieferung besagt, dass Krater, die auf der freiliegenden Schale entstanden, mit ihr wanderten und ihre Größe behielten und dass die Pole sie während der Rundung nach innen sammelten: Die älteste Kraterpopulation sollte auf der Rückseite am dichtesten sein, weniger dicht im Gürtel und am wenigsten dicht in der Kappe, ohne Größenunterschied zwischen Rück- und Vorderseite. Sie wird durch Kraterstatistik nach Zonen und durch Größentests geprüft (Paper 7, §D.5). Die geschichtete Kruste der Rückseite besagt, dass die Rückseite Schicht um Schicht aufgebaut wurde, die späteren Schichten leichter und reicher an Fluiden, sodass der Eisengehalt mit der Tiefe steigt, auf der Rückseite stärker als auf der Vorderseite. Die Zentralberge von Kratern fördern Material aus bekannter Tiefe herauf, sodass ihre Zusammensetzung gegen die Herkunftstiefe das Profil misst.

Die letzten drei Zeilen betreffen die Ablösung und das, was folgte. Ablösung auf der Linie: Der Mond beginnt sich zu trennen, wenn sein Massenmittelpunkt die Korotationslinie erreicht, und wird etwa 210 km jenseits davon abgelöst ($\Delta r\simeq2d_0$, ein Kontakt von etwa 105 km Dicke; die Suche nach der Ablösungsdistanz in §C.5a); der Kontakt widersteht nur wenig, und der Körper wird mit Kraft nach außen gezogen — der Zug, der die Spatelrücken hochzog. Das ist die Ablösung, die die Umlaufbahn von Paper 2 und 4 verlangt. Die Birne neigt sich nach Norden: Die Basis stand nahe 1.9°N, während die Spitze etwa 22.5°N erreichte. Die Rotation allein drückt Material zum Äquator, sodass die Neigung nach Norden von der Speisung stammen muss, die schräg aus einer tiefen Quelle nördlich des Äquators aufstieg; dies wird an der Geometrie der tiefen Quelle und des Speisungswegs sowie an der Lage der Basis geprüft (Teil E). Die Birne wird vollständig zurückgesammelt: Weil die Birne ganz innerhalb der Korotationslinie lag, wo die Schwerkraft der Erde den nach außen gerichteten Zug der Rotation überwiegt, konnte nichts von ihr in der Umlaufbahn bleiben. Sie ist Teil der Erde, und nach der Ablösung sammelte die Sortierung sie über zehn bis hunderte Millionen Jahre in die Erde zurück (Teil E).

Ein einzelnes Dichtebeispiel spricht für dieses Beispiel, nicht für jedes Szenario verbundener Speisung; und das Bestehen eines Drucktests entscheidet für sich allein nicht über Stabilität, Energie oder die Verbindung. Ein einziger Parametersatz muss alle Anforderungen erfüllen. Das ist der Maßstab, den sich das Paper setzt: Die dreizehn Zeilen sind nicht dreizehn unabhängige Stimmen für das Modell, sondern dreizehn Bedingungen, die dieselbe Erde, dieselbe Speisung und derselbe Körper zugleich erfüllen müssen.

D.2 Ergebnisse, nach denen auf dem Mond gesucht werden kann

Die Frage dieses Abschnitts ist, auf welche Merkmale des heutigen Mondes sich der Mechanismus unmittelbar auswirkt und wie weit jedes als Test verwendet werden kann.

Wenn eine Seite länger anhaltende Speisung und Erwärmung erhielt und die gegenüberliegende Seite früher abkühlte, ist eine thermische und strukturelle Asymmetrie zu erwarten. Im Modell saß die Vorderseite auf dem Kontakt, über der Speisung, und blieb länger heiß, während die Rückseite die obere Kuppel war, freiliegend und abkühlend. Ihr Vorzeichen und ihre Stärke hängen auch vom äußeren Material, von der Durchmischung und von der späteren Entwicklung ab. Daten von GRAIL — einem Paar von Raumsonden, das das Schwerefeld des Mondes im Detail kartierte — liefern Randbedingungen für die Dichte und die Dicke der Kruste [4]; der vollständige Vergleich zwischen den Beobachtungen und den Anforderungen des Modells gehört in Paper 11.

Ein Versatz des Massenmittelpunkts hängt von der vollständigen Dichteverteilung ab. Der Massenmittelpunkt des Mondes muss nicht mit dem Mittelpunkt seiner äußeren Figur zusammenfallen; der Abstand zwischen beiden ist gegeben durch $$\Delta\mathbf r_{\mathrm{CM}}= \frac{1}{m}\int_V\delta\rho(\mathbf r)\,\mathbf r\,dV. \tag{24}$$ Dabei ist $m$ die Masse des Mondes, $V$ sein Volumen, $\mathbf r$ die Position eines kleinen Volumens $dV$, gemessen vom Mittelpunkt der Figur, und $\delta\rho(\mathbf r)$ die Abweichung der Dichte an diesem Punkt vom Mittelwert. In Worten: Jeder Ort, der dichter ist als der Durchschnitt, zieht den Massenmittelpunkt zu sich hin, jeder Ort, der leichter ist als der Durchschnitt, schiebt ihn weg, jeweils gewichtet mit seinem Abstand vom Mittelpunkt.

Er lässt sich daher nicht allein aus der Kappendicke ableiten, ohne einen Dichtekontrast und eine Kompensation zu wählen. Eine dicke Kruste auf einer Seite verschiebt den Massenmittelpunkt nur so weit von dieser Seite weg, wie die Kruste leichter ist als das, was unter ihr liegt, und nur in dem Maß, in dem sich die tieferen Schichten nicht angepasst haben, um sie auszugleichen (Kompensation). Das Vorhandensein einer metallischen Komponente im Mond, seismologisch untersucht [5], erfordert im Modell zudem einen geeigneten Transfer- und Trennungsmechanismus; es beweist nicht, dass das Metall gerade über die in Teil A vorgeschlagene konzentrierte Speisungsregion nördlich des Äquators ankam.

Die unterscheidende Beobachtungsvorhersage muss eine bestimmte Kombination aus Richtung, Geometrie, Zusammensetzung und Alter sein. Eine durch Anpassung an eine Beobachtung abgeleitete Zahl ist keine unabhängige Vorhersage dieser Beobachtung: Wurde ein Parameter so gewählt, dass das Modell einen gemessenen Wert reproduziert, kann diese Übereinstimmung nicht danach als Erfolg gezählt werden. Die auf der Kuppel mitgeführte Kraterüberlieferung wird in §B.6 formuliert und in Paper 11 und 6 geprüft.

D.3 Neuheit und Reichweite der Schlussfolgerung

Die Arbeit untersucht den inneren Aufbau eines angehefteten Körpers über ein einziges System von Anforderungen an Druck, Rate, Masse und Spannung, im Rotationsrahmen von LEF. Das besondere Ergebnis von Teil A ist, dass eine Verbreiterung des Durchgangs die radiale Stützung und die Strömung erleichtert, aber die Masse der Verbindung erhöht und die seitliche Last nicht beseitigt. Durch ein breiteres Rohr lässt sich Material leichter drücken, und es hält seine Säule leichter oben, doch je breiter es ist, desto mehr wiegt es, und der seitliche Zug des rotierenden Systems an ihm bleibt bestehen. Das besondere Ergebnis von Teil B ist, dass ein Körper von Mondmasse, auf einem 6,000-km-Kontakt sitzend, mit seiner oberen Kuppel etwa 3,650 km über dem Rand, ein Volumen von $5.65\times10^{19}$ m³ umschließt — das Doppelte der $2.83\times10^{19}$ m³ der Kugel bei der Ablösung — und damit die aufgeschäumte Dichte hat, die Teil A verlangt, 1,300 kg/m³ — die geringe Dichte einer mit Gasblasen gefüllten Schmelze —, und dass die Kruste der Rückseite und die Expositionszonen aus derselben Geometrie folgen: die Rückseite Schicht um Schicht aufgebaut, die Vorderseite abgeschält. Teil C verbindet beide: Der breite Kontakt, den Teil A verlangt, ist die Basis der Kuppel aus Teil B, und an der Korotationslinie beginnt sich der Körper zu trennen, um etwa 210 km jenseits davon abgelöst zu werden.

Die Gleichungen von Schwerkraft, Druck und Strömung sind Standardphysik. Die LEF-Architektur und die Anwendung des gemeinsamen Tests sind der Beitrag dieser Arbeit. Ohne eine eigene Literaturübersicht wird hier keine historische Priorität für jede Komponente des Modells beansprucht; die Übersicht der Quellen und die Einordnung finden sich in Anhang A.

Das Paper schließt mit einer Machbarkeitsanalyse, einem scharfen negativen Ergebnis — ein masseloser zylindrischer Durchgang, der allein Druck überträgt, kann den Mond nicht aufbauen — und einem geometrischen Ergebnis, das darauf antwortet: Die breite, heiße, massive Verbindung, die das negative Ergebnis verlangt, ist die breite Spitze der Birne, ein Teil der Erde, von der Schwerkraft der Erde gehalten, die einen Körper von Mondmasse bei der aufgeschäumten Dichte trägt. Das negative Ergebnis schließt das einfachste Bild aus, ein dünnes Rohr, durch das allein der Druck den Mond hinausdrückt; das geometrische Ergebnis zeigt, dass die Verbindung, die die Physik tatsächlich verlangt, keine zusätzliche Annahme ist, sondern die Form, die die Erde selbst annimmt. Die tiefe Zustandsgleichung, die Energiefreisetzung und die dreidimensionale Struktur sind die drei Anforderungen, die es weitergibt, jede mit ihrem Test in §D.1 formuliert.

D.4 Schlussfolgerungen

Die Schlussfolgerungen folgen der Reihenfolge des Papers: das Testsystem (1), der Druck (2), der Durchgang (3), die Abkühlung (4), die seitliche Last (5), die Birne und die Ablösung (6), der Körper auf der Spitze (7) sowie die Kruste und die weitergegebenen Anforderungen (8).

1. Die innere Speisung eines angehefteten Körpers lässt sich über Bilanzen von Masse, Druck, Impuls und Energie formulieren. Das Paper definiert ein quantitatives Testsystem für den Mechanismus.

2. Im definierten kugelsymmetrischen Drucktest lässt eine tiefe Dichte von 3,500 kg/m³ vor Last und Verlusten 10.49 GPa übrig; 4,000 kg/m³ scheitert. Die Nullschwelle liegt unter den genannten Annahmen bei etwa 3,864 kg/m³: Eine tiefe Schmelze, die leichter ist, kann vom Quelldruck bis zur Korotationslinie gehoben werden, eine schwerere nicht.

3. Im gemeinsamen Test des nicht-äquatorialen Zustands ist ein Durchgangsradius von etwa 1,000 km für die gewählten Eingangswerte die Schwelle des radialen Gleichgewichts. Schon an dieser Schwelle beträgt die Masse des äußeren Segments etwa 0.46 der Mondmasse, sodass sie in der Systembilanz nicht vernachlässigt werden kann: Ein Durchgang, breit genug, um die Speisung zu tragen, wiegt selbst fast einen halben Mond.

4. Ein thermischer Gradient bietet eine Grundlage, um zu untersuchen, wie sich das Äußere verfestigen kann, während das Innere mobil bleibt. Die endgültige Dicke und der Erhalt von Strukturen erfordern eine gekoppelte thermische und rheologische Lösung.

5. Der Test der seitlichen Spannung schließt im gewählten Zustand eine Stützung allein durch Druck über einen radialen Querschnitt aus. Die nicht-äquatoriale Rechnung ergibt in den geprüften Beispielen Anforderungen an die Verbindung in der Größenordnung von $10^{22}$ Newton. Eine radiale Komponente von null beseitigt die Gesamtlast nicht und bestimmt für sich allein nicht die Abtrennung.

6. Rundung, Druck und Rotation wirken gemeinsam an der Trennung von einer breiten Verbindung mit; die Aufwölbung wird zu einer Birne ausgezogen, einem Teil der Erde, deren Spitze zum Körper wird; der Körper beginnt sich zu trennen, wenn sein Massenmittelpunkt die Korotationslinie erreicht — etwa 16,400 km am Äquator, 17,287 km bei 22.5° —, und wird etwa 210 km jenseits davon abgelöst, unterstützt vom inneren Druck (§C.7–C.8). Die Birne hebt den Mond radial und gibt ihm, weil der Mond angeheftet ist, die seitliche Geschwindigkeit einer Umlaufbahn. Nach der Ablösung sammelt die Sortierung die Birne über zehn bis hunderte Millionen Jahre vollständig in die Erde zurück: Ihr schwerer Teil sinkt tief in die Erde unter der Basis der Birne, ihre Vorderseite wird in die Streifen des Nordpazifiks gesammelt und ihre Rückseite in die Bögen des Westpazifiks (Paper 9, Die Streifen; Teil E). Die Masse verlässt die Erde nicht; sie wandert von hoch außen nach tief innen.

7. Der Körper sitzt auf der breiten Spitze der Birne, ein gestauchter Körper über einem 6,000-km-Kontakt, dessen obere Kuppel bei der aufgeschäumten Dichte von 1,300 kg/m³ etwa 3,650 km hoch steht. Er rundet sich nach außen, wobei jeder Teil seinen Anteil an der Oberfläche behält: Der Kontakt wird zu einer Kappe auf der Vorderseite von etwa $31^\circ$, der abgeschälte Ring zu einem Gürtel bis $70^\circ$, die obere Kuppel zur Rückseite. Danach plattet er sich ab und rundet sich nach innen.

8. Die Kruste der Rückseite ist das Sial der Erde — die leichte äußere Schale, reich an Siliziumdioxid und Aluminium — und das Material, das immer wieder zurückkehrte, viele Schichten verdichteten Sials, ein kleiner Bruchteil der Mondmasse, und die Kruste der Vorderseite ist das Sial der unteren Kuppel, mit dem Körper abgeschält, durch Wärme über dem Kontakt geglättet und am dünnsten unter den Maria, den Öffnungen; die übrigen 94–96% sind das tiefe Material aus Teil A (eine Schätzung aus dem früheren Schalenbild, neu zu berechnen). Die Expositionsabfolge steht auf dem Mond als drei konzentrische Zonen geschrieben; die Krater behalten ihre Größe, und die Pole sammeln sie; die Kruste der Rückseite wird mit der Tiefe dichter und eisenreicher — Vorhersagen, die mit ihren Tests an Paper 11, 6 und 7 übergeben werden. Der Zeitpunkt des Versagens, die dreidimensionale Stabilität, die tiefe Zustandsgleichung und die Energiebilanz sind die vier Anforderungen, die der Mechanismus sich selbst auferlegt; jede ist in §D.1 mit ihrem Test formuliert.

Was wir jetzt haben, ist ein Mechanismus, formuliert als ein Satz von Bedingungen, jede mit ihrem Test. Teil E verfolgt den einen Teil des Systems, der nicht fortging: die Birne.

Der Mond ging; die Birne blieb. Da sie ganz innerhalb der Korotationslinie lag, konnte sie dem Mond nicht in die Umlaufbahn folgen. Die Birne ging nicht mit dem Mond; nach der Ablösung sammelte die Sortierung sie über zehn bis hunderte Millionen Jahre in die Hälfte der Erde zurück, die sie getragen hatte. Ihre Masse verließ die Erde nicht; sie wanderte von hoch außen nach tief innen. Eine so große Masse — neun bis zwölf Mondmassen aus dem eigenen Material der Erde, in der Tiefe eisenreich — wurde in die Region unter dem Pazifik gesammelt, wo die Birne stand. Dieser Teil hält fest, wo die Basis der Birne relativ zu dem liegt, was seismische Bilder heute am Grund dieser Region zeigen, und was die Birne im Erdinneren bewirkte, solange sie stand. Die Natur der tiefen Provinzen bleibt offen.

E.1Zwei Provinzen an der Basis des Mantels

Die tiefe Erde wird durch seismische Tomographie abgebildet. Erdbeben senden Wellen durch den ganzen Planeten; an Tausenden von Stationen aufgezeichnet, zeigen ihre Laufzeiten, wo sich die Wellen schneller oder langsamer als im Durchschnitt bewegten, ähnlich wie eine medizinische CT-Aufnahme ein Bild des Körpers aus vielen Röntgenstrahlwegen aufbaut. Scherwellen (S-Wellen), die das Material seitlich schütteln, sind besonders empfindlich für Temperatur und Zusammensetzung: Sie werden langsamer, wo das Material heißer, weicher oder anders zusammengesetzt ist.

Die seismische Bildgebung findet zwei kontinentgroße Provinzen niedriger Scherwellengeschwindigkeit an der Basis des Erdmantels, eine unter Afrika und eine unter dem Pazifik, die sich jeweils Tausende von Kilometern seitlich und bis zu etwa 1,000 km über die Kern-Mantel-Grenze erstrecken [11]. Das sind die großen Provinzen niedriger Geschwindigkeit (LLVPs): große Regionen des untersten Mantels, direkt über dem Kern, in denen Scherwellen langsam laufen. Die meisten Beobachtungen sprechen für eine thermochemische Natur — Material, das sich in seiner Zusammensetzung vom umgebenden Mantel unterscheidet, nicht nur in der Temperatur —, und beide Provinzen liegen unter den Plumes und Hotspots der Platten über ihnen: Sie drücken heute auf den oberen Mantel. Ein Plume ist eine Säule heißen Materials, die tief aus dem Mantel aufsteigt; wo sie die Oberfläche erreicht, speist sie einen Hotspot, etwa die Vulkane von Hawai‘i.

Sie sind einander nicht gleich. Die afrikanische Provinz reicht höher hinauf als die pazifische, die pazifische ist niedriger und breiter, und eisenreiches Material ultraniedriger Geschwindigkeit liegt an ihrem Rand unter Hawai‘i. Zonen ultraniedriger Geschwindigkeit (ULVZs) sind dünne Flecken auf der Kern-Mantel-Grenze, in denen seismische Wellen weit stärker verlangsamt werden als in den Provinzen selbst; ein hoher Eisengehalt ist eine der für sie vorgeschlagenen Deutungen.

Die Natur der Provinzen ist noch umstritten. Sie könnten zum Beispiel kernverwandtes Material sein, dessen Sortierung nicht abgeschlossen wurde, oder Material, das sich noch sehr langsam sortiert. Dieses Paper schlägt keine Deutung vor; es verwendet sie nur als Karte der Region unter dem Pazifik, wo die Birne stand.

E.2 Wo die Birne stand

Die Birne stand über der Region unter dem Pazifik. Nach der Ablösung sammelte die Sortierung sie in die Erde zurück: Ihr schwerer Teil — etwa neun Mondmassen Sima, die den größten Teil des in sie aufgestiegenen Eisens trugen (§C.10) — sank tief in die Erde unter der Basis der Birne; ihre Vorderseite wurde in die Streifen des Nordpazifiks gesammelt und ihre Rückseite in die Bögen des Westpazifiks (Paper 9, Die Streifen). Sima ist das dichtere, an Siliziumdioxid und Magnesium reiche Material, das unter dem leichten Sial liegt; das Eisen, das es trug, machte es noch dichter. Ob irgendein Teil der heute unter dem Pazifik sichtbaren tiefen Struktur mit der Birne zusammenhängt, wird hier nicht behandelt: Das Paper hält nur fest, wo die Basis der Birne relativ zu dieser Struktur liegt (§E.4).

E.3Andere Deutungen der Provinzen

Die Provinzen wurden kürzlich als Überreste des Mantels von Theia vorgeschlagen, des Körpers, dessen Einschlag nach der gängigen Darstellung den Mond bildete: Sein eisenreicher Mantel wäre zur Basis des Erdmantels abgesunken und hätte dort überdauert [12]. Der Urheber dieses Vorschlags hat angemerkt, dass ein anderer Ursprung des Mondes, einer ohne Theia, eine Neubewertung des Ursprungs der Provinzen erfordern würde. Edwards [14] hat den Mond aus einer anderen Richtung mit den Provinzen verbunden, mit einer Explosion oberhalb der proto-pazifischen Provinz, die ihr Material in eine Umlaufbahn schleuderte. Das vorliegende Paper bietet keine eigene Deutung an. Es hält nur fest, dass in diesem Modell die Birne das eigene Material der Erde war und nichts Fremdes in den Erdmantel gelangte.

E.4Die Lage der Basis

Eine Messung setzt die Birne mit der tiefen Erde in Beziehung: die Lage ihrer Basis.

• Lage — gemessen. Das Modell legt die Basis der Birne nahe Kiritimati (etwa 1.9°N, 157.5°W, §B.1). Dieser Punkt liegt über der pazifischen Provinz, innerhalb ihrer Grenze in den veröffentlichten Modellen des untersten Mantels, in jedem geprüften Modell (Tabelle und Abbildung 14): Alle fünf tomographischen Modelle der Clusteranalyse von Cottaar & Lekic [17] stimmen für den Punkt als langsam, und er liegt weit innerhalb der $-1\%$-Kontur sowohl von SMEAN [18] als auch von SMEAN2 [19] bei 2,800 km, mehr als 1,200 km vom nächsten Rand entfernt. Die Basis steht über dem nördlichen Teil der Provinz, rund 1,500 km nördlich ihres Zentrums; die große Zone ultraniedriger Geschwindigkeit nahe Hawaii [20] liegt etwa 1,100 km von dem Punkt entfernt, gemessen an der Kern-Mantel-Grenze.

Die drei im Test verwendeten Maße brauchen je ein Wort. Verschiedene Forschungsgruppen erstellen aus verschiedenen Daten und Methoden verschiedene tomographische Modelle, und diese stimmen nicht in jedem Detail überein. Abstimmungskarten machen aus dieser Uneinigkeit eine Zählung: Cottaar & Lekic [17] ordneten jeden Punkt des untersten Mantels in jedem von fünf Modellen als langsam, neutral oder schnell ein, und die Stimmenzahl ist die Zahl der Modelle, die den Punkt als langsam einstufen; fünf von fünf bedeutet, dass jedes Modell ihn innerhalb einer langsamen Provinz verortet. SMEAN und SMEAN2 sind Mittelwerte mehrerer Scherwellenmodelle; $\delta V_S$ ist die Abweichung der Scherwellengeschwindigkeit vom Mittelwert in dieser Tiefe, sodass $-2.25\%$ bedeutet, dass die Wellen dort 2.25% langsamer als im Durchschnitt laufen. Die $-1\%$-Kontur ist der übliche Umriss der Provinz, und ein Punkt weit innerhalb davon, mit dem Rand mehr als tausend Kilometer entfernt, ist kein Grenzfall.

Die Länge 202.5°E in der Tabelle ist dieselbe wie 157.5°W, geschrieben auf einer Skala, die von 0 bis 360° ostwärts läuft. Die Basis ist das östliche Ende des Fußabdrucks der Birne. Die frühere Deutung der Quellregion, zentriert nahe 25°N, 165°E, ist die Rückseite der Birne, die sich nach Westen und Norden neigte (§B.1). Paper 9 (Die Streifen) verortet den Abdruck der Spitze zwischen zwei Knicken der Streifen des Nordpazifiks, 3,360 km breit und zentriert bei 9.3°N, 169.3°E, etwa 3,760 km westlich der Basis (eine frühere Fassung gab 3,770 km an), und die Rückseite der Birne in den Bögen des Westpazifiks. Dieser Abschnitt betrifft die Basis, unter der der schwere Teil absank.

Die grünen Zeilen sind die drei Maße, die den Punkt innerhalb der Provinz verorten; die letzten beiden Zeilen verorten ihn innerhalb der Provinz. Der Punkt liegt im nördlichen Teil der Provinz, 1,476–1,657 km nordnordöstlich ihres Zentrums, das die drei Modelle übereinstimmend südlich des Äquators verorten. Die hawaiianische ULVZ ist an der Oberfläche 2,050 km entfernt, an der Kern-Mantel-Grenze aber nur 1,120 km: Derselbe Winkel zwischen zwei Punkten überspannt auf der Kern-Mantel-Grenze, deren Radius nur etwa halb so groß ist wie der der Erde, eine kürzere Distanz.

Abbildung 14 zeigt die Messung auf den Karten selbst: Der Punkt nahe Kiritimati fällt in die gestrichelte $-1\%$-Kontur beider gemittelter Modelle und auf den dunkelsten Ton der Abstimmungskarte, wo alle fünf Modelle übereinstimmen.

• Isotope in Plume-Basalten. In diesem Modell war die Birne das eigene Material der Erde, und nichts Fremdes gelangte in den Mantel; von Plumes, die aus einer der beiden Provinzen aufsteigen, wird daher erwartet, dass sie die eigene Isotopensignatur der Erde tragen, ohne eine der Erde fremde Komponente. Isotope sind Varianten eines Elements, die sich geringfügig in ihrer Masse unterscheiden; ihre Verhältnisse unterscheiden sich von Körper zu Körper im Sonnensystem und wirken so als Fingerabdruck der Herkunft.

E.5Der Erdkern während der Birne

Die Birne wirkte auch auf die Erde, solange sie stand. Die Frage dieses Abschnitts ist, was eine so große angeheftete Masse im tiefen Erdinneren bewirkte und ob eine Überlieferung davon erhalten bleiben konnte.

In diesem frühen Stadium hatte die Erde fast keinen Kern. Sie war eine sich bildende Erde: Ihre Schichten waren noch nicht festgelegt, nur die ersten Anzeichen einer Schichtung waren erschienen, und in ihrem Zentrum lag ein breiter Vorkern — Material, das später zum Kern werden sollte, noch nicht von seiner Umgebung getrennt. Als sich dieser Körper drehte und begann, die Birne auszuziehen, nahm der breite Vorkern dieselbe Form an: eine ausgedehnte innere Birne, die sich der äußeren entgegenstreckte.

Solange die Birne stand, standen sieben bis zwölf Mondmassen aus dem eigenen Material der Erde auf einer Seite der Erde, zwischen ihrer Oberfläche und rund 15,400 km von ihrem Mittelpunkt (eine frühere Fassung gab 16,000 km an) (§C.7 gibt bei der Ablösung 8.8–12.1 Mondmassen für Basen von 9,000–11,000 km an). Ihre Schwerkraft reicht bis zum Mittelpunkt. Der Vorkern ist dichter als das ihn umgebende Material, und in einem Feld, das auf das gesamte Innere wirkt, wird er zur Birne hin gezogen, wie ein Gewicht in einer Flüssigkeit, bis ihn der Zug des Materials, das er verdrängt, hält. Weil die Birne Teil der Erde und kein eigenständiger Körper ist, bewegt sich die Erde als Ganzes nicht auf sie zu; ihr Feld wirkt auf das Innere als stetiges Feld.

Die Tabelle gibt die Felder im Erdmittelpunkt zu Beginn der Birne und bei der Ablösung an, für die schmalste und die breiteste Basis. Das Nettofeld ist der Zug der Birne plus der kleine Zug des Mondes, abzüglich des Zentrifugalterms: Erde, Birne und Mond drehen sich gemeinsam um ihren gemeinsamen Massenmittelpunkt, der vom Erdmittelpunkt zur Birne hin versetzt liegt, und diese Drehung gibt dem Erdmittelpunkt eine Beschleunigung, die von dieser Seite weg gerichtet ist. Die Farbe vertieft sich in der Tabelle nach unten, während die Birne wächst und ihr Zug mit ihr.

Eine Verschiebung in Kilometern wird nicht angegeben und kann es nicht werden. Sie würde einen festgelegten Kern, einen festgelegten Mantel um ihn und eine Steifigkeit zwischen beiden erfordern, und in diesem Stadium existierte nichts davon. Die Tabelle gibt nur den Zug und seine Richtung an. Wir schlagen vor, dass sich der innere Vorkern zur Birne hin ausdehnte, solange die Birne stand — einen großen Teil der rund 600 Millionen Jahre vom Beginn der Aufwölbung bis zur Ablösung bei 3.873 Ga. Die Richtung beruht auf einer Annahme: dass das an der tiefen Quelle zurückgelassene Defizit vom umgebenden Material aufgefüllt und verteilt wurde, während die Speisung aufstieg; ein neben dem Mittelpunkt an Ort und Stelle verbliebenes Defizit würde in die andere Richtung drücken.

Nach der Ablösung sammelte die Sortierung die Birne allmählich in die Erde zurück, über zehn bis hunderte Millionen Jahre, und ihr Material verteilte sich über die Hälfte der Erde, an der sie angeheftet gewesen war. Als unkompensierte Schicht würde es das Innere weiterhin zu dieser Hälfte hin ziehen — das Feld einer solchen Schicht im Mittelpunkt, $GM/2R^2$, beträgt 0.53–0.73 m/s². Dabei ist $M$ die Masse der Schicht und $R$ der Erdradius; der Ausdruck ist der Zug einer dünnen Schicht, die eine Hälfte der Oberfläche einer Kugel bedeckt, im Mittelpunkt dieser Kugel. Doch eine leichte Schicht auf einem flüssigen Mantel bleibt nicht unkompensiert: Der Mantel unter ihr passt sich an, und das Fernfeld einer kompensierten Last ist klein. Kompensation ist der Vorgang, bei dem der Mantel unter einer zusätzlichen Oberflächenlast wegfließt, bis die Säule unter jedem Punkt wieder gleich viel wiegt, so wie sich ein Floß im Wasser setzt, bis es sein eigenes Gewicht verdrängt; die zusätzliche Masse wird dann durch ein Defizit unter ihr ausgeglichen, und vom Mittelpunkt aus gesehen heben sich beide nahezu auf. Der innere Vorkern relaxiert dann zum Mittelpunkt zurück. Kurz: Solange die Birne stand, dehnte sich der Vorkern zu ihr hin aus, und nachdem die Birne zurückgesammelt war, relaxierte er.

Der Test wird als Anforderung und als Forschungsansatz formuliert (Paper 12): eine hemisphärische Struktur des Kerns, ausgerichtet auf die Seite der Birne, für die die Ost-West-Asymmetrie des inneren Kerns der erste Kandidat ist. Seismische Wellen, die den festen inneren Kern durchqueren, laufen in seiner östlichen und westlichen Hälfte mit unterschiedlicher Geschwindigkeit; wenn sich der Vorkern zur Birne hin ausdehnte, während sich der Kern bildete, könnte der wachsende Kern die Seite festgehalten haben. Der Test ist schwach, wenn der innere Kern viel jünger ist als der Mond, denn ein späterer innerer Kern würde die Überlieferung nicht tragen.

Was wir jetzt haben, ist das vollständige Schicksal der Birne: Nach der Ablösung sammelte die Sortierung sie in die Erde zurück, ihr schwerer Teil sank unter ihre Basis, über einer Region, deren tiefe Provinzen heute sichtbar sind und deren Natur offen bleibt; die Basis liegt in jedem untersuchten Modell innerhalb der pazifischen Provinz; solange die Birne stand, dehnte sich der breite Vorkern zu ihr hin aus, und nachdem sie zurückgesammelt war, relaxierte der Vorkern.

Weitere Arbeit — Ansätze für die Forschung

Die Teile A–C legen die Eingangsgrößen für Rechnungen fest, die noch durchzuführen sind. Die folgende Liste benennt Arbeiten, für die andere Forschungsgruppen ausgerüstet sind. Jeder Punkt nennt eine Rechnung, die dieses Paper aufstellt, aber nicht durchführt, und den Abschnitt, dessen Ergebnis sie ersetzen oder prüfen würde.

1. Eine dreidimensionale Simulation des verbundenen Körpers. Der Anfangszustand — ein Körper von Mondmasse bei 1,300 kg/m³, auf einer 6,000-km-Spitze sitzend, auf einem Mutterkörper von 6,517 km volumetrischem Radius, der sich in 5.5 Stunden dreht, gespeist über einen Basiskontakt bei einem Quelldruck von 150 GPa — ist vollständig spezifiziert. Ein Lauf mit geglätteten Partikeln (SPH) oder mit finiten Elementen würde die Stabilität der Kuppel, die Rundungsabfolge aus §C.4 und den Ablösungsabstand aus §C.5 gemeinsam prüfen. Beide Methoden zerlegen den Körper in viele kleine Elemente und verfolgen die Kräfte zwischen ihnen Schritt für Schritt, was eine freie, sich verändernde Form dieser Art erfordert.

2. Die Zustandsgleichung der tiefen Schmelze. Die Speisung erfordert entlang des Aufstiegs eine Schmelze, die leichter ist als 3,864 kg/m³ (§A.10). Experimente an wasser- und karbonathaltigen Silikatschmelzen bei 50–150 GPa sowie Ab-initio-Molekulardynamik derselben Zusammensetzungen entscheiden, ob die Anforderung erfüllt ist und bei welchem Gehalt an flüchtigen Stoffen. Die Zustandsgleichung ist die Beziehung zwischen Druck, Temperatur und Dichte eines Materials; in einer Schmelze gelöstes Wasser und Kohlendioxid senken ihre Dichte.

3. Die Energiefreisetzung des Mutterkörpers. Das Heben kostet größenordnungsmäßig $10^{30}$ J (§A.12). Ein Modell der thermischen Entwicklung einer Erde mit absinkendem Eisen, die sich unter einer Dampfatmosphäre zusammenzieht und abkühlt, würde die Rate liefern, mit der diese Energie verfügbar wird, und damit die Dauer der Speisung.

4. Stefan-Adhäsion einer heißen Silikatschicht. Der Ablösungsabstand $\Delta r\simeq2d_0$ (§C.5) verwendet eine newtonsche Schicht. Labor- und numerische Arbeiten zur Trennung zweier durch eine teilweise geschmolzene Schicht verbundener Körper — Kavitation, Einschnürung, der Übergang vom viskosen zum spröden Versagen — würden den Bereich des Abstands und die Ablösungszeit festlegen. Stefan-Adhäsion ist der Widerstand eines dünnen viskosen Films gegen die Trennung der beiden Flächen, die er verbindet, die Kraft, die man spürt, wenn man zwei Platten mit Honig dazwischen auseinanderzieht; eine newtonsche Schicht ist eine Schicht, deren Widerstand einfach proportional zur Rate ist, mit der sie verformt wird.

5. Die geschichtete Kruste der Rückseite. Die Rückseite wurde in Schichten zunehmend sortierten Materials aufgebaut (§B.7). Die Zusammensetzung der Zentralberge gegen ihre Herkunftstiefe, getrennt für Rück- und Vorderseite, würde den Gradienten messen, und ein Modell des Aufbaus würde seine Stufen vorhersagen.

6. Der Erdkern während der Birne. Ein dreidimensionales hydrostatisches Modell der jungen, noch nicht geschichteten Erde, mit stehender Birne und nach ihrer Rücksammlung, und mit verfolgtem Quelldefizit, würde zeigen, wie sich der breite Vorkern zur Birne hin ausdehnte (§E.5) und wie er danach relaxierte; die hemisphärische Struktur des inneren Kerns ist die erste Überlieferung zum Vergleich.

7. Die Kruste der Vorderseite. Das Sial des Rings der unteren Kuppel wurde mit dem Körper abgeschält; über dem Kontakt wurde es weggeschmolzen und die Oberfläche durch Wärme und Schwerkraft geglättet (§C.4a). Ein thermisches Modell des Kontakts liefert die Tiefe dieses Schmelzens und damit die Dicke der Kruste über dem Kontakt gegenüber der des Gürtels.

8. Klassifikation der Maria nach Expositionszone. Die Öffnungen verhielten sich nicht alle gleich (§B.5). Imbrium warf kein Material aus, und Serenitatis ebenfalls nicht, abgesehen vielleicht von leichtem Aufplatzen. Die meisten anderen Öffnungen, von den 34–36 des Autors, warfen Material aus: die der Rückseite früh, bis sie versiegelten, und die am Rand über lange Zeit. Der Unterschied zwischen den nicht auswerfenden Kontakt-Maria und den auswerfenden ist prüfbar an der Zusammensetzung, den Feldern von Sekundärkratern und der Krustendicke unter jedem Becken (Paper 11, R8).

Verfügbarkeit des Codes

Alle numerischen Ergebnisse dieses Papers werden von den Skripten des LEF-Reproduktionspakets (Python 3, numpy, scipy) reproduziert, das die Werte jedes Abschnitts aus den im Text angegebenen Eingangsgrößen ausgibt. Das Paket ist diesem Preprint als ergänzendes Material beigefügt (LEF_code_and_data.zip). Eine frühere Fassung der Serie und des Pakets ist unter doi:10.5281/zenodo.22743615 hinterlegt.

Literatur

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Interne Verweise innerhalb der LEF-Serie — Manuskripte des Autors: 1, Das Modell — die Erzählung des Modells; 2, Der LEF-Mechanismus im Prinzip — Korotation, die Birne, der Versatz, die Drehimpulsbilanz und die Roche-Grenzen; 4, Die Umlaufbahn — die Bahnentwicklung nach der Ablösung; 5, Die Maria; 6, Die Krater — das rückkehrende Material und die Krater; 7, Die Pole — die Rundung des angehefteten Körpers; 8, South Pole–Aitken; 9, Die Streifen; 10, Mars; 11, Die Anforderungen — die Beobachtungstests, einschließlich der Klassifikation der Becken nach Expositionszone. Verweise auf die Manuskripte sind keine externe Bestätigung der Ergebnisse des Modells.

[17] Cottaar, S., & Lekic, V. (2016). Morphology of seismically slow lower-mantle structures. Geophysical Journal International, 207, 1122–1136. doi:10.1093/gji/ggw324.

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[20] Cottaar, S., & Romanowicz, B. (2012). An unusually large ULVZ at the base of the mantle near Hawaii. Earth and Planetary Science Letters, 355–356, 213–222; korrigierte Tabelle, 390, 327 (2014).

[21] Hut, P. (1981). Tidal evolution in close binary systems. Astronomy and Astrophysics, 99, 126–140. Quelle der Gezeitengleichungen mit konstanter Zeitverzögerung, die in der Suche nach der Ablösungsdistanz in §C.5a verwendet werden.

Autor, Daten und Methoden

Zohar Duran, unabhängiger Forscher, Ramla, Israel. ORCID: 0009-0005-3194-9387.

Das Paper legt keinen neuen quantifizierten Beobachtungsdatensatz vor; die Lage der Quelle und die dem Autor zugeschriebene Deutung der Form sind geomorphologische Hypothesen, deren Rekonstruktionsmethode hier nicht dargestellt wurde. Die Abschätzungen zu Druck, Strömung und Abkühlung lassen sich aus den hier dargelegten Eingangsgrößen und Gleichungen reproduzieren. Die gekoppelten Zustände in Teil C beruhen auf den Rechnungen von Paper 2; ihre vollständige Reproduktion erfordert zudem die dort dargelegte Formlösung und Drehimpulsbilanz. Die Beobachtungsliteratur dient als Randbedingung für die Prüfung des Modells. Die Zahl der Stellen in den Ergebnissen ist keine Abschätzung der physikalischen Unsicherheit, die vor allem von den Annahmen über Struktur und Material bestimmt wird.

Dieser Anhang ordnet die Komponenten des Papers nach ihrem Status. Manche sind Standardphysik aus Lehrbüchern; manche sind frühere Beobachtungen, die als Randbedingungen dienen; manche sind hier durchgeführte Rechnungen; und manche sind Elemente des Modells, die vorgeschlagen werden und geprüft werden müssen. Die Tabelle wird Zeile für Zeile gelesen: Die mittlere Spalte gibt die Klasse jeder Komponente an, die rechte ihre Grundlage und die Rolle, die sie in der Argumentation spielt. Der Sinn der Einordnung ist, dass ein Leser auf einen Blick sehen kann, welche Teile des Papers auf etablierter Physik beruhen und welche die eigenen Vorschläge des Modells sind.

Zwei Begriffe in der Tabelle bedürfen vielleicht einer Erläuterung. Die Poiseuille-Lösung ist das Standardergebnis für die stationäre Strömung eines viskosen Fluids durch ein Rohr: Die Durchflussrate wächst mit der vierten Potenz des Rohrradius, weshalb die Breite des Durchgangs in Teil A so viel ausmacht. Das Stefan-Gesetz gibt die Kraft an, die nötig ist, um zwei durch eine dünne viskose Schicht verbundene Flächen auseinanderzuziehen; hier schätzt es ab, wie stark der Kontakt widerstand — ein geringer Widerstand —, bei einer Ablösung etwa 210 km ($\simeq2d_0$) jenseits der Korotationslinie (§C.5).

Dieser Anhang nennt die durchgehend verwendeten Konstanten und was sich allein aus diesem Paper reproduzieren lässt und was nicht.

In allen numerischen Rechnungen hier gilt: $G=6.674\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$, ein Jahr = 365.25 Tage und ein Tag = 86,400 Sekunden. $G$ ist die Gravitationskonstante, die die Stärke der Schwerkraft zwischen zwei Massen festlegt. In den Strömungstabellen sind die Viskosität, die Segmentdichten, die Breite des Durchgangs, die Dauer der Speisung und der innere Anteil Testeingaben: Sie sind gewählt, um den Bereich des Problems zu erkunden, und keine gemessenen Werte der urzeitlichen Erde. Die Werte von $k$, $L_f$ und $\Delta T$ in der Abkühlungsgleichung sind numerische Annahmen für die Abschätzung; für sie wird kein verifizierter Bereich für urzeitliches Material angegeben. Dabei ist $k$ die Wärmeleitfähigkeit, $L_f$ die latente Wärme, die beim Erstarren der Schmelze frei wird, und $\Delta T$ die Temperaturdifferenz, die die Abkühlung antreibt.

Die Tabellen in Teil D folgen aus den Drehimpuls- und Formerhaltungszuständen von Paper 2. Sind die Massen, die Distanz, die Periode und die Breite gegeben, lassen sich die Kraft und die Spannungen aus den Gleichungen (19)–(20) reproduzieren und der gemeinsame Test aus den Gleichungen (25)–(29). Der Nachweis der Rotationsperiode selbst erfordert die Formlösung und die Drehimpulsbilanz von Paper 2; er folgt nicht aus den Druckgleichungen von Paper 3. Anders gesagt: Dieses Paper übernimmt den 5.77-h-Tag und die Ablösungsdistanz aus Paper 2 als gegeben, und alles, was es daraus berechnet, lässt sich hier prüfen; der Tag selbst wird in Paper 2 geprüft.

Eine hohe Zahl von Stellen in einer Tabelle darf nicht in eine kleine Unsicherheit des Modells umgedeutet werden. Die Unsicherheit in Dichte, Strömungsgrenzen, Form der Verbindung und Struktur des Körpers ist bedeutender als der Rundungsfehler. Ein Wert wie 10.49 GPa ist mit vier Stellen angegeben, damit der Leser die Rechnung genau wiederholen kann, nicht weil der Spielraum mit dieser Genauigkeit bekannt ist. Das Endergebnis von Paper 3 ist eine Machbarkeitsbedingung innerhalb angegebener Näherungen.

Nutzung von KI-Werkzeugen: Der Autor nutzte KI-Assistenten (Claude, Anthropic; ChatGPT, OpenAI; den KI-Suchassistenten von Google), um die Rechenskripte zu schreiben und auszuführen, die Kataloge und Karten zu analysieren, Abbildungen und Tabellen vorzubereiten, die Szenarien zu diskutieren sowie für sprachliche Bearbeitung und Übersetzung. Das Modell und seine Schlussfolgerungen sind die des Autors. Der Autor hat den Inhalt geprüft und übernimmt die volle Verantwortung dafür.