L’environnement physique de l’article

Les calculs décrivent un scénario sur la Terre primitive, à l’époque de la formation de la Lune, il y a environ 4.5 milliards d’années. Dans l’état initial, la masse de la matière qui formera la Lune est comprise dans le corps parent — la jeune Terre avant que la Lune ne la quitte. Pendant la construction, cette masse passe à un corps en développement, tandis que la distribution de densité, la rotation, le champ gravitationnel et l’état thermique changent. Cet article traite l’ensemble de cette construction — l’alimentation depuis l’intérieur et la montée de la coquille externe — comme un seul processus sur un seul corps.

Parce que tant de choses changent au cours du processus, une valeur prise à un instant ne peut pas être utilisée à un autre. Le tableau définit donc l’environnement : pour chaque domaine, il indique quelles valeurs sont des données d’entrée, lesquelles varient avec le temps et lesquelles appartiennent à un état de test défini. Une valeur numérique isolée ne peut pas remplacer le profil physique qu’exige un calcul. La colonne de gauche nomme le domaine ; la colonne de droite donne les valeurs de travail et les règles de leur emploi.

Plusieurs lignes demandent un mot d’explication. Masse. La masse initiale $M_0$ est la somme de la Terre et de la Lune actuelles ; on suppose que rien ne s’échappe, de sorte que la Lune entière a autrefois fait partie de la Terre, et ses $7.35\times10^{22}$ kg ne sont comptés qu’une fois — dans le parent avant le transfert, dans la Lune après celui-ci, et en transit (la connexion, la matière projetée et retombante) seulement pendant qu’elle est en chemin. Taille et forme. Le rayon de 6,517 km est plus grand que celui de la Terre actuelle parce qu’une Terre jeune et chaude est dilatée (article 2). Un corps fluide en rotation se renfle à son équateur ; l’état de Maclaurin est la forme d’équilibre classique d’un fluide en rotation de densité uniforme, une sphère aplatie, et il transforme ce volume en un rayon équatorial d’environ 6,721 km et un rayon polaire d’environ 6,128 km. Rotation. Le moment cinétique, $L_0$, est la quantité de rotation que contient le système ; les processus internes ne peuvent que la transférer d’une partie à une autre. Le moment d’inertie, $I(t)$, mesure la répartition de la masse autour de l’axe de rotation : la masse déplacée vers l’extérieur l’augmente et ralentit la rotation, la masse déplacée vers l’intérieur le diminue et accélère la rotation, comme une patineuse tourne plus lentement les bras écartés et plus vite les bras ramenés. C’est pourquoi le jour n’est pas fixé à 5.5 heures : la poire porte de la masse vers l’extérieur et le fer qui se rassemble dans le noyau porte de la masse vers l’intérieur, et à la libération les deux laissent un jour de 5.77 heures.

Corotation. Tout ce qui tourne avec la Terre fait un tour à chaque jour terrestre, et plus il est éloigné, plus il se déplace vite ; la vitesse nécessaire à une orbite circulaire libre diminue avec la distance. Le rayon de corotation est la distance à laquelle les deux sont égales — environ 16,400 km à la libération, environ deux rayons terrestres et demi. Un corps porté jusque-là tout en tournant encore avec la Terre possède déjà la vitesse d’une orbite. La valeur de la particule test (16,331 km) traite la Lune comme une petite particule ; la valeur à deux corps (16,399 km) inclut sa propre masse, et la faible différence montre combien cette simplification importe peu. À la latitude 22.5°, la ligne se trouve plus loin, à 17,287 km, parce qu’un corps situé à la même distance du centre y est plus proche de l’axe de rotation et se déplace plus lentement. Le corps. La même masse lunaire occupe un volume plus grand lorsqu’elle est moins dense ; le tableau indique donc sa taille pour plusieurs densités. À 1,300 kg/m³, le corps est moussé — plein du gaz de ses volatils, à bien moins de la moitié de la densité de la Lune actuelle — et dans cet état léger la pression de la partie A peut l’alimenter et élever de la matière dans la poire, tandis que la poire soulève le corps. Ce sont des états de test pour les calculs, et non une histoire résolue de la contraction du corps.

La coquille est du sial : la couche externe légère du parent, riche en silicium et en aluminium, reposant sur le sima plus dense et riche en magnésium qui se trouve en dessous (§C.10). Les ouvertures sont des trous à travers cette coquille, par lesquels la matière profonde est montée et a été projetée. Pression et volatils. La pression qui entraîne l’alimentation et la pression que l’alimentation doit vaincre sont calculées dans le même champ, de sorte que le test ne peut pas emprunter une valeur favorable à une image et une valeur défavorable à une autre. Les volatils n’ajoutent pas de pression ; la pression de la source reste à la valeur lithostatique, le poids de la matière sus-jacente. Ce qu’ils font, c’est alléger le magma qui monte, de sorte que la même pression le soulève plus haut. Densité et viscosité. La densité exprime combien un matériau est lourd pour son volume ; la viscosité exprime avec quelle force il résiste à l’écoulement. Une coquille de $10^{23}$ Pa s ou plus s’écoule si lentement que ses cratères conservent leur forme (§B.3), tandis que l’intérieur chaud sous-jacent s’écoule facilement ; là où les deux se rencontrent se trouve la couche qui cède la première. Lieu. La base de la poire se trouvait près de Kiritimati, dans le Pacifique central. Sous elle, au fond du manteau, se trouve la grande province à faible vitesse du Pacifique : une région de la taille d’un continent dans laquelle les ondes sismiques se propagent lentement ; sa nature est laissée ouverte (partie E). La région située à 25°N, 165°E, lue auparavant comme la source, est l’arrière de la poire, qui s’est inclinée vers l’ouest et vers le nord.

Ce que signifie le résumé, en termes simples. Alimenté depuis l’intérieur et monté depuis l’extérieur décrit deux apports à un seul corps. Imaginez un ballon rempli par un tuyau placé en dessous, tandis que sa propre peau est la surface étirée du sol sur lequel il reposait. Le remplissage est l’alimentation : de la matière profonde et chaude qui monte sous pression et s’écoule dans le corps. La peau est la coquille : la couche externe de la Terre au-dessus de la région de construction, qui est montée avec la poire et a glissé lentement jusqu’à sa pointe, dans le corps, où elle est devenue la surface du corps. Aucun des deux apports ne fait à lui seul la Lune. L’alimentation donne au corps son intérieur — le propre manteau de la Terre, ce qui explique pourquoi les deux partagent leur composition (§C.10) — et la coquille lui donne une croûte qui portait déjà des cratères datant de son séjour sur la Terre.

Ce que signifient 150 GPa. Au plus profond de tout grand corps, la matière est comprimée par le poids de tout ce qui se trouve au-dessus d’elle. Au centre du parent, ce poids, légèrement allégé par la rotation, atteint 150.26 GPa. Cette pression est le moteur de l’alimentation : ouvrez un chemin depuis l’intérieur profond jusqu’à la surface et la matière comprimée y monte, comme le dentifrice monte quand on presse le tube. La question est de savoir si la poussée est assez forte. Pour porter le magma depuis la profondeur de la source jusqu’au rayon de corotation, la pression doit soutenir le poids de toute la colonne de magma le long de ce chemin ; pour un magma de 3,500 kg/m³ en profondeur, moussé à 1,500 kg/m³ au-dessus de la surface, ce poids est de 139.78 GPa. La poussée le dépasse de 10.49 GPa, et elle le dépasserait pour tout magma plus léger qu’environ 3,864 kg/m³. Tel est le sens de « la poussée est chiffrée » : l’article ne suppose pas que la pression suffit, il la calcule.

Pourquoi la connexion doit être large. Si l’alimentation montait par un tuyau mince, le tuyau devrait retenir le corps contre l’attraction de la Terre le long de la ligne qui les relie (la charge radiale) et contre l’attraction latérale de la rotation à la latitude 22.5°, qui entraîne le corps vers le plan équatorial (la charge latérale). Seul un passage de plus d’environ 1,000 km de rayon réussit le test radial, et un passage aussi large n’est plus mince : il contient lui-même près d’une demi-masse lunaire de matière et porte une force latérale de l’ordre de $10^{22}$ N. La conclusion est que la connexion est une partie large, chaude et massive de la Terre, et la partie C montre ce qu’elle est : la poire.

Ce qu’est la poire. La poire est un seul renflement de la Terre, étiré. La pression qui a soulevé une colline au-dessus de la source a continué à la soulever, et la colline est devenue une extension longue et large de la propre matière de la Terre : large à sa base sur la surface terrestre — 9,000 à 11,000 km, plus que le rayon de la Terre — et se rétrécissant en une seule courbe régulière jusqu’à sa pointe, qui porte le corps. Elle fait partie de la Terre et elle est retenue par la gravité terrestre comme toute autre partie de la Terre. Elle n’est pas projetée, car sa vitesse n’est pas une vitesse de projection et elle se trouve entièrement à l’intérieur de la ligne de corotation (§C.7). Sa masse, déduite de la largeur de sa base, est de quelque neuf à douze masses lunaires, et l’énergie nécessaire pour la soulever est de l’ordre de celle que libère le fer de la Terre en s’enfonçant dans son noyau (§C.9).

Pourquoi elle se libère là où elle le fait. Toute la poire se trouve à l’intérieur de la ligne de corotation, et là l’attraction combinée de la gravité et de la rotation est dirigée vers la Terre, et la poire y est retenue par la gravité terrestre en tant que partie de la Terre. Le corps sur sa pointe monte avec elle jusqu’à ce que son centre de masse atteigne la ligne, et là il commence à se séparer. Là, la vitesse qu’il possède déjà du fait de tourner avec la Terre est la vitesse d’une orbite circulaire, et au-delà la rotation tire vers l’extérieur plus que la gravité ne tire vers l’intérieur ; le contact ne résiste que faiblement, et le corps est tiré vigoureusement vers l’extérieur et libéré environ 210 km au-delà de la ligne (§C.5). La poire reste à l’intérieur de la ligne, partie de la Terre, et après la libération le tri la ramène dans la Terre en quelques dizaines à quelques centaines de millions d’années.

Comment lire l’encadré. Le premier paragraphe donne les deux apports et ce que chacun explique sur la Lune actuelle. La calotte de la face visible d’environ 31° est la partie du corps qui constituait le contact de 3,000 km avec la poire : elle n’a pas été entièrement recouverte avant la libération : Serenitatis s’en est décollé le premier, tandis qu’Imbrium est resté connecté jusqu’au détachement. La ceinture de 31° à 70° est l’anneau du dôme inférieur qui s’est décollé de la Terre pendant l’arrondi vers l’extérieur, emportant avec lui le sial sur lequel il reposait. Tout ce qui se trouve au-delà de 70° est le dôme supérieur : coquille depuis le début, exposée dès le stade aplati et emportant ses cratères avec elle (§B.4). L’arrondi fonctionne comme une balle légèrement écrasée qui redevient ronde : chaque partie de sa surface se réduit dans la même proportion, de sorte qu’aucune zone ne se déplace par rapport à une autre. L’aplatissement qui a suivi est la rotation aplatissant le corps à ses pôles ; l’arrondi vers l’intérieur est le corps redevenant rond à mesure qu’il se densifiait. Pendant l’arrondi vers l’intérieur, la surface polaire a été la plus contractée, tandis que les cratères qui s’y trouvaient déjà conservaient leur taille, si bien qu’ils se sont retrouvés serrés près des pôles (article 7). Ces changements ont eu lieu pendant que le corps était attaché : le rapport des axes a atteint 1.69 au maximum de l’aplatissement et est tombé à 1.2 tard dans le stade attaché (article 7), et à la libération le corps était rond, sa coquille externe rigide, son rapport des axes au plus 1.04 (article 2, §B.7).

Le deuxième paragraphe énonce la condition portant sur la connexion et sa conséquence. Le troisième énonce ce que devient la poire. La poire n’est pas perdue à la libération ; après la libération, le tri la ramène dans la Terre, progressivement, en quelques dizaines à quelques centaines de millions d’années. Sa partie lourde — y compris la majeure partie du fer qui y était monté (§C.10) — s’enfonce profondément dans la Terre sous la base de la poire (partie E) ; son côté avant est rassemblé dans les bandes du Pacifique Nord, et son arrière dans les arcs du Pacifique occidental (article 9, Les bandes). La masse ne quitte pas la Terre ; elle passe du haut à l’extérieur au profond à l’intérieur. Sa fourchette de neuf à douze masses lunaires est fixée par la largeur de la base, 9,000 à 11,000 km, et elle est déduite au §C.7.

Introduction — un seul corps, deux apports

Dans le modèle, le corps parent n’éjecte pas une Lune achevée. Le corps attaché croît et se déplace vers l’extérieur tout en recevant de la matière de deux sources à la fois : de la matière profonde y monte par une remontée magmatique, et la coquille externe du parent — la couche sialique au-dessus de la région de construction — monte avec lui en tant que sa surface. L’article 2, Le mécanisme LEF en principe, a établi qu’au rayon de corotation la vitesse que possède déjà une masse en corotation est la vitesse qu’exige une orbite libre, et que le budget de moment cinétique du parent permet le transfert. Autrement dit, l’article 2 a montré où la Lune devait être libérée et que la Terre avait assez de rotation pour l’y placer. Cet article demande comment la masse a atteint ce rayon et ce qui l’a soutenue en chemin.

Les deux sources contribuent au même corps. La coquille se rend au corps : elle monte avec la poire, se sépare lentement et glisse jusqu’à sa pointe, dans le corps, où elle devient la peau du corps ; le glissement est facilité par la couche lubrifiée entre sial et sima (§C.10). La région de construction est un dôme, le dôme monte, et sa surface l’accompagne : la croûte est celle de la Terre, elle a porté ses cratères jusque sur la Lune, et sur la face cachée elle a été construite en couches. C’est pourquoi un seul article traite les deux apports : ce ne sont pas deux mécanismes en concurrence pour expliquer la Lune, mais l’intérieur et l’extérieur d’un seul corps en croissance.

La corotation établit un lien entre la rotation et la vitesse orbitale. Elle ne soulève pas la matière — c’est la poire qui le fait — mais c’est elle qui détache la Lune : dès que le centre de masse de la Lune atteint la ligne, les forces de corotation la libèrent. La matière à la surface de la Terre tourne avec elle, mais bien plus lentement que ne l’exige une orbite ; quelque chose doit la porter vers l’extérieur et l’y maintenir jusqu’à ce qu’elle atteigne le rayon de corotation. Il faut pour cela une pression motrice, un bilan de masse et d’énergie, une structure qui permette l’écoulement et une connexion capable de porter la charge requise. Nous les examinons en quatre parties : A, l’alimentation depuis l’intérieur — le problème du transport, la source, les limites thermiques, et la question de savoir si la pression, le débit et l’énergie suffisent ; B, la montée depuis l’extérieur — les quatre stades du dôme, sa géométrie et ce qu’il devient ; C, la connexion et la libération — les charges qu’elle porte, et comment le corps commence à se séparer à la ligne de corotation et est libéré juste au-delà ; D, les prédictions, les tests et les conclusions. La partie C suit aussi la poire qui forme la connexion, ce dont le corps est fait, et la matière que la Terre a continué à projeter après la libération. Une cinquième partie, E, suit la poire jusqu’à son retour dans la Terre, consigne où se trouvait sa base par rapport à la Terre profonde observée aujourd’hui, et demande ce qu’elle a fait à l’intérieur de la Terre ; une section finale réunit des pistes pour des recherches ultérieures.

La nouveauté réside dans la combinaison des processus en une seule construction connectée. Les lois de la gravité, de l’écoulement, de la conduction thermique et de l’adhérence visqueuse sont la physique par laquelle le mécanisme est examiné, et non des preuves indépendantes qu’il a eu lieu. Chacune de ces lois est classique ; ce que l’article ajoute, c’est leur application à un seul corps dans une seule séquence, avec les valeurs d’un seul environnement cohérent, de sorte que chaque étape puisse être vérifiée par rapport à la suivante.

L’article 2, Le mécanisme LEF en principe, a montré où la Lune est libérée — au rayon de corotation, où la vitesse de rotation avec la Terre est déjà la vitesse d’une orbite libre — et que le moment cinétique de la Terre suffit à y placer de la matière. Il n’a pas montré comment la matière y est parvenue. Cette partie aborde cette question depuis l’intérieur de la Terre. Elle tient d’abord le compte de la masse (§A.1), explique ensuite pourquoi la rotation de la Terre ne peut pas à elle seule soulever le corps (§A.2), puis écrit le bilan des forces que toute alimentation depuis la profondeur doit satisfaire (§A.3). Les sections suivantes décrivent la source, le passage et les limites thermiques (§A.4–A.8), et la suite de cette partie chiffre la pression, le débit et l’énergie (§A.9–A.13).

A.1Un corps qui croît en se déplaçant

La première étape est comptable. Avant de calculer la moindre force, nous devons pouvoir dire où se trouve chaque kilogramme à chaque instant, de sorte qu’aucune masse ne soit comptée deux fois et qu’aucune ne disparaisse du bilan.

Au début du bilan de masse, la matière lunaire est comprise dans le corps parent : dans l’état initial, il n’y a qu’un seul corps, le parent, de masse $M_0$. À mesure que la construction progresse, cette masse se répartit entre quatre réservoirs. Lorsqu’on distingue un réservoir terrestre, un corps en développement et la matière en transit, le bilan s’écrit :

$$M_0=M_E(t)+m(t)+M_{\mathrm{transit}}(t)+M_{\mathrm{escaped}}(t). \tag{1}$$

En mots : à chaque instant $t$, la masse initiale est égale à la masse encore dans la Terre, $M_E(t)$, plus la masse déjà dans le corps en développement, $m(t)$, plus la masse en chemin entre les deux (dans la connexion, ou projetée et pas encore retombée), $M_{\mathrm{transit}}(t)$, plus ce qui a quitté entièrement le système, $M_{\mathrm{escaped}}(t)$. L’équation n’est que la conservation de la masse ; son utilité est d’obliger chaque kilogramme à occuper exactement une place.

La masse accumulée dans le corps satisfait :

$$\frac{dm}{dt}=\dot M_{\mathrm{int}}+\dot M_{\mathrm{ext}}-\dot M_{\mathrm{out}}. \tag{2}$$

L’équation (2) indique à quelle vitesse le corps croît. Un point au-dessus d’une masse désigne un débit, en kilogrammes par seconde. $\dot M_{\mathrm{int}}$ est l’alimentation interne — la matière profonde qui arrive d’en bas par la connexion ; $\dot M_{\mathrm{ext}}$ est l’incorporation de la coquille qui monte avec le corps (partie B) — la couche externe de la Terre, qui devient la peau du corps ; et $\dot M_{\mathrm{out}}$ est la sortie du corps, la matière projetée par ses ouvertures. La masse du corps croît de ce qui entre depuis l’intérieur et depuis l’extérieur, moins ce qui sort.

La matière qui part et revient est enregistrée en conséquence dans les deux débits : une parcelle éjectée par une ouverture est soustraite lorsqu’elle part et ajoutée de nouveau lorsqu’elle retombe sur le corps. Toute sortie ne doit donc pas être assimilée à une fuite hors du système ; la majeure partie de la matière éjectée reste dans le bilan comme matière en transit et revient. La part interne de la Lune finale — combien en est venu de la profondeur plutôt que de la coquille montante — est déterminée à partir de l’intégrale de l’alimentation et des pertes sur toute la construction, et non à partir de l’hypothèse d’un pourcentage fixe. (La partie B.7 discute de cette répartition.)

A.2 Pourquoi la rotation n’est pas le transport lui-même

La question à laquelle répond cette section est de savoir pourquoi la Lune n’a pas pu simplement être projetée par la Terre en rotation, et pourquoi quelque chose a donc dû la porter vers l’extérieur.

L’article 2 (§A.1.2) a donné la raison pour laquelle un corps projeté échoue. À l’équateur d’un parent qui tourne une fois en 5.5 heures, le sol se déplace à environ 2,133 m/s, alors qu’une orbite libre juste au-dessus de la surface exige environ 7,701 m/s. La matière lâchée depuis la surface, ou projetée depuis celle-ci, se déplace latéralement bien trop lentement pour rester en orbite : sa trajectoire est une ellipse courte qui revient dans le parent, et elle retombe. Ce n’est qu’au rayon de corotation, à environ 15,818 km du centre pour le jour de 5.5 heures, que la vitesse de rotation avec la Terre atteint la vitesse d’une orbite. La matière doit donc être amenée à cette distance alors qu’elle est encore attachée et qu’elle tourne encore avec la Terre. L’y amener est ce que nous appelons le transport : un apport continu de matière profonde, poussée vers le haut depuis une source à l’intérieur de la Terre à travers une connexion jusque dans le corps en croissance, plutôt qu’une projection unique.

Une objection naturelle est que la rotation rapide de la Terre pourrait assurer à elle seule le soulèvement. L’exemple de chargement suivant le teste. Dans l’exemple d’un corps de masse lunaire complète et de rayon équivalent 2,270 km (le rayon d’une sphère de la masse de la Lune à la faible densité de 1,500 kg/m³), en contact avec un parent de rayon équatorial 6,721 km, la distance entre les centres est de 8,991 km — la somme des deux rayons. (Au stade 2 de la partie B, la même masse repose sur la pointe de la poire comme un corps écrasé sur un contact de 6,000 km ; l’exemple de chargement est conservé sous forme sphérique pour la comparaison avec l’article 2.) À cette distance, nous comparons deux accélérations au centre du corps : l’attraction gravitationnelle de la Terre vers l’intérieur, et l’accélération centrifuge vers l’extérieur que la rotation communique à un corps qui tourne avec la Terre. Avec $M_E$ et une rotation de 5.5 heures, on obtient approximativement :

$$g_E=4.93\ \mathrm{m\,s^{-2}},\qquad \omega^2r=0.905\ \mathrm{m\,s^{-2}}. \tag{3}$$

Ici $g_E=GM_E/r^2$ est l’attraction de la Terre à $r=8{,}991$ km, $G$ étant la constante gravitationnelle, et $\omega^2r$ est l’accélération centrifuge, $\omega$ étant la vitesse angulaire d’une rotation de 5.5 heures ($2\pi$ divisé par la période en secondes). La comparaison est celle que ressent un enfant sur un manège : plus le manège tourne vite et plus l’enfant se tient loin du centre, plus il est poussé vers l’extérieur. À 8,991 km, la poussée vers l’extérieur est inférieure au cinquième de l’attraction vers l’intérieur. Les deux ne seraient égales qu’au rayon de corotation, où l’attraction s’est affaiblie avec le carré de la distance et où le terme centrifuge a crû proportionnellement à celle-ci.

L’accélération résiduelle vers l’intérieur est d’environ 4.03 m/s² (4.93 moins 0.905) : chaque kilogramme du corps pèse encore, vers la Terre, environ deux cinquièmes de ce qu’il pèserait aujourd’hui à la surface de la Terre. Il s’agit d’un exemple de chargement défini, et non de la description d’un minuscule renflement au début de la construction. Il montre pourquoi un mécanisme supplémentaire transférant force et énergie est nécessaire : la rotation seule n’apporte aucun soutien dans cet état. La rotation allège la charge ; elle ne la porte pas.

La flottabilité peut entraîner une matière légère au sein d’une matière plus dense, comme l’huile monte dans l’eau. Mais la flottabilité a besoin d’un milieu environnant plus dense contre lequel pousser, et au-dessus de la surface du parent il n’y en a pas ; le passage au-dessus de la surface du parent exige donc une solution qui inclut la forme externe et la connexion. Le mécanisme examiné ici est l’alimentation continue sous pression : la matière profonde est poussée vers le haut par la pression de l’intérieur du parent, à travers une connexion, jusque dans le corps. Il n’est pas nécessaire d’exclure tout autre mécanisme d’éjection possible pour l’examiner. L’article demande si ce mécanisme-là fonctionne, et le soumet à des tests quantitatifs.

A.3Ce qui pousse la matière

Le mécanisme étant nommé, nous écrivons le bilan qu’il doit satisfaire. La question est de savoir quelle pression est nécessaire pour pousser la matière depuis la profondeur le long d’un chemin jusqu’au corps.

Dans un référentiel tournant à vitesse constante — c’est-à-dire tel que le voit un observateur qui tourne avec la Terre — la gravité et l’effet centrifuge peuvent être combinés en une seule grandeur, le potentiel effectif. Un potentiel est l’énergie par kilogramme que possède une parcelle du fait de sa position ; la matière tend à se déplacer d’un potentiel élevé vers un potentiel bas, comme l’eau descend une pente. Le potentiel effectif est :

$$\Phi_{\mathrm{eff}}=\Phi_{\mathrm{grav}}-\frac{1}{2}\omega^2\varpi^2, \tag{4}$$

où $\Phi_{\mathrm{grav}}$ est le potentiel gravitationnel, $\omega$ la vitesse angulaire, et $\varpi$ la distance à l’axe de rotation. Le second terme est la contribution centrifuge : il abaisse le potentiel à mesure qu’une parcelle s’éloigne de l’axe, ce qui explique pourquoi la rotation facilite la montée vers l’extérieur. Soulever de la matière vers l’extérieur dans ce référentiel revient à gravir une pente de $\Phi_{\mathrm{eff}}$ qui s’adoucit avec la distance et devient plate au rayon de corotation.

Le long d’un chemin d’alimentation lent, la composante du bilan des forces est approximativement :

$$\frac{dp}{ds}=-\rho\frac{d\Phi_{\mathrm{eff}}}{ds} -\mathcal R_{\mathrm{visc}}, \tag{5}$$

où $s$ est la distance mesurée le long du chemin, $p$ la pression, $\rho$ la densité de la matière dans le chemin, et $\mathcal R_{\mathrm{visc}}$ représente la résistance à l’écoulement par unité de longueur — le frottement d’une matière visqueuse qui se déplace dans un canal. L’équation (5) dit que, le long du chemin, la pression doit diminuer de deux quantités par unité de longueur : le poids de la matière dans le champ effectif (le premier terme) et le frottement de son déplacement (le second). Le premier terme est la règle familière selon laquelle la pression croît avec la profondeur sous le poids de la matière sus-jacente ; la pression requise pour soutenir une colonne contre la gravité effective est appelée sa charge hydrostatique. Notons que la charge est proportionnelle à la densité $\rho$ : une matière plus légère a besoin de moins de pression pour être soulevée sur la même distance. C’est la raison pour laquelle la densité de la matière qui monte devient la grandeur décisive au §A.10.

La différence de pression doit porter la charge due à la gravité effective, la résistance et la charge à la limite réceptrice — le poids du corps qui appuie sur le sommet de l’alimentation. Cette équation exprime le bilan de quantité de mouvement du milieu continu le long du chemin d’alimentation ; pour une vitesse de rotation variable et dans un écoulement tridimensionnel, les accélérations et la quantité de mouvement transportée avec la matière doivent aussi être incluses [1]. Pour l’alimentation lente et stationnaire examinée ici, ces termes sont faibles, et l’équation (5) est la forme qu’utilise le test de pression du §A.9.

Les sections précédentes ont établi que le corps doit être alimenté depuis la profondeur sous pression. Cette suite pose trois questions pratiques sur cette alimentation : d’où elle vient à l’intérieur de la Terre et pourquoi elle reste focalisée sur un seul endroit (§A.4) ; ce qui maintient le passage ouvert (§A.5) ; et comment le corps peut avoir un extérieur qui se renforce alors que son intérieur et son alimentation restent chauds et mobiles (§A.6–A.7). Elle se termine par l’ordre dans lequel les étapes se produisent (§A.8).

A.4 La source de l’alimentation et l’organisation interne

Une alimentation qui errerait sur la Terre construirait de nombreux petits tas, et non une Lune. La source doit donc être concentrée, et doit alimenter la même région de surface pendant longtemps.

L’hypothèse de travail est que l’alimentation s’est concentrée dans une région de l’intérieur de la Terre à mesure que l’intérieur se réorganisait ; cette région se trouvait au nord de l’équateur (§B.1). Dans la jeune Terre, le fer s’enfonçait pour former le noyau et l’intérieur se séparait en couches ; pendant cette réorganisation, l’intérieur n’avait pas besoin d’être symétrique. Une non-uniformité de la composition, de la température et de la distribution de la matière dense peut modifier la pression et les chemins d’écoulement. Dans le modèle, cette non-uniformité peut entretenir une alimentation prolongée de la même région de surface : la matière chaude et plus légère se rassemble d’un côté et continue de monter sous le même endroit, comme une casserole chauffée hors de son centre continue de bouillir au même point.

Une région d’alimentation concentrée de ce type ne découle pas de la simple existence de la différenciation. Pour l’examiner, il faut calculer le potentiel de la distribution de masse et sa réponse à l’alimentation. La redistribution de la matière dense comme le transfert de masse vers l’extérieur modifient le moment d’inertie — la mesure de la distance à laquelle la masse se trouve de l’axe de rotation — et modifient donc la rotation. Le fer qui s’enfonce vers l’intérieur fait tourner la Terre plus vite, comme une patineuse qui ramène ses bras ; la masse portée vers l’extérieur la ralentit. C’est pourquoi on utilise les états couplés de l’article 2 plutôt qu’une rotation constante tout au long du processus : le jour ne s’allonge que de 5.5 à 5.77 heures jusqu’à la libération, parce que les deux effets se compensent en grande partie (article 2, §A.4).

À mesure que le corps croît, sa propre gravité commence à compter. La gravité du corps en développement devient de plus en plus importante pour la matière proche de lui :

$$g_{\mathrm{self}}=\frac{Gm(t)}{R_b(t)^2}. \tag{6}$$

Ici $m(t)$ est la masse du corps à l’instant $t$ et $R_b(t)$ son rayon ; $g_{\mathrm{self}}$ est l’accélération vers le propre centre du corps ressentie à sa surface. Elle croît à mesure que la masse s’accumule, et pour le corps fermé de 1,890 km elle atteint 1.37 m/s² (partie B.3). Elle peut attirer la matière qui arrive et façonner le corps : les éjectas qui reviennent retombent sur lui, et sa matière se tire elle-même vers une forme arrondie. Cependant, les forces internes n’accélèrent pas le propre centre de masse du corps. On ne peut pas se soulever en tirant sur ses propres bottes : chaque traction interne entre deux parties du corps est compensée par une traction égale et opposée, et les deux s’annulent. Le soulèvement d’ensemble exige toujours des échanges de force et de quantité de mouvement avec l’environnement — avec la Terre, par la connexion et l’alimentation.

A.5Ce qui maintient un passage ouvert

Un magma qui monte à travers un corps plus froid tend à geler et à obstruer son chemin. Le chemin n’est pas un canal à parois : la poire elle-même est le passage qui relie l’intérieur de la Terre au corps. Cette section énonce ce qui maintient ce passage ouvert, et ce que cela apporte et n’apporte pas.

La connexion reçoit de la chaleur de l’alimentation et des corps chauds qui l’entourent : le magma qui la traverse transporte la chaleur depuis la profondeur, et le parent en dessous comme le corps en croissance au-dessus sont chauds. La surface externe, en contact avec l’environnement froid, peut perdre de la chaleur et se renforcer en même temps. Le système peut donc avoir un intérieur mobile et un extérieur plus résistant, la viscosité variant entre les deux. La viscosité est la résistance d’une matière à l’écoulement — le miel est plus visqueux que l’eau ; un intérieur chaud a une faible viscosité et s’écoule facilement, un extérieur refroidi une viscosité élevée et conserve sa forme.

Le chauffage des deux côtés de la connexion aide à empêcher un gel local, mais n’est pas en soi une force de confinement : la chaleur maintient le chemin fluide, mais ne le confine pas à elle seule ; le chemin est l’intérieur chaud de la poire. La forme du passage doit satisfaire un bilan des pressions et des contraintes latérales, face à la gravité, à la rotation et à l’écoulement. La stabilité tridimensionnelle de la structure connectée est une exigence que le mécanisme s’impose à lui-même ; le calcul de pression des §A.9–A.13 est le premier de ses tests, et le §D.1 énumère les autres.

A.6 Volatils, atmosphère et refroidissement de l’extérieur

Deux propriétés de la jeune Terre déterminent à la fois la densité de la matière qui monte et la manière dont l’extérieur se refroidit : les volatils qu’elle contenait et l’atmosphère qu’ils ont formée.

Les volatils sont les substances qui se transforment facilement en gaz — principalement l’eau, avec le dioxyde de carbone et des composés semblables. En profondeur, sous pression, ils restent dissous dans le magma, comme le dioxyde de carbone reste dissous dans une bouteille fermée. Dans le scénario examiné, il existe un inventaire ancien de volatils plus grand que l’inventaire qui subsiste aujourd’hui. Lors de la décompression — à mesure que le magma monte et que la pression qui s’exerce sur lui diminue — les volatils peuvent être libérés du magma et modifier sa densité et son comportement, comme la bouteille mousse lorsqu’on l’ouvre. Un magma plein de bulles de gaz est un magma moussé. Sa densité est bien plus faible que celle du même magma sans bulles, parce qu’une partie de son volume est du gaz.

C’est cette faible densité qui rend l’alimentation possible. Selon l’équation (5), la pression nécessaire pour soulever de la matière est proportionnelle à sa densité : un magma moussé a besoin d’une poussée bien moindre qu’un magma dense pour atteindre la même hauteur. La partie A.10 en fait un seuil — la pression de la source du parent ne peut élever le magma profond jusqu’au rayon de corotation que si ce magma est plus léger qu’environ 3,864 kg/m³ — et la partie B.2 trouve que le corps sur la pointe de la poire a la densité moussée d’environ 1,300 kg/m³. Le rôle des volatils est d’abaisser la densité de la matière qui monte, et non d’élever la pression de la source au-dessus de la valeur lithostatique (la pression fixée par le poids de la matière sus-jacente) ; et on ne doit pas supposer des bulles à toutes les profondeurs, puisqu’en profondeur les volatils peuvent encore être dissous.

La présence d’eau dans les inclusions lunaires — de minuscules gouttelettes de magma piégées dans des cristaux de matière volcanique lunaire, qui ont conservé leur eau d’origine — fournit une contrainte sur certaines sources magmatiques lunaires ; elle ne mesure pas l’inventaire total de volatils au moment de la construction [2]. Elle montre qu’une partie de la matière source de la Lune n’était pas sèche, sans fixer la quantité d’eau que contenait l’ensemble du système.

Un cycle de montée, de refroidissement et de retour peut transférer de la chaleur de la matière vers l’environnement : la matière projetée par les ouvertures perd une partie de sa chaleur en vol, mais retombe encore chaude. Le refroidissement de l’ensemble du système exige cependant que l’énergie parte vers l’espace ; la chaleur transférée de la matière à son environnement n’est pas encore perdue. Une atmosphère de vapeur peut aussi limiter le rayonnement sortant : la vapeur d’eau absorbe le rayonnement infrarouge par lequel une surface chaude se refroidit, de sorte qu’une épaisse atmosphère de vapeur agit comme une couverture, et l’on ne peut pas modéliser toute la surface comme si elle était exposée au vide. Les calculs d’une atmosphère saturée démontrent une limite de rayonnement dans certaines conditions — un plafond du flux de chaleur qu’un corps couvert de vapeur peut rayonner ; un flux constant issu de ces calculs ne peut pas être appliqué à toutes les hauteurs et à tous les stades de ce scénario [3], parce que l’atmosphère, la température et la gravité changent toutes à mesure que le corps monte.

A.7Une enveloppe qui se refroidit sur une base mobile

Le corps a besoin d’une peau solide tandis que son intérieur et son alimentation restent fondus. Cette section estime à quelle vitesse une telle peau se forme. Un front de solidification est la limite entre la couche solide qui s’est formée à la surface froide et le magma sous-jacent ; à mesure que la chaleur s’échappe à travers le solide, le front avance vers le bas et la couche solide s’épaissit. La calotte gelée compte pour la survie thermique du corps : une fois formée, elle se trouve entre le magma chaud et l’extérieur froid, et comme la chaleur ne peut s’échapper qu’en la traversant par conduction, plus elle s’épaissit, plus le magma sous-jacent perd lentement sa chaleur. La calotte protège ainsi l’intérieur mobile qu’exige l’alimentation, tout en devenant elle-même la limite externe résistante.

Une estimation conductive simple de l’avancée d’un front de solidification est :

$$h_{\mathrm{fr}}(t)\simeq \sqrt{\frac{2k\Delta T\,t}{\rho_s L_f}}. \tag{7}$$

Ici $h_{\mathrm{fr}}$ est l’épaisseur de la couche solide après le temps $t$ ; $k$ est la conductivité thermique du solide — la facilité avec laquelle il laisse passer la chaleur ; $\Delta T$ est la différence de température à travers la couche solide, entre le magma à sa base et le sommet froid ; $\rho_s$ est la densité du solide ; et $L_f$ est la chaleur latente de fusion — la chaleur qu’il faut retirer à chaque kilogramme de magma pour le solidifier, sans aucun changement de sa température. L’équation dit que l’épaisseur croît comme la racine carrée du temps. La raison est l’effet protecteur qui vient d’être décrit : plus le solide est épais, moins la chaleur le traverse, et plus la couche suivante gèle lentement. Doubler l’épaisseur prend quatre fois plus de temps ; une couche cinquante fois plus épaisse prend 2,500 fois plus de temps.

Il s’agit d’une approximation unidimensionnelle d’un bilan de chaleur latente, avec une différence de température constante et une conduction à travers la couche gelée. En introduisant $k=3\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$, $\rho_s=3{,}000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ et $L_f=4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$ — des valeurs typiques de la matière silicatée — on obtient les temps suivants. Les deux colonnes correspondent à deux choix de la différence de température : 1,200 K, pour une surface fortement refroidie, et 100 K, pour une surface maintenue chaude, par exemple par une atmosphère de vapeur ou un environnement chaud (§A.6).

Le tableau se lit de haut en bas dans chaque colonne à mesure que le solide croît, et de gauche à droite dans chaque ligne à mesure que le refroidissement s’affaiblit. En descendant une colonne, les temps augmentent fortement : un mètre de solide se forme en quelques jours, un kilomètre en quelques milliers d’années, cinquante kilomètres en quelques millions. Le long d’une ligne, chaque temps est douze fois plus long dans le cas chaud, parce que le temps nécessaire pour atteindre une épaisseur donnée est inversement proportionnel à $\Delta T$. Le premier mètre se forme donc presque immédiatement, quelles que soient les conditions ; une coquille épaisse, non.

Le tableau démontre la sensibilité aux conditions aux limites. Il ne détermine pas l’épaisseur finale, parce que l’alimentation chaude, la convection interne, une atmosphère et un réservoir de chaleur fini modifient la solution : l’alimentation chaude qui arrive d’en bas refond la base du solide, la convection y apporte de la chaleur, une atmosphère réduit $\Delta T$, et un corps disposant d’une réserve de chaleur limitée finit par se refroidir entièrement. La rigidité de marée d’un corps de la taille de la Lune — sa capacité à résister à la déformation par la marée terrestre — est fournie par la coquille de la partie B, et non par ce premier mètre.

La figure 1 montre la même loi sur toute la gamme des temps. Les deux axes sont logarithmiques, de sorte qu’une loi en racine carrée apparaît comme une droite qui monte d’un pas en épaisseur pour deux pas en temps. La ligne bleu marine (refroidissement fort) et la ligne rouge (surface chaude) sont parallèles : le cas chaud atteint chaque épaisseur plus tard du même facteur. La ligne en tirets marque 50 km, une épaisseur d’exemple, et les points sont les valeurs du tableau.

La croûte de la face cachée de la Lune est construite, entre autres, à partir de la coquille sialique qui monte en tant que surface du dôme — la couche externe légère du parent, riche en silice et en aluminium. La matière interne, entrée dans la Lune depuis la Terre par l’alimentation, a gelé avec le temps et est restée au centre de la Lune et dans sa partie proche. La partie B examine leurs contributions respectives et la géométrie du dôme. Il est seulement requis ici que la limite externe puisse se renforcer tandis que le passage d’alimentation reste mobile, et l’estimation montre qu’elle le peut : une peau solide se forme en quelques jours, tandis que le magma sous-jacent, isolé par elle et réalimenté par en dessous, reste fluide.

A.8L’ordre de la construction

Les éléments de la partie A agissent ensemble, et leur ordre importe, car une étape prise hors de son ordre contredirait l’archive que porte le corps.

Dans ce scénario, l’alimentation interne et le soulèvement du dôme se chevauchent alors que des éjections par les ouvertures se produisent encore : le corps est alimenté par en dessous, sa coquille monte avec lui, et de la matière est projetée par les ouvertures et revient, tout cela à la fois. Les éjections ne cessent jamais tant que le corps est attaché : elles diminuent à mesure que la poire croît et que le corps s’éloigne du centre de la Terre, et elles cessent au détachement, lorsque le corps est coupé de la pression de la Terre. La fermeture de la coquille externe n’y joue aucun rôle. Toute la séquence, du début du renflement à la libération, dure environ 600 millions d’années — environ 400 millions pour le renflement et la poire, environ 100 millions pour l’aplatissement, et environ 100 millions de plus jusqu’à la libération, il y a 3.873 milliards d’années ; c’est la fenêtre de scénario de 600 millions d’années du tableau de l’environnement, et le cas de 100 millions d’années reste un test de sensibilité. Les éjections du stade de construction ne doivent pas être assimilées au volcanisme tardif d’un corps déjà séparé ; elles appartiennent au corps attaché et constituent un processus différent du volcanisme d’une Lune libre. Les quatre stades sont exposés dans la partie B.

Ce dont nous disposons maintenant : un bilan de masse qui situe chaque kilogramme, la raison pour laquelle le corps doit être porté plutôt que projeté, le bilan des forces que l’alimentation doit satisfaire, une source concentrée, un passage maintenu ouvert par la chaleur, un magma moussé assez léger pour être soulevé, et une peau gelée qui se forme rapidement sur un intérieur mobile. La question de savoir si la pression, le débit et l’énergie suffisent fait l’objet de la suite de cette partie.

Les sections précédentes ont décrit l’alimentation en mots : une source profonde, un passage maintenu ouvert par la chaleur et un corps qui croît à son extrémité. Cette suite de la partie A demande si cette description tient une fois chiffrée. Trois questions sont posées tour à tour, et chacune a pour réponse une valeur. Premièrement, la pression : le parent contient-il assez de pression à sa source pour pousser le magma profond jusqu’au rayon de corotation (§A.9–A.10) ? Deuxièmement, le débit : si oui, la poussée peut-elle déplacer la masse lunaire à travers un passage dans le temps disponible (§A.11) ? Troisièmement, l’énergie : d’où vient le travail de soulèvement de la masse (§A.12) ? La dernière section (§A.13) réunit pression, écoulement et charge dans un seul état, proche de la libération, et montre à quoi doit ressembler la connexion pour que les trois soient satisfaits à la fois. Ce dernier résultat est le pont vers les parties B et C.

A.9Un test de pression défini

La question à laquelle répond cette section est simple à énoncer : la propre pression interne du parent est-elle assez forte pour soutenir une colonne de magma allant de son centre jusqu’au rayon de corotation ? Pour y répondre, deux pressions sont calculées à partir du même champ et comparées : la pression disponible à la source et la pression qu’exige la colonne.

Ce qu’est une charge hydrostatique. Une colonne de matière dressée dans un champ gravitationnel appuie sur sa propre base de tout son poids. La pression nécessaire à la base pour soutenir la colonne — ni s’enfonçant ni montant — est appelée la charge hydrostatique de la colonne. Une pompe qui envoie de l’eau vers un réservoir sur un toit doit fournir au moins la charge de la colonne d’eau entre la pompe et le réservoir ; si elle fournit moins, l’eau n’arrive pas. L’alimentation de la Lune est le même problème à l’échelle planétaire : la source doit fournir au moins la charge d’une colonne de magma allant de l’intérieur profond du parent jusqu’au corps. Dans un champ uniforme, la charge est simplement la densité multipliée par la gravité et par la hauteur ; ici la gravité varie le long de la colonne et la rotation agit contre elle, de sorte que la charge est calculée comme la densité multipliée par la variation du potentiel effectif le long du chemin (l’équation 5 du §A.3, intégrée).

Nous choisissons une section de référence du parent avant la répartition de la masse : $M_0$, $R_V$, $T_0$ tirés du tableau. C’est-à-dire le parent entier avec la matière lunaire encore à l’intérieur ($M_0=6.0455\times10^{24}$ kg), son rayon volumétrique adopté (6,517 km) et son jour initial de 5.5 heures. Pour un test analytique seulement, nous utilisons le champ d’une sphère homogène et une section équatoriale en rotation. Il s’agit d’une approximation sphérique avec une correction centrifuge, et non d’une solution d’équilibre exacte d’un sphéroïde de Maclaurin. Ce choix garde l’arithmétique transparente : chaque terme peut être écrit sous forme fermée et vérifié à la main, et la véritable figure aplatie ne modifie les valeurs que modestement.

Soit $R=R_V$, $\rho_p=3M_0/(4\pi R^3)$ ; $\rho_p$ est la densité moyenne du parent, sa masse divisée par son volume. Le champ interne est $g(r)=GM_0r/R^3$, et le champ externe $GM_0/r^2$. À l’intérieur d’une sphère uniforme, la gravité croît proportionnellement à la distance au centre — nulle au centre, pleine valeur à la surface — parce que seule la masse située sous une profondeur donnée attire ; à l’extérieur, elle décroît comme l’inverse du carré de la distance. Le point final du test de la colonne est :

$$r_*=\left(\frac{GM_0}{\omega_0^2}\right)^{1/3} =15{,}882.9\ \mathrm{km}. \tag{8}$$

L’équation (8) est le rayon de corotation de l’article 2 (§A.5) avec la masse du parent entier : la distance à laquelle la gravité est exactement équilibrée par l’effet centrifuge de la rotation. C’est l’extrémité naturelle de la colonne. En dessous de $r_*$, l’attraction nette est dirigée vers l’intérieur, et chaque kilomètre de colonne ajoute un poids que la source doit soutenir ; à $r_*$, l’attraction nette est nulle, de sorte que la matière n’y pèse rien dans le référentiel tournant, et au-delà l’attraction nette est dirigée vers l’extérieur. La charge ne doit donc être payée que jusqu’à $r_*$.

Il s’agit d’un point de référence dans le champ complet du parent initial ; ce n’est pas la distance de libération de deux corps à la fin du transfert. La différence entre ce point et la référence de 15,818 km provient de la masse dans l’équation : 15,818 km est calculé avec la masse finale de la Terre $M_E$, 15,882.9 km avec la masse complète du parent $M_0$, qui est plus grande de la masse de la Lune, et une masse plus grande place le point d’équilibre un peu plus loin.

D’où vient la pression de la source. La source profonde n’est pas un moteur distinct. C’est l’intérieur même du parent, comprimé par le poids de tout ce qui se trouve au-dessus de lui. Au centre du parent, tout le poids de la matière sus-jacente appuie ; la rotation allège un peu ce poids à l’équateur, parce que l’effet centrifuge y agit contre la gravité. Lorsqu’un chemin s’ouvre depuis l’intérieur profond vers la surface, c’est cette pression — le poids moins la rotation — qui pousse le magma le long de ce chemin. La pression de la source au centre, rapportée à la pression à la surface équatoriale, est :

$$p_s=\frac{\rho_p}{2} \left(\frac{GM_0}{R}-\omega_0^2R^2\right) =150.26\ \mathrm{GPa}. \tag{9}$$

En mots : le premier terme de la parenthèse, $GM_0/R$, est la part gravitationnelle ; le facteur $\tfrac{1}{2}$ apparaît parce que la gravité à l’intérieur d’une sphère uniforme croît régulièrement de zéro au centre jusqu’à sa pleine valeur à la surface, de sorte que, le long du rayon, elle agit en moyenne à demi-intensité. Le second terme, $\omega_0^2R^2$, est l’allègement apporté par la rotation le long du rayon équatorial. Multipliée par la densité moyenne du parent, la parenthèse donne une pression : 150.26 GPa. C’est la pression que le parent, par sa propre masse et sa rotation, contient à sa source.

Dans une colonne de densité profonde constante $\rho_d$ et de densité externe $\rho_o$, la charge de pression requise est :

$$p_{\mathrm{head}}=\rho_d I_d+\rho_o I_o, \tag{10}$$

La colonne est divisée en deux segments, parce que la matière qui les remplit est différente. Le segment profond va du centre à la surface du parent et est rempli de magma profond de densité $\rho_d$. Le segment externe va de la surface jusqu’à $r_*$, au-dessus du parent, et est rempli de la matière externe plus légère de densité $\rho_o$. Chaque segment contribue la densité multipliée par une intégrale $I$, et $I$ est la variation du potentiel effectif (gravitationnel moins centrifuge) le long de ce segment — l’énergie nécessaire pour soulever un kilogramme le long de celui-ci, en joules par kilogramme, ce qui équivaut à $\mathrm{m^2\,s^{-2}}$. La densité (kilogrammes par mètre cube) multipliée par l’énergie par kilogramme donne une énergie par mètre cube, c’est-à-dire une pression.

$$I_d=\frac{1}{2}\left(\frac{GM_0}{R}-\omega_0^2R^2\right) =2.88173\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}, \tag{11}$$

L’équation (11) est le saut de potentiel à l’intérieur du parent, du centre à la surface équatoriale. C’est la même parenthèse que dans l’équation (9) ; la seule différence est la densité qui la multiplie. Cette identité est le cœur du test : la pression de la source est la charge d’une colonne de la densité moyenne propre au parent, et la charge requise est la même colonne remplie de magma. Une colonne de magma aussi dense que le parent serait exactement équilibrée et ne monterait pas au-delà de la surface. Seul un magma plus léger que le parent dégage un excédent, et cet excédent doit alors payer le segment externe.

$$I_o=GM_0\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_*}\right) -\frac{\omega_0^2}{2}\left(r_*^2-R^2\right) =2.59450\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}. \tag{12}$$

L’équation (12) est le saut de potentiel à l’extérieur du parent, de la surface jusqu’à $r_*$ : le premier terme est le travail contre la gravité externe, le second l’aide apportée par la rotation sur la même distance. Bien que ce segment soit plus de deux fois plus long que le segment profond, sa valeur est un peu plus faible, parce que la gravité s’affaiblit avec la distance et que l’aide de la rotation augmente. Les deux intégrales fixent ensemble la charge pour tout couple de densités ; la section suivante l’évalue.

La colonne sert de test de pression dans un champ donné ; sa masse et son effet sur la forme du corps ne sont pas résolus ici. Le test ne doit donc pas être étendu automatiquement au transfert de toute la masse lunaire. Il répond à une seule question — la source peut-elle soutenir une ligne de magma atteignant le rayon de corotation — et laisse au §A.13 le poids d’une connexion réelle et finie.

A.10Un seuil de densité et la sensibilité

La charge dépend de ce qui remplit la colonne, la pression de la source non. La question est donc de savoir quelles densités profondes la source peut porter, et où se situe la limite.

En supposant $\rho_o=1{,}500\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$, on obtient :

Comment lire le tableau. Chaque ligne remplit le segment profond d’un magma de densité différente ; le segment externe est maintenu à 1,500 kg/m³. La colonne du milieu est la charge qu’exige cette colonne, d’après l’équation (10). La colonne de droite, le reste, est la pression de la source de 150.26 GPa moins cette charge : ce qui reste de la poussée une fois la colonne soutenue. Un reste positif signifie que la poussée suffit — la colonne est soutenue, et il reste de la pression pour porter le corps à son extrémité et entraîner l’écoulement. Un reste négatif signifie que la poussée ne suffit pas : la colonne est trop lourde et le magma n’atteint pas le rayon de corotation. En descendant, la charge augmente du même pas tous les 500 kg/m³ et le reste diminue du même pas ; le signe change entre 3,500 et 4,000 kg/m³. À 3,500 kg/m³, la valeur de référence utilisée dans le reste de la partie A, il reste 10.49 GPa.

La condition d’écoulement est :

$$p_s-p_{\mathrm{head}}-p_{\mathrm{load}}-\Delta p_{\mathrm{loss}}>0, \tag{13}$$

L’équation (13) énonce le budget complet. La pression de la source doit payer trois factures : la charge de la colonne, $p_{\mathrm{head}}$ ; la charge à l’extrémité de la colonne, $p_{\mathrm{load}}$, qui est le corps lui-même appuyant en retour sur le passage ; et les pertes par frottement lors de l’écoulement du magma, $\Delta p_{\mathrm{loss}}$. Le magma ne se déplace vers l’extérieur que tant qu’il reste quelque chose une fois les trois payées. Le tableau ci-dessus ne montre que la première facture, c’est pourquoi sa dernière colonne est appelée le reste avant charge terminale et pertes.

et le seuil de densité est donc :

$$\rho_{d,\max}= \frac{p_s-\rho_o I_o-p_{\mathrm{load}}-\Delta p_{\mathrm{loss}}}{I_d}. \tag{14}$$

L’équation (14) est l’équation (13) résolue pour la densité profonde : le magma profond le plus lourd que la source puisse encore pousser, une fois payés le segment externe, la charge terminale et les pertes. La raison pour laquelle un seuil existe découle du §A.9. La pression de la source est fixée par la densité moyenne du parent, mais la charge du segment profond croît avec la densité du magma qui le remplit ; à un certain point, les deux se rejoignent. La situation est celle de deux tubes communicants, l’un rempli d’eau et l’autre d’huile : la colonne d’huile se tient plus haut que la colonne d’eau, parce qu’elle est plus légère. Le magma profond ne monte de même au-dessus de la surface du parent que parce qu’il est plus léger que le parent qui l’entoure, et plus il est léger, plus il peut se tenir haut.

En négligeant la charge et les pertes, $\rho_{d,\max}\simeq3{,}864\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$. Chaque gigapascal supplémentaire de charge ou de perte abaisse le seuil d’environ 34.7 kg/m³ : un gigapascal divisé par $I_d$, parce que chaque gigapascal dépensé ailleurs est un gigapascal dont le segment profond ne peut plus disposer. Le seuil est aussi sensible à la densité du segment externe : $d\rho_{d,\max}/d\rho_o=-I_o/I_d\simeq-0.900$. En mots, chaque kilogramme par mètre cube ajouté au segment externe retire 0.900 kg/m³ au seuil profond, parce que les deux intégrales sont presque égales et que les deux segments partagent une même source.

Le test de pression réussit pour un magma profond plus léger que 3,864 kg/m³ et échoue au-delà. C’est la première exigence que le mécanisme impose à la matière profonde, et c’est la plus nette : un magma riche en volatils la satisfait, un magma sec non. La raison en est que les volatils dissous — l’eau et d’autres composants légers — abaissent la densité d’un magma silicaté (§A.6), et la marge entre réussite et échec se situe dans la gamme qu’ils peuvent fournir. Une densité de mousse près de la surface ne prouve pas une densité semblable en profondeur : les bulles ne se forment que là où la pression est assez basse pour que les volatils quittent la solution, de sorte que près de la surface un magma peut être bien plus léger que le même magma en profondeur. Dans un modèle à densité variable, les deux termes doivent être remplacés par une intégrale sur $\rho[p(s),T(s),X(s)]$ — la densité en fonction de la pression, de la température et de la composition le long du chemin $s$ — et la pression de la source ainsi que le champ gravitationnel doivent aussi être recalculés. Le test à densité constante est la première étape de ce calcul, et son seuil est la valeur à laquelle doit être confrontée l’équation d’état du magma profond (§D.1).

La figure 2 représente le tableau par deux lignes. La ligne rouge horizontale est ce que fournit la source ; elle ne dépend pas du magma. La ligne bleu marine montante est ce que coûte la colonne ; elle monte avec la densité profonde. À gauche de leur croisement, la source l’emporte, et l’écart vertical entre les lignes est le reste — 10.49 GPa à 3,500 kg/m³, marqué par la flèche. À droite du croisement, la colonne l’emporte et l’alimentation s’arrête. Le croisement, 3,864 kg/m³, est le seuil.

Ce dont nous disposons maintenant : le parent contient 150.26 GPa à sa source, et cela suffit pour soutenir une colonne de magma jusqu’au rayon de corotation, à condition que le magma profond soit plus léger qu’environ 3,864 kg/m³. Soutenir la colonne n’est pas encore déplacer de la masse le long de celle-ci ; la section suivante demande à quelle vitesse la masse doit se déplacer.

A.11À quel rythme l’alimentation doit-elle fonctionner ?

Un excédent de pression signifie que le magma peut s’écouler ; il ne dit pas combien. La question est ici de savoir quelle masse l’alimentation doit livrer chaque seconde pour construire la Lune dans le temps disponible, et ce que cela exige du passage.

Si une fraction $f_{\mathrm{int}}$ de la masse cible arrive par l’intérieur sur $\mathcal T$, le débit moyen est :

$$\overline{\dot M}_{\mathrm{int}}=\frac{f_{\mathrm{int}}m}{\mathcal T}. \tag{15}$$

L’équation (15) est le bilan le plus simple possible : la masse livrée par l’alimentation, $f_{\mathrm{int}}m$ (la part interne de la masse lunaire $m$ ; le reste provient de la coquille montante, partie B), divisée par le temps $\mathcal T$ pendant lequel elle arrive.

Pour $f_{\mathrm{int}}=1$, on obtient environ $2.33\times10^7\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ sur 100 millions d’années, et environ $3.88\times10^6\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ sur 600 millions d’années. Les deux fenêtres sont celles du tableau de l’environnement : 600 millions d’années est la fenêtre du scénario, 100 millions d’années le cas de sensibilité. Pour une part interne plus petite, le débit moyen diminue en proportion directe. Ces débits décrivent l’accumulation nette moyenne de masse dans le corps ; toute perte de matière fournie exige un débit d’alimentation brut plus élevé. Une alimentation intermittente exige un débit plus élevé pendant l’activité : si l’alimentation ne fonctionne qu’une partie du temps, elle doit fonctionner plus vite pendant ce temps pour livrer le même total.

Pour un test de sensibilité, un segment géométriquement confiné peut être représenté comme un écoulement newtonien laminaire dans un passage cylindrique de rayon $b$, de longueur $\ell$ et avec une condition de non-glissement :

$$Q=\frac{\pi b^4\Delta p}{8\eta\ell}, \qquad \eta_{\max}=\frac{\pi b^4\Delta p\,\rho_d\mathcal T} {8\ell f_{\mathrm{int}}m}. \tag{16}$$

Les termes demandent chacun un mot. Un écoulement laminaire se déplace en couches régulières, sans turbulence ; newtonien signifie que la résistance du fluide est décrite par un seul nombre, sa viscosité $\eta$ — la résistance de la matière à l’écoulement, faible pour l’eau, très élevée pour le verre froid ou pour le manteau solide qui flue à l’échelle des temps géologiques ; le non-glissement signifie que le fluide à la paroi du passage ne bouge pas, de sorte que l’écoulement est le plus rapide le long de l’axe et le plus lent à la paroi. La première partie de l’équation (16) donne le volume de magma $Q$ qui traverse chaque seconde un passage de rayon $b$ et de longueur $\ell$ lorsqu’une différence de pression $\Delta p$ l’entraîne. La seconde partie retourne la question : c’est la première partie résolue pour la viscosité, avec $Q$ égal au débit volumique dont la construction a besoin (le débit massique de l’équation 15 divisé par la densité du magma). Le résultat, $\eta_{\max}$, est la viscosité maximale que peut avoir la matière du passage tout en livrant la masse lunaire à temps. Toute matière moins visqueuse que $\eta_{\max}$ passe ; toute matière plus rigide échoue.

C’est la solution de Poiseuille [1], utilisée ici comme estimation pour un segment borné ; sa condition à la paroi ne peut pas être supposée valable dans toute la partie externe non confinée.

Pour $\ell=10^7\ \mathrm m$, $\rho_d=3{,}500$, $\Delta p=10\ \mathrm{GPa}$ et $f_{\mathrm{int}}=1$ :

Les données d’entrée sont un passage de 10,000 km de long ($10^7$ m, comparable à la distance entre la source profonde et le corps), la densité de référence du magma de 3,500 kg/m³ et un excédent moteur de 10 GPa — proche du reste de 10.49 GPa du §A.10 — la Lune entière étant livrée par l’alimentation.

Comment lire le tableau. Chaque case est la matière la plus rigide qui construirait encore la Lune à travers un passage du rayon donné dans le temps donné. En descendant une colonne, le plafond s’élève fortement avec le rayon : un passage large tolère une matière bien plus rigide qu’un passage étroit. Le long d’une ligne, le plafond est six fois plus élevé pour 600 millions d’années que pour 100 millions, parce qu’un temps plus long exige un écoulement plus lent. À titre de comparaison, le tableau de l’environnement fixe la coquille rigide et froide à $\gtrsim10^{23}$ Pa·s ; seul le passage le plus large sur la fenêtre la plus longue approche cette valeur.

La forte sensibilité est $b^4$ : diviser le rayon par deux réduit le débit d’un facteur seize pour le même excédent de pression et la même viscosité. La raison en est qu’un passage plus large gagne deux fois : il a une plus grande section, et son centre se trouve plus loin des parois qui freinent l’écoulement. Entre 100 et 500 km, le rayon est multiplié par cinq et le plafond par $5^4$, ce qui est le pas entre les deux premières lignes. Les valeurs de viscosité du tableau sont des plafonds mathématiques de l’estimation, et non des propriétés mesurées dans un magma. Un excédent de 10 GPa est un paramètre de test ; si le soutien du corps consomme la pression restante, cette pression n’est plus disponible pour entraîner l’écoulement. Une longue fenêtre de temps peut assouplir l’exigence de débit, mais exige que le passage reste mobile et stable pendant tout ce temps.

Ce dont nous disposons maintenant : avec un excédent de la taille que laisse le test de pression, un passage de quelques centaines de kilomètres ou plus peut porter la masse lunaire dans la fenêtre du scénario, à condition de rester chaud et mobile. La largeur du passage compte bien plus que toute autre donnée d’entrée ; le §A.13 y revient.

A.12 Énergie : quelle est la source du travail ?

La pression et le débit concernent la manière dont la masse se déplace ; l’énergie concerne ce qui paie ce déplacement. Soulever la masse de la Lune depuis la surface de la Terre jusqu’au rayon de corotation est un travail effectué contre la gravité, et le modèle doit dire d’où vient ce travail.

Une vérification en ordre de grandeur du travail gravitationnel pour la masse cible complète, dans un champ terrestre fixe, de 8,991 km jusqu’à la libération à 16,400 km donne :

$$W_g=GM_Em\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}\right) \simeq1.47\times10^{30}\ \mathrm J. \tag{17}$$

L’équation (17) est le travail classique nécessaire pour déplacer une masse $m$ vers l’extérieur dans la gravité d’une masse $M_E$, d’une distance $r_0$ à une distance $r_1$ de son centre. Ici $r_0=8{,}991$ km est la distance entre les centres lorsqu’un corps de masse lunaire complète touche la surface du parent (§A.2), et $r_1=16{,}400$ km est la distance de libération sur l’équateur. « Champ terrestre fixe » signifie que la masse de la Terre est maintenue constante et que le corps est traité comme un point.

L’estimation se rapporte au déplacement d’une masse donnée entre deux distances ; ce n’est pas le bilan de travail complet d’un corps qui croît à partir de la source profonde. Le bilan complet doit inclure la variation de l’énergie gravitationnelle de l’ensemble du système, l’énergie de rotation, l’énergie interne, les pertes et l’énergie emportée par la matière qui part.

L’énergie de liaison totale de la Terre ne peut pas être comptée automatiquement comme énergie disponible. L’énergie de liaison est l’énergie qu’il faudrait pour démanteler toute la Terre contre sa propre gravité ; elle est grande, mais elle n’est pas stockée sous une forme qui puisse être dépensée. L’énergie ne devient disponible que lorsque le corps passe à un état plus fortement lié. Une évolution physique qui libère de l’énergie est requise : par exemple, l’organisation de la densité, la contraction ou une baisse de l’énergie interne, accompagnées d’échanges d’énergie de rotation. Le travail est de l’ordre de $10^{30}$ J, moins d’un pour cent de l’énergie de liaison du parent ; l’évolution qui le libère — le fer qui descend et un intérieur qui se contracte et se refroidit — est la même évolution qui entraîne la remontée. Lorsque le fer s’enfonce vers le centre, la masse du parent se resserre et de l’énergie gravitationnelle est libérée ; le soulèvement de la Lune n’en exige qu’une faible fraction. Le bilan d’énergie complet de cette évolution est une exigence énumérée au §D.1.

A.13 Un test conjoint dans un même état : pression, écoulement et charge

Les sections A.9 à A.11 ont testé la pression et l’écoulement séparément, et sur le parent initial. Une connexion réelle les rencontre tous à la fois, et dans un état ultérieur : une Terre plus petite (la masse de la Lune l’a quittée), un jour plus lent, un corps éloigné de l’équateur, et le poids du corps qui appuie sur l’extrémité du passage. La question est ici de savoir si un seul passage peut réussir tous les tests dans un seul et même état — et, s’il ne peut pas les réussir sous la forme d’un tube mince, quelle forme il doit avoir.

Pour tester les trois grandeurs ensemble, nous choisissons le dernier état de la montée, à la latitude de libération de la partie C : masse de la Terre $M_E$, masse du corps $m$, un jour de 5.77 heures, une latitude de 22.5°, et le centre du corps à un rayon du corps à l’intérieur de la ligne de corotation, $r=15{,}397\ \mathrm{km}$ — sa face éloignée touchant la ligne (à la libération, sur la ligne elle-même, la charge radiale s’annule et seule subsiste la charge latérale, §C.2). La ligne de corotation à 22.5° se trouve à 17,287 km (article 4) ; un corps de rayon 1,889.77 km dont la face éloignée la touche a son centre à 15,397 km. C’est le dernier état de la montée avant la libération : le corps est à son point le plus éloigné avant que son centre n’atteigne la ligne, et son poids sur le passage n’est pas encore tombé à zéro. Pour une section de pression analytique seulement, on conserve un rayon volumétrique terrestre de 6,517 km et une approximation de densité homogène. Ce sont des approximations de section, et non la forme d’équilibre complète du corps connecté.

Définissons un axe $u$ allant du centre de la Terre vers le corps. Le rayon équivalent du corps à la densité 2,600 est de 1,889.77 km, de sorte que l’extrémité proche du passage d’alimentation se trouve à $u_t=r-R_b=13{,}507.23\ \mathrm{km}$. La colonne va donc du centre de la Terre ($u=0$) à la face proche du corps ($u=u_t$) ; c’est là que le corps repose sur elle. Le potentiel le long de l’axe inclut l’attraction du corps et l’accélération de l’origine du référentiel terrestre :

$$\Phi(u)=\Phi_E(u)-\frac{Gm}{r-u} +\frac{Gm}{r^2}u-\frac{1}{2}\omega^2u^2\cos^2\lambda. \tag{25}$$

L’équation (25) énumère tous les effets qui s’exercent sur un élément de la colonne à la distance $u$, écrits sous forme d’énergie potentielle par kilogramme. Le premier terme, $\Phi_E$, est la gravité de la Terre. Le deuxième est la propre gravité du corps, qui attire la colonne vers le corps et aide ainsi l’alimentation près de son extrémité supérieure. Le troisième terme corrige le fait que la Terre elle-même n’est pas au repos : le corps attire le centre de la Terre vers lui, de sorte qu’un référentiel lié au centre de la Terre est accéléré, et tout ce qui se trouve dans ce référentiel ressent une attraction apparente uniforme dans l’autre sens. Le quatrième terme est l’effet centrifuge de la rotation ; à la latitude $\lambda$, un point situé à la distance $u$ ne se trouve qu’à $u\cos\lambda$ de l’axe de rotation, ce qui explique l’apparition de $\cos^2\lambda$.

Pour la sphère terrestre homogène :

$$\Phi_E(u)= \begin{cases} -\dfrac{GM_E}{2R}\left(3-\dfrac{u^2}{R^2}\right),&u\le R,\\ -\dfrac{GM_E}{u},&u\ge R. \end{cases} \tag{26}$$

L’équation (26) est le potentiel d’une sphère uniforme : à l’intérieur, il se creuse vers le centre selon une parabole, ce qui correspond à une gravité croissant proportionnellement à la distance au centre comme au §A.9 ; à l’extérieur, c’est la forme familière d’une masse ponctuelle.

Le terme linéaire de l’équation (25) annule l’accélération uniforme du centre de la Terre due au corps. On obtient $I_d=\Phi(R)-\Phi(0)=2.88219\times10^7$ et $I_o=\Phi(u_t)-\Phi(R)=2.42862\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}$. Ce sont les deux mêmes sauts de potentiel que dans les équations (11) et (12), évalués maintenant dans l’état ultérieur : le saut profond est presque inchangé, et le saut externe est un peu plus petit, principalement parce que la colonne se termine à la face proche du corps plutôt qu’au rayon de corotation et que la propre attraction du corps aide. La pression de la source le long de la section est $p_s=\rho_p I_d=148.46\ \mathrm{GPa}$, où ici $\rho_p=5{,}150.96\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$, selon la masse de la Terre après la répartition de la masse. Comme au §A.9, la pression de la source est la charge d’une colonne de la densité moyenne propre au parent, désormais celle de la Terre sans la Lune.

Pour le test de résistance, nous choisissons un passage cylindrique de rayon $b$, une densité profonde de 3,500, une densité externe de 1,500 kg/m³ et une viscosité uniforme adoptée $\eta=10^{19}\ \mathrm{Pa\,s}$. Le débit massique est la moyenne de référence pour 600 millions d’années, $\dot M=3.882\times10^6\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ ; il s’agit d’un test d’état, et non d’une preuve que l’état dure 600 millions d’années. L’application de l’estimation d’écoulement confiné aux deux segments donne :

$$\Delta p_{\mathrm{visc}}=\frac{8\eta\dot M}{\pi b^4} \left(\frac{R}{\rho_d}+\frac{u_t-R}{\rho_o}\right). \tag{27}$$

L’équation (27) est la relation de Poiseuille de l’équation (16) appliquée tour à tour aux deux segments et additionnée : la pression dépensée en frottement pour pousser le débit massique $\dot M$ à travers un segment profond de longueur $R$ rempli de magma de densité $\rho_d$, et un segment externe de longueur $u_t-R$ rempli de matière de densité $\rho_o$. Diviser le débit massique par la densité le transforme en débit volumique ; la matière externe plus légère doit s’écouler plus vite pour le même débit massique, et coûte donc davantage par kilomètre.

La charge radiale à l’extrémité s’écrit comme une contrainte moyenne $p_r=m_r a_r/(\pi b^2)$, et la composante latérale comme $\tau_\lambda=m_r a_\lambda/(\pi b^2)$. Ici $m_r a_r$ est la force avec laquelle le corps appuie le long de l’axe sur l’extrémité du passage — son poids dans le référentiel tournant, l’attraction gravitationnelle vers l’intérieur moins la part centrifuge vers l’extérieur le long de l’axe — et $m_r a_\lambda$ est la force latérale. La force latérale existe parce que le corps n’est pas sur l’équateur : l’effet centrifuge est dirigé à l’opposé de l’axe de rotation, et non le long de la ligne issue du centre de la Terre, et à la latitude 22.5° une partie de cet effet pousse le corps latéralement, vers le plan équatorial. Diviser chaque force par la section du passage, $\pi b^2$, la transforme en une contrainte que l’extrémité du passage doit porter. Ces expressions ferment le modèle moyenné sur une section perpendiculaire à l’axe ; elles ne résolvent pas la distribution de pression à travers une connexion finie. Le reste de pression radial est :

$$\Delta p_{\mathrm{rem}}=p_s-\rho_d I_d-\rho_o I_o-p_r-\Delta p_{\mathrm{visc}}. \tag{28}$$

L’équation (28) est le budget complet de l’équation (13), avec désormais chaque facture chiffrée dans un seul état : la pression de la source, moins la charge des deux segments, moins le poids du corps sur l’extrémité, moins le frottement de l’écoulement. Comme au §A.10, un reste positif signifie que la poussée suffit.

Comment lire le tableau. Chaque ligne est un passage de rayon différent dans le même état. Avant que la charge et le frottement ne soient payés, la source et la charge hydrostatique laissent environ 11 GPa : 148.46 GPa moins la charge des deux segments (dans chaque ligne, le reste plus la charge radiale et la perte d’écoulement). Le tableau montre ensuite ce que les factures restantes en prélèvent. La charge radiale est le poids du corps réparti sur la section du passage ; elle décroît comme $1/b^2$, de 46.18 GPa à 500 km à 5.131 GPa à 1,500 km, parce que le même poids repose sur une plus grande surface. La perte d’écoulement est minuscule dans chaque ligne — au plus environ un centième de gigapascal — de sorte que le frottement n’est pas la limite dans cet état. Le reste radial est ce qui subsiste ; il est fortement négatif pour un passage de 500 km, juste en dessous de zéro à 1,000 km, et positif à 1,500 km. La contrainte latérale est la poussée latérale à laquelle l’extrémité du passage doit résister ; elle est presque aussi grande que la charge radiale dans chaque ligne, parce qu’à 22.5° et si près de la ligne les parts latérale et radiale du poids effectif du corps sont de taille semblable. La dernière colonne est la masse de la matière qui se trouve dans le segment externe du passage lui-même, en unités de masse lunaire ; elle croît comme $b^2$, d’environ un dixième de Lune à 500 km à une Lune entière à 1,500 km.

La masse du segment externe est estimée dans la même géométrie :

$$M_{\mathrm{bridge,out}}=\pi b^2\rho_o(u_t-R). \tag{29}$$

L’équation (29) est le volume d’un cylindre de rayon $b$ et de longueur $u_t-R$, la partie du passage qui se dresse au-dessus de la surface de la Terre, multiplié par la densité de la matière qui le remplit.

Résultat du test : avec ces données d’entrée, le bilan de pression radial réussit à partir d’un rayon d’environ 1,017 km. Mais dès ce seuil, la masse du segment externe représente environ 0.46 de la masse lunaire. L’hypothèse d’une connexion de masse négligeable n’est donc pas cohérente dans la gamme qui réussit le test radial. Cette masse doit être réaffectée entre les réservoirs de l’équation (1), et son champ gravitationnel et sa quantité de mouvement doivent être inclus ; elle ne doit pas être ajoutée aux deux masses données sans modifier l’état. Autrement dit : un tube mince échoue parce que le poids du corps, concentré sur une petite extrémité, fait tomber le reste sous zéro ; un tube assez large pour répartir ce poids est si large qu’il contient lui-même près d’une demi-Lune de matière. La connexion ne peut pas être à la fois étroite et sans masse.

En outre, un fluide statique qui ne transmet la pression qu’à travers la section radiale ne fournit pas la contrainte latérale. Un liquide au repos peut pousser mais ne peut pas retenir une force latérale — c’est ce qui en fait un liquide. Une colonne de magma peut porter le poids du corps le long de l’axe, mais elle ne peut pas à elle seule empêcher le corps d’être poussé vers l’équateur. Une solution possible devrait définir une forme de connexion, des contraintes visqueuses ou la résistance d’une matière porteuse, et la quantité de mouvement transférée dans l’écoulement. Le chauffage facilite le passage ; la charge latérale est portée par la forme de la connexion, qui est la large base du dôme de la partie B.

La sensibilité à la densité reste décisive : si l’on élève la densité externe à 2,000 kg/m³, le reste pour un rayon de 1,000 km devient environ $-12.5\ \mathrm{GPa}$, les autres données restant inchangées. Une augmentation modeste de la densité du segment externe déplace ainsi le rayon seuil bien au-delà de 1,000 km, pour la même raison qu’au §A.10 : chaque kilogramme par mètre cube dans la colonne coûte de la charge. Raccourcir le temps d’alimentation à 100 millions d’années multiplie par six la perte d’écoulement dans l’estimation, mais ne supprime ni l’exigence de contrainte latérale ni la masse de la connexion. Même multipliée par six, la perte d’écoulement reste bien inférieure à un gigapascal dans les trois lignes, de sorte que la conclusion ne dépend pas de la fenêtre de temps.

C’est une limite quantitative de l’approximation cylindrique : réussir le test de pression n’est pas encore réussir le test complet de la construction. Le résultat indique au modèle à quoi doit ressembler sa connexion : assez large pour réussir le bilan radial (au-dessus d’environ 1,000 km), et donc assez massive pour que sa propre masse et ses contraintes latérales entrent dans le bilan. Cette connexion est la base du dôme de la partie B — un contact de 3,000 km de diamètre, la moitié de la base de 6,000 km en largeur et le quart en surface — et la partie C montre comment le corps commence à se séparer à la ligne de corotation et est libéré juste au-delà. Un contact de 3,000 km de diamètre a un rayon de 1,500 km, la dernière ligne du tableau, où le reste radial est positif ; sa charge latérale est portée non par la pression du fluide mais par sa forme, une large base chaude dressée sur une poire plus large.

La figure 3 montre les deux grandeurs qui décident du test à mesure que le passage s’élargit. La courbe bleu marine, le reste radial, monte depuis bien en dessous de zéro et le franchit vers 1,017 km ; à droite de la ligne en tirets, le bilan radial réussit. La courbe rouge, la contrainte latérale, diminue avec la largeur mais reste partout à plusieurs gigapascals — une charge latérale que la pression seule ne peut pas porter. L’encadré du haut consigne le prix de la réussite : le segment externe pèse déjà 0.46 Lune au seuil et une Lune entière à 1,500 km.

Ce dont nous disposons maintenant : la pression du parent suffit à soutenir une colonne de magma léger jusqu’au rayon de corotation ; un passage de quelques centaines de kilomètres ou plus peut porter la masse lunaire dans la fenêtre du scénario ; le soulèvement coûte de l’ordre de $10^{30}$ J, une faible part de ce que libère le fer qui descend. Mais la connexion qui satisfait les trois dans un même état n’est pas un tube mince. Elle est large, chaude et massive, et elle porte sa charge latérale par sa forme. La partie B décrit cette forme depuis l’extérieur.

La partie A a suivi la matière qui monte à l’intérieur du corps : la source profonde, la pression qui l’entraîne, et le débit et l’énergie de l’alimentation. Cette partie regarde le même corps depuis l’extérieur. Sa question est simple à énoncer : qu’advient-il de la peau externe de la Terre au-dessus de la région de construction pendant que le corps se construit en dessous et au-dessus d’elle, et où chaque morceau de cette peau aboutit-il sur la Lune que nous voyons aujourd’hui ? La réponse est le cœur géométrique du modèle. Elle est construite ici en quatre étapes, une par stade, et l’image de chaque étape est fixée par des valeurs chiffrées avant de passer à l’étape suivante.

Toute la partie repose sur une seule image, et il est utile de la garder à l’esprit dès le départ. La coquille externe de la Terre ne reste pas en arrière pendant que le corps monte ; elle monte avec le corps en tant que peau de son dôme supérieur. Le corps lui-même n’est pas une balle flottant librement, mais une balle écrasée reposant sur la pointe de la poire : deux dômes, l’un sur l’autre — un dôme inférieur qui épouse par le dessus la pointe arrondie, et un dôme supérieur qui se dresse haut au-dessus. Lorsque le corps s’arrondit ensuite vers l’extérieur en une balle, chaque partie de sa surface conserve sa part de l’ensemble, et chaque partie peut ainsi être suivie jusque sur la Lune actuelle.

Les quatre stades, et leur place dans la série. Cet article numérote ses propres stades : stade 1, le stade aplati (§B.1) ; stade 2, le corps sur la pointe de la poire (§B.2) ; stade 3, l’arrondi vers l’extérieur (§B.4) ; stade 4, l’aplatissement, l’arrondi vers l’intérieur et la libération (§§B.6, C.4–C.8). La série dans son ensemble numérote l’histoire de la Lune en stades 0–8 : 0 avant le renflement, 1 le renflement, 2 le dôme, 3 la poire, 4 l’arrondi (vers l’extérieur, puis aplatissement, puis vers l’intérieur), 5 la libération, 6 le sort de la poire, 7 l’éloignement, 8 aujourd’hui. Les deux numérotations se correspondent comme suit. Le stade 1 de cet article est le stade 0 de la série et le début du renflement, tant que la coquille repose encore à plat sur l’alimentation. Le stade 2 est le renflement, le dôme et la poire (stades 1–3 de la série) vus au moment où le corps repose comme un dôme sur la pointe de la poire. Le stade 3 est la première partie du stade 4 de la série, l’arrondi vers l’extérieur. Le stade 4 est le reste du stade 4 de la série — l’aplatissement et l’arrondi vers l’intérieur — avec le stade 5 de la série, la libération. Le stade 6 de la série, le sort de la poire, est la partie E de cet article ; le stade 7, l’éloignement, est l’article 4, L’orbite ; le stade 8, la Lune actuelle, est l’endroit où les §§B.4–B.7 placent chaque région de la surface.

B.1 Stade 1 — le stade aplati et la coquille rassemblée

Avant que le corps ne monte, la couche sialique externe du parent au-dessus de la région de construction repose à plat, sur une alimentation active. « Sialique » renvoie au sial, la couche supérieure légère de la croûte terrestre, riche en silicium et en aluminium ; sous elle se trouve le sima, la couche plus dense riche en silicium et en magnésium. La matière profonde atteint le sial par des ouvertures et est éjectée à travers elles ; une partie des éjectas revient et retombe sur la coquille exposée, en y creusant des cratères (article 6, Les cratères). La coquille est à ce stade la source de la croûte de la Lune et de son archive de cratères la plus ancienne. Cela importe, car cela signifie que la plus ancienne surface de la Lune ne s’est pas formée sur la Lune : elle s’est formée ici, sur la Terre, avant que le corps n’existe, et a ensuite été emportée vers le haut.

La surface initiale de la coquille qui formera le dôme diffère de la surface du dôme qui en résulte. Le bassin du Pacifique de la reconstruction de l’auteur (figure 4) — environ $1.65\times10^{14}$ m² avec ses mers marginales, environ $1.0\times10^{14}$ m² sans elles — représente 1.4 à 2.4 fois la surface du dôme supérieur au stade 2 ($7.0\times10^{13}$ m², ci-dessous). Dans cette image, la coquille au-dessus de la région a été attirée vers l’intérieur d’un facteur allant jusqu’à environ deux en surface à mesure que le dôme se formait, comme une nappe posée à plat sur une table se resserre vers l’intérieur lorsqu’on en soulève le milieu. Le bassin marque donc la surface source de la matière rassemblée, plutôt que l’empreinte du dôme lui-même. Il s’agit d’une lecture d’un trait actuel, et l’article en énonce la difficulté comme l’a fait l’article 2 : le plancher actuel du bassin a moins de 180 Myr, et la lecture se rapporte à une asymétrie hémisphérique de la lithosphère sous-jacente — la couche externe rigide de la Terre, croûte et manteau le plus superficiel, plus ancienne et plus profondément enracinée que le plancher océanique qui la recouvre aujourd’hui.

La base de la poire et son arrière. La région marquée sur la figure 4 est la poire vue d’en haut alors qu’elle était inclinée, et non son pied. La base de la poire se trouvait à l’est, vers l’Amérique, et sur toute sa largeur elle comportait des ouvertures — vers la poire et, à travers elle, jusqu’à la Lune : dans la reconstruction de l’auteur, son centre se trouve près de Kiritimati, dans les îles de la Ligne de Kiribati — près des villages de London, Paris et Poland — vers 1.9°N, 157.5°W — à environ 4,800 km à l’est-sud-est de la lecture antérieure.

La poire ne se dressait pas verticalement, et la raison en est la rotation de la Terre. À mesure qu’elle s’étirait, sa partie externe, portée loin de l’axe, prenait du retard sur la rotation de la Terre, comme les bras d’une patineuse prennent du retard lorsqu’elle les écarte, et toute la poire s’est inclinée vers l’arrière, vers l’ouest, sa pointe et la Lune qu’elle portait restant en arrière (§C.8). Elle s’est aussi inclinée vers le nord : depuis une base proche de l’équateur, sa pointe a atteint environ 22.5°N, la latitude de libération de l’article 4. La rotation ne produit pas cette inclinaison vers le nord — à toute latitude, sa poussée latérale est dirigée vers l’équateur — elle provient de l’alimentation : la source profonde, la région d’alimentation concentrée du §A.4, se trouve au nord de l’équateur, et l’alimentation en est montée obliquement, au nord de la base, entraînant la poire vers le nord avec elle (§D.1).

Le côté ouest de la poire, sous lequel se trouve aujourd’hui le Japon, est son arrière, qui a été ramené dans la Terre après la libération ; l’avant de la poire, étiré en tension pendant son inclinaison, a été ramené dans les bandes de l’article 9, Les bandes. L’article 9 localise aussi l’empreinte de la pointe elle-même : entre deux coudes des bandes, une région de 3,360 km de large centrée à 9.3°N, 169.3°E, à environ 3,760 km à l’ouest de la base d’après les coordonnées (une version antérieure donnait 3,770 km) — la direction dans laquelle la poire inclinée a porté sa pointe — tandis que l’arrière, ramené vers l’intérieur, se trouve dans les arcs du Pacifique occidental. Les 22.5°N de la pointe à la libération et les 9.3°N de cette empreinte sont des grandeurs différentes : la première est la direction du centre de la Lune vue du centre de la Terre à la libération, la seconde l’empreinte de la pointe ramenée sur la surface actuelle, à environ 15° au nord de l’équateur du système de bandes ; elles sont mesurées dans des référentiels différents, et relier les deux référentiels — les axes — relève de travaux futurs. La poire n’a jamais quitté la masse de la Terre. Elle n’a pas été perdue à la libération ; après la libération, le tri l’a ramenée dans la Terre, progressivement, en quelques dizaines à quelques centaines de millions d’années — sa partie lourde profondément dans la Terre sous la base de la poire (partie E), son côté avant dans les bandes du Pacifique Nord, et son arrière dans les arcs du Pacifique occidental. La masse est passée du haut à l’extérieur de la Terre au profond à l’intérieur de celle-ci. La base se trouve au-dessus de la grande province à faible vitesse du Pacifique au fond du manteau — une vaste région, visible sur les images sismiques, à travers laquelle les ondes sismiques se propagent plus lentement que dans le manteau environnant — sur les cartes publiées de cette province, qui s’étend depuis les environs d’Hawaï vers le sud ; la distance mesurée entre la base et le centre et le bord de la province est donnée au §E.4. La nature des provinces profondes est laissée ouverte.

La figure 4 doit être lue comme une vue d’en haut d’un objet incliné. La zone marquée dans le centre-nord du Pacifique est l’endroit où le corps de la poire reposait au-dessus de la Terre lorsqu’elle s’est inclinée vers l’arrière, vers l’ouest ; le pied de la poire, là où elle s’élevait de la Terre, se trouvait à l’est de cette zone, près de Kiritimati, près de l’équateur. Les deux marges nommées dans la légende bornent la région source du côté asiatique et du côté américain.

Ce dont nous disposons maintenant : une coquille de sial plane sur une alimentation active, portant déjà des cratères dus à la matière de retour, rassemblée vers l’intérieur depuis une région de la taille du Pacifique, et l’endroit où la poire s’est ensuite dressée et inclinée.

B.2 Stade 2 — le corps sur la pointe de la poire

La question de cette section est la forme du corps au moment où il est pour la première fois un corps : quelle est sa taille, comment sa surface se divise et quelle densité il doit avoir. Au stade intermédiaire, le corps repose sur la pointe de la poire du §C.7, et la pointe est large : le contact mesure 6,000 km de diamètre. Le corps est une balle écrasée posée sur la pointe arrondie de la poire. Son dôme inférieur repose sur la pointe courbe et la suit — la pointe, d’une courbure d’environ 4,000 km, pénètre dans le corps sur quelque 1,350 km sous le milieu du contact — et son dôme supérieur s’élève au-dessus : deux dômes, l’un sur l’autre, l’inférieur épousant la pointe. La valeur de 1,350 km découle de la géométrie : une surface courbe de rayon environ 4,000 km, sous-tendant une corde de 6,000 km, s’élève d’environ 1,350 km en son milieu au-dessus de la ligne de son bord. La face inférieure du corps n’est donc pas plane ; elle est repoussée vers le haut par la pointe, comme un bonnet enfoncé sur une tête. Sa géométrie, pour la masse lunaire complète :

Le tableau compare la même masse — la masse complète de la Lune — dans trois états. Lisez-le de gauche à droite : le corps devient plus petit et plus dense. Sur la pointe de la poire, il est grand et léger, son volume étant environ deux fois et demie celui d’aujourd’hui ; en tant que sphère à la libération, son rayon est de 1,890 km et sa densité de 2,600 kg/m³ ; aujourd’hui, son rayon est de 1,737 km et sa densité de 3,344 kg/m³. Lisez la première colonne de haut en bas : les deux tiers de la surface sur la pointe de la poire forment le dôme supérieur, un tiers le dôme inférieur qui repose sur la pointe. Ces deux parts sont le point de départ de la règle de transposition du §B.4.

La hauteur du dôme supérieur est fixée par la densité, parce que la masse est fixée : plus le dôme est haut sur le même contact, plus le volume est grand et plus la densité est faible. La même masse sur le même contact a une densité d’environ 2,000 kg/m³ si son dôme supérieur est aussi haut qu’un hémisphère, 3,000 km, et la densité actuelle de 3,344 s’il mesure 2,450 km, le minimum possible (figure 7) — le minimum, parce qu’un corps de masse lunaire ne peut pas être plus dense que la Lune ne l’est aujourd’hui. Nous adoptons le dôme haut : 1,300 kg/m³ est l’état de lancement moussé qu’exige le test de pression de la partie A — contre les 1,500 qui y sont adoptés — et c’est la densité à laquelle commence l’aplatissement de l’article 7, Les pôles. « Moussé » signifie un magma plein de bulles de gaz, comme une pâte qui lève est plus légère que la farine et l’eau dont elle est faite ; une colonne légère est ce que la pression de la source de la partie A peut élever jusqu’à la ligne de corotation. Le corps est moussé, et son dôme supérieur se dresse haut.

Le dôme inférieur est le contact avec le parent : $3.4\times10^{13}$ m². À ce stade, l’autogravité du corps — l’attraction de sa propre masse, qui le maintient cohérent — est faible face à l’étirement de marée du parent, la différence entre l’attraction de la Terre sur la face proche et sur la face éloignée du corps, qui tend à l’étirer : le rapport du §C.4 est d’environ 0.11 (en prenant pour taille du corps sa hauteur complète d’environ 5,000 km, avec un centre à environ 13,000 km du centre de la Terre ; pour la sphère équivalente de 2,381 km, le rapport serait d’environ 1), de sorte que la propre attraction du corps vaut environ un neuvième de l’étirement sur toute sa hauteur. Le corps est donc retenu ; c’est un dôme sur la pointe, et pas encore un corps à part entière.

La figure 5 est l’histoire de cette partie en cinq images, à lire dans leur ordre numéroté. Ses panneaux sont numérotés comme des images, et non comme des stades : le panneau (1) est le stade 2 de cet article, le panneau (2) le stade 3, les panneaux (3) et (4) le stade 4, et le panneau (5) la Lune actuelle. Regardez d’abord les deux dômes du panneau (1) et la ligne où le dôme inférieur rencontre la pointe ; suivez ensuite cette ligne à mesure qu’elle se rétrécit vers l’intérieur dans le panneau (2), et le contour du corps à mesure qu’il s’aplatit dans le panneau (3) et s’arrondit de nouveau dans le panneau (4). L’arrondi vers l’intérieur est achevé avant que le corps ne parte : à la libération, le corps était rond, sa coquille externe rigide (article 2, §B.7 : rapport des axes au plus 1.04).

B.3Ce qui se déplace, et ce qui ne se déplace pas

Un lecteur qui se représente une croûte parcourant des milliers de kilomètres de la Terre à la Lune demandera quelle force porte une croûte aussi loin. La coquille voyage bien, mais elle n’est pas traînée à travers le parent : elle monte avec le corps de la poire, et en même temps elle se sépare lentement du sima sous-jacent et glisse le long de la poire jusqu’à sa pointe, dans le corps. Les forces de la rotation l’entraînent, dans le sens du tri vers l’extérieur, et la couche lubrifiée entre sial et sima facilite le glissement sous cisaillement (§C.10). C’est pourquoi la pointe se sépare comme un corps à part entière. (Le rassemblement vers l’intérieur du §B.1 appartient au stade 1, avant le dôme.)

Ce qui se contracte pendant le stade 3, c’est l’anneau du dôme inférieur — l’anneau de la face inférieure du corps entre le bord du contact et son centre, la surface exposée du corps, et non la coquille : du bord à 3,000 km de rayon jusqu’au contact à 1,500 km, environ 1,500 km de mouvement vers l’intérieur sur l’ensemble du stade 3, sur la même interface faible. Le dôme exige une structure rhéologique stratifiée — « rhéologique » désignant la manière dont chaque couche s’écoule sous charge : une coquille rigide et froide ($\eta\gtrsim10^{23}$ Pa s, la valeur qui empêche un cratère de 100 km de se relaxer en $10^7$ ans à $g=8.25$), sur un intérieur mobile, avec la couche la plus faible à leur interface. Ici $\eta$ est la viscosité, la résistance d’une matière à l’écoulement — le miel a une viscosité plus élevée que l’eau, et une coquille froide une viscosité immensément plus élevée que l’un et l’autre ; une coquille de $10^{23}$ Pa s conserve la forme d’un cratère de 100 km de large pendant dix millions d’années sans s’affaisser. Le décollement du contact de 6,000 à 3,000 km et l’arrondi du corps ont pris des millions d’années : lents au début, sur des centaines de millions d’années, et plus rapides vers la fin, sur des dizaines de millions ; le calendrier de la coquille est le calendrier de la montée.

La gravité du corps en développement maintient la coquille contre sa surface. Au sommet du dôme supérieur, la propre gravité du corps est d’environ 0.9 m/s² (pour la sphère équivalente, 2,381 km à 1,300 kg/m³ — la sphère de même volume), et elle atteint 1.37 m/s² sur le corps fermé de 1,890 km. Sur une surface centrée sur le centre de masse du corps, cette gravité est normale à la surface — elle est dirigée droit vers l’intérieur du corps — et maintient la coquille ; elle n’est pas comptée comme une force motrice tangentielle ; le glissement du sial vers la pointe est entraîné par les forces de la rotation.

B.4 Stade 3 — l’arrondi vers l’extérieur, le contact et la règle de transposition

Cette section répond à la question centrale de la partie B : lorsque le corps écrasé devient une balle, où va chaque partie de sa surface ? Le corps est la charge sur la pointe de la poire du §C.7, et les stades 3 et 4 sont la même pointe étirée pendant que le corps qu’elle porte s’arrondit et est libéré. À mesure que son autogravité croît, le corps s’arrondit vers l’extérieur (§C.4) : le corps écrasé devient une balle, à volume constant et sans dilatation. Le contact se rétrécit de 6,000 à 3,000 km et reste attaché ; le reste du dôme inférieur, l’anneau compris entre les deux, se détache lentement, se décollant du bord vers l’intérieur avec le sial sur lequel il reposait (§C.4a) — comme une balle molle à moitié dégonflée, pressée sur le sommet d’un support arrondi, se décolle de celui-ci depuis le bord vers l’intérieur lorsqu’on la gonfle. Le processus est continu et prend du temps. À son terme, le corps est soutenu sur un disque assez large pour que la connexion soit une couche plutôt qu’un col (§C.5).

Ce que devient la surface du corps sur la sphère est fixé par une seule règle : dans l’arrondi vers l’extérieur, chaque partie conserve sa part de la surface.

La règle dit qu’une partie couvrant 7% de la surface du corps écrasé couvre 7% de la surface de la balle, et ainsi de suite pour chaque partie. Sur une sphère, une part de la surface mesurée depuis un point correspond à un angle fixe depuis ce point : une calotte couvrant 7% d’une sphère s’étend jusqu’à environ $31^\circ$ de son centre, et une calotte couvrant 33% jusqu’à environ $70^\circ$. Le point depuis lequel les angles sont mesurés est le centre du contact — la pointe de la poire, vers 22–24°N. Les zones sont calculées autour de 24.1°N 335.2°E, le centre du contact tel que l’auteur l’a délimité, à 34.0° du point sub-terrestre. Le tableau applique la règle aux trois parties du corps :

Les couleurs du tableau vont de la Terre vers l’extérieur : rouge pour le contact, la partie qui a touché la Terre jusqu’à la fin ; orange pour l’anneau, décollé pendant l’arrondi ; bleu pour le dôme supérieur, exposé à l’espace dès le début. Lisez chaque ligne de gauche à droite : la partie, sa surface sur la pointe de la poire, sa part de l’ensemble et les angles qu’elle occupe sur la balle. Le contact et l’anneau forment ensemble les 33% du dôme inférieur ; le dôme supérieur constitue les 67% restants. Une calotte de $31^\circ$ sur la Lune actuelle mesure environ 1,900 km de diamètre.

La balle a une surface plus petite que le corps écrasé de même volume — $7.1\times10^{13}$ m² contre $1.04\times10^{14}$, un facteur 0.68 en surface et 0.83 en longueur — et comme chaque partie conserve sa part, le changement est le même partout : il ne déplace aucune zone ni aucun cratère par rapport à un autre. Une balle a toujours la plus petite surface pour son volume ; l’arrondi vers l’extérieur réduit donc la surface, mais uniformément, comme une photographie réduite garde chaque figure à sa place. La séquence d’exposition de la construction est inscrite sur la Lune sous la forme de trois zones concentriques autour du centre du contact :

• La calotte d’environ $31^\circ$ était le contact ; elle n’a pas été entièrement recouverte avant la libération : Serenitatis s’en est décollé le premier, et Imbrium a été détaché en dernier.

• La ceinture de $31^\circ$ à $70^\circ$ était l’anneau décollé — le sial sur lequel reposait le corps, décollé du parent à mesure que le contact se rétrécissait du bord jusqu’au disque — exposé pendant l’arrondi vers l’extérieur.

• La face cachée, au-delà de $70^\circ$, était le dôme supérieur : coquille de bout en bout, exposée dès le stade aplati, ses cratères emportés vers le haut.

Les angles se maintiennent au cours des stades ultérieurs, car ce qui suit l’arrondi vers l’extérieur — l’aplatissement et l’arrondi vers l’intérieur (article 7) — modifie les pôles par rapport à l’équateur, et non la face visible par rapport à la face cachée. Dans l’aplatissement, la rotation élargit le corps à son équateur et l’abaisse à ses pôles, et l’arrondi vers l’intérieur défait cela ; les deux agissent symétriquement autour de l’axe de rotation et laissent la division entre face visible et face cachée là où elle était. L’article transmet les zones à l’article 11, Les exigences, comme une exigence à tester face aux bassins ; l’identification de la calotte à la région de Procellarum relève de l’article 11, et non de cet article.

Les deux régions sur la Lune actuelle. La base de la colline et le dernier contact peuvent tous deux être tracés sur la face visible actuelle, à partir de leurs contours sur la carte LROC (la carte de la Lunar Reconnaissance Orbiter Camera) :

Le tableau emboîte trois régions, chacune à l’intérieur de celle qui la précède. La colline, la base du renflement sur laquelle reposait le corps au stade 2, contient 99% des mers de la face visible — les plaines sombres de la face visible ; le contact, les derniers 3,000 km restés attachés, en contient les deux tiers ; et Mare Imbrium se trouve à l’intérieur du contact.

Les deux régions se trouvent sur la face visible, le contact à l’intérieur de la colline, et Mare Imbrium à l’intérieur du contact : la pression et l’alimentation montant de l’intérieur de la Terre sont entrées dans le corps par Imbrium et Serenitatis ; Serenitatis s’est décollé le premier, et Imbrium est resté connecté jusqu’au détachement, le dernier lien. Imbrium se trouve à l’intérieur du contact, pas nécessairement en son centre. Les angles de la règle sont mesurés autour du centre du contact, 24.1°N 335.2°E ; la règle fixe la taille des zones, les contours fixent où elles se trouvent aujourd’hui. Les deux types d’information sont délibérément séparés : la règle est un calcul de parts et n’a pas besoin de carte ; les contours sont une lecture de la carte et disent où se situent les zones calculées.

La figure 6 est le tableau de la règle de transposition mis en image. Dans le panneau A, repérez chacune des trois parties du corps écrasé ; dans le panneau B, retrouvez la même partie sur la balle. Ce qu’il faut voir, c’est que rien ne change d’ordre : le contact, au centre de la face inférieure, devient la calotte au centre de la face visible ; l’anneau qui l’entoure devient l’anneau autour de la calotte ; et le dôme supérieur enveloppe le reste de la balle.

La figure 7 montre la relation utilisée au §B.2 entre la hauteur du dôme supérieur et la densité du corps. Regardez les trois cas nommés dans la légende. Plus le dôme est haut, plus la densité est faible ; le dôme adopté se trouve à l’extrémité légère, là où le corps a la densité moussée qu’exige la partie A.

La figure 8 reporte la règle sur la Lune réelle. GRAIL, la mission gravimétrique à deux sondes, a cartographié le champ de gravité de la Lune et, à travers lui, l’épaisseur de sa croûte. La ligne bleue marque où se trouve aujourd’hui la base du corps du stade 2 — le bord du dôme inférieur ; la ligne noire marque le dernier contact. Regardez les mers sombres : presque toutes se trouvent à l’intérieur de la ligne bleue, et la plupart à l’intérieur de la noire.

Ce dont nous disposons maintenant : une règle qui transforme la géométrie du corps sur la pointe de la poire en une carte de la Lune — une calotte de la face visible, une ceinture autour d’elle et une face cachée — chaque zone ayant été exposée à un moment différent.

B.5Les ouvertures

La coquille n’est pas continue. L’alimentation de la partie A atteint le dôme par des ouvertures, et de la matière est éjectée à travers elles ; au stade 1, ce sont les mers de la coquille plane ; au stade 2, celles du dôme supérieur sont exposées à mesure qu’il monte, et celles situées sous le dôme inférieur restent couvertes jusqu’à la libération. Les ouvertures diffèrent donc par le moment de leur exposition et par ce qui les a traversées. Les ouvertures du sommet et du flanc étaient actives tant qu’elles étaient exposées, et de la matière était éjectée à travers elles vers l’extérieur. Les ouvertures situées sous le dôme inférieur — les mers de la face visible — étaient des passages internes : tant qu’elles étaient couvertes, elles transmettaient la pression de la Terre à travers la poire jusque dans les mers que nous voyons et de là dans la Lune, et la matière les traversait comme un tuyau.

Serenitatis a été exposé avant Imbrium, et lorsqu’il a été exposé il était encore légèrement actif : on voit des éclaboussures dans l’anneau qui l’entoure, mais pas de cratères géants. Les grands cratères sont produits par de la matière de grande taille, chassée par la pression ; les petits cratères des anneaux qui entourent les mers proviennent du bouillonnement et des éclaboussures, dont la plupart retombent dans la mer, tandis qu’une petite partie retombe à sa marge et y laisse sa trace. Imbrium a été exposé en dernier. Une fois qu’il a été exposé, la pression interne de la Lune a cessé — pas immédiatement, mais rapidement — et avec elle les éruptions des mers lunaires. La Terre a poursuivi sa propre activité et a continué à projeter de la matière dans toutes les directions, en majeure partie de petite taille ; une partie est retombée sur la Terre, et une partie sur la Lune. C’est pourquoi de petits cratères couvrent toute la Lune, face visible comprise (§C.11).

La forme observationnelle de cette image — quels bassins sont lesquels, et quelle signature chacun devrait porter — relève de l’archive lunaire et est examinée dans l’article 11 ; ici, les ouvertures n’interviennent qu’en tant que lieux où l’alimentation de la partie A rencontre la coquille de la partie B.

B.6L’archive portée par le corps

Un cratère creusé dans la coquille par la matière de retour pendant que la coquille était exposée au stade 1, ou sur le dôme supérieur au stade 2, voyage avec la coquille à mesure que le corps s’arrondit. C’est de la stratigraphie — la lecture de l’ordre à partir de ce qui repose sur quoi — et non une physique nouvelle : $t_{\mathrm crater}<t_{\mathrm cover}$ pour le segment concerné. En mots : un cratère formé avant que son morceau de surface ne soit couvert ou emporté est emporté avec lui. L’archive survit si la coquille conserve sa forme, ce qui est l’exigence qui en fait une coquille : une viscosité de l’ordre de $10^{23}$ Pa s ou plus à la surface pendant les $10^7$ ans de la montée. La coquille s’est rigidifiée tôt, dans la première partie de la tempête magmatique ; une coquille rigide ne s’est ni étirée quand le corps a grandi ni comprimée quand il s’est arrondi, et les cratères qu’elle portait ont conservé leur taille.

L’archive est écrite en trois stades :

Dans l’arrondi vers l’extérieur, les cratères déjà présents changent avec la surface, de la même manière partout, et de nouveaux continuent d’arriver ; les pôles se forment.

Dans l’aplatissement qui suit se forment la plupart des cratères, et les plus grands : la différenciation a progressé, la matière éjectée est riche en eau, et les pôles, déjà formés, en reçoivent davantage.

Dans l’arrondi vers l’intérieur, à mesure que l’aplatissement se relâche et que tout le corps se densifie, les cratères conservent leur taille et la surface qui les sépare se referme, surtout aux pôles, qui les rassemblent (article 7) — comme les espaces entre des boutons cousus sur un tissu se referment lorsqu’on fronce le tissu, tandis que les boutons gardent la même taille.

La ceinture et la calotte se trouvaient sous le dôme inférieur et n’ont reçu aucun cratère avant leur exposition ; leurs populations les plus anciennes sont plus jeunes que celles de la face cachée. Une face cachée dont la population la plus ancienne est la plus dense, une ceinture qui l’est moins et une calotte qui l’est le moins, voilà ce que prédit la règle, et cela est énoncé dans la partie D avec son test. C’est le test que la règle de transposition transmet à la Lune : l’ordre dans lequel les zones ont été exposées doit se lire dans l’ordre de leurs cratères les plus anciens.

En coulisses. Une version antérieure de cette partie faisait se refermer la face cachée sur un tiers de sa surface, ses cratères se réduisant d’un facteur 0.58 et leur densité triplant. Les cratères ont été interrogés directement, par des mesures qu’un changement d’échelle déplacerait — le diamètre de transition entre cratères simples et complexes, les plus grands cratères sur une surface égale, les anciens face aux récents (article 7, §D.5). Les petits cratères sont de simples cuvettes ; au-dessus d’un certain diamètre, ils développent des parois en terrasses et des pics centraux, et ce diamètre de transition aurait changé si la surface qui les porte avait été comprimée. Entre les hautes terres de la face cachée et celles de la face visible, ils ne révèlent aucune différence d’échelle : la transition se situe à 16.5–17.1 km sur la face cachée et à 14.3–15.1 km sur la face visible. La géométrie des §§B.2–B.4 en découle.

B.7Le bilan de masse et d’épaisseur

La dernière question de la partie B est de savoir si la croûte que possède réellement la Lune peut être produite de cette manière, à la fois par sa masse et par son épaisseur inégale. Telle qu’elle est mesurée aujourd’hui, la croûte de la face cachée — épaisse d’environ 55 km selon GRAIL, à 2,550 kg/m³ sur l’hémisphère caché — représente environ $2.6\times10^{21}$ kg, 3.5% de la Lune (une version antérieure donnait $2.7\times10^{21}$ kg et 3.6% ; recalculé dans l’article 11, §B.3). Ce sont des observations de la croûte telle qu’elle est aujourd’hui, et non l’épaisseur d’une coquille modélisée. Dans le modèle, la croûte de la face cachée est faite de nombreuses couches de sial compacté. Deux apports l’ont construite, couche après couche, sur le dôme supérieur : le sial du parent, qui a glissé le long de la poire sur le sima et s’est rassemblé à sa pointe (§C.10), et la matière éjectée par les ouvertures, revenue encore et encore sur la partie éloignée du corps.

L’éjection ne s’est jamais arrêtée, et la différenciation — la séparation de la matière profonde selon la densité, le fer lourd s’enfonçant et la matière légère, riche en volatils, montant — a progressé avec le temps. À mesure qu’elle progressait, la matière qui sortait était de plus en plus légère et riche en fluides : dans l’aplatissement, les épanchements étaient faits de matière terrestre relativement légère, pleine d’eau. Chaque couche déposée plus tôt est sortie moins triée, et porte donc plus de fer que les couches situées au-dessus d’elle. La croûte de la face cachée est donc stratifiée par âge et par tri, et sa teneur en fer croît avec la profondeur : plus la couche est profonde, plus elle s’est formée tôt, et plus elle est riche en fer — et dense. C’est une prédiction, lue dans la composition des pics centraux des cratères par rapport à leur profondeur d’origine (§D.1).

La face visible porte une croûte de 30–35 km — le sial décollé de l’anneau et, sur le contact, une croûte lissée par la chaleur et la gravité — soit environ $1.5\times10^{21}$ kg de plus à la même densité (une version antérieure donnait $2\times10^{21}$ kg, ce qui porterait le total à 6.3%) ; ensemble, elles constituent les 4–6% de la masse lunaire que les modèles GRAIL donnent pour l’ensemble de la croûte [4]. Les 94–96% restants de la masse lunaire sont la matière profonde de la partie A — une répartition estimée à partir de l’image antérieure de la coquille, à recalculer pour la croûte stratifiée — et le métal que l’intérieur doit contenir pour un noyau de 1.4% est une exigence portant sur l’alimentation de la partie A, et non sur la croûte (article 11, R2). Le bilan indique donc que la croûte que construisent les deux apports à l’extérieur est une faible fraction de la Lune, et que l’essentiel de la masse est ce que la partie A soulève depuis l’intérieur.

La face cachée est plus épaisse que la face visible (figure 9) parce que les deux ont été construites différemment : le dôme supérieur, exposé en permanence, a accumulé le sial et la matière de retour couche après couche ; le dôme inférieur ne portait que le sial sur lequel il reposait, et en son centre il a perdu même celui-ci sous l’effet de la chaleur du contact. La face visible est la plus mince là où elle est ouverte : les mers sont les ouvertures du §B.5, et la croûte sous-jacente est mince parce que ce sont des ouvertures. La croûte de la face cachée est la plus ancienne et la plus épaisse ; la limite entre les deux se trouve au bord du dôme inférieur (§B.4).

La figure 9 est une carte de toute la Lune déroulée à plat, la face visible au milieu et la face cachée partagée entre les deux bords ; LOLA est l’altimètre laser qui a mesuré les altitudes de la surface. Regardez les couleurs du centre vers l’extérieur : bleu sous les mers de la face visible, au centre de la carte, là où se trouvaient le contact et les ouvertures ; rouge et blanc vers les deux bords, sur la face cachée, là où le dôme supérieur a accumulé ses couches. La carte est la règle de transposition vue dans l’épaisseur de la croûte.

Ce qu’a apporté la partie B : la croûte de la Lune et ses plus anciens cratères proviennent de la coquille externe de la Terre, qui est montée en tant que peau du dôme supérieur ; le corps reposait sous forme de deux dômes sur la pointe de la poire ; lorsqu’il s’est arrondi vers l’extérieur, chaque partie a conservé sa part de la surface, de sorte que le contact est devenu une calotte de la face visible, l’anneau décollé une ceinture et le dôme supérieur la face cachée. La partie C se tourne maintenant vers la connexion sous le corps — ce qu’elle porte, et comment le corps est libéré.

La partie A a montré que la pression peut alimenter le corps, et la partie B a suivi la surface du corps du stade aplati jusqu’à l’arrondi vers l’extérieur. Cette partie pose la question mécanique que toutes deux laissent ouverte : qu’est-ce qui retient le corps à la Terre pendant qu’il monte, et comment est-il libéré ? La réponse est construite par étapes. Les sections C.1–C.3 calculent la charge que la connexion doit porter à la libération et montrent pourquoi un col étroit ne peut pas la porter. Les sections C.4–C.5 montrent comment un contact large et chaud la porte, et comment le corps commence à se séparer à la ligne et est libéré environ 210 km au-delà, le contact ne résistant que faiblement ; le §C.5a donne la recherche de la distance de libération. La section C.6 transmet l’état de libération à l’article 4 (L’orbite). Les sections C.7–C.9 décrivent la structure située sous le contact — un seul renflement de la Terre étiré en une poire, une partie de la Terre retenue par la gravité terrestre — avec sa largeur, sa longueur et sa masse. Les sections C.10–C.11 se terminent par ce que le corps a emporté avec lui et par ce que la Terre a continué de faire après la libération.

Trois mots sont tenus distincts tout au long du texte. Une force est la traction ou la poussée totale, en newtons. Une contrainte est cette force divisée par la surface qui la porte, en pascals (un gigapascal, GPa, vaut environ dix mille fois la pression atmosphérique au niveau de la mer). Un changement de forme est ce que fait une matière lorsque la contrainte qui s’exerce sur elle n’est pas équilibrée. Une connexion peut porter une grande force avec une faible contrainte si elle est large, et la même force peut déchirer une connexion étroite.

C.1 La calotte ne porte pas toute la pression de la source

La question de cette section est simple, et l’on y répond facilement à tort : la pression complète de la source profonde pousse-t-elle sur la calotte externe du corps ? Non. À l’équilibre hydrostatique — l’état dans lequel, à chaque profondeur, la pression d’un fluide porte exactement le poids de ce qui se trouve au-dessus — la pression varie le long du chemin. Elle est maximale à la source profonde et diminue en montant, parce qu’à chaque pas elle a porté le poids de la colonne située au-dessus. La pression de la source profonde (environ 150 GPa, partie A) ne doit donc pas être introduite comme une différence de pression uniforme à travers la calotte externe.

Une échelle utile est la pression que le corps produit par son propre poids. Pour un corps sphérique homogène de masse lunaire et de densité 2,600 kg/m³, on obtient un rayon d’environ 1,890 km et une pression centrale due à sa propre gravité :

$$p_c=\frac{3Gm^2}{8\pi R_b^4}\simeq3.37\ \mathrm{GPa}. \tag{18}$$

Ici $G$ est la constante gravitationnelle, $m$ la masse lunaire et $R_b$ le rayon du corps. La formule est le résultat classique pour une boule uniforme : chaque couche est comprimée par le poids des couches situées au-dessus, et la somme atteint sa valeur maximale au centre. En mots, la seule gravité propre du corps comprime son centre à environ 3.37 GPa — quelque quarante fois moins que ce que contient la source profonde. La pression qui atteint le corps a donc déjà été dépensée, pour la plus grande part, à soulever la colonne située sous lui.

La pression hydrostatique diminue vers la limite. Cependant, une enveloppe d’épaisseur finie, l’afflux de matière, les marées et une géométrie non sphérique peuvent imposer des charges à cette limite. La différence de pression et les contraintes locales doivent donc être calculées ; on ne doit pas les supposer automatiquement nulles. C’est la raison pour laquelle les sections suivantes calculent directement la charge de la connexion, à partir du mouvement du corps, plutôt qu’à partir de la pression de la source.

C.2 Qu’exige la connexion à une latitude non nulle ?

Le corps est attaché à la Terre et tourne avec elle. Pour continuer à tourner avec la Terre en un lieu fixe, il doit recevoir à chaque instant exactement l’accélération qu’exige ce mouvement circulaire ; ce que la gravité et la rotation ne fournissent pas, la connexion doit le fournir. Cette section calcule ce reste au moment de la libération.

Définissons $r$ comme la distance entre les centres, $K=G(M_E+m)$ et $m_r=M_Em/(M_E+m)$. $M_E$ est la masse de la Terre ; $K$ mesure la gravité conjointe du couple ; et $m_r$ est la masse réduite, la masse unique qui représente les deux corps lorsque leur mouvement mutuel est traité comme le mouvement d’un seul (elle est légèrement inférieure à $m$, parce que la Terre se déplace aussi un peu autour du centre commun). Pour un mouvement attaché en corotation — le corps tournant avec la rotation de la Terre, à la même vitesse angulaire $\omega$ — à une latitude constante $\lambda$ et à vitesse constante au moment examiné, les accélérations de soutien requises sont :

$$a_r=\frac{K}{r^2}-\omega^2r\cos^2\lambda, \qquad a_\lambda=\omega^2r\sin\lambda\cos\lambda. \tag{19}$$

La première est positive vers l’extérieur, et la seconde est dirigée vers le pôle dans l’hémisphère nord. En mots : $a_r$ est le soutien radial, l’attraction de la Terre $K/r^2$ moins la part de la poussée centrifuge de la rotation qui est dirigée droit à l’opposé du centre de la Terre. $a_\lambda$ est le soutien latéral. Hors de l’équateur, la poussée centrifuge de la rotation, $\omega^2 r\cos\lambda$, est dirigée à l’opposé de l’axe de rotation, et non à l’opposé du centre de la Terre ; une partie de celle-ci s’exerce donc le long du sol vers l’équateur, comme une perle enfilée sur un cerceau en rotation est poussée vers la partie la plus large du cerceau. Pour maintenir le corps à sa latitude, la connexion doit le tirer vers le pôle avec une accélération égale à cette part latérale. La force totale exigée de la connexion dans l’approximation à deux corps est :

$$F_{\mathrm{conn}}=m_r\sqrt{a_r^2+a_\lambda^2}. \tag{20}$$

C’est la masse réduite multipliée par l’accélération combinée, les deux composantes étant additionnées à angle droit.

Dans l’état de libération adopté dans la série — latitude $\lambda=22.5^\circ$, un jour terrestre de 5.77 h, et le centre de masse de la Lune sur la ligne de corotation à cette latitude, $r=r_{\mathrm co}\cos^{-2/3}\lambda$ (articles 2 et 4) — on obtient :

$$T=5.77\ \mathrm h,\qquad r=17{,}287\ \mathrm{km}, \tag{21}$$

$$a_r=0,\qquad a_\lambda=0.559\ \mathrm{m\,s^{-2}},\qquad F_{\mathrm{conn}}=4.06\times10^{22}\ \mathrm N. \tag{22}$$

La ligne de corotation est l’ensemble des points où un corps qui tourne avec la Terre se déplace déjà à la vitesse d’une orbite circulaire libre ; sur l’équateur, elle se trouve à $r_{\mathrm co}$, 16,399 km pour le jour de 5.77 heures, et à la latitude $\lambda$ elle se trouve plus loin, à $r_{\mathrm co}\cos^{-2/3}\lambda$, 17,287 km à 22.5°. Sur cette ligne, l’exigence radiale s’annule exactement, $a_r=0$ : la gravité et la rotation s’équilibrent le long du rayon, et la connexion n’a besoin ni de pousser ni de tirer vers l’extérieur. L’exigence latérale ne s’annule pas. Elle vaut 0.559 m s$^{-2}$, environ deux cinquièmes de la gravité de surface propre du corps à la libération (1.37 m/s², §B.3), et appliquée à la masse réduite elle donne une force de $4.06\times10^{22}$ N. C’est la charge que la connexion doit porter à la libération, et elle est entièrement latérale.

Une force dit peu de chose d’une connexion tant qu’elle n’est pas divisée par la surface qui la porte. Sur une section circulaire de rayon $b$, la contrainte moyenne équivalente $F_{\mathrm{conn}}/(\pi b^2)$ est :

Le tableau se lit de haut en bas : la contrainte décroît comme le carré du rayon, de sorte que doubler la largeur de la connexion divise la contrainte par quatre. Pour un rayon de 1,500 km, une section perpendiculaire à la direction radiale n’exige aucune composante normale — sur la ligne, le bilan radial est satisfait — mais une composante latérale d’environ 5.74 GPa. Cette composante latérale est un cisaillement : elle tend à faire glisser une face de la section le long de l’autre. Une pression isotrope sur une telle section — une pression qui pousse également dans toutes les directions, comme dans un fluide immobile — ne fournit pas à elle seule la composante latérale. Une autre forme de connexion peut modifier la distribution des contraintes, mais elle doit être calculée. Lorsque la masse de la connexion est significative, elle et la quantité de mouvement de l’écoulement doivent aussi être incluses ; le tableau est une estimation de charge pour deux corps, et non une solution pour une connexion massive.

Pourquoi un col étroit ne peut pas faire le travail. Le tableau montre la difficulté d’une connexion étroite. Un col de 1,000 km de rayon devrait porter 12.92 GPa de cisaillement, et le test conjoint du §A.13 donne 46.04 GPa pour un passage de 500 km de rayon. Un col qui porte l’alimentation est chaud et partiellement fondu, et une matière fondue ne porte aucun cisaillement durable : sous une charge latérale constante, elle s’écoule. Un col étroit ne peut donc pas retenir le corps à 22.5° ; il se plierait et s’écoulerait vers l’équateur. L’issue n’est pas un col plus résistant mais une structure plus large : une partie de la Terre elle-même, retenue par la gravité terrestre, qui porte la charge latérale comme la Terre porte ses montagnes. Cette structure est la large base du dôme et la poire située sous lui (§C.4, §C.7). La figure 10 montre la charge à porter.

La figure se lit depuis le corps : la courte flèche rouge le long du rayon est l’exigence radiale, nulle sur la ligne ; la longue flèche rouge dirigée vers le pôle est l’exigence latérale qui subsiste. La connexion doit fournir la seconde.

C.3Comment la corotation détache le corps

La corotation est ce qui détache le corps, mais pas comme un interrupteur actionné en un point unique. Cette section explique ce qui se passe à la ligne. Dans le plan équatorial, et dans l’approximation du corps ponctuel, le changement de signe de $\omega^2r-K/r^2$ change la direction du soutien requis : à l’intérieur de la ligne, la connexion doit soutenir le corps contre l’attraction de la Terre ; au-delà, elle doit le retenir contre la poussée centrifuge vers l’extérieur. Sur la ligne elle-même, l’exigence passe par zéro. À une latitude non nulle, même lorsque $a_r=0$, $a_\lambda\ne0$ subsiste. Dans l’état de libération, ce point est la ligne elle-même, 17,287 km à 22.5°, et la charge de la connexion y est encore de $4.06\times10^{22}$ newtons.

La ligne de corotation est donc l’endroit où la direction de l’exigence radiale s’inverse ; c’est aussi l’endroit où le corps commence à se séparer. La connexion cède un peu au-delà, dès qu’elle ne peut plus transmettre la force, le couple et le flux de quantité de mouvement requis. Une température élevée et la fusion peuvent réduire sa résistance à la déformation ; la pression peut contribuer à la poussée ; l’arrondi modifie la forme du contact et le cheminement des contraintes. Chauffage, pression et arrondi agissent ensemble dans le même système. Les sections suivantes montrent comment ils agissent ensemble à la ligne : la ligne fixe l’endroit où l’attraction radiale nette s’inverse vers l’extérieur, et au-delà le corps, le contact ne résistant que faiblement, est tiré vers l’extérieur et libéré environ 210 km après la ligne (§C.5–C.5a).

C.4 L’arrondi vers l’extérieur et une connexion large

L’arrondi est une réponse de la forme à l’autogravité, aux marées, à la rotation et à la rhéologie (la manière dont une matière s’écoule sous charge). Un corps maintenu par sa propre gravité tend à devenir une balle ; la marée de la Terre l’étire en une forme allongée le long de la ligne qui relie les deux ; la rotation l’aplatit ; et sa viscosité fixe la vitesse à laquelle il peut suivre ces sollicitations. La comparaison :

$$\frac{Gm}{R_b^2}>\frac{2GM_ER_b}{r^3} \tag{23}$$

donne une estimation locale de la compétition entre l’autogravité et l’étirement de marée. Le membre de gauche est la propre gravité du corps à sa surface, qui le maintient cohérent. Le membre de droite est l’étirement de marée à travers le corps : la Terre attire la face proche plus fortement que le centre, et le centre plus fortement que la face éloignée, et la différence sur un rayon du corps est $2GM_ER_b/r^3$. Lorsque le membre de gauche l’emporte, le corps se tient par lui-même ; lorsque le membre de droite l’emporte, le corps n’est retenu que par ce sur quoi il repose. Au stade 2, sur la large pointe, le rapport des deux est d’environ 0.11 (§B.2) : le corps est encore un dôme sur la pointe, et pas encore un corps à part entière. La survie en orbite et la rupture de la connexion sont les deux conditions que l’article 2 impose au corps libéré, et c’est dans cette comparaison qu’elles interviennent.

La connexion large peut s’étirer et se séparer tout en s’écoulant et en se déformant, sans d’abord se rétrécir en un col. C’est la différence essentielle avec un pincement : une goutte qui quitte une seringue s’amincit en un fil et se rompt, mais une couche large et molle que l’on écarte s’ouvre sur toute sa largeur à la fois (§C.5).

L’ordre des changements de forme est fixé. Le corps a achevé son arrondi vers l’extérieur longtemps avant la libération, alors qu’il tournait encore avec la Terre ; il s’est ensuite aplati avec la rotation, et l’aplatissement comme l’arrondi vers l’intérieur qui l’a relâché ont eu lieu pendant que le corps était attaché. Dans l’arrondi vers l’intérieur, le rapport des axes est tombé de 1.69 au maximum de l’aplatissement à $a/c\simeq1.2$ tard dans le stade attaché (article 7, Les pôles). À la libération, le corps était rond, sa coquille externe rigide (article 2, §B.7 : un rapport des axes au plus de 1.04). Les contraintes détaillées et l’évolution de la géométrie restent à résoudre. Le contact, dans cette image, est le disque de 3,000 km qui subsiste du dôme inférieur du corps au stade 3 (partie B.4) ; sa largeur, 1,500 km de rayon, est le $R_c$ du calcul de libération du §C.5.

Pourquoi la large base peut faire le travail. Deux choses changent lorsque la connexion est la large base du corps plutôt qu’un col. La charge est répartie sur un disque de 1,500 km de rayon, de sorte que la contrainte moyenne tombe aux 5.74 GPa du tableau du §C.2 au lieu d’augmenter à mesure que le rayon diminue. Et sous le disque, le soutien n’est pas un fil mais une large partie de la Terre elle-même, la poire du §C.7, une partie de la Terre maintenue par la gravité terrestre. Le contact n’a qu’à transmettre la charge à la poire, sur une courte distance ; la poire la porte jusqu’à la Terre.

C.4a Décollement : le corps part avec le sial sur lequel il reposait

Cette section décrit ce qui se passe sur les parties du dôme inférieur qui ne sont pas le contact final. Le corps reposait dès le début sur la couche sialique du parent — la couche externe légère, riche en silicium et en aluminium (§C.10) — il a crû sur elle, et il est parti avec elle. L’image est celle d’un ballon de football ou de basket dégonflé, pressé sur le sommet arrondi d’un support et gonflé alors qu’il s’y trouve encore : à mesure qu’il gonfle et s’arrondit, la paroi qui touche le support s’en décolle, depuis le bord vers l’intérieur, et s’arrondit avec le reste du ballon. Ici, le support est la pointe de la poire.

Sur la base de 6,000 km, la séparation est un décollement. À mesure que le corps s’arrondissait vers l’extérieur (§C.4), le contact s’est rétréci du bord du dôme inférieur, de 6,000 km de diamètre, jusqu’au disque de 3,000 km (§B.4) ; le décollement est lent, et le disque reste attaché jusqu’à la fin. Sur cet anneau — l’anneau compris entre le bord de 6,000 km et le disque de 3,000 km — le corps ne s’est pas arraché du parent : le sial sous-jacent s’est décollé du sima situé en dessous (la couche plus dense, riche en magnésium, sous le sial), le long de la limite lubrifiée entre les deux couches (§C.10), et est parti avec le corps. Ce sial décollé est la ceinture actuelle située entre $31^\circ$ et $70^\circ$ du centre du contact (§B.4).

Le contact de 3,000 km est un mécanisme chaud. Au centre du dôme inférieur, le corps se tenait sur le sommet de la poire, et la chaleur y était extrême : elle a fondu la couche de sial et l’a éliminée. La dernière séparation n’y a peut-être pas été nette, mais la chaleur et la gravité du corps ont lissé toute la région. Là où la croûte de la face visible est la plus mince, elle est ouverte : les mers sont les ouvertures du §B.5, et la croûte sous-jacente est mince parce que ce sont des ouvertures.

Et la libération elle-même. Lorsque le centre de masse de la Lune atteint la ligne de corotation, le corps commence à se séparer ; les forces de corotation le tirent vigoureusement vers l’extérieur, et le reste du contact, ne résistant que faiblement, cède environ 210 km au-delà de la ligne (§C.5, C.5a, C.8). Le corps part alors avec son sial : la coquille sur le dôme, le sial décollé sur l’anneau et, sur le contact, une surface déjà lissée par la chaleur.

Le corps se sépare donc de deux manières à la fois : un décollement lent sur l’anneau, où le sial part avec lui, et une traction sur le disque central, où le contact chaud ne résiste que faiblement. La seconde est estimée ci-après.

C.5 Comment le corps est libéré au-delà de la ligne de corotation

L’article 2 place la libération là où le centre de masse de la Lune atteint la ligne de corotation : au-delà, les forces de corotation tirent le corps vers l’extérieur. La Lune commence à se séparer lorsque son centre de masse atteint la ligne et elle est libérée environ 210 km au-delà, lorsqu’un peu plus de la moitié de celle-ci l’a franchie (§C.5a). Le contact entre la poire et le corps ne résiste que faiblement ; le corps est tiré vigoureusement vers l’extérieur, et cette traction a dressé les crêtes en spatule. Cette section estime combien le contact a résisté.

Pourquoi le centre de masse, et pourquoi la ligne. Un corps qui se déplace d’un seul bloc répond à la somme des forces qui s’exercent sur lui, et cette somme agit comme si toute sa masse se trouvait en son centre de masse. À l’intérieur de la ligne de corotation, l’attraction de la Terre sur le corps est plus grande que ce dont son mouvement circulaire a besoin, de sorte que le corps dans son ensemble appuie vers la Terre et que le contact est en compression : il est poussé, non tiré, et il tient. La face éloignée du corps atteint la ligne la première (le tableau de la pointe au §C.7), mais tant que le centre se trouve à l’intérieur, les parties situées en deçà de la ligne l’emportent sur celles situées au-delà et le corps appuie encore vers l’intérieur. Lorsque le centre franchit la ligne, la somme s’inverse : la poussée centrifuge vers l’extérieur dépasse l’attraction, et le corps commence à tirer sur le contact. Dès lors, le contact est en tension, et la question devient de savoir comment se comporte une couche chaude et visqueuse lorsqu’on la tire.

Ce que signifie la libération de Stefan. Deux plaques de verre planes séparées par un mince film d’eau glissent facilement l’une sur l’autre, mais sont difficiles à écarter perpendiculairement. Pour ouvrir l’interstice, le liquide doit affluer des bords vers le centre, et plus l’interstice est mince, plus il s’écoule difficilement. Tirées lentement, les plaques se séparent d’abord lentement ; une fois l’interstice un peu élargi, le liquide afflue facilement et elles se séparent d’un coup. La résistance n’est pas une solidité qui se rompt ; c’est une résistance à la vitesse d’ouverture, fixée par la viscosité du film — sa résistance à l’écoulement —, par la taille des plaques et par la largeur de l’interstice. C’est le problème de Stefan, et le contact est un tel film à très grande échelle.

Modélisons le contact au stade 3 comme une couche newtonienne d’épaisseur $d_0$, de rayon $R_c=1{,}500$ km (le disque de 3,000 km du §B.4) et de viscosité $\eta_c$. Une couche newtonienne est une couche dont la résistance à l’écoulement est proportionnelle à la vitesse à laquelle on la fait s’écouler, comme pour l’eau ou le miel. Une telle couche ne porte aucune tension ; elle résiste à la vitesse à laquelle les deux corps se séparent. Pour deux disques se séparant à la vitesse $\dot d$ la résistance est celle de Stefan,

$$F=\frac{3\pi\eta_cR_c^4\,\dot d}{2d^3}, \tag{30}$$

Ici $d$ est l’interstice à un instant donné et $\dot d$ la vitesse à laquelle il s’ouvre. L’équation dit trois choses. La résistance croît avec la viscosité et avec la vitesse d’ouverture : une traction lente rencontre peu de résistance. Elle croît très fortement avec la taille du disque, comme $R_c^4$ : un disque deux fois plus large résiste seize fois plus. Et elle décroît très fortement à mesure que l’interstice s’ouvre, comme $d^{-3}$ : un interstice deux fois plus large résiste huit fois moins.

La force qui entraîne la séparation, une fois que le centre de masse du corps a dépassé le rayon de corotation de $\Delta r$, est la force nette vers l’extérieur dans le référentiel tournant, $F_{\mathrm net}=m\,(3\omega^2)\,\Delta r$, avec $3\omega^2=2.7\times10^{-7}\ \mathrm{s^{-2}}$ pour le jour de 5.77 heures de la libération (article 2). Le facteur $3\omega^2$ indique à quelle vitesse l’accélération nette vers l’extérieur croît avec la distance au-delà de la ligne : la projection vers l’extérieur $\omega^2 r$ croît vers l’extérieur tandis que l’attraction $K/r^2$ décroît, et sur la ligne les deux ensemble varient de $3\omega^2$ par mètre de distance. Sur la ligne, la force motrice est nulle ; un petit pas au-delà donne une petite force vers l’extérieur, un pas plus grand une force plus grande. En attribuant toute l’extension à la couche, $\Delta r=d-d_0$ :

$$\dot d=\frac{2m\cdot3\omega^2\,(d-d_0)\,d^3}{3\pi\eta_cR_c^4}. \tag{31}$$

L’équation (31) égale la force motrice à la résistance et la résout pour la vitesse d’ouverture. Elle contient les deux effets qui accélèrent la libération : la force motrice croît avec $d-d_0$, et la résistance décroît avec $d^3$.

La solution s’emballe : la résistance décroît comme $d^{-3}$ à mesure que l’interstice s’ouvre, de sorte que la faible résistance du contact cède bientôt ; la libération est définie ici comme le moment où l’interstice atteint $d=3d_0$, où la résistance a diminué d’un facteur 27 et où la solution s’emballe. La marge à la libération est fixée par la seule épaisseur de la couche, $\Delta r_{\mathrm release}=d-d_0\simeq2d_0$ (une version antérieure donnait $(1$–$2)\,d_0$) ; la viscosité et le rayon du contact ne fixent que le temps. La raison en est que l’interstice doit s’ouvrir d’un multiple fixe de l’épaisseur initiale avant que la résistance ne s’effondre, quelle que soit la viscosité ; une couche plus rigide ne fait que rendre la même ouverture plus longue. Le tableau donne quatre cas ; la colonne du temps varie avec la viscosité et l’épaisseur, la colonne de la marge seulement avec l’épaisseur :

Les temps sont obtenus en intégrant l’équation (31) de l’interstice initial $d_0(1+10^{-3})$ jusqu’à l’interstice de libération $3d_0$ avec la masse lunaire ; ils varient comme $\eta_c/d_0^{3}$. Une version antérieure de ce tableau donnait environ 4,800, 320 et $5\times10^{5}$ ans pour les trois dernières lignes ; ces valeurs ne découlaient pas de l’équation (31), qui donne les temps maintenant indiqués et concorde avec les courbes de la figure 11. Une version ultérieure donnait environ 240, 25,700, 1,640 et $2.6\times10^{6}$ ans ; les temps maintenant indiqués sont l’intégrale elle-même, et les quatre lignes se déduisent les unes des autres selon $\eta_c/d_0^{3}$. La colonne de la marge est inchangée.

Une couche de contact de 20–50 km d’épaisseur donne 40–100 km, et la libération adoptée d’environ 210 km (§C.5a) correspond à une couche d’environ 105 km d’épaisseur — dans tous les cas une faible marge face à une distance de libération de 16,400–17,300 km, moins d’un et demi pour cent de celle-ci. Le corps part donc pratiquement sur la ligne, comme l’exige l’article 2, et l’orbite dans laquelle il entre est fixée par la ligne, non par les détails de la couche. Dans le récit des §C.7–C.8, il s’agit de la dernière ouverture du contact, une fois que le centre de la Lune a atteint la ligne et que les forces de corotation et la pression interne agissent ensemble. La libération sur la ligne est donc accomplie par la connexion que cet article établit, sans col étroit et sans hypothèse nouvelle : le contact, chaud et mou (§A.5, §B.4), ne résiste que peu, et pour une couche d’environ 105 km d’épaisseur le corps est libéré environ 210 km au-delà de la ligne (une version antérieure retenait une couche de 50 km d’épaisseur et une libération environ 100 km au-delà de la ligne).

Les temps du tableau, de quelques centaines d’années à quelques millions d’années (une version antérieure disait « jusqu’à quelques centaines de milliers d’années »), sont courts face à la durée de la construction. Ils estiment la faible résistance du contact ; le corps lui-même est tiré vers l’extérieur avec force, et c’est cette traction qui a dressé les crêtes en spatule.

Le couplage rotationnel. Une seconde question est de savoir si le même contact peut maintenir le corps en rotation avec la Terre pendant qu’il s’élève. À mesure que le corps s’éloigne vers l’extérieur, il doit recevoir davantage de vitesse latérale pour suivre la rotation, ce qui exige un couple — une force de rotation. La même couche répond à la question du couplage rotationnel : le couple nécessaire pour maintenir le corps en corotation pendant qu’il s’élève de 1 km/yr est de $2m\omega r\dot r\simeq2\times10^{22}$ N m ; la force latérale qu’il implique au niveau du corps, $2m\omega\dot r\simeq1.4\times10^{15}$ N, répartie sur le contact, est une contrainte de cisaillement d’environ 0.2 kPa (une version antérieure donnait 7 kPa) — négligeable pour toute viscosité du tableau. Un cinquième de kilopascal représente environ un cinq-centième de la pression atmosphérique au niveau de la mer ; une couche de n’importe laquelle des viscosités ci-dessus le porte à un taux de cisaillement négligeable. Le large contact assure le couplage rotationnel : il retient le corps latéralement pendant qu’il s’élève, et le long du rayon il ne résiste que peu une fois que le centre a dépassé la ligne.

La figure 11 montre l’ouverture de l’interstice dans le temps pour deux des cas. Les deux courbes restent presque plates la plupart du temps, puis montent brusquement : la résistance cède une fois que l’interstice s’est un peu ouvert. La couche la plus épaisse libère plus tôt, mais dans les deux cas l’interstice à la libération s’est ouvert jusqu’à trois fois l’épaisseur initiale, de sorte que la marge au-delà de la ligne, $d-d_0$, vaut deux fois l’épaisseur de la couche — 40 km pour la couche de 20 km et 100 km pour la couche de 50 km, comme dans le tableau (une version antérieure de cette phrase donnait une marge de trois fois l’épaisseur).

L’ordre est fixé : le corps s’est arrondi vers l’extérieur et aplati pendant le stade attaché, et son arrondi vers l’intérieur était achevé avant la libération — le rapport d’axes de 1.2 appartient à la fin du stade attaché, et à la libération le corps était rond, sa coquille rigide (article 7 ; article 2, §B.7). La séparation est un étirement de la couche, non un pincement, et le corps qu’elle libère porte une coquille.

Pourquoi le corps n’a pas glissé vers l’équateur. Un corps reposant sur un parent qui tourne une fois en 5.5 heures subit une force centrifuge — la projection vers l’extérieur due à la rotation. À l’équateur, cette force est entièrement radiale ; à la latitude $\varphi$ elle a une composante tangentielle, $\omega^2 r\sin\varphi\cos\varphi$, dirigée vers l’équateur. C’est la même composante que $a_\lambda$ de l’équation (19), vue de l’autre côté : là, c’est ce que la connexion doit fournir ; ici, c’est ce qui déplacerait le corps si rien ne le fournissait. Sur un parent fluide, un corps à 22.5° glisserait vers l’équateur et s’en séparerait, avec une inclinaison nulle. Qu’est-ce qui l’en a empêché ?

Sur la large pointe — l’ancrage. Le corps repose sur une base de 6,000 km de large, à l’intérieur d’une ouverture dans la coquille sialique rigide. C’est la coquille que le modèle exige de toute façon, avec une viscosité de $10^{23}$ Pa s ou plus, pour que l’archive des cratères y survive (§B.6). Une coquille qui conserve les cratères conserve sa position : une base ancrée sur une telle surface ne migre pas. Une coquille assez rigide pour qu’un cratère de 100 km ne se relaxe pas en dix millions d’années (§B.3) est bien trop rigide pour laisser une base de 6,000 km de large glisser à sa surface.

Pendant l’arrondi vers l’extérieur — la poire. Le contact se réduit à 3,000 km, mais le corps repose toujours sur la pointe de la poire, une partie de la Terre retenue par la gravité terrestre, qui transmet la charge latérale jusqu’à la Terre (§C.4, §C.7). Le corps ne dérive pas vers l’équateur.

Conclusion. Le corps est libéré à la latitude à laquelle il était porté, la latitude de libération de l’article 4, 22.5°. L’inclinaison est l’inclinaison de l’orbite de la Lune par rapport à l’équateur terrestre ; un corps libéré à une latitude donnée commence sur une orbite inclinée de cette latitude. La base de la poire se trouvait à peu près sur l’équateur de l’époque ; la question de savoir si cet équateur est celui d’aujourd’hui est laissée aux axes, qui font l’objet de travaux futurs.

C.5a À quelle distance au-delà de la ligne : la distance de libération

La section C.5 a établi que le corps est libéré à faible distance au-delà de la ligne de corotation. Cette section demande à quelle distance, ce que cette distance fait à l’orbite, et dans quel intervalle les lois réduites de la série la placent. La réponse est la libération que la série adopte : environ 210 km au-delà de la ligne, quand un peu plus de la moitié de la Lune l’avait franchie. La question importe parce que la distance est faible face au rayon — moins d’un pour cent de celui-ci — mais elle n’est pas faible pour la forme de l’orbite. Un corps libéré exactement sur la ligne se déplace à la vitesse d’une orbite circulaire et entre sur un cercle. Un corps libéré au-delà de la ligne porte un peu plus de vitesse qu’il n’en faut pour un cercle : le point de libération devient le point le plus proche de l’orbite, le périgée, et l’orbite est une ellipse légèrement étirée. Son excentricité $e_0$ — nulle pour un cercle, croissante à mesure que l’ellipse s’étire — croît avec la distance au-delà de la ligne. Cette excentricité, et l’orbite un peu plus grande qui l’accompagne, sont reportées dans les deux nombres auxquels la Lune actuelle peut être confrontée : l’inclinaison de son orbite et l’étirement de son orbite.

Le cadre. Chaque ligne place le centre de masse de la Lune au décalage indiqué au-delà de la ligne de corotation au moment du détachement complet, avec le jour terrestre de la libération, 5.77 h, et le rayon du corps à la libération, 1,890 km ; « franchi » est la part du volume de la Lune qui se trouve au-delà de la ligne à ce moment. L’orbite initiale découle des formules de l’article 4, annexe A (le rapport des vitesses $B$, $a_0=r_0/(2-B)$, $e_0=|1-B|$, point de libération au périgée), et l’angle final de la loi en tangente réduite de l’article 4, partie D, $\tan i=\tan\lambda\,(a_0/384{,}400\ \mathrm{km})^{1/2}$. L’excentricité est reportée de la libération à la distance actuelle de 384,400 km avec la marée à décalage temporel constant [21] — la marée soulevée sur la Terre plus la marée soulevée dans une Lune synchrone dont l’intensité relative à celle de la Terre est $A$ —, la rotation de la Terre découlant de la conservation du moment cinétique ; le Soleil et la résonance d’évection ne sont pas inclus.

L’inclinaison. Le premier tableau libère le corps à la latitude de la série, 22.5°, où la ligne de corotation se situe à 17,287 km. Lisez-le de haut en bas : le décalage croît, et avec lui la part du corps qui a franchi la ligne, l’excentricité à la libération, la taille de l’orbite et l’angle final à la distance actuelle. La teinte bleu marine s’assombrit avec l’angle final. La ligne en vert et en gras est celle dont l’angle final égale la valeur observée de 5.145° ; c’est la libération adoptée.

Tableau C.5a.1. Libération à 22.5° (ligne de corotation à 17,287 km) : l’orbite initiale et l’angle final selon la loi réduite, en fonction du décalage au-delà de la ligne. Le bleu marine s’assombrit avec l’angle final ; le vert marque la valeur observée de 5.145°, qui est la libération adoptée.

L’angle final croît lentement et régulièrement avec le décalage : environ trois centièmes de degré tous les 50 km. Une libération sur la ligne donne 5.020°, une libération 100 km au-delà 5.079°, et la valeur observée de 5.145° est atteinte à environ 210 km, quand 58% du volume de la Lune avait franchi la ligne. L’angle est cependant plus sensible à la latitude de la pointe qu’au décalage. L’auteur place la pointe entre 22° et 24° ; le décalage qui redonne 5.145° se déplace dans cet intervalle comme suit :

Tableau C.5a.2. Sensibilité à la latitude de la pointe. Le bleu marine s’assombrit avec la latitude ; le vert marque la latitude de la série.

Un demi-degré de latitude déplace le décalage d’environ 200 km. L’inclinaison seule place donc la libération dans un intervalle, non en un point ; le second test le resserre.

L’étirement. Le second tableau effectue la même recherche pour l’excentricité. Elle est menée dans le plan, avec une libération sur l’équateur de l’époque (ligne de corotation à 16,399 km), où les équations de marée ci-dessus sont écrites ; pour un décalage donné, l’excentricité à la libération est presque la même qu’à 22.5° (comparer les deux tableaux). Les trois dernières colonnes donnent l’excentricité à la distance actuelle pour trois valeurs de $A$. Le nombre $A$ indique avec quelle intensité la jeune Lune absorbait l’énergie de marée par rapport à la Terre : une Lune froide et rigide a un $A$ petit, une Lune chaude et molle un grand. La marée dans la Terre étire l’orbite à mesure qu’elle s’agrandit ; la marée dans la Lune l’arrondit. La teinte bleu marine s’assombrit avec $e_0$ ; la cellule verte est la plus proche de la valeur actuelle, 0.0549.

Tableau C.5a.3. Libération sur l’équateur de l’époque (ligne de corotation à 16,399 km) : l’orbite initiale et l’excentricité à la distance actuelle pour trois intensités $A$ de la marée dans la Lune. Le bleu marine s’assombrit avec $e_0$ ; le vert marque la valeur la plus proche de la valeur actuelle de 0.0549.

La première ligne est décisive. Un corps libéré exactement sur la ligne entre sur un cercle, et la marée emporte un cercle vers l’extérieur en tant que cercle : quelle que soit la valeur de $A$, l’excentricité reste nulle jusqu’à 384,400 km. Toute l’excentricité que la Lune possède aujourd’hui doit donc commencer par un petit $e_0$ à la libération. Avec peu de dissipation dans la Lune ($A=0$ ou 1), la marée dans la Terre étire même un petit $e_0$ en une longue ellipse ; avec une jeune Lune chaude, la marée dans la Lune retient l’étirement, et pour $A=3$ la valeur actuelle de 0.0549 se situe entre les lignes de 200 et de 300 km. Le décalage qui redonne l’excentricité actuelle dépend de $A$ : environ 120 km pour $A=2.5$, environ 210 km pour $A=3.0$, environ 330 km pour $A=3.5$ et environ 460 km pour $A=4.0$.

Dans les termes du §C.5, où la marge à la libération est $\Delta r\simeq2d_0$, le décalage adopté d’environ 210 km correspond à une couche de contact d’environ 105 km d’épaisseur, le double de la couche de 50 km de l’avant-dernière ligne du tableau du §C.5 ; la résistance reste la faible résistance d’un contact chaud et mou, et le décalage reste inférieur à un et demi pour cent de la distance de libération.

En coulisses. Une version antérieure de cet article adoptait une libération environ 100 km au-delà de la ligne, l’estimation de l’auteur pour une couche de contact d’environ 50 km d’épaisseur. La recherche de la distance de libération ci-dessus a montré que les deux tests réduits se rejoignent un peu plus loin, et la série adopte désormais la valeur calculée ; l’estimation se situait dans le même intervalle et en était proche.

Ce dont nous disposons maintenant : la charge à la libération est connue (§C.2), elle est portée par un contact large et chaud plutôt que par un col (§C.4), et le corps commence à se séparer sur la ligne et est libéré environ 210 km au-delà, tiré vers l’extérieur avec force contre un contact qui ne résiste que peu (§C.5) ; l’inclinaison et l’étirement de l’orbite actuelle se rejoignent près de cette distance selon les lois réduites (§C.5a). La section suivante énonce ce résultat sous la forme dont l’article 4 a besoin.

C.6 Les conditions de transmission à l’article sur l’orbite

L’orbite de la Lune après la libération est l’objet de l’article 4 (L’orbite). Il n’a besoin de cet article que de l’état au moment de la libération : où se trouvait la Lune, à quelle vitesse tournait la Terre, et ce que faisait encore la connexion. L’état transmis à l’article 4 est celui de l’article 2, compte tenu du décalage dû à l’allongement de la poire et au noyau centralisateur. L’allongement de la poire porte de la masse vers l’extérieur et ralentit ainsi la rotation de la Terre ; le fer qui s’enfonce vers le centre — le noyau centralisateur — l’accélère, comme une patineuse tourne plus vite lorsqu’elle ramène ses bras ; les deux ensemble donnent le jour de 5.77 heures (article 2, §A.4) :

Les deux lignes ne diffèrent que par la latitude. Sur l’équateur, la ligne se situe à 16,399 km et il ne reste à la connexion, à la libération, aucune charge hormis la faible résistance du contact ; à 22.5°, la ligne se situe plus loin, à 17,287 km, et la charge latérale du §C.2 subsiste. Dans les deux cas, la Lune part sur une orbite presque circulaire : sur la ligne, la vitesse qu’elle porte avec la rotation est la vitesse d’une orbite circulaire, et environ 210 km au-delà un peu plus, de sorte que le point de libération est le périgée (§C.5a, §C.8). (Une version antérieure transmettait une libération sur la ligne, sur une orbite circulaire.)

En coulisses. Une version antérieure de cette section transmettait une libération plus tardive, à 20,595 km pour un jour de 6.59 heures, au-delà de la limite de Roche fluide d’un corps de 2,600 kg/m³. Cette branche ne tenait compte que de l’allongement de la poire ; avec le noyau centralisateur, le jour à la libération est de 5.77 h et la ligne se situe à environ 16,400 km (article 2, §A.4). Le corps libéré à cet endroit se trouve à l’intérieur de la limite de Roche fluide et bien à l’extérieur de la limite rigide (10,314 km à 2,600 kg/m³) : il est maintenu par sa coquille rigide et arrondie, non par l’équilibre fluide (article 7, §C.5). La limite de Roche est la distance à la Terre en deçà de laquelle l’étirement de marée dépasse la gravité propre d’un corps : un corps fluide en deçà est disloqué, tandis qu’un corps doté d’une coquille rigide survit beaucoup plus près, jusqu’à la limite rigide. La Lune à la libération se situe entre les deux, et c’est pourquoi la coquille rigide importe.

C.7 Un seul renflement : la Terre étirée en une poire dont la pointe devient la Lune

Cette section décrit la structure qui porte le corps par en dessous : ce qu’elle est, pourquoi elle a la forme d’une poire, quelles sont sa largeur et sa longueur, et quelle masse elle contient.

À la libération, le centre du corps se situe sur la ligne de corotation, à environ 16,400 km du centre de la Terre sur l’équateur, et sa surface proche à environ 14,500 km — le centre moins le rayon du corps de 1,890 km. Entre la surface de la Terre — à 6,701 km du centre sur l’équateur du parent aplati pour un jour de 5.77 heures — et cette surface s’étendent quelque 7,800 km. Quelque chose d’attaché doit les combler, car un corps qui quitterait la surface de la Terre avec la seule rotation porterait moins de la moitié de la vitesse d’une orbite et retomberait (§C.8). Nous proposons que la Terre elle-même les comble, par un seul renflement : la pression qui a soulevé la colline a continué à la soulever, et le renflement s’est étiré en une poire de la matière propre de la Terre, dont la pointe — le dôme de la partie B — s’est arrondie et est devenue la Lune. La rotation, le tri de l’intérieur de la Terre et la pression interne qui étirent la poire agissent comme un seul mécanisme ; ses trois faces sont exposées ci-dessous, sous La poire avant cet article.

Pourquoi un filament ne le peut pas, et une poire le peut. Un filament liquide entre deux corps ne peut pas porter le corps : la gravité conjointe de la Terre et du corps ramène bien la matière déplacée vers la ligne qui les joint — dans toutes les directions et à toutes les hauteurs —, mais pour un filament de 3,000–4,200 km de large cette attraction de rappel ne retient qu’un dixième à un cinquantième de la pression nécessaire près de sa base, 35–81 GPa. La poire n’est pas un filament. C’est une large partie de la Terre elle-même, et elle est retenue par la gravité de la Terre comme toute autre partie de la Terre, comme la Terre retient ses montagnes. Elle n’est pas projetée, car sa vitesse n’est pas une vitesse de projection et elle se situe entièrement à l’intérieur de la ligne de corotation. Près de la Terre, elle est large, et elle se rétrécit en un seul arc vers sa pointe, qui porte le contact à environ 15,400 km du centre — le centre de la Lune à 17,287 km moins son rayon de 1,890 km (une version antérieure donnait 16,100 km et 9,500 km pour le sommet de la pointe). La poire au début, quand le corps reposait sur la large pointe (§B.2), et à la libération :

Les deux colonnes décrivent la croissance de la poire. Entre le début et la libération, sa longueur a à peu près doublé, d’environ 4,000 à environ 8,700 km, et sa pointe s’est rétrécie de moitié, de 6,000 à 3,000 km, à mesure que le corps qu’elle portait s’arrondissait vers l’extérieur.

La largeur de la base. La base de la poire est prise à 9,000–11,000 km de large. Une borne supérieure vient de l’énergie : une base plus large contient plus de masse, et soulever plus de masse coûte plus de travail. En élargissant la base à forme égale, la poire à la libération contient 8.8 masses lunaires avec une base de 9,000 km, 10.4 à 10,000 km et 12.1 à 11,000 km, et la soulever coûte $8.1\times10^{30}$, $9.3\times10^{30}$ et $1.05\times10^{31}$ J — la dernière valeur étant de l’ordre de l’énergie libérée par la formation du noyau terrestre. Nous prenons la base à 9,000–11,000 km. À mesure que le corps s’élevait, la pointe s’est rétrécie de 6,000 à 3,000 km, tandis que la base s’élargissait.

La masse de la poire. La poire contient donc 8.8–12.1 masses lunaires pour des bases de 9,000–11,000 km. Le chiffre « environ neuf masses lunaires » utilisé dans cet article (§C.9) est le cas de 9,000 km, l’extrémité étroite de l’intervalle ; en mots, la poire contient environ neuf à douze masses lunaires. À titre de comparaison, la poire de 9,000 km contient environ 11% de la masse de la Terre (§C.9) — un grand renflement, mais une région de la planète, non la planète.

La figure 12 dessine les deux colonnes du tableau. Le point à observer est le contour du panneau (B) : il se rétrécit régulièrement de la base à la pointe, en un seul arc, sans étranglement où il pourrait se pincer, et il s’achève avant la ligne de corotation.

La pointe au cours de la montée. La pointe de la poire porte le corps de la partie B, et le corps se densifie à mesure qu’il s’élève ; sa rotation est celle de la Terre. Les stades, avec la figure d’un corps en rotation de cette densité et de cette rotation (article 7, §C.1). Le rapport d’axes $a/c$ est le rapport entre l’axe le plus long et l’axe le plus court du corps : 1.00 pour une sphère, davantage pour un corps aplati. Un corps léger tournant avec la Terre s’aplatit fortement, car sa propre gravité est faible face à la rotation ; à mesure qu’il se densifie, sa gravité croît et il s’arrondit vers l’intérieur. Le tableau se lit de haut en bas, la densité croissant et le rapport décroissant vers 1 :

L’aplatissement et l’arrondi vers l’intérieur ont tous deux eu lieu pendant que le corps était attaché : le rapport est passé de 1.69 au maximum de l’aplatissement à 1.20 à la fin du stade attaché. À la libération, l’arrondi vers l’intérieur était achevé ; le corps était rond, sa coquille externe rigide (article 2, §B.7 : un rapport d’axes d’au plus 1.04), et il s’est depuis compacté jusqu’à la densité actuelle de 3,344 kg/m³.

Trois résultats. Trois résultats en découlent. La poire fait partie de la Terre et est retenue par la gravité de la Terre, de sorte que la question latérale de la connexion trouve sa réponse dans la gravité propre de la Terre : la charge latérale du §C.2 qu’aucun col ne pourrait porter est portée par un large corps de la matière propre de la Terre. Dans sa partie supérieure, la poire est déterminée par le contact qu’elle porte, 6,000 km au début et 3,000 à la libération. Et toute la poire se situe à l’intérieur de la ligne de corotation, de sorte que la gravité effective le long de celle-ci pointe partout vers la Terre : elle est comprimée sur sa longueur, elle n’a pas d’étranglement susceptible de se pincer, et rien d’elle ne peut rester en orbite ; après la libération, le tri la ramène tout entière dans la Terre en quelques dizaines à quelques centaines de millions d’années.

Ce qu’il est advenu de la poire. La poire n’a pas été perdue à la libération. Après la libération, le tri l’a ramenée dans la Terre, progressivement, en quelques dizaines à quelques centaines de millions d’années. Sa partie lourde s’est enfoncée profondément dans la Terre sous la base de la poire (partie E) ; son côté avant a été rassemblé dans les bandes du Pacifique Nord, et son arrière dans les arcs du Pacifique occidental (article 9, Les bandes). La masse n’a pas quitté la Terre ; elle est passée du haut à l’extérieur au profond à l’intérieur, et elle a laissé des rides à la surface là où elle est entrée.

En coulisses. Nous avons d’abord cherché un filament étroit entre la Terre et le corps ; il ne peut pas porter la charge. Nous avons ensuite dessiné la poire avec un long col s’étendant au-delà de la ligne de corotation, libérée quand la pointe la franchissait. Lorsque la libération a été placée là où le centre de masse de la Lune atteint la ligne (article 2), le col a perdu son rôle : la poire est un seul arc de la surface de la Terre au contact, entièrement à l’intérieur de la ligne.

La poire avant cet article. Cette forme n’est pas nouvelle en physique. Poincaré [8] a établi en 1885 que la suite des équilibres fluides en rotation passe du sphéroïde de Maclaurin à l’ellipsoïde de Jacobi et s’y ramifie en une figure en forme de poire, ou piriforme, et il a suggéré qu’une poire pourrait se diviser en deux corps inégaux. Un sphéroïde de Maclaurin est la forme aplatie, ronde en plan, d’un corps fluide homogène qui tourne lentement ; un ellipsoïde de Jacobi est la forme allongée, à trois axes inégaux, que prend un tel corps lorsqu’il tourne plus vite ; la poire se ramifie à partir de la forme de Jacobi à une rotation plus rapide encore. Darwin a appliqué l’idée à la Terre et à la Lune, et la théorie de la fission de Poincaré–Darwin en a découlé [9]. Dans cette théorie, la poire est étirée par la seule rotation, et exige donc une rotation proche de la rupture — l’objection du moment cinétique qui y a mis fin ; et Cartan a montré plus tard qu’une instabilité dynamique apparaît là où la poire se ramifie à partir de la suite de Jacobi [10], interrompant l’évolution lente que la théorie supposait. La poire proposée ici diffère par sa cause. Sa cause est un seul mécanisme à trois faces. La rotation crée une pression centrifuge. Le tri de la Terre (la différenciation) tend à concentrer la matière lourde, et ce faisant repousse tout le reste vers l’extérieur : c’est la pression interne. Et la rotation entraîne le tri. Ensemble, elles produisent l’anomalie qu’est la poire. La poire se forme pour une rotation de 5.5 heures dont le paramètre de rotation, $\Omega^2/\pi G\rho\simeq0.092$ pour le parent homogène (une version antérieure donnait 0.093), est très inférieur au point où commence la branche de Jacobi. Le paramètre de rotation compare la rotation à la gravité propre du corps ; la comparaison doit se faire sur une seule échelle. Sur l’échelle $\Omega^2/(\pi G\rho)$ utilisée ici, la branche de Jacobi commence à 0.374 (article 2, §A.6.5), de sorte que le 0.092 du parent en représente environ un quart ; la valeur 0.187, souvent citée pour le même point de bifurcation, est le même point sur l’échelle $\Omega^2/(2\pi G\rho)$, et ne doit pas être comparée directement à 0.092. Le parent de 5.5 heures est donc loin de la rotation à laquelle la seule rotation en ferait une poire. La poire, ici, croît à partir d’une région plutôt que du corps entier ; seule sa pointe part, une fois que le centre de masse de la pointe atteint la ligne de corotation, et le reste est ramené dans la Terre par le tri. Un équilibre instable n’est pas un obstacle pour une figure qui est entraînée puis libérée. Une poire ne peut pas se former dans un corps déjà trié et lent, comme l’est la Terre aujourd’hui : un tel corps s’est stabilisé, et rien ne peut le quitter. À l’époque de la poire, la rotation était rapide, la viscosité faible et le tri ne faisait que commencer ; dans ces conditions se forment des poires, et à partir d’elles des lunes.

Plus près du présent récit, plusieurs auteurs ont proposé que la Lune a quitté une Terre tournant plus lentement avec une aide venue de l’intérieur. De Meijer et ses collègues [13] ont invoqué une explosion nucléaire près de la limite noyau–manteau d’une proto-Terre tournant en environ 5.8 heures ; Edwards [14] a proposé que de la chaleur et des volatils se sont accumulés au-dessus des proto-grandes provinces à faible vitesse jusqu’à ce qu’une explosion lance cette matière, avec le manteau sus-jacent, sur une orbite basse, où elle s’est agrégée en Lune. Lock et Stewart [15] ont montré qu’une Terre chaude et dilatée atteint sa limite de corotation et forme au-delà une structure étendue ; et Denton et ses collègues [16] ont trouvé que Charon, attaché à Pluton après une collision, avait son centre de masse au-delà du rayon de corotation de Pluton avant que les deux ne se séparent. Le récit présenté ici partage un moteur avec les deux premiers et une limite avec les deux derniers, et diffère de tous par son déroulement : ni explosion ni nuage de débris, mais un seul corps connecté, soulevé progressivement par la pression, dont la pointe commence à se séparer quand son centre de masse atteint la ligne de corotation et est libérée juste au-delà.

La figure 13 place les deux poires côte à côte. À gauche, la figure classique : le corps entier étiré par la rotation. À droite, la poire de cette section, dessinée à l’échelle : une Terre en rotation de forme ordinaire, d’une région de laquelle la pression a tiré une poire, avec la Lune à sa pointe et son centre sur la ligne.

Ce qui pousse la poire vers l’extérieur : un flux, puis une pression piégée. La poire croît en deux phases, déterminées par les ouvertures de la face cachée du corps. Tant que ces ouvertures sont ouvertes, la pression s’échappe par elles, mais non sans effet : elle établit un courant qui parcourt toute la longueur de la structure, de la source profonde à travers la poire et le corps jusqu’aux sorties de la face cachée. Ce courant construit la face cachée et son archive de cratères (article 6, Les cratères), porte de la matière jusqu’à l’extrémité externe de la poire et maintient chaude la partie étroite. Les ouvertures de la face cachée se scellent ensuite. Nous proposons que deux causes ont agi ensemble : les ouvertures étaient exposées au froid de l’espace et, à mesure que la poire croissait, la partie éloignée du corps s’écartait du foyer de la Terre et recevait moins de chaleur terrestre. Il en résulte une réaction en chaîne : moins de chaleur, les mers lunaires éloignées se scellent, il reste moins de sorties, la pression monte et la poire s’allonge. La plupart des mers de la face cachée se sont scellées de cette manière et ont formé une sorte de calotte fermée, que la pression pousse de l’intérieur. Dès lors, la pression est piégée et, le poids de la matière qui monte tendant vers zéro à la ligne de corotation, la poire accélère vers l’extérieur. La raison est la même qu’au §C.5 : près de la ligne, la gravité et la projection vers l’extérieur s’équilibrent presque, de sorte que la matière y pèse presque rien et qu’une pression piégée qui ne s’échappe plus peut aisément la pousser vers l’extérieur. La base de la face visible fait face à la Terre chaude et ne se scelle pas tant que le corps est attaché. Au détachement, la pression de la Terre a cessé d’atteindre la Lune, et avec elle la pression interne de la Lune et les éjections. Les grandes mers de la face visible étaient alors chaudes et de faible viscosité, c’est pourquoi leurs surfaces sont lisses, comme un lac gelé ; elles se sont figées ensuite, lentement et de l’extérieur vers l’intérieur, sur des centaines de millions d’années jusqu’à un ou deux milliards — Serenitatis d’abord, très près de la Terre, et Imbrium après le détachement. Les cratères qui s’y trouvent sont surtout petits : après la libération, de petites et moyennes gouttes projetées par la Terre ont été attirées vers la Lune et les ont formés (§C.11). Les anciennes ouvertures de la face cachée s’étaient scellées avant la libération. Une mer de la face cachée fait exception : Moscoviense est restée active longtemps après que les autres s’étaient scellées. L’auteur propose qu’elle était alimentée depuis Serenitatis, alors que Serenitatis était encore interne, par un passage rectiligne à travers l’intérieur entre les deux, et que c’est pourquoi elle est restée active si longtemps.

Le courant n’étire pas la partie supérieure étroite de la poire par entraînement visqueux. Il l’étire par ce qu’il transporte et par la chaleur qu’il apporte. Le tableau suivant teste les deux effets. Pour les débits d’alimentation de la partie A, la partie supérieure étroite de la poire — 3,000 km de diamètre et quelque 6,000 km de long — et un bain fondu de 3,000 kg/m$^3$ :

Les deux colonnes correspondent aux deux durées de l’alimentation de la partie A (pour la dernière ligne, une version antérieure donnait 0.0006% pour l’alimentation sur 600 Myr) : la masse lunaire entière apportée en 100 millions d’années ou en 600 millions d’années. Le nombre de Péclet compare la vitesse à laquelle le courant transporte la chaleur le long de la poire à la vitesse à laquelle la chaleur s’échappe par conduction ; une valeur de plusieurs milliers signifie que le courant apporte la chaleur bien plus vite qu’elle ne peut s’échapper. La peau figée est la croûte externe froide qui peut se former sur la partie étroite tandis que le courant en maintient l’intérieur chaud : plus le courant apporte de chaleur, plus la peau est mince. Les deux dernières lignes donnent l’entraînement du courant sur les parois et le comparent à la charge du §C.2.

L’entraînement est négligeable ; la chaleur ne l’est pas. La traction du courant sur les parois est inférieure à un centième de pour cent de la charge de la connexion. L’advection — le transport de chaleur par la matière en mouvement — l’emporte sur la conduction de trois ordres de grandeur, et une peau de quelques kilomètres à quelques dizaines de kilomètres seulement se fige sur une partie étroite de 1,500 km de rayon : elle reste fondue et molle pendant que la poire s’étire, et c’est au contact chaud et découvert que le corps commence à se séparer quand son centre atteint la ligne, et qu’il est arraché juste au-delà (§C.8). C’est le contact chaud et mou du §C.5, qui ne résiste que peu.

C.8 Où le corps part : son centre atteint la ligne

Cette section indique où se produit la libération et pourquoi le corps part sur une orbite au lieu de retomber. Le corps commence à se séparer quand son centre de masse atteint la ligne de corotation et est libéré environ 210 km au-delà (§C.5a ; article 2, §B.8) : là, la vitesse qu’il porte avec la rotation est la vitesse d’une orbite circulaire, et au-delà les forces de corotation le tirent vers l’extérieur ; la pression interne sous lui y contribue. À la latitude $\varphi$ la ligne se situe à $r_{\mathrm co}/\cos^{2/3}\varphi$, avec $r_{\mathrm co}=16{,}399$ km pour le jour de 5.77 heures. La ligne s’éloigne vers l’extérieur à mesure qu’on s’écarte de l’équateur parce qu’à une latitude donnée le corps est plus proche de l’axe de rotation que sa distance au centre, et tourne sur un cercle plus petit ; il doit être plus loin pour que la vitesse de rotation égale celle de l’orbite :

La distance croît lentement avec la latitude : de 888 km entre l’équateur et 22.5°, soit environ 5%. La libération adoptée, 17,287 km à 22.5°, est en gras.

Le corps s’y trouve bien au-delà de la limite de Roche rigide, 10,314 km à 2,600 kg/m³, et est maintenu par sa coquille rigide et arrondie (article 7, §C.5). Le contact est aussi le point le plus faible de toute la structure : le seul endroit que la peau du corps n’a pas recouvert, et l’endroit où la poire chaude le rejoint.

Ce que la poire fait à la Lune : elle la soulève, et elle l’emporte dans sa rotation. La poire agit sur la Lune dans deux directions à la fois. Radialement, elle la soulève : la pression qui étire la poire élève le corps à sa pointe de la surface de la Terre jusqu’à la ligne de corotation, pour un coût gravitationnel d’environ $1.5\times10^{30}$ J (§A.12). Latéralement, elle l’emporte dans sa rotation : parce que la Lune est attachée, la poire la fait tourner avec la Terre, et à chaque kilomètre que la Lune monte, elle doit recevoir la vitesse latérale de la rotation à sa nouvelle distance. L’image est celle d’une enfant qui marche vers l’extérieur sur un manège en rotation : plus elle va loin, plus elle doit se déplacer vite latéralement pour rester avec lui, et le manège doit la pousser pour lui donner cette vitesse. La poire fournit cette vitesse à travers le contact, et sur la ligne la vitesse qu’elle a donnée est exactement la vitesse d’une orbite circulaire à cet endroit :

Sur l’équateur, les deux vitesses sont égales, 4.96 km/s : c’est ce que signifie « sur la ligne ». À 22.5°, la vitesse latérale est $\omega r\cos\varphi$, parce que la Lune tourne sur un cercle de rayon $r\cos\varphi$ autour de l’axe de rotation ; l’orbite qui en découle est calculée dans l’article 4. Le moment cinétique — la masse multipliée par la vitesse latérale et par la distance à l’axe, la « quantité de rotation » qui se conserve lorsqu’aucun couple extérieur n’agit — est donné dans la dernière colonne. Il est calculé ici avec la masse de la Lune $m$ autour de l’axe de rotation de la Terre ; les articles 2 et 4 donnent $5.9\times10^{33}$ pour l’orbite à la libération, la même grandeur sur l’équateur écrite pour l’orbite à deux corps avec la masse réduite $m_r$, qui est inférieure de 1.2% à $m$.

Le moment cinétique que la poire transmet à la Lune, environ un sixième de celui du système, est pris à la rotation de la Terre — le ralentissement que compense le noyau centralisateur (article 2, §A.4). Le soulèvement amène la Lune à la ligne ; l’entraînement en rotation lui donne, à son arrivée, la vitesse nécessaire pour rester en orbite. Un corps projeté depuis la Terre possède le premier et manque du second :

Pourquoi le corps doit être porté, et non projeté. La rotation donne à un corps la vitesse $\omega r$, qui croît vers l’extérieur, tandis qu’une orbite exige $\sqrt{GM/r}$, qui décroît ; les deux ne se rejoignent qu’au rayon de corotation. Un corps libéré sous la ligne retombe quelle que soit la poussée vers l’extérieur qu’il reçoit, car une poussée vers l’extérieur ajoute de la hauteur mais non la vitesse latérale d’une orbite. Le tableau suit de tels corps sur une Terre de 5.5 heures. « Point le plus haut » et « point le plus bas » sont les distances la plus grande et la plus petite de l’orbite au centre de la Terre ; un point le plus bas inférieur au rayon de la Terre signifie que le corps retourne à la Terre :

Les trois premières lignes partent de 8,991 km, le sommet d’un corps posé bas sur la Terre : quelle que soit la poussée vers l’extérieur, même 7 km/s, l’orbite plonge encore à environ 900 km du centre, profondément à l’intérieur de la Terre. Une poussée élève le point le plus haut mais déplace à peine le plus bas, car elle ne donne aucune vitesse latérale. Seules les deux dernières lignes, libérées près de la ligne à 15,800 km (la ligne se situe à 15,818 km pour le jour de 5.5 heures), restent à l’écart de la Terre, et là une petite poussée suffit. Sur la ligne elle-même, aucune n’est nécessaire.

La montée à l’état attaché est ce qui donne au corps la vitesse latérale d’une orbite. La poire suit la rotation pendant qu’elle croît : la matière portée vers l’extérieur doit gagner du moment cinétique, et la poire le lui fournit, mais aux débits d’alimentation de la partie A le cisaillement que cela exige de la partie supérieure étroite de la poire est de l’ordre de 0.03 Pa — négligeable pour une connexion fondue et visqueuse —, de sorte que le retard n’est pas une déchirure mais une inclinaison : la partie externe de la poire, emportée loin de l’axe, reste en arrière de la rotation de la Terre, et toute la poire s’incline vers l’arrière, vers l’ouest, avec la Lune à sa pointe (§B.1). Le moment cinétique dont la Lune a encore besoin lui parvient à travers le contact. Sur la ligne, le corps porte la vitesse d’une orbite circulaire ; libéré environ 210 km au-delà, il en porte un peu plus et part sur une orbite presque circulaire dont le périgée est le point de libération (§C.5a ; article 4). La gravité le maintient sur cette orbite, et la marée soulevée sur la Terre qui tourne plus vite l’entraîne vers l’avant et vers l’extérieur au cours des millions d’années suivants.

C.9Ce qu’exige la poire

La poire est une grande structure, et le modèle doit rendre compte de ce qu’elle coûte. Cette section rassemble ses exigences ; chacune est une condition que le mécanisme s’impose à lui-même.

• Masse. Pour les largeurs du §C.7 à 3,000 kg/m³, de la surface de la Terre au contact, la poire contient environ 11% de la masse de la Terre, environ neuf masses lunaires — la base de 9,000 km du §C.7 ; pour des bases de 9,000–11,000 km, elle en contient environ neuf à douze. Se situant entièrement à l’intérieur de la ligne de corotation, elle ne laisse aucun résidu de la connexion en orbite ; après la libération, le tri la ramène dans la Terre en quelques dizaines à quelques centaines de millions d’années, et la Terre redevient ronde : sa partie lourde profondément dans la Terre sous la base de la poire (partie E), son avant et son arrière dans les bandes et les arcs du Pacifique (article 9 ; §C.7).

• Énergie. Soulever cette poire dans le champ en rotation coûte environ $8\times10^{30}$ J — plus de cinq fois (environ 5.4 fois) le soulèvement de la Lune elle-même (une version antérieure disait environ six fois) (§A.12). L’évolution qui la libère — la descente du fer dans le noyau, qui libère de l’ordre de $10^{31}$ J — est la même qui entraîne la remontée ; le bilan complet est une exigence (§D.1). À mesure que le fer s’enfonce, l’énergie gravitationnelle qu’il cède suffit, en ordre de grandeur, à soulever la poire.

• Moment cinétique et chaleur. L’allongement de la poire ralentit la rotation de la Terre et le noyau centralisateur l’accélère ; l’article 2 (§A.4) tient compte des deux. La poire qui revient libère son énergie potentielle sous forme de chaleur, qui entre dans l’histoire thermique du parent.

• Pression. La source doit soulever et maintenir la poire aussi bien que le corps ; le test de pression des §A.9–A.13 est à refaire avec la masse de la poire.

• L’aplatissement du parent. Le test de pression utilise un champ sphérique. Le parent aplati ($J_2\simeq0.036$) augmente l’attraction vers l’intérieur d’environ 3% à 9,000 km du centre sur l’équateur et de 1.4% à 25°N, et de 5.4% à la surface équatoriale elle-même, là où la colonne quitte le parent (une version antérieure disait « au plus 3% près de la surface ») ; le long de la colonne externe, le coût augmente d’environ 3%, et même si le coût total du soulèvement augmentait de 3%, soit environ 4 GPa, la marge de 10.49 GPa le couvrirait. La ligne de corotation sur l’équateur se déplace vers l’extérieur d’environ 50 km. ($J_2$ est la mesure standard du renflement équatorial d’une planète dans son champ de gravité ; la valeur indiquée ici est celle du parent en rotation.)

• La forme elle-même. Les largeurs et les masses ci-dessus proviennent de sections rondes de densité uniforme, sans écoulement ; la figure d’équilibre d’une Terre en rotation, sous pression interne, portant un corps à sa pointe est le calcul qui reste à faire.

C.9aPas d’anneau autour de la jeune Terre

Une jeune planète rapide, riche en volatils, qui évacue de la vapeur par ses fissures peut s’entourer d’un anneau : la vapeur monte, se condense plus haut en glace et en poussière, et tourne autour de la planète à la vitesse orbitale. Autour de la jeune Terre de ce modèle, un tel anneau n’a pas pu se former, pour quatre raisons.

1. La poire a balayé la place. La poire tournait avec la Terre une fois par jour, jusqu’à la ligne de corotation. À l’intérieur de la ligne, la matière d’un anneau orbiterait plus vite que ne tournait la poire ; elle rattraperait la poire et la heurterait. Tout ce qui se condensait dans la bande de la poire était recueilli sur elle et devenait matière du corps à sa pointe.

2. Les volatils avaient une voie. La connexion large et chaude transportait le bain fondu riche en volatils jusque dans le corps (partie A). Ce qu’une planète qui dégaze perd dans l’espace, la Terre le fournissait à la Lune.

3. Trop chaud, trop près du Soleil. La jeune Terre était chaude et enveloppée d’une atmosphère de vapeur de roche (article 6, §J.3) ; aux hauteurs où se trouverait un anneau, l’eau ne se condensait pas en glace.

4. La Lune nettoie le reste. Après la libération, la Lune, massive et située environ 7,200 km au-delà de la limite de Roche rigide (§C.5a), éliminerait tout reliquat par ses marées et ses résonances.

La Lune porte la trace de cette absence. Un corps qui traverse un anneau est érodé : ses creux sont usés et deviennent peu profonds, ses bords arrondis, ses petits cratères effacés, et le corps lui-même réduit — la lisse Deimos est un exemple d’une telle surface. Les hautes terres lunaires conservent une archive de cratères saturée, et la Lune a conservé sa masse : elle n’a jamais traversé d’anneau (article 6, §L.8).

C.10 De quoi le corps est fait : trois couches issues d’une seule poire

La poire ne fait pas que porter le corps ; elle décide de ce dont le corps est fait. Cette section suit chacune des trois couches de la Lune — croûte, manteau et noyau — jusqu’à son origine dans la poire.

La poire trie ce qu’elle porte. Au-dessus de la région de construction, la couche externe du parent est sialique — légère et riche en silicium et en aluminium — et repose sur le sima sous-jacent, plus dense et riche en magnésium. Le sial n’était pas sec : la limite entre les deux couches était lubrifiée, et à mesure que la poire s’étirait, le sial glissait le long de la poire par-dessus le sima, sur ses flancs, jusqu’à la pointe — dans le sens du tri vers l’extérieur, entraînée par les forces de la rotation —, et la limite lubrifiée facilitait ce glissement sous cisaillement. Quand la pointe a été libérée, le sial est parti avec elle et est devenu sa peau — sur le dôme supérieur en tant que coquille, et sur l’anneau du dôme inférieur en tant que sial sur lequel reposait le corps, décollé avec lui (§C.4a) ; ce n’est qu’au contact qu’il a été fondu par la chaleur. La face cachée porte la croûte épaisse parce que de nombreuses couches de sial compacté s’y sont accumulées, avec la matière revenue encore et encore (§B.7). Une partie du sial n’est pas restée en surface ; elle est entrée dans l’intérieur de la Lune.

Sous la peau, le corps est l’alimentation : le manteau propre de la Terre, soulevé par la pression et transporté le long de la poire. Tout le métal de la Lune est terrestre. Beaucoup de fer est entré dans la poire, et moins vers sa pointe. Le long de toute la poire, qui se situe à l’intérieur de la ligne de corotation, la gravité effective pointe vers la Terre, de sorte que la matière lourde redescendait le long de la poire tandis que la matière légère montait vers la pointe — et la pression ne soulève d’emblée que la matière plus légère qu’environ 3,864 kg/m$^3$ (§A.10). La poire fonctionnait comme une colonne de décantation : les grains lourds descendent et les légers montent, comme le sable se dépose sous l’eau dans un bocal secoué. La majeure partie du fer entré dans la poire est donc retournée à la Terre avec le reste de la poire après la libération ; la Lune n’a conservé que ce qui avait atteint la pointe. Au détachement, la matière lourde du noyau se trouvait dans le dernier tiers du corps ; elle n’a pas franchi la ligne de corotation et elle est redescendue le long de la poire. C’est pourquoi le noyau de la Lune est petit : c’est du fer terrestre qui a atteint la pointe, tandis que la majeure partie de la matière du noyau présente dans la poire est retournée à la Terre. Le courant qui parcourait la poire transportait de la chaleur et de la matière riche en fer dans le corps à travers Mare Imbrium et Mare Serenitatis — Serenitatis jusqu’à son décollement, Imbrium jusqu’au détachement du corps —, les ouvertures qui reliaient l’alimentation venue de l’intérieur de la Terre à l’intérieur de la Lune (§B.4).

Le tableau place chaque couche du modèle à côté de ce qui est mesuré sur la Lune :

Chaque ligne concorde : une croûte riche en aluminium issue d’une couche riche en aluminium, un manteau aux isotopes de l’oxygène de la Terre issu du manteau terrestre, et un petit noyau parce que la majeure partie du fer est redescendue le long de la poire.

Le bilan le permet. Un sial de 30 km d’épaisseur sur une région de la taille du bassin Pacifique contient environ $1.4\times10^{22}$ kg à la densité de 2,800 kg/m$^3$ de la coquille (une version antérieure donnait $1.3\times10^{22}$), quelque quatre fois la croûte lunaire ; jusqu’à un dixième de la masse de la Lune en sial emporté à l’intérieur abaisserait sa densité moyenne d’environ 65 kg/m$^3$ et augmenterait sa teneur en aluminium d’environ 1.5 pour cent, dans l’incertitude des modèles actuels. Il en découle un test. L’anorthosite de la croûte est pauvre en potassium et en thorium, alors que le sial de la Terre en est riche ; une croûte faite du sial de la Terre doit les avoir perdus lors de la fusion et de l’affinage de la peau, et la composition des anorthosites lunaires les plus primitives est le lieu où le tester.

C.11 Après la libération : la Terre continue de projeter

La libération n’a pas mis fin à l’activité de la Terre. Ses ouvertures ont continué de projeter de la matière ; la plus grande partie est retombée sur la Terre, et une partie a atteint la Lune, devenue un corps distinct s’éloignant à partir de quelques rayons terrestres. Pour atteindre la Lune, la matière devait quitter la Terre d’autant plus vite que la Lune s’éloignait. Toute cette matière était très chaude : les gros fragments sont sortis d’abord, puis, à mesure que la tempête de magma se calmait, de petits fragments encore chauds ont été éjectés, de sorte que les fragments atteignant la Lune devenaient plus petits avec le temps. La Lune en a gardé la trace, dans trois mesures :

La première ligne est la mesure directe, ombrée en vert : sur les seules hautes terres, toutes les mers étant exclues des deux côtés afin que la comparaison porte sur des éléments comparables, la face visible porte 1.19 fois plus de cratères frais de 1–2 km que la face cachée. Les deuxième et troisième lignes lisent la même histoire dans les mers : les fonds se sont figés dans l’ordre, et les cratères qui s’y trouvent passent graduellement de grands et fondus à petits et nets.

La face visible, tournée vers la Terre, a perdu tôt ses anciens cratères, sous l’effet de la chaleur du contact et de ses propres mers, et a recueilli davantage des derniers. Le dernier semeur de cratères sur la Lune a été la Terre. L’archive clôt le récit de la connexion : le corps libéré n’a pas été détaché d’un parent tranquille, mais d’une Terre dont les ouvertures étaient encore actives, et dont l’activité déclinait à mesure que la Lune s’éloignait. Un flux de corps venus de l’extérieur, selon la lecture que la littérature fait des petits cratères, ne prédit aucun excès sur la face visible, seulement un faible excès sur la face avant.

Les parties A–C ont construit le mécanisme : la partie A a chiffré l’alimentation par l’intérieur, la partie B a suivi la coquille qui s’est élevée par l’extérieur, et la partie C a joint les deux par la poire et sa libération. Cette partie transforme les mêmes résultats en tests. La raison de les rassembler en un seul endroit est simple : un modèle peut toujours trouver des traits qui lui ressemblent, et compter de telles concordances une à une prouve peu de chose. Ce qui tranche, c’est de savoir si chaque exigence peut être énoncée par un nombre ou une géométrie, et s’il existe une mesure ou un calcul qui la vérifie. Chaque ligne du tableau ci-dessous donne donc une affirmation, l’exigence quantitative qui la sous-tend et le test qui la vérifie.

D.1Tests du mécanisme

Le tableau se lit ligne par ligne. Les six premières lignes sont des exigences portant sur la machinerie elle-même (pression, débit, énergie, stabilité, refroidissement, libération) ; les quatre suivantes sont des prédictions sur la surface et la croûte de la Lune qui découlent de la règle des parts de la partie B ; les trois dernières concernent le point de libération et le devenir de la poire.

Comment lire les lignes. La première ligne est le bilan de pression de la partie A en une ligne : la pression de la source $p_s$ doit dépasser la somme de la charge hydrostatique $p_{\mathrm{head}}$ (le poids de la colonne de matière à soulever, de la source à la ligne de corotation), de la charge $p_{\mathrm{load}}$ du corps posé sur la connexion et des pertes $\Delta p_{\mathrm{loss}}$ de l’écoulement visqueux le long du trajet. La partie A trouve ce reste positif pour tout bain fondu profond plus léger qu’environ 3,864 kg/m³. La deuxième ligne demande si l’alimentation est assez rapide : le flux net, cumulé dans le temps, doit apporter la masse interne $M_{\mathrm{int}}$ dans le temps disponible. Dans le scénario, ce temps est d’environ 600 millions d’années, du début du renflement à la libération à 3.873 Ga — environ 400 Myr pour le renflement et la poire, environ 100 Myr pour l’aplatissement et environ 100 Myr de plus jusqu’à la libération —, 100 millions d’années étant conservés comme cas de sensibilité (partie A). Le test est l’écoulement sur toute la plage admise de viscosité et d’ouverture : il doit être assez rapide, et le passage doit rester ouvert jusqu’à l’achèvement du corps.

Les lignes trois à six demandent si l’énergie est disponible, si le corps attaché est stable en trois dimensions, si son extérieur peut se rigidifier tandis que sa base reste mobile, et si la connexion porte la charge jusqu’au bon moment puis cède. Chacune est vérifiée par un calcul sur tout le domaine admis : une énergie que la Terre en évolution libère, un corps qui tient ensemble pendant que sa masse est rassemblée, un refroidissement et une mobilité qui se recouvrent dans le temps, et une connexion qui ne cède ni trop tôt (le corps retomberait ou se fragmenterait) ni ne tient indéfiniment. La septième ligne fixe l’ordre des événements : le corps s’arrondit d’abord vers l’extérieur, puis s’aplatit, puis s’arrondit vers l’intérieur, et cette séquence est bien avancée avant le détachement. Elle est vérifiée par un modèle chronologique unique, commun à l’alimentation, au refroidissement et à la rupture de la connexion.

Les quatre lignes suivantes sont des prédictions inscrites sur la Lune elle-même. La règle des parts dit que, à mesure que le corps écrasé s’arrondissait vers l’extérieur, chaque partie de sa surface conservait sa fraction du tout : le contact est devenu une calotte de la face visible d’environ $31^\circ$ autour du centre du contact, l’anneau décollé une ceinture jusqu’à $70^\circ$, et le dôme supérieur le reste, la face cachée. Elle est testée en rapportant les classes de bassins et l’épaisseur de la croûte à la distance angulaire au centre du contact, 24.1°N 335.2°E (article 11). L’archive transportée dit que les cratères formés sur la coquille exposée ont voyagé avec elle et conservé leur taille, et que les pôles les ont rassemblés pendant l’arrondi vers l’intérieur : la population de cratères la plus ancienne doit être la plus dense sur la face cachée, moins dense dans la ceinture et la moins dense dans la calotte, sans différence d’échelle entre face cachée et face visible. Elle est vérifiée par des statistiques de cratères par zone et par des tests de taille (article 7, §D.5). La croûte stratifiée de la face cachée dit que la face cachée a été construite couche après couche, les couches tardives plus légères et plus riches en fluides, de sorte que la teneur en fer croît avec la profondeur, davantage sur la face cachée que sur la face visible. Les pics centraux des cratères font remonter de la matière d’une profondeur connue, de sorte que leur composition en fonction de la profondeur d’origine mesure le profil.

Les trois dernières lignes concernent la libération et ce qui a suivi. Libération sur la ligne : la Lune commence à se séparer quand son centre de masse atteint la ligne de corotation et est libérée environ 210 km au-delà ($\Delta r\simeq2d_0$, un contact d’environ 105 km d’épaisseur ; la recherche de la distance de libération du §C.5a) ; le contact ne résiste que peu, et le corps est tiré vers l’extérieur avec force — la traction qui a dressé les crêtes en spatule. C’est la libération qu’exige l’orbite des articles 2 et 4. La poire penche vers le nord : la base se trouvait près de 1.9°N tandis que la pointe atteignait environ 22.5°N. La rotation seule pousse la matière vers l’équateur, de sorte que l’inclinaison vers le nord doit venir de l’alimentation, qui montait obliquement d’une source profonde au nord de l’équateur ; elle est vérifiée au regard de la géométrie de la source profonde et du trajet d’alimentation, et de la position de la base (partie E). La poire est ramenée tout entière : parce que la poire se situait entièrement à l’intérieur de la ligne de corotation, où la gravité de la Terre l’emporte sur la traction vers l’extérieur de la rotation, rien d’elle ne pouvait rester en orbite. Elle fait partie de la Terre, et après la libération le tri l’a ramenée dans la Terre en quelques dizaines à quelques centaines de millions d’années (partie E).

Un exemple de densité unique vaut pour cet exemple, non pour tout scénario d’alimentation connectée ; et réussir un test de pression ne règle pas à lui seul la stabilité, l’énergie ou la connexion. Un seul jeu de paramètres doit satisfaire toutes les exigences. C’est le critère que l’article s’impose : les treize lignes ne sont pas treize votes indépendants en faveur du modèle, mais treize conditions que la même Terre, la même alimentation et le même corps doivent remplir à la fois.

D.2 Résultats qui peuvent être recherchés sur la Lune

La question de cette section est de savoir sur quels traits de la Lune actuelle le mécanisme porte directement, et dans quelle mesure chacun peut servir de test.

Si un côté a reçu une alimentation et un chauffage plus prolongés et que le côté opposé s’est refroidi plus tôt, une asymétrie thermique et structurale est attendue. Dans le modèle, la face visible reposait sur le contact, au-dessus de l’alimentation, et est restée chaude plus longtemps, tandis que la face cachée était le dôme supérieur, exposé et en refroidissement. Son signe et son intensité dépendent aussi de la matière externe, du mélange et de l’évolution ultérieure. Les données de GRAIL — une paire de sondes qui a cartographié en détail le champ de gravité de la Lune — fournissent des contraintes sur la densité et l’épaisseur de la croûte [4] ; la comparaison complète entre les observations et les exigences du modèle relève de l’article 11.

Un décalage du centre de masse dépend de la distribution complète des densités. Le centre de masse de la Lune ne coïncide pas nécessairement avec le centre de sa figure externe ; la distance entre eux est donnée par $$\Delta\mathbf r_{\mathrm{CM}}= \frac{1}{m}\int_V\delta\rho(\mathbf r)\,\mathbf r\,dV. \tag{24}$$ Ici $m$ est la masse de la Lune, $V$ son volume, $\mathbf r$ la position d’un petit volume $dV$ mesurée depuis le centre de la figure, et $\delta\rho(\mathbf r)$ l’écart de la densité en ce point par rapport à la moyenne. En mots : chaque endroit plus dense que la moyenne attire le centre de masse vers lui, chaque endroit plus léger que la moyenne l’en éloigne, chacun pondéré par sa distance au centre.

Il ne peut donc pas être déduit de la seule épaisseur de la calotte sans choisir un contraste de densité et une compensation. Une croûte épaisse d’un côté n’éloigne le centre de masse de ce côté que dans la mesure où la croûte est plus légère que ce qui se trouve en dessous, et seulement dans la mesure où les couches plus profondes ne se sont pas ajustées pour l’équilibrer (compensation). La présence d’une composante métallique dans la Lune, examinée par la sismologie [5], exige aussi dans le modèle un mécanisme approprié de transfert et de séparation ; elle ne prouve pas que le métal est arrivé précisément par la région d’alimentation concentrée au nord de l’équateur proposée dans la partie A.

La prédiction observationnelle discriminante doit être une combinaison définie de direction, de géométrie, de composition et d’âge. Un nombre obtenu par ajustement à une observation n’en est pas une prédiction indépendante : si un paramètre a été choisi pour que le modèle reproduise une valeur mesurée, cet accord ne peut pas ensuite être compté comme un succès. L’archive de cratères portée sur le dôme est énoncée au §B.6 et testée dans les articles 11 et 6.

D.3 Nouveauté et portée de la conclusion

Le travail examine la construction interne d’un corps attaché au moyen d’un système unique d’exigences de pression, de débit, de masse et de contrainte, dans le cadre rotationnel de LEF. Le résultat propre de la partie A est qu’élargir le passage facilite le soutien radial et l’écoulement, mais augmente la masse de la connexion et ne supprime pas la charge latérale. Un tuyau plus large permet de pousser plus facilement la matière et soutient plus facilement sa colonne, mais plus il est large, plus il pèse, et la traction latérale du système en rotation sur lui subsiste. Le résultat propre de la partie B est qu’un corps de masse lunaire posé sur un contact de 6,000 km, son dôme supérieur environ 3,650 km au-dessus du bord, enferme un volume de $5.65\times10^{19}$ m³ — le double des $2.83\times10^{19}$ m³ de la sphère à la libération — et possède donc la densité moussée qu’exige la partie A, 1,300 kg/m³ — la faible densité d’un bain fondu rempli de bulles de gaz —, et la croûte de la face cachée et les zones d’exposition découlent de la même géométrie : la face cachée construite couche après couche, la face visible décollée. La partie C joint les deux : le large contact qu’exige la partie A est la base du dôme de la partie B, et sur la ligne de corotation le corps commence à se séparer, pour être libéré environ 210 km au-delà.

Les équations de la gravité, de la pression et de l’écoulement relèvent de la physique standard. L’architecture LEF et l’application du test conjoint sont la contribution de ce travail. Aucune priorité historique n’est revendiquée ici pour chaque composante du modèle sans une revue de la littérature dédiée ; la carte des sources et la classification figurent dans l’annexe A.

L’article s’achève sur une analyse de faisabilité, un résultat négatif net — un passage cylindrique sans masse ne transmettant que la pression ne peut pas construire la Lune — et un résultat géométrique qui y répond : la connexion large, chaude et massive qu’exige le résultat négatif est la large pointe de la poire, une partie de la Terre retenue par la gravité de la Terre, portant un corps de la masse de la Lune à la densité moussée. Le résultat négatif écarte l’image la plus simple, un tuyau mince par lequel la pression seule pousserait la Lune au-dehors ; le résultat géométrique montre que la connexion qu’exige effectivement la physique n’est pas une hypothèse supplémentaire mais la forme que prend la Terre elle-même. L’équation d’état profonde, la libération d’énergie et la structure tridimensionnelle sont les trois exigences qu’il transmet, chacune énoncée avec son test au §D.1.

D.4 Conclusions

Les conclusions suivent l’ordre de l’article : le système de test (1), la pression (2), le passage (3), le refroidissement (4), la charge latérale (5), la poire et la libération (6), le corps sur la pointe (7), et la croûte et les exigences transmises (8).

1. L’alimentation interne d’un corps attaché peut être formulée par des bilans de masse, de pression, de quantité de mouvement et d’énergie. L’article définit un système de test quantitatif pour le mécanisme.

2. Dans le test de pression sphérique défini, une densité profonde de 3,500 kg/m³ laisse 10.49 GPa avant charge et pertes ; 4,000 kg/m³ échoue. Le seuil zéro est d’environ 3,864 kg/m³ sous les hypothèses énoncées : un bain fondu profond plus léger que cela peut être soulevé jusqu’à la ligne de corotation par la pression de la source, un bain plus lourd ne le peut pas.

3. Dans le test conjoint de l’état non équatorial, un rayon de passage d’environ 1,000 km est le seuil de l’équilibre radial pour les données d’entrée choisies. Déjà à ce seuil, la masse du segment externe représente environ 0.46 de la masse lunaire, de sorte qu’elle ne peut pas être négligée dans le bilan du système : un passage assez large pour porter l’alimentation pèse lui-même près d’une demi-Lune.

4. Un gradient thermique fournit une base pour examiner comment l’extérieur peut se renforcer tandis que l’intérieur reste mobile. L’épaisseur finale et la préservation des structures exigent une solution thermique et rhéologique couplée.

5. Le test de contrainte latérale exclut, dans l’état choisi, un soutien par la seule pression à travers une section radiale. Le calcul non équatorial impose des exigences de connexion de l’ordre de $10^{22}$ newtons dans les exemples testés. Une composante radiale nulle ne supprime pas la charge totale et ne détermine pas à elle seule le détachement.

6. L’arrondi, la pression et la rotation participent ensemble à la séparation à partir d’une connexion large ; le renflement s’étire en une poire, partie de la Terre, dont la pointe devient le corps ; le corps commence à se séparer quand son centre de masse atteint la ligne de corotation — environ 16,400 km sur l’équateur, 17,287 km à 22.5° — et est libéré environ 210 km au-delà, avec le concours de la pression interne (§C.7–C.8). La poire soulève la Lune radialement et, parce que la Lune est attachée, lui donne la vitesse latérale d’une orbite. Après la libération, le tri ramène la poire tout entière dans la Terre en quelques dizaines à quelques centaines de millions d’années : sa partie lourde s’enfonce profondément dans la Terre sous la base de la poire, son côté avant est rassemblé dans les bandes du Pacifique Nord et son arrière dans les arcs du Pacifique occidental (article 9, Les bandes ; partie E). La masse ne quitte pas la Terre ; elle passe du haut à l’extérieur au profond à l’intérieur.

7. Le corps repose sur la large pointe de la poire, un corps écrasé au-dessus d’un contact de 6,000 km dont le dôme supérieur s’élève à environ 3,650 km à la densité moussée de 1,300 kg/m³. Il s’arrondit vers l’extérieur, chaque partie conservant sa part de la surface : le contact devient une calotte de la face visible d’environ $31^\circ$, l’anneau décollé une ceinture jusqu’à $70^\circ$, le dôme supérieur la face cachée. Il s’aplatit ensuite puis s’arrondit vers l’intérieur.

8. La croûte de la face cachée est le sial de la Terre — la coquille externe légère, riche en silice et en aluminium — et la matière revenue encore et encore, de nombreuses couches de sial compacté, une petite fraction de la masse lunaire, et la croûte de la face visible est le sial du dôme inférieur décollé avec le corps, lissé par la chaleur au-dessus du contact et le plus mince sous les mers lunaires, les ouvertures ; les 94–96% restants sont la matière profonde de la partie A (une estimation issue de l’ancienne image de la coquille, à recalculer). La séquence d’exposition est inscrite sur la Lune sous forme de trois zones concentriques ; les cratères conservent leur taille et les pôles les rassemblent ; la croûte de la face cachée devient plus dense et plus riche en fer avec la profondeur — des prédictions transmises aux articles 11, 6 et 7 avec leurs tests. Le moment de la rupture, la stabilité tridimensionnelle, l’équation d’état profonde et le bilan énergétique sont les quatre exigences que le mécanisme s’impose ; chacune est énoncée au §D.1 avec son test.

Ce dont nous disposons maintenant est un mécanisme énoncé comme un ensemble de conditions, chacune avec son test. La partie E suit la seule partie du système qui n’est pas partie : la poire.

La Lune est partie ; la poire est restée. Se situant entièrement à l’intérieur de la ligne de corotation, elle ne pouvait pas suivre la Lune en orbite. La poire n’est pas partie avec la Lune ; après la libération, le tri l’a ramenée dans la moitié de la Terre qui l’avait portée, en quelques dizaines à quelques centaines de millions d’années. Sa masse n’a pas quitté la Terre ; elle est passée du haut à l’extérieur au profond à l’intérieur. Une masse aussi grande — neuf à douze masses lunaires de la matière propre de la Terre, riche en fer en profondeur — a été rassemblée dans la région sous le Pacifique où se dressait la poire. Cette partie consigne où se situe la base de la poire par rapport à ce que les images sismiques montrent aujourd’hui au fond de cette région, et ce que la poire a fait à l’intérieur de la Terre pendant qu’elle s’y dressait. La nature des provinces profondes est laissée ouverte.

E.1Deux provinces à la base du manteau

La Terre profonde est imagée par tomographie sismique. Les séismes envoient des ondes à travers toute la planète ; enregistrés par des milliers de stations, leurs temps de parcours révèlent où les ondes se sont propagées plus vite ou plus lentement que la moyenne, un peu comme un scanner médical construit une image du corps à partir de nombreux trajets de rayons X. Les ondes de cisaillement (ondes S), qui font vibrer la matière latéralement, sont particulièrement sensibles à la température et à la composition : elles ralentissent là où la matière est plus chaude, plus molle ou de constitution différente.

L’imagerie sismique trouve deux provinces de la taille d’un continent, à faible vitesse des ondes de cisaillement, à la base du manteau terrestre, l’une sous l’Afrique et l’autre sous le Pacifique, chacune s’étendant sur des milliers de kilomètres latéralement et jusqu’à environ 1,000 km au-dessus de la limite noyau–manteau [11]. Ce sont les grandes provinces à faible vitesse (LLVP) : de grandes régions du manteau le plus profond, juste au-dessus du noyau, où les ondes de cisaillement se propagent lentement. La plupart des observations favorisent une nature thermochimique — une matière qui diffère par sa composition du manteau qui l’entoure, et pas seulement par sa température — et les deux provinces se trouvent sous les panaches et les points chauds des plaques qui les surmontent : elles pèsent aujourd’hui sur le manteau supérieur. Un panache est une colonne de matière chaude montant des profondeurs du manteau ; là où il atteint la surface, il alimente un point chaud, comme les volcans d’Hawai‘i.

Elles ne sont pas semblables. La province africaine s’élève plus haut que la province pacifique, la pacifique est plus basse et plus large, et une matière riche en fer à ultra-faible vitesse se trouve à sa marge sous Hawai‘i. Les zones à ultra-faible vitesse (ULVZ) sont de minces plaques sur la limite noyau–manteau dans lesquelles les ondes sismiques ralentissent bien plus fortement que dans les provinces elles-mêmes ; une teneur élevée en fer est l’une des lectures proposées pour elles.

La nature des provinces reste débattue. Elles pourraient par exemple être une matière liée au noyau qui n’a pas achevé son tri, ou une matière dont le tri se poursuit encore très lentement. Cet article n’en propose pas de lecture ; il les utilise seulement comme une carte de la région sous le Pacifique où se dressait la poire.

E.2 Où se dressait la poire

La poire se dressait au-dessus de la région sous le Pacifique. Après la libération, le tri l’a ramenée dans la Terre : sa partie lourde — environ neuf masses lunaires de sima portant la majeure partie du fer qui y était monté (§C.10) — s’est enfoncée profondément dans la Terre sous la base de la poire ; son côté avant a été rassemblé dans les bandes du Pacifique Nord, et son arrière dans les arcs du Pacifique occidental (article 9, Les bandes). Le sima est la matière plus dense, riche en silice et en magnésium, qui se trouve sous le sial léger ; le fer qu’il portait l’a rendu plus dense encore. La question de savoir si une partie de la structure profonde vue aujourd’hui sous le Pacifique est liée à la poire n’est pas abordée ici : l’article consigne seulement où se situe la base de la poire par rapport à cette structure (§E.4).

E.3Autres lectures des provinces

Les provinces ont récemment été proposées comme des vestiges du manteau de Théia, le corps dont l’impact a formé la Lune selon le récit admis : son manteau riche en fer se serait enfoncé jusqu’à la base du manteau terrestre et y aurait survécu [12]. L’auteur de cette proposition a noté qu’une origine différente de la Lune, sans Théia, exigerait de reconsidérer l’origine des provinces. Edwards [14] a relié la Lune aux provinces par une autre voie, avec une explosion au-dessus de la province proto-pacifique qui a lancé sa matière en orbite. Le présent article ne propose pas de lecture propre. Il note seulement que, dans ce modèle, la poire était la matière propre de la Terre, et que rien d’étranger n’est entré dans le manteau terrestre.

E.4La position de la base

Une mesure relie la poire à la Terre profonde : la position de sa base.

• Position — mesurée. Le modèle place la base de la poire près de Kiritimati (environ 1.9°N, 157.5°W, §B.1). Ce point se situe au-dessus de la province pacifique, à l’intérieur de sa limite dans les modèles publiés du manteau le plus profond, dans chaque modèle testé (tableau et figure 14) : les cinq modèles tomographiques de l’analyse par groupement de Cottaar & Lekic [17] votent tous le point lent, et il se situe bien à l’intérieur du contour $-1\%$ de SMEAN [18] comme de SMEAN2 [19] à 2,800 km, à plus de 1,200 km du bord le plus proche. La base se dresse au-dessus de la partie nord de la province, à quelque 1,500 km au nord de son centre ; la grande zone à ultra-faible vitesse près d’Hawaï [20] se trouve à environ 1,100 km du point, mesurés sur la limite noyau–manteau.

Les trois mesures utilisées dans le test demandent chacune un mot d’explication. Différents groupes de recherche construisent différents modèles tomographiques à partir de données et de méthodes différentes, et ils ne s’accordent pas dans tous les détails. Les cartes de votes transforment ce désaccord en décompte : Cottaar & Lekic [17] ont classé chaque point du manteau le plus profond, dans chacun des cinq modèles, en lent, neutre ou rapide, et le vote est le nombre de modèles qui qualifient le point de lent ; cinq sur cinq signifie que chaque modèle le place à l’intérieur d’une province lente. SMEAN et SMEAN2 sont des moyennes de plusieurs modèles d’ondes de cisaillement ; $\delta V_S$ est l’écart de la vitesse des ondes de cisaillement par rapport à la moyenne à cette profondeur, de sorte que $-2.25\%$ signifie que les ondes s’y propagent 2.25% plus lentement que la moyenne. Le contour $-1\%$ est le tracé habituel de la province, et un point bien à l’intérieur, avec le bord à plus d’un millier de kilomètres, n’est pas un cas marginal.

La longitude 202.5°E du tableau est la même que 157.5°W, écrite sur une échelle allant vers l’est de 0 à 360°. La base est l’extrémité est de l’empreinte de la poire. La lecture antérieure de la région source, centrée près de 25°N, 165°E, est l’arrière de la poire, qui penchait vers l’ouest et le nord (§B.1). L’article 9 (Les bandes) situe l’empreinte de la pointe entre deux coudes des bandes du Pacifique Nord, large de 3,360 km et centrée à 9.3°N, 169.3°E, à environ 3,760 km à l’ouest de la base (une version antérieure donnait 3,770 km), et l’arrière de la poire dans les arcs du Pacifique occidental. Cette section concerne la base, sous laquelle la partie lourde s’est enfoncée.

Les lignes vertes sont les trois mesures qui placent le point à l’intérieur de la province ; les deux dernières lignes le situent au sein de la province. Le point se trouve dans la partie nord de la province, à 1,476–1,657 km au nord-nord-est de son centre, que les trois modèles s’accordent à placer au sud de l’équateur. L’ULVZ hawaïenne est à 2,050 km à la surface mais à seulement 1,120 km sur la limite noyau–manteau : le même angle entre deux points couvre une distance plus courte sur la limite noyau–manteau, dont le rayon n’est qu’environ la moitié de celui de la Terre.

La figure 14 montre la mesure sur les cartes elles-mêmes : le point près de Kiritimati tombe à l’intérieur du contour en tirets $-1\%$ des deux modèles moyennés et sur la teinte la plus sombre de la carte de votes, là où les cinq modèles s’accordent.

• Isotopes dans les basaltes de panache. Dans ce modèle, la poire était la matière propre de la Terre, et rien d’étranger n’est entré dans le manteau ; les panaches montant de l’une ou l’autre province doivent donc porter la signature isotopique propre de la Terre, sans composante étrangère à la Terre. Les isotopes sont des variantes d’un élément qui diffèrent légèrement par leur masse ; leurs rapports diffèrent d’un corps à l’autre dans le système solaire et servent ainsi d’empreinte d’origine.

E.5Le noyau de la Terre pendant la poire

La poire a aussi agi sur la Terre pendant qu’elle se dressait. La question de cette section est de savoir ce qu’une masse attachée aussi grande a fait à l’intérieur profond de la Terre, et si une trace pouvait en survivre.

À ce stade précoce, la Terre n’avait presque pas de noyau. C’était une Terre en formation : ses couches n’étaient pas encore définies, seuls les premiers signes de stratification étaient apparus, et en son centre se trouvait un large pré-noyau — une matière qui deviendrait plus tard le noyau, pas encore séparée de ce qui l’entourait. À mesure que ce corps tournait et commençait à étirer la poire, le large pré-noyau a pris la même forme : une poire interne allongée, tendue vers la poire externe.

Pendant que la poire se dressait, sept à douze masses lunaires de la matière propre de la Terre se tenaient d’un côté de la Terre, entre sa surface et quelque 15,400 km de son centre (une version antérieure donnait 16,000 km) (le §C.7 donne 8.8–12.1 masses lunaires à la libération pour des bases de 9,000–11,000 km). Leur gravité atteint le centre. Le pré-noyau est plus dense que la matière qui l’entoure, et dans un champ qui agit sur tout l’intérieur il est attiré vers la poire, comme l’est un poids dans un liquide, jusqu’à ce que la poussée de la matière qu’il déplace le retienne. Comme la poire fait partie de la Terre et n’est pas un corps séparé, la Terre dans son ensemble ne se déplace pas vers elle ; son champ agit sur l’intérieur comme un champ constant.

Le tableau donne les champs au centre de la Terre au début de la poire et à la libération, pour la base la plus étroite et la plus large. Le champ net est l’attraction de la poire plus la faible attraction de la Lune, moins le terme centrifuge : la Terre, la poire et la Lune tournent ensemble autour de leur centre de masse commun, qui se situe hors du centre de la Terre, du côté de la poire, et cette rotation donne au centre de la Terre une accélération dirigée à l’opposé de ce côté. La couleur s’assombrit en descendant dans le tableau à mesure que la poire croît et que son attraction croît avec elle.

Un déplacement en kilomètres n’est pas donné, et ne peut pas l’être. Il exigerait un noyau défini, un manteau défini autour de lui et une rigidité entre eux, et à ce stade rien de tout cela n’existait. Le tableau ne donne que l’attraction et sa direction. Nous proposons que le pré-noyau interne s’est étendu vers la poire aussi longtemps que la poire se dressait — une grande partie des quelque 600 millions d’années allant du début du renflement à la libération à 3.873 Ga. La direction repose sur une hypothèse : que le déficit laissé à la source profonde a été comblé et réparti par la matière environnante à mesure que l’alimentation montait ; un déficit laissé en place à côté du centre pousserait dans l’autre sens.

Après la libération, le tri a ramené la poire dans la Terre, progressivement, en quelques dizaines à quelques centaines de millions d’années, et sa matière s’est répartie sur la moitié de la Terre à laquelle elle avait été attachée. En tant que couche non compensée, elle continuerait d’attirer l’intérieur vers cette moitié — le champ d’une telle couche au centre, $GM/2R^2$, vaut 0.53–0.73 m/s². Ici $M$ est la masse de la couche et $R$ le rayon de la Terre ; l’expression est l’attraction, au centre d’une sphère, d’une couche mince couvrant une moitié de sa surface. Mais une couche légère posée sur un manteau fluide ne reste pas non compensée : le manteau sous-jacent s’ajuste, et le champ lointain d’une charge compensée est faible. La compensation est le processus par lequel le manteau s’écoule hors de dessous une charge superficielle ajoutée jusqu’à ce que la colonne sous chaque point pèse de nouveau la même chose, comme un radeau s’enfonce dans l’eau jusqu’à déplacer son propre poids ; la masse ajoutée est alors équilibrée par un déficit en dessous, et vus du centre les deux s’annulent presque. Le pré-noyau interne se relaxe alors vers le centre. En bref : pendant que la poire se dressait, le pré-noyau s’étendait vers elle, et après que la poire a été ramenée, il s’est relaxé.

Le test est énoncé comme une exigence et une piste de recherche (article 12) : une structure hémisphérique du noyau alignée sur le côté de la poire, dont l’asymétrie est–ouest de la graine est la première candidate. Les ondes sismiques qui traversent la graine solide se propagent à des vitesses différentes dans ses moitiés est et ouest ; si le pré-noyau s’est étendu vers la poire pendant la formation du noyau, le noyau en croissance a pu enregistrer le côté. Le test est faible si la graine est bien plus jeune que la Lune, car une graine plus tardive ne porterait pas cette trace.

Ce dont nous disposons maintenant est le devenir complet de la poire : après la libération, le tri l’a ramenée dans la Terre, sa partie lourde s’enfonçant sous sa base, au-dessus d’une région dont les provinces profondes sont vues aujourd’hui et dont la nature est laissée ouverte ; la base se situe à l’intérieur de la province pacifique dans chaque modèle examiné ; pendant que la poire se dressait, le large pré-noyau s’étendait vers elle, et après qu’elle a été ramenée, le pré-noyau s’est relaxé.

Travaux futurs — pistes de recherche

Les parties A–C définissent les données d’entrée de calculs qui restent à effectuer. La liste suivante identifie des travaux que d’autres groupes de recherche sont équipés pour entreprendre. Chaque point nomme un calcul que cet article met en place sans l’effectuer, et la section dont il remplacerait ou testerait le résultat.

1. Une simulation tridimensionnelle du corps connecté. L’état initial — un corps de masse lunaire à 1,300 kg/m³ posé sur une pointe de 6,000 km, sur un parent de 6,517 km de rayon volumétrique tournant en 5.5 heures, alimenté par un contact basal à une pression de source de 150 GPa — est entièrement spécifié. Un calcul SPH (hydrodynamique des particules lissées) ou par éléments finis testerait ensemble la stabilité du dôme, la séquence d’arrondi du §C.4 et la marge de libération du §C.5. Les deux méthodes divisent le corps en nombreux petits éléments et suivent pas à pas les forces entre eux, ce qu’exige une forme libre et changeante de ce type.

2. L’équation d’état du bain fondu profond. L’alimentation exige un bain fondu plus léger que 3,864 kg/m³ le long de la montée (§A.10). Des expériences sur des liquides silicatés hydratés et carbonatés à 50–150 GPa, et la dynamique moléculaire ab initio des mêmes compositions, établissent si l’exigence est satisfaite et pour quelle teneur en volatils. L’équation d’état est la relation entre la pression, la température et la densité d’un matériau ; l’eau et le dioxyde de carbone dissous dans un bain fondu en abaissent la densité.

3. La libération d’énergie du parent. Le soulèvement coûte de l’ordre de $10^{30}$ J (§A.12). Un modèle d’évolution thermique d’une Terre avec descente du fer, se contractant et se refroidissant sous une atmosphère de vapeur, donnerait le rythme auquel cette énergie devient disponible et donc la durée de l’alimentation.

4. Adhésion de Stefan d’une couche silicatée chaude. La marge de libération $\Delta r\simeq2d_0$ (§C.5) utilise une couche newtonienne. Des travaux de laboratoire et numériques sur la séparation de deux corps joints par une couche partiellement fondue — cavitation, striction, transition de la rupture visqueuse à la rupture fragile — fixeraient l’intervalle de la marge et le temps de libération. L’adhésion de Stefan est la résistance d’un film visqueux mince à la séparation des deux surfaces qu’il joint, la force ressentie en écartant deux plaques entre lesquelles se trouve du miel ; une couche newtonienne est une couche dont la résistance est simplement proportionnelle à la vitesse à laquelle elle est déformée.

5. La croûte stratifiée de la face cachée. La face cachée a été construite en couches de matière de plus en plus triée (§B.7). La composition des pics centraux en fonction de leur profondeur d’origine, séparément pour la face cachée et la face visible, mesurerait le gradient, et un modèle de la construction en prédirait les étapes.

6. Le noyau de la Terre pendant la poire. Un modèle hydrostatique tridimensionnel de la jeune Terre, pas encore stratifiée, avec la poire dressée et après qu’elle a été ramenée, et avec le suivi du déficit de la source, montrerait comment le large pré-noyau s’est étendu vers la poire (§E.5) et comment il s’est relaxé ensuite ; la structure hémisphérique de la graine est la première trace à comparer.

7. La croûte de la face visible. Le sial de l’anneau du dôme inférieur s’est décollé avec le corps ; au-dessus du contact, il a été fondu et la surface lissée par la chaleur et la gravité (§C.4a). Un modèle thermique du contact donne la profondeur de cette fusion, et donc l’épaisseur de la croûte au-dessus du contact comparée à celle de la ceinture.

8. Classification des mers lunaires par zone d’exposition. Les ouvertures ne se sont pas toutes comportées de la même manière (§B.5). Imbrium n’a pas éjecté de matière, et Serenitatis non plus, hormis peut-être de légers éclatements. La plupart des autres ouvertures, parmi les 34–36 de l’auteur, ont éjecté de la matière : celles de la face cachée tôt, jusqu’à leur scellement, et celles du limbe pendant longtemps. La différence entre les mers du contact non éjectantes et les mers éjectantes est testable dans la composition, les champs de cratères secondaires et l’épaisseur de la croûte sous chaque bassin (article 11, R8).

Disponibilité du code

Tous les résultats numériques de cet article sont reproduits par les scripts du paquet de reproduction LEF (Python 3, numpy, scipy), qui affiche les valeurs de chaque section à partir des données d’entrée indiquées dans le texte. Le paquet est joint à cette prépublication en tant que matériel supplémentaire (LEF_code_and_data.zip). Une version antérieure de la série et du paquet est déposée sous doi:10.5281/zenodo.22743615.

Références

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Références internes à la série LEF — manuscrits de l’auteur : 1, Le modèle — le récit du modèle ; 2, Le mécanisme LEF en principe — la corotation, la poire, le décalage, le bilan du moment cinétique et les limites de Roche ; 4, L’orbite — l’évolution orbitale après la libération ; 5, Les mers ; 6, Les cratères — la matière de retour et les cratères ; 7, Les pôles — l’arrondi du corps attaché ; 8, South Pole–Aitken ; 9, Les bandes ; 10, Mars ; 11, Les exigences — les tests observationnels, y compris la classification des bassins par zone d’exposition. Les références aux manuscrits ne constituent pas une confirmation externe des résultats du modèle.

[17] Cottaar, S., & Lekic, V. (2016). Morphology of seismically slow lower-mantle structures. Geophysical Journal International, 207, 1122–1136. doi:10.1093/gji/ggw324.

[18] Becker, T. W., & Boschi, L. (2002). A comparison of tomographic and geodynamic mantle models. Geochemistry, Geophysics, Geosystems, 3, 1003. doi:10.1029/2001GC000168. (SMEAN.)

[19] Jackson, M. G., Konter, J. G., & Becker, T. W. (2017). Primordial helium entrained by the hottest mantle plumes. Nature, 542, 340–343. doi:10.1038/nature21023. (SMEAN2.)

[20] Cottaar, S., & Romanowicz, B. (2012). An unusually large ULVZ at the base of the mantle near Hawaii. Earth and Planetary Science Letters, 355–356, 213–222 ; tableau corrigé, 390, 327 (2014).

[21] Hut, P. (1981). Tidal evolution in close binary systems. Astronomy and Astrophysics, 99, 126–140. Source des équations de marée à décalage temporel constant utilisées dans la recherche de la distance de libération du §C.5a.

Auteur, données et méthodes

Zohar Duran, chercheur indépendant, Ramla, Israël. ORCID : 0009-0005-3194-9387.

L’article ne présente aucun nouveau jeu de données d’observation quantifié ; la localisation de la source et l’interprétation de forme attribuées à l’auteur sont des hypothèses géomorphologiques dont la méthode de reconstruction n’est pas présentée ici. Les estimations de pression, d’écoulement et de refroidissement peuvent être reproduites à partir des données d’entrée et des équations détaillées ici. Les états couplés de la partie C reposent sur les calculs de l’article 2 ; leur reproduction complète exige aussi la solution de forme et le bilan du moment cinétique qui y sont détaillés. La littérature observationnelle sert de contrainte pour tester le modèle. Le nombre de chiffres des résultats n’est pas une estimation de l’incertitude physique, qui est régie principalement par les hypothèses sur la structure et la matière.

Cette annexe classe les composantes de l’article selon leur statut. Certaines relèvent de la physique standard tirée des manuels ; certaines sont des observations antérieures utilisées comme contraintes ; certaines sont des calculs effectués ici ; et certaines sont des éléments du modèle qui sont proposés et doivent être testés. Le tableau se lit ligne par ligne : la colonne du milieu donne la classe de chaque composante, et la colonne de droite sa source et le rôle qu’elle joue dans l’argumentation. L’intérêt de ce classement est que le lecteur peut voir d’emblée quelles parties de l’article reposent sur une physique établie et lesquelles sont les propositions propres du modèle.

Deux termes du tableau peuvent demander une explication. La solution de Poiseuille est le résultat standard pour l’écoulement permanent d’un fluide visqueux dans un tuyau : le débit croît comme la puissance quatrième du rayon du tuyau, ce qui explique pourquoi la largeur du passage importe tant dans la partie A. La loi de Stefan donne la force nécessaire pour écarter deux surfaces jointes par une couche visqueuse mince ; elle estime ici combien le contact a résisté — une faible résistance — avec une libération environ 210 km ($\simeq2d_0$) au-delà de la ligne de corotation (§C.5).

Cette annexe indique les constantes utilisées tout au long de l’article et ce qui peut, ou ne peut pas, être reproduit à partir de cet article seul.

Dans tous les calculs numériques présentés ici : $G=6.674\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$, une année = 365.25 jours et un jour = 86,400 secondes. $G$ est la constante gravitationnelle, qui fixe l’intensité de la gravité entre deux masses. Dans les tableaux d’écoulement, la viscosité, les densités des segments, la largeur du passage, la durée de l’alimentation et la part interne sont des données de test : elles sont choisies pour explorer l’étendue du problème, et ne sont pas des valeurs mesurées de la Terre ancienne. Les valeurs de $k$, $L_f$ et $\Delta T$ dans l’équation de refroidissement sont des hypothèses numériques pour l’estimation ; aucun intervalle vérifié pour la matière ancienne n’est présenté pour elles. Ici $k$ est la conductivité thermique, $L_f$ la chaleur latente libérée lorsque le bain fondu se solidifie, et $\Delta T$ la différence de température qui entraîne le refroidissement.

Les tableaux de la partie D découlent des états de conservation du moment cinétique et de la forme de l’article 2. Une fois donnés les masses, la distance, la période et la latitude, la force et les contraintes peuvent être reproduites à partir des équations (19)–(20), et le test conjoint à partir des équations (25)–(29). La preuve de la période de rotation elle-même exige la solution de forme et le bilan du moment cinétique de l’article 2 ; elle ne découle pas des équations de pression de l’article 3. Autrement dit, cet article prend comme donnés le jour de 5.77 h et la distance de libération de l’article 2, et tout ce qu’il calcule à partir d’eux peut être vérifié ici ; le jour lui-même est vérifié dans l’article 2.

Un nombre élevé de chiffres dans un tableau ne doit pas être converti en une faible incertitude du modèle. L’incertitude sur la densité, les limites de l’écoulement, la forme de la connexion et la structure du corps est plus importante que l’erreur d’arrondi. Une valeur telle que 10.49 GPa est imprimée avec quatre chiffres afin que le lecteur puisse refaire exactement le calcul, non parce que la marge est connue avec cette précision. Le résultat final de l’article 3 est une contrainte de faisabilité dans le cadre d’approximations énoncées.

Utilisation d’outils d’IA : L’auteur a utilisé des assistants d’IA (Claude, Anthropic ; ChatGPT, OpenAI ; l’assistant de recherche IA de Google) pour écrire et exécuter les scripts de calcul, analyser les catalogues et les cartes, préparer les figures et les tableaux, discuter des scénarios, ainsi que pour la révision linguistique et la traduction. Le modèle et ses conclusions sont ceux de l’auteur. L’auteur a vérifié le contenu et en assume l’entière responsabilité.