הסביבה הפיזיקלית של המאמר

החישובים מתארים תרחיש על כדור הארץ המוקדם, בתקופת היווצרות הירח לפני כ-4.5 מיליארד שנה. במצב ההתחלתי מסת החומר שממנו ייבנה הירח כלולה בגוף-האם — כדור הארץ הצעיר לפני שהירח עזב אותו. במהלך הבנייה המסה הזו עוברת אל גוף מתפתח, ובמקביל משתנים פיזור הצפיפות, הסיבוב, שדה הכבידה והמצב התרמי. המאמר הזה מתייחס לבנייה כולה — ההזנה מבפנים והתרוממות הקליפה החיצונית — כתהליך אחד על גוף אחד.

מכיוון שכל כך הרבה משתנה במהלך התהליך, אי אפשר להשתמש במספר שנלקח מרגע אחד ברגע אחר. לכן הטבלה מגדירה את הסביבה: לכל תחום היא מציינת אילו ערכים הם קלט, אילו משתנים עם הזמן, ואילו שייכים למצב בדיקה מוגדר. ערך מספרי בודד אינו יכול להחליף את הפרופיל הפיזיקלי שהחישוב דורש. העמודה הימנית מציינת את התחום; העמודה השמאלית נותנת את ערכי העבודה ואת הכללים לשימוש בהם.

כמה שורות דורשות מילת הסבר. מסה. המסה ההתחלתית $M_0$ היא כדור הארץ והירח של היום יחד; לא מניחים שדבר נמלט, ולכן הירח כולו היה פעם חלק מכדור הארץ, וה- $7.35\times10^{22}$ kg שלו נספרים פעם אחת — בתוך גוף-האם לפני ההעברה, בירח לאחריה, ובדרך (בחיבור, בחומר שהושלך ונופל חזרה) רק בזמן שהם בדרכם. גודל וצורה. הרדיוס של 6,517 km גדול מרדיוס כדור הארץ היום, משום שכדור ארץ צעיר וחם מורחב (מאמר 2). גוף נוזלי מסתובב בולט במשווה שלו; מצב Maclaurin הוא צורת שיווי המשקל הקלאסית של גוף נוזלי מסתובב בעל צפיפות אחידה, כדור פחוס, והוא הופך את הנפח הזה לרדיוס משווני של כ-6,721 km ולרדיוס קוטבי של כ-6,128 km. סיבוב. תנע זוויתי, $L_0$, הוא כמות הסיבוב שהמערכת מחזיקה; תהליכים פנימיים יכולים רק להעביר אותו מחלק אחד לאחר. מומנט ההתמד, $I(t)$, מודד כיצד המסה מפוזרת סביב ציר הסיבוב: מסה שזזה החוצה מגדילה אותו ומאטה את הסיבוב, מסה שזזה פנימה מקטינה אותו ומאיצה את הסיבוב, כמו מחליקה על הקרח שמסתובבת לאט יותר כשזרועותיה פרושות ומהר יותר כשהיא מקרבת אותן. זו הסיבה שהיממה אינה קבועה על 5.5 שעות: האגס נושא מסה החוצה, הברזל שמתכנס אל הליבה נושא מסה פנימה, ובשחרור השניים יחד משאירים יממה של 5.77 שעות.

קורוטציה. כל מה שמסתובב עם כדור הארץ משלים סיבוב אחד בכל יממה של כדור הארץ, וככל שהוא רחוק יותר הוא נע מהר יותר; המהירות הדרושה למסלול מעגלי חופשי יורדת עם המרחק. רדיוס הקורוטציה הוא המרחק שבו שתי המהירויות שוות — כ-16,400 km בשחרור, בערך שניים וחצי רדיוסי כדור הארץ. גוף שנישא אליו בעודו מסתובב עם כדור הארץ כבר נע במהירות של מסלול. ערך חלקיק-המבחן (16,331 km) מתייחס לירח כאל חלקיק קטן; ערך שני הגופים (16,399 km) כולל את המסה שלו עצמו, וההפרש הקטן מראה עד כמה הפישוט הזה זניח. בקו רוחב 22.5° הקו רחוק יותר, ב-17,287 km, משום ששם גוף באותו מרחק מהמרכז קרוב יותר לציר הסיבוב ונע לאט יותר. הגוף. אותה מסה ירחית תופסת נפח גדול יותר כשהיא פחות צפופה, ולכן הטבלה מציגה את גודלו בכמה צפיפויות. ב-1,300 kg/m³ הגוף מוקצף — מלא בגז מהחומרים הנדיפים שלו, בפחות ממחצית הצפיפות של הירח היום — ובמצב הקל הזה הלחץ של חלק A מסוגל להזין אותו ולהרים חומר בתוך האגס, בעוד שהאגס מרים את הגוף. אלה מצבי בדיקה לחישובים, לא היסטוריה פתורה של התכווצות הגוף.

הקליפה היא סיאל: השכבה החיצונית הקלה של גוף-האם, עשירה בצורן ובאלומיניום, שמונחת על הסימה הצפופה והעשירה במגנזיום שמתחתיה (§C.10). הפתחים הם חורים דרך הקליפה הזו, שדרכם עלה חומר עמוק והושלך החוצה. לחץ וחומרים נדיפים. הלחץ שמניע את ההזנה והלחץ שההזנה צריכה להתגבר עליו מחושבים באותו שדה, כך שהמבחן אינו יכול לשאול ערך נוח מתמונה אחת וערך לא נוח מתמונה אחרת. החומרים הנדיפים אינם מוסיפים לחץ; לחץ המקור נשאר בערך הליתוסטטי, משקל החומר שמעליו. מה שהם עושים הוא להקל את ההתך העולה, כך שאותו לחץ מרים אותו גבוה יותר. צפיפות וצמיגות. צפיפות היא כמה כבד חומר ביחס לנפחו; צמיגות היא כמה חזק הוא מתנגד לזרימה. קליפה של $10^{23}$ Pa s או יותר זורמת לאט כל כך שהמכתשים שלה שומרים על צורתם (§B.3), בעוד שהפנים החם שמתחתיה זורם בקלות; המקום שבו השניים נפגשים הוא השכבה שנכנעת ראשונה. מקום. בסיס האגס עמד ליד Kiritimati, במרכז האוקיינוס השקט. מתחתיו, בתחתית המעטפת, נמצא האזור האיטי הגדול של האוקיינוס השקט: אזור בגודל של יבשת שבו גלים סייסמיים נעים לאט; טבעו נשאר פתוח (חלק E). האזור שב-25°N, 165°E, שפורש קודם כמקור, הוא גב האגס, שנטה מערבה וצפונה.

מה פירוש התקציר, במילים פשוטות. הוזן מבפנים והתרומם מבחוץ מתאר שתי אספקות לגוף אחד. דמיינו בלון שממלאים אותו מצינור שמתחתיו, בעוד שהעור שלו הוא פני השטח המתוחים של הקרקע שעליה שכב. המילוי הוא ההזנה: חומר עמוק וחם שעולה בלחץ וזורם אל תוך הגוף. העור הוא הקליפה: השכבה החיצונית של כדור הארץ מעל אזור הבנייה, שהתרוממה עם האגס וגלשה לאט כלפי מעלה אל קצהו, אל תוך הגוף, ושם הפכה לפני השטח שלו. אף אחת מהאספקות לבדה אינה יוצרת את הירח. ההזנה נותנת לגוף את הפנים שלו — המעטפת של כדור הארץ עצמו, ולכן לשניים יש אותו הרכב (§C.10) — והקליפה נותנת לו קרום שכבר נשא מכתשים מתקופתו על כדור הארץ.

מה פירוש 150 GPa. עמוק בתוך כל גוף גדול החומר נלחץ על ידי משקל כל מה שמעליו. במרכז גוף-האם המשקל הזה, שהסיבוב מקל עליו מעט, מגיע ל-150.26 GPa. הלחץ הזה הוא המנוע של ההזנה: פתחו דרך מהפנים העמוק אל פני השטח, והחומר הלחוץ יעלה לאורכה, כמו משחת שיניים שעולה כשלוחצים על השפופרת. השאלה היא אם הדחיפה חזקה מספיק. כדי לשאת התך מעומק המקור עד רדיוס הקורוטציה, הלחץ צריך להחזיק את משקל כל עמוד ההתך לאורך הדרך; עבור התך של 3,500 kg/m³ בעומק, שמוקצף ל-1,500 kg/m³ מעל פני השטח, המשקל הזה הוא 139.78 GPa. הדחיפה עולה עליו ב-10.49 GPa, והייתה עולה עליו עבור כל התך קל מכ-3,864 kg/m³. זו משמעות המילים “הדחיפה מתומחרת”: המאמר אינו מניח שהלחץ מספיק, הוא מחשב אותו.

מדוע החיבור צריך להיות רחב. אילו ההזנה הייתה עולה דרך צינור דק, הצינור היה צריך להחזיק את הגוף נגד המשיכה של כדור הארץ לאורך הקו שביניהם (העומס הרדיאלי) ונגד המשיכה הצדדית של הסיבוב בקו רוחב 22.5°, שמושכת את הגוף לכיוון מישור המשווה (העומס הצדדי). רק מעבר שרדיוסו גדול מכ-1,000 km עובר את המבחן הרדיאלי, ומעבר ברוחב כזה כבר אינו דק: הוא עצמו מכיל חומר בכמעט מחצית ממסת הירח ונושא כוח צדדי בסדר גודל של $10^{22}$ N. המסקנה היא שהחיבור הוא חלק רחב, חם ומסיבי של כדור הארץ, וחלק C מראה מהו: האגס.

מהו האגס. האגס הוא בליטה אחת של כדור הארץ שנמשכה החוצה. הלחץ שהרים גבעה מעל המקור המשיך להרים אותה, והגבעה גדלה להמשך ארוך ורחב של חומרו של כדור הארץ עצמו: רחב בבסיסו על פני כדור הארץ — 9,000 עד 11,000 km, יותר מרדיוס כדור הארץ — ומצטר בקו מעוקל וחלק אחד עד לקצהו, שנושא את הגוף. הוא חלק מכדור הארץ, והוא מוחזק בכבידה של כדור הארץ כמו כל חלק אחר של כדור הארץ. הוא אינו נזרק, משום שמהירותו אינה מהירות זריקה והוא נמצא כולו בתוך קו הקורוטציה (§C.7). מסתו, הנגזרת מרוחב הבסיס שלו, היא כתשע עד שתים-עשרה מסות ירח, והאנרגיה הדרושה כדי להרים אותו היא בסדר הגודל של האנרגיה שמשתחררת כאשר הברזל של כדור הארץ שוקע אל הליבה (§C.9).

מדוע השחרור מתרחש במקום שבו הוא מתרחש. האגס כולו נמצא בתוך קו הקורוטציה, ושם המשיכה המשולבת של הכבידה והסיבוב מכוונת אל כדור הארץ, והאגס מוחזק שם בכבידה של כדור הארץ כחלק ממנו. הגוף שעל קצהו מתרומם איתו עד שמרכז המסה שלו מגיע לקו, ושם הוא מתחיל להיפרד. שם המהירות שכבר יש לו מהסיבוב עם כדור הארץ היא המהירות של מסלול מעגלי, ומעבר לקו הסיבוב מושך החוצה יותר משהכבידה מושכת פנימה; המגע מתנגד רק מעט, והגוף נמשך החוצה בכוח ומשתחרר כ-210 km מעבר לקו (§C.5). האגס נשאר בתוך הקו, חלק מכדור הארץ, ולאחר השחרור ההתמיינות אוספת אותו בחזרה אל כדור הארץ לאורך עשרות עד מאות מיליוני שנים.

איך לקרוא את התיבה. הפסקה הראשונה מציגה את שתי האספקות ואת מה שכל אחת מהן מסבירה בירח של היום. הכיפה בצד הקרוב, של כ-31°, היא הכתם בגוף שהיה המגע של 3,000 km עם האגס: הוא לא היה מכוסה כולו עד השחרור: Serenitatis התקלפה ממנו ראשונה, ו-Imbrium נשארה מחוברת עד הניתוק. החגורה בין 31° ל-70° היא טבעת הכיפה התחתונה שהתקלפה מכדור הארץ במהלך ההתעגלות החוצה, ולקחה איתה את הסיאל שעליו ישבה. כל מה שמעבר ל-70° הוא הכיפה העליונה: קליפה מההתחלה, חשופה מהשלב השטוח ונושאת עמה את המכתשים שלה כלפי מעלה (§B.4). ההתעגלות פועלת כמו כדור פחוס מעט שהופך לעגול: כל כתם בפני השטח שלו מצטמצם באותו יחס, כך ששום אזור אינו זז ביחס לאחר. הפחיסות שבאה אחר כך היא הסיבוב שמשטיח את הגוף בקטבים שלו; ההתעגלות פנימה היא הגוף שחוזר להיות עגול כשהוא מתהדק. במהלך ההתעגלות פנימה פני השטח הקוטביים נמשכו פנימה יותר מכל, בעוד שהמכתשים שכבר היו עליהם שמרו על גודלם, ולכן הם נדחסו זה לזה ליד הקטבים (מאמר 7). השינויים האלה התרחשו כשהגוף היה מחובר: יחס הצירים הגיע ל-1.69 בשיא הפחיסות וירד ל-1.2 בשלב מאוחר של תקופת החיבור (מאמר 7), ועד השחרור הגוף היה עגול, הקליפה החיצונית שלו קשיחה, ויחס הצירים שלו לכל היותר 1.04 (מאמר 2, §B.7).

הפסקה השנייה מנסחת את התנאי על החיבור ואת תוצאתו. השלישית מתארת מה עולה בגורל האגס. האגס אינו אובד בשחרור; לאחר השחרור ההתמיינות אוספת אותו בחזרה אל כדור הארץ, בהדרגה, לאורך עשרות עד מאות מיליוני שנים. החלק הכבד שלו — כולל רוב הברזל שעלה אליו (§C.10) — שוקע עמוק אל תוך כדור הארץ מתחת לבסיס האגס (חלק E); הצד הקדמי שלו נאסף אל הפסים של צפון האוקיינוס השקט, והגב שלו אל הקשתות של מערב האוקיינוס השקט (מאמר 9, הפסים). המסה אינה עוזבת את כדור הארץ; היא עוברת מגובה רב בחוץ אל עומק רב בפנים. הטווח שלה, תשע עד שתים-עשרה מסות ירח, נקבע על ידי רוחב הבסיס, 9,000 עד 11,000 km, ונגזר ב-§C.7.

מבוא — גוף אחד, שתי אספקות

במודל, גוף-האם אינו משליך ירח מוגמר. הגוף המחובר גדל ונע החוצה תוך שהוא מקבל חומר משני מקורות בו-זמנית: חומר עמוק עולה אליו דרך עלייה מגמטית, והקליפה החיצונית של גוף-האם — השכבה הסיאלית מעל אזור הבנייה — מתרוממת איתו כפני השטח שלו. מאמר 2, מנגנון LEF בעיקרון, הראה שברדיוס הקורוטציה המהירות שכבר יש למסה בקורוטציה היא המהירות שמסלול חופשי דורש, ושמאזן התנע הזוויתי של גוף-האם מאפשר את ההעברה. במילים אחרות, מאמר 2 הראה היכן הירח היה צריך להשתחרר, ושלכדור הארץ היה די סיבוב כדי להביא אותו לשם. המאמר הזה שואל כיצד המסה הגיעה לרדיוס הזה ומה תמך בה לאורך הדרך.

שני המקורות תורמים לאותו גוף. הקליפה נוסעת אל הגוף: היא מתרוממת עם האגס, ובמקביל נפרדת לאט וגולשת כלפי מעלה אל קצהו, אל תוך הגוף, ושם היא הופכת לעור שלו; הגלישה מוקלת בזכות השכבה ה”משומנת” שבין הסיאל לסימה (§C.10). אזור הבנייה הוא כיפה, הכיפה מתרוממת, ופני השטח שלה עולים איתה: הקרום הוא של כדור הארץ, הוא נשא את המכתשים שלו אל הירח, ובצד הרחוק הוא נבנה בשכבות. זו הסיבה שמאמר אחד עוסק בשתי האספקות: הן אינן שני מנגנונים שמתחרים על הסבר הירח, אלא הפנים והחוץ של גוף אחד שגדל.

הקורוטציה מספקת קשר בין הסיבוב לבין המהירות המסלולית. היא אינה מרימה חומר — האגס מרים — אבל היא זו שמנתקת את הירח: כשמרכז המסה של הירח מגיע לקו, כוחות הקורוטציה מושכים אותו לחופשי. חומר על פני כדור הארץ מסתובב איתו, אבל לאט בהרבה ממה שמסלול דורש; משהו צריך לשאת אותו החוצה ולהחזיק אותו שם עד שהוא מגיע לרדיוס הקורוטציה. לשם כך דרושים לחץ מניע, מאזן מסה ואנרגיה, מבנה שמאפשר זרימה, וחיבור שמסוגל לשאת את העומס הנדרש. אנו בוחנים אותם בארבעה חלקים: A, ההזנה מבפנים — בעיית ההובלה, המקור, הגבולות התרמיים, והאם הלחץ, הקצב והאנרגיה מספיקים; B, ההתרוממות מבחוץ — ארבעת שלבי הכיפה, הגאומטריה שלה ומה היא הופכת להיות; C, החיבור והשחרור — העומסים שהוא נושא, וכיצד הגוף מתחיל להיפרד בקו הקורוטציה ומשתחרר מעט מעבר לו; D, תחזיות, מבחנים ומסקנות. חלק C עוקב גם אחר האגס שיוצר את החיבור, אחר ממה עשוי הגוף, ואחר החומר שכדור הארץ המשיך להשליך לאחר השחרור. חלק חמישי, E, עוקב אחר האגס בחזרה אל כדור הארץ, מתעד היכן עמד בסיסו ביחס לכדור הארץ העמוק כפי שהוא נראה היום, ושואל מה עשה לפנים כדור הארץ; סעיף מסכם מרכז כיווני מחקר להמשך.

החידוש הוא צירוף התהליכים לבנייה מקושרת אחת. חוקי הכבידה, הזרימה, הולכת החום וההידבקות הצמיגה הם הפיזיקה שבה המנגנון נבחן, ולא ראיה עצמאית לכך שהוא התרחש. כל אחד מהחוקים האלה סטנדרטי; מה שהמאמר מוסיף הוא היישום שלהם על גוף אחד ברצף אחד, עם המספרים של סביבה עקבית אחת, כך שאפשר לבדוק כל שלב מול השלב שאחריו.

מאמר 2, מנגנון LEF בעיקרון, הראה היכן הירח משתחרר — ברדיוס הקורוטציה, שם מהירות הסיבוב עם כדור הארץ היא כבר המהירות של מסלול חופשי — והראה שהתנע הזוויתי של כדור הארץ מספיק כדי להציב שם חומר. הוא לא הראה כיצד הגיע החומר לשם. חלק זה עוסק בשאלה הזאת מתוך פנים כדור הארץ. תחילה הוא מנהל חשבון של המסה (§A.1), אחר כך מסביר מדוע הסיבוב של כדור הארץ לבדו אינו יכול להרים את הגוף (§A.2), ולבסוף כותב את מאזן הכוחות שכל הזנה מן העומק חייבת לקיים (§A.3). הסעיפים שאחריו מתארים את המקור, את המעבר ואת הגבולות התרמיים (§A.4–A.8), וההמשך הבא של חלק זה מצמיד מספרים ללחץ, לקצב ולאנרגיה (§A.9–A.13).

A.1גוף שגדל תוך כדי תנועה

הצעד הראשון הוא הנהלת חשבונות. לפני שמחשבים כוח כלשהו, יש לדעת לומר היכן נמצא כל קילוגרם בכל רגע, כך ששום מסה לא תיספר פעמיים ושום מסה לא תיעלם מהחשבון.

בתחילת חשבון המסה חומר הירח כלול בגוף-האם: במצב ההתחלתי יש גוף אחד בלבד, גוף-האם, שמסתו $M_0$. ככל שהבנייה מתקדמת, המסה הזאת מתחלקת בין ארבעה מאגרים. כשמבחינים בין מאגר ארצי, גוף מתפתח וחומר הנמצא בדרך, המאזן הוא:

$$M_0=M_E(t)+m(t)+M_{\mathrm{transit}}(t)+M_{\mathrm{escaped}}(t). \tag{1}$$

במילים: בכל זמן $t$, המסה ההתחלתית שווה למסה שעדיין נמצאת בכדור הארץ, $M_E(t)$, ועוד המסה שכבר נמצאת בגוף המתפתח, $m(t)$, ועוד המסה שבדרך ביניהם (בחיבור, או שנזרקה למעלה ועדיין לא נחתה), $M_{\mathrm{transit}}(t)$, ועוד מה שעזב את המערכת לגמרי, $M_{\mathrm{escaped}}(t)$. המשוואה היא פשוט שימור מסה; תועלתה בכך שהיא מכריחה כל קילוגרם להימצא במקום אחד בדיוק.

המסה המצטברת בגוף מקיימת:

$$\frac{dm}{dt}=\dot M_{\mathrm{int}}+\dot M_{\mathrm{ext}}-\dot M_{\mathrm{out}}. \tag{2}$$

משוואה (2) אומרת באיזה קצב הגוף גדל. נקודה מעל מסה מציינת קצב, בקילוגרמים לשנייה. $\dot M_{\mathrm{int}}$ היא ההזנה הפנימית — חומר עמוק המגיע מלמטה דרך החיבור; $\dot M_{\mathrm{ext}}$ היא ההיטמעות של הקליפה העולה יחד עם הגוף (חלק B) — השכבה החיצונית של כדור הארץ, שהופכת לעור של הגוף; ו- $\dot M_{\mathrm{out}}$ היא היציאה מן הגוף, החומר הנזרק החוצה דרך הפתחים שלו. מסת הגוף גדלה במה שנכנס מבפנים ומבחוץ, פחות מה שיוצא.

חומר שיוצא וחוזר נרשם בהתאם בשני הקצבים: מנה של חומר שנפלטה דרך פתח מופחתת כשהיא יוצאת, ומתווספת שוב כשהיא נוחתת בחזרה על הגוף. לכן אין לזהות כל יציאה עם בריחה מן המערכת; רוב החומר הנפלט נשאר בחשבון כחומר בדרך, וחוזר. החלק הפנימי של הירח הסופי — כמה ממנו הגיע מן העומק ולא מן הקליפה העולה — נקבע מן האינטגרל של ההזנה ושל האובדנים לאורך כל הבנייה, ולא מהנחה של אחוז קבוע. (חלק B.7 דן בחלוקה הזאת.)

A.2 מדוע הסיבוב אינו ההובלה עצמה

השאלה שסעיף זה עונה עליה היא מדוע הירח לא יכול היה פשוט להיזרק מכדור הארץ המסתובב, ומדוע לכן משהו חייב לשאת אותו החוצה.

מאמר 2 (§A.1.2) נתן את הסיבה לכישלונו של גוף נזרק. בקו המשווה של גוף-אם המשלים סיבוב אחד ב-5.5 שעות, הקרקע נעה בכ-2,133 m/s, ואילו מסלול חופשי ממש מעל פני השטח דורש כ-7,701 m/s. חומר המשוחרר מפני השטח, או נזרק מהם למעלה, נע הצידה לאט מדי מכדי להישאר במסלול: מסלולו הוא אליפסה קצרה שחוזרת אל תוך גוף-האם, והוא נופל בחזרה. רק ברדיוס הקורוטציה, כ-15,818 km מהמרכז ביממה של 5.5 שעות, מגיעה המהירות של הסיבוב יחד עם כדור הארץ למהירות של מסלול. לכן יש להביא את החומר למרחק הזה בעודו מחובר ובעודו מסתובב עם כדור הארץ. את ההבאה הזאת אנו מכנים הובלה: אספקה רציפה של חומר עמוק, הנדחף למעלה ממקור בתוך כדור הארץ דרך חיבור אל הגוף הגדל — ולא זריקה אחת.

התנגדות טבעית היא שהסיבוב המהיר של כדור הארץ אולי עושה את ההרמה בעצמו. דוגמת ההעמסה הבאה בודקת זאת. בדוגמה של גוף בעל מסת הירח המלאה ורדיוס שקול של 2,270 km (הרדיוס של כדור בעל מסת הירח בצפיפות הנמוכה של 1,500 kg/m³), הנוגע בגוף-אם שרדיוסו המשווני 6,721 km, המרחק בין המרכזים הוא 8,991 km — סכום שני הרדיוסים. (בשלב 2 של חלק B אותה מסה יושבת על קצה האגס כגוף פחוס מעל מגע של 6,000 km; דוגמת ההעמסה נשמרת בצורה הכדורית לשם השוואה עם מאמר 2.) במרחק הזה אנו משווים שתי תאוצות במרכז הגוף: המשיכה הכבידתית של כדור הארץ פנימה, והתאוצה הצנטריפוגלית החוצה שהסיבוב מקנה לגוף המסתובב עם כדור הארץ. שימוש ב- $M_E$ ובסיבוב של 5.5 שעות נותן בקירוב:

$$g_E=4.93\ \mathrm{m\,s^{-2}},\qquad \omega^2r=0.905\ \mathrm{m\,s^{-2}}. \tag{3}$$

כאן $g_E=GM_E/r^2$ היא משיכת כדור הארץ ב- $r=8{,}991$ km, כאשר $G$ הוא קבוע הכבידה, ו- $\omega^2r$ היא התאוצה הצנטריפוגלית, כאשר $\omega$ היא המהירות הזוויתית של סיבוב בן 5.5 שעות ($2\pi$ חלקי זמן המחזור בשניות). זו ההשוואה שמרגישה ילדה על קרוסלה מסתובבת: ככל שהקרוסלה מסתובבת מהר יותר וככל שהיא עומדת רחוק יותר מהמרכז, כך היא נדחפת החוצה בחוזקה רבה יותר. ב-8,991 km הדחיפה החוצה קטנה מחמישית מהמשיכה פנימה. השתיים היו שוות רק ברדיוס הקורוטציה, שבו המשיכה נחלשה כריבוע המרחק והאיבר הצנטריפוגלי גדל ביחס ישר אליו.

התאוצה פנימה שנותרת היא כ-4.03 m/s² (4.93 פחות 0.905): כל קילוגרם של הגוף עדיין שוקל, לעבר כדור הארץ, כשתי חמישיות ממה שהיה שוקל על פני כדור הארץ היום. זוהי דוגמת העמסה מוגדרת, ולא תיאור של בליטה זעירה בתחילת הבנייה. היא מראה מדוע נדרש מנגנון נוסף המעביר כוח ואנרגיה: הסיבוב לבדו אינו מספק תמיכה במצב הזה. הסיבוב מקל את העומס; הוא אינו נושא אותו.

ציפה יכולה להניע חומר קל בתוך חומר צפוף ממנו, כמו שמן העולה דרך מים. אבל ציפה זקוקה לתווך צפוף יותר שסביבה כדי לדחוף כנגדו, ומעל פני השטח של גוף-האם אין תווך כזה; לכן מעבר אל מעל פני השטח של גוף-האם מחייב פתרון הכולל את הצורה החיצונית ואת החיבור. המנגנון הנבחן כאן הוא הזנה רציפה תחת לחץ: חומר עמוק נדחף למעלה בלחץ של פנים גוף-האם, דרך חיבור, אל הגוף. אין צורך לשלול כל מנגנון פליטה אחר כדי לבחון את המנגנון הזה. המאמר שואל אם המנגנון האחד הזה עובד, ומעמיד אותו למבחנים כמותיים.

A.3מה מניע את החומר

משנקבע המנגנון, אנו כותבים את המאזן שהוא חייב לקיים. השאלה היא כמה לחץ דרוש כדי לדחוף חומר מן העומק במעלה מסלול אל הגוף.

במערכת ייחוס המסתובבת בקצב קבוע — כלומר, כפי שרואה זאת צופה המסתובב עם כדור הארץ — אפשר לצרף את הכבידה ואת ההשפעה הצנטריפוגלית לגודל אחד, הפוטנציאל האפקטיבי. פוטנציאל הוא האנרגיה לקילוגרם שיש למנת חומר בגלל מקומה; חומר נוטה לנוע מפוטנציאל גבוה לנמוך, כמו מים הזורמים במורד. הפוטנציאל האפקטיבי הוא:

$$\Phi_{\mathrm{eff}}=\Phi_{\mathrm{grav}}-\frac{1}{2}\omega^2\varpi^2, \tag{4}$$

כאשר $\Phi_{\mathrm{grav}}$ הוא הפוטנציאל הכבידתי, $\omega$ המהירות הזוויתית, ו- $\varpi$ המרחק מציר הסיבוב. האיבר השני הוא התרומה הצנטריפוגלית: הוא מוריד את הפוטנציאל ככל שמנת החומר רחוקה יותר מהציר, ולכן הסיבוב מקל על הטיפוס החוצה. הרמת חומר החוצה במערכת הזאת פירושה טיפוס במדרון של $\Phi_{\mathrm{eff}}$, מדרון שנעשה מתון יותר עם המרחק ונעשה שטוח ברדיוס הקורוטציה.

לאורך מסלול הזנה איטי, רכיב מאזן הכוחות הוא בקירוב:

$$\frac{dp}{ds}=-\rho\frac{d\Phi_{\mathrm{eff}}}{ds} -\mathcal R_{\mathrm{visc}}, \tag{5}$$

כאשר $s$ הוא המרחק הנמדד לאורך המסלול, $p$ הלחץ, $\rho$ צפיפות החומר שבמסלול, ו- $\mathcal R_{\mathrm{visc}}$ מייצג את ההתנגדות לזרימה ליחידת אורך — החיכוך של חומר צמיג הנע בתעלה. משוואה (5) אומרת שלאורך המסלול הלחץ חייב לרדת בשני סכומים ליחידת אורך: משקל החומר בשדה האפקטיבי (האיבר הראשון), והחיכוך של הנעתו (האיבר השני). האיבר הראשון הוא הכלל המוכר שהלחץ גדל עם העומק תחת משקל החומר שמעל; הלחץ הדרוש כדי להחזיק עמוד כנגד הכבידה האפקטיבית נקרא העומד ההידרוסטטי שלו. יש לשים לב שהעומד יחסי לצפיפות $\rho$: חומר קל יותר צריך פחות לחץ כדי להתרומם לאותו מרחק. זו הסיבה שצפיפות החומר העולה הופכת לגודל המכריע ב-§A.10.

הפרש הלחצים חייב לשאת את עומד הכבידה האפקטיבית, את ההתנגדות ואת העומס בגבול המקבל — משקל הגוף הלוחץ מלמעלה על ראש ההזנה. משוואה זו מבטאת את מאזן התנע של הרצף לאורך מסלול ההזנה; בקצב סיבוב משתנה ובזרימה תלת-ממדית יש לכלול גם תאוצות ואת התנע הנישא עם החומר [1]. בהזנה האיטית והיציבה הנבחנת כאן האיברים האלה קטנים, ומשוואה (5) היא הצורה שבה משתמש מבחן הלחץ של §A.9.

הסעיפים הקודמים קבעו שהגוף חייב להיות מוזן מן העומק תחת לחץ. ההמשך הזה שואל שלוש שאלות מעשיות על ההזנה: מאין בתוך כדור הארץ היא באה ומדוע היא נשארת ממוקדת במקום אחד (§A.4); מה שומר על המעבר פתוח (§A.5); וכיצד יכול לגוף להיות חוץ המתחזק בעוד פנימו וההזנה שלו נשארים חמים וניידים (§A.6–A.7). הוא מסתיים בסדר שבו מתרחשים השלבים (§A.8).

A.4 מקור ההזנה והארגון הפנימי

הזנה שהייתה נודדת על פני כדור הארץ הייתה בונה תלוליות קטנות רבות, ולא ירח אחד. לכן המקור חייב להיות מרוכז, ולהזין את אותו אזור של פני השטח לאורך זמן רב.

השערת העבודה היא שההזנה התרכזה באזור אחד של פנים כדור הארץ בזמן שהפנים התארגן מחדש; האזור הזה שכן מצפון לקו המשווה (§B.1). בכדור הארץ הצעיר שקע הברזל ויצר את הליבה, והפנים נפרד לשכבות; במהלך ההתארגנות הזאת הפנים לא היה חייב להיות סימטרי. אי-אחידות בהרכב, בטמפרטורה ובפיזור החומר הצפוף יכולה לשנות את הלחץ ואת נתיבי הזרימה. במודל, אי-אחידות זו יכולה לקיים הזנה ממושכת לאותו אזור של פני השטח: חומר חם וקל יותר מתקבץ בצד אחד וממשיך לעלות מתחת לאותו מקום, כמו סיר המחומם שלא במרכזו וממשיך לרתוח באותה נקודה.

אזור הזנה מרוכז מסוג זה אינו נובע מעצם קיומה של התמיינות. כדי לבחון אותו יש לחשב את הפוטנציאל של פיזור המסה ואת תגובתו להזנה. גם חלוקה מחדש של החומר הצפוף וגם העברת מסה החוצה משנות את מומנט ההתמד — המדד לכמה רחוק מציר הסיבוב יושבת המסה — ולכן משנות את הסיבוב. ברזל השוקע פנימה גורם לכדור הארץ להסתובב מהר יותר, כמו מחליקה שמקרבת את זרועותיה; מסה הנישאת החוצה מאטה אותו. מסיבה זו משתמשים במצבים המצומדים של מאמר 2 ולא בסיבוב קבוע לאורך כל התהליך: היממה מתארכת רק מ-5.5 ל-5.77 שעות עד השחרור, משום ששתי ההשפעות מקזזות זו את זו במידה רבה (מאמר 2, §A.4).

ככל שהגוף גדל, הכבידה שלו עצמו מתחילה להיות משמעותית. הכבידה של הגוף המתפתח נעשית חשובה יותר ויותר עבור חומר הנמצא בקרבתו:

$$g_{\mathrm{self}}=\frac{Gm(t)}{R_b(t)^2}. \tag{6}$$

כאן $m(t)$ היא מסת הגוף בזמן $t$ ו- $R_b(t)$ הרדיוס שלו; $g_{\mathrm{self}}$ היא התאוצה לעבר מרכז הגוף עצמו, כפי שהיא מורגשת על פני השטח שלו. היא גדלה ככל שהמסה מצטברת, ובגוף הסגור ברדיוס 1,890 km היא מגיעה ל-1.37 m/s² (חלק B.3). היא יכולה למשוך חומר נכנס ולעצב את הגוף: חומר נפלט שחוזר נוחת בחזרה עליו, וחומרו מושך את עצמו לעבר צורה מעוגלת. עם זאת, כוחות פנימיים אינם מאיצים את מרכז המסה של הגוף עצמו. אי אפשר להרים את עצמך במשיכה בשרוכי הנעליים: כל משיכה פנימית בין שני חלקים של הגוף מאוזנת במשיכה שווה והפוכה, והשתיים מבטלות זו את זו. ההרמה הכוללת עדיין מחייבת חילופי כוח ותנע עם הסביבה — עם כדור הארץ, דרך החיבור וההזנה.

A.5מה שומר על מעבר פתוח

התך העולה דרך גוף קר יותר נוטה לקפוא ולחסום את דרכו. הדרך אינה תעלה בעלת דפנות: האגס עצמו הוא המעבר המקשר בין פנים כדור הארץ לבין הגוף. סעיף זה קובע מה שומר על המעבר הזה פתוח, ומה הדבר הזה מספק ומה אינו מספק.

החיבור מקבל חום מן ההזנה ומן הגופים החמים שסביבו: ההתך העובר דרכו נושא חום מן העומק למעלה, וגוף-האם שמתחת והגוף הגדל שמעל חמים שניהם. פני השטח החיצוניים, הנמצאים במגע עם הסביבה הקרה, יכולים לאבד חום ולהתחזק באותו זמן. לכן למערכת יכולים להיות פנים נייד וחוץ חזק יותר, וצמיגות משתנה ביניהם. צמיגות היא ההתנגדות של חומר לזרימה — דבש צמיג יותר ממים; לפנים חם יש צמיגות נמוכה והוא זורם בקלות, לחוץ שהתקרר — צמיגות גבוהה, והוא שומר על צורתו.

חימום משני צדדי החיבור עוזר למנוע קפיאה מקומית, אך אינו כוח תוחם כשלעצמו: החום שומר על הדרך נוזלית, אך אינו תוחם אותה כשלעצמו; הדרך היא הפנים החם של האגס. צורת המעבר חייבת לקיים מאזן של לחצים ומאמצים צדדיים, כנגד הכבידה, הסיבוב והזרימה. היציבות התלת-ממדית של המבנה המחובר היא דרישה שהמנגנון מציב לעצמו; חישוב הלחץ של §A.9–A.13 הוא הראשון במבחניה, ו-§D.1 מונה את השאר.

A.6 חומרים נדיפים, אטמוספרה וקירור החוץ

שתי תכונות של כדור הארץ הצעיר מעצבות גם את צפיפות החומר העולה וגם את האופן שבו החוץ מתקרר: החומרים הנדיפים שהחזיק, והאטמוספרה שהם יצרו.

חומרים נדיפים הם החומרים שהופכים בקלות לגז — בעיקר מים, ולצידם פחמן דו-חמצני ותרכובות דומות. בעומק, תחת לחץ, הם נשארים מומסים בהתך, כמו פחמן דו-חמצני שנשאר מומס בבקבוק סגור. בתרחיש הנבחן קיים מלאי נדיפים קדום הגדול מהמלאי שנותר היום. בהקלת לחץ — כשההתך עולה והלחץ עליו יורד — הנדיפים עשויים להשתחרר מן המאגמה ולשנות את צפיפותה ואת התנהגותה, כמו בקבוק שמקציף כשפותחים אותו. התך מלא בבועות גז הוא התך מוקצף. צפיפותו נמוכה בהרבה מזו של אותו התך ללא בועות, משום שחלק מנפחו הוא גז.

הצפיפות הנמוכה הזאת היא שמאפשרת את ההזנה. לפי משוואה (5), הלחץ הדרוש להרמת חומר יחסי לצפיפותו: התך מוקצף צריך דחיפה קטנה בהרבה כדי להגיע לאותו גובה מאשר התך צפוף. חלק A.10 הופך זאת לסף — לחץ המקור של גוף-האם יכול להרים התך עמוק עד רדיוס הקורוטציה רק אם הוא קל מכ-3,864 kg/m³ — וחלק B.2 מוצא שלגוף על קצה האגס יש הצפיפות המוקצפת של כ-1,300 kg/m³. תפקיד הנדיפים הוא להוריד את צפיפות החומר העולה, ולא להעלות את לחץ המקור מעל הערך הליתוסטטי (הלחץ שקובע משקל החומר שמעל); ואין להניח בועות בכל העומקים, משום שבעומק רב הנדיפים עשויים להיות עדיין מומסים.

נוכחות מים בתכלילים ירחיים — טיפות זעירות של התך שנלכדו בתוך גבישים של חומר געשי ירחי ושמרו על המים המקוריים שלהן — מספקת אילוץ על חלק ממקורות המאגמה של הירח; היא אינה מודדת את מלאי הנדיפים הכולל בזמן הבנייה [2]. היא מראה שחלק מחומר המקור של הירח לא היה יבש, בלי לקבוע כמה מים החזיקה המערכת כולה.

מחזור של עלייה, התקררות וחזרה עשוי להעביר חום מן החומר אל הסביבה: חומר שנזרק למעלה דרך הפתחים מאבד מעט חום במעופו, אך נוחת כשהוא עדיין חם. עם זאת, קירור המערכת כולה מחייב שאנרגיה תעזוב אל החלל; חום שעבר מן החומר אל סביבתו עדיין לא אבד. אטמוספרת אדים יכולה גם להגביל את הקרינה היוצאת: אדי מים בולעים את הקרינה האינפרא-אדומה שבאמצעותה פני שטח חמים מתקררים, ולכן אטמוספרת קיטור עבה פועלת כשמיכה, ואי אפשר למדל את כל פני השטח כאילו היו חשופים לריק. חישובים של אטמוספרה רוויה מראים גבול קרינה בתנאים מסוימים — תקרה לשטף החום שגוף מכוסה קיטור יכול להקרין החוצה; אי אפשר להחיל שטף קבוע מן החישובים האלה על כל גובה ושלב בתרחיש זה [3], משום שהאטמוספרה, הטמפרטורה והכבידה משתנות כולן ככל שהגוף עולה.

A.7מעטה מתקרר מעל בסיס נייד

הגוף זקוק לעור מוצק בזמן שפנימו וההזנה שלו נשארים מותכים. סעיף זה מעריך באיזו מהירות נוצר עור כזה. חזית קפיאה היא הגבול בין השכבה המוצקה שנוצרה בפני השטח הקרים לבין ההתך שמתחתיה; ככל שחום עוזב דרך המוצק, החזית מתקדמת כלפי מטה והשכבה המוצקה מתעבה. לכיפה הקפואה יש חשיבות לשרידות התרמית של הגוף: משנוצרה, היא עומדת בין ההתך החם לבין החוץ הקר, ומאחר שחום יכול לעזוב רק בהולכה דרכה, ככל שהיא מתעבה ההתך שמתחתיה מאבד חום לאט יותר. כך הכיפה מגינה על הפנים הנייד שההזנה דורשת, ובעצמה הופכת לגבול החיצוני החזק.

הערכה פשוטה בהולכה להתקדמות חזית קפיאה היא:

$$h_{\mathrm{fr}}(t)\simeq \sqrt{\frac{2k\Delta T\,t}{\rho_s L_f}}. \tag{7}$$

כאן $h_{\mathrm{fr}}$ הוא עובי השכבה המוצקה אחרי זמן $t$; $k$ הוא מקדם הולכת החום של המוצק — עד כמה בקלות הוא מעביר חום; $\Delta T$ הוא הפרש הטמפרטורות לרוחב השכבה המוצקה, בין ההתך בבסיסה לבין החלק העליון הקר; $\rho_s$ היא צפיפות המוצק; ו- $L_f$ הוא החום הכמוס של ההתכה — החום שיש להוציא מכל קילוגרם של התך כדי להקפיא אותו, בלי שום שינוי בטמפרטורה שלו. המשוואה אומרת שהעובי גדל כשורש הריבועי של הזמן. הסיבה היא ההשפעה המגינה שתוארה זה עתה: ככל שהמוצק עבה יותר, פחות חום עובר דרכו, והשכבה הבאה קופאת לאט יותר. הכפלת העובי לוקחת פי ארבעה זמן; שכבה עבה פי חמישים לוקחת פי 2,500 זמן.

זהו קירוב חד-ממדי של מאזן חום כמוס, עם הפרש טמפרטורות קבוע והולכה דרך השכבה הקפואה. הצבת $k=3\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$, $\rho_s=3{,}000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ ו- $L_f=4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$ — ערכים אופייניים לחומר סיליקטי — נותנת את הזמנים הבאים. שתי העמודות הן שתי בחירות של הפרש הטמפרטורות: 1,200 K, לפני שטח המתקררים בחוזקה, ו-100 K, לפני שטח הנשמרים חמים, למשל בידי אטמוספרת אדים או סביבה חמה (§A.6).

את הטבלה קוראים במורד כל עמודה ככל שהמוצק גדל, ולרוחב כל שורה ככל שהקירור נחלש. במורד עמודה הזמנים עולים בתלילות: מטר של מוצק נוצר בתוך ימים, קילומטר בתוך אלפי שנים, חמישים קילומטרים בתוך מיליוני שנים. לרוחב שורה, כל זמן ארוך פי שנים-עשר במקרה החם, משום שהזמן להגיע לעובי נתון הפוך ביחס ל- $\Delta T$. המטר הראשון נוצר אפוא כמעט מיד, יהיו התנאים אשר יהיו; קליפה עבה — לא.

הטבלה מדגימה רגישות לתנאי השפה. היא אינה קובעת את העובי הסופי, משום שהזנה חמה, הסעה פנימית, אטמוספרה ומאגר חום סופי משנים את הפתרון: הזנה חמה המגיעה מלמטה מתיכה מחדש את בסיס המוצק, הסעה מובילה אליו חום, אטמוספרה מקטינה את $\Delta T$, וגוף בעל מאגר חום מוגבל מתקרר בסופו של דבר כולו. הקשיחות הגאותית של גוף בגודל הירח — יכולתו לעמוד בפני עיוות בידי הגאות של כדור הארץ — מסופקת על ידי הקליפה של חלק B, ולא על ידי המטר הראשון הזה.

איור 1 מציג את אותו חוק על פני כל טווח הזמנים. שני הצירים לוגריתמיים, ולכן חוק של שורש ריבועי נראה כקו ישר העולה מדרגה אחת בעובי על כל שתי מדרגות בזמן. הקו הכחול הכהה (קירור חזק) והקו האדום (פני שטח חמים) מקבילים: המקרה החם מגיע לכל עובי מאוחר יותר באותו גורם. הקו המקווקו מסמן 50 km, עובי לדוגמה, והנקודות הן ערכי הטבלה.

הקרום של הצד הרחוק של הירח בנוי, בין היתר, מן הקליפה הסיאלית העולה כפני השטח של הכיפה — השכבה החיצונית הקלה של גוף-האם, העשירה בצורן ובאלומיניום. החומר הפנימי, שהגיע אל הירח מתוך כדור הארץ דרך ההזנה, קפא עם הזמן ונשאר במרכז הירח ובחלקו הקרוב. חלק B בוחן את תרומתם היחסית ואת הגאומטריה של הכיפה. כאן נדרש רק שהגבול החיצוני יוכל להתחזק בזמן שמעבר ההזנה נשאר נייד, וההערכה מראה שהוא יכול: עור מוצק נוצר בתוך ימים, ואילו ההתך שמתחתיו, מבודד על ידו ומוזן מחדש מלמטה, נשאר נוזלי.

A.8סדר הבנייה

רכיבי חלק A פועלים יחד, וסדרם חשוב, משום שצעד שיבוא שלא במקומו היה סותר את הרישום שהגוף נושא.

בתרחיש זה, ההזנה הפנימית והתרוממות הכיפה חופפות בזמן, בעוד פליטות דרך הפתחים עדיין מתרחשות: הגוף מוזן מלמטה, הקליפה שלו עולה יחד איתו, וחומר נזרק החוצה דרך הפתחים וחוזר — הכול בבת אחת. הפליטות אינן פוסקות כל זמן שהגוף מחובר: הן הולכות ופוחתות ככל שהאגס גדל והגוף מתרחק ממרכז כדור הארץ, והן נפסקות בניתוק, כשהגוף מנותק מן הלחץ של כדור הארץ. לסגירת הקליפה החיצונית אין בכך תפקיד. הרצף כולו, מתחילת הבליטה ועד השחרור, נמשך כ-600 מיליון שנה — כ-400 מיליון לבליטה ולאגס, כ-100 מיליון לפחיסות, ועוד כ-100 מיליון עד השחרור לפני 3.873 מיליארד שנה; זהו חלון התרחיש בן 600 מיליון השנה של טבלת הסביבה, ומקרה 100 מיליון השנה נשאר מבחן רגישות. אין לזהות את הפליטות של שלב הבנייה עם געשיות מאוחרת בגוף שכבר נפרד; הן שייכות לגוף המחובר, והן תהליך שונה מן הגעשיות של ירח חופשי. ארבעת השלבים מוצגים בחלק B.

מה שיש בידינו עתה: חשבון מסה המציב כל קילוגרם במקומו, הסיבה לכך שהגוף חייב להינשא ולא להיזרק, מאזן הכוחות שההזנה חייבת לקיים, מקור מרוכז, מעבר הנשמר פתוח בזכות החום, התך מוקצף קל מספיק כדי להתרומם, ועור קפוא הנוצר במהירות מעל פנים נייד. השאלה אם הלחץ, הקצב והאנרגיה מספיקים היא נושא ההמשך הבא של חלק זה.

הסעיפים הקודמים תיארו את ההזנה במילים: מקור עמוק, מעבר שנשמר פתוח בזכות החום, וגוף שגדל בקצהו. המשך זה של חלק A שואל אם התיאור הזה עומד במבחן כשמצמידים לו מחיר. שלוש שאלות נשאלות בזו אחר זו, ולכל אחת התשובה היא מספר. הראשונה, לחץ: האם גוף-האם מחזיק במקורו לחץ מספיק כדי לדחוף התך עמוק עד רדיוס הקורוטציה (§A.9–A.10)? השנייה, קצב: אם כן, האם הדחיפה הזאת יכולה להעביר את מסת הירח דרך מעבר בזמן העומד לרשותה (§A.11)? השלישית, אנרגיה: מאין באה העבודה הנדרשת להרמת המסה (§A.12)? הסעיף האחרון (§A.13) מצרף את הלחץ, הזרימה והעומס למצב אחד, קרוב לשחרור, ומראה כיצד חייב החיבור להיראות כדי ששלושתם יתקיימו בבת אחת. התוצאה האחרונה הזאת היא הגשר אל חלקים B ו-C.

A.9מבחן לחץ מוגדר

את השאלה שסעיף זה עונה עליה קל לנסח: האם הלחץ הפנימי של גוף-האם עצמו חזק מספיק כדי להחזיק עמוד של התך שנמשך ממרכזו ועד רדיוס הקורוטציה? כדי לענות, מחושבים שני לחצים מתוך אותו שדה ומושווים זה לזה: הלחץ הזמין במקור, והלחץ שהעמוד דורש.

מהו עומד הידרוסטטי. עמוד של חומר שעומד בשדה כבידה לוחץ על בסיסו במשקלו. הלחץ הנדרש בבסיס כדי להחזיק את העמוד במקומו — כך שלא ישקע ולא יעלה — נקרא העומד ההידרוסטטי של העמוד. משאבה ששולחת מים למכל על הגג חייבת לספק לפחות את העומד של עמוד המים שבין המשאבה למכל; בפחות מזה, המים לא מגיעים. הזנת הירח היא אותה בעיה בקנה מידה פלנטרי: המקור חייב לספק לפחות את העומד של עמוד התך שנמשך מעומק גוף-האם ועד הגוף. בשדה אחיד העומד הוא פשוט צפיפות כפול תאוצת הכובד כפול גובה; כאן תאוצת הכובד משתנה לאורך העמוד, והסיבוב פועל נגדה, ולכן העומד מחושב כצפיפות כפול השינוי בפוטנציאל האפקטיבי לאורך המסלול (משוואה 5 של §A.3, לאחר אינטגרציה).

אנו בוחרים חתך ייחוס של גוף-האם לפני חלוקת המסה: $M_0$, $R_V$, $T_0$ מן הטבלה. כלומר, גוף-האם כולו כשחומר הירח עדיין בתוכו ($M_0=6.0455\times10^{24}$ kg), הרדיוס הנפחי שאומץ עבורו (6,517 km) והיממה ההתחלתית שלו, 5.5 שעות. לצורך מבחן אנליטי בלבד, אנו משתמשים בשדה של כדור הומוגני ובחתך משווני מסתובב. זהו קירוב כדורי עם תיקון צנטריפוגלי, ולא פתרון שיווי משקל מדויק של ספרואיד Maclaurin. הבחירה שומרת על חשבון שקוף: כל איבר ניתן לכתיבה בצורה סגורה ולבדיקה ביד, והצורה הפחוסה האמיתית משנה את המספרים במידה מתונה בלבד.

נסמן $R=R_V$, $\rho_p=3M_0/(4\pi R^3)$; $\rho_p$ היא הצפיפות הממוצעת של גוף-האם, מסתו חלקי נפחו. השדה הפנימי הוא $g(r)=GM_0r/R^3$, והשדה החיצוני $GM_0/r^2$. בתוך כדור אחיד, הכבידה גדלה ביחס ישר למרחק מהמרכז — אפס במרכז, ערך מלא בפני השטח — משום שרק המסה שמתחת לעומק נתון מושכת; מחוץ לכדור היא דועכת כהופכי של ריבוע המרחק. נקודת הקצה של מבחן העמוד היא:

$$r_*=\left(\frac{GM_0}{\omega_0^2}\right)^{1/3} =15{,}882.9\ \mathrm{km}. \tag{8}$$

משוואה (8) היא רדיוס הקורוטציה של מאמר 2 (§A.5), כשמסת גוף-האם כולו מוצבת בה: המרחק שבו הכבידה מאוזנת בדיוק בידי האפקט הצנטריפוגלי של הסיבוב. זהו הקצה הטבעי של העמוד. מתחת ל- $r_*$ המשיכה נטו מופנית פנימה, וכל קילומטר של עמוד מוסיף משקל שהמקור חייב להחזיק; ב- $r_*$ המשיכה נטו היא אפס, ולכן חומר שנמצא שם אינו שוקל דבר במערכת המסתובבת, ומעבר לו המשיכה נטו מופנית החוצה. לכן את העומד צריך לשלם רק עד $r_*$.

זוהי נקודת ייחוס בשדה המלא של גוף-האם ההתחלתי; היא אינה מרחק השחרור של שני גופים בסוף ההעברה. ההבדל בינה לבין ערך הייחוס של 15,818 km נובע מהמסה שבמשוואה: 15,818 km מחושב עם מסת כדור הארץ הסופית $M_E$, ו-15,882.9 km עם מסת גוף-האם המלאה $M_0$, שגדולה ממנה במסת הירח, ומסה גדולה יותר מציבה את נקודת האיזון מעט רחוק יותר.

מאין בא לחץ המקור. המקור העמוק אינו מנוע נפרד. הוא פנים גוף-האם עצמו, הנלחץ תחת משקל כל מה שמעליו. במרכז גוף-האם לוחץ כל משקל החומר שמעליו; הסיבוב מקל מעט על המשקל הזה בקו המשווה, משום שהאפקט הצנטריפוגלי פועל שם נגד הכבידה. כשנפתח נתיב מהפנים העמוק לכיוון פני השטח, הלחץ הזה — משקל פחות סיבוב — הוא שדוחף את ההתך לאורכו. לחץ המקור במרכז, ביחס ללחץ בפני השטח המשווניים, הוא:

$$p_s=\frac{\rho_p}{2} \left(\frac{GM_0}{R}-\omega_0^2R^2\right) =150.26\ \mathrm{GPa}. \tag{9}$$

במילים: האיבר הראשון בסוגריים, $GM_0/R$, הוא החלק הכבידתי; המקדם $\tfrac{1}{2}$ מופיע משום שהכבידה בתוך כדור אחיד עולה בהדרגה מאפס במרכז ועד ערכה המלא בפני השטח, כך שלאורך הרדיוס היא פועלת בממוצע במחצית עוצמתה. האיבר השני, $\omega_0^2R^2$, הוא ההקלה שהסיבוב נותן לאורך הרדיוס המשווני. כשמכפילים את הסוגריים בצפיפות הממוצעת של גוף-האם, מתקבל לחץ: 150.26 GPa. זה הלחץ שגוף-האם, בכוח מסתו וסיבובו, מחזיק במקורו.

בעמוד בעל צפיפות עמוקה קבועה $\rho_d$ וצפיפות חיצונית $\rho_o$, העומד הנדרש הוא:

$$p_{\mathrm{head}}=\rho_d I_d+\rho_o I_o, \tag{10}$$

העמוד מחולק לשני מקטעים, משום שהחומר בהם שונה. המקטע העמוק נמשך מהמרכז עד פני השטח של גוף-האם, והוא מלא בהתך עמוק בצפיפות $\rho_d$. המקטע החיצוני נמשך מפני השטח ועד $r_*$, מעל גוף-האם, והוא מלא בחומר החיצוני הקל יותר, בצפיפות $\rho_o$. כל מקטע תורם צפיפות כפול אינטגרל $I$, ו- $I$ הוא השינוי בפוטנציאל האפקטיבי (כבידתי פחות צנטריפוגלי) לאורך המקטע — האנרגיה הנדרשת כדי להרים קילוגרם אחד לאורכו, בג׳אול לקילוגרם, שזה אותו דבר כמו $\mathrm{m^2\,s^{-2}}$. צפיפות (קילוגרם למטר מעוקב) כפול אנרגיה לקילוגרם נותנת אנרגיה למטר מעוקב, וזהו לחץ.

$$I_d=\frac{1}{2}\left(\frac{GM_0}{R}-\omega_0^2R^2\right) =2.88173\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}, \tag{11}$$

משוואה (11) היא מדרגת הפוטנציאל בתוך גוף-האם, מהמרכז ועד פני השטח המשווניים. אלה אותם סוגריים כמו במשוואה (9); ההבדל היחיד הוא הצפיפות שמכפילה אותם. הזהות הזאת היא לב המבחן: לחץ המקור הוא העומד של עמוד בצפיפות הממוצעת של גוף-האם עצמו, והעומד הנדרש הוא אותו עמוד כשהוא מלא בהתך. עמוד התך צפוף כמו גוף-האם היה מאוזן בדיוק, ולא היה עולה מעבר לפני השטח. רק התך קל מגוף-האם מרוויח עודף, והעודף הזה צריך אז לשלם את המקטע החיצוני.

$$I_o=GM_0\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_*}\right) -\frac{\omega_0^2}{2}\left(r_*^2-R^2\right) =2.59450\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}. \tag{12}$$

משוואה (12) היא מדרגת הפוטנציאל מחוץ לגוף-האם, מפני השטח ועד $r_*$: האיבר הראשון הוא העבודה כנגד הכבידה החיצונית, השני — העזרה שהסיבוב נותן לאורך אותו מרחק. אף שמקטע זה ארוך יותר מפי שניים מן המקטע העמוק, ערכו קטן מעט, משום שהכבידה נחלשת עם המרחק ועזרת הסיבוב גדלה. שני האינטגרלים יחד קובעים את העומד לכל זוג צפיפויות; הסעיף הבא מחשב אותו.

העמוד משמש מבחן לחץ בשדה נתון; מסתו והשפעתו על צורת הגוף אינן נפתרות כאן. לכן אין להרחיב את המבחן באופן אוטומטי להעברת מסת הירח כולה. הוא עונה על שאלה אחת — האם המקור יכול להחזיק קו של התך המגיע לרדיוס הקורוטציה — ומשאיר את משקלו של חיבור ממשי וסופי ל-§A.13.

A.10סף צפיפות ורגישות

העומד תלוי במה שממלא את העמוד, ולחץ המקור אינו תלוי בכך. השאלה היא אפוא אילו צפיפויות עמוקות המקור יכול לשאת, והיכן עובר הגבול.

בהנחה ש- $\rho_o=1{,}500\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$, מתקבל:

כיצד לקרוא את הטבלה. כל שורה ממלאת את המקטע העמוק בהתך בצפיפות אחרת; המקטע החיצוני נשאר ב-1,500 kg/m³. העמודה האמצעית היא העומד שהעמוד הזה דורש, לפי משוואה (10). העמודה האחרונה, היתרה, היא לחץ המקור של 150.26 GPa פחות העומד הזה: מה שנשאר מהדחיפה אחרי שהעמוד הוחזק. יתרה חיובית פירושה שהדחיפה מספיקה — העמוד מוחזק, ונשאר לחץ כדי לשאת את הגוף בקצהו ולהניע את הזרימה. יתרה שלילית פירושה שהדחיפה אינה מספיקה: העמוד כבד מדי, וההתך אינו מגיע לרדיוס הקורוטציה. בקריאה כלפי מטה, העומד עולה באותה מדרגה לכל 500 kg/m³, והיתרה יורדת באותה מדרגה; הסימן מתהפך בין 3,500 ל-4,000 kg/m³. ב-3,500 kg/m³, ערך הייחוס שמשמש בהמשך חלק A, נותרים 10.49 GPa.

תנאי הזרימה הוא:

$$p_s-p_{\mathrm{head}}-p_{\mathrm{load}}-\Delta p_{\mathrm{loss}}>0, \tag{13}$$

משוואה (13) מנסחת את המאזן המלא. לחץ המקור צריך לשלם שלושה חשבונות: את העומד של העמוד, $p_{\mathrm{head}}$; את העומס בקצה העמוד, $p_{\mathrm{load}}$, שהוא הגוף עצמו הלוחץ בחזרה על המעבר; ואת ההפסדים לחיכוך בזמן שההתך זורם, $\Delta p_{\mathrm{loss}}$. ההתך נע החוצה רק כל עוד נשאר משהו אחרי ששלושתם שולמו. הטבלה שלמעלה מציגה רק את החשבון הראשון, ולכן העמודה האחרונה שלה נקראת היתרה לפני עומס הקצה וההפסדים.

ולכן סף הצפיפות הוא:

$$\rho_{d,\max}= \frac{p_s-\rho_o I_o-p_{\mathrm{load}}-\Delta p_{\mathrm{loss}}}{I_d}. \tag{14}$$

משוואה (14) היא משוואה (13) כשהיא פתורה עבור הצפיפות העמוקה: ההתך העמוק הכבד ביותר שהמקור עוד יכול לדחוף, אחרי ששולמו המקטע החיצוני, עומס הקצה וההפסדים. הסיבה לקיומו של סף נובעת מ-§A.9. לחץ המקור נקבע לפי הצפיפות הממוצעת של גוף-האם, אבל העומד של המקטע העמוק גדל עם צפיפות ההתך שבו; בנקודה כלשהי השניים נפגשים. המצב דומה לשני צינורות מחוברים, אחד מלא מים ואחד מלא שמן: עמוד השמן עומד גבוה יותר מעמוד המים, משום שהוא קל יותר. גם ההתך העמוק עולה מעל פני השטח של גוף-האם רק משום שהוא קל מגוף-האם שסביבו, וככל שהוא קל יותר, כך הוא יכול לעמוד גבוה יותר.

בהזנחת העומס וההפסדים, $\rho_{d,\max}\simeq3{,}864\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$. כל ג׳יגה-פסקל נוסף של עומס או הפסד מוריד את הסף בכ-34.7 kg/m³: ג׳יגה-פסקל אחד חלקי $I_d$, משום שכל ג׳יגה-פסקל שמוצא במקום אחר הוא ג׳יגה-פסקל שהמקטע העמוק אינו יכול עוד להשתמש בו. הסף רגיש גם לצפיפות המקטע החיצוני: $d\rho_{d,\max}/d\rho_o=-I_o/I_d\simeq-0.900$. במילים, כל קילוגרם למטר מעוקב שנוסף למקטע החיצוני מוריד 0.900 kg/m³ מהסף העמוק, משום ששני האינטגרלים כמעט שווים ושני המקטעים חולקים מקור אחד.

מבחן הלחץ עובר עבור התך עמוק קל מ-3,864 kg/m³ ונכשל מעל ערך זה. זוהי הדרישה הראשונה שהמנגנון מציב לחומר העמוק, והיא החדה ביותר: התך עשיר בנדיפים עומד בה, התך יבש אינו עומד בה. הסיבה היא שנדיפים מומסים — מים ורכיבים קלים אחרים — מורידים את צפיפותו של התך סיליקטי (§A.6), והמרווח בין מעבר לכישלון נמצא בתוך הטווח שהם יכולים לספק. צפיפות של קצף סמוך לפני השטח אינה ראיה לצפיפות דומה בעומק: בועות נוצרות רק במקום שבו הלחץ נמוך מספיק כדי שהנדיפים ייצאו מהתמיסה, ולכן ליד פני השטח התך יכול להיות קל בהרבה מאותו התך בעומק. במודל בעל צפיפות משתנה יש להחליף את שני האיברים באינטגרל על $\rho[p(s),T(s),X(s)]$ — הצפיפות כפונקציה של הלחץ, הטמפרטורה וההרכב לאורך המסלול $s$ — ויש לחשב מחדש גם את לחץ המקור ואת שדה הכבידה. המבחן בצפיפות קבועה הוא הצעד הראשון בחישוב הזה, והסף שלו הוא המספר שמולו יש לבדוק את משוואת המצב של ההתך העמוק (§D.1).

איור 2 משרטט את הטבלה כשני קווים. הקו האדום השטוח הוא מה שהמקור מספק; הוא אינו תלוי בהתך. הקו הכחול-כהה העולה הוא מה שהעמוד עולה; הוא מטפס עם הצפיפות העמוקה. משמאל לנקודת החיתוך שלהם המקור מנצח, והפער האנכי בין הקווים הוא היתרה — 10.49 GPa ב-3,500 kg/m³, המסומנת בחץ. מימין לנקודת החיתוך העמוד מנצח וההזנה נעצרת. נקודת החיתוך, 3,864 kg/m³, היא הסף.

מה שיש בידינו עתה: גוף-האם מחזיק 150.26 GPa במקורו, וזה מספיק כדי להחזיק עמוד התך עד רדיוס הקורוטציה, בתנאי שההתך העמוק קל מכ-3,864 kg/m³. אבל להחזיק את העמוד עדיין אינו להעביר מסה לאורכו; הסעיף הבא שואל באיזו מהירות המסה צריכה לנוע.

A.11באיזה קצב צריכה ההזנה לפעול?

עודף לחץ פירושו שההתך יכול לזרום; הוא אינו אומר כמה. השאלה כאן היא כמה מסה ההזנה צריכה לספק בכל שנייה כדי לבנות את הירח בזמן העומד לרשותה, ומה זה דורש מהמעבר.

אם חלק $f_{\mathrm{int}}$ ממסת היעד מגיע בדרך הפנימית לאורך $\mathcal T$, הקצב הממוצע הוא:

$$\overline{\dot M}_{\mathrm{int}}=\frac{f_{\mathrm{int}}m}{\mathcal T}. \tag{15}$$

משוואה (15) היא החשבון הפשוט ביותר האפשרי: המסה שההזנה מספקת, $f_{\mathrm{int}}m$ (החלק הפנימי של מסת הירח $m$; השאר מגיע מהקליפה העולה, חלק B), חלקי הזמן $\mathcal T$ שבמהלכו היא מגיעה.

עבור $f_{\mathrm{int}}=1$, מתקבל כ- $2.33\times10^7\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ לאורך 100 מיליון שנה, וכ- $3.88\times10^6\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ לאורך 600 מיליון שנה. שני חלונות הזמן הם אלה של טבלת הסביבה: 600 מיליון שנה הם חלון התרחיש, ו-100 מיליון שנה הם מקרה הרגישות. עבור חלק פנימי קטן יותר, הקצב הממוצע יורד ביחס ישר. הקצבים האלה מתארים את הצטברות המסה הממוצעת נטו בגוף; כל אובדן של חומר שסופק מחייב קצב הזנה ברוטו גדול יותר. הזנה לסירוגין מחייבת קצב גדול יותר בזמן הפעילות: אם ההזנה פועלת רק בחלק מהזמן, היא צריכה לפעול מהר יותר בזמן שהיא פועלת כדי לספק את אותה כמות כוללת.

לצורך מבחן רגישות, ניתן לייצג מקטע תחום גאומטרית כזרימה ניוטונית למינרית במעבר גלילי ברדיוס $b$, באורך $\ell$ ובתנאי אי-החלקה:

$$Q=\frac{\pi b^4\Delta p}{8\eta\ell}, \qquad \eta_{\max}=\frac{\pi b^4\Delta p\,\rho_d\mathcal T} {8\ell f_{\mathrm{int}}m}. \tag{16}$$

כל אחד מהמונחים צריך מילת הסבר. זרימה למינרית נעה בשכבות חלקות, ללא מערבולות; ניוטונית פירושה שההתנגדות של הנוזל מתוארת במספר אחד, הצמיגות שלו $\eta$ — ההתנגדות של החומר לזרימה, נמוכה במים, גבוהה מאוד בזכוכית קרה או במעטפת המוצקה הזוחלת לאורך זמן גאולוגי; אי-החלקה פירושה שהנוזל שליד דופן המעבר אינו זז, ולכן הזרימה מהירה ביותר לאורך הציר ואיטית ביותר ליד הדופן. החלק הראשון של משוואה (16) נותן את נפח ההתך $Q$ שעובר בכל שנייה דרך מעבר ברדיוס $b$ ובאורך $\ell$ כשהפרש לחצים $\Delta p$ מניע אותו. החלק השני הופך את השאלה: זהו החלק הראשון כשהוא פתור עבור הצמיגות, כאשר $Q$ נקבע לקצב הנפח שהבנייה דורשת (קצב המסה של משוואה 15 חלקי צפיפות ההתך). התוצאה, $\eta_{\max}$, היא הצמיגות הגבוהה ביותר שהחומר במעבר יכול להיות בה ועדיין לספק את מסת הירח בזמן. כל חומר שצמיגותו נמוכה מ- $\eta_{\max}$ עובר; כל חומר קשיח יותר נכשל.

זהו פתרון Poiseuille [1], המשמש כאן כאומדן למקטע תחום; אי אפשר להניח שתנאי השפה שלו בדופן חל לאורך כל החלק החיצוני הבלתי-תחום.

עבור $\ell=10^7\ \mathrm m$, $\rho_d=3{,}500$, $\Delta p=10\ \mathrm{GPa}$ ו- $f_{\mathrm{int}}=1$:

הקלטים הם מעבר באורך 10,000 km ($10^7$ m, בסדר גודל המרחק מהמקור העמוק עד הגוף), צפיפות הייחוס של ההתך, 3,500 kg/m³, ועודף מניע של 10 GPa — קרוב ליתרה של 10.49 GPa מ-§A.10 — כשהירח כולו מסופק בידי ההזנה.

כיצד לקרוא את הטבלה. כל תא הוא החומר הקשיח ביותר שעדיין היה בונה את הירח דרך מעבר ברדיוס הנתון בזמן הנתון. בקריאה לאורך עמודה, התקרה עולה בתלילות עם הרדיוס: מעבר רחב סובל חומר קשיח בהרבה ממעבר צר. בקריאה לאורך שורה, התקרה גבוהה פי שישה ל-600 מיליון שנה מאשר ל-100 מיליון, משום שזמן ארוך יותר מחייב זרימה איטית יותר. לשם השוואה, טבלת הסביבה קובעת את הקליפה הקשיחה והקרה ב- $\gtrsim10^{23}$ Pa·s; רק המעבר הרחב ביותר בחלון הארוך ביותר מתקרב לערך הזה.

הרגישות החזקה היא $b^4$: הקטנת הרדיוס פי שניים מקטינה את הקצב פי שישה-עשר באותו עודף לחץ ובאותה צמיגות. הסיבה היא שמעבר רחב יותר מרוויח פעמיים: יש לו חתך גדול יותר, ומרכזו רחוק יותר מהדפנות שמעכבות את הזרימה. בין 100 ל-500 km הרדיוס גדל פי חמישה והתקרה גדלה פי $5^4$, וזו המדרגה שבין שתי השורות הראשונות. ערכי הצמיגות בטבלה הם תקרות מתמטיות של האומדן, ולא תכונות שנמדדו במאגמה. עודף של 10 GPa הוא פרמטר בדיקה; אם נשיאת הגוף צורכת את הלחץ שנותר, הלחץ הזה אינו זמין להנעת הזרימה. חלון זמן ארוך עשוי להקל על דרישת הקצב, אבל מחייב שהמעבר יישאר נייד ויציב לאורך כל הזמן הזה.

מה שיש בידינו עתה: עם עודף בגודל שמבחן הלחץ משאיר, מעבר של כמה מאות קילומטרים ומעלה יכול לשאת את מסת הירח בחלון התרחיש, בתנאי שהוא נשאר חם ונייד. רוחב המעבר חשוב הרבה יותר מכל קלט אחר; §A.13 חוזר אליו.

A.12 אנרגיה: מהו מקור העבודה?

הלחץ והקצב עוסקים באופן שבו המסה נעה; האנרגיה עוסקת במה שמשלם על הזזתה. הרמת מסת הירח מפני השטח של כדור הארץ עד רדיוס הקורוטציה היא עבודה שנעשית נגד הכבידה, והמודל חייב לומר מאין העבודה הזאת באה.

בדיקת סדר גודל של העבודה הכבידתית עבור מסת היעד המלאה, בשדה ארצי קבוע, מ-8,991 km ועד השחרור ב-16,400 km, נותנת:

$$W_g=GM_Em\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}\right) \simeq1.47\times10^{30}\ \mathrm J. \tag{17}$$

משוואה (17) היא העבודה הסטנדרטית הדרושה כדי להזיז מסה $m$ החוצה בכבידה של מסה $M_E$, ממרחק $r_0$ עד מרחק $r_1$ ממרכזה. כאן $r_0=8{,}991$ km הוא המרחק בין המרכזים כאשר גוף בעל מסת הירח המלאה נוגע בפני השטח של גוף-האם (§A.2), ו- $r_1=16{,}400$ km הוא מרחק השחרור על המשווה. "שדה ארצי קבוע" פירושו שמסת כדור הארץ מוחזקת קבועה והגוף מטופל כנקודה.

האומדן מתייחס להזזת מסה נתונה בין שני מרחקים; הוא אינו חשבון העבודה המלא של גוף הגדל מתוך המקור העמוק. החשבון המלא חייב לכלול את השינוי באנרגיה הכבידתית של המערכת כולה, את אנרגיית הסיבוב, את האנרגיה הפנימית, את ההפסדים ואת האנרגיה הנישאת בחומר העוזב.

אי אפשר למנות באופן אוטומטי את אנרגיית הקשר הכוללת של כדור הארץ כאנרגיה זמינה. אנרגיית הקשר היא האנרגיה שהייתה נדרשת כדי לפרק את כדור הארץ כולו כנגד הכבידה שלו עצמו; היא גדולה, אבל היא אינה אגורה בצורה שאפשר להוציא. אנרגיה נעשית זמינה רק כאשר הגוף משתנה למצב קשור יותר. נדרשת התפתחות פיזיקלית המשחררת אנרגיה: למשל, ארגון של הצפיפות, התכווצות או ירידה באנרגיה הפנימית, יחד עם חילופי אנרגיית סיבוב. העבודה היא בסדר גודל של $10^{30}$ J, פחות מאחוז אחד מאנרגיית הקשר של גוף-האם; ההתפתחות המשחררת אותה — ברזל יורד ופנים מתכווץ ומתקרר — היא אותה התפתחות שמניעה את העלייה המגמטית. כאשר ברזל שוקע לעבר המרכז, מסת גוף-האם מתקרבת ומתכנסת ואנרגיה כבידתית משתחררת; הרמת הירח צריכה רק חלק קטן ממנה. חשבון האנרגיה המלא של ההתפתחות הזאת הוא דרישה המפורטת ב-§D.1.

A.13 מבחן משולב באותו מצב: לחץ, זרימה ועומס

סעיפים A.9 עד A.11 בחנו את הלחץ ואת הזרימה בנפרד, ועל גוף-האם ההתחלתי. חיבור ממשי פוגש את כולם בבת אחת, ובמצב מאוחר יותר: כדור ארץ קטן יותר (מסת הירח עזבה אותו), יממה איטית יותר, גוף רחוק מהמשווה, ומשקל הגוף הלוחץ על קצה המעבר. השאלה כאן היא אם מעבר אחד יכול לעבור את כל המבחנים במצב אחד ויחיד — ואם אינו יכול לעבור אותם כצינור דק, איזו צורה חייבת להיות לו.

כדי לבחון את שלושת הגדלים יחד, אנו בוחרים את המצב האחרון של הטיפוס, בקו הרוחב של השחרור בחלק C: מסת כדור הארץ $M_E$, מסת הגוף $m$, יממה של 5.77 שעות, קו רוחב 22.5°, ומרכז הגוף רדיוס גוף אחד פנימה מקו הקורוטציה, $r=15{,}397\ \mathrm{km}$ — צדו הרחוק נוגע בקו (בשחרור, על הקו עצמו, העומס הרדיאלי נעלם ונשאר רק העומס הצדדי, §C.2). קו הקורוטציה ב-22.5° נמצא ב-17,287 km (מאמר 4); לגוף ברדיוס 1,889.77 km שצדו הרחוק נוגע בו, מרכזו נמצא ב-15,397 km. זהו המצב האחרון של הטיפוס לפני השחרור: הגוף נמצא במרחקו הרב ביותר לפני שמרכזו מגיע לקו, ומשקלו על המעבר עדיין לא ירד לאפס. לצורך חתך לחץ אנליטי בלבד, נשמרים רדיוס נפחי ארצי של 6,517 km וקירוב של צפיפות הומוגנית. אלה קירובי חתך, ולא צורת שיווי המשקל המלאה של הגוף המחובר.

נגדיר ציר $u$ ממרכז כדור הארץ לעבר הגוף. הרדיוס השקול של הגוף בצפיפות 2,600 הוא 1,889.77 km, ולכן הקצה הקרוב של מעבר ההזנה נמצא ב- $u_t=r-R_b=13{,}507.23\ \mathrm{km}$. העמוד נמשך אפוא ממרכז כדור הארץ ($u=0$) עד הצד הקרוב של הגוף ($u=u_t$); שם הגוף יושב עליו. הפוטנציאל לאורך הציר כולל את משיכת הגוף ואת התאוצה של ראשית מערכת הייחוס הארצית:

$$\Phi(u)=\Phi_E(u)-\frac{Gm}{r-u} +\frac{Gm}{r^2}u-\frac{1}{2}\omega^2u^2\cos^2\lambda. \tag{25}$$

משוואה (25) מונה כל השפעה שמושכת חלק של העמוד במרחק $u$, כתובה כאנרגיה פוטנציאלית לקילוגרם. האיבר הראשון, $\Phi_E$, הוא הכבידה של כדור הארץ. השני הוא הכבידה של הגוף עצמו, שמושכת את העמוד לעבר הגוף וכך עוזרת להזנה סמוך לקצהה העליון. האיבר השלישי מתקן את העובדה שכדור הארץ עצמו אינו במנוחה: הגוף מושך את מרכז כדור הארץ לעברו, ולכן מערכת ייחוס הקבועה במרכז כדור הארץ מאיצה, וכל מה שבתוכה מרגיש משיכה מדומה אחידה בכיוון ההפוך. האיבר הרביעי הוא האפקט הצנטריפוגלי של הסיבוב; בקו רוחב $\lambda$ נקודה במרחק $u$ נמצאת רק $u\cos\lambda$ מציר הסיבוב, ולכן מופיע $\cos^2\lambda$.

עבור הכדור הארצי ההומוגני:

$$\Phi_E(u)= \begin{cases} -\dfrac{GM_E}{2R}\left(3-\dfrac{u^2}{R^2}\right),&u\le R,\\ -\dfrac{GM_E}{u},&u\ge R. \end{cases} \tag{26}$$

משוואה (26) היא הפוטנציאל של כדור אחיד: בפנים הוא מעמיק לעבר המרכז כפרבולה, בהתאם לכבידה הגדלה ביחס ישר למרחק מהמרכז כמו ב-§A.9; בחוץ זוהי הצורה המוכרת של מסה נקודתית.

האיבר הליניארי במשוואה (25) מבטל את התאוצה האחידה של מרכז כדור הארץ בשל הגוף. מתקבל $I_d=\Phi(R)-\Phi(0)=2.88219\times10^7$ ו- $I_o=\Phi(u_t)-\Phi(R)=2.42862\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}$. אלה אותן שתי מדרגות פוטנציאל כמו במשוואות (11) ו-(12), המחושבות כעת במצב המאוחר: המדרגה העמוקה כמעט אינה משתנה, והמדרגה החיצונית קטנה במקצת, בעיקר משום שהעמוד מסתיים בצד הקרוב של הגוף ולא ברדיוס הקורוטציה, ומשיכת הגוף עצמו עוזרת. לחץ המקור לאורך החתך הוא $p_s=\rho_p I_d=148.46\ \mathrm{GPa}$, כאשר כאן $\rho_p=5{,}150.96\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$, לפי מסת כדור הארץ לאחר חלוקת המסה. כמו ב-§A.9, לחץ המקור הוא העומד של עמוד בצפיפות הממוצעת של גוף-האם עצמו, כעת זו של כדור הארץ ללא הירח.

למבחן ההתנגדות אנו בוחרים מעבר גלילי ברדיוס $b$, צפיפות עמוקה 3,500, צפיפות חיצונית 1,500 kg/m³ וצמיגות אחידה מאומצת $\eta=10^{19}\ \mathrm{Pa\,s}$. קצב המסה הוא הממוצע הייחוסי ל-600 מיליון שנה, $\dot M=3.882\times10^6\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$; זהו מבחן מצב, ולא הוכחה שהמצב נמשך 600 מיליון שנה. החלת אומדן הזרימה התחומה על שני המקטעים נותנת:

$$\Delta p_{\mathrm{visc}}=\frac{8\eta\dot M}{\pi b^4} \left(\frac{R}{\rho_d}+\frac{u_t-R}{\rho_o}\right). \tag{27}$$

משוואה (27) היא יחס Poiseuille של משוואה (16) המוחל על שני המקטעים בזה אחר זה ומסוכם: הלחץ המוצא על חיכוך כדי לדחוף את קצב המסה $\dot M$ דרך מקטע עמוק באורך $R$ המלא בהתך בצפיפות $\rho_d$, ודרך מקטע חיצוני באורך $u_t-R$ המלא בחומר בצפיפות $\rho_o$. חלוקת קצב המסה בצפיפות הופכת אותו לקצב נפח; החומר החיצוני הקל צריך לזרום מהר יותר עבור אותו קצב מסה, ולכן הוא עולה יותר לכל קילומטר.

העומס הרדיאלי בקצה נכתב כמאמץ ממוצע $p_r=m_r a_r/(\pi b^2)$, והרכיב הצדדי כ- $\tau_\lambda=m_r a_\lambda/(\pi b^2)$. כאן $m_r a_r$ הוא הכוח שבו הגוף לוחץ לאורך הציר על קצה המעבר — משקלו במערכת המסתובבת, המשיכה הכבידתית פנימה פחות החלק הצנטריפוגלי החוצה לאורך הציר — ו- $m_r a_\lambda$ הוא הכוח הצדדי. הכוח הצדדי קיים משום שהגוף אינו על המשווה: האפקט הצנטריפוגלי מכוון הרחק מציר הסיבוב, ולא לאורך הקו ממרכז כדור הארץ, ובקו רוחב 22.5° חלק ממנו דוחף את הגוף הצידה, לעבר מישור המשווה. חלוקת כל כוח בחתך המעבר, $\pi b^2$, הופכת אותו למאמץ שקצה המעבר חייב לשאת. הביטויים האלה סוגרים את המודל הממוצע על חתך הניצב לציר; הם אינם פותרים את פיזור הלחץ לרוחב חיבור סופי. יתרת הלחץ הרדיאלית היא:

$$\Delta p_{\mathrm{rem}}=p_s-\rho_d I_d-\rho_o I_o-p_r-\Delta p_{\mathrm{visc}}. \tag{28}$$

משוואה (28) היא המאזן המלא של משוואה (13), כעת כשכל חשבון מתומחר במצב אחד: לחץ המקור, פחות העומד של שני המקטעים, פחות משקל הגוף על הקצה, פחות חיכוך הזרימה. כמו ב-§A.10, יתרה חיובית פירושה שהדחיפה מספיקה.

כיצד לקרוא את הטבלה. כל שורה היא מעבר ברדיוס אחר באותו מצב. לפני שמשולמים העומס והחיכוך, המקור והעומד משאירים כ-11 GPa: 148.46 GPa פחות העומד של שני המקטעים (בכל שורה, היתרה ועוד העומס הרדיאלי והפסד הזרימה). הטבלה מראה אחר כך מה החשבונות הנותרים לוקחים ממנה. העומס הרדיאלי הוא משקל הגוף המתפזר על חתך המעבר; הוא יורד כ- $1/b^2$, מ-46.18 GPa ב-500 km ל-5.131 GPa ב-1,500 km, משום שאותו משקל נח על שטח גדול יותר. הפסד הזרימה זעיר בכל שורה — לכל היותר כמאית ג׳יגה-פסקל — ולכן החיכוך אינו הגבול במצב הזה. היתרה הרדיאלית היא מה שנשאר; היא שלילית בחדות למעבר של 500 km, מעט מתחת לאפס ב-1,000 km, וחיובית ב-1,500 km. המאמץ הצדדי הוא הדחיפה הצדדית שקצה המעבר חייב לעמוד בה; הוא גדול כמעט כמו העומס הרדיאלי בכל שורה, משום שב-22.5° וקרוב כל כך לקו, החלקים הצדדי והרדיאלי של המשקל האפקטיבי של הגוף דומים בגודלם. העמודה האחרונה היא מסת החומר העומד במקטע החיצוני של המעבר עצמו, ביחידות של מסת הירח; היא גדלה כ- $b^2$, מכעשירית ירח ב-500 km לירח שלם ב-1,500 km.

מסת המקטע החיצוני מוערכת באותה גאומטריה:

$$M_{\mathrm{bridge,out}}=\pi b^2\rho_o(u_t-R). \tag{29}$$

משוואה (29) היא הנפח של גליל ברדיוס $b$ ובאורך $u_t-R$, החלק של המעבר העומד מעל פני השטח של כדור הארץ, כפול צפיפות החומר הממלא אותו.

תוצאת המבחן: עם הקלטים האלה, מאזן הלחץ הרדיאלי עובר מרדיוס של כ-1,017 km. אבל כבר בסף הזה מסת המקטע החיצוני היא כ-0.46 ממסת הירח. ההנחה של חיבור בעל מסה זניחה אינה עקבית אפוא בתחום שעובר את המבחן הרדיאלי. יש לשייך את המסה הזו מחדש בין המאגרים שבמשוואה (1), ולכלול את שדה הכבידה שלה ואת התנע שלה; אין להוסיף אותה לשתי המסות הנתונות בלי לשנות את המצב. במילים פשוטות: צינור דק נכשל משום שמשקל הגוף, המרוכז על קצה קטן, מוחץ את היתרה אל מתחת לאפס; צינור רחב מספיק כדי לפזר את המשקל הזה רחב כל כך שהוא עצמו מכיל כמעט חצי ירח של חומר. החיבור אינו יכול להיות גם צר וגם חסר מסה.

בנוסף, נוזל סטטי המעביר לחץ רק דרך החתך הרדיאלי אינו מספק את המאמץ הצדדי. נוזל במנוחה יכול לדחוף אבל אינו יכול להחזיק כוח צדדי — זה מה שעושה אותו לנוזל. עמוד התך יכול לשאת את משקל הגוף לאורך הציר, אבל אינו יכול בעצמו למנוע מהגוף להידחף לעבר המשווה. פתרון אפשרי יצטרך להגדיר צורת חיבור, מאמצים צמיגים או חוזק של חומר נושא עומס, ותנע המועבר בזרימה. החימום מקל על המעבר; העומס הצדדי נישא על ידי צורת החיבור, שהיא הבסיס הרחב של הכיפה של חלק B.

הרגישות לצפיפות נשארת מכרעת: כשמעלים את הצפיפות החיצונית ל-2,000 kg/m³, היתרה ברדיוס של 1,000 km נעשית כ- $-12.5\ \mathrm{GPa}$, כששאר הקלטים אינם משתנים. עלייה מתונה בצפיפות המקטע החיצוני מזיזה אפוא את רדיוס הסף הרבה מעבר ל-1,000 km, מאותה סיבה כמו ב-§A.10: כל קילוגרם למטר מעוקב בעמוד עולה עומד. קיצור זמן ההזנה ל-100 מיליון שנה מכפיל את הפסד הזרימה פי שישה באומדן, אבל אינו מסיר את דרישת המאמץ הצדדי או את מסת החיבור. גם פי שישה, הפסד הזרימה נשאר הרבה מתחת לג׳יגה-פסקל בכל שלוש השורות, ולכן המסקנה אינה תלויה בחלון הזמן.

זהו גבול כמותי של הקירוב הגלילי: מעבר מבחן הלחץ עדיין אינו מעבר מבחן הבנייה המלא. התוצאה אומרת למודל כיצד החיבור שלו חייב להיראות: רחב מספיק כדי לעבור את המאזן הרדיאלי (מעל כ-1,000 km), ולכן מסיבי מספיק כך שמסתו שלו והמאמצים הצדדיים שלו נכנסים לחשבון. החיבור הזה הוא בסיס הכיפה של חלק B — מגע ברוחב 3,000 km, מחצית הבסיס של 6,000 km ברוחבו ורבע ממנו בשטחו — וחלק C מראה כיצד הגוף מתחיל להיפרד בקו הקורוטציה ומשתחרר מעט מעבר לו. למגע ברוחב 3,000 km יש רדיוס של 1,500 km, השורה האחרונה בטבלה, שבה היתרה הרדיאלית חיובית; העומס הצדדי שלו נישא לא בלחץ נוזל אלא בצורתו, בסיס רחב וחם העומד על אגס רחב יותר.

איור 3 מציג את שני הגדלים שמכריעים את המבחן ככל שהמעבר מתרחב. העקומה הכחולה-כהה, היתרה הרדיאלית, עולה מעומק רב מתחת לאפס וחוצה אותו בכ-1,017 km; מימין לקו המקווקו המאזן הרדיאלי עובר. העקומה האדומה, המאמץ הצדדי, יורדת עם הרוחב אבל נשארת בכמה ג׳יגה-פסקלים לכל אורכה — עומס צדדי שלחץ לבדו אינו יכול לשאת. התיבה שבראש האיור רושמת את מחיר המעבר: המקטע החיצוני שוקל כבר 0.46 ירח בסף וירח שלם ב-1,500 km.

מה שיש בידינו עתה: הלחץ של גוף-האם מספיק כדי להחזיק עמוד של התך קל עד רדיוס הקורוטציה; מעבר של כמה מאות קילומטרים ומעלה יכול לשאת את מסת הירח בחלון התרחיש; ההרמה עולה בסדר גודל של $10^{30}$ J, חלק קטן ממה שהברזל היורד משחרר. אבל החיבור שעומד בשלושתם במצב אחד אינו צינור דק. הוא רחב, חם ומסיבי, והוא נושא את העומס הצדדי שלו בצורתו. חלק B מתאר את הצורה הזאת מבחוץ.

חלק A עקב אחר החומר העולה בתוך הגוף: המקור העמוק, הלחץ המניע אותו, וקצב ההזנה והאנרגיה שלה. חלק זה מתבונן באותו גוף מבחוץ. את שאלתו קל לנסח: מה קורה לעור החיצוני של כדור הארץ מעל אזור הבנייה בזמן שהגוף נבנה מתחתיו ומעליו, והיכן מגיעה כל פיסה של העור הזה על הירח שאנו רואים היום? התשובה היא הליבה הגאומטרית של המודל. היא נבנית כאן בארבעה צעדים, צעד אחד לכל שלב, והתמונה בכל צעד נקבעת במספרים לפני שעוברים לצעד הבא.

החלק כולו נשען על תמונה אחת, וכדאי להחזיק בה מההתחלה. הקליפה החיצונית של כדור הארץ אינה נשארת מאחור בזמן שהגוף עולה; היא עולה יחד עם הגוף, כעור של הכיפה העליונה שלו. הגוף עצמו אינו כדור הצף בחופשיות, אלא כדור פחוס המונח על קצה האגס: שתי כיפות, אחת על השנייה — כיפה תחתונה העוטפת מלמעלה את הקצה המעוגל, וכיפה עליונה המתנשאת גבוה מעליו. כאשר הגוף מתעגל מאוחר יותר החוצה לכדור, כל חלק של פני השטח שלו שומר על חלקו בשלם, ולכן אפשר לעקוב אחר כל חלק עד הירח של היום.

ארבעת השלבים, והתאמתם לסדרה. מאמר זה ממספר את השלבים שלו עצמו: שלב 1, השלב השטוח (§B.1); שלב 2, הגוף על קצה האגס (§B.2); שלב 3, ההתעגלות החוצה (§B.4); שלב 4, הפחיסות, ההתעגלות פנימה והשחרור (§§B.6, C.4–C.8). הסדרה כולה ממספרת את תולדות הירח בשלבים 0–8: 0 לפני הבליטה, 1 הבליטה, 2 הכיפה, 3 האגס, 4 ההתעגלות (החוצה, אחר כך פחיסות, אחר כך פנימה), 5 השחרור, 6 גורל האגס, 7 ההתרחקות, 8 היום. שני המספורים מתאימים זה לזה כך. שלב 1 של מאמר זה הוא שלב 0 של הסדרה ותחילת הבליטה, כשהקליפה עדיין שוכבת שטוחה מעל ההזנה. שלב 2 הוא הבליטה, הכיפה והאגס (שלבים 1–3 של הסדרה), כפי שהם נראים ברגע שבו הגוף יושב ככיפה על קצה האגס. שלב 3 הוא החלק הראשון של שלב 4 בסדרה, ההתעגלות החוצה. שלב 4 הוא שאר שלב 4 בסדרה — הפחיסות וההתעגלות פנימה — יחד עם שלב 5 בסדרה, השחרור. שלב 6 בסדרה, גורל האגס, הוא חלק E של מאמר זה; שלב 7, ההתרחקות, הוא מאמר 4, המסלול; שלב 8, הירח של היום, הוא המקום שבו §§B.4–B.7 ממקמים כל אזור של פני השטח.

B.1 שלב 1 — השלב השטוח והקליפה הנאספת

לפני שהגוף עולה, השכבה הסיאלית החיצונית של גוף-האם מעל אזור הבנייה שוכבת שטוחה, מעל הזנה פעילה. "סיאלי" מתייחס לסיאל, השכבה העליונה והקלה של קרום כדור הארץ, העשירה בצורן ובאלומיניום; מתחתיה נמצאת הסימה, השכבה הצפופה יותר, העשירה בצורן ובמגנזיום. חומר עמוק מגיע אל הסיאל דרך פתחים ונפלט דרכם; חלק מהחומר הנפלט חוזר ונוחת על הקליפה החשופה ויוצר מכתשים (מאמר 6, המכתשים). הקליפה בשלב זה היא המקור של קרום הירח ושל תיעוד המכתשים המוקדם ביותר שלו. לכך יש משמעות, משום שפירוש הדבר הוא שפני השטח העתיקים ביותר של הירח לא נוצרו על הירח: הם נוצרו כאן, על כדור הארץ, לפני שהגוף היה קיים, ונישאו מעלה מאוחר יותר.

השטח ההתחלתי של הקליפה שתיצור את הכיפה שונה משטח הפנים של הכיפה המתקבלת. אגן האוקיינוס השקט בשחזור של המחבר (איור 4) — כ- $1.65\times10^{14}$ m² עם הימים השוליים שלו, וכ- $1.0\times10^{14}$ m² בלעדיהם — גדול פי 1.4 עד 2.4 משטח הכיפה העליונה בשלב 2 ($7.0\times10^{13}$ m², להלן). בתמונה זו הקליפה מעל האזור נמשכה פנימה, בשטח, בגורם של עד כשניים כשהכיפה נוצרה, כמו מפה הפרושה שטוחה על שולחן ונאספת פנימה כשמרימים את אמצעה. לכן האגן מסמן את אזור המקור של החומר הנאסף, ולא את טביעת הרגל של הכיפה עצמה. זוהי קריאה של תופעה עכשווית, והמאמר מציין את הקושי שבה כפי שעשה מאמר 2: קרקעית האגן של היום צעירה מ-180 Myr, והקריאה מתייחסת לאסימטריה בין חצאי הכדור בליתוספרה שמתחתיה — השכבה החיצונית הקשיחה של כדור הארץ, הקרום והחלק העליון ביותר של המעטפת, שהיא עתיקה יותר ומעוגנת עמוק יותר מקרקעית הים המכסה אותה היום.

בסיס האגס וגבו. האזור המסומן באיור 4 הוא האגס כפי שהוא נראה מלמעלה בזמן שנטה, ולא כף הרגל שלו. בסיס האגס היה מזרחה משם, לעבר אמריקה, ולכל רוחבו היו בו פתחים — אל תוך האגס, ודרכו הלאה אל הירח: בשחזור של המחבר מרכזו נמצא ליד Kiritimati, באיי Line של Kiribati — ליד הכפרים London, Paris ו-Poland — בקירוב ב-1.9°N, 157.5°W — כ-4,800 km מזרח-דרום-מזרח מהקריאה הקודמת.

האגס לא עמד זקוף, והסיבה היא סיבוב כדור הארץ. כשנמשך החוצה, החלק החיצוני שלו, שנישא הרחק מהציר, פיגר אחרי סיבוב כדור הארץ, כמו זרועותיה של מחליקה המפגרות כשהיא פורשת אותן, והאגס כולו נטה לאחור, מערבה, כשקצהו והירח שעליו נגררים מאחור (§C.8). הוא נטה גם צפונה: מבסיס סמוך לקו המשווה הגיע קצהו לכ-22.5°N, קו רוחב השחרור של מאמר 4. הסיבוב אינו מקנה את הנטייה הצפונית הזאת — בכל קו רוחב הדחיפה הצדדית שלו מכוונת אל קו המשווה — היא באה מההזנה: המקור העמוק, אזור ההזנה המרוכז של §A.4, נמצא מצפון לקו המשווה, וההזנה עלתה ממנו באלכסון, צפונית לבסיס, ונשאה איתה את האגס צפונה (§D.1).

הצד המערבי של האגס, שמתחתיו נמצאת היום יפן, הוא גבו, שנאסף בחזרה אל כדור הארץ אחרי השחרור; חזית האגס, שנמתחה במתיחה כשנטה, נאספה בחזרה אל הפסים של מאמר 9, הפסים. מאמר 9 מאתר גם את חותמו של הקצה עצמו: בין שני כיפופים של הפסים, אזור ברוחב 3,360 km שמרכזו ב-9.3°N, 169.3°E, כ-3,760 km מערבה מהבסיס לפי הקואורדינטות (גרסה קודמת נתנה 3,770 km) — הכיוון שאליו האגס הנוטה נשא את קצהו — ואילו הגב, שנאסף פנימה, נמצא בקשתות של מערב האוקיינוס השקט. ה-22.5°N של הקצה בשחרור וה-9.3°N של החותם הזה הם גדלים שונים: הראשון הוא הכיוון של מרכז הירח ממרכז כדור הארץ בשחרור, השני הוא חותמו של הקצה שנאסף פנימה על פני השטח של היום, כ-15° צפונית למשווה של מערכת הפסים; הם נמדדים במערכות ייחוס שונות, והקשר בין שתי המערכות — הצירים — הוא עבודה עתידית. האגס מעולם לא עזב את מסת כדור הארץ. הוא לא אבד בשחרור; לאחר השחרור ההתמיינות אספה אותו בחזרה אל כדור הארץ, בהדרגה, לאורך עשרות עד מאות מיליוני שנים — החלק הכבד שלו עמוק אל תוך כדור הארץ מתחת לבסיס האגס (חלק E), הצד הקדמי שלו אל הפסים של צפון האוקיינוס השקט, וגבו אל הקשתות של מערב האוקיינוס השקט. המסה עברה מגובה רב מחוץ לכדור הארץ אל עומק רב בתוכו. הבסיס נמצא מעל האזור האיטי הגדול של האוקיינוס השקט בתחתית המעטפת — אזור רחב, הנראה בהדמיות סייסמיות, שגלי רעידות אדמה עוברים בו לאט יותר מאשר במעטפת שסביבו — במפות שפורסמו של האזור הזה, המשתרע מסביבות Hawaii דרומה; המרחק הנמדד מהבסיס אל מרכז האזור ואל שוליו מובא ב-§E.4. טבעם של האזורים העמוקים נשאר פתוח.

את איור 4 יש לקרוא כמבט מלמעלה על עצם נוטה. השטח המסומן בצפון-מרכז האוקיינוס השקט הוא המקום שבו גוף האגס שכב מעל כדור הארץ כשנטה לאחור מערבה; כף הרגל של האגס, המקום שבו עלה מכדור הארץ, הייתה מזרחה ממנו, ליד Kiritimati, סמוך לקו המשווה. שני השוליים הנזכרים בכיתוב תוחמים את אזור המקור בצד האסיאתי ובצד האמריקני.

מה שיש בידינו עתה: קליפת סיאל שטוחה מעל הזנה פעילה, הנושאת כבר מכתשים מחומר חוזר, הנאספת פנימה מאזור בגודל האוקיינוס השקט, והמקום שבו האגס עמד מאוחר יותר ונטה.

B.2 שלב 2 — הגוף על קצה האגס

השאלה של סעיף זה היא צורת הגוף ברגע שבו הוא לראשונה גוף: מה גודלו, כיצד מתחלקים פני השטח שלו, ומה צפיפותו צריכה להיות. בשלב הביניים הגוף יושב על קצה האגס של §C.7, והקצה רחב: המגע הוא ברוחב 6,000 km. הגוף הוא כדור פחוס היושב על הקצה המעוגל של האגס. הכיפה התחתונה שלו מונחת על הקצה המעוקל ועוקבת אחריו — הקצה, בעל רדיוס עקמומיות של כ-4,000 km, חודר לגוף כ-1,350 km מתחת לאמצע המגע — והכיפה העליונה שלו מתנשאת מעליו: שתי כיפות, אחת על השנייה, התחתונה עוטפת את הקצה. המספר 1,350 km נובע מהגאומטריה: משטח מעוקל ברדיוס של כ-4,000 km, הנמתח על מיתר של 6,000 km, מתרומם באמצעו כ-1,350 km מעל קו השפה שלו. לכן תחתית הגוף אינה שטוחה; היא נדחפת מלמטה על ידי הקצה, כמו כובע שנמשך מטה על ראש. הגאומטריה שלו, עבור מסת הירח המלאה:

הטבלה משווה את אותה מסה — המסה המלאה של הירח — בשלושה מצבים. קוראים אותה לאורך השורה, מהמצב הראשון אל האחרון: הגוף נעשה קטן יותר וצפוף יותר. על קצה האגס הוא גדול וקל, ונפחו כפי שניים וחצי מנפחו היום; ככדור בשחרור רדיוסו 1,890 km וצפיפותו 2,600 kg/m³; היום רדיוסו 1,737 km וצפיפותו 3,344 kg/m³. את העמודה הראשונה קוראים מלמעלה למטה: שני שלישים מפני השטח על קצה האגס הם הכיפה העליונה, ושליש הוא הכיפה התחתונה המונחת על הקצה. שני החלקים האלה הם נקודת המוצא של כלל התרגום של §B.4.

גובה הכיפה העליונה נקבע על ידי הצפיפות, משום שהמסה קבועה: ככל שהכיפה גבוהה יותר מעל אותו מגע, הנפח גדול יותר והצפיפות נמוכה יותר. לאותה מסה מעל אותו מגע יש צפיפות של כ-2,000 kg/m³ אם הכיפה העליונה שלה גבוהה כחצי כדור, 3,000 km, ואת ה-3,344 של היום אם היא בגובה 2,450 km, הנמוך ביותר האפשרי (איור 7) — הנמוך ביותר, משום שגוף בעל מסת הירח אינו יכול להיות צפוף יותר מהירח כיום. אנו מאמצים את הכיפה הגבוהה: 1,300 kg/m³ הוא מצב השיגור המוקצף שמבחן הלחץ של חלק A דורש — לעומת ה-1,500 שאומץ שם — והיא הצפיפות שבה מתחילה הפחיסות של מאמר 7, הקטבים. "מוקצף" פירושו התך מלא בבועות גז, כמו בצק תופח שקל יותר מהקמח והמים שממנו הוא עשוי; עמוד קל הוא מה שלחץ המקור של חלק A יכול להרים עד קו הקורוטציה. הגוף מוקצף, והכיפה העליונה שלו מתנשאת גבוה.

הכיפה התחתונה היא המגע עם גוף-האם: $3.4\times10^{13}$ m². בשלב זה הכבידה העצמית של הגוף — המשיכה של מסתו שלו, המחזיקה אותו יחד — קטנה לעומת המתיחה הגאותית של גוף-האם, ההפרש בין משיכת כדור הארץ בצד הקרוב של הגוף לבין משיכתו בצד הרחוק, הנוטה למתוח אותו החוצה: היחס של §C.4 הוא כ-0.11 (כאשר גודל הגוף נלקח כגובהו המלא, כ-5,000 km, ומרכזו כ-13,000 km ממרכז כדור הארץ; עבור הכדור השקול, 2,381 km, היחס היה כ-1), כך שמשיכתו העצמית של הגוף היא כתשיעית מהמתיחה לאורך גובהו המלא. לכן הגוף מוחזק; הוא כיפה על הקצה, ועדיין לא גוף בפני עצמו.

איור 5 הוא סיפורו של חלק זה בחמש תמונות, שיש לקרוא בסדר המספור שלהן. הלוחות שלו ממוספרים כתמונות ולא כשלבים: לוח (1) הוא שלב 2 של מאמר זה, לוח (2) הוא שלב 3, לוחות (3) ו-(4) הם שלב 4, ולוח (5) הוא הירח של היום. הביטו תחילה בשתי הכיפות שבלוח (1) ובקו שבו הכיפה התחתונה פוגשת את הקצה; אחר כך עקבו אחר הקו הזה כשהוא מתכווץ פנימה בלוח (2), ואחר קו המתאר של הגוף כשהוא נפחס בלוח (3) ומתעגל שוב בלוח (4). ההתעגלות פנימה מושלמת לפני שהגוף עוזב: עד השחרור הגוף היה עגול, והקליפה החיצונית שלו קשיחה (מאמר 2, §B.7: יחס צירים של 1.04 לכל היותר).

B.3מה נע, ומה לא

קורא המדמיין קרום הנודד אלפי קילומטרים מכדור הארץ אל הירח ישאל איזה כוח נושא קרום למרחק כזה. הקליפה אכן נודדת, אך היא אינה נגררת על פני גוף-האם: היא עולה עם גוף האגס, ובמקביל נפרדת לאט מן הסימה שמתחתיה וגולשת במעלה האגס אל קצהו, אל תוך הגוף. כוחות הסיבוב מניעים אותה, בכיוון ההתמיינות החוצה, והשכבה ה”משומנת” שבין הסיאל לסימה מקלה על הגלישה בגזירה (§C.10). לכן הקצה נפרד כגוף בפני עצמו. (האיסוף פנימה של §B.1 שייך לשלב 1, לפני הכיפה.)

מה שמתכווץ במהלך שלב 3 הוא הטבעת של הכיפה התחתונה — הטבעת בתחתית הגוף שבין שפת המגע לבין מרכזו, פני השטח החשופים של הגוף, ולא הקליפה: משפה ברדיוס 3,000 km אל מגע ברדיוס 1,500 km, כ-1,500 km של תנועה פנימה לאורך כל שלב 3, על אותו ממשק חלש. הכיפה דורשת מבנה ראולוגי שכבתי — "ראולוגי" במובן של האופן שבו כל שכבה זורמת תחת עומס: קליפה קשיחה וקרה ($\eta\gtrsim10^{23}$ Pa s, הערך שמונע ממכתש ברוחב 100 km להירגע בתוך $10^7$ yr ב- $g=8.25$), מעל פנים נייד, כשהשכבה החלשה ביותר נמצאת בממשק ביניהם. כאן $\eta$ היא הצמיגות, ההתנגדות של חומר לזרימה — לדבש צמיגות גבוהה מזו של מים, ולקליפה קרה צמיגות גבוהה לאין שיעור משל שניהם; קליפה של $10^{23}$ Pa s שומרת על צורת מכתש ברוחב 100 km עשרה מיליון שנים בלי לשקוע. הקילוף של המגע מ-6,000 ל-3,000 km וההתעגלות של הגוף נמשכו מיליוני שנים: איטי בהתחלה, לאורך מאות מיליוני שנים, ומהיר יותר לקראת הסוף, לאורך עשרות מיליונים; לוח הזמנים של הקליפה הוא לוח הזמנים של העלייה.

הכבידה של הגוף המתפתח מחזיקה את הקליפה צמודה לפני השטח שלו. בראש הכיפה העליונה הכבידה העצמית של הגוף היא כ-0.9 m/s² (עבור הכדור השקול, 2,381 km ב-1,300 kg/m³ — הכדור בעל אותו נפח), והיא עולה ל-1.37 m/s² בגוף הסגור ברדיוס 1,890 km. על משטח שמרכזו במרכז המסה של הגוף, הכבידה הזאת ניצבת לפני השטח — היא מכוונת ישר מטה אל תוך הגוף — ומחזיקה את הקליפה; היא אינה נחשבת כוח מניע משיקי; הגלישה של הסיאל אל הקצה מונעת בכוחות הסיבוב.

B.4 שלב 3 — ההתעגלות החוצה, המגע וכלל התרגום

סעיף זה עונה על השאלה המרכזית של חלק B: כשהגוף הפחוס נעשה כדור, לאן הולך כל חלק של פני השטח שלו? הגוף הוא העומס על קצה האגס של §C.7, ושלבים 3 ו-4 הם אותו קצה הנמשך החוצה בזמן שהגוף עליו מתעגל ומשתחרר. ככל שהכבידה העצמית שלו גדלה, הגוף מתעגל החוצה (§C.4): הגוף הפחוס נעשה כדור, בנפח קבוע וללא התפשטות. המגע מצטמצם מ-6,000 ל-3,000 km ונשאר מחובר; שאר הכיפה התחתונה, הטבעת שבין השניים, נפרדת לאט, מתקלפת מהשפה פנימה יחד עם הסיאל שעליו ישבה (§C.4a) — כמו כדור רך וחצי ריק, הלחוץ על ראשה של תמיכה מעוגלת, שמתקלף ממנה מהשוליים פנימה כשמנפחים אותו. התהליך רציף ואורך זמן. בסופו הגוף נתמך על דיסקה רחבה דיה כדי שהחיבור יהיה שכבה ולא צוואר (§C.5).

מה שפני השטח של הגוף נעשים על הכדור נקבע בכלל אחד: בהתעגלות החוצה כל חלק שומר על חלקו בפני השטח.

הכלל אומר שחלק המכסה 7% מפני השטח של הגוף הפחוס מכסה 7% מפני השטח של הכדור, וכן הלאה לכל חלק. על כדור, חלק מפני השטח הנמדד מנקודה אחת הוא זווית קבועה מאותה נקודה: כיפה המכסה 7% מכדור מגיעה לכ- $31^\circ$ ממרכזה, וכיפה המכסה 33% מגיעה לכ- $70^\circ$. הנקודה שממנה נמדדות הזוויות היא מרכז המגע — קצה האגס, בכ-22–24°N. האזורים מחושבים סביב 24.1°N 335.2°E, מרכז המגע כפי שהמחבר שרטט אותו, 34.0° מהנקודה התת-ארצית. הטבלה מחילה את הכלל על שלושת חלקי הגוף:

צבעי הטבלה עוברים מכדור הארץ החוצה: אדום למגע, החלק שנגע בכדור הארץ עד הסוף; כתום לטבעת, שהתקלפה במהלך ההתעגלות; כחול לכיפה העליונה, שהייתה חשופה לחלל מההתחלה. כל שורה נקראת לאורכה: החלק, שטחו על קצה האגס, חלקו בשלם, והזוויות שהוא תופס על הכדור. המגע והטבעת יחד הם 33% של הכיפה התחתונה; הכיפה העליונה היא 67% הנותרים. כיפה של $31^\circ$ על הירח של היום רוחבה כ-1,900 km.

לכדור יש פני שטח קטנים יותר מאשר לגוף הפחוס בעל אותו נפח — $7.1\times10^{13}$ m² לעומת $1.04\times10^{14}$, גורם 0.68 בשטח ו-0.83 באורך — ומאחר שכל חלק שומר על חלקו, השינוי זהה בכל מקום: הוא אינו מזיז שום אזור ושום מכתש ביחס לאחר. לכדור יש תמיד פני השטח הקטנים ביותר לנפחו; ההתעגלות החוצה מקטינה אפוא את פני השטח, אך באופן אחיד, כמו תצלום מוקטן השומר כל דמות במקומה. רצף החשיפה של הבנייה כתוב על הירח כשלושה אזורים קונצנטריים סביב מרכז המגע:

• הכיפה של כ- $31^\circ$ הייתה המגע; היא לא הייתה מכוסה כולה עד השחרור: Serenitatis התקלפה ממנה ראשונה, ו-Imbrium נותקה אחרונה.

• החגורה מ- $31^\circ$ עד $70^\circ$ הייתה הטבעת המתקלפת — הסיאל שעליו ישב הגוף, שהתקלף מגוף-האם כשהמגע הצטמצם מהשפה אל הדיסקה — ונחשפה במהלך ההתעגלות החוצה.

• הצד הרחוק, מעבר ל- $70^\circ$, היה הכיפה העליונה: קליפה לכל אורכו, חשוף מהשלב השטוח, והמכתשים שלו נישאו מעלה.

הזוויות נשמרות לאורך השלבים המאוחרים, משום שמה שבא אחרי ההתעגלות החוצה — הפחיסות וההתעגלות פנימה (מאמר 7) — משנה את הקטבים לעומת קו המשווה, ולא את הצד הקרוב לעומת הצד הרחוק. בפחיסות הסיבוב מרחיב את הגוף בקו המשווה שלו ומנמיך אותו בקטבים, ובהתעגלות פנימה הדבר מתבטל; שני התהליכים פועלים באופן סימטרי סביב ציר הסיבוב ומשאירים את החלוקה בין הצד הקרוב לצד הרחוק במקומה. המאמר מוסר את האזורים למאמר 11, הדרישות, כדרישה שתיבדק מול האגנים; זיהוי הכיפה עם אזור Procellarum הוא של מאמר 11, לא של מאמר זה.

שני האזורים על הירח היום. את בסיס הגבעה ואת המגע האחרון אפשר לשרטט שניהם על הצד הקרוב של היום, מתוך קווי המתאר שלהם במפת LROC (המפה של מצלמת Lunar Reconnaissance Orbiter):

הטבלה מקננת שלושה אזורים, כל אחד בתוך זה שמעליו. הגבעה, בסיס הבליטה שעליו ישב הגוף בשלב 2, מכילה 99% מימות הצד הקרוב — המישורים הכהים של הצד הקרוב; המגע, 3,000 ה-km האחרונים שנשארו מחוברים, מכיל שני שלישים מהם; ו-Mare Imbrium נמצא בתוך המגע.

שני האזורים נמצאים בצד הקרוב, המגע בתוך הגבעה, ו-Mare Imbrium בתוך המגע: הלחץ וההזנה שעלו מפנים כדור הארץ נכנסו אל הגוף דרך Imbrium ו-Serenitatis; Serenitatis התקלפה ראשונה, ו-Imbrium נשארה מחוברת עד הניתוק, הקשר האחרון. Imbrium נמצאת בתוך המגע, לא בהכרח במרכזו. הזוויות של הכלל נמדדות סביב מרכז המגע, 24.1°N 335.2°E; הכלל קובע את גודל האזורים, וקווי המתאר קובעים היכן הם נמצאים היום. שני סוגי המידע מוחזקים בנפרד במכוון: הכלל הוא חישוב של חלקים יחסיים ואינו צריך מפה; קווי המתאר הם קריאה של המפה, והם אומרים היכן יושבים האזורים המחושבים.

איור 6 הוא טבלת כלל התרגום בשרטוט. בלוח A, זהו כל אחד משלושת החלקים של הגוף הפחוס; בלוח B, מצאו את אותו חלק על הכדור. מה שצריך לראות הוא ששום דבר אינו משנה את סדרו: המגע, במרכז התחתית, נעשה הכיפה במרכז הצד הקרוב; הטבעת שסביבו נעשית הטבעת שסביב הכיפה; והכיפה העליונה עוטפת את שאר הכדור.

איור 7 מציג את היחס שבו נעשה שימוש ב-§B.2 בין גובה הכיפה העליונה לבין צפיפות הגוף. הביטו בשלושת המקרים הנזכרים בכיתוב. ככל שהכיפה גבוהה יותר, הצפיפות נמוכה יותר; הכיפה המאומצת עומדת בקצה הקל, שבו לגוף יש הצפיפות המוקצפת שחלק A דורש.

איור 8 מעביר את הכלל אל הירח האמיתי. GRAIL, משימת הכבידה של שתי החלליות התאומות, מיפתה את שדה הכבידה של הירח, ובאמצעותו את עובי הקרום שלו. הקו הכחול מסמן היכן נמצא היום בסיס הגוף של שלב 2 — שפת הכיפה התחתונה; הקו השחור מסמן את המגע האחרון. הביטו בימות הכהים: כמעט כולם נופלים בתוך הקו הכחול, ורובם בתוך השחור.

מה שיש בידינו עתה: כלל ההופך את הגאומטריה של הגוף על קצה האגס למפה של הירח — כיפה בצד הקרוב, חגורה סביבה, וצד רחוק — שבה כל אזור נחשף בזמן אחר.

B.5הפתחים

הקליפה אינה רציפה. ההזנה של חלק A מגיעה אל הכיפה דרך פתחים, וחומר נפלט דרכם; בשלב 1 הם הימות של הקליפה השטוחה, בשלב 2 אלה שעל הכיפה העליונה נחשפים כשהיא עולה, ואלה שמתחת לכיפה התחתונה נשארים מכוסים עד השחרור. לכן הפתחים נבדלים זה מזה במועד חשיפתם ובמה שעבר דרכם. הפתחים שעל הכתר ועל הצלע היו פעילים בזמן שהיו חשופים, ודרכם נפלט חומר החוצה. הפתחים שמתחת לכיפה התחתונה — הימות של הצד הקרוב — היו מעברים פנימיים: כל עוד היו מכוסים הם העבירו את הלחץ של כדור הארץ דרך האגס אל הימות שאנו רואים, ומשם אל הירח, וחומר עבר דרכם כמו דרך צינור.

Serenitatis נחשפה לפני Imbrium, וכשנחשפה היא עדיין הייתה פעילה קלות: רואים נתזים בטבעת שסביבה, אבל לא מכתשים ענקיים. מכתשים גדולים נוצרים מחומר גדול, שנדחף החוצה בכוח הלחץ; המכתשים הקטנים בטבעות שסביב הימות מקורם בבעבוע ובנתזים, שרובם חוזרים אל הימה, וחלק קטן נוחת בשוליה ומשאיר שם את סימנו. Imbrium נחשפה אחרונה. ברגע שנחשפה נפסק הלחץ הפנימי של הירח — לא מיד, אבל מהר — ואיתו פסקו הפצפוצים של הימות הירחיות. כדור הארץ המשיך בפעילותו שלו והמשיך להשליך חומר לכל עבר, רובו קטן; חלקו חזר אל כדור הארץ, וחלקו נחת על הירח. לכן מכתשים קטנים מכסים את הירח כולו, כולל הצד הקרוב (§C.11).

צורתה התצפיתית של התמונה הזאת — אילו אגנים הם מאיזה סוג, ואיזה חותם כל אחד אמור לשאת — היא עניין של התיעוד הירחי, והיא נבחנת במאמר 11; כאן הפתחים נכנסים רק כמקומות שבהם ההזנה של חלק A פוגשת את הקליפה של חלק B.

B.6התיעוד הנישא על הגוף

מכתש שנוצר בקליפה על ידי חומר חוזר בזמן שהקליפה הייתה חשופה בשלב 1, או על הכיפה העליונה בשלב 2, נע עם הקליפה כשהגוף מתעגל. זוהי סטרטיגרפיה — קריאת סדר מתוך מה שמונח על מה — ולא פיזיקה חדשה: $t_{\mathrm crater}<t_{\mathrm cover}$ עבור המקטע הנדון. במילים: מכתש שנוצר לפני שפיסת פני השטח שלו כוסתה או נישאה, נישא איתה. התיעוד שורד אם הקליפה שומרת על צורתה, וזו הדרישה שהופכת אותה לקליפה: צמיגות בסדר גודל של $10^{23}$ Pa s או יותר בפני השטח, לאורך $10^7$ yr של העלייה. הקליפה התקשחה מוקדם, בחלק הראשון של הסערה המגמטית; קליפה קשיחה לא נמתחה כשהגוף גדל ולא נדחסה כשהתעגל, והמכתשים שעליה שמרו על גודלם.

התיעוד נכתב בשלושה שלבים:

בהתעגלות החוצה המכתשים שכבר קיימים משתנים יחד עם פני השטח, באופן זהה בכל מקום, ומכתשים חדשים ממשיכים להגיע; הקטבים נוצרים.

בפחיסות שבאה אחריה נוצרים רוב המכתשים, והגדולים שבהם: ההתמיינות התקדמה, החומר הנפלט עשיר במים, והקטבים, שכבר נוצרו, מקבלים יותר.

בהתעגלות פנימה, כשהפחיסות נרגעת והגוף כולו מתהדק, המכתשים שומרים על גודלם ופני השטח שביניהם נסגרים, בעיקר בקטבים, שאוספים אותם (מאמר 7) — כמו שהרווחים בין כפתורים התפורים על בד נסגרים כשהבד נאסף, בעוד הכפתורים נשארים באותו גודל.

החגורה והכיפה היו מתחת לכיפה התחתונה ולא קיבלו מכתשים לפני חשיפתן; האוכלוסיות העתיקות ביותר שלהן צעירות מאלה של הצד הרחוק. צד רחוק שאוכלוסייתו העתיקה ביותר היא הצפופה ביותר, חגורה שבה היא פחות צפופה, וכיפה שבה היא הדלילה ביותר — זה מה שהכלל חוזה, והדבר מנוסח בחלק D יחד עם המבחן שלו. זהו המבחן שכלל התרגום מוסר לירח: את הסדר שבו נחשפו האזורים יש לקרוא בסדר של המכתשים העתיקים ביותר שלהם.

מאחורי הקלעים. בגרסה מוקדמת של חלק זה הצד הרחוק נסגר לשליש משטחו, המכתשים שלו התכווצו בגורם 0.58 וצפיפותם עלתה פי שלושה. המכתשים נשאלו ישירות, במדדים ששינוי קנה מידה היה מזיז — קוטר המעבר ממכתשים פשוטים למורכבים, המכתשים הגדולים ביותר בשטח שווה, הישנים לעומת הטריים (מאמר 7, §D.5). מכתשים קטנים הם קערות פשוטות; מעל קוטר מסוים מתפתחים בהם קירות מדורגים ופסגות מרכזיות, וקוטר המעבר הזה היה משתנה אילו פני השטח הנושאים אותם היו נדחסים. בין הרמות של הצד הרחוק לבין הרמות של הצד הקרוב הם אינם מוצאים הבדל בקנה המידה: המעבר נמצא ב-16.5–17.1 km בצד הרחוק וב-14.3–15.1 km בצד הקרוב. הגאומטריה של §§B.2–B.4 נובעת מכך.

B.7מאזן המסה והעובי

השאלה האחרונה של חלק B היא אם הקרום שיש לירח בפועל יכול להיווצר בדרך זו, הן במסתו והן בעוביו הלא-אחיד. כפי שהוא נמדד היום, קרום הצד הרחוק — בעובי של כ-55 km לפי GRAIL, בצפיפות 2,550 kg/m³ על פני חצי הכדור הרחוק — הוא כ- $2.6\times10^{21}$ kg, 3.5% מהירח (גרסה קודמת נתנה $2.7\times10^{21}$ kg ו-3.6%; חושב מחדש במאמר 11, §B.3). אלה תצפיות על הקרום כפי שהוא היום, ולא עובי של קליפה במודל. במודל, קרום הצד הרחוק הוא שכבות רבות של סיאל דחוס. שני מקורות בנו אותו, שכבה על שכבה, על הכיפה העליונה: הסיאל של גוף-האם, שגלש במעלה האגס על הסימה והצטבר בקצהו (§C.10), והחומר שנפלט דרך הפתחים וחזר שוב ושוב אל החלק הרחוק של הגוף.

הפליטה לא פסקה מעולם, וההתמיינות — היפרדות החומר העמוק לפי צפיפות, הברזל הכבד שוקע והחומר הקל העשיר בנדיפים עולה — התקדמה עם הזמן. ככל שהתקדמה, החומר שיצא היה קל יותר ויותר ועשיר יותר בנוזלים: בפחיסות היו הזרימות של חומר ארצי קל יחסית, מלא מים. כל שכבה שהונחה קודם יצאה ממוינת פחות, ולכן נושאת יותר ברזל מהשכבות שמעליה. קרום הצד הרחוק שכבתי אפוא לפי גיל ולפי מיון, ותכולת הברזל שלו עולה עם העומק: ככל שהשכבה עמוקה יותר, היא נוצרה מוקדם יותר, והיא עשירה יותר בברזל — וצפופה יותר. זוהי תחזית, הנקראת מהרכב הפסגות המרכזיות של מכתשים מול עומק המקור שלהן (§D.1).

הצד הקרוב נושא קרום של 30–35 km — הסיאל המתקלף של הטבעת, ומעל המגע קרום שהוחלק על ידי חום וכבידה — עוד כ- $1.5\times10^{21}$ kg באותה צפיפות (גרסה קודמת נתנה $2\times10^{21}$ kg, שהיה מביא את הסך ל-6.3%); יחד הם 4–6% ממסת הירח שמודלי GRAIL נותנים לקרום כולו [4]. 94–96% הנותרים ממסת הירח הם החומר העמוק של חלק A — חלוקה שהוערכה מתמונת הקליפה הקודמת, ויש לחשב אותה מחדש עבור הקרום השכבתי — והמתכת שהפנים חייב לשאת לליבה של 1.4% היא דרישה מההזנה של חלק A, ולא מהקרום (מאמר 11, R2). המאזן מראה אפוא שהקרום ששני המקורות בונים מבחוץ הוא חלק קטן מהירח, ועיקר המסה הוא מה שחלק A מרים מבפנים.

הצד הרחוק עבה מהצד הקרוב (איור 9) משום ששניהם נבנו באופן שונה: הכיפה העליונה, החשופה לכל אורך הדרך, אספה סיאל וחומר חוזר שכבה על שכבה; הכיפה התחתונה נשאה רק את הסיאל שעליו ישבה, ובמרכזה איבדה אפילו אותו לחום המגע. הצד הקרוב דק ביותר במקום שבו הוא פתוח: הימות הם הפתחים של §B.5, והקרום מתחתיהם דק משום שהם פתחים. קרום הצד הרחוק הוא העתיק והעבה יותר; הגבול בין השניים נמצא בשפת הכיפה התחתונה (§B.4).

איור 9 הוא מפה של הירח כולו, פרושה שטוח, כשהצד הקרוב באמצע והצד הרחוק מפוצל בין שני השוליים; LOLA הוא מד הגובה הלייזרי שמדד את גובהי פני השטח. הביטו בצבעים מהמרכז החוצה: כחול מתחת לימות הצד הקרוב, במרכז המפה, במקום שבו היו המגע והפתחים; אדום ולבן לעבר שני השוליים, בצד הרחוק, שבו הכיפה העליונה אספה את שכבותיה. המפה היא כלל התרגום כפי שהוא נראה בעובי הקרום.

מה שחלק B נתן: הקרום של הירח והמכתשים העתיקים ביותר שלו באו מהקליפה החיצונית של כדור הארץ, שעלתה כעורה של הכיפה העליונה; הגוף ישב כשתי כיפות על קצה האגס; כשהתעגל החוצה כל חלק שמר על חלקו בפני השטח, כך שהמגע נעשה כיפה בצד הקרוב, הטבעת המתקלפת — חגורה, והכיפה העליונה — הצד הרחוק. חלק C פונה עתה אל החיבור שמתחת לגוף — מה הוא נושא, וכיצד הגוף משתחרר.

חלק A הראה שהלחץ יכול להזין את הגוף, וחלק B עקב אחר פני השטח של הגוף מן השלב השטוח ועד ההתעגלות החוצה. חלק זה שואל את השאלה המכנית ששניהם משאירים פתוחה: מה מחזיק את הגוף אל כדור הארץ בזמן שהוא עולה, וכיצד הוא משתחרר. התשובה נבנית בשלבים. סעיפים C.1–C.3 מחשבים את העומס שהחיבור צריך לשאת בשחרור ומראים מדוע צוואר צר אינו יכול לשאת אותו. סעיפים C.4–C.5 מראים כיצד מגע רחב וחם נושא אותו, וכיצד הגוף מתחיל להיפרד בקו ומשתחרר כ-210 km מעבר לו, כשהמגע מתנגד רק מעט; §C.5a נותן את חיפוש מרחק השחרור. סעיף C.6 מעביר את מצב השחרור אל מאמר 4 (המסלול). סעיפים C.7–C.9 מתארים את המבנה שמתחת למגע — בליטה אחת של כדור הארץ שנמשכה לאגס, חלק מכדור הארץ שמוחזק בכבידה של כדור הארץ — על רוחבו, אורכו ומסתו. סעיפים C.10–C.11 חותמים במה שהגוף לקח עמו ובמה שכדור הארץ המשיך לעשות אחרי השחרור.

לאורך כל החלק מובחנות שלוש מילים. כוח הוא סך המשיכה או הדחיפה, בניוטונים. מאמץ הוא הכוח הזה מחולק בשטח שנושא אותו, בפסקלים (ג׳יגה-פסקל אחד, GPa, הוא בערך פי עשרת אלפים מלחץ האוויר בגובה פני הים). שינוי צורה הוא מה שחומר עושה כשהמאמץ עליו אינו מאוזן. חיבור רחב יכול לשאת כוח גדול במאמץ קטן, ואותו כוח עצמו יכול לקרוע חיבור צר.

C.1 הכיפה אינה נושאת את מלוא לחץ המקור

שאלת הסעיף פשוטה, וקל לענות עליה לא נכון: האם מלוא הלחץ של המקור העמוק דוחף את הכיפה החיצונית של הגוף? התשובה שלילית. בשיווי משקל הידרוסטטי — המצב שבו בכל עומק הלחץ של הנוזל נושא בדיוק את משקל מה שמעליו — הלחץ משתנה לאורך הדרך. הוא הגבוה ביותר במקור העמוק ויורד לאורך הדרך למעלה, משום שבכל צעד הוא כבר נשא את משקל העמוד שמעליו. לכן אין להציב את לחץ המקור העמוק (כ-150 GPa, חלק A) כהפרש לחץ אחיד על פני הכיפה החיצונית.

קנה מידה שימושי הוא הלחץ שהגוף יוצר במשקלו שלו. לגוף כדורי הומוגני בעל מסה ירחית ובצפיפות 2,600 kg/m³ מתקבל רדיוס של כ-1,890 km, ולחץ במרכז הנובע מכבידתו העצמית:

$$p_c=\frac{3Gm^2}{8\pi R_b^4}\simeq3.37\ \mathrm{GPa}. \tag{18}$$

כאן $G$ הוא קבוע הכבידה, $m$ מסת הירח ו- $R_b$ רדיוס הגוף. הנוסחה היא התוצאה המוכרת לכדור אחיד: כל שכבה נלחצת על ידי משקל השכבות שמעליה, והסכום מגיע לערכו הגדול ביותר במרכז. במילים: הכבידה העצמית של הגוף לבדה דוחסת את מרכזו לכ-3.37 GPa — בערך פי ארבעים פחות ממה שהמקור העמוק מחזיק. הלחץ שמגיע אל הגוף כבר הוצא אפוא, ברובו, על הרמת העמוד שמתחתיו.

הלחץ ההידרוסטטי יורד לעבר הגבול. עם זאת, מעטה בעובי סופי, זרימה פנימה, גאות וגאומטריה לא כדורית יכולים להטיל עומסים על הגבול הזה. לכן את הפרש הלחץ ואת המאמצים המקומיים יש לחשב; אין להניח באופן אוטומטי שהם אפס. זו הסיבה שהסעיפים הבאים מחשבים את עומס החיבור ישירות, מתוך תנועת הגוף, ולא מתוך לחץ המקור.

C.2 מה נדרש מן החיבור בקו רוחב שאינו אפס?

הגוף מחובר לכדור הארץ ומסתובב עמו. כדי להמשיך להסתובב עם כדור הארץ במקום קבוע, יש לתת לו בכל רגע בדיוק את התאוצה שהתנועה המעגלית הזו דורשת; מה שהכבידה והסיבוב אינם מספקים, החיבור צריך לספק. סעיף זה מחשב את השארית הזו ברגע השחרור.

נגדיר $r$ כמרחק בין המרכזים, $K=G(M_E+m)$ ו- $m_r=M_Em/(M_E+m)$. $M_E$ היא מסת כדור הארץ; $K$ מודד את הכבידה המשותפת של הזוג; ו- $m_r$ היא המסה המצומצמת, המסה היחידה שמייצגת את שני הגופים כשתנועתם ההדדית מטופלת כתנועה של גוף אחד (היא קטנה במעט מ- $m$, משום שגם כדור הארץ נע מעט סביב מרכז המסה המשותף). לתנועה מחוברת בקורוטציה — הגוף מסתובב עם סיבוב כדור הארץ, באותו קצב זוויתי $\omega$ — בקו רוחב קבוע $\lambda$ ובקצב קבוע ברגע הנבדק, תאוצות התמיכה הנדרשות הן:

$$a_r=\frac{K}{r^2}-\omega^2r\cos^2\lambda, \qquad a_\lambda=\omega^2r\sin\lambda\cos\lambda. \tag{19}$$

הראשונה חיובית כלפי חוץ, והשנייה מכוונת אל הקוטב בחצי הכדור הצפוני. במילים: $a_r$ היא התמיכה הרדיאלית, משיכת כדור הארץ $K/r^2$ פחות אותו חלק מן ההשלכה החוצה של הסיבוב שמכוון ישירות הרחק ממרכז כדור הארץ. $a_\lambda$ היא התמיכה הצדדית. הרחק מן המשווה, ההשלכה החוצה של הסיבוב, $\omega^2 r\cos\lambda$, מכוונת הרחק מציר הסיבוב ולא הרחק ממרכז כדור הארץ; לכן חלק ממנה פועל לאורך הקרקע לעבר המשווה, כמו חרוז המושחל על חישוק מסתובב ונדחף אל החלק הרחב ביותר של החישוק. כדי להחזיק את הגוף בקו הרוחב שלו, החיבור צריך למשוך אותו לעבר הקוטב בתאוצה השווה לחלק הצדדי הזה. הכוח הכולל הנדרש מן החיבור, בקירוב של שני גופים, הוא:

$$F_{\mathrm{conn}}=m_r\sqrt{a_r^2+a_\lambda^2}. \tag{20}$$

זו המסה המצומצמת כפול התאוצה המשולבת, כששני הרכיבים מחוברים בזווית ישרה.

במצב השחרור שאומץ בסדרה — קו רוחב $\lambda=22.5^\circ$, יממת כדור הארץ של 5.77 h, ומרכז המסה של הירח על קו הקורוטציה בקו הרוחב הזה, $r=r_{\mathrm co}\cos^{-2/3}\lambda$ (מאמרים 2 ו-4) — מתקבל:

$$T=5.77\ \mathrm h,\qquad r=17{,}287\ \mathrm{km}, \tag{21}$$

$$a_r=0,\qquad a_\lambda=0.559\ \mathrm{m\,s^{-2}},\qquad F_{\mathrm{conn}}=4.06\times10^{22}\ \mathrm N. \tag{22}$$

קו הקורוטציה הוא אוסף הנקודות שבהן גוף שמסתובב עם כדור הארץ כבר נע במהירות של מסלול מעגלי חופשי; על המשווה הוא נמצא ב- $r_{\mathrm co}$, 16,399 km ביממה של 5.77 שעות, ובקו רוחב $\lambda$ הוא רחוק יותר, ב- $r_{\mathrm co}\cos^{-2/3}\lambda$, 17,287 km ב-22.5°. על הקו הזה הדרישה הרדיאלית מתאפסת בדיוק, $a_r=0$: הכבידה והסיבוב מאוזנים לאורך הרדיוס, והחיבור אינו צריך לדחוף או למשוך החוצה. הדרישה הצדדית אינה מתאפסת. היא 0.559 m s$^{-2}$, כשתי חמישיות מכבידת פני השטח של הגוף עצמו בשחרור (1.37 m/s², §B.3), וכשהיא מופעלת על המסה המצומצמת היא נותנת כוח של $4.06\times10^{22}$ N. זה העומס שהחיבור צריך לשאת בשחרור, והוא כולו צדדי.

כוח אומר מעט על חיבור עד שמחלקים אותו בשטח שנושא אותו. על חתך עגול ברדיוס $b$, המאמץ הממוצע השקול $F_{\mathrm{conn}}/(\pi b^2)$ הוא:

הטבלה נקראת מלמעלה למטה: המאמץ יורד כריבוע הרדיוס, כך שהכפלת רוחב החיבור מחלקת את המאמץ בארבע. ברדיוס של 1,500 km, חתך הניצב לכיוון הרדיאלי אינו דורש רכיב ניצב — על הקו המאזן הרדיאלי מתקיים — אבל דורש רכיב צדדי של כ-5.74 GPa. הרכיב הצדדי הזה הוא גזירה: הוא מנסה להחליק פן אחד של החתך על פני הפן השני. לחץ איזוטרופי על חתך כזה — לחץ שדוחף באותה מידה לכל הכיוונים, כמו בנוזל שקט — אינו מספק בעצמו את הרכיב הצדדי. צורה אחרת של החיבור עשויה לשנות את פיזור המאמצים, אבל את זה יש לחשב. כשמסת החיבור משמעותית, יש לכלול גם אותה ואת תנע הזרימה; הטבלה היא הערכת עומס לשני גופים, לא פתרון לחיבור מסיבי.

מדוע צוואר צר אינו יכול לעשות את העבודה. הטבלה מראה את הקושי של חיבור צר. צוואר ברדיוס 1,000 km היה צריך לשאת 12.92 GPa של גזירה, והמבחן המשולב של §A.13 נותן 46.04 GPa למעבר ברדיוס 500 km. צוואר שנושא את ההזנה הוא חם ומותך בחלקו, וחומר מותך אינו נושא גזירה מתמשכת כלל: תחת עומס צדדי קבוע הוא זורם. לכן צוואר צר אינו יכול להחזיק את הגוף ב-22.5°; הוא היה מתכופף וזורם לעבר המשווה. הפתרון אינו צוואר חזק יותר אלא מבנה רחב יותר: חלק מכדור הארץ עצמו, שמוחזק בכבידה של כדור הארץ ונושא את העומס הצדדי כפי שכדור הארץ נושא את הריו. המבנה הזה הוא הבסיס הרחב של הכיפה והאגס שמתחתיה (§C.4, §C.7). איור 10 מראה את העומס שיש לשאת.

האיור נקרא מן הגוף: החץ האדום הקצר לאורך הרדיוס הוא הדרישה הרדיאלית, שהיא אפס על הקו; החץ האדום הארוך לעבר הקוטב הוא הדרישה הצדדית שנשארת. את השנייה החיבור צריך לספק.

C.3כיצד הקורוטציה מנתקת את הגוף

הקורוטציה היא שמנתקת את הגוף, אבל לא כמתג שמופעל בנקודה אחת. סעיף זה מסביר מה קורה בקו. במישור המשווה, ובקירוב של גוף נקודתי, שינוי הסימן של $\omega^2r-K/r^2$ משנה את כיוון התמיכה הנדרשת: בתוך הקו החיבור צריך להחזיק את הגוף כנגד משיכת כדור הארץ, ומעבר לו הוא צריך להחזיק אותו כנגד ההשלכה החוצה. בקו עצמו הדרישה עוברת דרך אפס. בקו רוחב שאינו אפס, גם כאשר $a_r=0$, $a_\lambda\ne0$ נשאר. במצב השחרור הנקודה הזו היא הקו עצמו, 17,287 km ב-22.5°, ועומס החיבור שם עדיין $4.06\times10^{22}$ ניוטון.

קו הקורוטציה הוא אפוא המקום שבו כיוון הדרישה הרדיאלית מתהפך; זה גם המקום שבו הגוף מתחיל להיפרד. החיבור נכנע מעט מעבר לו, כשהוא כבר אינו יכול להעביר את הכוח, את מומנט הכוח ואת שטף התנע הנדרשים. טמפרטורה גבוהה והתכה עשויות להקטין את התנגדותו לשינוי צורה; הלחץ יכול לתרום לדחיפה; ההתעגלות משנה את צורת המגע ואת מסלול המאמצים. החימום, הלחץ וההתעגלות פועלים יחד באותה מערכת. הסעיפים הבאים מראים כיצד הם פועלים יחד בקו: הקו קובע היכן המשיכה הרדיאלית נטו פונה החוצה, ומעבר לו הגוף, כשהמגע מתנגד רק מעט, נמשך החוצה ומשתחרר כ-210 km אחרי הקו (§C.5–C.5a).

C.4 ההתעגלות החוצה וחיבור רחב

ההתעגלות היא תגובה של הצורה לכבידה העצמית, לגאות, לסיבוב ולראולוגיה (האופן שבו חומר זורם תחת עומס). גוף המוחזק יחד בכבידתו שלו נוטה להפוך לכדור; הגאות של כדור הארץ מושכת אותו לצורה מוארכת לאורך הקו שמחבר בין השניים; הסיבוב פוחס אותו; והצמיגות שלו קובעת באיזו מהירות הוא יכול להיענות למשיכות האלה. ההשוואה:

$$\frac{Gm}{R_b^2}>\frac{2GM_ER_b}{r^3} \tag{23}$$

נותנת הערכה מקומית של התחרות בין הכבידה העצמית למתיחה הגאותית. האגף השמאלי הוא הכבידה של הגוף עצמו על פני שטחו, שמחזיקה אותו יחד. האגף הימני הוא המתיחה הגאותית לרוחב הגוף: כדור הארץ מושך את הצד הקרוב חזק יותר מן המרכז, ואת המרכז חזק יותר מן הצד הרחוק, וההפרש על פני רדיוס אחד של הגוף הוא $2GM_ER_b/r^3$. כשהאגף השמאלי גובר, הגוף מחזיק את עצמו; כשהאגף הימני גובר, הגוף מוחזק רק על ידי מה שהוא נשען עליו. בשלב 2, על הקצה הרחב, היחס בין השניים הוא כ-0.11 (§B.2): הגוף הוא עדיין כיפה על הקצה, עדיין לא גוף בפני עצמו. הישרדות במסלול וקריעת החיבור הן שני התנאים שמאמר 2 מציב לגוף המשוחרר, וההשוואה הזו היא המקום שבו הם נכנסים.

החיבור הרחב יכול להימתח ולהיפרד תוך כדי זרימה ושינוי צורה, בלי להיצר תחילה לצוואר. זה ההבדל המרכזי מצביטה: טיפה שיוצאת ממזרק נעשית דקה לחוט ונקרעת, אבל שכבה רחבה ורכה שנמשכת לשני כיוונים נפתחת על פני כל רוחבה בבת אחת (§C.5).

סדר שינויי הצורה קבוע. הגוף השלים את ההתעגלות החוצה זמן רב לפני השחרור, כשעדיין הסתובב עם כדור הארץ; אחר כך נפחס עם הסיבוב, והפחיסות וההתעגלות פנימה שהרגיעה אותה התרחשו שתיהן בזמן שהגוף היה מחובר. בהתעגלות פנימה ירד יחס הצירים מ-1.69 בשיא הפחיסות ל- $a/c\simeq1.2$ בשלב מאוחר של תקופת החיבור (מאמר 7, הקטבים). עד השחרור הגוף היה עגול, וקליפתו החיצונית קשיחה (מאמר 2, §B.7: יחס צירים של 1.04 לכל היותר). המאמצים המפורטים והתפתחות הגאומטריה עדיין צריכים להיפתר. המגע בתמונה הזו הוא הדיסקה בת 3,000 ה-km שנשארה מן הכיפה התחתונה של הגוף בשלב 3 (חלק B.4); רוחבה, רדיוס של 1,500 km, הוא ה- $R_c$ של חישוב השחרור ב-§C.5.

מדוע הבסיס הרחב יכול לעשות את העבודה. שני דברים משתנים כשהחיבור הוא הבסיס הרחב של הגוף ולא צוואר. העומס מתפזר על פני דיסקה ברדיוס 1,500 km, ולכן המאמץ הממוצע יורד ל-5.74 GPa של הטבלה ב-§C.2, במקום לעלות ככל שהרדיוס מצטמצם. ומתחת לדיסקה התמיכה אינה חוט אלא חלק רחב של כדור הארץ עצמו, האגס של §C.7, חלק מכדור הארץ שמוחזק בכבידה של כדור הארץ. המגע צריך רק להעביר את העומס אל האגס, על פני מרחק קצר; האגס נושא אותו למטה אל כדור הארץ.

C.4a קילוף: הגוף עוזב עם הסיאל שעליו ישב

סעיף זה מתאר מה קורה על פני חלקי הכיפה התחתונה שאינם המגע הסופי. הגוף ישב מן ההתחלה על השכבה הסיאלית של גוף-האם — השכבה החיצונית הקלה, העשירה בצורן ובאלומיניום (§C.10) — הוא גדל עליה, והוא עזב איתה. התמונה היא כדורגל או כדורסל ריק מאוויר, שנלחץ על הראש המעוגל של מעמד ומנופח בעודו על המעמד: כשהוא מתנפח ומתעגל, הדופן שנוגעת במעמד מתקלפת ממנו, מן השוליים פנימה, ומתעגלת יחד עם שאר הכדור. כאן המעמד הוא קצה האגס.

על פני הבסיס בן 6,000 ה-km ההיפרדות היא קילוף. כשהגוף התעגל החוצה (§C.4) המגע הצטמצם משפת הכיפה התחתונה, ברוחב 6,000 km, אל הדיסקה בת 3,000 ה-km (§B.4); הקילוף איטי, והדיסקה נשארת מחוברת עד הסוף. לרוחב הטבעת הזו — הטבעת שבין השפה של 6,000 km לבין הדיסקה של 3,000 km — הגוף לא נקרע מגוף-האם: הסיאל שמתחתיו התקלף מן הסימה שמתחתיו (השכבה הצפופה יותר, העשירה במגנזיום, שמתחת לסיאל), לאורך הגבול המשומן בין שתי השכבות (§C.10), והלך עם הגוף. הסיאל המקולף הזה הוא החגורה של היום שבין $31^\circ$ ל- $70^\circ$ ממרכז המגע (§B.4).

המגע בן 3,000 ה-km הוא מנגנון חם. במרכז הכיפה התחתונה עמד הגוף על ראש האגס, ושם החום היה קיצוני: הוא התיך את שכבת הסיאל וסילק אותה. ייתכן שההיפרדות האחרונה שם לא הייתה נקייה, אבל החום והכבידה של הגוף החליקו את כל האזור. היכן שהקרום של הצד הקרוב הוא הדק ביותר, הוא פתוח: הימות הם הפתחים של §B.5, והקרום שמתחתם דק משום שהם פתחים.

והשחרור עצמו. כשמרכז המסה של הירח מגיע לקו הקורוטציה, הגוף מתחיל להיפרד; כוחות הקורוטציה מושכים אותו החוצה בכוח, ואחרון המגע, שמתנגד רק מעט, נכנע כ-210 km מעבר לקו (§C.5, C.5a, C.8). הגוף עוזב אז עם הסיאל שלו: הקליפה שמעל הכיפה, הסיאל המקולף שמעל הטבעת, ומעל המגע פני שטח שכבר הוחלקו בחום.

כך הגוף נפרד בשתי דרכים בבת אחת: קילוף איטי על פני הטבעת, שבו הסיאל הולך איתו, ומשיכה על פני הדיסקה המרכזית, שבה המגע החם מתנגד רק מעט. את השנייה מעריכים עתה.

C.5 כיצד הגוף משתחרר מעבר לקו הקורוטציה

מאמר 2 ממקם את השחרור במקום שבו מרכז המסה של הירח מגיע לקו הקורוטציה: מעבר לו כוחות הקורוטציה מושכים את הגוף החוצה. הירח מתחיל להיפרד כשמרכז המסה שלו מגיע לקו, ומשתחרר כ-210 km מעבר לו, כשמעט יותר ממחציתו חצתה את הקו (§C.5a). המגע שבין האגס לגוף מתנגד רק מעט; הגוף נמשך החוצה בכוח, והמשיכה הזאת משכה את רכסי השפכטל. סעיף זה מעריך כמה המגע התנגד.

מדוע מרכז המסה, ומדוע הקו. גוף שנע כיחידה אחת מגיב לסכום הכוחות הפועלים עליו, והסכום הזה פועל כאילו כל המסה שלו נמצאת במרכז המסה. בתוך קו הקורוטציה משיכת כדור הארץ על הגוף גדולה ממה שהתנועה המעגלית שלו צריכה, ולכן הגוף כולו נלחץ לעבר כדור הארץ והמגע נמצא בדחיסה: הוא נדחף, לא נמשך, והוא מחזיק. הצד הרחוק של הגוף מגיע לקו ראשון (טבלת הקצה ב-§C.7), אבל כל עוד המרכז נמצא בפנים, החלקים שבתוך הקו גוברים על החלקים שמעבר לו והגוף עדיין נלחץ פנימה. כשהמרכז חוצה את הקו, הסכום מתהפך: ההשלכה החוצה עולה על המשיכה, והגוף מתחיל למשוך את המגע. מכאן והלאה המגע נמצא במתיחה, והשאלה הופכת לשאלה כיצד שכבה חמה וצמיגה מתנהגת כשמושכים אותה.

מה פירוש שחרור Stefan. שני לוחות זכוכית שטוחים עם שכבה דקה של מים ביניהם קל להחליק זה על זה, אבל קשה למשוך זה מזה בקו ישר. כדי לפתוח את הרווח, הנוזל צריך לזרום פנימה מן השוליים לעבר המרכז, וככל שהרווח דק יותר, הוא זורם בקושי רב יותר. כשמושכים אותם לאט, הלוחות נפרדים לאט בהתחלה; כשהרווח התרחב מעט, הנוזל זורם פנימה בקלות והם נפרדים בבת אחת. ההתנגדות אינה חוזק שנשבר; היא התנגדות לקצב הפתיחה, שנקבעת על ידי צמיגות השכבה — התנגדותה לזרימה — על ידי גודל הלוחות ועל ידי רוחב הרווח. זו הבעיה של Stefan, והמגע הוא שכבה כזו בקנה מידה גדול מאוד.

נתאר את המגע בשלב 3 כשכבה ניוטונית בעובי $d_0$, ברדיוס $R_c=1{,}500$ km (הדסקה בת 3,000 km של §B.4) ובצמיגות $\eta_c$. שכבה ניוטונית היא שכבה שהתנגדותה לזרימה יחסית למהירות שבה גורמים לה לזרום, כמו מים או דבש. שכבה כזו אינה נושאת מתיחה; היא מתנגדת לקצב שבו שני הגופים נפרדים. לשתי דסקות הנפרדות בקצב $\dot d$ ההתנגדות היא זו של Stefan,

$$F=\frac{3\pi\eta_cR_c^4\,\dot d}{2d^3}, \tag{30}$$

כאן $d$ הוא הרווח ברגע נתון ו- $\dot d$ הקצב שבו הוא נפתח. המשוואה אומרת שלושה דברים. ההתנגדות גדלה עם הצמיגות ועם מהירות הפתיחה: משיכה איטית פוגשת התנגדות קטנה. היא גדלה בתלילות רבה עם גודל הדסקה, כ- $R_c^4$: דסקה רחבה פי שניים מתנגדת פי שישה-עשר. והיא יורדת בתלילות רבה כשהרווח נפתח, כ- $d^{-3}$: רווח רחב פי שניים מתנגד פי שמונה פחות.

הכוח שמניע את ההיפרדות, לאחר שמרכז המסה של הגוף עבר את רדיוס הקורוטציה במרחק $\Delta r$, הוא הכוח נטו החוצה במערכת המסתובבת, $F_{\mathrm net}=m\,(3\omega^2)\,\Delta r$, כאשר $3\omega^2=2.7\times10^{-7}\ \mathrm{s^{-2}}$ ביממה של 5.77 שעות ברגע השחרור (מאמר 2). הגורם $3\omega^2$ מבטא באיזו מהירות התאוצה נטו החוצה גדלה עם המרחק מעבר לקו: ההשלכה החוצה $\omega^2 r$ גדלה כלפי חוץ בעוד המשיכה $K/r^2$ יורדת, ובקו שתיהן יחד משתנות ב- $3\omega^2$ לכל מטר של מרחק. בקו הכוח המניע הוא אפס; צעד קטן מעבר לו נותן כוח קטן החוצה, וצעד גדול יותר כוח גדול יותר. אם כל ההתארכות נלקחת לתוך השכבה, $\Delta r=d-d_0$:

$$\dot d=\frac{2m\cdot3\omega^2\,(d-d_0)\,d^3}{3\pi\eta_cR_c^4}. \tag{31}$$

משוואה (31) משווה את הכוח המניע להתנגדות ופותרת עבור קצב הפתיחה. היא מכילה את שני האפקטים שמאיצים את השחרור: הכוח המניע גדל עם $d-d_0$, וההתנגדות יורדת עם $d^3$.

הפתרון בורח: ההתנגדות יורדת כ- $d^{-3}$ ככל שהרווח נפתח, ולכן ההתנגדות הקטנה של המגע נכנעת מהר; השחרור מוגדר כאן כהגעת הרווח ל- $d=3d_0$, שבו ההתנגדות ירדה פי 27 והפתרון בורח. המרווח ברגע השחרור נקבע על ידי עובי השכבה בלבד, $\Delta r_{\mathrm release}=d-d_0\simeq2d_0$ (גרסה קודמת נתנה $(1$–$2)\,d_0$); הצמיגות ורדיוס המגע קובעים רק את הזמן. הסיבה היא שהרווח צריך להיפתח בכפולה קבועה של העובי ההתחלתי לפני שההתנגדות קורסת, תהא הצמיגות אשר תהא; שכבה קשיחה יותר רק גורמת לאותה פתיחה להימשך זמן רב יותר. הטבלה נותנת ארבעה מקרים; עמודת הזמן משתנה עם הצמיגות ועם העובי, ועמודת המרווח רק עם העובי:

הזמנים מתקבלים מאינטגרציה של משוואה (31) מרווח הזרע $d_0(1+10^{-3})$ ועד רווח השחרור $3d_0$ עם מסת הירח; הם משתנים כ- $\eta_c/d_0^{3}$. גרסה קודמת של הטבלה נתנה כ-4,800, 320 ו- $5\times10^{5}$ שנים לשלוש השורות האחרונות; הערכים האלה לא נבעו ממשוואה (31), שנותנת את הזמנים המוצגים כעת ומתאימה לעקומות של איור 11. גרסה מאוחרת יותר נתנה כ-240, 25,700, 1,640 ו- $2.6\times10^{6}$ שנים; הזמנים המוצגים כעת הם האינטגרל עצמו, וארבע השורות מתייחסות זו לזו כ- $\eta_c/d_0^{3}$. עמודת המרווח לא השתנתה.

שכבת מגע בעובי 20–50 km נותנת 40–100 km, והשחרור שאומץ, כ-210 km (§C.5a), מתאים לשכבה בעובי של כ-105 km — בכל המקרים מרווח קטן לעומת מרחק שחרור של 16,400–17,300 km, פחות מאחוז וחצי ממנו. לכן הגוף עוזב למעשה על הקו, כפי שמאמר 2 דורש, והמסלול שהוא נכנס אליו נקבע על ידי הקו ולא על ידי פרטי השכבה. בתיאור של §C.7–C.8 זו הפתיחה האחרונה של המגע, לאחר שמרכז הירח הגיע לקו וכוחות הקורוטציה והלחץ הפנימי פועלים יחד. השחרור בקו מתבצע אפוא על ידי החיבור שהמאמר הזה מוצא, בלי צוואר צר ובלי הנחה חדשה: המגע, חם ורך (§A.5, §B.4), מתנגד רק מעט, ובשכבה בעובי של כ-105 km הגוף משתחרר כ-210 km מעבר לקו (גרסה קודמת לקחה שכבה בעובי 50 km ושחרור כ-100 km מעבר לקו).

הזמנים בטבלה, מכמה מאות שנים ועד כמה מיליוני שנים (גרסה קודמת אמרה “עד כמה מאות אלפי שנים”), קצרים לעומת משך הבנייה. הם מעריכים את ההתנגדות הקטנה של המגע; הגוף עצמו נמשך החוצה בכוח, והמשיכה הזאת משכה את רכסי השפכטל.

הצימוד הסיבובי. שאלה שנייה היא אם אותו מגע יכול להמשיך לסובב את הגוף עם כדור הארץ בזמן שהוא עולה. כשהגוף נע החוצה, יש לתת לו מהירות צדדית רבה יותר כדי שיעמוד בקצב הסיבוב, ולשם כך דרוש מומנט כוח — כוח מסובב. אותה שכבה עונה על שאלת הצימוד הסיבובי: מומנט הכוח הדרוש כדי להשאיר את הגוף בקורוטציה כשהוא עולה 1 km/yr הוא $2m\omega r\dot r\simeq2\times10^{22}$ N m; הכוח הצדדי שהוא מחייב בגוף, $2m\omega\dot r\simeq1.4\times10^{15}$ N, כשהוא מתפזר על פני המגע, הוא מאמץ גזירה של כ-0.2 kPa (גרסה קודמת נתנה 7 kPa) — זניח לכל צמיגות שבטבלה. חמישית קילו-פסקל היא בערך חלק חמש-מאות מלחץ האוויר בגובה פני הים; שכבה בכל אחת מן הצמיגויות שלמעלה נושאת אותו בקצב גזירה זניח. המגע הרחב שומר על הצימוד הסיבובי: הוא מחזיק את הגוף לצדדים בזמן שהוא עולה, ולאורך הרדיוס הוא מתנגד רק מעט לאחר שהמרכז עבר את הקו.

איור 11 מראה את פתיחת הרווח בזמן לשניים מן המקרים. שתי העקומות נשארות כמעט שטוחות במשך רוב הזמן ואחר כך עולות בחדות: ההתנגדות נכנעת כשהרווח נפתח מעט. השכבה העבה יותר משתחררת מוקדם יותר, אבל בשני המקרים הרווח ברגע השחרור נפתח לפי שלושה מן העובי ההתחלתי, ולכן המרווח מעבר לקו, $d-d_0$, הוא פי שניים מעובי השכבה — 40 km לשכבה של 20 km ו-100 km לשכבה של 50 km, כמו בטבלה (גרסה קודמת של משפט זה קראה למרווח פי שלושה מן העובי).

הסדר קבוע: הגוף התעגל החוצה ונפחס בשלב המחובר, וההתעגלות פנימה שלו הושלמה לפני השחרור — יחס הצירים של 1.2 שייך לשלב המחובר המאוחר, וברגע השחרור הגוף היה עגול וקליפתו קשיחה (מאמר 7; מאמר 2, §B.7). הניתוק הוא מתיחה של השכבה, לא צביטה, והגוף שהיא משחררת נושא קליפה.

מדוע הגוף לא החליק אל המשווה. גוף המונח על גוף-אם שמסתובב פעם אחת ב-5.5 שעות חש כוח צנטריפוגלי — ההשלכה החוצה של הסיבוב. במשווה הכוח הזה רדיאלי כולו; בקו רוחב $\varphi$ יש לו רכיב משיקי, $\omega^2 r\sin\varphi\cos\varphi$, המכוון אל המשווה. זה אותו רכיב כמו $a_\lambda$ של משוואה (19), מן הצד השני: שם הוא מה שהחיבור צריך לספק, כאן הוא מה שהיה מזיז את הגוף אילו דבר לא סיפק אותו. על גוף-אם נוזלי, גוף ב-22.5° היה מחליק אל המשווה ונפרד משם, בנטייה אפס. מה מנע זאת?

על הקצה הרחב — עיגון. הגוף נשען על בסיס ברוחב 6,000 km, בתוך פתח בקליפה הסיאלית הקשיחה. זו הקליפה שהמודל דורש בכל מקרה, בצמיגות של $10^{23}$ Pa s או יותר, כדי שתיעוד המכתשים ישרוד עליה (§B.6). קליפה שמחזיקה מכתשים מחזיקה מיקום: בסיס המעוגן על פני שטח כזה אינו נודד. קליפה קשיחה מספיק כדי שמכתש של 100 km לא יירגע בעשרה מיליון שנים (§B.3) קשיחה הרבה יותר מכדי לאפשר לבסיס ברוחב 6,000 km להחליק עליה.

בהתעגלות החוצה — האגס. המגע מצטמצם ל-3,000 km, אבל הגוף עדיין נשען על קצה האגס, חלק מכדור הארץ שמוחזק בכבידה של כדור הארץ, ונושא את העומס הצדדי למטה אל כדור הארץ (§C.4, §C.7). הגוף אינו נסחף לעבר המשווה.

מסקנה. הגוף משתחרר בקו הרוחב שבו נישא, קו רוחב השחרור של מאמר 4, 22.5°. הנטייה היא ההטיה של מסלול הירח ביחס למשווה של כדור הארץ; גוף שמשתחרר בקו רוחב מסוים מתחיל במסלול הנטוי בזווית של אותו קו רוחב. בסיס האגס עמד בערך על המשווה של אותה תקופה; האם המשווה ההוא הוא המשווה של היום — זה נושא הצירים, שהם עבודה עתידית.

C.5a כמה רחוק מעבר לקו: מרחק השחרור

סעיף C.5 מצא שהגוף משתחרר במרחק קצר מעבר לקו הקורוטציה. הסעיף הזה שואל כמה רחוק, מה המרחק הזה עושה למסלול, ובאיזה טווח החוקים המצומצמים של הסדרה ממקמים אותו. התשובה היא השחרור שהסדרה מאמצת: כ-210 km מעבר לקו, כשמעט יותר ממחצית הירח חצתה אותו. השאלה חשובה כי המרחק קטן לעומת הרדיוס — פחות מאחוז אחד ממנו — אבל אינו קטן עבור צורת המסלול. גוף שמשתחרר בדיוק על הקו נע במהירות של מסלול מעגלי ונכנס למעגל. גוף שמשתחרר מעבר לקו נושא מעט יותר מהירות ממה שמעגל דורש: נקודת השחרור הופכת לנקודה הקרובה ביותר של המסלול, הפריגאה, והמסלול הוא אליפסה מתוחה מעט. האקסצנטריות שלה, $e_0$ — אפס למעגל, וגדלה ככל שהאליפסה נמתחת — גדלה עם המרחק מעבר לקו. האקסצנטריות הזו, והמסלול הגדול במקצת שבא איתה, נישאים אל שני המספרים שאפשר לבדוק מולם את הירח של היום: הנטייה של מסלולו והמתיחה של מסלולו.

המסגרת. כל שורה מציבה את מרכז המסה של הירח במרחק הנתון מעבר לקו הקורוטציה ברגע הניתוק המלא, ביממת השחרור של 5.77 h וברדיוס הגוף בשחרור, 1,890 km; “חצה” הוא החלק מנפח הירח שנמצא מעבר לקו באותו רגע. המסלול ההתחלתי נובע מן הנוסחאות של מאמר 4, נספח A (יחס המהירויות $B$, $a_0=r_0/(2-B)$, $e_0=|1-B|$, נקודת השחרור בפריגאה), והזווית הסופית מחוק הטנגנס המצומצם של מאמר 4, חלק D, $\tan i=\tan\lambda\,(a_0/384{,}400\ \mathrm{km})^{1/2}$. האקסצנטריות נישאת מן השחרור עד המרחק של היום, 384,400 km, בגאות של פיגור זמן קבוע [21] — הגאות שמורמת בכדור הארץ ועוד הגאות שמורמת בירח סינכרוני, שעוצמתה ביחס לזו של כדור הארץ היא $A$ — כשסיבוב כדור הארץ נובע משימור התנע הזוויתי; השמש ותהודת האבקציה אינן כלולות.

הנטייה. הטבלה הראשונה משחררת את הגוף בקו הרוחב של הסדרה, 22.5°, שבו קו הקורוטציה נמצא ב-17,287 km. קראו אותה מלמעלה למטה: המרחק גדל, ואיתו החלק מן הגוף שחצה את הקו, האקסצנטריות בשחרור, גודל המסלול והזווית הסופית במרחק של היום. הגוון הכחול-כהה מעמיק עם הזווית הסופית. השורה בירוק ובהדגשה היא זו שהזווית הסופית שלה שווה ל-5.145° הנצפים; זהו השחרור שאומץ.

טבלה C.5a.1. שחרור ב-22.5° (קו הקורוטציה ב-17,287 km): המסלול ההתחלתי והזווית הסופית לפי החוק המצומצם, כפונקציה של המרחק מעבר לקו. הכחול-כהה מעמיק עם הזווית הסופית; הירוק מסמן את 5.145° הנצפים, שהם השחרור שאומץ.

הזווית הסופית עולה לאט ובהתמדה עם המרחק: כשלוש מאיות מעלה לכל 50 km. שחרור על הקו נותן 5.020°, שחרור 100 km מעבר לו 5.079°, ו-5.145° הנצפים מתקבלים בכ-210 km, כש-58% מנפח הירח חצו את הקו. אולם הזווית רגישה יותר לקו הרוחב של הקצה מאשר למרחק. המחבר ממקם את הקצה בין 22° ל-24°; המרחק שמחזיר 5.145° נע לאורך הטווח הזה כך:

טבלה C.5a.2. הרגישות לקו הרוחב של הקצה. הכחול-כהה מעמיק עם קו הרוחב; הירוק מסמן את קו הרוחב של הסדרה.

חצי מעלה של קו רוחב מזיזה את המרחק בכ-200 km. הנטייה לבדה ממקמת אפוא את השחרור בתוך טווח, לא בנקודה; המבחן השני מצמצם אותו.

המתיחה. הטבלה השנייה עורכת את אותו חיפוש עבור האקסצנטריות. היא נעשית במישור, בשחרור על המשווה של אותו זמן (קו הקורוטציה ב-16,399 km), שבו נכתבות משוואות הגאות שלמעלה; במרחק נתון האקסצנטריות בשחרור כמעט זהה לזו שב-22.5° (השוו בין שתי הטבלאות). שלוש העמודות האחרונות נותנות את האקסצנטריות במרחק של היום לשלושה ערכים של $A$. המספר $A$ אומר עד כמה חזק בלע הירח הצעיר אנרגיה גאותית ביחס לכדור הארץ: לירח קר וקשיח $A$ קטן, לירח חם ורך גדול. הגאות בכדור הארץ מותחת את המסלול בזמן שהוא גדל; הגאות בירח מעגלת אותו. הגוון הכחול-כהה מעמיק עם $e_0$; התא הירוק הוא הקרוב ביותר לערך של היום, 0.0549.

טבלה C.5a.3. שחרור על המשווה של אותו זמן (קו הקורוטציה ב-16,399 km): המסלול ההתחלתי והאקסצנטריות במרחק של היום לשלוש עוצמות $A$ של הגאות בירח. הכחול-כהה מעמיק עם $e_0$; הירוק מסמן את הערך הקרוב ביותר ל-0.0549 של היום.

השורה הראשונה היא המכרעת. גוף שמשתחרר בדיוק על הקו נכנס למעגל, והגאות נושאת מעגל החוצה כמעגל: יהא ערכו של $A$ אשר יהא, האקסצנטריות נשארת אפס לכל אורך הדרך עד 384,400 km. כל אקסצנטריות שיש לירח היום חייבת אפוא להתחיל כ- $e_0$ קטן ברגע השחרור. כשהפיזור בירח קטן ($A=0$ או 1) הגאות בכדור הארץ מותחת גם $e_0$ קטן לאליפסה ארוכה; בירח צעיר וחם הגאות בירח מרסנת את המתיחה, ול- $A=3$ הערך של היום, 0.0549, נמצא בין השורה של 200 km לשורה של 300 km. המרחק שמחזיר את האקסצנטריות של היום תלוי ב- $A$: כ-120 km ל- $A=2.5$, כ-210 km ל- $A=3.0$, כ-330 km ל- $A=3.5$ וכ-460 km ל- $A=4.0$.

במונחים של §C.5, שבהם המרווח בשחרור הוא $\Delta r\simeq2d_0$, המרחק שאומץ, כ-210 km, מתאים לשכבת מגע בעובי של כ-105 km, פי שניים מן השכבה של 50 km בשורה שלפני האחרונה בטבלה של §C.5; ההתנגדות נשארת ההתנגדות הקטנה של מגע חם ורך, והמרחק נשאר פחות מאחוז וחצי ממרחק השחרור.

מאחורי הקלעים. גרסה קודמת של המאמר אימצה שחרור כ-100 km מעבר לקו, ההערכה של המחבר לשכבת מגע בעובי של כ-50 km. חיפוש מרחק השחרור שלמעלה הראה ששני המבחנים המצומצמים נפגשים מעט רחוק יותר, והסדרה מאמצת כעת את הערך המחושב; ההערכה הייתה בתוך אותו טווח וקרובה אליו.

מה שיש בידינו עכשיו: העומס ברגע השחרור ידוע (§C.2), הוא נישא על ידי מגע רחב וחם ולא על ידי צוואר (§C.4), והגוף מתחיל להיפרד בקו ומשתחרר כ-210 km מעבר לו, נמשך החוצה בכוח כנגד מגע שמתנגד רק מעט (§C.5); הנטייה והמתיחה של המסלול של היום נפגשות סמוך למרחק הזה לפי החוקים המצומצמים (§C.5a). הסעיף הבא מנסח את התוצאה הזו בצורה שמאמר 4 צריך.

C.6 תנאי ההעברה למאמר המסלול

מסלול הירח אחרי השחרור הוא הנושא של מאמר 4 (המסלול). הוא צריך מן המאמר הזה רק את המצב ברגע השחרור: היכן היה הירח, באיזו מהירות הסתובב כדור הארץ, ומה החיבור עוד עשה. המצב שמועבר למאמר 4 הוא זה של מאמר 2, כשהקיזוז בין האגס המתארך לליבה המתרכזת נלקח בחשבון. האגס המתארך נושא מסה החוצה ולכן מאט את סיבוב כדור הארץ; הברזל השוקע לעבר המרכז — הליבה המתרכזת — מאיץ אותו, כפי שמחליקה מסתובבת מהר יותר כשהיא מקרבת את זרועותיה; שניהם יחד נותנים את היממה של 5.77 שעות (מאמר 2, §A.4):

שתי השורות נבדלות רק בקו הרוחב. במשווה הקו נמצא ב-16,399 km, ולחיבור לא נשאר ברגע השחרור עומס מלבד ההתנגדות הקטנה של המגע; ב-22.5° הקו רחוק יותר, ב-17,287 km, והעומס הצדדי של §C.2 נשאר. בשני המקרים הירח עוזב במסלול כמעט מעגלי: על הקו המהירות שהוא נושא עם הסיבוב היא המהירות של מסלול מעגלי, וכ-210 km מעבר לו מעט יותר, ולכן נקודת השחרור היא הפריגאה (§C.5a, §C.8). (גרסה קודמת העבירה שחרור על הקו, במסלול מעגלי.)

מאחורי הקלעים. גרסה קודמת של סעיף זה העבירה שחרור מאוחר יותר, ב-20,595 km וביממה של 6.59 שעות, מעבר לגבול רוש הנוזלי של גוף בצפיפות 2,600 kg/m³. הענף ההוא לקח בחשבון רק את האגס המתארך; עם הליבה המתרכזת היממה ברגע השחרור היא 5.77 h והקו נמצא בכ-16,400 km (מאמר 2, §A.4). הגוף המשתחרר שם נמצא בתוך גבול רוש הנוזלי והרחק מחוץ לגבול הקשיח (10,314 km ב-2,600 kg/m³): הוא מוחזק על ידי קליפתו הקשיחה והמעוגלת, לא על ידי שיווי משקל נוזלי (מאמר 7, §C.5). גבול רוש הוא המרחק מכדור הארץ שבתוכו המתיחה הגאותית עולה על הכבידה העצמית של גוף: גוף נוזלי בתוכו נקרע, ואילו גוף בעל קליפה קשיחה שורד קרוב הרבה יותר, עד הגבול הקשיח. הירח ברגע השחרור נמצא בין השניים, ולכן הקליפה הקשיחה חשובה.

C.7 בליטה אחת: כדור הארץ נמשך לאגס שקצהו הופך לירח

סעיף זה מתאר את המבנה שנושא את הגוף מלמטה: מהו, מדוע צורתו צורת אגס, מה רוחבו ואורכו, וכמה מסה הוא מכיל.

ברגע השחרור מרכז הגוף נמצא על קו הקורוטציה, כ-16,400 km ממרכז כדור הארץ במשווה, ופני השטח הקרובים שלו בכ-14,500 km — המרכז פחות רדיוס הגוף, 1,890 km. בין פני השטח של כדור הארץ — 6,701 km מן המרכז במשווה של גוף-האם הפחוס ביממה של 5.77 שעות — לבין פני השטח האלה מפרידים כ-7,800 km. משהו מחובר צריך למלא אותם, כי גוף שהיה עוזב את פני השטח של כדור הארץ עם הסיבוב לבדו היה נושא פחות ממחצית המהירות של מסלול ונופל בחזרה (§C.8). אנו מציעים שכדור הארץ עצמו ממלא אותם, בבליטה אחת: הלחץ שהרים את הגבעה המשיך להרים אותה, והבליטה נמשכה לאגס מן החומר של כדור הארץ עצמו, שקצהו — הכיפה של חלק B — התעגל והפך לירח. הסיבוב, ההתמיינות של פנים כדור הארץ והלחץ הפנימי, שמושכים את האגס החוצה, פועלים כמנגנון אחד; שלושת פניו מתוארים להלן, תחת האגס לפני המאמר הזה.

מדוע חוט אינו יכול, ואגס יכול. חוט נוזלי בין שני גופים אינו יכול לשאת את הגוף: הכבידה המשותפת של כדור הארץ והגוף אכן מושכת חומר שזז ממקומו בחזרה אל הקו שביניהם — לכל כיוון ובכל גובה — אבל בחוט ברוחב 3,000–4,200 km המשיכה המחזירה הזו מחזיקה רק עשירית עד חלק חמישים מן הלחץ הנדרש ליד בסיסו, 35–81 GPa. האגס אינו חוט. הוא חלק רחב של כדור הארץ עצמו, והוא מוחזק בכבידה של כדור הארץ כמו כל חלק אחר של כדור הארץ, כפי שכדור הארץ מחזיק את הריו. הוא אינו נזרק, משום שמהירותו אינה מהירות זריקה והוא נמצא כולו בתוך קו הקורוטציה. ליד כדור הארץ הוא רחב, והוא מצטר בקשת אחת לעבר קצהו, שנושא את המגע בכ-15,400 km מן המרכז — מרכז הירח ב-17,287 km פחות רדיוסו, 1,890 km (גרסה קודמת נתנה 16,100 km ו-9,500 km לראש הקצה). האגס בהתחלה, כשהגוף ישב על הקצה הרחב (§B.2), וברגע השחרור:

שתי העמודות מתארות את האגס הגדל. בין ההתחלה לשחרור אורכו בערך הוכפל, מכ-4,000 לכ-8,700 km, וקצהו הצטמצם בחצי, מ-6,000 ל-3,000 km, כשהגוף שעליו התעגל החוצה.

רוחב הבסיס. בסיס האגס נלקח ברוחב 9,000–11,000 km. חסם עליון מגיע מן האנרגיה: בסיס רחב יותר מכיל יותר מסה, והרמת מסה רבה יותר עולה יותר עבודה. כשמרחיבים את הבסיס באותה צורה, האגס ברגע השחרור מכיל 8.8 מסות ירחיות בבסיס של 9,000 km, 10.4 ב-10,000 km ו-12.1 ב-11,000 km, והרמתו עולה $8.1\times10^{30}$, $9.3\times10^{30}$ ו- $1.05\times10^{31}$ J — האחרון מסדר הגודל של האנרגיה שמשתחררת בהיווצרות ליבת כדור הארץ. אנו לוקחים את הבסיס כ-9,000–11,000 km. בזמן שהגוף עלה, הקצה הצטמצם מ-6,000 ל-3,000 km, ואילו הבסיס התרחב.

מסת האגס. האגס מכיל אפוא 8.8–12.1 מסות ירחיות לבסיסים של 9,000–11,000 km. הערך “כתשע מסות ירחיות” שבו משתמש המאמר הזה (§C.9) הוא המקרה של 9,000 km, הקצה הצר של הטווח; במילים, האגס מכיל כתשע עד שתים-עשרה מסות ירחיות. לשם השוואה, האגס של 9,000 km מכיל כ-11% ממסת כדור הארץ (§C.9) — בליטה גדולה, אבל אזור אחד של כוכב הלכת, לא כוכב הלכת כולו.

איור 12 משרטט את שתי העמודות של הטבלה. הנקודה שיש להתבונן בה היא קו המתאר של חלונית (B): הוא מצטמצם בהדרגה מן הבסיס אל הקצה, בקשת אחת, בלי מותן שבו הוא יכול להיצבט, והוא מסתיים לפני קו הקורוטציה.

הקצה לאורך הטיפוס. קצה האגס נושא את הגוף של חלק B, והגוף מתעבה ככל שהוא עולה; הסיבוב שלו הוא של כדור הארץ. להלן השלבים, עם צורת גוף מסתובב בצפיפות ובסיבוב האלה (מאמר 7, §C.1). יחס הצירים $a/c$ הוא היחס בין הציר הארוך ביותר של הגוף לציר הקצר ביותר: 1.00 לכדור, וגדול יותר לגוף פחוס. גוף קל שמסתובב עם כדור הארץ נפחס מאוד, כי כבידתו שלו חלשה לעומת הסיבוב; כשהוא מתעבה, כבידתו גדלה והוא מתעגל פנימה. הטבלה נקראת מלמעלה למטה, כשהצפיפות עולה והיחס יורד לעבר 1:

הפחיסות וההתעגלות פנימה התרחשו שתיהן בזמן שהגוף היה מחובר: היחס ירד מ-1.69 בשיא הפחיסות ל-1.20 בשלב המחובר המאוחר. עד השחרור ההתעגלות פנימה הושלמה; הגוף היה עגול, קליפתו החיצונית קשיחה (מאמר 2, §B.7: יחס צירים של 1.04 לכל היותר), ומאז הוא נדחס לצפיפות של היום, 3,344 kg/m³.

שלוש תוצאות. שלוש תוצאות עולות. האגס הוא חלק מכדור הארץ ומוחזק בכבידה של כדור הארץ, ולכן השאלה הצדדית של החיבור נענית על ידי הכבידה של כדור הארץ עצמו: העומס הצדדי של §C.2, ששום צוואר לא יכול היה לשאת, נישא על ידי גוף רחב מן החומר של כדור הארץ עצמו. בחלקו העליון האגס נקבע על ידי המגע שהוא נושא, 6,000 km בהתחלה ו-3,000 ברגע השחרור. והאגס כולו נמצא בתוך קו הקורוטציה, כך שהכבידה האפקטיבית לאורכו מכוונת בכל מקום אל כדור הארץ: הוא דחוס לאורכו, אין לו מותן שתיצבט, ושום חלק ממנו אינו יכול להישאר במסלול; לאחר השחרור ההתמיינות אוספת אותו בשלמותו בחזרה אל כדור הארץ לאורך עשרות עד מאות מיליוני שנים.

מה עלה בגורל האגס. האגס לא אבד בשחרור. לאחר השחרור ההתמיינות אספה אותו בחזרה אל כדור הארץ, בהדרגה, לאורך עשרות עד מאות מיליוני שנים. החלק הכבד שלו שקע עמוק אל תוך כדור הארץ מתחת לבסיס האגס (חלק E); הצד הקדמי שלו נאסף לפסים של צפון האוקיינוס השקט, והגב שלו לקשתות של מערב האוקיינוס השקט (מאמר 9, הפסים). המסה לא עזבה את כדור הארץ; היא עברה מגובה רב בחוץ אל עומק רב בפנים, והשאירה קמטים על פני השטח במקום שבו נכנסה.

מאחורי הקלעים. תחילה חיפשנו חוט צר בין כדור הארץ לגוף; הוא אינו יכול לשאת את העומס. אחר כך שרטטנו את האגס עם צוואר ארוך שמגיע מעבר לקו הקורוטציה, ומשתחרר כשהקצה חוצה אותו. כשהשחרור הוצב במקום שבו מרכז המסה של הירח מגיע לקו (מאמר 2), הצוואר איבד את תפקידו: האגס הוא קשת אחת מפני השטח של כדור הארץ עד המגע, כולה בתוך הקו.

האגס לפני המאמר הזה. הצורה אינה חדשה בפיזיקה. Poincaré [8] מצא ב-1885 שסדרת שיווי המשקל של נוזלים מסתובבים עוברת מספרואיד Maclaurin אל אליפסואיד Jacobi ומתפצלת שם לצורה דמוית אגס, או פיריפורמית, והוא הציע שאגס עשוי להתחלק לשני גופים לא שווים. ספרואיד Maclaurin הוא הצורה הפחוסה, העגולה במבט מלמעלה, של גוף נוזלי אחיד המסתובב לאט; אליפסואיד Jacobi הוא הצורה המוארכת, בעלת שלושה צירים לא שווים, שגוף כזה מקבל כשהוא מסתובב מהר יותר; והאגס מתפצל מצורת Jacobi בסיבוב מהיר עוד יותר. Darwin החיל את הרעיון על כדור הארץ והירח, ובעקבות זאת באה תאוריית הביקוע של Poincaré–Darwin [9]. בתאוריה ההיא האגס נמתח על ידי הסיבוב לבדו, ולכן הוא דורש סיבוב קרוב לנקודת ההתפרקות — זו ההתנגדות מצד התנע הזוויתי שהביאה לסופה; ו-Cartan הראה מאוחר יותר שאי-יציבות דינמית מופיעה במקום שבו האגס מתפצל מסדרת Jacobi [10], וקוטעת את ההתפתחות האיטית שהתאוריה הניחה. האגס המוצע כאן שונה בסיבתו. הסיבה היא מנגנון אחד בעל שלושה פנים. הסיבוב יוצר לחץ צנטריפוגלי. ההתמיינות של כדור הארץ (הדיפרנציאציה) נוטה לרכז את החומר הכבד, ובכך היא דוחקת את כל השאר החוצה: זה הלחץ הפנימי. והסיבוב הוא שמניע את ההתמיינות. יחד הם יוצרים את האנומליה שהיא האגס. האגס נוצר בסיבוב של 5.5 שעות שפרמטר הסיבוב שלו, $\Omega^2/\pi G\rho\simeq0.092$ לגוף-האם ההומוגני (גרסה קודמת נתנה 0.093), נמוך בהרבה מן הנקודה שבה מתחיל ענף Jacobi. פרמטר הסיבוב משווה את הסיבוב לכבידה העצמית של הגוף; את ההשוואה יש לעשות על סקלה אחת. בסקלה $\Omega^2/(\pi G\rho)$ שבה משתמשים כאן, ענף Jacobi מתחיל ב-0.374 (מאמר 2, §A.6.5), ולכן ה-0.092 של גוף-האם הוא כרבע ממנו; הערך 0.187, שמצוטט לעתים קרובות לאותה נקודת הסתעפות, הוא אותה נקודה בסקלה $\Omega^2/(2\pi G\rho)$, ואין להשוות אותו ישירות ל-0.092. גוף-האם של 5.5 שעות רחוק אפוא מן הסיבוב שבו הסיבוב לבדו היה הופך אותו לאגס. האגס כאן גדל מאזור אחד ולא מן הגוף כולו; רק קצהו עוזב, משמרכז המסה של הקצה מגיע לקו הקורוטציה, והשאר נאסף בחזרה אל כדור הארץ בהתמיינות. שיווי משקל שאינו יציב אינו מכשול לצורה שמונעת בכוח ואחר כך משוחררת. אגס אינו יכול להיווצר בגוף שכבר מוין והסתובב לאט, כמו כדור הארץ היום: גוף כזה כבר התייצב, ושום דבר אינו יכול לצאת ממנו. בתקופת האגס הסיבוב היה מהיר, הצמיגות נמוכה וההתמיינות רק בראשיתה; בתנאים כאלה נוצרים אגסים, ומהם — ירחים.

קרוב יותר לתיאור הנוכחי, כמה מחברים הציעו שהירח עזב כדור ארץ שהסתובב לאט יותר בסיוע מבפנים. De Meijer ועמיתיו [13] הציעו פיצוץ גרעיני ליד הגבול שבין הליבה למעטפת של כדור ארץ קדום שהסתובב בכ-5.8 שעות; Edwards [14] הציע שחום וחומרים נדיפים הצטברו מעל האזורים הקדומים הגדולים במהירות נמוכה עד שפיצוץ שיגר את החומר הזה, עם המעטפת שמעליו, למסלול נמוך, ושם הוא התלכד לירח. Lock ו-Stewart [15] הראו שכדור ארץ חם ומורחב מגיע לגבול הקורוטציה שלו ויוצר מבנה מורחב מעבר לו; ו-Denton ועמיתיו [16] מצאו ש-Charon, שהיה מחובר ל-Pluto לאחר התנגשות, היה בעל מרכז מסה מעבר לרדיוס הקורוטציה של Pluto לפני שהשניים נפרדו. התיאור כאן חולק מנגנון מניע עם השניים הראשונים וגבול עם השניים האחרונים, ושונה מכולם במהלכו: לא פיצוץ ולא ענן פסולת, אלא גוף מחובר אחד, שמורם בהדרגה על ידי הלחץ, וקצהו מתחיל להיפרד כשמרכז המסה שלו מגיע לקו הקורוטציה ומשתחרר מעט מעבר לו.

איור 13 מציב את שני האגסים זה לצד זה. משמאל הצורה הקלאסית: הגוף כולו נמתח על ידי הסיבוב. מימין האגס של סעיף זה, משורטט בקנה מידה: כדור ארץ מסתובב בעל צורה רגילה, שמאזור אחד שלו משך הלחץ אגס, והירח בקצהו ומרכזו על הקו.

מה דוחף את האגס החוצה: זרם, ואחר כך לחץ כלוא. האגס גדל בשני שלבים, שנקבעים על ידי הפתחים בצד הרחוק של הגוף. כל עוד הפתחים האלה פתוחים, הלחץ בורח דרכם, אבל לא בלי השפעה: הוא יוצר זרם שעובר לאורך כל המבנה, מן המקור העמוק דרך האגס והגוף, אל היציאות בצד הרחוק. הזרם הזה בונה את הצד הרחוק ואת תיעוד המכתשים שלו (מאמר 6, המכתשים), נושא חומר אל הקצה החיצוני של האגס, ושומר על החלק הצר חם. אחר כך הפתחים בצד הרחוק נאטמים. אנו מציעים ששתי סיבות פעלו יחד: הפתחים היו חשופים לקור של החלל, וככל שהאגס גדל, החלק המרוחק של הגוף התרחק ממוקד כדור הארץ ופחות חום ארצי הגיע אליו. התוצאה היא תגובת שרשרת: החום מתמעט, הימות הרחוקות נאטמות, נותרים פחות פתחי יציאה, הלחץ גובר והאגס מתארך. רוב הימות של הצד הרחוק נאטמו כך ויצרו כעין כיפה סגורה, שהלחץ דוחף אותה מבפנים. מאז הלחץ כלוא, וכשמשקל החומר העולה יורד לעבר אפס בקו הקורוטציה, האגס מאיץ החוצה. הסיבה זהה לזו שב-§C.5: ליד הקו, הכבידה וההשלכה החוצה כמעט מאוזנות, ולכן החומר שם כמעט חסר משקל, ולחץ כלוא שכבר אינו בורח יכול לדחוף אותו החוצה בקלות. הבסיס בצד הקרוב פונה אל כדור הארץ החם ואינו נאטם כל עוד הגוף מחובר. בניתוק הפסיק הלחץ של כדור הארץ להגיע אל הירח, ואיתו הלחץ הפנימי של הירח והפליטות. הימות הגדולות של הצד הקרוב היו אז חמות ובעלות צמיגות נמוכה, ולכן פני השטח שלהן חלקים, כמו אגם קפוא; הן קפאו אחר כך, לאט ומבחוץ פנימה, לאורך מאות מיליוני שנים ועד מיליארד או שניים — Serenitatis ראשונה, קרוב מאוד לכדור הארץ, ו-Imbrium אחרי הניתוק. המכתשים שעליהן קטנים ברובם: אחרי השחרור נמשכו אל הירח טיפות קטנות ובינוניות שכדור הארץ זרק, והן יצרו אותם (§C.11). הפתחים הישנים של הצד הרחוק נאטמו לפני השחרור. ימה אחת בצד הרחוק היא יוצאת דופן: Moscoviense נשארה פעילה זמן רב אחרי שהאחרות נאטמו. המחבר מציע שהיא הוזנה מ-Serenitatis, בזמן ש-Serenitatis עוד הייתה פנימית, לאורך מעבר ישר דרך הפנים בין השתיים, ולכן נשארה פעילה זמן כה רב.

הזרם אינו מותח את החלק העליון הצר של האגס בגרירה. הוא מותח אותו במה שהוא נושא ובחום שהוא מביא. הטבלה הבאה בודקת את שני האפקטים. לקצבי ההזנה של חלק A, לחלק העליון הצר של האגס — ברוחב 3,000 km ובאורך של כ-6,000 km — ולהתך בצפיפות 3,000 kg/m$^3$:

שתי העמודות הן שני משכי ההזנה של חלק A (בשורה האחרונה גרסה קודמת נתנה 0.0006% להזנה של 600 Myr): כל מסת הירח נמסרת ב-100 מיליון שנה או ב-600 מיליון שנה. מספר Péclet משווה את המהירות שבה הזרם נושא חום לאורך האגס למהירות שבה החום דולף החוצה בהולכה; ערך של אלפים פירושו שהזרם מכניס חום מהר בהרבה ממה שהוא יכול לדלוף החוצה. הקרום הקפוא הוא הקרום החיצוני הקר שיכול להיווצר על החלק הצר בזמן שהזרם שומר על פנימו חם: ככל שהזרם מביא יותר חום, הקרום דק יותר. שתי השורות האחרונות נותנות את גרירת הזרם על הדפנות ומשוות אותה לעומס של §C.2.

הגרירה זניחה; החום אינו זניח. משיכת הזרם על הדפנות קטנה ממאית האחוז מעומס החיבור. ההסעה — נשיאת החום על ידי החומר הנע — עוקפת את ההולכה בשלושה סדרי גודל, ועל חלק צר ברדיוס 1,500 km קופא רק קרום של קילומטרים בודדים עד כמה עשרות קילומטרים: החלק הצר נשאר מותך ורך בזמן שהאגס נמשך החוצה, ובמגע החם והחשוף הגוף מתחיל להיפרד כשמרכזו מגיע לקו, ונמשך לחופשי מעט מעבר לו (§C.8). זה המגע החם והרך של §C.5, שמתנגד רק מעט.

C.8 היכן הגוף עוזב: מרכזו מגיע לקו

סעיף זה קובע היכן מתרחש השחרור ומדוע הגוף עוזב במסלול ואינו נופל בחזרה. הגוף מתחיל להיפרד כשמרכז המסה שלו מגיע לקו הקורוטציה, ומשתחרר כ-210 km מעבר לו (§C.5a; מאמר 2, §B.8): שם המהירות שהוא נושא עם הסיבוב היא המהירות של מסלול מעגלי, ומעבר לקו כוחות הקורוטציה מושכים אותו החוצה; הלחץ הפנימי שמתחתיו מסייע. בקו רוחב $\varphi$ הקו נמצא ב- $r_{\mathrm co}/\cos^{2/3}\varphi$, כאשר $r_{\mathrm co}=16{,}399$ km ביממה של 5.77 שעות. הקו מתרחק ככל שמתרחקים מן המשווה, כי בקו רוחב מסוים הגוף קרוב יותר לציר הסיבוב מאשר מרחקו מן המרכז, והוא מסתובב על מעגל קטן יותר; הוא צריך להיות רחוק יותר לפני שמהירות הסיבוב משתווה למהירות המסלול:

המרחק גדל לאט עם קו הרוחב: ב-888 km בין המשווה ל-22.5°, כ-5%. השחרור שאומץ, 17,287 km ב-22.5°, מודגש.

הגוף שם נמצא הרחק מעבר לגבול רוש הקשיח, 10,314 km ב-2,600 kg/m³, והוא מוחזק על ידי קליפתו הקשיחה והמעוגלת (מאמר 7, §C.5). המגע הוא גם הנקודה החלשה ביותר של המבנה כולו: המקום היחיד שהעור של הגוף לא כיסה, והמקום שבו האגס החם פוגש אותו.

מה האגס עושה לירח: הוא מרים אותו, והוא מסובב אותו. האגס פועל על הירח בשני כיוונים בבת אחת. רדיאלית, הוא מרים אותו: הלחץ שמושך את האגס החוצה מעלה את הגוף שבקצהו מפני השטח של כדור הארץ אל קו הקורוטציה, במחיר כבידתי של כ- $1.5\times10^{30}$ J (§A.12). לצדדים, הוא מסובב אותו: מכיוון שהירח מחובר, האגס מסובב אותו עם כדור הארץ, ובכל קילומטר שהירח עולה יש לתת לו את המהירות הצדדית של הסיבוב במרחקו החדש. התמונה היא ילדה ההולכת החוצה על קרוסלה מסתובבת: ככל שהיא מתרחקת, היא צריכה לנוע מהר יותר לצדדים כדי להישאר עם הקרוסלה, והקרוסלה צריכה לדחוף אותה כדי לתת לה את המהירות הזו. האגס מספק את המהירות הזו דרך המגע, ובקו המהירות שנתן היא בדיוק המהירות של מסלול מעגלי שם:

במשווה שתי המהירויות שוות, 4.96 km/s: זו משמעות “על הקו”. ב-22.5° המהירות הצדדית היא $\omega r\cos\varphi$, כי הירח מסתובב על מעגל ברדיוס $r\cos\varphi$ סביב ציר הסיבוב; המסלול הנובע ממנה מחושב במאמר 4. התנע הזוויתי — המסה כפול המהירות הצדדית כפול המרחק מן הציר, “כמות הסיבוב” שנשמרת כשאין מומנט כוח חיצוני — ניתן בעמודה האחרונה. הוא מחושב כאן עם מסת הירח $m$ סביב ציר הסיבוב של כדור הארץ; מאמרים 2 ו-4 נותנים $5.9\times10^{33}$ למסלול ברגע השחרור, אותו גודל במשווה, כשהוא נכתב למסלול של שני גופים עם המסה המצומצמת $m_r$, הקטנה ב-1.2% מ- $m$.

התנע הזוויתי שהאגס מעביר לירח, כשישית מזה של המערכת, נלקח מסיבוב כדור הארץ — זו ההאטה שהליבה המתרכזת מקזזת (מאמר 2, §A.4). ההרמה מביאה את הירח אל הקו; הנשיאה בסיבוב נותנת לו, כשהוא מגיע, את המהירות להישאר במסלול. לגוף שנזרק מכדור הארץ יש את הראשון וחסר לו השני:

מדוע הגוף צריך להינשא, לא להיזרק. הסיבוב נותן לגוף את המהירות $\omega r$, שגדלה כלפי חוץ, ואילו מסלול צריך $\sqrt{GM/r}$, שיורדת; השתיים נפגשות רק ברדיוס הקורוטציה. גוף שמשתחרר מתחת לקו נופל בחזרה, תהא הדחיפה החוצה שהוא מקבל אשר תהא, כי דחיפה החוצה מוסיפה גובה אבל לא את המהירות הצדדית של מסלול. הטבלה עוקבת אחר גופים כאלה על כדור ארץ של 5.5 שעות. “הנקודה הגבוהה ביותר” ו“הנקודה הנמוכה ביותר” הן המרחק הגדול ביותר והמרחק הקטן ביותר של המסלול ממרכז כדור הארץ; נקודה נמוכה ביותר שמתחת לרדיוס כדור הארץ פירושה שהגוף חוזר אל כדור הארץ:

שלוש השורות הראשונות מתחילות ב-8,991 km, ראשו של גוף שיושב נמוך על כדור הארץ: תהא הדחיפה החוצה אשר תהא, אפילו 7 km/s, המסלול עדיין יורד לכ-900 km מן המרכז, עמוק בתוך כדור הארץ. דחיפה מגביהה את הנקודה הגבוהה ביותר אבל כמעט אינה מזיזה את הנמוכה ביותר, כי היא אינה נותנת מהירות צדדית. רק שתי השורות האחרונות, שמשתחררות קרוב לקו ב-15,800 km (הקו נמצא ב-15,818 km ליממה של 5.5 שעות), נשארות הרחק מכדור הארץ, ושם די בדחיפה קטנה. על הקו עצמו אין צורך בשום דחיפה.

העלייה בעודו מחובר היא שנותנת לגוף את המהירות הצדדית של מסלול. האגס עומד בקצב הסיבוב בזמן שהוא גדל: חומר שנישא החוצה צריך לקבל תנע זוויתי, והאגס מספק אותו, אבל בקצבי ההזנה של חלק A הגזירה שזה דורש מן החלק העליון הצר של האגס היא מסדר גודל של 0.03 Pa — זניחה לחיבור מותך וצמיג — ולכן הפיגור אינו קריעה אלא הטיה: החלק החיצוני של האגס, שנישא הרחק מן הציר, מפגר אחר סיבוב כדור הארץ, והאגס כולו נוטה לאחור, מערבה, עם הירח בקצהו (§B.1). התנע הזוויתי שהירח עוד צריך מגיע אליו דרך המגע. על הקו הגוף נושא את המהירות של מסלול מעגלי; כשהוא משתחרר כ-210 km מעבר לו, הוא נושא מעט יותר ועוזב במסלול כמעט מעגלי שהפריגאה שלו היא נקודת השחרור (§C.5a; מאמר 4). הכבידה מחזיקה אותו במסלול הזה, והגאות שהוא מעורר בכדור הארץ, המסתובב מהר יותר, מושכת אותו קדימה והחוצה במשך מיליוני השנים שאחר כך.

C.9מה האגס דורש

האגס הוא מבנה גדול, והמודל צריך לתת דין וחשבון על מחירו. סעיף זה מרכז את הדרישות שלו; כל אחת מהן היא תנאי שהמנגנון מציב לעצמו.

• מסה. לרוחבים של §C.7 בצפיפות 3,000 kg/m³, מפני השטח של כדור הארץ ועד המגע, האגס מכיל כ-11% ממסת כדור הארץ, כתשע מסות ירחיות — הבסיס של 9,000 km של §C.7; לבסיסים של 9,000–11,000 km הוא מכיל כתשע עד שתים-עשרה. מכיוון שהוא נמצא כולו בתוך קו הקורוטציה, שום שארית של החיבור אינה נשארת במסלול; לאחר השחרור ההתמיינות אוספת אותו בחזרה אל כדור הארץ לאורך עשרות עד מאות מיליוני שנים, וכדור הארץ חוזר להיות עגול: החלק הכבד שלו עמוק אל תוך כדור הארץ מתחת לבסיס האגס (חלק E), וחזיתו וגבו לפסים ולקשתות של האוקיינוס השקט (מאמר 9; §C.7).

• אנרגיה. הרמת האגס הזה בשדה המסתובב עולה כ- $8\times10^{30}$ J — יותר מפי חמישה (כפי 5.4) מהרמת הירח עצמו (גרסה קודמת אמרה כפי שישה) (§A.12). ההתפתחות שמשחררת אותה — שקיעת הברזל אל הליבה, המשחררת אנרגיה מסדר גודל של $10^{31}$ J — היא אותה התפתחות שמניעה את העלייה; החשבון המלא הוא דרישה (§D.1). כשהברזל שוקע, האנרגיה הכבידתית שהוא מוותר עליה מספיקה, בסדר גודל, להרים את האגס.

• תנע זוויתי וחום. האגס המתארך מאט את סיבוב כדור הארץ והליבה המתרכזת מאיצה אותו; מאמר 2 (§A.4) לוקח את שניהם בחשבון. האגס החוזר משחרר את האנרגיה הפוטנציאלית שלו כחום, שנכנס להיסטוריה התרמית של גוף-האם.

• לחץ. המקור צריך להרים ולהחזיק את האגס בנוסף לגוף; את מבחן הלחץ של §A.9–A.13 יש לחזור עליו עם מסת האגס.

• הפחיסות של גוף-האם. מבחן הלחץ משתמש בשדה כדורי. גוף-האם הפחוס ($J_2\simeq0.036$) מגדיל את המשיכה פנימה בכ-3% במרחק 9,000 km מן המרכז במשווה וב-1.4% ב-25°N, וב-5.4% על פני השטח המשווניים עצמם, במקום שבו העמוד יוצא מגוף-האם (גרסה קודמת אמרה “3% לכל היותר ליד פני השטח”); לאורך העמוד החיצוני המחיר עולה בכ-3%, וגם אילו כל מחיר ההרמה עלה ב-3%, כ-4 GPa, המרווח של 10.49 GPa היה נושא אותו. קו הקורוטציה במשווה זז החוצה בכ-50 km. ($J_2$ הוא המדד המקובל לבליטה המשוונית של כוכב לכת בשדה הכבידה שלו; הערך כאן הוא של גוף-האם המסתובב.)

• הצורה עצמה. הרוחבים והמסות שלעיל מתקבלים מחתכים עגולים בצפיפות אחידה, בלי זרימה; צורת שיווי המשקל של כדור ארץ מסתובב, בלחץ פנימי, עם גוף בקצהו, היא החישוב שנותר.

C.9aאין טבעת סביב כדור הארץ הצעיר

כוכב לכת צעיר, מהיר ועשיר בחומרים נדיפים, שפולט אדים דרך הסדקים שלו, יכול להקיף את עצמו בטבעת: האדים עולים, מתעבים גבוה יותר לקרח ולאבק, ומקיפים את הכוכב במהירות מסלולית. סביב כדור הארץ הצעיר של המודל הזה טבעת כזו לא יכלה להיווצר, מארבע סיבות.

1. האגס טאטא את המקום. האגס הסתובב עם כדור הארץ פעם ביממה, עד קו הקורוטציה. בתוך הקו, חומר של טבעת היה מקיף מהר יותר מסיבוב האגס; הוא היה משיג את האגס ופוגע בו. כל מה שהתעבה ברצועה של האגס נאסף אליו ונעשה חומר של הגוף שבקצהו.

2. לחומרים הנדיפים הייתה דרך. החיבור הרחב והחם נשא את ההתך העשיר בחומרים נדיפים מעלה אל תוך הגוף (חלק A). את מה שכוכב פולט מאבד לחלל, כדור הארץ הזין אל הירח.

3. חם מדי, קרוב מדי לשמש. כדור הארץ הצעיר היה חם ועטוף באטמוספרת אדי סיליקטים (מאמר 6, §J.3); בגבהים שבהם הייתה עומדת טבעת, מים לא התעבו לקרח.

4. הירח מפנה את השאר. אחרי השחרור הירח, כבד ונמצא כ-7,200 km מעבר לגבול רוש הקשיח (§C.5a), היה מסלק כל שארית בגאות שלו ובתהודות שלו.

הירח נושא את התיעוד של ההיעדר הזה. גוף שעובר דרך טבעת נשחק: השקעים שלו נשחקים ונעשים רדודים, השפות שלו מתעגלות, המכתשים הקטנים שלו נמחקים, והגוף עצמו קטן — Deimos החלק הוא דוגמה אחת לפני שטח כאלה. הרמות של הירח שומרות תיעוד רווי של מכתשים, והירח שמר על מסתו: הוא מעולם לא עבר דרך טבעת (מאמר 6, §L.8).

C.10 ממה עשוי הגוף: שלוש שכבות מאגס אחד

האגס אינו רק נושא את הגוף; הוא קובע ממה הגוף עשוי. סעיף זה עוקב אחר כל אחת משלוש השכבות של הירח — קרום, מעטפת וליבה — בחזרה אל המקום שממנו באה באגס.

האגס ממיין את מה שהוא נושא. מעל אזור הבנייה השכבה החיצונית של גוף-האם היא סיאלית — קלה ועשירה בצורן ובאלומיניום — והיא מונחת על הסימה הצפופה יותר, העשירה במגנזיום, שמתחתיה. הסיאל לא היה יבש: הגבול בין שתי השכבות היה משומן, וכשהאגס נמשך החוצה הסיאל גלש במעלה האגס על הסימה, לאורך צדדיו, אל הקצה — בכיוון ההתמיינות החוצה, בכוחות הסיבוב — והגבול המשומן הקל על הגלישה בגזירה. כשהקצה שוחרר, הסיאל הלך איתו והפך לעורו — מעל הכיפה העליונה כקליפה, ומעל הטבעת של הכיפה התחתונה כסיאל שהגוף ישב עליו, שהתקלף יחד איתו (§C.4a); רק במגע הוא הותך והוסר על ידי החום. הצד הרחוק נושא את הקרום העבה כי שכבות רבות של סיאל דחוס הצטברו שם, עם החומר שחזר שוב ושוב (§B.7). חלק מן הסיאל לא נשאר על פני השטח; הוא חדר אל פנים הירח.

מתחת לעור, הגוף הוא ההזנה: המעטפת של כדור הארץ עצמו, שהורמה על ידי הלחץ ונישאה לאורך האגס. כל המתכת של הירח היא ארצית. הרבה ברזל נכנס לאגס, ופחות ממנו ככל שמתקרבים לקצהו. לאורך האגס כולו, שנמצא בתוך קו הקורוטציה, הכבידה האפקטיבית מכוונת אל כדור הארץ, ולכן החומר הכבד שקע בחזרה במורד האגס בעוד החומר הקל עלה אל הקצה — והלחץ מרים מלכתחילה רק חומר קל מכ-3,864 kg/m$^3$ (§A.10). האגס פעל כעמוד שיקוע: גרגרים כבדים שוקעים וקלים עולים, כפי שחול שוקע מתחת למים בצנצנת מנוערת. לכן רוב הברזל שנכנס לאגס חזר לכדור הארץ יחד עם שאר האגס לאחר השחרור; הירח שמר רק את מה שהגיע לקצה. בניתוק היה החומר הכבד של הליבה בשליש האחרון של הגוף; הוא לא עבר את קו הקורוטציה, וחזר במורד האגס. לכן ליבת הירח קטנה: היא ברזל ארצי שהגיע לקצה, בעוד שרוב חומר הליבה שבאגס חזר לכדור הארץ. הזרם שעבר לאורך האגס נשא חום וחומר עשיר בברזל לתוך הגוף דרך Mare Imbrium ו-Mare Serenitatis — Serenitatis עד שהתקלפה, Imbrium עד הניתוק — הפתחים שחיברו את ההזנה מפנים כדור הארץ אל פנים הירח (§B.4).

הטבלה מציבה כל שכבה של המודל לצד מה שנמדד על הירח:

כל שורה מתאימה: קרום עשיר באלומיניום משכבה עשירה באלומיניום, מעטפת עם איזוטופי החמצן של כדור הארץ מן המעטפת של כדור הארץ, וליבה קטנה משום שרוב הברזל חזר במורד האגס.

התקציב מאפשר זאת. סיאל בעובי 30 km על פני אזור בגודל אגן האוקיינוס השקט מכיל כ- $1.4\times10^{22}$ kg בצפיפות הקליפה, 2,800 kg/m$^3$ (גרסה קודמת נתנה $1.3\times10^{22}$), בערך פי ארבעה מן הקרום הירחי; עד עשירית ממסת הירח של סיאל שנישא אל הפנים הייתה מורידה את צפיפותו הממוצעת בכ-65 kg/m$^3$ ומעלה את האלומיניום שלו בכ-1.5 אחוז, בתוך אי-הוודאות של המודלים הנוכחיים. משתמע מכך מבחן אחד. האנורתוזיט של הקרום דל באשלגן ובתוריום, ואילו הסיאל של כדור הארץ עשיר בהם; קרום העשוי מן הסיאל של כדור הארץ חייב היה לאבד אותם בהתכה ובזיקוק של העור, והרכב האנורתוזיטים הירחיים הקדומים ביותר הוא המקום לבחון זאת.

C.11 אחרי השחרור: כדור הארץ ממשיך לזרוק

השחרור לא סיים את פעילותו של כדור הארץ. הפתחים שלו המשיכו לזרוק חומר; רובו נפל בחזרה לכדור הארץ, וחלקו הגיע לירח, שהיה אז גוף נפרד שהתרחק מכמה רדיוסי כדור ארץ. כדי להגיע לירח החומר היה צריך לעזוב את כדור הארץ מהר יותר ככל שהירח התרחק. כל החומר היה חם מאוד: החלקים הגדולים יצאו ראשונים, וככל שסערת המאגמה שככה נפלטו חלקים קטנים, עדיין חמים, כך שהחלקים שהגיעו לירח נעשו קטנים יותר עם הזמן. הירח שמר את התיעוד, בשלוש מדידות:

השורה הראשונה היא המדידה הישירה, בגוון ירוק: על הרמות בלבד, כשכל הימות הוצאו בשני הצדדים כך שההשוואה היא של שווה מול שווה, הצד הקרוב נושא פי 1.19 מכתשים טריים של 1–2 km מן הצד הרחוק. השורה השנייה והשלישית קוראות את אותה היסטוריה בימות: הקרקעיות קפאו לפי הסדר, והמכתשים שעליהן מדורגים מגדולים ומותכים ועד קטנים וחדים.

הצד הקרוב, הפונה אל כדור הארץ, איבד את המכתשים הישנים שלו מוקדם, לחום של המגע ולימות שלו עצמו, ואסף יותר מן המכתשים האחרונים. המפזר האחרון של מכתשים על הירח היה כדור הארץ. התיעוד הזה חותם את התיאור של החיבור: הגוף ששוחרר לא נחתך מגוף-אם שקט, אלא מכדור ארץ שהפתחים שלו עדיין היו פעילים, ושפעילותו דעכה ככל שהירח התרחק. שטף של גופים מבחוץ, כפי שהספרות מפרשת את המכתשים הקטנים, אינו חוזה עודף בצד הקרוב, אלא רק עודף קטן בצד המוביל.

חלקים A–C בנו את המנגנון: חלק A תמחר את ההזנה מבפנים, חלק B עקב אחר הקליפה שעלתה מבחוץ, וחלק C חיבר את השניים דרך האגס והשחרור שלו. חלק זה הופך את אותן תוצאות למבחנים. הסיבה לרכז אותן במקום אחד פשוטה: מודל יכול תמיד למצוא תכונות שנראות כמוהו, וספירה של התאמות כאלה אחת אחת מוכיחה מעט. מה שמכריע הוא אם כל דרישה ניתנת לניסוח במספר או בגאומטריה, ואם יש מדידה או חישוב שבודקים אותה. לכן כל שורה בטבלה שלהלן נותנת טענה, את הדרישה הכמותית שמאחוריה ואת המבחן שבודק אותה.

D.1מבחני המנגנון

הטבלה נקראת שורה אחר שורה. שש השורות הראשונות הן דרישות מן המנגנון עצמו (לחץ, קצב, אנרגיה, יציבות, התקררות, שחרור); ארבע השורות הבאות הן תחזיות על פני הירח ועל הקרום שלו, הנובעות מכלל החלקים של חלק B; שלוש האחרונות נוגעות בנקודת השחרור ובגורלו של האגס.

כיצד לקרוא את השורות. השורה הראשונה היא תקציב הלחץ של חלק A בשורה אחת: לחץ המקור $p_s$ חייב לעלות על הסכום של העמוד ההידרוסטטי $p_{\mathrm{head}}$ (משקל עמוד החומר שיש להרים, מן המקור ועד קו הקורוטציה), העומס $p_{\mathrm{load}}$ של הגוף העומד על החיבור, והאובדנים $\Delta p_{\mathrm{loss}}$ של הזרימה הצמיגה לאורך המסלול. חלק A מוצא שהיתרה הזאת חיובית לכל התך עמוק קל מכ-3,864 kg/m³. השורה השנייה שואלת אם ההזנה מהירה מספיק: הזרימה נטו, כשמסכמים אותה לאורך הזמן, חייבת לספק את המסה הפנימית $M_{\mathrm{int}}$ בתוך הזמן העומד לרשות התהליך. בתרחיש הזמן הזה הוא כ-600 מיליון שנה, מתחילת הבליטה ועד השחרור ב-3.873 Ga — כ-400 Myr לבליטה ולאגס, כ-100 Myr לפחיסות ועוד כ-100 Myr עד השחרור — ו-100 מיליון שנה נשמרים כמקרה רגישות (חלק A). המבחן הוא הזרימה בכל התחום המותר של צמיגות ופתח: היא צריכה להיות מהירה מספיק, והמעבר צריך להישאר פתוח עד שהגוף הושלם.

השורות השלישית עד השישית שואלות אם האנרגיה קיימת, אם הגוף המחובר יציב בשלושה ממדים, אם החוץ שלו יכול להתקשות בעוד הבסיס נשאר נייד, ואם החיבור נושא את העומס עד הרגע הנכון ואז נכנע. כל אחת מהן נבדקת בחישוב על פני כל התחום המותר: אנרגיה שכדור הארץ המתפתח משחרר, גוף שנשאר שלם בזמן שמסתו נאספת, התקררות וניידות שחופפות בזמן, וחיבור שאינו נכנע מוקדם מדי (הגוף היה נופל בחזרה או מתפרק) ואינו מחזיק לעד. השורה השביעית קובעת את סדר האירועים: הגוף מתעגל תחילה החוצה, אחר כך נפחס, אחר כך מתעגל פנימה, והרצף הזה מתקדם היטב לפני הניתוק. היא נבדקת במודל תזמון אחד המשותף להזנה, להתקררות ולכשל החיבור.

ארבע השורות הבאות הן תחזיות הכתובות על הירח עצמו. כלל החלקים אומר שכאשר הגוף המעוך התעגל החוצה, כל חלק בפני השטח שלו שמר על חלקו מן השלם: המגע הפך לכיפה בצד הקרוב, של כ- $31^\circ$ סביב מרכז המגע, הטבעת שנקלפה הפכה לחגורה עד $70^\circ$, והכיפה העליונה היא כל השאר, הצד הרחוק. הוא נבדק על ידי שרטוט סוגי האגנים ועובי הקרום מול המרחק הזוויתי ממרכז המגע, 24.1°N 335.2°E (מאמר 11). התיעוד הנישא אומר שמכתשים שנוצרו על הקליפה החשופה נעו איתה ושמרו על גודלם, ושהקטבים אספו אותם בזמן ההתעגלות פנימה: אוכלוסיית המכתשים העתיקה ביותר צריכה להיות צפופה ביותר בצד הרחוק, פחות צפופה בחגורה והכי פחות צפופה בכיפה, בלי הבדל קנה מידה בין הרחוק לקרוב. הוא נבדק בסטטיסטיקת מכתשים לפי אזור ובמבחני גודל (מאמר 7, §D.5). הקרום המרובד בצד הרחוק אומר שהצד הרחוק נבנה שכבה על שכבה, והשכבות המאוחרות קלות יותר ועשירות יותר בנוזלים, כך שתכולת הברזל עולה עם העומק, ויותר בצד הרחוק מאשר בצד הקרוב. הפסגות המרכזיות של מכתשים מעלות חומר מעומק ידוע, ולכן ההרכב שלהן מול עומק המקור מודד את הפרופיל.

שלוש השורות האחרונות נוגעות בשחרור ובמה שבא אחריו. שחרור על הקו: הירח מתחיל להיפרד כשמרכז המסה שלו מגיע לקו הקורוטציה, ומשתחרר כ-210 km מעבר לו ($\Delta r\simeq2d_0$, מגע בעובי של כ-105 km; חיפוש מרחק השחרור של §C.5a); המגע מתנגד רק מעט, והגוף נמשך החוצה בכוח — המשיכה שמשכה את רכסי השפכטל. זהו השחרור שהמסלול של מאמרים 2 ו-4 דורש. האגס נוטה צפונה: הבסיס עמד סמוך ל-1.9°N, ואילו הקצה הגיע לכ-22.5°N. הסיבוב לבדו דוחף חומר לעבר המשווה, ולכן הנטייה צפונה חייבת לבוא מן ההזנה, שעלתה באלכסון ממקור עמוק מצפון למשווה; היא נבדקת מול הגאומטריה של המקור העמוק ושל מסלול ההזנה, ומול מיקום הבסיס (חלק E). האגס נאסף בחזרה בשלמותו: מכיוון שהאגס נמצא כולו בתוך קו הקורוטציה, שם כבידת כדור הארץ עולה על המשיכה החוצה של הסיבוב, דבר ממנו לא יכול היה להישאר במסלול. הוא חלק מכדור הארץ, ולאחר השחרור ההתמיינות אספה אותו בחזרה אל כדור הארץ לאורך עשרות עד מאות מיליוני שנים (חלק E).

דוגמת צפיפות אחת מדברת בשם הדוגמה הזאת, ולא בשם כל תרחיש של הזנה מחוברת; ומעבר של מבחן לחץ אחד אינו מכריע לבדו את היציבות, האנרגיה או החיבור. מערכת פרמטרים אחת חייבת לקיים את כל הדרישות. זה הרף שהמאמר מציב לעצמו: שלוש-עשרה השורות אינן שלושה-עשר קולות בלתי תלויים בעד המודל, אלא שלושה-עשר תנאים שאותו כדור ארץ, אותה הזנה ואותו גוף חייבים לעמוד בהם בבת אחת.

D.2 תוצאות שאפשר לחפש על הירח

השאלה של סעיף זה היא באילו תכונות של הירח של היום המנגנון נוגע ישירות, ועד כמה אפשר להשתמש בכל אחת מהן כמבחן.

אם צד אחד קיבל הזנה וחימום ממושכים יותר והצד שמנגד התקרר מוקדם יותר, צפויה אסימטריה תרמית ומבנית. במודל, הצד הקרוב ישב על המגע, מעל ההזנה, ונשאר חם זמן רב יותר, ואילו הצד הרחוק היה הכיפה העליונה, חשוף ומתקרר. הסימן והעוצמה של האסימטריה תלויים גם בחומר החיצוני, בערבוב ובהתפתחות המאוחרת. נתוני GRAIL — זוג חלליות שמיפו בפירוט את שדה הכבידה של הירח — נותנים אילוצים על הצפיפות ועל העובי של הקרום [4]; ההשוואה המלאה בין התצפיות לבין דרישות המודל שייכת למאמר 11.

הסטה של מרכז המסה תלויה בהתפלגות הצפיפות כולה. מרכז המסה של הירח אינו חייב להתלכד עם מרכז הצורה החיצונית שלו; המרחק ביניהם נתון על ידי $$\Delta\mathbf r_{\mathrm{CM}}= \frac{1}{m}\int_V\delta\rho(\mathbf r)\,\mathbf r\,dV. \tag{24}$$ כאן $m$ היא מסת הירח, $V$ הנפח שלו, $\mathbf r$ המיקום של נפח קטן $dV$ הנמדד ממרכז הצורה, ו- $\delta\rho(\mathbf r)$ הסטייה של הצפיפות בנקודה זו מן הממוצע. במילים: כל מקום הצפוף מן הממוצע מושך את מרכז המסה אליו, כל מקום הקל מן הממוצע דוחה אותו, וכל אחד משוקלל במרחקו מן המרכז.

לכן אי אפשר להסיק אותה מעובי הכיפה לבדו, בלי לבחור ניגוד צפיפות ופיצוי. קרום עבה בצד אחד מזיז את מרכז המסה הרחק מן הצד הזה רק במידה שהקרום קל מן החומר שמתחתיו, ורק במידה שהשכבות העמוקות לא הסתגלו כדי לאזן אותו (פיצוי). נוכחותו של רכיב מתכתי בירח, שנבדקה סייסמית [5], מחייבת גם היא במודל מנגנון העברה והפרדה מתאים; היא אינה מוכיחה שהמתכת הגיעה דווקא דרך אזור ההזנה המרוכז מצפון למשווה שהוצע בחלק A.

התחזית התצפיתית המבחינה חייבת להיות צירוף מוגדר של כיוון, גאומטריה, הרכב וגיל. מספר שנגזר מהתאמה לתצפית אינו תחזית בלתי תלויה שלה: אם פרמטר נבחר כך שהמודל ישחזר ערך שנמדד, אי אפשר אחר כך למנות את ההתאמה הזאת כהצלחה. תיעוד המכתשים הנישא על הכיפה מנוסח ב-§B.6 ונבדק במאמרים 11 ו-6.

D.3 החידוש והיקף המסקנה

העבודה בוחנת את הבנייה הפנימית של גוף מחובר דרך מערכת אחת של דרישות לחץ, קצב, מסה ומאמץ, בתוך המסגרת הסיבובית של LEF. התוצאה המיוחדת של חלק A היא שהרחבת המעבר מקלה על התמיכה הרדיאלית ועל הזרימה, אך מגדילה את מסת החיבור ואינה מסירה את העומס הצדי. קל יותר לדחוף חומר דרך צינור רחב, והוא מחזיק את העמוד שלו ביתר קלות, אך ככל שהוא רחב יותר הוא שוקל יותר, והמשיכה הצדית של המערכת המסתובבת עליו נשארת. התוצאה המיוחדת של חלק B היא שגוף במסת הירח היושב על מגע של 6,000 km, שכיפתו העליונה מתנשאת כ-3,650 km מעל השפה, תוחם נפח של $5.65\times10^{19}$ m³ — פי שניים מ- $2.83\times10^{19}$ ה-m³ של הכדור ברגע השחרור — ולכן יש לו הצפיפות המוקצפת שחלק A דורש, 1,300 kg/m³ — הצפיפות הנמוכה של התך מלא בועות גז — וקרום הצד הרחוק ואזורי החשיפה נובעים מאותה גאומטריה: הצד הרחוק נבנה שכבה על שכבה, הצד הקרוב התקלף. חלק C מחבר את השניים: המגע הרחב שחלק A דורש הוא הבסיס של הכיפה של חלק B, ובקו הקורוטציה הגוף מתחיל להיפרד, ומשתחרר כ-210 km מעבר לו.

משוואות הכבידה, הלחץ והזרימה הן פיזיקה סטנדרטית. הארכיטקטורה של LEF והיישום של המבחן המשותף הם התרומה של עבודה זו. אין כאן טענה לקדימות היסטורית לגבי כל רכיב במודל ללא סקירת ספרות ייעודית; מפת המקורות והסיווג מופיעה בנספח A.

המאמר מסתיים בניתוח היתכנות, בתוצאה שלילית חדה אחת — מעבר גלילי חסר מסה, המעביר לחץ בלבד, אינו יכול לבנות את הירח — ובתוצאה גאומטרית אחת שעונה לה: החיבור הרחב, החם והמסיבי שהתוצאה השלילית דורשת הוא הקצה הרחב של האגס, חלק מכדור הארץ שמוחזק בכבידה של כדור הארץ, הנושא גוף בעל מסת הירח בצפיפות המוקצפת. התוצאה השלילית סוגרת את התמונה הפשוטה ביותר, צינור דק שדרכו לחץ לבדו דוחף את הירח החוצה; התוצאה הגאומטרית מראה שהחיבור שהפיזיקה כן דורשת אינו הנחה נוספת, אלא הצורה שכדור הארץ עצמו מקבל. משוואת המצב העמוקה, שחרור האנרגיה והמבנה התלת-ממדי הם שלוש הדרישות שהוא מעביר הלאה, כל אחת מנוסחת עם המבחן שלה ב-§D.1.

D.4 מסקנות

המסקנות הולכות בסדר המאמר: מערכת המבחנים (1), הלחץ (2), המעבר (3), ההתקררות (4), העומס הצדי (5), האגס והשחרור (6), הגוף על הקצה (7), והקרום והדרישות המועברות הלאה (8).

1. הזנה פנימית של גוף מחובר ניתנת לניסוח דרך מאזני מסה, לחץ, תנע ואנרגיה. המאמר מגדיר מערכת מבחנים כמותית למנגנון.

2. במבחן הלחץ הכדורי שהוגדר, צפיפות עמוקה של 3,500 kg/m³ משאירה 10.49 GPa לפני עומס ואובדנים; 4,000 kg/m³ נכשלת. סף האפס הוא כ-3,864 kg/m³ בהנחות שצוינו: התך עמוק קל מזה יכול להיות מורם עד קו הקורוטציה בלחץ המקור, וכבד ממנו — לא.

3. במבחן המשותף של המצב שאינו משווני, רדיוס מעבר של כ-1,000 km הוא סף האיזון הרדיאלי עבור הקלטים שנבחרו. כבר בסף הזה מסת המקטע החיצוני היא כ-0.46 ממסת הירח, ולכן אי אפשר להזניח אותה בחשבון המערכת: מעבר רחב מספיק כדי לשאת את ההזנה שוקל בעצמו כמעט חצי ירח.

4. מפל תרמי נותן בסיס לבחינה כיצד החוץ יכול להתחזק בעוד הפנים נשאר נייד. העובי הסופי ושימור המבנים מחייבים פתרון תרמי וראולוגי מצומד.

5. מבחן המאמץ הצדי פוסל תמיכה על ידי לחץ בלבד דרך חתך רדיאלי במצב שנבחר. החישוב שאינו משווני מציב דרישות חיבור בסדר גודל של $10^{22}$ ניוטון בדוגמאות שנבדקו. רכיב רדיאלי אפסי אינו מבטל את העומס הכולל ואינו קובע לבדו את הניתוק.

6. התעגלות, לחץ וסיבוב משתתפים יחד בניתוק מחיבור רחב; הבליטה נמשכת לאגס, חלק מכדור הארץ, שקצהו הופך לגוף; הגוף מתחיל להיפרד כשמרכז המסה שלו מגיע לקו הקורוטציה — כ-16,400 km במשווה, 17,287 km ב-22.5° — ומשתחרר כ-210 km מעבר לו, כשהלחץ הפנימי מסייע (§C.7–C.8). האגס מרים את הירח רדיאלית, ומכיוון שהירח מחובר, הוא נותן לו את המהירות הצדית של מסלול. לאחר השחרור ההתמיינות אוספת את האגס בשלמותו בחזרה אל כדור הארץ לאורך עשרות עד מאות מיליוני שנים: חלקו הכבד שוקע עמוק אל תוך כדור הארץ מתחת לבסיס האגס, הצד הקדמי שלו נאסף לתוך הפסים של צפון האוקיינוס השקט, והגב שלו לתוך הקשתות של מערב האוקיינוס השקט (מאמר 9, הפסים; חלק E). המסה אינה עוזבת את כדור הארץ; היא עוברת מגבוה בחוץ אל עמוק בפנים.

7. הגוף יושב על הקצה הרחב של האגס, גוף מעוך מעל מגע של 6,000 km, שהכיפה העליונה שלו מתנשאת לגובה של כ-3,650 km בצפיפות המוקצפת של 1,300 kg/m³. הוא מתעגל החוצה כשכל חלק שומר על חלקו בשטח הפנים: המגע הופך לכיפה בצד הקרוב, של כ- $31^\circ$, הטבעת שנקלפה לחגורה עד $70^\circ$, והכיפה העליונה לצד הרחוק. אחר כך הוא נפחס ומתעגל פנימה.

8. קרום הצד הרחוק הוא הסיאל של כדור הארץ — הקליפה החיצונית הקלה, העשירה בסיליקה ובאלומיניום — והחומר שחזר שוב ושוב, שכבות רבות של סיאל דחוס, חלק קטן ממסת הירח, וקרום הצד הקרוב הוא הסיאל של הכיפה התחתונה שנקלף יחד עם הגוף, הוחלק בחום מעל המגע ודק ביותר מתחת לימות, שהם הפתחים; 94–96% הנותרים הם החומר העמוק של חלק A (הערכה מתמונת הקליפה הקודמת, שיש לחשב מחדש). רצף החשיפה כתוב על הירח כשלושה אזורים קונצנטריים; המכתשים שומרים על גודלם והקטבים אוספים אותם; קרום הצד הרחוק נעשה צפוף יותר ועשיר יותר בברזל עם העומק — תחזיות המועברות למאמרים 11, 6 ו-7 עם המבחנים שלהן. זמן הכשל, היציבות התלת-ממדית, משוואת המצב העמוקה ומאזן האנרגיה הם ארבע הדרישות שהמנגנון מציב לעצמו; כל אחת מנוסחת ב-§D.1 עם המבחן שלה.

מה שיש בידינו עכשיו הוא מנגנון המנוסח כמערכת תנאים, לכל אחד המבחן שלו. חלק E עוקב אחר החלק היחיד של המערכת שלא עזב: האגס.

הירח עזב; האגס נשאר. מכיוון שהוא נמצא כולו בתוך קו הקורוטציה, הוא לא יכול היה ללכת אחרי הירח אל המסלול. האגס לא עזב עם הירח; לאחר השחרור ההתמיינות אספה אותו בחזרה אל חצי כדור הארץ שנשא אותו, לאורך עשרות עד מאות מיליוני שנים. המסה שלו לא עזבה את כדור הארץ; היא עברה מגבוה בחוץ אל עמוק בפנים. מסה גדולה כל כך — תשע עד שתים-עשרה מסות ירחיות מן החומר של כדור הארץ עצמו, עשיר בברזל בעומק — נאספה אל האזור שמתחת לאוקיינוס השקט, שם עמד האגס. חלק זה מתעד היכן נמצא בסיס האגס ביחס למה שהדימויים הסייסמיים מראים היום בתחתית האזור הזה, ומה עשה האגס לפנים כדור הארץ בזמן שעמד. טבעם של האזורים העמוקים נשאר פתוח.

E.1שני אזורים בבסיס המעטפת

כדור הארץ העמוק מצולם בטומוגרפיה סייסמית. רעידות אדמה שולחות גלים דרך כל הכוכב; כשהם נרשמים באלפי תחנות, זמני ההגעה שלהם מגלים היכן הגלים נעו מהר יותר או לאט יותר מן הממוצע, בדומה לסריקת CT רפואית הבונה תמונה של הגוף מנתיבים רבים של קרני רנטגן. גלי גזירה (גלי S), המנערים את החומר הצידה, רגישים במיוחד לטמפרטורה ולהרכב: הם מאטים במקום שבו החומר חם יותר, רך יותר או בעל הרכב שונה.

הדימות הסייסמי מוצא שני אזורים בגודל של יבשת, שבהם מהירות גלי הגזירה נמוכה, בבסיס המעטפת של כדור הארץ: אחד מתחת לאפריקה ואחד מתחת לאוקיינוס השקט, וכל אחד מהם משתרע לרוחב אלפי קילומטרים ועד כ-1,000 km מעל גבול הליבה–מעטפת [11]. אלה הם האזורים הגדולים במהירות נמוכה (LLVPs): אזורים גדולים של המעטפת התחתונה ביותר, ממש מעל הליבה, שבהם גלי גזירה נעים לאט. רוב התצפיות תומכות בטבע תרמו-כימי — חומר השונה בהרכבו מן המעטפת שסביבו, ולא רק בטמפרטורה — ושני האזורים עומדים מתחת לפלומות ולנקודות החמות של הלוחות שמעליהם: הם לוחצים על המעטפת העליונה גם היום. פלומה היא עמוד של חומר חם העולה מעומק המעטפת; במקום שבו היא מגיעה לפני השטח היא מזינה נקודה חמה, כמו הרי הגעש של Hawai‘i.

הם אינם דומים זה לזה. האזור האפריקני מתנשא גבוה יותר מן האזור של האוקיינוס השקט, האזור של האוקיינוס השקט נמוך ורחב יותר, ובשולו, מתחת ל-Hawai‘i, נמצא חומר עשיר בברזל במהירות נמוכה במיוחד. אזורים במהירות נמוכה במיוחד (ULVZs) הם כתמים דקים על גבול הליבה–מעטפת, שבהם הגלים הסייסמיים מאטים בחוזקה רבה בהרבה מאשר באזורים הגדולים עצמם; תכולת ברזל גבוהה היא אחד הפירושים שהוצעו להם.

טבעם של האזורים עדיין שנוי במחלוקת. ייתכן, למשל, שהם חומר הקשור לליבה שלא סיים להתמיין, או חומר שעדיין מתמיין לאט מאוד. המאמר הזה אינו מציע להם פירוש; הוא משתמש בהם רק כמפה של האזור שמתחת לאוקיינוס השקט, שם עמד האגס.

E.2 היכן עמד האגס

האגס עמד מעל האזור שמתחת לאוקיינוס השקט. לאחר השחרור ההתמיינות אספה אותו בחזרה אל כדור הארץ: חלקו הכבד — כתשע מסות ירחיות של סימה, הנושאת את רוב הברזל שעלה לתוכו (§C.10) — שקע עמוק אל תוך כדור הארץ מתחת לבסיס האגס; הצד הקדמי שלו נאסף לתוך הפסים של צפון האוקיינוס השקט, והגב שלו לתוך הקשתות של מערב האוקיינוס השקט (מאמר 9, הפסים). סימה הוא החומר הצפוף יותר, העשיר בסיליקה ובמגנזיום, השוכב מתחת לסיאל הקל; הברזל שנשא הפך אותו לצפוף עוד יותר. השאלה אם חלק כלשהו מן המבנה העמוק שנראה היום מתחת לאוקיינוס השקט קשור לאגס אינה נדונה כאן: המאמר מתעד רק היכן שוכב בסיס האגס ביחס למבנה הזה (§E.4).

E.3קריאות אחרות של האזורים

לאחרונה הוצע שהאזורים האלה הם שרידי המעטפת של Theia, הגוף שהתנגשותו יצרה את הירח לפי ההסבר המקובל: המעטפת העשירה בברזל שלו הייתה שוקעת לבסיס המעטפת של כדור הארץ ושורדת שם [12]. מחבר ההצעה ציין שמוצא אחר של הירח, בלי Theia, יחייב לשקול מחדש את מוצא האזורים. Edwards [14] קשר את הירח לאזורים מכיוון אחר, עם פיצוץ מעל האזור של האוקיינוס השקט הקדום ששיגר את החומר שלו למסלול. המאמר הנוכחי אינו מציע קריאה משלו. הוא מציין רק שבמודל הזה האגס היה החומר של כדור הארץ עצמו, ודבר זר לא נכנס למעטפת של כדור הארץ.

E.4מיקום הבסיס

מדידה אחת קושרת את האגס לכדור הארץ העמוק: מיקום הבסיס שלו.

• מיקום — נמדד. המודל מציב את בסיס האגס סמוך ל-Kiritimati (כ-1.9°N, 157.5°W, §B.1). הנקודה הזאת שוכבת מעל האזור של האוקיינוס השקט, בתוך גבולו במודלים שפורסמו של המעטפת התחתונה ביותר, בכל מודל שנבדק (הטבלה ואיור 14): כל חמשת המודלים הטומוגרפיים של ניתוח האשכולות של Cottaar & Lekic [17] מצביעים על הנקודה כאיטית, והיא שוכבת עמוק בתוך קו המתאר $-1\%$ של SMEAN [18] ושל SMEAN2 [19] כאחד, ב-2,800 km, יותר מ-1,200 km מן השוליים הקרובים. הבסיס עומד מעל החלק הצפוני של האזור, כ-1,500 km צפונית למרכזו; האזור הגדול במהירות נמוכה במיוחד ליד Hawaii [20] נמצא כ-1,100 km מן הנקודה, כשהמרחק נמדד בגבול הליבה–מעטפת.

שלושת המדדים ששימשו במבחן צריכים מילה כל אחד. קבוצות מחקר שונות בונות מודלים טומוגרפיים שונים מנתונים ומשיטות שונים, והם אינם מסכימים בכל פרט. מפות הצבעה הופכות את אי-ההסכמה הזו לספירה: Cottaar & Lekic [17] מיינו כל נקודה במעטפת התחתונה ביותר, בכל אחד מחמישה מודלים, לאיטית, ניטרלית או מהירה, וההצבעה היא מספר המודלים שקובעים שהנקודה איטית; חמישה מתוך חמישה פירושו שכל מודל ממקם אותה בתוך אזור איטי. SMEAN ו-SMEAN2 הם ממוצעים של כמה מודלים של גלי גזירה; $\delta V_S$ הוא הסטייה של מהירות גלי הגזירה מן הממוצע באותו עומק, ולכן $-2.25\%$ פירושו שהגלים שם נעים לאט ב-2.25% מן הממוצע. קו המתאר $-1\%$ הוא המתאר המקובל של האזור, ונקודה הנמצאת עמוק בתוכו, כשהשוליים רחוקים יותר מאלף קילומטרים, אינה מקרה גבולי.

קו האורך 202.5°E בטבלה זהה ל-157.5°W, כשהוא כתוב בסקלה שרצה מזרחה מ-0 עד 360°. הבסיס הוא הקצה המזרחי של טביעת הרגל של האגס. הקריאה הקודמת של אזור המקור, שמרכזה סמוך ל-25°N, 165°E, היא הגב של האגס, שנטה מערבה וצפונה (§B.1). מאמר 9 (הפסים) ממקם את טביעת הקצה בין שני כיפופים של הפסים של צפון האוקיינוס השקט, ברוחב 3,360 km ובמרכז ב-9.3°N, 169.3°E, כ-3,760 km מערבית לבסיס (גרסה קודמת נתנה 3,770 km), ואת הגב של האגס בקשתות של מערב האוקיינוס השקט. סעיף זה עוסק בבסיס, שמתחתיו שקע החלק הכבד.

השורות הירוקות הן שלושת המדדים שמציבים את הנקודה בתוך האזור; שתי השורות האחרונות ממקמות אותה בתוך האזור. הנקודה שוכבת בחלק הצפוני של האזור, 1,476–1,657 km צפון-צפון-מזרחית למרכזו, ששלושת המודלים מסכימים למקם מדרום למשווה. ה-ULVZ של Hawaii רחוק 2,050 km על פני השטח, אך רק 1,120 km על גבול הליבה–מעטפת: אותה זווית בין שתי נקודות פורשת מרחק קצר יותר על גבול הליבה–מעטפת, שרדיוסו רק כמחצית מרדיוס כדור הארץ.

איור 14 מראה את המדידה על המפות עצמן: הנקודה הסמוכה ל-Kiritimati נופלת בתוך קו המתאר המקווקו $-1\%$ של שני המודלים הממוצעים, ועל הגוון הכהה ביותר של מפת ההצבעה, שם כל חמשת המודלים מסכימים.

• איזוטופים בבזלות של פלומות. במודל הזה האגס היה החומר של כדור הארץ עצמו, ודבר זר לא נכנס למעטפת; לכן פלומות העולות מכל אחד מן האזורים צפויות לשאת את החתימה האיזוטופית של כדור הארץ עצמו, בלי רכיב זר לכדור הארץ. איזוטופים הם גרסאות של יסוד הנבדלות מעט במסתן; היחסים ביניהם שונים מגוף לגוף במערכת השמש, ולכן הם משמשים טביעת אצבע של המוצא.

E.5ליבת כדור הארץ בזמן האגס

האגס גם פעל על כדור הארץ בזמן שעמד. השאלה של סעיף זה היא מה עשתה מסה מחוברת גדולה כל כך לפנים העמוק של כדור הארץ, והאם תיעוד של כך יכול היה לשרוד.

בשלב המוקדם ההוא כמעט לא הייתה לכדור הארץ ליבה. זה היה כדור ארץ בהתהוות: השכבות שלו עוד לא היו מוגדרות, הופיעו רק סימנים ראשונים של יצירת שכבות, ובמרכזו שכנה טרום-ליבה רחבה — חומר שבעתיד יהיה ליבה, שעוד לא נפרד ממה שסביבו. כשהגוף הזה הסתובב והתחיל למשוך את האגס החוצה, טרום-הליבה הרחבה קיבלה את אותה צורה: אגס פנימי מורחב, הנמשך לעבר האגס החיצוני.

בזמן שהאגס עמד, שבע עד שתים-עשרה מסות ירחיות מן החומר של כדור הארץ עצמו עמדו בצד אחד של כדור הארץ, בין פני השטח שלו לבין כ-15,400 km ממרכזו (גרסה קודמת נתנה 16,000 km) (§C.7 נותן 8.8–12.1 מסות ירחיות ברגע השחרור, עבור בסיסים של 9,000–11,000 km). הכבידה שלהן מגיעה עד המרכז. טרום-הליבה צפופה מן החומר שסביבה, ובשדה הפועל על כל הפנים היא נמשכת לעבר האגס, כמו משקולת בתוך נוזל, עד שהמשיכה של החומר שהיא דוחקת מחזיקה אותה. מכיוון שהאגס הוא חלק מכדור הארץ ולא גוף נפרד, כדור הארץ כולו אינו נע לעברו; השדה שלו פועל על הפנים כשדה קבוע.

הטבלה נותנת את השדות במרכז כדור הארץ בתחילת האגס וברגע השחרור, עבור הבסיס הצר ביותר והרחב ביותר. השדה נטו הוא המשיכה של האגס ועוד המשיכה הקטנה של הירח, פחות האיבר הצנטריפוגלי: כדור הארץ, האגס והירח מסתובבים יחד סביב מרכז המסה המשותף שלהם, שנמצא מחוץ למרכז כדור הארץ לכיוון האגס, והסיבוב הזה נותן למרכז כדור הארץ תאוצה המכוונת הרחק מן הצד הזה. הצבע מעמיק לאורך הטבלה ככל שהאגס גדל, והמשיכה שלו גדלה איתו.

הזזה בקילומטרים אינה ניתנת כאן, ואי אפשר לתת אותה. היא הייתה דורשת ליבה מוגדרת, מעטפת מוגדרת סביבה וקשיחות ביניהן, ובשלב ההוא אף אחד מאלה לא היה קיים. הטבלה נותנת רק את המשיכה ואת כיוונה. אנו מציעים שטרום-הליבה הפנימית נמתחה לעבר האגס כל עוד האגס עמד — חלק גדול מכ-600 מיליון השנים שמתחילת הבליטה ועד השחרור ב-3.873 Ga. הכיוון נשען על הנחה אחת: שהגירעון שנותר במקור העמוק מולא ופוזר על ידי החומר שסביבו בזמן שההזנה עלתה; גירעון שנשאר במקומו ליד המרכז היה דוחף לכיוון ההפוך.

אחרי השחרור ההתמיינות אספה את האגס בחזרה אל כדור הארץ, בהדרגה, לאורך עשרות עד מאות מיליוני שנים, והחומר שלו התפשט על חצי כדור הארץ שאליו היה מחובר. כשכבה לא מפוצה הוא היה ממשיך למשוך את הפנים לעבר החצי הזה — השדה של שכבה כזאת במרכז, $GM/2R^2$, הוא 0.53–0.73 m/s². כאן $M$ היא מסת השכבה ו- $R$ רדיוס כדור הארץ; הביטוי הוא המשיכה, במרכז כדור, של שכבה דקה המכסה חצי אחד של פני השטח שלו. אבל שכבה קלה המונחת על מעטפת נוזלית אינה נשארת לא מפוצה: המעטפת שמתחתיה מסתגלת, והשדה הרחוק של עומס מפוצה קטן. פיצוי הוא התהליך שבו המעטפת זורמת מתחת לעומס שנוסף על פני השטח עד שהעמוד שמתחת לכל נקודה שוקל שוב אותו דבר, כמו רפסודה השוקעת במים עד שהיא דוחקת את משקלה; המסה שנוספה מאוזנת אז על ידי גירעון מתחתיה, ומנקודת המבט של המרכז השניים כמעט מתקזזים. אז טרום-הליבה הפנימית נרגעת וחוזרת לעבר המרכז. בקיצור: בזמן שהאגס עמד טרום-הליבה נמתחה לעברו, ואחרי שהאגס נאסף בחזרה היא נרגעה.

המבחן מנוסח כדרישה וכפתח למחקר (מאמר 12): מבנה חצי-כדורי של הליבה המיושר עם הצד של האגס, ואסימטריית המזרח–מערב של הליבה הפנימית היא המועמדת הראשונה. גלים סייסמיים החוצים את הליבה הפנימית המוצקה נעים במהירויות שונות בחצייה המזרחי ובחצייה המערבי; אם טרום-הליבה נמתחה לעבר האגס בזמן שהליבה נוצרה, הליבה הגדלה אולי תיעדה את הצד. המבחן חלש אם הליבה הפנימית צעירה בהרבה מן הירח, כי ליבה פנימית מאוחרת לא תישא את התיעוד.

מה שיש בידינו עכשיו הוא גורלו המלא של האגס: לאחר השחרור ההתמיינות אספה אותו בחזרה אל כדור הארץ, וחלקו הכבד שקע מתחת לבסיסו, מעל אזור שהאזורים העמוקים שלו נראים היום וטבעם נשאר פתוח; הבסיס נמצא בתוך האזור של האוקיינוס השקט בכל מודל שנבדק; בזמן שהאגס עמד טרום-הליבה הרחבה נמתחה לעברו, ואחרי שנאסף בחזרה היא נרגעה.

עבודה נוספת — פתחים למחקר

חלקים A–C מגדירים את הקלטים לחישובים שעדיין יש לבצע. הרשימה שלהלן מזהה עבודה שקבוצות מחקר אחרות מצוידות לבצע. כל פריט מציין חישוב שהמאמר הזה מכין אך אינו מבצע, ואת הסעיף שאת תוצאתו הוא יחליף או יבחן.

1. סימולציה תלת-ממדית של הגוף המחובר. המצב ההתחלתי — גוף בעל המסה הירחית ב-1,300 kg/m³, היושב על קצה של 6,000 km, על גוף-אם ברדיוס נפחי של 6,517 km המסתובב ב-5.5 שעות, ומוזן דרך מגע בבסיס בלחץ מקור של 150 GPa — מוגדר במלואו. הרצה בשיטת חלקיקים מוחלקים או באלמנטים סופיים תבחן יחד את יציבות הכיפה, את רצף ההתעגלות של §C.4 ואת מרווח השחרור של §C.5. שתי השיטות מחלקות את הגוף לאלמנטים קטנים רבים ועוקבות אחר הכוחות ביניהם צעד אחר צעד, וזה מה שצורה חופשית ומשתנה מסוג זה דורשת.

2. משוואת המצב של התך העמוק. ההזנה דורשת התך קל מ-3,864 kg/m³ לאורך העלייה (§A.10). ניסויים בנוזלים סיליקטיים מימיים ופחמתיים ב-50–150 GPa, ודינמיקה מולקולרית מעקרונות ראשונים של אותם הרכבים, יכריעו אם הדרישה מתקיימת ובאיזו תכולת חומרים נדיפים. משוואת המצב היא הקשר בין לחץ, טמפרטורה וצפיפות של חומר; מים ופחמן דו-חמצני המומסים בהתך מורידים את צפיפותו.

3. שחרור האנרגיה של גוף-האם. ההרמה עולה בסדר גודל של $10^{30}$ J (§A.12). מודל של ההתפתחות התרמית של כדור ארץ שבו הברזל שוקע, והוא מתכווץ ומתקרר תחת אטמוספרת אדים, ייתן את הקצב שבו האנרגיה הזאת נעשית זמינה, ומכאן את משך ההזנה.

4. הדבקות Stefan של שכבה סיליקטית חמה. מרווח השחרור $\Delta r\simeq2d_0$ (§C.5) משתמש בשכבה ניוטונית. עבודה מעבדתית ונומרית על ההיפרדות של שני גופים המחוברים בשכבה מותכת חלקית — קוויטציה, היצרות, המעבר מכשל צמיג לכשל שביר — תקבע את טווח המרווח ואת זמן השחרור. הדבקות Stefan היא ההתנגדות של שכבה צמיגה דקה להפרדת שני המשטחים שהיא מחברת, הכוח המורגש כשמפרידים שני לוחות שביניהם דבש; שכבה ניוטונית היא שכבה שההתנגדות שלה פשוט פרופורציונית לקצב שבו היא מעוותת.

5. הקרום המרובד בצד הרחוק. הצד הרחוק נבנה בשכבות של חומר ממוין יותר ויותר (§B.7). ההרכב של הפסגות המרכזיות מול עומק המקור שלהן, בנפרד לצד הרחוק ולצד הקרוב, ימדוד את המפל, ומודל של הבנייה יחזה את המדרגות שלו.

6. ליבת כדור הארץ בזמן האגס. מודל הידרוסטטי תלת-ממדי של כדור הארץ הצעיר, שעוד לא התרבד לשכבות, עם האגס עומד ואחרי שנאסף בחזרה, ושבו עוקבים אחר הגירעון במקור, יראה כיצד טרום-הליבה הרחבה נמתחה לעבר האגס (§E.5) וכיצד נרגעה אחר כך; המבנה החצי-כדורי של הליבה הפנימית הוא התיעוד הראשון להשוואה.

7. קרום הצד הקרוב. הסיאל של הטבעת של הכיפה התחתונה נקלף יחד עם הגוף; מעל המגע הוא הותך והוסר, ופני השטח הוחלקו על ידי חום וכבידה (§C.4a). מודל תרמי של המגע נותן את עומק ההתכה הזאת, ומכאן את עובי הקרום מעל המגע לעומת העובי בחגורה.

8. סיווג הימות לפי אזור חשיפה. הפתחים לא התנהגו כולם באותו אופן (§B.5). Imbrium לא השליכה חומר, וגם Serenitatis לא, מלבד אולי פצפוצים קלים. רוב הפתחים האחרים, מתוך 34–36 של המחבר, כן השליכו חומר: אלה של הצד הרחוק מוקדם, עד שנאטמו, ואלה של השוליים לאורך זמן רב. ההבדל בין ימות המגע שלא השליכו לבין הימות שהשליכו ניתן לבדיקה בהרכב, בשדות המכתשים המשניים ובעובי הקרום מתחת לכל אגן (מאמר 11, R8).

זמינות הקוד

כל התוצאות המספריות של המאמר הזה משוחזרות על ידי הסקריפטים של חבילת השחזור של LEF (Python 3, numpy, scipy), המדפיסה את הערכים של כל סעיף מתוך הקלטים שצוינו בטקסט. החבילה מצורפת לטיוטה המוקדמת הזו כחומר משלים (LEF_code_and_data.zip). גרסה קודמת של הסדרה ושל החבילה מופקדת ב-doi:10.5281/zenodo.22743615.

מקורות

[1] Batchelor, G. K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. מקור למשוואות מאזן התנע, למאמצים בנוזל ולזרימה הצמיגה; ההערכות המספריות והיישום שלהן ל-LEF נגזרים במאמר זה.

[2] Hauri, E. H., Weinreich, T., Saal, A. E., Rutherford, M. C., & Van Orman, J. A. (2011). High Pre-Eruptive Water Contents Preserved in Lunar Melt Inclusions. Science, 333, 213–215. https://doi.org/10.1126/science.1204626.

[3] Goldblatt, C., Robinson, T. D., Zahnle, K. J., & Crisp, D. (2013). Low simulated radiation limit for runaway greenhouse climates. Nature Geoscience, 6, 661–667. https://doi.org/10.1038/ngeo1892.

[4] Wieczorek, M. A., et al. (2013). The Crust of the Moon as Seen by GRAIL. Science, 339, 671–675. https://doi.org/10.1126/science.1231530.

[5] Weber, R. C., Lin, P.-Y., Garnero, E. J., Williams, Q., & Lognonné, P. (2011). Seismic Detection of the Lunar Core. Science, 331, 309–312. https://doi.org/10.1126/science.1199375.

[6] Turcotte, D. L., & Schubert, G. (2002). Geodynamics, second edition. Cambridge University Press. מקור למסגרת הראולוגית, להרפיה הצמיגה של טופוגרפיה ולהדבקות של שכבה דקה (Stefan) ששימשו בחלקים B ו-C.

[7] Mortimer, N., et al. (2017). Zealandia: Earth’s Hidden Continent. GSA Today, 27(3–4), 27–35. DOI 10.1130/GSATG321A.1. מצוטט לשם הזהירות שאזור האוקיינוס השקט אינו נקי מקרום יבשתי.

[8] Poincaré, H. (1885). Sur l’équilibre d’une masse fluide animée d’un mouvement de rotation. Acta Mathematica, 7.

[9] Walter, S. A. (2023). The Poincaré pear and Poincaré–Darwin fission theory in astrophysics, 1885–1901. Philosophia Scientiae, 27(3), 159–187. doi:10.4000/philosophiascientiae.4178.

[10] Cartan, É. (1928). Sur la stabilité ordinaire des ellipsoïdes de Jacobi. In J. C. Fields (Ed.), Proceedings of the International Mathematical Congress, Toronto 1924.

[11] Garnero, E. J., McNamara, A. K., & Shim, S.-H. (2016). Continent-sized anomalous zones with low seismic velocity at the base of Earth’s mantle. Nature Geoscience, 9(7), 481–489.

[12] Yuan, Q., Li, M., Desch, S. J., et al. (2023). Moon-forming impactor as a source of Earth’s basal mantle anomalies. Nature, 623, 95–99.

[13] de Meijer, R. J., Anisichkin, V. F., & van Westrenen, W. (2013). Forming the Moon from terrestrial silicate-rich material. Chemical Geology, 345, 40–49. doi:10.1016/j.chemgeo.2012.12.015.

[14] Edwards, M. R. (2026; online 2025). Explosive lunar fission above a large low-velocity province. Acta Geochimica, 45, 15–29. doi:10.1007/s11631-025-00834-2.

[15] Lock, S. J., & Stewart, S. T. (2017). The structure of terrestrial bodies: Impact heating, corotation limits, and synestias. Journal of Geophysical Research: Planets, 122, 950–982. doi:10.1002/2016JE005239.

[16] Denton, C. A., Asphaug, E., Emsenhuber, A., & Melikyan, R. (2025). Capture of an ancient Charon around Pluto. Nature Geoscience, 18, 37–43. doi:10.1038/s41561-024-01612-0.

הפניות פנימיות בתוך סדרת LEF — כתבי היד של המחבר: 1, המודל — הסיפור של המודל; 2, מנגנון LEF בעיקרון — הקורוטציה, האגס, הקיזוז, תקציב התנע הזוויתי וגבולות רוש; 4, המסלול — ההתפתחות המסלולית אחרי השחרור; 5, הימות; 6, המכתשים — החומר החוזר והמכתשים; 7, הקטבים — ההתעגלות של הגוף המחובר; 8, South Pole–Aitken; 9, הפסים; 10, מאדים; 11, הדרישות — המבחנים התצפיתיים, כולל סיווג האגנים לפי אזור חשיפה. ההפניות לכתבי היד אינן אישור חיצוני לתוצאות המודל.

[17] Cottaar, S., & Lekic, V. (2016). Morphology of seismically slow lower-mantle structures. Geophysical Journal International, 207, 1122–1136. doi:10.1093/gji/ggw324.

[18] Becker, T. W., & Boschi, L. (2002). A comparison of tomographic and geodynamic mantle models. Geochemistry, Geophysics, Geosystems, 3, 1003. doi:10.1029/2001GC000168. (SMEAN.)

[19] Jackson, M. G., Konter, J. G., & Becker, T. W. (2017). Primordial helium entrained by the hottest mantle plumes. Nature, 542, 340–343. doi:10.1038/nature21023. (SMEAN2.)

[20] Cottaar, S., & Romanowicz, B. (2012). An unusually large ULVZ at the base of the mantle near Hawaii. Earth and Planetary Science Letters, 355–356, 213–222; corrected table, 390, 327 (2014).

[21] Hut, P. (1981). Tidal evolution in close binary systems. Astronomy and Astrophysics, 99, 126–140. מקור משוואות הגאות של פיגור זמן קבוע ששימשו בחיפוש מרחק השחרור של §C.5a.

מחבר, נתונים ושיטות

זוהר דוראן (Zohar Duran), חוקר עצמאי, רמלה, ישראל. ORCID: 0009-0005-3194-9387.

המאמר אינו מציג מערך נתונים תצפיתי כמותי חדש; מיקום המקור והפירוש של הצורה המיוחסים למחבר הם השערות גאומורפולוגיות, ושיטת השחזור שלהן לא הוצגה כאן. הערכות הלחץ, הזרימה וההתקררות ניתנות לשחזור מן הקלטים ומן המשוואות המפורטים כאן. המצבים המצומדים בחלק C מבוססים על החישובים של מאמר 2; השחזור המלא שלהם מחייב גם את פתרון הצורה ואת מאזן התנע הזוויתי המפורטים שם. הספרות התצפיתית משמשת כאילוץ לבדיקת המודל. מספר הספרות בתוצאות אינו הערכה של אי-הוודאות הפיזיקלית, הנשלטת בעיקר על ידי ההנחות על המבנה ועל החומר.

נספח זה ממיין את רכיבי המאמר לפי מעמדם. חלקם פיזיקה סטנדרטית הלקוחה מספרי לימוד; חלקם תצפיות קודמות המשמשות כאילוצים; חלקם חישובים שנעשו כאן; וחלקם רכיבים של המודל שמוצעים וחייבים להיבדק. הטבלה נקראת שורה אחר שורה: העמודה האמצעית נותנת את הסיווג של כל רכיב, והעמודה השמאלית את המקור שלו ואת התפקיד שהוא ממלא בטיעון. הטעם של המיון הוא שהקורא יוכל לראות מיד אילו חלקים של המאמר נשענים על פיזיקה מבוססת ואילו הם ההצעות של המודל עצמו.

שני מונחים בטבלה עשויים לדרוש הסבר. פתרון Poiseuille הוא התוצאה הסטנדרטית לזרימה יציבה של נוזל צמיג דרך צינור: ספיקת הזרימה גדלה עם החזקה הרביעית של רדיוס הצינור, ולכן רוחב המעבר חשוב כל כך בחלק A. חוק Stefan נותן את הכוח הדרוש כדי להפריד שני משטחים המחוברים בשכבה צמיגה דקה; כאן הוא מעריך כמה המגע התנגד — התנגדות קטנה — כשהשחרור כ-210 km ($\simeq2d_0$) מעבר לקו הקורוטציה (§C.5).

נספח זה מציין את הקבועים שבהם נעשה שימוש לאורך המאמר, ומה אפשר — ומה אי אפשר — לשחזר מן המאמר הזה לבדו.

בכל החישובים המספריים כאן: $G=6.674\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$, שנה = 365.25 ימים ויום = 86,400 שניות. $G$ הוא קבוע הכבידה, הקובע את עוצמת הכבידה בין שתי מסות. בטבלאות הזרימה, הצמיגות, צפיפויות המקטעים, רוחב המעבר, משך ההזנה והחלק הפנימי הם קלטי מבחן: הם נבחרו כדי לסרוק את טווח הבעיה, ואינם ערכים מדודים של כדור הארץ הקדום. הערכים של $k$, $L_f$ ו- $\Delta T$ במשוואת ההתקררות הם הנחות מספריות לצורך ההערכה; לא מוצג עבורם טווח מאומת של החומר הקדום. כאן $k$ הוא מקדם המוליכות התרמית, $L_f$ החום הכמוס המשתחרר כשהתך מתמצק, ו- $\Delta T$ הפרש הטמפרטורות המניע את ההתקררות.

הטבלאות בחלק D נובעות ממצבי שימור התנע הזוויתי והצורה של מאמר 2. כשהמסות, המרחק, המחזור וקו הרוחב נתונים, אפשר לשחזר את הכוח ואת המאמצים ממשוואות (19)–(20), ואת המבחן המשותף ממשוואות (25)–(29). ההוכחה של מחזור הסיבוב עצמו מחייבת את פתרון הצורה ואת מאזן התנע הזוויתי של מאמר 2; היא אינה נובעת ממשוואות הלחץ של מאמר 3. במילים אחרות, המאמר הזה מקבל כנתונים את היממה של 5.77 h ואת מרחק השחרור ממאמר 2, וכל מה שהוא מחשב מהם אפשר לבדוק כאן; היממה עצמה נבדקת במאמר 2.

אסור להמיר מספר גבוה של ספרות בטבלה לאי-ודאות קטנה של המודל. אי-הוודאות בצפיפות, בגבולות הזרימה, בצורת החיבור ובמבנה הגוף משמעותית יותר משגיאת העיגול. ערך כמו 10.49 GPa מודפס בארבע ספרות כדי שהקורא יוכל לחזור על החישוב במדויק, ולא משום שהמרווח ידוע ברמת דיוק כזאת. התוצאה הסופית של מאמר 3 היא אילוץ היתכנות בתוך קירובים שצוינו.

שימוש בכלי בינה מלאכותית: המחבר השתמש בעוזרי בינה מלאכותית (Claude, Anthropic; ChatGPT, OpenAI; עוזר החיפוש מבוסס הבינה המלאכותית של Google) כדי לכתוב ולהריץ את סקריפטי החישוב, לנתח את הקטלוגים והמפות, להכין איורים וטבלאות, לדון בתרחישים, ולעריכה לשונית ולתרגום. המודל ומסקנותיו הם של המחבר. המחבר בדק את התוכן ונושא באחריות מלאה עליו.