Физическая среда статьи

Расчёты описывают сценарий на ранней Земле, около времени образования Луны примерно 4.5 миллиарда лет назад. В начальном состоянии масса вещества, которое образует Луну, входит в родительское тело — молодую Землю до того, как Луна её покинула. В ходе построения эта масса переходит в развивающееся тело, а распределение плотности, вращение, гравитационное поле и тепловое состояние меняются. Эта статья рассматривает всё построение — питание изнутри и подъём внешней оболочки — как один процесс на одном теле.

Поскольку в ходе процесса меняется так много, число, взятое в один момент, нельзя использовать в другой. Поэтому таблица задаёт среду: для каждой области она указывает, какие величины являются входными, какие меняются со временем и какие относятся к заданному тестовому состоянию. Отдельное численное значение не может заменить физический профиль, необходимый для расчёта. Левый столбец называет область; правый столбец даёт рабочие значения и правила их использования.

Несколько строк требуют пояснения. Масса. Начальная масса $M_0$ — это сегодняшние Земля и Луна, сложенные вместе; не предполагается, что что-либо уходит, так что вся Луна некогда была частью Земли, и её $7.35\times10^{22}$ kg учитываются один раз — внутри родительского тела до переноса, в Луне после него и в пути (соединение, выброшенное и падающее обратно вещество) лишь пока оно находится в пути. Размер и форма. Радиус 6,517 km больше сегодняшнего земного, потому что молодая горячая Земля расширена (Paper 2). Вращающееся жидкое тело вздувается на экваторе; состояние Маклорена — классическая равновесная форма вращающейся жидкости однородной плотности, сплюснутая сфера, и оно превращает этот объём в экваториальный радиус около 6,721 km и полярный радиус около 6,128 km. Вращение. Момент импульса, $L_0$, — это количество вращения, которым обладает система; внутренние процессы могут лишь передавать его от одной части к другой. Момент инерции, $I(t)$, показывает, как масса распределена относительно оси вращения: масса, перемещённая наружу, увеличивает его и замедляет вращение, масса, перемещённая внутрь, уменьшает его и ускоряет вращение, — так фигуристка вращается медленнее с разведёнными руками и быстрее, когда прижимает их к себе. Поэтому сутки не закреплены на 5.5 часах: груша переносит массу наружу, а железо, собирающееся в ядро, переносит массу внутрь, и при отделении оба процесса вместе дают сутки в 5.77 часа.

Коротация. Всё, что вращается вместе с Землёй, совершает один оборот за земные сутки, и чем дальше оно находится, тем быстрее движется; скорость, необходимая для свободной круговой орбиты, падает с расстоянием. Радиус коротации — расстояние, на котором эти две скорости равны, — около 16,400 km при отделении, примерно два с половиной земных радиуса. Тело, вынесенное до него и всё ещё вращающееся вместе с Землёй, уже имеет орбитальную скорость. Значение для пробной частицы (16,331 km) рассматривает Луну как малую частицу; значение для двух тел (16,399 km) учитывает её собственную массу, и малая разница показывает, как мало значит это упрощение. На широте 22.5° линия лежит дальше, на 17,287 km, потому что там тело на том же расстоянии от центра ближе к оси вращения и движется медленнее. Тело. Одна и та же лунная масса занимает больший объём при меньшей плотности, поэтому в таблице указан её размер при нескольких плотностях. При 1,300 kg/m³ тело вспенено — полно газа из своих летучих, при плотности значительно меньше половины плотности сегодняшней Луны, — и в этом лёгком состоянии давление части A может питать его и поднимать вещество внутри груши, пока груша поднимает тело. Это тестовые состояния для расчётов, а не решённая история того, как тело сжималось.

Оболочка — это сиаль: лёгкий внешний слой родительского тела, богатый кремнием и алюминием, лежащий на более плотной, богатой магнием симе под ним (§C.10). Отверстия — это проходы сквозь эту оболочку, через которые глубинное вещество поднималось и выбрасывалось. Давление и летучие. Давление, которое движет питание, и давление, которое питание должно преодолеть, вычисляются в одном и том же поле, так что проверка не может позаимствовать благоприятное значение из одной картины, а неблагоприятное — из другой. Летучие не добавляют давления; давление источника остаётся на литостатическом значении — весе вышележащего вещества. Их действие в том, что они облегчают поднимающийся расплав, так что то же давление поднимает его выше. Плотность и вязкость. Плотность — это то, насколько вещество тяжело для своего объёма; вязкость — то, насколько сильно оно сопротивляется течению. Оболочка с $10^{23}$ Pa s или более течёт так медленно, что её кратеры сохраняют форму (§B.3), а горячие недра под ней текут легко; там, где они встречаются, находится слой, который уступает первым. Место. Основание груши стояло вблизи Kiritimati, в центральной части Тихого океана. Под ним, у подошвы мантии, лежит Тихоокеанская крупная провинция низких скоростей: область размером с континент, в которой сейсмические волны распространяются медленно; её природа оставлена открытой (часть E). Область на 25°N, 165°E, прежде прочитанная как источник, — это задняя сторона груши, которая наклонялась на запад и на север.

Что означает аннотация, простыми словами. Питаемое изнутри и поднятое снаружи описывает два поступления в одно тело. Представьте воздушный шар, который наполняют из трубы под ним, а его собственная оболочка — это растянутая поверхность земли, на которой он лежал. Наполнение — это питание: глубинное горячее вещество, поднимающееся под давлением и втекающее в тело. Оболочка — это оболочка Земли: её внешний слой над областью построения, который поднялся вместе с грушей и медленно скользнул вверх к её кончику, в тело, где он стал поверхностью тела. Ни одно из поступлений само по себе не создаёт Луну. Питание даёт телу его недра — собственную мантию Земли, поэтому у них общий состав (§C.10), — а оболочка даёт ему кору, которая уже несла кратеры со времени своего пребывания на Земле.

Что означают 150 GPa. Глубоко внутри любого крупного тела вещество сжато весом всего, что находится над ним. В центре родительского тела этот вес, слегка ослабленный вращением, составляет 150.26 GPa. Это давление — двигатель питания: откройте путь от глубоких недр к поверхности, и сжатое вещество поднимется по нему, как зубная паста поднимается, когда тюбик сжимают. Вопрос в том, достаточно ли силён напор. Чтобы поднять расплав с глубины источника до самого радиуса коротации, давление должно удерживать вес всего столба расплава вдоль этого пути; для расплава 3,500 kg/m³ на глубине, вспененного до 1,500 kg/m³ над поверхностью, этот вес составляет 139.78 GPa. Напор превышает его на 10.49 GPa и превышал бы его для любого расплава легче примерно 3,864 kg/m³. Таков смысл слов «напор оценён»: статья не предполагает, что давления достаточно, она его вычисляет.

Почему соединение должно быть широким. Если бы питание поднималось по тонкой трубе, труба должна была бы удерживать тело против притяжения Земли вдоль линии между ними (радиальная нагрузка) и против бокового притяжения вращения на широте 22.5°, которое тянет тело к экваториальной плоскости (боковая нагрузка). Лишь канал радиусом более примерно 1,000 km проходит радиальную проверку, а канал такой ширины уже не тонок: он сам содержит почти половину лунной массы вещества и несёт боковую силу порядка $10^{22}$ N. Вывод: соединение — широкая, горячая, массивная часть Земли, и часть C показывает, что это такое: груша.

Что такое груша. Груша — это одно вздутие Земли, вытянутое. Давление, которое подняло холм над источником, продолжало поднимать его, и холм вырос в длинное широкое продолжение собственного вещества Земли: широкое у основания на поверхности Земли — от 9,000 до 11,000 km, шире радиуса Земли, — и сужающееся одной плавной кривой к кончику, который несёт тело. Она — часть Земли и удерживается гравитацией Земли, как любая другая часть Земли. Она не выброшена, потому что её скорость — не скорость выброса и она целиком лежит внутри линии коротации (§C.7). Её масса, выведенная из ширины её основания, составляет около девяти–двенадцати лунных масс, а энергия, необходимая для её подъёма, — того же порядка, что и выделяющаяся, когда железо Земли опускается в её ядро (§C.9).

Почему отделение происходит именно там. Вся груша лежит внутри линии коротации, и там совместное притяжение гравитации и вращения направлено к Земле, и груша удерживается там гравитацией Земли как часть Земли. Тело на её кончике поднимается вместе с ней, пока его центр масс не достигнет линии, и там оно начинает отделяться. Там скорость, которую оно уже имеет от вращения вместе с Землёй, — это скорость круговой орбиты, а за линией вращение тянет наружу сильнее, чем гравитация тянет внутрь; диск контакта сопротивляется лишь немного, и тело с силой вытягивается наружу и отделяется примерно в 210 km за линией (§C.5). Груша остаётся внутри линии, частью Земли, и после отделения сортировка собирает её обратно в Землю за десятки–сотни миллионов лет.

Как читать эту рамку. Первый абзац даёт два поступления и то, что каждое из них объясняет на сегодняшней Луне. Шапка ближней стороны около 31° — это участок тела, который был 3,000-km диском контакта с грушей: он не был полностью закрыт до отделения: Serenitatis отслоилось от него первым, а Imbrium оставалось соединённым до отрыва. Пояс от 31° до 70° — это кольцо нижнего купола, которое отслоилось от Земли во время скругления наружу, унося с собой сиаль, на котором оно сидело. Всё за пределами 70° — верхний купол: оболочка с самого начала, обнажённая с плоской стадии и несущая свои кратеры вверх вместе с собой (§B.4). Скругление действует, как слегка сплющенный мяч, становящийся круглым: каждый участок его поверхности сжимается в одной и той же пропорции, так что ни одна зона не смещается относительно другой. Последовавшее сплющивание — это сплющивание тела вращением у его полюсов; скругление внутрь — это тело, вновь становящееся круглым по мере уплотнения. Во время скругления внутрь полярная поверхность стягивалась сильнее всего, тогда как кратеры, уже находившиеся на ней, сохраняли свой размер, так что они скучивались вблизи полюсов (Paper 7). Эти изменения происходили, пока тело было прикреплено: отношение осей достигало 1.69 на пике сплющивания и падало до 1.2 в конце прикреплённой стадии (Paper 7), и к отделению тело было круглым, его внешняя оболочка жёсткой, его отношение осей не более 1.04 (Paper 2, §B.7).

Второй абзац формулирует условие на соединение и его следствие. Третий говорит о том, что становится с грушей. Груша не теряется при отделении; после отделения сортировка собирает её обратно в Землю, постепенно, за десятки–сотни миллионов лет. Её тяжёлая часть — включая большую часть железа, поднявшегося в неё (§C.10), — опускается глубоко в Землю под основанием груши (часть E); её передняя сторона собирается в полосы северной части Тихого океана, а её задняя сторона — в дуги западной части Тихого океана (Paper 9, The Stripes). Масса не покидает Землю; она перемещается из высокого положения снаружи в глубину внутри. Её диапазон в девять–двенадцать лунных масс задаётся шириной основания, от 9,000 до 11,000 km, и выводится в §C.7.

Введение — одно тело, два поступления

В модели родительское тело не выбрасывает готовую Луну. Прикреплённое тело растёт и движется наружу, получая вещество из двух источников одновременно: глубинное вещество поднимается в него через магматический подъём, а внешняя оболочка родительского тела — сиалический слой над областью построения — поднимается вместе с ним как его поверхность. Paper 2, LEF Mechanism in Principle, установила, что на радиусе коротации скорость, которую уже имеет вращающаяся вместе с Землёй масса, — это скорость, которой требует свободная орбита, и что бюджет момента импульса родительского тела допускает перенос. Иными словами, Paper 2 показала, где Луна должна была отделиться и что у Земли было достаточно вращения, чтобы поместить её туда. Эта статья спрашивает, как масса достигла этого радиуса и что поддерживало её на этом пути.

Два источника вносят вклад в одно и то же тело. Оболочка перемещается к телу: она поднимается вместе с грушей, медленно отделяется и скользит вверх к её кончику, в тело, где становится кожей тела; скольжение облегчается смазанным слоем между сиалем и симой (§C.10). Область построения — это купол, купол поднимается, и его поверхность идёт вместе с ним: кора земная, она перенесла свои кратеры на Луну, а на обратной стороне она нарастала слоями. Поэтому одна статья рассматривает оба поступления: это не два механизма, конкурирующих в объяснении Луны, а внутренность и внешность одного растущего тела.

Коротация связывает вращение и орбитальную скорость. Она не поднимает вещество — это делает груша, — но именно она отрывает Луну: как только центр масс Луны достигает линии, силы коротации освобождают её. Вещество у поверхности Земли вращается вместе с ней, но гораздо медленнее, чем требует орбита; нечто должно вынести его наружу и удерживать там, пока оно не достигнет радиуса коротации. Для этого необходимы движущее давление, баланс массы и энергии, структура, допускающая течение, и соединение, способное нести требуемую нагрузку. Мы рассматриваем это в четырёх частях: A — питание изнутри: задача переноса, источник, тепловые границы и достаточность давления, темпа и энергии; B — подъём снаружи: четыре стадии купола, его геометрия и то, во что он превращается; C — соединение и отделение: нагрузки, которые оно несёт, и то, как тело начинает отделяться на линии коротации и отделяется сразу за ней; D — предсказания, проверки и выводы. Часть C также прослеживает грушу, образующую соединение, то, из чего сделано тело, и вещество, которое Земля продолжала выбрасывать после отделения. Пятая часть, E, прослеживает грушу обратно в Землю, фиксирует, где стояло её основание относительно наблюдаемых сегодня глубин Земли, и спрашивает, что она сделала с недрами Земли; заключительный раздел собирает направления для дальнейших исследований.

Новизна состоит в соединении процессов в одно связное построение. Законы гравитации, течения, теплопроводности и вязкого сцепления — это физика, с помощью которой рассматривается механизм, а не независимое свидетельство того, что он имел место. Каждый из этих законов стандартен; то, что добавляет статья, — их применение к одному телу в одной последовательности, с числами одной согласованной среды, так что каждый шаг можно проверить по следующему.

Paper 2, LEF Mechanism in Principle, показала, где Луна отделяется, — на радиусе коротации, где скорость вращения вместе с Землёй уже является скоростью свободной орбиты, — и что момента импульса Земли достаточно, чтобы поместить туда вещество. Она не показала, как вещество туда попало. Эта часть берётся за этот вопрос со стороны недр Земли. Сначала она ведёт учёт массы (§A.1), затем объясняет, почему вращение Земли само по себе не может поднять тело (§A.2), и затем записывает баланс сил, которому должно удовлетворять любое питание с глубины (§A.3). Последующие разделы описывают источник, канал и тепловые границы (§A.4–A.8), а следующее продолжение этой части даёт числа для давления, темпа и энергии (§A.9–A.13).

A.1Тело, которое растёт, двигаясь

Первый шаг — учёт. Прежде чем вычислять какую-либо силу, мы должны уметь сказать, где находится каждый килограмм в каждый момент, чтобы никакая масса не учитывалась дважды и никакая не терялась из баланса.

В начале учёта массы лунное вещество входит в родительское тело: в начальном состоянии существует лишь одно тело, родительское, массы $M_0$. По мере построения эта масса распределяется по четырём резервуарам. Если различать земной резервуар, развивающееся тело и вещество в пути, баланс имеет вид:

$$M_0=M_E(t)+m(t)+M_{\mathrm{transit}}(t)+M_{\mathrm{escaped}}(t). \tag{1}$$

Словами: в каждый момент $t$ начальная масса равна массе, ещё находящейся в Земле, $M_E(t)$, плюс масса, уже находящаяся в развивающемся теле, $m(t)$, плюс масса на пути между ними (в соединении или подброшенная и ещё не упавшая), $M_{\mathrm{transit}}(t)$, плюс всё, что вообще покинуло систему, $M_{\mathrm{escaped}}(t)$. Уравнение — это просто сохранение массы; его польза в том, что оно помещает каждый килограмм ровно в одно место.

Масса, накопленная в теле, удовлетворяет:

$$\frac{dm}{dt}=\dot M_{\mathrm{int}}+\dot M_{\mathrm{ext}}-\dot M_{\mathrm{out}}. \tag{2}$$

Уравнение (2) говорит, как быстро растёт тело. Точка над массой обозначает темп, в килограммах в секунду. $\dot M_{\mathrm{int}}$ — это внутреннее питание: глубинное вещество, поступающее снизу через соединение; $\dot M_{\mathrm{ext}}$ — это включение оболочки, которая поднимается вместе с телом (часть B), — внешнего слоя Земли, который становится кожей тела; а $\dot M_{\mathrm{out}}$ — это выход из тела, вещество, выбрасываемое через его отверстия. Масса тела растёт на то, что поступает изнутри и снаружи, за вычетом того, что уходит.

Вещество, которое уходит и возвращается, соответственно учитывается в обоих темпах: порция, выброшенная через отверстие, вычитается, когда уходит, и снова прибавляется, когда падает обратно на тело. Поэтому не всякий выход следует отождествлять с уходом из системы; большая часть выброшенного вещества остаётся в балансе как вещество в пути и возвращается. Внутренняя доля конечной Луны — то, сколько её пришло с глубины, а не от поднимающейся оболочки, — определяется из интеграла питания и потерь за всё построение, а не из допущения фиксированного процента. (Часть B.7 обсуждает это разделение.)

A.2 Почему вращение само по себе не является переносом

Вопрос, на который отвечает этот раздел, — почему Луну нельзя было просто сбросить с вращающейся Земли и почему, следовательно, нечто должно было вынести её наружу.

Paper 2 (§A.1.2) дала причину, по которой брошенное тело терпит неудачу. На экваторе родительского тела, совершающего один оборот за 5.5 часа, поверхность движется со скоростью около 2,133 m/s, тогда как свободная орбита чуть выше поверхности требует около 7,701 m/s. Вещество, отпущенное с поверхности или подброшенное с неё, движется слишком медленно вбок, чтобы остаться на орбите: его путь — короткий эллипс, который уходит обратно в родительское тело, и оно падает обратно. Лишь на радиусе коротации, примерно в 15,818 km от центра при 5.5-часовых сутках, скорость вращения вместе с Землёй достигает орбитальной скорости. Поэтому вещество должно быть доставлено на это расстояние, пока оно ещё прикреплено и ещё вращается вместе с Землёй. Его доставку туда мы называем переносом: непрерывное поступление глубинного вещества, выталкиваемого вверх из источника внутри Земли через соединение в растущее тело, а не единичный бросок.

Естественное возражение — что быстрое вращение Земли могло бы само выполнить подъём. Следующий пример нагружения проверяет это. В примере тела с полной лунной массой и эквивалентным радиусом 2,270 km (радиус сферы с массой Луны при низкой плотности 1,500 kg/m³), касающегося родительского тела с экваториальным радиусом 6,721 km, расстояние между центрами составляет 8,991 km — сумму двух радиусов. (На стадии 2 части B та же масса сидит на кончике груши как сплющенное тело над 6,000-km диском контакта; пример нагружения сохранён в сферической форме для сравнения с Paper 2.) На этом расстоянии мы сравниваем два ускорения в центре тела: гравитационное притяжение Земли внутрь и центробежное ускорение наружу, которое вращение сообщает телу, вращающемуся вместе с Землёй. Использование $M_E$ и 5.5-часового вращения даёт приблизительно:

$$g_E=4.93\ \mathrm{m\,s^{-2}},\qquad \omega^2r=0.905\ \mathrm{m\,s^{-2}}. \tag{3}$$

Здесь $g_E=GM_E/r^2$ — притяжение Земли на $r=8{,}991$ km, $G$ — гравитационная постоянная, а $\omega^2r$ — центробежное ускорение, $\omega$ — угловая скорость 5.5-часового вращения ($2\pi$, делённое на период в секундах). Это сравнение ощущает ребёнок на вращающейся карусели: чем быстрее она вращается и чем дальше от центра он стоит, тем сильнее его выталкивает наружу. На 8,991 km толчок наружу составляет меньше пятой части притяжения внутрь. Оба были бы равны лишь на радиусе коротации, где притяжение ослабло пропорционально квадрату расстояния, а центробежный член вырос пропорционально ему.

Оставшееся ускорение внутрь составляет около 4.03 m/s² (4.93 минус 0.905): каждый килограмм тела всё ещё весит, в направлении Земли, около двух пятых того, что он весил бы сегодня на поверхности Земли. Это заданный пример нагружения, а не описание крошечного вздутия в начале построения. Он показывает, почему необходим дополнительный механизм, передающий силу и энергию: одно вращение не даёт никакой опоры в этом состоянии. Вращение облегчает нагрузку; оно не несёт её.

Плавучесть может двигать лёгкое вещество внутри более плотного вещества, как масло поднимается сквозь воду. Но плавучести нужна более плотная окружающая среда, от которой можно оттолкнуться, а над поверхностью родительского тела её нет; поэтому прохождение над поверхностью родительского тела требует решения, включающего внешнюю форму и соединение. Механизм, рассматриваемый здесь, — непрерывное питание под давлением: глубинное вещество выталкивается вверх давлением недр родительского тела, через соединение, в тело. Чтобы его рассмотреть, нет необходимости исключать любой другой возможный механизм выброса. Статья спрашивает, работает ли этот один механизм, и подвергает его количественным проверкам.

A.3Что движет веществом

Назвав механизм, мы записываем баланс, которому он должен удовлетворять. Вопрос в том, насколько большое давление необходимо, чтобы протолкнуть вещество с глубины вверх по пути к телу.

В системе отсчёта, вращающейся с постоянной скоростью, — то есть с точки зрения наблюдателя, вращающегося вместе с Землёй, — гравитацию и центробежный эффект можно объединить в одну величину, эффективный потенциал. Потенциал — это энергия на килограмм, которой обладает порция вещества в силу того, где она находится; вещество стремится перемещаться от высокого потенциала к низкому, как вода течёт под уклон. Эффективный потенциал равен:

$$\Phi_{\mathrm{eff}}=\Phi_{\mathrm{grav}}-\frac{1}{2}\omega^2\varpi^2, \tag{4}$$

где $\Phi_{\mathrm{grav}}$ — гравитационный потенциал, $\omega$ — угловая скорость, а $\varpi$ — расстояние от оси вращения. Второй член — центробежный вклад: он понижает потенциал тем больше, чем дальше порция от оси, поэтому вращение облегчает подъём наружу. Поднимать вещество наружу в этой системе отсчёта означает взбираться по склону $\Phi_{\mathrm{eff}}$, который становится пологим с расстоянием и делается плоским на радиусе коротации.

Вдоль медленного пути питания компонента баланса сил имеет приблизительно вид:

$$\frac{dp}{ds}=-\rho\frac{d\Phi_{\mathrm{eff}}}{ds} -\mathcal R_{\mathrm{visc}}, \tag{5}$$

где $s$ — расстояние, измеряемое вдоль пути, $p$ — давление, $\rho$ — плотность вещества в пути, а $\mathcal R_{\mathrm{visc}}$ представляет сопротивление течению на единицу длины — трение вязкого вещества, движущегося по каналу. Уравнение (5) говорит, что вдоль пути давление должно падать на две величины на единицу длины: вес вещества в эффективном поле (первый член) и трение при его перемещении (второй). Первый член — это привычное правило, что давление растёт с глубиной под весом вышележащего вещества; давление, необходимое, чтобы удерживать столб против эффективной гравитации, называется его гидростатическим напором. Заметим, что напор пропорционален плотности $\rho$: более лёгкому веществу нужно меньшее давление, чтобы быть поднятым на то же расстояние. Именно поэтому плотность поднимающегося вещества становится решающей величиной в §A.10.

Перепад давления должен нести напор эффективной гравитации, сопротивление и нагрузку на принимающей границе — вес тела, давящего на верх питания. Это уравнение выражает баланс импульса сплошной среды вдоль пути питания; при меняющейся скорости вращения и в трёхмерном течении необходимо также учитывать ускорения и импульс, переносимый вместе с веществом [1]. Для медленного установившегося питания, рассматриваемого здесь, эти члены малы, и уравнение (5) — та форма, которую использует проверка давления в §A.9.

Предыдущие разделы установили, что тело должно питаться с глубины под давлением. Это продолжение задаёт три практических вопроса об этом питании: откуда внутри Земли оно идёт и почему остаётся сосредоточенным на одном месте (§A.4); что удерживает канал открытым (§A.5); и как тело может иметь упрочняющуюся внешность, тогда как его внутренность и его питание остаются горячими и подвижными (§A.6–A.7). Оно завершается порядком, в котором происходят шаги (§A.8).

A.4 Источник питания и внутренняя организация

Питание, блуждающее по Земле, построило бы много малых груд, а не одну Луну. Поэтому источник должен быть сосредоточенным и должен питать одну и ту же область поверхности долгое время.

Рабочая гипотеза состоит в том, что питание было сосредоточено в одной области недр Земли по мере реорганизации недр; эта область лежала к северу от экватора (§B.1). В молодой Земле железо опускалось, образуя ядро, а недра разделялись на слои; во время этой реорганизации недра не обязательно были симметричными. Неоднородность состава, температуры и распределения плотного вещества может менять давление и пути течения. В модели эта неоднородность может поддерживать длительное питание одной и той же области поверхности: горячее, более лёгкое вещество собирается с одной стороны и продолжает подниматься под одним и тем же местом, как кастрюля, нагреваемая не по центру, продолжает кипеть в одной и той же точке.

Сосредоточенная область питания такого рода не следует из самого факта дифференциации. Чтобы её рассмотреть, необходимо вычислить потенциал распределения массы и его отклик на питание. И перераспределение плотного вещества, и перенос массы наружу меняют момент инерции — меру того, насколько далеко от оси вращения находится масса, — и, следовательно, меняют вращение. Железо, опускающееся внутрь, заставляет Землю вращаться быстрее, как фигуристка, прижимающая руки; масса, переносимая наружу, замедляет её. По этой причине используются связанные состояния Paper 2, а не постоянное вращение на протяжении всего процесса: сутки удлиняются лишь от 5.5 до 5.77 часа к отделению, потому что два эффекта в значительной мере компенсируют друг друга (Paper 2, §A.4).

По мере роста тела его собственная гравитация начинает играть роль. Гравитация развивающегося тела становится всё более важной для вещества вблизи него:

$$g_{\mathrm{self}}=\frac{Gm(t)}{R_b(t)^2}. \tag{6}$$

Здесь $m(t)$ — масса тела в момент $t$, а $R_b(t)$ — его радиус; $g_{\mathrm{self}}$ — ускорение к собственному центру тела, ощущаемое на его поверхности. Оно растёт по мере накопления массы и для замкнутого тела радиусом 1,890 km достигает 1.37 m/s² (часть B.3). Оно может притягивать поступающее вещество и формировать тело: возвращающиеся выбросы падают обратно на него, а его вещество стягивает само себя к скруглённой форме. Однако внутренние силы не ускоряют собственный центр масс тела. Нельзя поднять себя, потянув за собственные сапоги: каждому внутреннему притяжению между двумя частями тела соответствует равное и противоположное притяжение, и они взаимно уничтожаются. Общий подъём по-прежнему требует обмена силой и импульсом с окружением — с Землёй, через соединение и питание.

A.5Что удерживает канал открытым

Расплав, поднимающийся сквозь более холодное тело, стремится застыть и закупорить свой путь. Путь — это не канал со стенками: сама груша является соединительным каналом между недрами Земли и телом. Этот раздел указывает, что удерживает этот канал открытым и что это даёт, а чего не даёт.

Соединение получает тепло от питания и от окружающих его горячих тел: расплав, проходящий через него, несёт тепло вверх с глубины, а родительское тело внизу и растущее тело наверху оба горячие. Внешняя поверхность, соприкасающаяся с холодным окружением, может одновременно терять тепло и упрочняться. Поэтому система может иметь подвижную внутренность и более прочную внешность, с вязкостью, меняющейся между ними. Вязкость — это сопротивление вещества течению: мёд более вязок, чем вода; горячие недра имеют низкую вязкость и текут легко, охлаждённая внешность — высокую и сохраняет свою форму.

Нагрев с обеих сторон соединения помогает предотвратить местное застывание, но сам по себе не является удерживающей силой: тепло сохраняет путь текучим, но само по себе не ограничивает его; путь — это горячая внутренность груши. Форма канала должна удовлетворять балансу давлений и боковых напряжений против гравитации, вращения и течения. Трёхмерная устойчивость связанной структуры — это требование, которое механизм предъявляет сам себе; расчёт давления в §A.9–A.13 — первая из его проверок, а §D.1 перечисляет остальные.

A.6 Летучие, атмосфера и охлаждение внешности

Два свойства молодой Земли определяют и плотность поднимающегося вещества, и то, как охлаждается внешность: летучие, которые она содержала, и атмосфера, которую они образовали.

Летучие — это вещества, легко переходящие в газ: прежде всего вода, а также углекислый газ и подобные соединения. Глубоко под давлением они остаются растворёнными в расплаве, как углекислый газ остаётся растворённым в закрытой бутылке. В рассматриваемом сценарии существует древний запас летучих, больший, чем запас, сохранившийся сегодня. При декомпрессии — когда расплав поднимается и давление на него падает — летучие могут выделяться из магмы и менять её плотность и поведение, как пенится бутылка, когда её открывают. Расплав, полный газовых пузырей, — это вспененный расплав. Его плотность гораздо ниже, чем у того же расплава без пузырей, потому что часть его объёма — газ.

Именно эта низкая плотность делает питание возможным. Согласно уравнению (5), давление, необходимое для подъёма вещества, пропорционально его плотности: вспененному расплаву нужен гораздо меньший напор, чтобы достичь той же высоты, чем плотному. Часть A.10 превращает это в порог — давление источника родительского тела может поднять глубинный расплав до радиуса коротации, лишь если этот расплав легче примерно 3,864 kg/m³, — а часть B.2 находит, что тело на кончике груши имеет вспененную плотность около 1,300 kg/m³. Роль летучих — понижать плотность поднимающегося вещества, а не поднимать давление источника выше литостатического значения (давления, задаваемого весом вышележащего вещества); и пузыри нельзя предполагать на всех глубинах, поскольку глубоко внизу летучие могут быть ещё растворены.

Присутствие воды в лунных включениях — крошечных капельках расплава, захваченных внутри кристаллов лунного вулканического вещества, которые сохранили свою исходную воду, — даёт ограничение на некоторые лунные магматические источники; оно не измеряет общий запас летучих во время построения [2]. Оно показывает, что часть исходного вещества Луны не была сухой, не устанавливая, сколько воды содержала вся система.

Цикл подъёма, охлаждения и возврата может передавать тепло от вещества к окружению: вещество, подброшенное через отверстия, теряет часть тепла в полёте, но падает ещё горячим. Охлаждение всей системы, однако, требует, чтобы энергия ушла в космос; тепло, переданное от вещества к его окружению, ещё не потеряно. Паровая атмосфера может также ограничивать уходящее излучение: водяной пар поглощает инфракрасное излучение, которым охлаждается горячая поверхность, так что плотная паровая атмосфера действует как одеяло, и всю поверхность нельзя моделировать так, как если бы она была открыта вакууму. Расчёты насыщенной атмосферы демонстрируют предел излучения при определённых условиях — потолок теплового потока, который может излучить покрытое паром тело; постоянный поток из этих расчётов нельзя применять к каждой высоте и стадии в этом сценарии [3], потому что атмосфера, температура и гравитация меняются по мере подъёма тела.

A.7Охлаждающаяся оболочка над подвижным основанием

Телу нужна твёрдая кожа, пока его недра и его питание остаются расплавленными. Этот раздел оценивает, как быстро образуется такая кожа. Фронт затвердевания — это граница между твёрдым слоем, образовавшимся у холодной поверхности, и расплавом под ним; по мере того как тепло уходит через твёрдый слой, фронт продвигается вниз, а твёрдый слой утолщается. Застывшая шапка важна для теплового выживания тела: образовавшись, она стоит между горячим расплавом и холодной внешностью, и поскольку тепло может уходить лишь теплопроводностью через неё, чем толще она становится, тем медленнее теряет тепло расплав под ней. Таким образом, шапка защищает подвижные недра, которых требует питание, сама становясь прочной внешней границей.

Простая кондуктивная оценка продвижения фронта затвердевания имеет вид:

$$h_{\mathrm{fr}}(t)\simeq \sqrt{\frac{2k\Delta T\,t}{\rho_s L_f}}. \tag{7}$$

Здесь $h_{\mathrm{fr}}$ — толщина твёрдого слоя через время $t$; $k$ — теплопроводность твёрдого вещества, то, насколько легко оно пропускает тепло; $\Delta T$ — разность температур поперёк твёрдого слоя, между расплавом у его основания и холодным верхом; $\rho_s$ — плотность твёрдого вещества; а $L_f$ — скрытая теплота плавления — тепло, которое необходимо отвести от каждого килограмма расплава, чтобы он застыл, без какого-либо изменения его температуры. Уравнение говорит, что толщина растёт как квадратный корень из времени. Причина — только что описанный защитный эффект: чем толще твёрдый слой, тем меньше тепла проходит через него и тем медленнее застывает следующий слой. Удвоение толщины занимает вчетверо больше времени; слой в пятьдесят раз толще требует в 2,500 раз больше времени.

Это одномерное приближение баланса скрытой теплоты с постоянной разностью температур и теплопроводностью через застывший слой. Подстановка $k=3\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$, $\rho_s=3{,}000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ и $L_f=4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$ — значений, типичных для силикатного вещества, — даёт следующие времена. Два столбца — два выбора разности температур: 1,200 K для поверхности, которая сильно охлаждается, и 100 K для поверхности, сохраняемой тёплой, например паровой атмосферой или горячим окружением (§A.6).

Таблица читается вниз по каждому столбцу по мере роста твёрдого слоя и поперёк каждой строки по мере ослабления охлаждения. Вниз по столбцу времена резко растут: метр твёрдого слоя образуется за сутки, километр — за тысячи лет, пятьдесят километров — за миллионы. Поперёк строки каждое время в двенадцать раз больше в тёплом случае, потому что время достижения заданной толщины обратно пропорционально $\Delta T$. Таким образом, первый метр образуется почти сразу, каковы бы ни были условия; толстая оболочка — нет.

Таблица демонстрирует чувствительность к граничным условиям. Она не определяет конечную толщину, потому что горячее питание, внутренняя конвекция, атмосфера и конечный запас тепла меняют решение: горячее питание, поступающее снизу, вновь расплавляет основание твёрдого слоя, конвекция несёт к нему тепло, атмосфера уменьшает $\Delta T$, а тело с ограниченным запасом тепла в конце концов остывает целиком. Приливная жёсткость тела размером с Луну — его способность сопротивляться деформации земным приливом — обеспечивается оболочкой части B, а не этим первым метром.

Рисунок 1 показывает тот же закон во всём диапазоне времён. Обе оси логарифмические, так что закон квадратного корня выглядит прямой линией, поднимающейся на одну ступень по толщине на каждые две ступени по времени. Тёмно-синяя линия (сильное охлаждение) и красная линия (тёплая поверхность) параллельны: тёплый случай достигает каждой толщины позже в одно и то же число раз. Штриховая линия отмечает 50 km, примерную толщину, а точки — это значения таблицы.

Кора обратной стороны Луны построена, среди прочего, из сиалической оболочки, которая поднимается как поверхность купола, — лёгкого, богатого кремнезёмом и алюминием внешнего слоя родительского тела. Внутреннее вещество, которое пришло в Луну из Земли через питание, со временем застыло и осталось в центре Луны и в её ближней части. Часть B рассматривает их соответствующие вклады и геометрию купола. Здесь требуется лишь, чтобы внешняя граница могла упрочняться, пока канал питания остаётся подвижным, и оценка показывает, что это возможно: твёрдая кожа образуется за сутки, тогда как расплав под ней, изолированный ею и пополняемый снизу, остаётся текучим.

A.8Порядок построения

Элементы части A действуют вместе, и их порядок важен, потому что шаг, сделанный не по порядку, противоречил бы записи, которую несёт тело.

В этом сценарии внутреннее питание и подъём купола перекрываются, пока выбросы через отверстия ещё продолжаются: тело питается снизу, его оболочка поднимается вместе с ним, а вещество выбрасывается через отверстия и возвращается — всё одновременно. Выбросы не прекращаются, пока тело прикреплено: они ослабевают по мере роста груши и удаления тела от центра Земли и прекращаются при отрыве, когда тело отрезается от давления Земли. Замыкание внешней оболочки не играет в этом никакой роли. Вся последовательность, от начала вздутия до отделения, занимает около 600 миллионов лет — примерно 400 миллионов на вздутие и грушу, около 100 миллионов на сплющивание и около 100 миллионов ещё до отделения 3.873 миллиарда лет назад; это 600-миллионнолетнее окно сценария из таблицы среды, а 100-миллионнолетний случай остаётся проверкой чувствительности. Выбросы стадии построения нельзя отождествлять с поздним вулканизмом в теле, которое уже отделилось; они принадлежат прикреплённому телу и являются процессом, отличным от вулканизма свободной Луны. Четыре стадии изложены в части B.

Что мы теперь имеем: учёт массы, который размещает каждый килограмм, причину, по которой тело должно быть вынесено, а не брошено, баланс сил, которому должно удовлетворять питание, сосредоточенный источник, канал, удерживаемый открытым теплом, вспененный расплав, достаточно лёгкий, чтобы быть поднятым, и застывшую кожу, которая быстро образуется над подвижными недрами. Достаточны ли давление, темп и энергия — предмет следующего продолжения этой части.

Предыдущие разделы описали питание словами: глубинный источник, канал, удерживаемый открытым теплом, и тело, растущее на его конце. Это продолжение части A спрашивает, выдерживает ли это описание количественную оценку. Последовательно задаются три вопроса, и ответом на каждый служит число. Первый — давление: имеет ли родительское тело достаточное давление у своего источника, чтобы протолкнуть глубинный расплав до самого радиуса коротации (§A.9–A.10)? Второй — темп: если да, может ли напор перенести лунную массу через канал за имеющееся время (§A.11)? Третий — энергия: откуда берётся работа подъёма массы (§A.12)? Последний раздел (§A.13) соединяет давление, течение и нагрузку в одном состоянии, близком к отделению, и показывает, каким должно быть соединение, чтобы все три условия выполнялись одновременно. Этот последний результат — мост к частям B и C.

A.9Заданная проверка давления

Вопрос, на который отвечает этот раздел, легко сформулировать: достаточно ли собственное внутреннее давление родительского тела, чтобы удерживать столб расплава, простирающийся от его центра до радиуса коротации? Чтобы ответить на него, два давления вычисляются из одного и того же поля и сравниваются: давление, имеющееся у источника, и давление, которого требует столб.

Что такое гидростатический напор. Столб вещества, стоящий в гравитационном поле, давит своим весом на собственное основание. Давление, необходимое у основания, чтобы удерживать столб — так, чтобы он не опускался и не поднимался, — называется гидростатическим напором столба. Насос, подающий воду в бак на крыше, должен обеспечить по меньшей мере напор водяного столба между насосом и баком; если меньше — вода не доходит. Питание Луны — та же задача в планетарном масштабе: источник должен обеспечить по меньшей мере напор столба расплава, простирающегося из глубины родительского тела вверх до тела. В однородном поле напор — это просто плотность, умноженная на гравитацию и высоту; здесь гравитация меняется вдоль столба, а вращение работает против неё, так что напор вычисляется как плотность, умноженная на изменение эффективного потенциала вдоль пути (уравнение 5 из §A.3, проинтегрированное).

Мы выбираем опорное сечение родительского тела до разделения массы: $M_0$, $R_V$, $T_0$ из таблицы. То есть всё родительское тело с лунным веществом, ещё находящимся внутри него ($M_0=6.0455\times10^{24}$ kg), его принятый объёмный радиус (6,517 km) и его начальные 5.5-часовые сутки. Лишь для аналитической проверки мы используем поле однородной сферы и вращающееся экваториальное сечение. Это сферическое приближение с центробежной поправкой, а не точное равновесное решение для сфероида Маклорена. Этот выбор сохраняет арифметику прозрачной: каждый член можно записать в замкнутой форме и проверить вручную, а истинная сплюснутая фигура меняет числа лишь умеренно.

Пусть $R=R_V$, $\rho_p=3M_0/(4\pi R^3)$; $\rho_p$ — средняя плотность родительского тела, его масса, делённая на объём. Внутреннее поле равно $g(r)=GM_0r/R^3$, а внешнее поле $GM_0/r^2$. Внутри однородной сферы гравитация растёт пропорционально расстоянию от центра — ноль в центре, полное значение на поверхности, — потому что притягивает лишь масса ниже данной глубины; снаружи она убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Конечная точка проверки столба есть:

$$r_*=\left(\frac{GM_0}{\omega_0^2}\right)^{1/3} =15{,}882.9\ \mathrm{km}. \tag{8}$$

Уравнение (8) — это радиус коротации из Paper 2 (§A.5) с массой всего родительского тела: расстояние, на котором гравитация в точности уравновешена центробежным эффектом вращения. Это естественный конец столба. Ниже $r_*$ результирующее притяжение направлено внутрь, и каждый километр столба добавляет вес, который должен удерживать источник; на $r_*$ результирующее притяжение равно нулю, так что вещество там ничего не весит во вращающейся системе отсчёта, а за ним результирующее притяжение направлено наружу. Поэтому напор приходится оплачивать лишь до $r_*$.

Это опорная точка в полном поле начального родительского тела; это не расстояние отделения двух тел в конце переноса. Различие между ней и опорным значением 15,818 km возникает из-за массы в уравнении: 15,818 km вычислены с конечной массой Земли $M_E$, 15,882.9 km — с полной массой родительского тела $M_0$, которая больше на массу Луны, а большая масса помещает точку равновесия немного дальше.

Откуда берётся давление источника. Глубинный источник — не отдельный двигатель. Это собственные недра родительского тела, сжатые весом всего, что находится над ними. В центре родительского тела давит полный вес вышележащего вещества; вращение немного облегчает этот вес на экваторе, потому что центробежный эффект там действует против гравитации. Когда открывается путь из глубоких недр к поверхности, именно это давление — вес минус вращение — проталкивает расплав по нему. Давление источника в центре относительно экваториального поверхностного давления равно:

$$p_s=\frac{\rho_p}{2} \left(\frac{GM_0}{R}-\omega_0^2R^2\right) =150.26\ \mathrm{GPa}. \tag{9}$$

Словами: первый член в скобке, $GM_0/R$, — гравитационная часть; множитель $\tfrac{1}{2}$ появляется потому, что гравитация внутри однородной сферы равномерно растёт от нуля в центре до полного значения на поверхности, так что вдоль радиуса она действует в среднем с половинной силой. Второй член, $\omega_0^2R^2$, — облегчение, даваемое вращением вдоль экваториального радиуса. Умноженная на среднюю плотность родительского тела, скобка даёт давление: 150.26 GPa. Это давление, которое родительское тело своей собственной массой и вращением имеет у своего источника.

В столбе с постоянной глубинной плотностью $\rho_d$ и внешней плотностью $\rho_o$ требуемый напор давления равен:

$$p_{\mathrm{head}}=\rho_d I_d+\rho_o I_o, \tag{10}$$

Столб разделён на два отрезка, потому что вещество в них различно. Глубинный отрезок идёт от центра до поверхности родительского тела и заполнен глубинным расплавом плотности $\rho_d$. Внешний отрезок идёт от поверхности вверх до $r_*$, над родительским телом, и заполнен более лёгким внешним веществом плотности $\rho_o$. Каждый отрезок вносит плотность, умноженную на интеграл $I$, а $I$ — изменение эффективного потенциала (гравитационный минус центробежный) вдоль этого отрезка — энергия, необходимая для подъёма одного килограмма вдоль него, в джоулях на килограмм, что то же самое, что $\mathrm{m^2\,s^{-2}}$. Плотность (килограммы на кубический метр), умноженная на энергию на килограмм, даёт энергию на кубический метр, то есть давление.

$$I_d=\frac{1}{2}\left(\frac{GM_0}{R}-\omega_0^2R^2\right) =2.88173\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}, \tag{11}$$

Уравнение (11) — это шаг потенциала внутри родительского тела, от центра до экваториальной поверхности. Это та же скобка, что и в уравнении (9); единственное различие — плотность, на которую она умножается. Это тождество — суть проверки: давление источника — это напор столба собственной средней плотности родительского тела, а требуемый напор — тот же столб, заполненный расплавом. Столб расплава такой же плотности, как родительское тело, был бы в точности уравновешен и поднялся бы не выше поверхности. Лишь расплав легче родительского тела получает избыток, и этот избыток должен затем оплатить внешний отрезок.

$$I_o=GM_0\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_*}\right) -\frac{\omega_0^2}{2}\left(r_*^2-R^2\right) =2.59450\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}. \tag{12}$$

Уравнение (12) — это шаг потенциала вне родительского тела, от поверхности до $r_*$: первый член — работа против внешней гравитации, второй — помощь, даваемая вращением на том же расстоянии. Хотя этот отрезок более чем вдвое длиннее глубинного, его значение немного меньше, потому что гравитация ослабевает с расстоянием, а помощь вращения растёт. Два интеграла вместе фиксируют напор для любой пары плотностей; следующий раздел вычисляет его.

Столб служит проверкой давления в заданном поле; его масса и его влияние на форму тела здесь не решаются. Поэтому проверку нельзя автоматически распространять на перенос всей лунной массы. Она отвечает на один вопрос — может ли источник удерживать линию расплава, достигающую радиуса коротации, — и оставляет вес реального конечного соединения для §A.13.

A.10Порог плотности и чувствительность

Напор зависит от того, что заполняет столб, а давление источника — нет. Поэтому вопрос в том, какие глубинные плотности источник может нести и где лежит предел.

Принимая $\rho_o=1{,}500\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$, получаем:

Как читать таблицу. Каждая строка заполняет глубинный отрезок расплавом иной плотности; внешний отрезок сохраняется при 1,500 kg/m³. Средний столбец — напор, которого требует этот столб, по уравнению (10). Правый столбец, остаток, — это давление источника 150.26 GPa минус этот напор: то, что остаётся от напора после того, как столб удержан. Положительный остаток означает, что напора достаточно — столб удержан, и остаётся давление, чтобы нести тело на его конце и приводить в движение течение. Отрицательный остаток означает, что напора недостаточно: столб слишком тяжёл, и расплав не достигает радиуса коротации. При чтении вниз напор растёт на одну и ту же ступень на каждые 500 kg/m³, а остаток падает на ту же ступень; знак меняется между 3,500 и 4,000 kg/m³. При 3,500 kg/m³ — опорном значении, используемом в остальной части A, — остаётся 10.49 GPa.

Условие течения имеет вид:

$$p_s-p_{\mathrm{head}}-p_{\mathrm{load}}-\Delta p_{\mathrm{loss}}>0, \tag{13}$$

Уравнение (13) формулирует полный бюджет. Давление источника должно оплатить три счёта: напор столба, $p_{\mathrm{head}}$; нагрузку на конце столба, $p_{\mathrm{load}}$, то есть само тело, давящее обратно на канал; и потери на трение при течении расплава, $\Delta p_{\mathrm{loss}}$. Расплав движется наружу лишь до тех пор, пока что-то остаётся после оплаты всех трёх. Приведённая выше таблица показывает лишь первый счёт, поэтому её последний столбец называется остатком до концевой нагрузки и потерь.

и, следовательно, порог плотности равен:

$$\rho_{d,\max}= \frac{p_s-\rho_o I_o-p_{\mathrm{load}}-\Delta p_{\mathrm{loss}}}{I_d}. \tag{14}$$

Уравнение (14) — это уравнение (13), решённое относительно глубинной плотности: самый тяжёлый глубинный расплав, который источник ещё может протолкнуть, после того как оплачены внешний отрезок, концевая нагрузка и потери. Причина существования порога следует из §A.9. Давление источника фиксировано средней плотностью родительского тела, но напор глубинного отрезка растёт с плотностью расплава в нём; где-то они встречаются. Ситуация та же, что с двумя сообщающимися трубками, одна заполнена водой, другая маслом: столб масла стоит выше столба воды, потому что масло легче. Глубинный расплав точно так же поднимается над поверхностью родительского тела лишь потому, что он легче окружающего его родительского тела, и чем он легче, тем выше он может стоять.

Пренебрегая нагрузкой и потерями, $\rho_{d,\max}\simeq3{,}864\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$. Каждый дополнительный гигапаскаль нагрузки или потерь понижает порог примерно на 34.7 kg/m³: один гигапаскаль, делённый на $I_d$, потому что каждый гигапаскаль, потраченный в другом месте, — это гигапаскаль, которым глубинный отрезок уже не может воспользоваться. Порог также чувствителен к плотности внешнего отрезка: $d\rho_{d,\max}/d\rho_o=-I_o/I_d\simeq-0.900$. Словами: каждый килограмм на кубический метр, добавленный к внешнему отрезку, отнимает 0.900 kg/m³ от глубинного порога, потому что два интеграла почти равны, а два отрезка разделяют один источник.

Проверка давления проходит для глубинного расплава легче 3,864 kg/m³ и не проходит выше этого значения. Это первое требование, которое механизм предъявляет к глубинному веществу, и оно самое жёсткое: богатый летучими расплав ему удовлетворяет, сухой — нет. Причина в том, что растворённые летучие — вода и другие лёгкие компоненты — понижают плотность силикатного расплава (§A.6), и разница между прохождением и непрохождением лежит в пределах того, что они могут обеспечить. Плотность пены вблизи поверхности не является свидетельством подобной плотности на глубине: пузыри образуются лишь там, где давление достаточно низкое, чтобы летучие вышли из раствора, так что вблизи поверхности расплав может быть гораздо легче того же расплава в глубине. В модели с переменной плотностью два члена должны быть заменены интегралом по $\rho[p(s),T(s),X(s)]$ — плотности как функции давления, температуры и состава вдоль пути $s$, — а давление источника и гравитационное поле также должны быть пересчитаны. Проверка при постоянной плотности — первый шаг этого расчёта, а её порог — число, с которым должно быть сверено уравнение состояния глубинного расплава (§D.1).

Рисунок 2 изображает таблицу двумя линиями. Плоская красная линия — то, что даёт источник; она не зависит от расплава. Поднимающаяся тёмно-синяя линия — то, чего стоит столб; она растёт с глубинной плотностью. Слева от их пересечения побеждает источник, и вертикальный зазор между линиями — это остаток: 10.49 GPa при 3,500 kg/m³, отмеченный стрелкой. Справа от пересечения побеждает столб, и питание прекращается. Пересечение, 3,864 kg/m³, — это порог.

Что мы теперь имеем: родительское тело имеет 150.26 GPa у своего источника, и этого достаточно, чтобы удерживать столб расплава до радиуса коротации, при условии что глубинный расплав легче примерно 3,864 kg/m³. Удерживать столб — это ещё не перемещать массу вдоль него; следующий раздел спрашивает, как быстро масса должна перемещаться.

A.11Как быстро должно действовать питание?

Избыток давления означает, что расплав может течь; он не говорит, сколько именно. Вопрос здесь в том, сколько массы питание должно доставлять каждую секунду, чтобы построить Луну за имеющееся время, и чего это требует от канала.

Если доля $f_{\mathrm{int}}$ целевой массы поступает изнутри за время $\mathcal T$, средний темп равен:

$$\overline{\dot M}_{\mathrm{int}}=\frac{f_{\mathrm{int}}m}{\mathcal T}. \tag{15}$$

Уравнение (15) — простейший возможный учёт: масса, доставленная питанием, $f_{\mathrm{int}}m$ (внутренняя доля лунной массы $m$; остальное приходит от поднимающейся оболочки, часть B), делённая на время $\mathcal T$, за которое она поступает.

При $f_{\mathrm{int}}=1$ получаем около $2.33\times10^7\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ за 100 миллионов лет и около $3.88\times10^6\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ за 600 миллионов лет. Два окна — те же, что в таблице среды: 600 миллионов лет — окно сценария, 100 миллионов лет — случай для проверки чувствительности. При меньшей внутренней доле средний темп падает прямо пропорционально. Эти темпы описывают среднее чистое накопление массы в теле; любая потеря поставленного вещества требует большего валового темпа питания. Прерывистое питание требует большего темпа во время активности: если питание действует лишь часть времени, оно должно действовать быстрее, пока действует, чтобы доставить ту же сумму.

Для проверки чувствительности геометрически ограниченный отрезок можно представить как ламинарное ньютоновское течение в цилиндрическом канале радиуса $b$, длины $\ell$ и с условием прилипания:

$$Q=\frac{\pi b^4\Delta p}{8\eta\ell}, \qquad \eta_{\max}=\frac{\pi b^4\Delta p\,\rho_d\mathcal T} {8\ell f_{\mathrm{int}}m}. \tag{16}$$

Каждый термин требует пояснения. Ламинарное течение движется гладкими слоями, без турбулентности; ньютоновское означает, что сопротивление жидкости описывается одним числом, её вязкостью $\eta$ — сопротивлением вещества течению, низким для воды, очень высоким для холодного стекла или для твёрдой мантии, ползущей в геологическом времени; прилипание означает, что жидкость у стенки канала не движется, так что течение быстрее всего вдоль оси и медленнее всего у стенки. Первая часть уравнения (16) даёт объём расплава $Q$, проходящий каждую секунду через канал радиуса $b$ и длины $\ell$, когда его движет перепад давления $\Delta p$. Вторая часть обращает вопрос: это первая часть, решённая относительно вязкости, причём $Q$ приравнено к объёмному темпу, необходимому построению (массовый темп уравнения 15, делённый на плотность расплава). Результат, $\eta_{\max}$, — наибольшая вязкость, которую может иметь вещество в канале, всё ещё доставляя лунную массу вовремя. Любое вещество менее вязкое, чем $\eta_{\max}$, проходит; любое более жёсткое — нет.

Это решение Пуазейля [1], используемое здесь как оценка для ограниченного отрезка; его граничное условие на стенке нельзя считать применимым во всей неограниченной внешней части.

При $\ell=10^7\ \mathrm m$, $\rho_d=3{,}500$, $\Delta p=10\ \mathrm{GPa}$ и $f_{\mathrm{int}}=1$:

Входные данные — канал длиной 10,000 km ($10^7$ m, сравнимо с расстоянием от глубинного источника до тела), опорная плотность расплава 3,500 kg/m³ и движущий избыток 10 GPa — близкий к остатку 10.49 GPa из §A.10, — причём вся Луна доставляется питанием.

Как читать таблицу. Каждая ячейка — самое жёсткое вещество, которое ещё построило бы Луну через канал данного радиуса за данное время. При чтении вниз по столбцу потолок резко растёт с радиусом: широкий канал допускает гораздо более жёсткое вещество, чем узкий. При чтении поперёк строки потолок в шесть раз выше для 600 миллионов лет, чем для 100 миллионов, потому что более долгое время требует более медленного течения. Для масштаба: таблица среды задаёт жёсткую холодную оболочку при $\gtrsim10^{23}$ Pa·s; лишь самый широкий канал за самое длинное окно приближается к этому значению.

Сильная чувствительность — $b^4$: уменьшение радиуса вдвое снижает темп в шестнадцать раз при том же избытке давления и той же вязкости. Причина в том, что более широкий канал выигрывает дважды: у него больше сечение, и его центр лежит дальше от стенок, которые сдерживают течение. Между 100 и 500 km радиус растёт в пять раз, а потолок растёт в $5^4$, что и есть шаг между первыми двумя строками. Значения вязкости в таблице — математические потолки для оценки, а не свойства, измеренные в магме. Избыток 10 GPa — тестовый параметр; если поддержка тела поглощает оставшееся давление, это давление недоступно для приведения в движение течения. Длинное временное окно может облегчить требование к темпу, но требует, чтобы канал оставался подвижным и устойчивым в течение этого времени.

Что мы теперь имеем: при избытке того размера, который оставляет проверка давления, канал в несколько сотен километров или более может перенести лунную массу в окне сценария, при условии что он остаётся горячим и подвижным. Ширина канала значит гораздо больше, чем любые другие входные данные; §A.13 возвращается к ней.

A.12 Энергия: что является источником работы?

Давление и темп касаются того, как перемещается масса; энергия — того, что оплачивает её перемещение. Подъём массы Луны от поверхности Земли до радиуса коротации — это работа против гравитации, и модель должна сказать, откуда берётся эта работа.

Проверка порядка величины гравитационной работы для полной целевой массы в фиксированном земном поле, от 8,991 km до отделения на 16,400 km, даёт:

$$W_g=GM_Em\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}\right) \simeq1.47\times10^{30}\ \mathrm J. \tag{17}$$

Уравнение (17) — стандартная работа, необходимая, чтобы переместить массу $m$ наружу в гравитации массы $M_E$ с расстояния $r_0$ на расстояние $r_1$ от её центра. Здесь $r_0=8{,}991$ km — расстояние между центрами, когда тело полной лунной массы касается поверхности родительского тела (§A.2), а $r_1=16{,}400$ km — расстояние отделения на экваторе. «Фиксированное земное поле» означает, что масса Земли считается постоянной, а тело рассматривается как точка.

Оценка относится к перемещению данной массы между двумя расстояниями; это не полный баланс работы тела, вырастающего из глубинного источника. Полный баланс должен включать изменение гравитационной энергии всей системы, вращательную энергию, внутреннюю энергию, потери и энергию, уносимую уходящим веществом.

Полную энергию связи Земли нельзя автоматически считать доступной энергией. Энергия связи — это энергия, которая потребовалась бы, чтобы разобрать всю Землю против её собственной гравитации; она велика, но не запасена в форме, которую можно потратить. Энергия становится доступной лишь тогда, когда тело переходит в более тесно связанное состояние. Требуется физическая эволюция, выделяющая энергию: например, упорядочение плотности, сжатие или уменьшение внутренней энергии, вместе с обменом вращательной энергией. Работа порядка $10^{30}$ J, менее одного процента энергии связи родительского тела; эволюция, которая её выделяет, — опускающееся железо и сжимающиеся, остывающие недра, — та же эволюция, которая движет подъёмом. Когда железо опускается к центру, масса родительского тела стягивается плотнее и освобождается гравитационная энергия; подъёму Луны нужна лишь малая её доля. Полный энергетический баланс этой эволюции — требование, перечисленное в §D.1.

A.13 Совместная проверка в одном и том же состоянии: давление, течение и нагрузка

Разделы A.9–A.11 проверяли давление и течение по отдельности и на начальном родительском теле. Реальное соединение встречается со всем этим одновременно и в более позднем состоянии: меньшая Земля (масса Луны её покинула), более медленные сутки, тело далеко от экватора и вес тела, давящий на конец канала. Вопрос здесь в том, может ли один канал пройти все проверки в одном и том же состоянии, — и если он не может пройти их как тонкая трубка, какую форму он должен иметь.

Чтобы проверить три величины вместе, мы выбираем последнее состояние подъёма, на широте отделения части C: масса Земли $M_E$, масса тела $m$, 5.77-часовые сутки, широта 22.5°, а центр тела на один радиус тела внутри линии коротации, $r=15{,}397\ \mathrm{km}$, — его дальняя сторона касается линии (при отделении, на самой линии, радиальная нагрузка исчезает и остаётся лишь боковая нагрузка, §C.2). Линия коротации на 22.5° лежит на 17,287 km (Paper 4); у тела радиуса 1,889.77 km, дальняя сторона которого касается её, центр находится на 15,397 km. Это последнее состояние подъёма перед отделением: тело находится дальше всего перед тем, как его центр достигнет линии, а его вес на канал ещё не упал до нуля. Лишь для аналитического сечения давления сохраняются земной объёмный радиус 6,517 km и приближение однородной плотности. Это приближения сечения, а не полная равновесная форма связанного тела.

Введём ось $u$ от центра Земли к телу. Эквивалентный радиус тела при плотности 2,600 составляет 1,889.77 km, так что ближний конец канала питания лежит на $u_t=r-R_b=13{,}507.23\ \mathrm{km}$. Следовательно, столб идёт от центра Земли ($u=0$) до ближней стороны тела ($u=u_t$); там тело сидит на нём. Потенциал вдоль оси включает притяжение тела и ускорение начала земной системы отсчёта:

$$\Phi(u)=\Phi_E(u)-\frac{Gm}{r-u} +\frac{Gm}{r^2}u-\frac{1}{2}\omega^2u^2\cos^2\lambda. \tag{25}$$

Уравнение (25) перечисляет все эффекты, тянущие элемент столба на расстоянии $u$, записанные как потенциальная энергия на килограмм. Первый член, $\Phi_E$, — гравитация Земли. Второй — собственная гравитация тела, которая тянет столб к телу и тем самым помогает питанию вблизи его верхнего конца. Третий член учитывает тот факт, что сама Земля не находится в покое: тело притягивает центр Земли к себе, так что система отсчёта, связанная с центром Земли, ускоряется, и всё в этой системе ощущает однородное кажущееся притяжение в другую сторону. Четвёртый член — центробежный эффект вращения; на широте $\lambda$ точка на расстоянии $u$ лежит лишь в $u\cos\lambda$ от оси вращения, поэтому и появляется $\cos^2\lambda$.

Для однородной земной сферы:

$$\Phi_E(u)= \begin{cases} -\dfrac{GM_E}{2R}\left(3-\dfrac{u^2}{R^2}\right),&u\le R,\\ -\dfrac{GM_E}{u},&u\ge R. \end{cases} \tag{26}$$

Уравнение (26) — потенциал однородной сферы: внутри он углубляется к центру как парабола, что соответствует гравитации, растущей пропорционально расстоянию от центра, как в §A.9; снаружи — это привычная форма для точечной массы.

Линейный член в уравнении (25) компенсирует однородное ускорение центра Земли, вызванное телом. Получаем $I_d=\Phi(R)-\Phi(0)=2.88219\times10^7$ и $I_o=\Phi(u_t)-\Phi(R)=2.42862\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}$. Это те же два шага потенциала, что в уравнениях (11) и (12), теперь вычисленные в более позднем состоянии: глубинный шаг почти не изменился, а внешний шаг несколько меньше, главным образом потому, что столб заканчивается у ближней стороны тела, а не на радиусе коротации, и собственное притяжение тела помогает. Давление источника вдоль сечения равно $p_s=\rho_p I_d=148.46\ \mathrm{GPa}$, где здесь $\rho_p=5{,}150.96\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$, в соответствии с массой Земли после разделения массы. Как и в §A.9, давление источника — это напор столба собственной средней плотности родительского тела, теперь — Земли без Луны.

Для проверки сопротивления мы выбираем цилиндрический канал радиуса $b$, глубинную плотность 3,500, внешнюю плотность 1,500 kg/m³ и принятую однородную вязкость $\eta=10^{19}\ \mathrm{Pa\,s}$. Массовый темп — опорное среднее для 600 миллионов лет, $\dot M=3.882\times10^6\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$; это проверка состояния, а не доказательство того, что состояние длится 600 миллионов лет. Применение оценки для ограниченного течения к двум отрезкам даёт:

$$\Delta p_{\mathrm{visc}}=\frac{8\eta\dot M}{\pi b^4} \left(\frac{R}{\rho_d}+\frac{u_t-R}{\rho_o}\right). \tag{27}$$

Уравнение (27) — соотношение Пуазейля из уравнения (16), применённое к двум отрезкам по очереди и сложенное: давление, затрачиваемое на трение, чтобы протолкнуть массовый темп $\dot M$ через глубинный отрезок длины $R$, заполненный расплавом плотности $\rho_d$, и внешний отрезок длины $u_t-R$, заполненный веществом плотности $\rho_o$. Деление массового темпа на плотность превращает его в объёмный темп; более лёгкое внешнее вещество должно течь быстрее при том же массовом темпе и поэтому стоит больше на километр.

Радиальная нагрузка на конце записывается как среднее напряжение $p_r=m_r a_r/(\pi b^2)$, а боковая компонента — как $\tau_\lambda=m_r a_\lambda/(\pi b^2)$. Здесь $m_r a_r$ — сила, с которой тело давит вдоль оси на конец канала, — его вес во вращающейся системе отсчёта, притяжение гравитации внутрь за вычетом центробежной составляющей наружу вдоль оси, — а $m_r a_\lambda$ — боковая сила. Боковая сила существует потому, что тело находится не на экваторе: центробежный эффект направлен от оси вращения, а не вдоль линии от центра Земли, и на широте 22.5° часть его толкает тело вбок, к экваториальной плоскости. Деление каждой силы на сечение канала, $\pi b^2$, превращает её в напряжение, которое должен нести конец канала. Эти выражения замыкают усреднённую модель по сечению, перпендикулярному оси; они не решают задачу о распределении давления поперёк конечного соединения. Радиальный остаток давления равен:

$$\Delta p_{\mathrm{rem}}=p_s-\rho_d I_d-\rho_o I_o-p_r-\Delta p_{\mathrm{visc}}. \tag{28}$$

Уравнение (28) — полный бюджет уравнения (13), теперь с каждым счётом, оценённым в одном состоянии: давление источника минус напор двух отрезков, минус вес тела на конце, минус трение течения. Как и в §A.10, положительный остаток означает, что напора достаточно.

Как читать таблицу. Каждая строка — канал иного радиуса в одном и том же состоянии. До оплаты нагрузки и трения источник и напор оставляют около 11 GPa: 148.46 GPa минус напор двух отрезков (в любой строке — остаток плюс радиальная нагрузка и потеря на течение). Затем таблица показывает, что забирают из этого остальные счета. Радиальная нагрузка — это вес тела, распределённый по сечению канала; она падает как $1/b^2$, от 46.18 GPa при 500 km до 5.131 GPa при 1,500 km, потому что тот же вес опирается на большую площадь. Потеря на течение мала в каждой строке — не более примерно сотой гигапаскаля, — так что трение не является пределом в этом состоянии. Радиальный остаток — то, что остаётся; он сильно отрицателен для 500-km канала, чуть ниже нуля при 1,000 km и положителен при 1,500 km. Боковое напряжение — это боковой толчок, которому должен сопротивляться конец канала; оно почти так же велико, как радиальная нагрузка, в каждой строке, потому что на 22.5° и так близко к линии боковая и радиальная части эффективного веса тела имеют сходную величину. Последний столбец — масса вещества, стоящего во внешнем отрезке самого канала, в единицах массы Луны; она растёт как $b^2$, от примерно десятой доли Луны при 500 km до полной Луны при 1,500 km.

Масса внешнего отрезка оценивается в той же геометрии:

$$M_{\mathrm{bridge,out}}=\pi b^2\rho_o(u_t-R). \tag{29}$$

Уравнение (29) — это объём цилиндра радиуса $b$ и длины $u_t-R$, той части канала, которая стоит над поверхностью Земли, умноженный на плотность заполняющего его вещества.

Результат проверки: при этих входных данных радиальный баланс давления проходит начиная с радиуса около 1,017 km. Но уже на этом пороге масса внешнего отрезка составляет около 0.46 лунной массы. Поэтому допущение соединения пренебрежимо малой массы не согласуется с диапазоном, который проходит радиальную проверку. Эта масса должна быть перераспределена между резервуарами уравнения (1), а её гравитационное поле и импульс — учтены; её нельзя прибавлять к двум заданным массам, не меняя состояния. Проще говоря: тонкая трубка не проходит, потому что вес тела, сосредоточенный на малом конце, сминает остаток ниже нуля; трубка, достаточно широкая, чтобы распределить этот вес, настолько широка, что сама содержит почти половину Луны вещества. Соединение не может быть одновременно узким и безмассовым.

Кроме того, статическая жидкость, передающая давление лишь через радиальное сечение, не обеспечивает бокового напряжения. Покоящаяся жидкость может давить, но не может удерживать боковую силу — именно это делает её жидкостью. Столб расплава может нести вес тела вдоль оси, но он не может сам по себе помешать телу быть вытолкнутым к экватору. Возможное решение должно было бы задать форму соединения, вязкие напряжения или прочность несущего вещества, а также импульс, передаваемый в течении. Нагрев облегчает прохождение; боковая нагрузка несётся формой соединения, которая есть широкое основание купола части B.

Чувствительность к плотности остаётся решающей: при повышении внешней плотности до 2,000 kg/m³ остаток при радиусе 1,000 km становится около $-12.5\ \mathrm{GPa}$ при прочих неизменных входных данных. Таким образом, умеренное увеличение плотности внешнего отрезка сдвигает пороговый радиус далеко за 1,000 km по той же причине, что и в §A.10: каждый килограмм на кубический метр в столбе стоит напора. Сокращение времени питания до 100 миллионов лет увеличивает потерю на течение в оценке вшестеро, но не устраняет требования бокового напряжения или массы соединения. Даже вшестеро большая, потеря на течение остаётся значительно ниже гигапаскаля во всех трёх строках, так что вывод не зависит от временного окна.

Это количественный предел цилиндрического приближения: пройти проверку давления — ещё не значит пройти полную проверку построения. Результат говорит модели, каким должно быть её соединение: достаточно широким, чтобы пройти радиальный баланс (более примерно 1,000 km), и потому достаточно массивным, чтобы его собственная масса и боковые напряжения вошли в баланс. Это соединение — основание купола части B, диск контакта 3,000 km в поперечнике, половина 6,000-km основания по ширине и четверть его по площади, — а часть C показывает, как тело начинает отделяться на линии коротации и отделяется сразу за ней. Диск контакта 3,000 km в поперечнике имеет радиус 1,500 km — последняя строка таблицы, где радиальный остаток положителен; его боковая нагрузка несётся не давлением жидкости, а его формой — широким горячим основанием, стоящим на более широкой груше.

Рисунок 3 показывает две величины, которые решают проверку по мере расширения канала. Тёмно-синяя кривая, радиальный остаток, поднимается из глубины ниже нуля и пересекает его около 1,017 km; справа от штриховой линии радиальный баланс проходит. Красная кривая, боковое напряжение, падает с шириной, но всюду остаётся на уровне нескольких гигапаскалей — боковая нагрузка, которую одно давление нести не может. Рамка вверху фиксирует цену прохождения: внешний отрезок уже весит 0.46 Луны на пороге и полную Луну при 1,500 km.

Что мы теперь имеем: давления родительского тела достаточно, чтобы удерживать столб лёгкого расплава до радиуса коротации; канал в несколько сотен километров или более может перенести лунную массу в окне сценария; подъём стоит порядка $10^{30}$ J, малую часть того, что выделяет опускающееся железо. Но соединение, которое удовлетворяет всем трём условиям в одном состоянии, — не тонкая трубка. Оно широкое, горячее и массивное и несёт свою боковую нагрузку своей формой. Часть B описывает эту форму снаружи.

Часть A прослеживала вещество, которое поднимается внутри тела: глубинный источник, давление, которое его движет, и темп и энергию питания. Эта часть смотрит на то же тело снаружи. Её вопрос легко сформулировать: что происходит с внешней кожей Земли над областью построения, пока тело строится под ней и над ней, и где каждый кусок этой кожи оказывается на Луне, которую мы видим сегодня? Ответ — геометрическое ядро модели. Он строится здесь в четыре шага, по одному на стадию, и картина на каждом шаге фиксируется числами прежде, чем делается следующий шаг.

Вся часть опирается на одну картину, и её полезно держать в уме с самого начала. Внешняя оболочка Земли не остаётся позади, пока тело поднимается; она поднимается вместе с телом как кожа его верхнего купола. Само тело — не шар, свободно плавающий, а сплющенный шар, покоящийся на кончике груши: два купола, один на другом, — нижний купол, который облегает скруглённый кончик сверху, и верхний купол, который высоко стоит над ним. Когда тело позднее скругляется наружу в шар, каждая часть его поверхности сохраняет свою долю целого, и поэтому каждую часть можно проследить до сегодняшней Луны.

Четыре стадии и их место в серии. Эта статья нумерует свои собственные стадии: стадия 1 — плоская стадия (§B.1); стадия 2 — тело на кончике груши (§B.2); стадия 3 — скругление наружу (§B.4); стадия 4 — сплющивание, скругление внутрь и отделение (§§B.6, C.4–C.8). Серия в целом нумерует историю Луны стадиями 0–8: 0 — до вздутия, 1 — вздутие, 2 — купол, 3 — груша, 4 — скругление (наружу, затем сплющивание, затем внутрь), 5 — отделение, 6 — судьба груши, 7 — удаление, 8 — сегодня. Две нумерации соответствуют друг другу следующим образом. Стадия 1 этой статьи — это стадия 0 серии и начало вздутия, пока оболочка ещё лежит плоско над питанием. Стадия 2 — это вздутие, купол и груша (стадии серии 1–3), рассмотренные в момент, когда тело сидит как купол на кончике груши. Стадия 3 — первая часть стадии 4 серии, скругление наружу. Стадия 4 — остальная часть стадии 4 серии — сплющивание и скругление внутрь — вместе со стадией 5 серии, отделением. Стадия 6 серии, судьба груши, — это часть E этой статьи; стадия 7, удаление, — это Paper 4, The Orbit; стадия 8, сегодняшняя Луна, — то место, куда §§B.4–B.7 помещают каждую область поверхности.

B.1 Стадия 1 — плоская стадия и собранная оболочка

Прежде чем тело поднимется, внешний сиалический слой родительского тела над областью построения лежит плоско над действующим питанием. «Сиалический» относится к сиалю, лёгкому верхнему слою земной коры, богатому кремнием и алюминием; под ним лежит сима, более плотный слой, богатый кремнием и магнием. Глубинное вещество достигает сиаля через отверстия и выбрасывается через них; часть выбросов возвращается и падает на обнажённую оболочку, образуя кратеры (Paper 6, The Craters). Оболочка на этой стадии — источник коры Луны и её самой ранней летописи кратеров. Это важно, потому что означает, что древнейшая поверхность Луны образовалась не на Луне: она образовалась здесь, на Земле, прежде чем тело возникло, и позднее была поднята вверх.

Начальная площадь оболочки, которая образует купол, отличается от площади поверхности получающегося купола. Тихоокеанский бассейн в реконструкции автора (рисунок 4) — около $1.65\times10^{14}$ m² с окраинными морями, около $1.0\times10^{14}$ m² без них — в 1.4–2.4 раза больше поверхности верхнего купола на стадии 2 ($7.0\times10^{13}$ m², ниже). В этой картине оболочка над областью стягивалась внутрь по площади в число раз до примерно двух по мере образования купола, как ткань, лежащая плоско на столе, собирается внутрь, когда её середину приподнимают. Поэтому бассейн отмечает исходную площадь собранного вещества, а не след самого купола. Это прочтение современного объекта, и статья формулирует его трудность так же, как Paper 2: современное дно бассейна моложе 180 Myr, и прочтение относится к полушарной асимметрии литосферы под ним — жёсткого внешнего слоя Земли, коры и самой верхней мантии, который старше и глубже укоренён, чем морское дно, покрывающее его сейчас.

Основание груши и её задняя сторона. Область, отмеченная на рисунке 4, — это груша, видимая сверху в наклоне, а не её подошва. Основание груши лежало к востоку, в сторону Америки, и по всей своей ширине имело отверстия — в грушу и через неё дальше, в Луну: в реконструкции автора его центр лежит вблизи Kiritimati, на островах Лайн в Кирибати — у деревень London, Paris и Poland, — примерно на 1.9°N, 157.5°W, около 4,800 km к востоку-юго-востоку от прежнего прочтения.

Груша не стояла вертикально, и причина — вращение Земли. По мере вытягивания её внешняя часть, унесённая от оси, отставала от поворота Земли, как отстают руки фигуристки, когда она их разводит, и вся груша наклонилась назад, на запад, причём её кончик и Луна на нём отставали (§C.8). Она наклонилась и на север: от основания вблизи экватора её кончик достигал примерно 22.5°N, широты отделения из Paper 4. Вращение не даёт этого северного наклона — на любой широте его боковой толчок направлен к экватору, — он происходит от питания: глубинный источник, сосредоточенная область питания из §A.4, лежит к северу от экватора, и питание поднималось от него наклонно, к северу от основания, унося грушу вместе с собой на север (§D.1).

Западная сторона груши, под которой сегодня лежит Япония, — это её задняя сторона, которая после отделения была собрана обратно в Землю; передняя сторона груши, растянутая в натяжении при наклоне, была собрана обратно в полосы Paper 9, The Stripes. Paper 9 также определяет положение отпечатка самого кончика: между двумя изгибами полос — область шириной 3,360 km с центром на 9.3°N, 169.3°E, примерно в 3,760 km к западу от основания по координатам (в более ранней версии — 3,770 km), — направление, в котором наклоняющаяся груша несла свой кончик, — тогда как задняя сторона, собранная внутрь, лежит в дугах западной части Тихого океана. 22.5°N кончика при отделении и 9.3°N этого следа — разные величины: первая — направление на центр Луны от центра Земли при отделении, вторая — след собранного внутрь кончика на сегодняшней поверхности, примерно в 15° к северу от экватора системы полос; они измерены в разных системах отсчёта, и связь этих двух систем — оси — предмет будущей работы. Груша никогда не покидала массы Земли. Она не была потеряна при отделении; после отделения сортировка собрала её обратно в Землю, постепенно, за десятки–сотни миллионов лет, — её тяжёлую часть глубоко в Землю под основанием груши (часть E), её переднюю сторону в полосы северной части Тихого океана, а её заднюю сторону в дуги западной части Тихого океана. Масса переместилась из высокого положения вне Земли в глубину внутри неё. Основание лежит над Тихоокеанской крупной провинцией низких скоростей у подошвы мантии — обширной областью, видимой на сейсмических изображениях, через которую волны землетрясений распространяются медленнее, чем в окружающей мантии, — на опубликованных картах этой провинции, которая простирается от района Гавайев к югу; измеренное расстояние от основания до центра и края провинции дано в §E.4. Природа глубинных провинций оставлена открытой.

Рисунок 4 следует читать как вид сверху на наклонённый объект. Отмеченная площадь в северо-центральной части Тихого океана — это место, где тело груши лежало над Землёй, когда она наклонилась назад, на запад; подошва груши, где она поднималась от Земли, лежала к востоку от неё, вблизи Kiritimati, близко к экватору. Две окраины, названные в подписи, ограничивают область источника с азиатской и американской сторон.

Что мы теперь имеем: плоскую сиалическую оболочку над действующим питанием, уже несущую кратеры от возвращающегося вещества, собранную внутрь с области размером с Тихий океан, и место, где позднее стояла и наклонялась груша.

B.2 Стадия 2 — тело на кончике груши

Вопрос этого раздела — форма тела в тот момент, когда оно впервые становится телом: насколько оно велико, как делится его поверхность и насколько плотным оно должно быть. На промежуточной стадии тело сидит на кончике груши из §C.7, и кончик широк: диск контакта 6,000 km в поперечнике. Тело — сплющенный шар, сидящий на скруглённом кончике груши. Его нижний купол лежит на изогнутом кончике и следует ему — кончик с радиусом кривизны около 4,000 km входит в тело примерно на 1,350 km под серединой диска контакта, — а его верхний купол поднимается над ним: два купола, один на другом, причём нижний облегает кончик. Число 1,350 km следует из геометрии: изогнутая поверхность радиуса около 4,000 km, охватывающая хорду в 6,000 km, поднимается в своей середине примерно на 1,350 km над линией своего края. Так что нижняя сторона тела не плоская; она выдавлена снизу вверх кончиком, как шапка, натянутая на голову. Его геометрия для полной лунной массы:

Таблица сравнивает одну и ту же массу — полную массу Луны — в трёх состояниях. Читайте её слева направо: тело становится меньше и плотнее. На кончике груши оно большое и лёгкое, его объём примерно в два с половиной раза больше сегодняшнего; как сфера при отделении его радиус 1,890 km, а плотность 2,600 kg/m³; сегодня его радиус 1,737 km, а плотность 3,344 kg/m³. Читайте первый столбец сверху вниз: две трети поверхности на кончике груши — верхний купол, одна треть — нижний купол, который покоится на кончике. Эти две доли — исходная точка правила перевода из §B.4.

Высота верхнего купола задаётся плотностью, потому что масса фиксирована: чем выше купол над тем же диском контакта, тем больше объём и тем ниже плотность. Та же масса над тем же диском контакта имеет плотность около 2,000 kg/m³, если её верхний купол высок, как полусфера, 3,000 km, и сегодняшние 3,344, если он 2,450 km, — наименьшая возможная высота (рисунок 7), наименьшая, потому что тело лунной массы не может быть плотнее, чем Луна сейчас. Мы принимаем высокий купол: 1,300 kg/m³ — это вспененное стартовое состояние, которого требует проверка давления части A, — против 1,500, принятых там, — и это плотность, при которой начинается сплющивание из Paper 7, The Poles. «Вспененный» означает расплав, полный газовых пузырей, как поднимающееся тесто легче муки и воды, из которых оно сделано; лёгкий столб — это то, что давление источника части A может поднять до линии коротации. Тело вспенено, и его верхний купол стоит высоко.

Нижний купол — это контакт с родительским телом: $3.4\times10^{13}$ m². На этой стадии самогравитация тела — притяжение его собственной массы, удерживающее его целым, — мала по сравнению с приливным растяжением родительского тела, разностью притяжения Земли на ближней и дальней сторонах тела, которая стремится вытянуть его: отношение из §C.4 около 0.11 (если принять размер тела равным его полной высоте около 5,000 km, при центре примерно в 13,000 km от центра Земли; для эквивалентной сферы 2,381 km отношение было бы около 1), так что собственное притяжение тела составляет около девятой части растяжения по его полной высоте. Поэтому тело удерживается; это купол на кончике, ещё не самостоятельное тело.

Рисунок 5 — это история этой части в пяти картинах, которые следует читать в порядке их номеров. Его панели пронумерованы как картины, а не как стадии: панель (1) — стадия 2 этой статьи, панель (2) — стадия 3, панели (3) и (4) — стадия 4, а панель (5) — сегодняшняя Луна. Посмотрите сначала на два купола в панели (1) и на линию, где нижний купол встречается с кончиком; затем проследите, как эта линия сжимается внутрь в панели (2), а контур тела сплющивается в панели (3) и вновь скругляется в панели (4). Скругление внутрь завершается до того, как тело уходит: к отделению тело было круглым, его внешняя оболочка жёсткой (Paper 2, §B.7: отношение осей не более 1.04).

B.3Что движется, а что нет

Читатель, который представляет себе кору, путешествующую тысячи километров от Земли к Луне, спросит, какая сила переносит кору так далеко. Оболочка действительно перемещается, но её не тащат по родительскому телу: она поднимается вместе с телом груши и одновременно медленно отделяется от симы под ней и скользит вверх по груше к её кончику, в тело. Её движут силы вращения, в направлении сортировки наружу, а смазанный слой между сиалем и симой облегчает скольжение при сдвиге (§C.10). Поэтому кончик отделяется как самостоятельное тело. (Стягивание внутрь из §B.1 относится к стадии 1, до купола.)

То, что сжимается во время стадии 3, — это кольцо нижнего купола — кольцевая полоса нижней стороны тела между краем диска контакта и его центром, обнажённая поверхность тела, а не оболочка: от края на радиусе 3,000 km до диска контакта на 1,500 km — около 1,500 km движения внутрь за всю стадию 3 по той же слабой границе. Купол требует слоистой реологической структуры — «реологической» в смысле того, как каждый слой течёт под нагрузкой: жёсткая холодная оболочка ($\eta\gtrsim10^{23}$ Pa s, значение, которое не даёт 100-km кратеру релаксировать за $10^7$ yr при $g=8.25$) над подвижными недрами, с самым слабым слоем на их границе. Здесь $\eta$ — вязкость, сопротивление вещества течению: у мёда вязкость выше, чем у воды, а у холодной оболочки — несравненно выше, чем у обоих; оболочка с $10^{23}$ Pa s сохраняет форму кратера шириной 100 km десять миллионов лет без проседания. Отслаивание диска контакта от 6,000 до 3,000 km и скругление тела заняли миллионы лет: медленно в начале, в течение сотен миллионов лет, и быстрее к концу, в течение десятков миллионов; хронология оболочки — это хронология подъёма.

Гравитация развивающегося тела прижимает оболочку к его поверхности. На вершине верхнего купола собственная гравитация тела составляет около 0.9 m/s² (для эквивалентной сферы, 2,381 km при 1,300 kg/m³, — сферы того же объёма), возрастая до 1.37 m/s² на замкнутом теле при 1,890 km. На поверхности с центром в центре масс тела эта гравитация нормальна к поверхности — направлена прямо вниз, в тело, — и удерживает оболочку; она не учитывается как касательная движущая сила; скольжение сиаля к кончику движется силами вращения.

B.4 Стадия 3 — скругление наружу, диск контакта и правило перевода

Этот раздел отвечает на центральный вопрос части B: когда сплющенное тело становится шаром, куда уходит каждая часть его поверхности? Тело — это нагрузка на кончике груши из §C.7, а стадии 3 и 4 — это тот же кончик, вытянутый, пока тело на нём скругляется и отделяется. По мере роста самогравитации тело скругляется наружу (§C.4): сплющенное тело становится шаром, при постоянном объёме и без расширения. Диск контакта сужается от 6,000 до 3,000 km и остаётся прикреплённым; остальная часть нижнего купола, кольцо между ними, медленно отделяется, отслаиваясь от края внутрь вместе с сиалем, на котором оно сидело (§C.4a), — как мягкий, наполовину сдутый мяч, прижатый к верху скруглённой опоры, отслаивается от неё от края внутрь, когда его надувают. Процесс непрерывен и занимает время. В его конце тело опирается на диск, достаточно широкий, чтобы соединение было слоем, а не шейкой (§C.5).

Во что превращается поверхность тела на сфере, фиксируется одним правилом: при скруглении наружу каждая часть сохраняет свою долю поверхности.

Правило говорит, что часть, покрывающая 7% поверхности сплющенного тела, покрывает 7% поверхности шара, и так для каждой части. На сфере доля поверхности, отсчитываемая от одной точки, — это фиксированный угол от этой точки: шапка, покрывающая 7% сферы, простирается примерно на $31^\circ$ от своего центра, а шапка, покрывающая 33%, — примерно на $70^\circ$. Точка, от которой отсчитываются углы, — центр диска контакта, кончик груши, примерно на 22–24°N. Зоны вычисляются относительно 24.1°N 335.2°E — центра диска контакта в том виде, как его очертил автор, в 34.0° от подземной точки. Таблица применяет правило к трём частям тела:

Цвета таблицы идут от Земли наружу: красный — для диска контакта, части, касавшейся Земли до конца; оранжевый — для кольца, отслоившегося во время скругления; синий — для верхнего купола, открытого космосу с самого начала. Читайте каждую строку слева направо: часть, её площадь на кончике груши, её доля целого и углы, которые она занимает на шаре. Диск контакта и кольцо вместе составляют 33% нижнего купола; верхний купол — оставшиеся 67%. Шапка в $31^\circ$ на сегодняшней Луне имеет около 1,900 km в поперечнике.

Шар имеет меньшую поверхность, чем сплющенное тело того же объёма — $7.1\times10^{13}$ m² против $1.04\times10^{14}$, множитель 0.68 по площади и 0.83 по длине, — а поскольку каждая часть сохраняет свою долю, изменение одинаково всюду: оно не смещает ни одной зоны и ни одного кратера относительно другого. Шар всегда имеет наименьшую поверхность для своего объёма; поэтому скругление наружу сокращает поверхность, но равномерно, как уменьшенная фотография сохраняет каждую фигуру на своём месте. Последовательность обнажения при построении записана на Луне как три концентрические зоны вокруг центра диска контакта:

• Шапка около $31^\circ$ была диском контакта; она не была полностью закрыта до отделения: Serenitatis отслоилось от неё первым, а Imbrium оторвалось последним.

• Пояс от $31^\circ$ до $70^\circ$ был отслоившимся кольцом — сиалем, на котором сидело тело, отслоившимся от родительского тела по мере сжатия диска контакта от края до диска, — обнажённым во время скругления наружу.

• Обратная сторона, за пределами $70^\circ$, была верхним куполом: оболочка на всём протяжении, обнажённая с плоской стадии, с поднятыми вместе с ней кратерами.

Углы сохраняются на последующих стадиях, ибо то, что следует за скруглением наружу, — сплющивание и скругление внутрь (Paper 7), — меняет полюса относительно экватора, а не ближнюю сторону относительно обратной. При сплющивании вращение расширяет тело на его экваторе и понижает его у полюсов, а при скруглении внутрь это отменяется; оба процесса действуют симметрично относительно оси вращения и оставляют разделение между ближней и обратной сторонами там, где оно было. Статья передаёт зоны в Paper 11, The Requirements, как требование, которое должно быть проверено по бассейнам; отождествление шапки с областью Procellarum принадлежит Paper 11, а не этой статье.

Две области на Луне сегодня. Основание холма и последний диск контакта можно нанести на сегодняшнюю ближнюю сторону по их контурам на карте LROC (карте Lunar Reconnaissance Orbiter Camera):

Таблица вкладывает три области одну в другую, каждую внутрь вышестоящей. Холм, основание вздутия, на котором тело сидело на стадии 2, содержит 99% морей ближней стороны — тёмных равнин ближней стороны; диск контакта, последние 3,000 km, остававшиеся прикреплёнными, содержит две трети их; а Mare Imbrium лежит внутри диска контакта.

Обе области лежат на ближней стороне, диск контакта внутри холма, а Mare Imbrium внутри диска контакта: давление и питание, поднимавшиеся из недр Земли, входили в тело через Imbrium и Serenitatis; Serenitatis отслоилось первым, а Imbrium оставалось соединённым до отрыва — последнее звено. Imbrium лежит внутри диска контакта, но не обязательно в его центре. Углы правила отсчитываются от центра диска контакта, 24.1°N 335.2°E; правило фиксирует размер зон, контуры фиксируют, где они лежат сегодня. Эти два вида информации намеренно разделены: правило — расчёт долей, и ему не нужна карта; контуры — прочтение карты, и они говорят, где находятся вычисленные зоны.

Рисунок 6 — это нарисованная таблица правила перевода. В панели A выделите каждую из трёх частей сплющенного тела; в панели B найдите ту же часть на шаре. Главное, что нужно увидеть, — ничто не меняет своего порядка: диск контакта в центре нижней стороны становится шапкой в центре ближней стороны; кольцо вокруг него становится кольцом вокруг шапки; а верхний купол облекает остальную часть шара.

Рисунок 7 показывает используемое в §B.2 соотношение между высотой верхнего купола и плотностью тела. Посмотрите на три случая, названные в подписи. Чем выше купол, тем ниже плотность; принятый купол стоит на лёгком конце, где тело имеет вспененную плотность, которой требует часть A.

Рисунок 8 переносит правило на реальную Луну. GRAIL, гравитационная миссия из двух космических аппаратов, картировала гравитационное поле Луны и через него толщину её коры. Синяя линия отмечает, где сегодня лежит основание тела стадии 2 — край нижнего купола; чёрная линия отмечает последний диск контакта. Посмотрите на тёмные моря: почти все они попадают внутрь синей линии, а большинство — внутрь чёрной.

Что мы теперь имеем: правило, которое превращает геометрию тела на кончике груши в карту Луны — шапку ближней стороны, пояс вокруг неё и обратную сторону, — причём каждая зона обнажена в своё время.

B.5Отверстия

Оболочка не сплошная. Питание части A достигает купола через отверстия, и вещество выбрасывается через них; на стадии 1 это моря плоской оболочки, на стадии 2 те, что на верхнем куполе, обнажаются по мере его подъёма, а те, что под нижним куполом, остаются закрытыми до отделения. Поэтому отверстия различаются тем, когда они были обнажены, и тем, что через них проходило. Отверстия на вершине и склоне были активны, пока были обнажены, и вещество выбрасывалось через них наружу. Отверстия под нижним куполом — моря ближней стороны — были внутренними каналами: пока они были закрыты, они передавали давление Земли через грушу в моря, которые мы видим, а оттуда в Луну, и вещество проходило через них, как по трубе.

Serenitatis было обнажено раньше Imbrium, и когда оно обнажилось, оно было ещё слегка активным: в кольце вокруг него видны брызги, но нет гигантских кратеров. Крупные кратеры создаются крупным веществом, выталкиваемым давлением; малые кратеры в кольцах вокруг морей происходят от бурления и брызг, большая часть которых возвращается в море, тогда как малая часть падает на его краю и оставляет там свой след. Imbrium было обнажено последним. Как только оно обнажилось, внутреннее давление Луны прекратилось — не сразу, но быстро, — а вместе с ним и выплески лунных морей. Земля продолжала свою собственную активность и продолжала выбрасывать вещество во всех направлениях, большей частью мелкое; часть его вернулась на Землю, а часть упала на Луну. Поэтому малые кратеры покрывают всю Луну, включая ближнюю сторону (§C.11).

Наблюдательная форма этой картины — какие бассейны к чему относятся и какую сигнатуру каждый должен нести — дело лунной летописи и рассматривается в Paper 11; здесь отверстия входят лишь как места, где питание части A встречается с оболочкой части B.

B.6Летопись, перенесённая на теле

Кратер, образованный в оболочке возвращающимся веществом, пока оболочка лежала обнажённой на стадии 1, или на верхнем куполе на стадии 2, перемещается вместе с оболочкой по мере скругления тела. Это стратиграфия — прочтение порядка по тому, что на чём лежит, — а не новая физика: $t_{\mathrm crater}<t_{\mathrm cover}$ для рассматриваемого отрезка. Словами: кратер, образовавшийся до того, как его участок поверхности был закрыт или перенесён, переносится вместе с ним. Летопись сохраняется, если оболочка сохраняет свою форму, — это и есть требование, которое делает её оболочкой: вязкость порядка $10^{23}$ Pa s или более у поверхности в течение $10^7$ yr подъёма. Оболочка затвердела рано, в первой части магматической бури; жёсткая оболочка не растягивалась по мере роста тела и не сжималась при его скруглении, и кратеры на ней сохранили свой размер.

Летопись записана в три стадии:

При скруглении наружу уже имеющиеся кратеры меняются вместе с поверхностью, одинаково всюду, а новые продолжают поступать; полюса формируются.

При сплющивании, которое следует затем, образуется большинство кратеров, и самые крупные: дифференциация продвинулась, выбрасываемое вещество богато водой, а полюса, уже сформированные, получают больше.

При скруглении внутрь, по мере того как сплющивание ослабевает и всё тело уплотняется, кратеры сохраняют свой размер, а поверхность между ними смыкается, сильнее всего у полюсов, которые собирают их (Paper 7), — как промежутки между пуговицами, пришитыми к ткани, смыкаются, когда ткань собирают в складки, а пуговицы остаются того же размера.

Пояс и шапка лежали под нижним куполом и не получали кратеров до своего обнажения; их древнейшие популяции моложе, чем на обратной стороне. Обратная сторона, чья древнейшая популяция самая плотная, пояс — менее плотная, и шапка — наименее плотная: это то, что предсказывает правило, и это сформулировано в части D вместе с проверкой. Это проверка, которую правило перевода передаёт Луне: порядок, в котором обнажались зоны, должен читаться в порядке их древнейших кратеров.

За кулисами. В более ранней версии этой части обратная сторона смыкалась до трети своей площади, её кратеры уменьшались в 0.58 раза, а их плотность возрастала втрое. Кратеры были опрошены напрямую, по мерам, которые изменение масштаба сдвинуло бы, — диаметру перехода от простых кратеров к сложным, крупнейшим кратерам на равной площади, старым против свежих (Paper 7, §D.5). Малые кратеры — простые чаши; выше определённого диаметра у них развиваются террасированные стены и центральные горки, и этот диаметр перехода изменился бы, если бы несущая их поверхность была сжата. Между материками обратной и ближней сторон они не находят различия масштаба: переход лежит на 16.5–17.1 km на обратной стороне и на 14.3–15.1 km на ближней. Геометрия §§B.2–B.4 следует из этого.

B.7Баланс массы и толщины

Последний вопрос части B — может ли кора, которую Луна действительно имеет, быть создана таким путём, и по своей массе, и по своей неравномерной толщине. По сегодняшним измерениям кора обратной стороны — толщиной около 55 km по GRAIL, при 2,550 kg/m³ над обратным полушарием — составляет около $2.6\times10^{21}$ kg, 3.5% Луны (в более ранней версии — $2.7\times10^{21}$ kg и 3.6%; пересчитано в Paper 11, §B.3). Это наблюдения коры в её сегодняшнем виде, а не толщина модельной оболочки. В модели кора обратной стороны — множество слоёв уплотнённого сиаля. Два поступления построили её, слой за слоем, на верхнем куполе: сиаль родительского тела, который скользил вверх по груше над симой и собирался на её кончике (§C.10), и вещество, выбрасываемое через отверстия, которое возвращалось снова и снова на дальнюю часть тела.

Выброс никогда не прекращался, а дифференциация — разделение глубинного вещества по плотности, при котором тяжёлое железо опускается, а лёгкое, богатое летучими вещество поднимается, — продвигалась со временем. По мере её продвижения выходившее вещество было всё легче и богаче флюидами: при сплющивании истечения состояли из относительно лёгкого земного вещества, полного воды. Каждый слой, отложенный раньше, выходил менее отсортированным и потому несёт больше железа, чем слои над ним. Поэтому кора обратной стороны расслоена по возрасту и по сортировке, и её содержание железа растёт с глубиной: чем глубже слой, тем раньше он образовался и тем богаче он железом — и тем плотнее. Это предсказание, читаемое по составу центральных горок кратеров в сопоставлении с глубиной их происхождения (§D.1).

Ближняя сторона несёт кору 30–35 km — отслоившийся сиаль кольца и, над диском контакта, кору, сглаженную теплом и гравитацией, — около $1.5\times10^{21}$ kg сверх того при той же плотности (в более ранней версии — $2\times10^{21}$ kg, что довело бы сумму до 6.3%); вместе они составляют те 4–6% лунной массы, которые модели GRAIL дают для всей коры [4]. Оставшиеся 94–96% лунной массы — это глубинное вещество части A — разделение, оценённое по прежней картине оболочки, которое предстоит пересчитать для слоистой коры, — а металл, который недра должны нести для ядра в 1.4%, — требование к питанию части A, а не к коре (Paper 11, R2). Поэтому баланс указывает, что кора, которую два поступления строят снаружи, — малая доля Луны, а основная часть массы — то, что часть A поднимает изнутри.

Обратная сторона толще ближней (рисунок 9), потому что они были построены по-разному: верхний купол, обнажённый на всём протяжении, собирал сиаль и возвращающееся вещество слой за слоем; нижний купол нёс лишь сиаль, на котором сидел, а в своём центре терял даже его от тепла контакта. Ближняя сторона тоньше всего там, где она вскрыта: моря — это отверстия из §B.5, и кора под ними тонка, потому что они отверстия. Кора обратной стороны старше и толще; граница между ними лежит на краю нижнего купола (§B.4).

Рисунок 9 — это карта всей Луны, развёрнутая плоско, ближняя сторона в середине, а обратная сторона разделена между двумя краями; LOLA — это лазерный высотомер, который измерил высоты поверхности. Посмотрите на цвета от центра наружу: синий под морями ближней стороны, в центре карты, где лежали контакт и отверстия; красный и белый к обоим краям, на обратной стороне, где верхний купол собирал свои слои. Карта — это правило перевода, видимое в толщине коры.

Что дала часть B: кора Луны и её древнейшие кратеры пришли из внешней оболочки Земли, которая поднялась как кожа верхнего купола; тело сидело как два купола на кончике груши; когда оно скруглилось наружу, каждая часть сохранила свою долю поверхности, так что диск контакта стал шапкой ближней стороны, отслоившееся кольцо — поясом, а верхний купол — обратной стороной. Часть C теперь обращается к соединению под телом — к тому, что оно несёт, и к тому, как тело отделяется.

Часть A показала, что давление может питать тело, а часть B проследила поверхность тела от плоской стадии до скругления наружу. Эта часть задаёт механический вопрос, который обе оставляют открытым: что удерживает тело у Земли, пока оно поднимается, и как оно отделяется. Ответ строится шагами. Разделы C.1–C.3 вычисляют нагрузку, которую соединение должно нести при отделении, и показывают, почему узкая шейка не может её нести. Разделы C.4–C.5 показывают, как её несёт широкий горячий контакт и как тело начинает отделяться на линии и отделяется примерно в 210 km за ней, причём контакт сопротивляется лишь немного; §C.5a даёт поиск расстояния отделения. Раздел C.6 передаёт состояние отделения в Paper 4 (The Orbit). Разделы C.7–C.9 описывают структуру под контактом — одно вздутие Земли, вытянутое в грушу, часть Земли, удерживаемую гравитацией Земли, — с её шириной, длиной и массой. Разделы C.10–C.11 завершают рассказ тем, что тело унесло с собой, и тем, что Земля продолжала делать после отделения.

Три слова на всём протяжении различаются. Сила — это полное притяжение или толчок, в ньютонах. Напряжение — это сила, делённая на площадь, которая её несёт, в паскалях (один гигапаскаль, GPa, — это примерно в десять тысяч раз больше атмосферного давления на уровне моря). Изменение формы — это то, что делает вещество, когда напряжение на нём не уравновешено. Соединение может нести большую силу при малом напряжении, если оно широкое, и та же сила может разорвать узкое.

C.1 Шапка не несёт всего давления источника

Вопрос этого раздела прост, но на него легко ответить неверно: давит ли полное давление глубинного источника на внешнюю шапку тела? Нет. В гидростатическом равновесии — состоянии, в котором на каждой глубине давление жидкости как раз несёт вес того, что лежит над ней, — давление меняется вдоль пути. Оно наибольшее у глубинного источника и падает по пути вверх, потому что на каждом шаге оно несло вес столба над ним. Поэтому глубинное давление источника (около 150 GPa, часть A) нельзя подставлять как однородный перепад давления поперёк внешней шапки.

Полезный масштаб — давление, которое тело создаёт своим собственным весом. Для однородного сферического тела лунной массы и плотности 2,600 kg/m³ получаем радиус около 1,890 km и центральное давление, обусловленное его собственной гравитацией:

$$p_c=\frac{3Gm^2}{8\pi R_b^4}\simeq3.37\ \mathrm{GPa}. \tag{18}$$

Здесь $G$ — гравитационная постоянная, $m$ — лунная масса, а $R_b$ — радиус тела. Формула — стандартный результат для однородного шара: каждый слой сжат весом слоёв над ним, и сумма достигает наибольшего значения в центре. Словами: одна лишь собственная гравитация тела сжимает его центр примерно до 3.37 GPa — примерно в сорок раз меньше, чем имеет глубинный источник. Поэтому давление, доходящее до тела, уже в большей части потрачено на подъём столба под ним.

Гидростатическое давление уменьшается к границе. Однако оболочка конечной толщины, приток, приливы и несферическая геометрия могут налагать нагрузки на эту границу. Поэтому перепад давления и местные напряжения должны быть вычислены; их нельзя автоматически считать равными нулю. Именно поэтому следующие разделы вычисляют нагрузку соединения напрямую, из движения тела, а не из давления источника.

C.2 Что требуется от соединения на ненулевой широте?

Тело прикреплено к Земле и вращается вместе с ней. Чтобы продолжать вращаться вместе с Землёй в фиксированном месте, ему в каждый момент должно сообщаться ровно то ускорение, которого требует это круговое движение; всё, чего не дают гравитация и вращение, должно дать соединение. Этот раздел вычисляет этот остаток в момент отделения.

Определим $r$ как расстояние между центрами, $K=G(M_E+m)$ и $m_r=M_Em/(M_E+m)$. $M_E$ — масса Земли; $K$ измеряет совместную гравитацию пары; а $m_r$ — приведённая масса, единая масса, которая представляет два тела, когда их взаимное движение рассматривается как движение одного (она немного меньше, чем $m$, потому что Земля тоже немного движется вокруг общего центра). Для прикреплённого движения в коротации — тело вращается вместе с вращением Земли, с той же угловой скоростью $\omega$, — на постоянной широте $\lambda$ и с постоянной скоростью в рассматриваемый момент требуемые ускорения поддержки равны:

$$a_r=\frac{K}{r^2}-\omega^2r\cos^2\lambda, \qquad a_\lambda=\omega^2r\sin\lambda\cos\lambda. \tag{19}$$

Первое положительно наружу, а второе направлено к полюсу в северном полушарии. Словами: $a_r$ — радиальная поддержка, притяжение Земли $K/r^2$ за вычетом той части центробежного выброса вращения, которая направлена прямо от центра Земли. $a_\lambda$ — боковая поддержка. Вне экватора центробежный выброс вращения, $\omega^2 r\cos\lambda$, направлен от оси вращения, а не от центра Земли; поэтому часть его идёт вдоль поверхности к экватору, как бусину, нанизанную на вращающийся обруч, выталкивает к самой широкой части обруча. Чтобы удерживать тело на его широте, соединение должно тянуть его к полюсу с ускорением, равным этой боковой части. Полная сила, требуемая от соединения в приближении двух тел, равна:

$$F_{\mathrm{conn}}=m_r\sqrt{a_r^2+a_\lambda^2}. \tag{20}$$

Это приведённая масса, умноженная на совокупное ускорение, причём две компоненты складываются под прямым углом.

В состоянии отделения, принятом в серии, — широта $\lambda=22.5^\circ$, земные сутки 5.77 h и центр масс Луны на линии коротации на этой широте, $r=r_{\mathrm co}\cos^{-2/3}\lambda$ (Paper 2 и 4), — получаем:

$$T=5.77\ \mathrm h,\qquad r=17{,}287\ \mathrm{km}, \tag{21}$$

$$a_r=0,\qquad a_\lambda=0.559\ \mathrm{m\,s^{-2}},\qquad F_{\mathrm{conn}}=4.06\times10^{22}\ \mathrm N. \tag{22}$$

Линия коротации — это множество точек, в которых тело, вращающееся вместе с Землёй, уже движется со скоростью свободной круговой орбиты; на экваторе она лежит на $r_{\mathrm co}$, 16,399 km при 5.77-часовых сутках, а на широте $\lambda$ она лежит дальше, на $r_{\mathrm co}\cos^{-2/3}\lambda$, 17,287 km на 22.5°. На этой линии радиальное требование исчезает в точности, $a_r=0$: гравитация и вращение уравновешиваются вдоль радиуса, и соединению не нужно ни толкать, ни тянуть наружу. Боковое требование не исчезает. Оно составляет 0.559 m s$^{-2}$, около двух пятых собственной поверхностной гравитации тела при отделении (1.37 m/s², §B.3), и, применённое к приведённой массе, оно даёт силу $4.06\times10^{22}$ N. Это нагрузка, которую соединение должно нести при отделении, и она целиком боковая.

Сила мало что говорит о соединении, пока её не разделят на площадь, которая её несёт. По круговому сечению радиуса $b$ эквивалентное среднее напряжение $F_{\mathrm{conn}}/(\pi b^2)$ равно:

Таблица читается сверху вниз: напряжение падает как квадрат радиуса, так что удвоение ширины соединения делит напряжение на четыре. При радиусе 1,500 km сечению, перпендикулярному радиальному направлению, не требуется нормальной компоненты — на линии радиальный баланс выполнен, — но требуется боковая компонента около 5.74 GPa. Эта боковая компонента — сдвиг: она пытается сдвинуть одну грань сечения относительно другой. Изотропное давление на таком сечении — давление, которое давит одинаково во всех направлениях, как в покоящейся жидкости, — само по себе не обеспечивает боковой компоненты. Иная форма соединения может изменить распределение напряжений, но это должно быть вычислено. Когда масса соединения значительна, её и импульс течения также необходимо учитывать; таблица — оценка нагрузки для двух тел, а не решение для массивного соединения.

Почему узкая шейка не может выполнить эту работу. Таблица показывает трудность узкого соединения. Шейка радиусом 1,000 km должна была бы нести 12.92 GPa сдвига, а совместная проверка §A.13 даёт 46.04 GPa для канала радиусом 500 km. Шейка, которая несёт питание, горячая и частично расплавленная, а расплавленное вещество вообще не несёт длительного сдвига: под постоянной боковой нагрузкой оно течёт. Поэтому узкая шейка не может удерживать тело на 22.5°; она согнулась бы и стекла к экватору. Выход — не более прочная шейка, а более широкая структура: часть самой Земли, удерживаемая гравитацией Земли, которая несёт боковую нагрузку так, как Земля несёт свои горы. Эта структура — широкое основание купола и груша под ним (§C.4, §C.7). Рисунок 10 показывает нагрузку, которую предстоит нести.

Рисунок читается от тела: короткая красная стрелка вдоль радиуса — радиальное требование, которое равно нулю на линии; длинная красная стрелка к полюсу — боковое требование, которое остаётся. Соединение должно обеспечить второе.

C.3Как коротация отрывает тело

Коротация — это то, что отрывает тело, но не как выключатель, щёлкнувший в одной точке. Этот раздел объясняет, что происходит на линии. В экваториальной плоскости и в приближении точечного тела смена знака $\omega^2r-K/r^2$ меняет направление требуемой поддержки: внутри линии соединение должно удерживать тело против притяжения Земли, за ней оно должно удерживать тело против выброса наружу. На самой линии требование проходит через ноль. На ненулевой широте, даже когда $a_r=0$, $a_\lambda\ne0$ остаётся. В состоянии отделения эта точка — сама линия, 17,287 km на 22.5°, и нагрузка соединения там всё ещё составляет $4.06\times10^{22}$ ньютонов.

Поэтому линия коротации — место, где направление радиального требования переворачивается; это также место, где тело начинает отделяться. Соединение немного уступает за ней, как только оно больше не может передавать требуемые силу, момент силы и поток импульса. Высокая температура и плавление могут уменьшить его сопротивление деформации; давление может вносить вклад в толчок; скругление меняет форму контакта и путь напряжений. Нагрев, давление и скругление действуют вместе в одной и той же системе. Следующие разделы показывают, как они действуют вместе на линии: линия задаёт, где результирующее радиальное притяжение поворачивает наружу, а за ней тело, причём контакт сопротивляется лишь немного, вытягивается наружу и отделяется примерно в 210 km за линией (§C.5–C.5a).

C.4 Скругление наружу и широкое соединение

Скругление — это отклик формы на самогравитацию, приливы, вращение и реологию (то, как вещество течёт под нагрузкой). Тело, удерживаемое собственной гравитацией, стремится стать шаром; прилив Земли вытягивает его в удлинённую форму вдоль линии, соединяющей их; вращение сплющивает его; а его вязкость задаёт, как быстро оно может следовать этим воздействиям. Сравнение:

$$\frac{Gm}{R_b^2}>\frac{2GM_ER_b}{r^3} \tag{23}$$

даёт местную оценку соперничества между самогравитацией и приливным растяжением. Левая часть — собственная гравитация тела на его поверхности, которая удерживает его целым. Правая часть — приливное растяжение поперёк тела: Земля притягивает ближнюю сторону сильнее, чем центр, а центр сильнее, чем дальнюю сторону, и разность на одном радиусе тела составляет $2GM_ER_b/r^3$. Когда побеждает левая часть, тело удерживает себя само; когда побеждает правая часть, тело удерживается лишь тем, на чём оно покоится. На стадии 2, на широком кончике, отношение этих двух величин около 0.11 (§B.2): тело всё ещё купол на кончике, ещё не самостоятельное тело. Выживание на орбите и разрыв соединения — два условия, которые Paper 2 налагает на отделившееся тело, и именно в этом сравнении они вступают в силу.

Широкое соединение может растягиваться и разделяться, текуче деформируясь, без предварительного сужения в шейку. В этом главное отличие от перетягивания: капля, выходящая из шприца, истончается в нить и обрывается, но широкий мягкий слой, растягиваемый в стороны, раскрывается по всей своей ширине сразу (§C.5).

Порядок изменений формы фиксирован. Тело завершило своё скругление наружу задолго до отделения, пока ещё вращалось вместе с Землёй; затем оно сплющилось вращением, а сплющивание и скругление внутрь, которое его ослабило, оба произошли, пока тело было прикреплено. При скруглении внутрь отношение осей упало с 1.69 на пике сплющивания до $a/c\simeq1.2$ в конце прикреплённой стадии (Paper 7, The Poles). К отделению тело было круглым, его внешняя оболочка жёсткой (Paper 2, §B.7: отношение осей не более 1.04). Детальные напряжения и эволюция геометрии ещё предстоит решить. Контакт в этой картине — 3,000-km диск, который остаётся от нижнего купола тела на стадии 3 (часть B.4); его ширина, 1,500 km по радиусу, — это $R_c$ в расчёте отделения в §C.5.

Почему широкое основание может выполнить эту работу. Две вещи меняются, когда соединение — это широкое основание тела, а не шейка. Нагрузка распределяется по диску радиусом 1,500 km, так что среднее напряжение падает до 5.74 GPa из таблицы §C.2, вместо того чтобы расти по мере сужения радиуса. А под диском опора — не нить, а широкая часть самой Земли, груша из §C.7, часть Земли, поддерживаемая гравитацией Земли. Контакту нужно лишь передать нагрузку в грушу на коротком расстоянии; груша несёт её вниз к Земле.

C.4a Отслаивание: тело уходит вместе с сиалем, на котором сидело

Этот раздел описывает, что происходит над частями нижнего купола, которые не являются конечным контактом. Тело с самого начала сидело на сиалическом слое родительского тела — лёгком внешнем слое, богатом кремнием и алюминием (§C.10), — оно выросло на нём и ушло вместе с ним. Картина — сдутый футбольный или баскетбольный мяч, прижатый к скруглённому верху подставки и надуваемый, пока он ещё на подставке: по мере того как он раздувается и скругляется, стенка, которая касается подставки, отслаивается от неё, от края внутрь, и скругляется вместе с остальной частью мяча. Здесь подставка — кончик груши.

Над 6,000-km основанием разделение — это отслаивание. По мере скругления тела наружу (§C.4) контакт сжимался от края нижнего купола, 6,000 km в поперечнике, до 3,000-km диска (§B.4); отслаивание медленное, а диск остаётся прикреплённым до конца. Поперёк этого кольца — полосы между 6,000-km краем и 3,000-km диском — тело не отрывалось от родительского тела: сиаль под ним отслаивался от симы ниже (более плотного, богатого магнием слоя под сиалем) вдоль смазанной границы между двумя слоями (§C.10) и уходил вместе с телом. Этот отслоившийся сиаль — сегодняшний пояс между $31^\circ$ и $70^\circ$ от центра диска контакта (§B.4).

3,000-km контакт — горячий механизм. В центре нижнего купола тело стояло на верху груши, и там жар был предельным: он расплавил сиалический слой и удалил его. Последнее разделение там могло быть не чистым, но жар и гравитация тела сгладили всю область. Там, где кора ближней стороны тоньше всего, она вскрыта: моря — это отверстия из §B.5, и кора под ними тонка, потому что они отверстия.

И само отделение. Когда центр масс Луны достигает линии коротации, тело начинает отделяться; силы коротации с силой тянут его наружу, и последняя часть контакта, сопротивляясь лишь немного, уступает примерно в 210 km за линией (§C.5, C.5a, C.8). Затем тело уходит со своим сиалем: оболочкой над куполом, отслоившимся сиалем над кольцом и, над контактом, поверхностью, уже сглаженной жаром.

Таким образом, тело отделяется сразу двумя способами: медленным отслаиванием над кольцом, где сиаль уходит вместе с ним, и вытягиванием над центральным диском, где горячий контакт сопротивляется лишь немного. Второе оценивается далее.

C.5 Как тело отделяется за линией коротации

Paper 2 помещает отделение туда, где центр масс Луны достигает линии коротации: за ней силы коротации тянут тело наружу. Луна начинает отделяться, когда её центр масс достигает линии, и отделяется примерно в 210 km за ней, когда чуть больше половины её пересекло линию (§C.5a). Контакт между грушей и телом сопротивляется лишь немного; тело с силой вытягивается наружу, и это вытягивание подняло гребни-лопатки. Этот раздел оценивает, насколько сопротивлялся контакт.

Почему центр масс и почему линия. Тело, которое движется как одно целое, откликается на сумму действующих на него сил, и эта сумма действует так, как если бы вся его масса находилась в центре масс. Внутри линии коротации притяжение Земли на тело больше, чем нужно его круговому движению, так что тело в целом давит к Земле, а контакт находится в сжатии: его толкают, а не тянут, и он держит. Дальняя сторона тела достигает линии первой (таблица кончика в §C.7), но пока центр лежит внутри, части внутри линии перевешивают части за ней, и тело по-прежнему давит внутрь. Когда центр пересекает линию, сумма меняет знак: выброс наружу превосходит притяжение, и тело начинает тянуть контакт. С этого момента контакт находится в растяжении, и вопрос становится таким: как ведёт себя горячий вязкий слой, когда его тянут.

Что означает отделение по Стефану. Две плоские стеклянные пластины с тонкой плёнкой воды между ними легко сдвинуть, но трудно разнять, потянув прямо друг от друга. Чтобы зазор раскрылся, жидкость должна втекать от краёв к центру, и чем тоньше зазор, тем труднее она течёт. Если тянуть медленно, пластины сначала расходятся медленно; когда зазор немного расширится, жидкость втекает легко, и они расходятся сразу. Это сопротивление — не прочность, которая разрушается; это сопротивление скорости раскрытия, заданное вязкостью плёнки — её сопротивлением течению, — размером пластин и шириной зазора. Это задача Стефана, и контакт — такая плёнка в очень большом масштабе.

Представим контакт на стадии 3 как ньютоновский слой толщиной $d_0$, радиусом $R_c=1{,}500$ km (диск в 3,000 km из §B.4) и вязкостью $\eta_c$. Ньютоновский слой — это слой, сопротивление течению которого пропорционально скорости, с которой его заставляют течь, как у воды или мёда. Такой слой не несёт растяжения; он сопротивляется скорости, с которой расходятся два тела. Для двух дисков, расходящихся со скоростью $\dot d$ сопротивление даётся формулой Стефана,

$$F=\frac{3\pi\eta_cR_c^4\,\dot d}{2d^3}, \tag{30}$$

Здесь $d$ — зазор в данный момент, а $\dot d$ — скорость его раскрытия. Уравнение говорит три вещи. Сопротивление растёт с вязкостью и со скоростью раскрытия: медленное вытягивание встречает малое сопротивление. Оно очень круто растёт с размером диска, как $R_c^4$: диск вдвое шире сопротивляется в шестнадцать раз сильнее. И оно очень круто падает по мере раскрытия зазора, как $d^{-3}$: зазор вдвое шире сопротивляется в восемь раз слабее.

Сила, движущая разделение, после того как центр масс тела пересёк радиус коротации на $\Delta r$, есть результирующая направленная наружу сила во вращающейся системе, $F_{\mathrm net}=m\,(3\omega^2)\,\Delta r$, где $3\omega^2=2.7\times10^{-7}\ \mathrm{s^{-2}}$ при 5.77-часовых сутках отделения (Paper 2). Множитель $3\omega^2$ показывает, как быстро результирующее направленное наружу ускорение растёт с расстоянием за линией: центробежный выброс наружу $\omega^2 r$ растёт с удалением, а притяжение $K/r^2$ падает, и на линии они вместе меняются на $3\omega^2$ на каждый метр расстояния. На линии движущая сила равна нулю; малый шаг за неё даёт малую направленную наружу силу, больший шаг — большую. Относя всё растяжение к слою, $\Delta r=d-d_0$:

$$\dot d=\frac{2m\cdot3\omega^2\,(d-d_0)\,d^3}{3\pi\eta_cR_c^4}. \tag{31}$$

Уравнение (31) приравнивает движущую силу сопротивлению и решается относительно скорости раскрытия. Оно содержит оба эффекта, ускоряющих отделение: движущая сила растёт с $d-d_0$, а сопротивление падает с $d^3$.

Решение уходит в разгон: сопротивление падает как $d^{-3}$ по мере раскрытия зазора, так что малое сопротивление контакта вскоре уступает; отделение определяется здесь как достижение зазором величины $d=3d_0$, где сопротивление упало в 27 раз и решение уходит в разгон. Запас при отделении задаётся одной лишь толщиной слоя, $\Delta r_{\mathrm release}=d-d_0\simeq2d_0$ (в более ранней версии было $(1$–$2)\,d_0$); вязкость и радиус контакта задают только время. Причина в том, что зазор должен раскрыться на фиксированное кратное начальной толщины, прежде чем сопротивление обрушится, какова бы ни была вязкость; более жёсткий слой лишь растягивает то же раскрытие во времени. Таблица даёт четыре случая; столбец времени меняется с вязкостью и толщиной, столбец запаса — только с толщиной:

Времена получены интегрированием уравнения (31) от начального зазора $d_0(1+10^{-3})$ до зазора отделения $3d_0$ при лунной массе; они масштабируются как $\eta_c/d_0^{3}$. В более ранней версии этой таблицы для трёх последних строк приводились около 4,800, 320 и $5\times10^{5}$ лет; эти значения не следовали из уравнения (31), которое даёт приведённые теперь времена и согласуется с кривыми рисунка 11. В более поздней версии приводились около 240, 25,700, 1,640 и $2.6\times10^{6}$ лет; приведённые теперь времена — это сам интеграл, и четыре строки масштабируются друг относительно друга как $\eta_c/d_0^{3}$. Столбец запаса не изменился.

Контактный слой толщиной 20–50 km даёт 40–100 km, а принятое отделение примерно в 210 km (§C.5a) соответствует слою толщиной около 105 km — во всех случаях это малый запас по сравнению с расстоянием отделения 16,400–17,300 km, менее полутора процентов от него. Поэтому тело уходит практически на линии, как того требует Paper 2, и орбита, на которую оно выходит, задаётся линией, а не деталями слоя. В изложении §C.7–C.8 это последнее раскрытие контакта, после того как центр Луны достиг линии и силы коротации вместе с внутренним давлением действуют совместно. Поэтому отделение на линии осуществляется той соединением, которое находит эта статья, без узкой шейки и без нового допущения: контакт, горячий и мягкий (§A.5, §B.4), сопротивляется лишь немного, и при слое толщиной около 105 km тело отделяется примерно в 210 km за линией (в более ранней версии принимался слой толщиной 50 km и отделение примерно в 100 km за линией).

Времена в таблице, от нескольких сотен лет до нескольких миллионов лет (в более ранней версии говорилось «до нескольких сотен тысяч лет»), коротки по сравнению с длительностью построения. Они оценивают малое сопротивление контакта; само тело вытягивается наружу с силой, и это вытягивание подняло гребни-лопатки.

Вращательная связь. Второй вопрос — может ли тот же контакт удерживать тело во вращении вместе с Землёй, пока оно поднимается. По мере движения тела наружу ему нужно сообщать всё большую боковую скорость, чтобы не отставать от вращения, а для этого требуется крутящий момент — поворачивающая сила. Тот же слой отвечает на вопрос о вращательной связи: момент, необходимый для удержания тела в коротации при подъёме на 1 km/yr, составляет $2m\omega r\dot r\simeq2\times10^{22}$ N m; соответствующая ему боковая сила на теле, $2m\omega\dot r\simeq1.4\times10^{15}$ N, распределённая по контакту, даёт касательное напряжение около 0.2 kPa (в более ранней версии было 7 kPa) — пренебрежимо малое при любой вязкости из таблицы. Пятая часть килопаскаля — это примерно пятисотая часть атмосферного давления на уровне моря; слой любой из приведённых выше вязкостей несёт его при пренебрежимо малой скорости сдвига. Широкий контакт поддерживает вращательную связь: он удерживает тело в боковом направлении, пока оно поднимается, а вдоль радиуса сопротивляется лишь немного, когда центр прошёл линию.

Рисунок 11 показывает раскрытие зазора во времени для двух случаев. Обе кривые остаются почти плоскими бо́льшую часть времени, а затем резко поднимаются: сопротивление уступает, когда зазор немного раскрылся. Более толстый слой отделяет раньше, но в обоих случаях зазор при отделении раскрылся до трёхкратной начальной толщины, так что запас за линией, $d-d_0$, равен удвоенной толщине слоя — 40 km для слоя в 20 km и 100 km для слоя в 50 km, как в таблице (в более ранней версии этого предложения запас назывался трёхкратной толщиной).

Порядок фиксирован: тело скруглялось наружу и сплющивалось на прикреплённой стадии, а его скругление внутрь завершилось до отделения — отношение осей 1.2 относится к поздней прикреплённой стадии, а при отделении тело было круглым, его оболочка — жёсткой (Paper 7; Paper 2, §B.7). Разделение — это растяжение слоя, а не перетяжка, и тело, которое оно отделяет, несёт оболочку.

Почему тело не соскользнуло к экватору. Тело, покоящееся на родительском теле, совершающем оборот за 5.5 часа, испытывает центробежную силу — выброс наружу, создаваемый вращением. На экваторе эта сила целиком радиальна; на широте $\varphi$ у неё есть касательная составляющая, $\omega^2 r\sin\varphi\cos\varphi$, направленная к экватору. Это та же составляющая, что и $a_\lambda$ в уравнении (19), увиденная с другой стороны: там это то, что должна обеспечить соединение, здесь — то, что сдвинуло бы тело, если бы ничто её не уравновешивало. На жидком родительском теле тело на 22.5° соскользнуло бы к экватору и отделилось бы оттуда с нулевым наклонением. Что этому помешало?

На широком кончике — заякоривание. Тело покоится на основании шириной 6,000 km внутри отверстия в жёсткой сиалической оболочке. Это та оболочка, которая модели нужна в любом случае, с вязкостью $10^{23}$ Pa s или больше, чтобы на ней сохранилась летопись кратеров (§B.6). Оболочка, которая удерживает кратеры, удерживает и положение: основание, заякоренное на такой площади, не мигрирует. Оболочка настолько жёсткая, что 100-километровый кратер не релаксирует за десять миллионов лет (§B.3), слишком жёстка, чтобы позволить основанию шириной 6,000 km скользить по ней.

При скруглении наружу — груша. Контакт сжимается до 3,000 km, но тело по-прежнему покоится на кончике груши, части Земли, удерживаемой гравитацией Земли, которая передаёт боковую нагрузку вниз, на Землю (§C.4, §C.7). Тело не дрейфует к экватору.

Вывод. Тело отделяется на той широте, на которой оно переносилось, — на широте отделения из Paper 4, 22.5°. Наклонение — это наклон орбиты Луны к земному экватору; тело, отделённое на некоторой широте, начинает движение по орбите, наклонённой на эту широту. Основание груши стояло примерно на экваторе того времени; совпадает ли тот экватор с сегодняшним — вопрос осей, который относится к будущей работе.

C.5a Как далеко за линией: расстояние отделения

В разделе C.5 найдено, что тело отделяется на небольшом расстоянии за линией коротации. Этот раздел выясняет, на каком именно, что это расстояние делает с орбитой и в каком диапазоне его помещают упрощённые законы серии. Ответ — отделение, принятое в серии: около 210 km за линией, когда чуть больше половины Луны пересекло её. Вопрос важен потому, что это расстояние мало по сравнению с радиусом — менее одного процента от него, — но оно не мало для формы орбиты. Тело, отделённое точно на линии, движется со скоростью круговой орбиты и выходит на окружность. Тело, отделённое за линией, несёт чуть больше скорости, чем нужно для окружности: точка отделения становится ближайшей точкой орбиты, перигеем, и орбита — слегка вытянутым эллипсом. Её эксцентриситет $e_0$ — нулевой для окружности и растущий по мере вытягивания эллипса — растёт с расстоянием за линией. Этот эксцентриситет и несколько бо́льшая орбита, которая ему сопутствует, переносятся в два числа, с которыми можно сверить сегодняшнюю Луну: наклон её орбиты и вытянутость её орбиты.

Постановка. Каждая строка помещает центр масс Луны на указанном смещении за линией коротации в момент полного отрыва, при земных сутках отделения 5.77 h и радиусе тела при отделении 1,890 km; «пересечено» — доля объёма Луны, лежащая за линией в этот момент. Начальная орбита следует из формул Paper 4, приложения A (отношение скоростей $B$, $a_0=r_0/(2-B)$, $e_0=|1-B|$, точка отделения в перигее), а конечный угол — из упрощённого tan-закона Paper 4, часть D, $\tan i=\tan\lambda\,(a_0/384{,}400\ \mathrm{km})^{1/2}$. Эксцентриситет переносится от отделения до нынешнего расстояния 384,400 km с приливом с постоянным запаздыванием по времени [21] — прилив, поднятый на Земле, плюс прилив, поднятый в синхронной Луне, сила которого относительно земного равна $A$, — при этом вращение Земли следует из сохранения момента импульса; Солнце и резонанс эвекции не учитываются.

Наклон. Первая таблица отделяет тело на широте серии, 22.5°, где линия коротации лежит на 17,287 km. Читайте её сверху вниз: смещение растёт, а вместе с ним доля тела, пересёкшая линию, эксцентриситет при отделении, размер орбиты и конечный угол на нынешнем расстоянии. Тёмно-синий оттенок сгущается с конечным углом. Строка, выделенная зелёным и жирным, — та, конечный угол которой равен наблюдаемым 5.145°; это принятое отделение.

Таблица C.5a.1. Отделение на 22.5° (линия коротации 17,287 km): начальная орбита и конечный угол по упрощённому закону как функции смещения за линией. Тёмно-синий сгущается с конечным углом; зелёный отмечает наблюдаемые 5.145°, что и есть принятое отделение.

Конечный угол растёт медленно и равномерно со смещением: примерно на три сотых градуса на каждые 50 km. Отделение на линии даёт 5.020°, отделение в 100 km за ней — 5.079°, а наблюдаемые 5.145° достигаются примерно при 210 km, когда 58% объёма Луны пересекло линию. Однако угол более чувствителен к широте кончика, чем к смещению. Автор помещает кончик между 22° и 24°; смещение, дающее 5.145°, меняется в этом диапазоне следующим образом:

Таблица C.5a.2. Чувствительность к широте кончика. Тёмно-синий сгущается с широтой; зелёный отмечает широту серии.

Полградуса широты сдвигают смещение примерно на 200 km. Поэтому один лишь наклон помещает отделение в диапазон, а не в точку; второй тест сужает его.

Вытянутость. Вторая таблица проводит тот же поиск для эксцентриситета. Он выполнен в плоскости, с отделением на экваторе того времени (линия коротации 16,399 km), где записаны приведённые выше уравнения прилива; при данном смещении эксцентриситет при отделении почти такой же, как на 22.5° (сравните две таблицы). Три последних столбца дают эксцентриситет на нынешнем расстоянии для трёх значений $A$. Число $A$ показывает, насколько сильно молодая Луна поглощала приливную энергию относительно Земли: у холодной, жёсткой Луны $A$ мало, у горячей, мягкой — велико. Прилив в Земле вытягивает орбиту по мере её роста; прилив в Луне скругляет её. Тёмно-синий оттенок сгущается с $e_0$; зелёная ячейка лежит рядом с сегодняшним значением, 0.0549.

Таблица C.5a.3. Отделение на экваторе того времени (линия коротации 16,399 km): начальная орбита и эксцентриситет на нынешнем расстоянии для трёх значений силы $A$ прилива в Луне. Тёмно-синий сгущается с $e_0$; зелёный отмечает значение, ближайшее к сегодняшнему 0.0549.

Решающей является первая строка. Тело, отделённое точно на линии, выходит на окружность, а прилив уносит окружность наружу как окружность: каково бы ни было значение $A$, эксцентриситет остаётся нулевым на всём пути до 384,400 km. Поэтому весь эксцентриситет, который Луна имеет сегодня, должен начаться как малое $e_0$ при отделении. При малой диссипации в Луне ($A=0$ или 1) прилив в Земле вытягивает даже малое $e_0$ в длинный эллипс; при горячей молодой Луне прилив в Луне сдерживает вытягивание, и для $A=3$ нынешнее значение 0.0549 лежит между строками 200 и 300 km. Смещение, дающее сегодняшний эксцентриситет, зависит от $A$: около 120 km для $A=2.5$, около 210 km для $A=3.0$, около 330 km для $A=3.5$ и около 460 km для $A=4.0$.

В терминах §C.5, где запас при отделении равен $\Delta r\simeq2d_0$, принятое смещение около 210 km соответствует контактному слою толщиной около 105 km, вдвое больше слоя в 50 km из предпоследней строки таблицы в §C.5; сопротивление остаётся малым сопротивлением горячего, мягкого контакта, а смещение остаётся менее полутора процентов от расстояния отделения.

За кулисами. В более ранней версии этой статьи принималось отделение примерно в 100 km за линией — оценка автора для контактного слоя толщиной около 50 km. Приведённый выше поиск расстояния отделения показал, что два упрощённых теста сходятся чуть дальше, и теперь серия принимает вычисленное значение; оценка лежала в том же диапазоне и близко к нему.

Что мы теперь имеем: нагрузка при отделении известна (§C.2), её несёт широкий горячий контакт, а не шейка (§C.4), и тело начинает отделяться на линии и отделяется примерно в 210 km за ней, вытягиваемое наружу с силой против контакта, который сопротивляется лишь немного (§C.5); наклон и вытянутость сегодняшней орбиты сходятся вблизи этого расстояния по упрощённым законам (§C.5a). Следующий раздел излагает этот результат в форме, необходимой Paper 4.

C.6 Условия передачи для статьи об орбите

Орбита Луны после отделения — предмет Paper 4 (The Orbit). Ей нужно от этой статьи только состояние в момент отделения: где находилась Луна, как быстро вращалась Земля и что ещё делало соединение. Состояние, передаваемое Paper 4, — это состояние из Paper 2 с учётом смещения удлиняющейся груши и централизующегося ядра. Удлиняющаяся груша выносит массу наружу и тем самым замедляет вращение Земли; железо, опускающееся к центру, — централизующееся ядро — ускоряет его, как фигуристка вращается быстрее, прижимая руки; вместе они дают 5.77-часовые сутки (Paper 2, §A.4):

Две строки различаются только широтой. На экваторе линия лежит на 16,399 km, и у соединения при отделении не остаётся никакой нагрузки, кроме малого сопротивления контакта; на 22.5° линия лежит дальше, на 17,287 km, и боковая нагрузка из §C.2 сохраняется. В обоих случаях Луна уходит по почти круговой орбите: на линии скорость, которую она несёт вместе с вращением, — это скорость круговой орбиты, а примерно в 210 km за ней — чуть больше, так что точка отделения является перигеем (§C.5a, §C.8). (В более ранней версии передавалось отделение на линии, на круговой орбите.)

За кулисами. В более ранней версии этого раздела передавалось более позднее отделение, 20,595 km при 6.59-часовых сутках, за жидким пределом Роша для тела плотностью 2,600 kg/m³. Эта ветвь учитывала лишь удлиняющуюся грушу; с централизующимся ядром сутки при отделении составляют 5.77 h, а линия лежит примерно на 16,400 km (Paper 2, §A.4). Тело, отделённое там, находится внутри жидкого предела Роша и далеко за жёстким (10,314 km при 2,600 kg/m³): его удерживает жёсткая скруглённая оболочка, а не жидкое равновесие (Paper 7, §C.5). Предел Роша — это расстояние от Земли, внутри которого приливное растяжение превышает собственную гравитацию тела: жидкое тело внутри него разрывается, тогда как тело с жёсткой оболочкой выживает гораздо ближе, вплоть до жёсткого предела. Луна при отделении лежит между ними, и именно поэтому жёсткая оболочка важна.

C.7 Одно вздутие: Земля, вытянутая в грушу, кончик которой становится Луной

Этот раздел описывает структуру, которая несёт тело снизу: что она собой представляет, почему имеет форму груши, какова её ширина и длина и сколько массы она содержит.

При отделении центр тела лежит на линии коротации, примерно в 16,400 km от центра Земли на экваторе, а его ближняя поверхность — примерно в 14,500 km: центр минус радиус тела 1,890 km. Между поверхностью Земли — 6,701 km от центра на экваторе сплющенного родительского тела при 5.77-часовых сутках — и этой поверхностью лежат около 7,800 km. Их должно заполнять нечто прикреплённое, потому что тело, покинувшее поверхность Земли за счёт одного лишь вращения, имело бы менее половины орбитальной скорости и упало бы обратно (§C.8). Мы предлагаем, что их заполняет сама Земля, одним вздутием: давление, поднявшее холм, продолжало поднимать его, и вздутие вытянулось в грушу из собственного вещества Земли, кончик которой — купол из части B — скруглился и стал Луной. Вращение, сортировка недр Земли и внутреннее давление, вытягивающие грушу, действуют как единый механизм; три его стороны изложены ниже, в подразделе Груша до этой статьи.

Почему нить не может, а груша может. Жидкая нить между двумя телами не может нести тело: совместная гравитация Земли и тела действительно тянет смещённое вещество обратно к линии между ними — во всех направлениях и на любой высоте, — но для нити шириной 3,000–4,200 km эта возвращающая сила удерживает лишь от десятой до пятидесятой части давления, необходимого вблизи её основания, 35–81 GPa. Груша — не нить. Это широкая часть самой Земли, и её удерживает гравитация Земли, как любую другую часть Земли, — так Земля удерживает свои горы. Она не выбрасывается, потому что её скорость — не скорость выброса и она целиком лежит внутри линии коротации. Вблизи Земли она широка и сужается одной дугой к своему кончику, который несёт контакт примерно в 15,400 km от центра — центр Луны на 17,287 km минус её радиус 1,890 km (в более ранней версии для вершины кончика приводились 16,100 km и 9,500 km). Груша в начале, когда тело сидело на широком кончике (§B.2), и при отделении:

Два столбца описывают рост груши. Между началом и отделением она примерно удвоилась в длину, с около 4,000 до около 8,700 km, а её кончик сузился вдвое, с 6,000 до 3,000 km, по мере того как тело на нём скруглялось наружу.

Ширина основания. Ширина основания груши принимается равной 9,000–11,000 km. Верхняя граница следует из энергии: более широкое основание содержит больше массы, а подъём большей массы требует большей работы. При расширении основания с сохранением формы груша при отделении содержит 8.8 лунной массы при основании 9,000 km, 10.4 при 10,000 km и 12.1 при 11,000 km, а её подъём стоит $8.1\times10^{30}$, $9.3\times10^{30}$ и $1.05\times10^{31}$ J — последнее порядка энергии, выделившейся при формировании земного ядра. Мы принимаем основание 9,000–11,000 km. По мере подъёма тела кончик сузился с 6,000 до 3,000 km, а основание расширилось.

Масса груши. Таким образом, груша содержит 8.8–12.1 лунной массы при основаниях 9,000–11,000 km. Значение «около девяти лунных масс», используемое в этой статье (§C.9), относится к случаю 9,000 km, узкому краю диапазона; словами — груша содержит примерно от девяти до двенадцати лунных масс. Для сравнения: груша с основанием 9,000 km содержит около 11% массы Земли (§C.9) — большое вздутие, но это одна область планеты, а не планета.

Рисунок 12 изображает два столбца таблицы. Главное, на что следует смотреть, — контур панели (B): он равномерно сужается от основания к кончику одной дугой, без перетяжки, где он мог бы пережаться, и заканчивается до линии коротации.

Кончик на протяжении подъёма. Кончик груши несёт тело из части B, и тело уплотняется по мере подъёма; его вращение — это вращение Земли. Стадии приведены с фигурой вращающегося тела данной плотности и вращения (Paper 7, §C.1). Отношение осей $a/c$ — это отношение самой длинной оси тела к самой короткой: 1.00 для сферы, больше для сплющенного тела. Лёгкое тело, вращающееся вместе с Землёй, сильно сплющивается, потому что его собственная гравитация слаба по сравнению с вращением; по мере уплотнения его гравитация растёт, и оно скругляется внутрь. Таблица читается сверху вниз: плотность растёт, а отношение падает к 1:

Сплющивание и скругление внутрь происходили, пока тело было прикреплено: отношение упало с 1.69 на пике сплющивания до 1.20 в конце прикреплённой стадии. К отделению скругление внутрь завершилось; тело было круглым, его внешняя оболочка — жёсткой (Paper 2, §B.7: отношение осей не более 1.04), и с тех пор оно уплотнилось до сегодняшней плотности 3,344 kg/m³.

Три результата. Отсюда следуют три результата. Груша — часть Земли и удерживается гравитацией Земли, так что боковой вопрос о соединении решается собственной гравитацией Земли: боковую нагрузку из §C.2, которую не могла бы нести никакая шейка, несёт широкое тело из собственного вещества Земли. В верхней части груша задаётся несомым ею контактом, 6,000 km в начале и 3,000 при отделении. И вся груша лежит внутри линии коротации, так что эффективная гравитация вдоль неё всюду направлена к Земле: она сжата по длине, у неё нет перетяжки, которая могла бы пережаться, и ничто из неё не может остаться на орбите; после отделения сортировка собирает её обратно в Землю целиком за десятки–сотни миллионов лет.

Что стало с грушей. Груша не была потеряна при отделении. После отделения сортировка собрала её обратно в Землю, постепенно, за десятки–сотни миллионов лет. Её тяжёлая часть погрузилась глубоко в Землю под основанием груши (часть E); её передняя сторона была собрана в полосы северной части Тихого океана, а её задняя часть — в дуги западной части Тихого океана (Paper 9, The Stripes). Масса не покинула Землю; она переместилась с высоты снаружи в глубину внутри и оставила на поверхности складки там, где вошла.

За кулисами. Сначала мы искали узкую нить между Землёй и телом; она не может нести нагрузку. Затем мы изобразили грушу с длинной шейкой, выходящей за линию коротации, которая отделялась, когда кончик пересекал линию. Когда отделение было помещено туда, где центр масс Луны достигает линии (Paper 2), шейка утратила свою роль: груша — единая дуга от поверхности Земли до контакта, целиком внутри линии.

Груша до этой статьи. Эта форма не нова для физики. Пуанкаре [8] обнаружил в 1885 году, что последовательность вращающихся жидких равновесий переходит от сфероида Маклорена к эллипсоиду Якоби и ветвится там в грушевидную, или пириформную, фигуру, и предположил, что груша может разделиться на два неравных тела. Сфероид Маклорена — это сплющенная, круглая в плане форма однородного жидкого тела, вращающегося медленно; эллипсоид Якоби — вытянутая форма с тремя неравными осями, которую такое тело принимает при более быстром вращении; груша ответвляется от формы Якоби при ещё более быстром вращении. Дарвин перенёс эту идею на Землю и Луну, и за этим последовала теория деления Пуанкаре–Дарвина [9]. В этой теории груша растягивается одним лишь вращением и потому требует вращения, близкого к разрушению, — возражение, связанное с моментом импульса, которое положило ей конец; а Картан позднее показал, что динамическая неустойчивость наступает там, где груша ответвляется от последовательности Якоби [10], прерывая медленную эволюцию, которую предполагала теория. Груша, предлагаемая здесь, отличается своей причиной. Её причина — один механизм с тремя сторонами. Вращение создаёт центробежное давление. Сортировка Земли (дифференциация) стремится сосредоточить тяжёлое вещество и тем самым выдавливает всё остальное наружу: это внутреннее давление. А вращение движет сортировку. Вместе они создают аномалию, которая и есть груша. Груша формируется при 5.5-часовом вращении, параметр вращения которого, $\Omega^2/\pi G\rho\simeq0.092$ для однородного родительского тела (в более ранней версии было 0.093), намного ниже точки, где начинается ветвь Якоби. Параметр вращения сравнивает вращение с собственной гравитацией тела; сравнение должно проводиться в одной шкале. В шкале $\Omega^2/(\pi G\rho)$, используемой здесь, ветвь Якоби начинается при 0.374 (Paper 2, §A.6.5), так что 0.092 родительского тела составляет около четверти этого; значение 0.187, часто приводимое для той же точки ветвления, — это та же точка в шкале $\Omega^2/(2\pi G\rho)$, и его нельзя напрямую сравнивать с 0.092. Поэтому 5.5-часовое родительское тело далеко от вращения, при котором одно лишь вращение сделало бы его грушей. Груша здесь растёт из одной области, а не из всего тела; уходит только её кончик, когда центр масс кончика достигает линии коротации, а остальное собирается обратно в Землю сортировкой. Неустойчивость равновесия не является препятствием для фигуры, которую приводят в движение, а затем отделяют. Груша не может сформироваться в теле, которое уже рассортировано и вращается медленно, как Земля сегодня: такое тело устоялось, и ничто не может его покинуть. Во время груши вращение было быстрым, вязкость — низкой, а сортировка только начиналась; в этих условиях формируются груши, а из них — луны.

Ближе к настоящему изложению несколько авторов предлагали, что Луна покинула более медленно вращающуюся Землю при помощи изнутри. Де Мейер и коллеги [13] привлекали ядерный взрыв вблизи границы ядра и мантии протоземли, совершавшей оборот примерно за 5.8 часа; Эдвардс [14] предложил, что тепло и летучие вещества накапливались над прото-крупными провинциями низких скоростей, пока взрыв не выбросил это вещество вместе с вышележащей мантией на низкую орбиту, где оно объединилось в Луну. Лок и Стюарт [15] показали, что горячая расширенная Земля достигает своего предела коротации и образует за ним протяжённую структуру; а Дентон и коллеги [16] нашли, что у Харона, прикреплённого к Плутону после столкновения, центр масс находился за радиусом коротации Плутона до того, как они разделились. Настоящее изложение разделяет движущую силу с первыми двумя и границу с последними двумя и отличается от них всех своим ходом: ни взрыва, ни облака обломков, а одно связное тело, постепенно поднимаемое давлением, кончик которого начинает отделяться, когда его центр масс достигает линии коротации, и отделяется сразу за ней.

Рисунок 13 ставит две груши рядом. Слева — классическая фигура: всё тело, растянутое вращением. Справа — груша этого раздела, в масштабе: вращающаяся Земля обычной формы, из одной области которой давление вытянуло грушу, с Луной на её кончике и её центром на линии.

Что движет грушу наружу: поток, затем запертое давление. Груша растёт в две фазы, заданные отверстиями на дальней стороне тела. Пока эти отверстия открыты, давление уходит через них, но не без следствий: оно создаёт поток, проходящий по всей длине структуры, от глубинного источника через грушу и тело к выходам на дальней стороне. Этот поток строит дальнюю сторону и её летопись кратеров (Paper 6, The Craters), переносит вещество к внешнему концу груши и поддерживает узкую часть горячей. Затем отверстия дальней стороны запечатываются. Мы предлагаем, что действовали две причины совместно: отверстия были открыты холоду космоса, и по мере роста груши дальняя часть тела удалялась от фокуса Земли и получала меньше земного тепла. Результат — цепная реакция: меньше тепла, дальние моря запечатываются, выходов остаётся меньше, давление растёт, и груша удлиняется. Большинство морей дальней стороны запечаталось таким образом и образовало своего рода замкнутую крышку, на которую давление давит изнутри. С этого момента давление заперто, и, поскольку вес поднимающегося вещества падает к нулю на линии коротации, груша ускоряется наружу. Причина та же, что в §C.5: вблизи линии гравитация и центробежный выброс почти уравновешиваются, так что вещество там почти ничего не весит, и запертое давление, которое больше не уходит, может легко вытолкнуть его. Основание на ближней стороне обращено к горячей Земле и не запечатывается, пока тело прикреплено. При отрыве давление Земли перестало достигать Луны, а вместе с ним прекратились внутреннее давление Луны и выбросы. Большие моря ближней стороны были тогда горячими и маловязкими, поэтому их поверхности гладкие, как замёрзшее озеро; они застыли позже, медленно и снаружи внутрь, за сотни миллионов лет — до одного-двух миллиардов: Serenitatis первым, очень близко к Земле, а Imbrium — после отрыва. Кратеры на них преимущественно малые: после отделения малые и средние капли, выброшенные Землёй, притягивались к Луне и образовали их (§C.11). Старые отверстия дальней стороны запечатались до отделения. Одно море дальней стороны — исключение: Moscoviense оставалось активным ещё долго после того, как остальные запечатались. Автор предлагает, что оно питалось от Serenitatis, пока Serenitatis было ещё внутренним, по прямому проходу через недра между ними, и что именно поэтому оно так долго оставалось активным.

Поток не растягивает узкую верхнюю часть груши трением. Он растягивает её тем, что переносит, и теплом, которое приносит. Следующая таблица проверяет оба эффекта. Для темпов питания из части A, узкой верхней части груши — 3,000 km в поперечнике и около 6,000 km в длину — и расплава плотностью 3,000 kg/m$^3$:

Два столбца — это две продолжительности питания из части A (в последней строке более ранняя версия давала 0.0006% для питания за 600 Myr): вся лунная масса, доставленная за 100 миллионов лет или за 600 миллионов лет. Число Пекле сравнивает, как быстро поток переносит тепло вдоль груши, с тем, как быстро тепло уходит теплопроводностью; значение в тысячи означает, что поток приносит тепло намного быстрее, чем оно может уйти. Застывшая корка — это холодный внешний слой, который может образоваться на узкой части, пока поток поддерживает её внутренность горячей: чем больше тепла приносит поток, тем тоньше корка. Две последние строки дают трение потока о стенки и сравнивают его с нагрузкой из §C.2.

Трение пренебрежимо мало; тепло — нет. Увлечение стенок потоком составляет менее сотой доли процента нагрузки на соединение. Адвекция — перенос тепла движущимся веществом — опережает теплопроводность на три порядка величины, и над узкой частью радиусом 1,500 km застывает корка толщиной всего от нескольких километров до нескольких десятков километров: она остаётся расплавленной и мягкой, пока груша вытягивается, и именно на горячем, непокрытом контакте тело начинает отделяться, когда его центр достигает линии, и высвобождается сразу за ней (§C.8). Это горячий, мягкий контакт из §C.5, который сопротивляется лишь немного.

C.8 Где тело уходит: его центр достигает линии

Этот раздел устанавливает, где происходит отделение и почему тело уходит на орбиту, а не падает обратно. Тело начинает отделяться, когда его центр масс достигает линии коротации, и отделяется примерно в 210 km за ней (§C.5a; Paper 2, §B.8): там скорость, которую оно несёт вместе с вращением, — это скорость круговой орбиты, а за ней силы коротации тянут его наружу; внутреннее давление под ним помогает. На широте $\varphi$ линия лежит на $r_{\mathrm co}/\cos^{2/3}\varphi$, где $r_{\mathrm co}=16{,}399$ km при 5.77-часовых сутках. Линия смещается наружу при удалении от экватора, потому что на некоторой широте тело находится ближе к оси вращения, чем его расстояние от центра, и вращается по меньшему кругу; оно должно быть дальше, прежде чем скорость вращения сравняется с орбитальной:

Расстояние медленно растёт с широтой: на 888 km между экватором и 22.5°, около 5%. Принятое отделение, 17,287 km на 22.5°, выделено жирным.

Тело там лежит далеко за жёстким пределом Роша, 10,314 km при 2,600 kg/m³, и удерживается своей жёсткой скруглённой оболочкой (Paper 7, §C.5). Контакт также является самым слабым местом всей структуры: единственное место, которое не покрыла кожа тела, и место, где с ним встречается горячая груша.

Что груша делает с Луной: поднимает её и несёт по кругу. Груша действует на Луну сразу в двух направлениях. Радиально она её поднимает: давление, вытягивающее грушу, поднимает тело на её кончике от поверхности Земли до линии коротации ценой гравитационной работы около $1.5\times10^{30}$ J (§A.12). В боковом направлении она несёт её по кругу: поскольку Луна прикреплена, груша вращает её вместе с Землёй, и на каждый километр подъёма Луне нужно сообщить боковую скорость вращения на её новом расстоянии. Образ — ребёнок, идущий наружу по вращающейся карусели: чем дальше он уходит, тем быстрее он должен двигаться вбок, чтобы не отставать, и карусель должна подталкивать его, сообщая эту скорость. Груша сообщает эту скорость через контакт, и на линии сообщённая ею скорость в точности равна скорости круговой орбиты там:

На экваторе две скорости равны, 4.96 km/s: именно это и означает «на линии». На 22.5° боковая скорость равна $\omega r\cos\varphi$, потому что Луна вращается по кругу радиусом $r\cos\varphi$ вокруг оси вращения; орбита, которая из этого следует, вычисляется в Paper 4. Момент импульса — масса, умноженная на боковую скорость и на расстояние от оси, «количество вращения», которое сохраняется, когда не действует внешний крутящий момент, — дан в последнем столбце. Он вычислен здесь с массой Луны $m$ относительно оси вращения Земли; Papers 2 и 4 дают $5.9\times10^{33}$ для орбиты при отделении — ту же величину на экваторе, записанную для орбиты двух тел с приведённой массой $m_r$, которая на 1.2% меньше $m$.

Момент импульса, который груша передаёт Луне, — около шестой части момента системы — берётся из вращения Земли: это замедление, которое компенсирует централизующееся ядро (Paper 2, §A.4). Подъём доводит Луну до линии; перенос по кругу даёт ей, когда она прибывает, скорость, чтобы остаться на орбите. У тела, выброшенного с Земли, есть первое и нет второго:

Почему тело должно быть перенесено, а не выброшено. Вращение сообщает телу скорость $\omega r$, которая растёт наружу, тогда как орбите нужна $\sqrt{GM/r}$, которая падает; они встречаются только на радиусе коротации. Тело, отделённое ниже линии, падает обратно, какой бы направленный наружу толчок оно ни получило, потому что толчок наружу добавляет высоту, но не боковую скорость орбиты. Таблица прослеживает такие тела на 5.5-часовой Земле. «Наивысшая точка» и «наинизшая точка» — наибольшее и наименьшее расстояния орбиты от центра Земли; наинизшая точка ниже радиуса Земли означает, что тело возвращается на Землю:

Первые три строки начинаются с 8,991 km — вершины тела, сидящего низко на Земле: каким бы ни был толчок наружу, даже 7 km/s, орбита всё равно опускается примерно до 900 km от центра, глубоко внутрь Земли. Толчок поднимает наивысшую точку, но почти не сдвигает наинизшую, потому что не даёт боковой скорости. Только две последние строки, отделённые близко к линии на 15,800 km (линия лежит на 15,818 km для 5.5-часовых суток), минуют Землю, и там достаточно малого толчка. На самой линии он вовсе не нужен.

Именно прикреплённый подъём даёт телу боковую скорость орбиты. Груша не отстаёт от вращения, пока растёт: вещество, переносимое наружу, должно приобретать момент импульса, и груша его сообщает, но при темпах питания из части A сдвиговое напряжение, которого это требует от узкой верхней части груши, порядка 0.03 Pa — пренебрежимо мало для расплавленного вязкого соединения, — так что отставание — это не разрыв, а наклон: внешняя часть груши, уносимая от оси, отстаёт от вращения Земли, и вся груша отклоняется назад, к западу, с Луной на кончике (§B.1). Момент импульса, которого Луне ещё недостаёт, доходит до неё через контакт. На линии тело несёт скорость круговой орбиты; отделённое примерно в 210 km за ней, оно несёт чуть больше и уходит по почти круговой орбите, перигеем которой является точка отделения (§C.5a; Paper 4). Гравитация удерживает его на этой орбите, а прилив, поднятый на быстрее вращающейся Земле, увлекает его вперёд и наружу в течение следующих миллионов лет.

C.9Чего требует груша

Груша — большая структура, и модель должна учесть, чего она стоит. Этот раздел собирает её требования; каждое — это условие, которое механизм накладывает сам на себя.

• Масса. При ширинах из §C.7 и плотности 3,000 kg/m³, от поверхности Земли до контакта, груша содержит около 11% массы Земли, около девяти лунных масс — основание 9,000 km из §C.7; при основаниях 9,000–11,000 km она содержит примерно от девяти до двенадцати. Лёжа целиком внутри линии коротации, она не оставляет на орбите никакого остатка соединения; после отделения сортировка собирает её обратно в Землю за десятки–сотни миллионов лет, и Земля снова становится круглой: тяжёлая часть груши — глубоко в Землю под её основанием (часть E), её передняя и задняя стороны — в полосы и дуги Тихого океана (Paper 9; §C.7).

• Энергия. Подъём этой груши во вращающемся поле стоит около $8\times10^{30}$ J — более чем в пять раз (примерно в 5.4 раза) больше подъёма самой Луны (в более ранней версии говорилось примерно в шесть раз) (§A.12). Эволюция, которая её высвобождает, — опускание железа в ядро, освобождающее порядка $10^{31}$ J, — та же, что движет подъёмом вещества; полный баланс является требованием (§D.1). Опускаясь, железо отдаёт гравитационную энергию, которой по порядку величины достаточно, чтобы поднять грушу.

• Момент импульса и тепло. Удлиняющаяся груша замедляет вращение Земли, а централизующееся ядро ускоряет его; Paper 2 (§A.4) учитывает и то и другое. Возвращающаяся груша высвобождает свою потенциальную энергию в виде тепла, которое входит в тепловую историю родительского тела.

• Давление. Источник должен поднимать и удерживать грушу, а также тело; проверку давления из §A.9–A.13 следует повторить с массой груши.

• Сплющивание родительского тела. Проверка давления использует сферическое поле. Сплющенное родительское тело ($J_2\simeq0.036$) увеличивает притяжение внутрь примерно на 3% на расстоянии 9,000 km от центра на экваторе и на 1.4% на 25°N, и на 5.4% на самой экваториальной поверхности, где столб покидает родительское тело (в более ранней версии говорилось «не более 3% вблизи поверхности»); вдоль внешнего столба стоимость растёт примерно на 3%, и даже если бы вся стоимость подъёма выросла на 3%, примерно на 4 GPa, запас в 10.49 GPa покрыл бы это. Линия коротации на экваторе смещается наружу примерно на 50 km. ($J_2$ — стандартная мера экваториального вздутия планеты в её гравитационном поле; значение здесь — для вращающегося родительского тела.)

• Сама форма. Приведённые выше ширины и массы получены для круглых поперечных сечений однородной плотности, без течения; фигура равновесия вращающейся Земли с внутренним давлением и телом на кончике — это расчёт, который ещё предстоит.

C.9aНикакого кольца вокруг молодой Земли

Быстро вращающаяся, богатая летучими молодая планета, выпускающая пар через свои трещины, может окружить себя кольцом: пар поднимается, выше конденсируется в лёд и пыль и обращается вокруг планеты с орбитальной скоростью. Вокруг молодой Земли этой модели такое кольцо сформироваться не могло — по четырём причинам.

1. Груша вымела это место. Груша вращалась вместе с Землёй раз в сутки, вплоть до линии коротации. Внутри линии вещество кольца обращалось бы быстрее, чем вращалась груша; оно догоняло бы грушу и ударялось о неё. Всё, что конденсировалось в полосе груши, собиралось на неё и становилось веществом тела на её кончике.

2. У летучих была дорога. Широкое горячее соединение несло богатый летучими расплав вверх, в тело (часть A). То, что выпускающая пар планета теряет в космос, Земля направляла в Луну.

3. Слишком горячо, слишком близко к Солнцу. Молодая Земля была горячей и окутанной атмосферой из паров горных пород (Paper 6, §J.3); на высотах, где стояло бы кольцо, вода не конденсировалась в лёд.

4. Луна расчищает остальное. После отделения Луна, массивная и находящаяся примерно в 7,200 km за жёстким пределом Роша (§C.5a), удалила бы любой остаток своими приливами и резонансами.

Луна несёт запись этого отсутствия. Тело, проходящее через кольцо, истирается: его впадины становятся мелкими, края скругляются, малые кратеры стираются, а само тело уменьшается — гладкий Деймос служит одним из примеров такой поверхности. Лунные материки сохраняют насыщенную летопись кратеров, и Луна сохранила свою массу: она никогда не проходила через кольцо (Paper 6, §L.8).

C.10 Из чего состоит тело: три слоя из одной груши

Груша не только несёт тело; она определяет, из чего тело состоит. Этот раздел прослеживает каждый из трёх слоёв Луны — кору, мантию и ядро — назад, к тому месту груши, откуда он пришёл.

Груша сортирует то, что несёт. Над областью построения внешний слой родительского тела сиалический — лёгкий и богатый кремнием и алюминием — и лежит на более плотной, богатой магнием симе под ним. Сиаль не был сухим: граница между двумя слоями была смазана, и по мере вытягивания груши сиаль скользил вверх по груше поверх симы, вдоль её склонов, к кончику — в направлении сортировки наружу, движимой силами вращения, — а смазанная граница облегчала скольжение при сдвиге. Когда кончик был отделён, сиаль ушёл вместе с ним и стал его кожей — над верхним куполом как оболочка, а над кольцом нижнего купола как сиаль, на котором сидело тело, отслоённый вместе с ним (§C.4a); лишь на контакте он был расплавлен теплом. Дальняя сторона несёт толстую кору, потому что там собрались многие слои уплотнённого сиаля вместе с веществом, которое возвращалось снова и снова (§B.7). Часть сиаля не осталась на поверхности; она вошла в недра Луны.

Под кожей тело — это питание: собственная мантия Земли, поднятая давлением и перенесённая вдоль груши. Весь металл Луны — земной. В грушу вошло много железа, и меньше — по направлению к её кончику. Вдоль всей груши, лежащей внутри линии коротации, эффективная гравитация направлена к Земле, так что тяжёлое вещество опускалось обратно по груше, тогда как лёгкое поднималось к кончику, — а давление вообще поднимает только вещество легче примерно 3,864 kg/m$^3$ (§A.10). Груша работала как отстойная колонна: тяжёлые зёрна опускаются, а лёгкие поднимаются, как песок оседает под водой во встряхнутой банке. Поэтому большая часть железа, вошедшего в грушу, вернулась на Землю вместе с остальной грушей после отделения; Луна сохранила лишь то, что достигло кончика. При отрыве тяжёлое вещество ядра находилось в последней трети тела; оно не пересекло линию коротации и ушло обратно вниз по груше. Именно поэтому ядро Луны мало: это земное железо, достигшее кончика, тогда как бо́льшая часть вещества ядра в груше вернулась на Землю. Поток, проходивший вдоль груши, переносил тепло и богатое железом вещество в тело через Mare Imbrium и Mare Serenitatis — Serenitatis до его отслоения, Imbrium до отрыва, — отверстия, соединявшие питание из недр Земли с внутренностью Луны (§B.4).

Таблица ставит каждый слой модели рядом с тем, что измерено на Луне:

Каждая строка совпадает: богатая алюминием кора — из богатого алюминием слоя, мантия с земными изотопами кислорода — из мантии Земли, а малое ядро — потому что бо́льшая часть железа вернулась вниз по груше.

Баланс это допускает. Сиаль толщиной 30 km над областью размером с Тихоокеанский бассейн содержит около $1.4\times10^{22}$ kg при плотности оболочки 2,800 kg/m$^3$ (в более ранней версии было $1.3\times10^{22}$), примерно в четыре раза больше лунной коры; до десятой части массы Луны в виде сиаля, перенесённого внутрь, понизило бы её среднюю плотность примерно на 65 kg/m$^3$ и повысило бы содержание алюминия примерно на 1.5 процента, в пределах неопределённости современных моделей. Отсюда следует одна проверка. Анортозит коры беден калием и торием, тогда как земной сиаль ими богат; кора, сделанная из земного сиаля, должна была потерять их при плавлении и очищении кожи, и состав наиболее примитивных лунных анортозитов — то место, где это следует проверить.

C.11 После отделения: Земля продолжает выбрасывать

Отделение не прекратило активность Земли. Её отверстия продолжали выбрасывать вещество; большая его часть падала обратно на Землю, а часть достигала Луны — тогда уже отдельного тела, удалявшегося с расстояния в несколько земных радиусов. Чтобы достичь Луны, вещество должно было покидать Землю тем быстрее, чем дальше уходила Луна. Всё оно было очень горячим: крупные куски вышли первыми, а по мере того как магматическая буря утихала, выбрасывались малые, ещё горячие куски, так что куски, достигавшие Луны, со временем становились меньше. Луна сохранила эту запись в трёх измерениях:

Первая строка — прямое измерение, выделенное зелёным: на одних лишь материках, при исключении всех морей с обеих сторон, чтобы сравнение было равноценным, ближняя сторона несёт в 1.19 раза больше свежих кратеров 1–2 km, чем дальняя. Вторая и третья строки читают ту же историю в морях: днища застывали по порядку, а кратеры на них меняются от крупных и оплавленных до малых и резких.

Ближняя сторона, обращённая к Земле, рано утратила свои старые кратеры — из-за тепла контакта и собственных морей — и собрала больше последних. Последним, кто рассеивал кратеры на Луне, была Земля. Эта запись завершает рассказ о соединении: отделённое тело было отрезано не от спокойного родительского тела, а от Земли, отверстия которой были ещё активны и активность которой угасала по мере удаления Луны. Поток тел извне, как литература трактует малые кратеры, не предсказывает никакого избытка на ближней стороне, лишь небольшой — на ведущей стороне.

Части A–C построили механизм: часть A оценила питание изнутри, часть B проследила оболочку, поднимавшуюся снаружи, а часть C соединила их через грушу и её отделение. Эта часть превращает те же результаты в проверки. Причина собрать их в одном месте проста: модель всегда может найти черты, похожие на неё, а подсчёт таких совпадений по одному доказывает мало. Решает то, можно ли каждое требование сформулировать числом или геометрией и существует ли измерение или расчёт, который его проверяет. Поэтому каждая строка таблицы ниже даёт утверждение, стоящее за ним количественное требование и проверку, которая его проверяет.

D.1Проверки механизма

Таблица читается построчно. Первые шесть строк — требования к самому механизму (давление, темп, энергия, устойчивость, охлаждение, отделение); следующие четыре — предсказания о поверхности и коре Луны, вытекающие из правила долей части B; последние три касаются точки отделения и судьбы груши.

Как читать строки. Первая строка — это баланс давления части A в одной строке: давление источника $p_s$ должно превышать сумму гидростатического напора $p_{\mathrm{head}}$ (веса столба вещества, который нужно поднять, от источника до линии коротации), нагрузки $p_{\mathrm{load}}$ тела, стоящего на соединении, и потерь $\Delta p_{\mathrm{loss}}$ на вязкое течение вдоль пути. Часть A находит этот остаток положительным для любого глубинного расплава легче примерно 3,864 kg/m³. Вторая строка спрашивает, достаточно ли быстро питание: результирующий поток, просуммированный по времени, должен доставить внутреннюю массу $M_{\mathrm{int}}$ за доступное время. В сценарии это время составляет около 600 миллионов лет от начала вздутия до отделения на 3.873 Ga — примерно 400 Myr на вздутие и грушу, около 100 Myr на сплющивание и ещё около 100 Myr до отделения, — причём 100 миллионов лет сохраняются как случай проверки чувствительности (часть A). Проверка — это поток во всём допустимом диапазоне вязкости и апертуры: он должен быть достаточно быстрым, а проход должен оставаться открытым, пока тело не будет завершено.

Строки с третьей по шестую спрашивают, есть ли энергия, устойчиво ли прикреплённое тело в трёх измерениях, может ли его внешность затвердевать, пока основание остаётся подвижным, и несёт ли соединение нагрузку до нужного момента, а затем уступает. Каждая проверяется расчётом во всей допустимой области: энергия, которую высвобождает эволюционирующая Земля, тело, которое сохраняет целостность, пока собирается его масса, охлаждение и подвижность, перекрывающиеся во времени, и соединение, которое не разрушается слишком рано (тело упало бы обратно или распалось) и не держится вечно. Седьмая строка фиксирует порядок событий: тело сначала скругляется наружу, затем сплющивается, затем скругляется внутрь, и эта последовательность далеко продвинулась до отрыва. Это проверяется одной моделью хронологии, общей для питания, охлаждения и разрушения соединения.

Следующие четыре строки — предсказания, записанные на самой Луне. Правило долей гласит, что, когда сплюснутое тело скруглялось наружу, каждая часть его поверхности сохраняла свою долю целого: контакт стал шапкой на ближней стороне размером около $31^\circ$ вокруг центра контакта, отслоённое кольцо — поясом до $70^\circ$, а верхний купол — остальным, дальней стороной. Оно проверяется построением классов бассейнов и толщины коры в зависимости от углового расстояния от центра контакта, 24.1°N 335.2°E (Paper 11). Перенесённая летопись гласит, что кратеры, образовавшиеся на открытой оболочке, перемещались вместе с ней и сохраняли свой размер, а полюса собирали их во время скругления внутрь: самая старая популяция кратеров должна быть наиболее плотной на дальней стороне, менее плотной в поясе и наименее плотной в шапке, без различия масштаба между дальней и ближней сторонами. Это проверяется статистикой кратеров по зонам и проверками размеров (Paper 7, §D.5). Слоистая кора дальней стороны означает, что дальняя сторона строилась слой за слоем, причём более поздние слои легче и богаче флюидами, так что содержание железа растёт с глубиной, на дальней стороне сильнее, чем на ближней. Центральные горки кратеров выносят вещество с известной глубины, поэтому их состав в зависимости от глубины происхождения измеряет этот профиль.

Последние три строки касаются отделения и того, что за ним последовало. Отделение на линии: Луна начинает отделяться, когда её центр масс достигает линии коротации, и отделяется примерно в 210 km за ней ($\Delta r\simeq2d_0$, контакт толщиной около 105 km; поиск расстояния отделения из §C.5a); контакт сопротивляется лишь немного, и тело вытягивается наружу с силой — это вытягивание подняло гребни-лопатки. Именно такого отделения требует орбита из Papers 2 и 4. Груша наклонена к северу: основание стояло около 1.9°N, тогда как кончик достигал примерно 22.5°N. Одно лишь вращение толкает вещество к экватору, поэтому наклон к северу должен происходить от питания, которое поднималось наклонно из глубинного источника к северу от экватора; это проверяется по геометрии глубинного источника и пути питания и по положению основания (часть E). Груша собирается обратно целиком: поскольку груша лежала целиком внутри линии коротации, где гравитация Земли перевешивает направленное наружу действие вращения, ничто из неё не могло остаться на орбите. Она — часть Земли, и после отделения сортировка собрала её обратно в Землю за десятки–сотни миллионов лет (часть E).

Единичный пример плотности говорит за этот пример, а не за каждый сценарий связного питания; и прохождение одной проверки давления само по себе не решает вопросов устойчивости, энергии или соединения. Один набор параметров должен удовлетворять всем требованиям. Такова мерка, которую статья ставит себе: тринадцать строк — это не тринадцать независимых голосов в пользу модели, а тринадцать условий, которым должны одновременно удовлетворять одна и та же Земля, одно и то же питание и одно и то же тело.

D.2 Результаты, которые можно искать на Луне

Вопрос этого раздела — на какие черты сегодняшней Луны механизм влияет непосредственно и насколько каждую из них можно использовать как проверку.

Если одна сторона получала более продолжительное питание и нагрев, а противоположная остыла раньше, ожидается тепловая и структурная асимметрия. В модели ближняя сторона сидела на контакте, над питанием, и дольше оставалась горячей, тогда как дальняя сторона была верхним куполом, открытым и остывающим. Её знак и сила зависят также от внешнего вещества, от перемешивания и от последующей эволюции. Данные GRAIL — пары космических аппаратов, детально картировавших гравитационное поле Луны, — дают ограничения на плотность и толщину коры [4]; полное сопоставление наблюдений с требованиями модели относится к Paper 11.

Смещение центра масс зависит от полного распределения плотности. Центр масс Луны не обязан совпадать с центром её внешней фигуры; расстояние между ними даётся выражением $$\Delta\mathbf r_{\mathrm{CM}}= \frac{1}{m}\int_V\delta\rho(\mathbf r)\,\mathbf r\,dV. \tag{24}$$ Здесь $m$ — масса Луны, $V$ — её объём, $\mathbf r$ — положение малого объёма $dV$, отсчитываемое от центра фигуры, а $\delta\rho(\mathbf r)$ — отклонение плотности в этой точке от средней. Словами: каждое место, более плотное, чем в среднем, притягивает центр масс к себе, каждое место легче среднего отталкивает его, причём каждое взвешено своим расстоянием от центра.

Поэтому его нельзя вывести из одной лишь толщины шапки, не выбрав контраст плотности и компенсацию. Толстая кора на одной стороне смещает центр масс от этой стороны лишь настолько, насколько кора легче того, что лежит под ней, и лишь в той мере, в какой более глубокие слои не подстроились, чтобы её уравновесить (компенсация). Присутствие металлического компонента в Луне, исследованное сейсмологически [5], также требует в модели соответствующего механизма переноса и разделения; оно не доказывает, что металл пришёл именно через сосредоточенную область питания к северу от экватора, предложенную в части A.

Различающее наблюдательное предсказание должно быть определённым сочетанием направления, геометрии, состава и возраста. Число, полученное подгонкой к наблюдению, не является независимым его предсказанием: если параметр был выбран так, чтобы модель воспроизводила измеренное значение, это согласие нельзя затем засчитывать как успех. Летопись кратеров, перенесённая на куполе, изложена в §B.6 и проверяется в Papers 11 и 6.

D.3 Новизна и границы вывода

Работа рассматривает внутреннее построение прикреплённого тела через единую систему требований давления, темпа, массы и напряжений в рамках вращательной схемы LEF. Частный результат части A состоит в том, что расширение прохода облегчает радиальную поддержку и течение, но увеличивает массу соединения и не устраняет боковую нагрузку. Через более широкую трубу легче проталкивать вещество, и она легче удерживает свой столб, но чем она шире, тем больше она весит, а боковое действие вращающейся системы на неё сохраняется. Частный результат части B состоит в том, что тело лунной массы, сидящее на контакте в 6,000 km, с верхним куполом примерно в 3,650 km над краем, заключает объём $5.65\times10^{19}$ m³ — вдвое больше $2.83\times10^{19}$ m³ сферы при отделении — и потому имеет вспененную плотность, которой требует часть A, 1,300 kg/m³ — низкую плотность расплава, наполненного пузырьками газа, — а кора дальней стороны и зоны обнажения следуют из той же геометрии: дальняя сторона построена слой за слоем, ближняя отслоена. Часть C соединяет их: широкий контакт, которого требует часть A, — это основание купола части B, и на линии коротации тело начинает отделяться, чтобы отделиться примерно в 210 km за ней.

Уравнения гравитации, давления и течения — стандартная физика. Архитектура LEF и применение совместной проверки — вклад этой работы. Здесь не заявляется исторический приоритет для каждого компонента модели без специального обзора литературы; карта источников и классификация приведены в приложении A.

Статья завершается анализом осуществимости, одним чётким отрицательным результатом — безмассовый цилиндрический проход, передающий одно лишь давление, не может построить Луну — и одним геометрическим результатом, который на него отвечает: широкое, горячее, массивное соединение, которого требует отрицательный результат, — это широкий кончик груши, часть Земли, удерживаемая гравитацией Земли, несущая тело лунной массы при вспененной плотности. Отрицательный результат закрывает простейшую картину — тонкую трубу, через которую одно лишь давление выталкивает Луну; геометрический результат показывает, что соединение, которого действительно требует физика, — не дополнительное допущение, а форма, которую принимает сама Земля. Глубинное уравнение состояния, высвобождение энергии и трёхмерная структура — три требования, которые она передаёт дальше, каждое изложено вместе со своей проверкой в §D.1.

D.4 Выводы

Выводы следуют порядку статьи: система проверок (1), давление (2), проход (3), охлаждение (4), боковая нагрузка (5), груша и отделение (6), тело на кончике (7), а также кора и передаваемые требования (8).

1. Внутреннее питание прикреплённого тела можно сформулировать через балансы массы, давления, импульса и энергии. Статья определяет количественную систему проверок для механизма.

2. В заданной сферической проверке давления глубинная плотность 3,500 kg/m³ оставляет 10.49 GPa до учёта нагрузки и потерь; 4,000 kg/m³ не проходит. Нулевой порог составляет около 3,864 kg/m³ при оговорённых допущениях: глубинный расплав легче этого может быть поднят давлением источника до линии коротации, более тяжёлый — нет.

3. В совместной проверке неэкваториального состояния радиус прохода около 1,000 km является порогом радиального баланса для выбранных входных данных. Уже на этом пороге масса внешнего сегмента составляет около 0.46 лунной массы, так что ею нельзя пренебречь в балансе системы: проход, достаточно широкий, чтобы нести питание, сам весит почти половину Луны.

4. Тепловой градиент даёт основу для рассмотрения того, как внешняя часть может упрочняться, пока внутренняя остаётся подвижной. Окончательная толщина и сохранение структур требуют связанного теплового и реологического решения.

5. Проверка боковых напряжений исключает поддержку одним лишь давлением через радиальное сечение в выбранном состоянии. Неэкваториальный расчёт задаёт требования к соединению порядка $10^{22}$ ньютонов в проверенных примерах. Нулевая радиальная составляющая не устраняет полную нагрузку и сама по себе не определяет отрыв.

6. Скругление, давление и вращение совместно участвуют в разделении от широкого соединения; вздутие вытягивается в грушу, часть Земли, кончик которой становится телом; тело начинает отделяться, когда его центр масс достигает линии коротации — около 16,400 km на экваторе, 17,287 km на 22.5°, — и отделяется примерно в 210 km за ней при содействии внутреннего давления (§C.7–C.8). Груша поднимает Луну радиально и, поскольку Луна прикреплена, сообщает ей боковую скорость орбиты. После отделения сортировка собирает грушу обратно в Землю целиком за десятки–сотни миллионов лет: её тяжёлая часть погружается глубоко в Землю под основанием груши, её передняя сторона собирается в полосы северной части Тихого океана, а её задняя часть — в дуги западной части Тихого океана (Paper 9, The Stripes; часть E). Масса не покидает Землю; она перемещается с высоты снаружи в глубину внутри.

7. Тело сидит на широком кончике груши — сплюснутое тело над контактом в 6,000 km, верхний купол которого стоит на высоте около 3,650 km при вспененной плотности 1,300 kg/m³. Оно скругляется наружу, причём каждая часть сохраняет свою долю поверхности: контакт становится шапкой на ближней стороне размером около $31^\circ$, отслоённое кольцо — поясом до $70^\circ$, верхний купол — дальней стороной. Затем оно сплющивается и скругляется внутрь.

8. Кора дальней стороны — это земной сиаль, лёгкая внешняя оболочка, богатая кремнезёмом и алюминием, — и вещество, возвращавшееся снова и снова, многие слои уплотнённого сиаля, малая доля лунной массы, а кора ближней стороны — это сиаль нижнего купола, отслоённый вместе с телом, сглаженный теплом над контактом и наиболее тонкий под морями, отверстиями; остальные 94–96% — это глубинное вещество части A (оценка из более ранней картины оболочки, подлежащая пересчёту). Последовательность обнажения записана на Луне в виде трёх концентрических зон; кратеры сохраняют свой размер, и полюса собирают их; кора дальней стороны становится с глубиной плотнее и богаче железом — предсказания, переданные в Papers 11, 6 и 7 вместе с их проверками. Время разрушения, трёхмерная устойчивость, глубинное уравнение состояния и энергетический баланс — четыре требования, которые механизм накладывает сам на себя; каждое изложено в §D.1 вместе со своей проверкой.

Что мы теперь имеем, — это механизм, сформулированный как набор условий, каждое со своей проверкой. Часть E прослеживает ту единственную часть системы, которая не ушла: грушу.

Луна ушла; груша осталась. Лёжа целиком внутри линии коротации, она не могла последовать за Луной на орбиту. Груша не ушла вместе с Луной; после отделения сортировка собрала её обратно в ту половину Земли, которая её несла, за десятки–сотни миллионов лет. Её масса не покинула Землю; она переместилась с высоты снаружи в глубину внутри. Столь большая масса — от девяти до двенадцати лунных масс собственного вещества Земли, богатого железом на глубине, — была собрана в область под Тихим океаном, где стояла груша. Эта часть фиксирует, где лежит основание груши относительно того, что сейсмические изображения показывают сегодня на дне этой области, и что груша сделала с недрами Земли, пока стояла. Природа глубинных провинций остаётся открытой.

E.1Две провинции в основании мантии

Глубинную Землю изображают методом сейсмической томографии. Землетрясения посылают волны через всю планету; записанные на тысячах станций, их времена пробега показывают, где волны двигались быстрее или медленнее среднего, подобно тому как медицинская компьютерная томография строит изображение тела по многим рентгеновским путям. Поперечные волны (S-волны), которые сотрясают вещество вбок, особенно чувствительны к температуре и составу: они замедляются там, где вещество горячее, мягче или иного состава.

Сейсмические изображения обнаруживают в основании мантии Земли две провинции размером с континент с низкой скоростью поперечных волн, одну под Африкой и одну под Тихим океаном, каждая протяжённостью в тысячи километров по горизонтали и высотой до примерно 1,000 km над границей ядра и мантии [11]. Это крупные провинции низких скоростей (LLVPs): большие области самой нижней мантии, прямо над ядром, где поперечные волны распространяются медленно. Большинство наблюдений свидетельствует в пользу термохимической природы — вещества, отличающегося от окружающей мантии по составу, а не только по температуре, — и обе провинции стоят под плюмами и горячими точками расположенных над ними плит: они давят на верхнюю мантию сегодня. Плюм — это столб горячего вещества, поднимающийся из глубины мантии; там, где он достигает поверхности, он питает горячую точку, такую как вулканы Гавайев.

Они не одинаковы. Африканская провинция поднимается выше тихоокеанской, тихоокеанская ниже и шире, а у её края под Гавайями лежит богатое железом вещество сверхнизких скоростей. Зоны сверхнизких скоростей (ULVZs) — это тонкие участки на границе ядра и мантии, в которых сейсмические волны замедляются гораздо сильнее, чем в самих провинциях; высокое содержание железа — одна из предложенных для них интерпретаций.

Природа провинций всё ещё обсуждается. Они могут, например, быть веществом, связанным с ядром, которое не завершило сортировку, или веществом, которое всё ещё очень медленно сортируется. Эта статья не предлагает их интерпретации; она использует их лишь как карту области под Тихим океаном, где стояла груша.

E.2 Где стояла груша

Груша стояла над областью под Тихим океаном. После отделения сортировка собрала её обратно в Землю: её тяжёлая часть — около девяти лунных масс симы, несущей бо́льшую часть железа, поднявшегося в неё (§C.10), — погрузилась глубоко в Землю под основанием груши; её передняя сторона была собрана в полосы северной части Тихого океана, а её задняя часть — в дуги западной части Тихого океана (Paper 9, The Stripes). Сима — более плотное вещество, богатое кремнезёмом и магнием, лежащее под лёгким сиалем; железо, которое она несла, делало её ещё плотнее. Связана ли с грушей какая-либо часть глубинной структуры, видимой сегодня под Тихим океаном, здесь не рассматривается: статья фиксирует лишь, где лежит основание груши относительно этой структуры (§E.4).

E.3Другие интерпретации провинций

Недавно провинции были предложены как остатки мантии Тейи — тела, удар которого, согласно принятому объяснению, образовал Луну: её богатая железом мантия якобы опустилась к основанию мантии Земли и сохранилась там [12]. Автор этого предложения отметил, что иное происхождение Луны, без Тейи, потребовало бы пересмотреть происхождение провинций. Эдвардс [14] связал Луну с провинциями с другой стороны — через взрыв над прото-Тихоокеанской провинцией, выбросивший её вещество на орбиту. Настоящая статья не предлагает собственной интерпретации. Она лишь отмечает, что в этой модели груша была собственным веществом Земли и ничего чужеродного в мантию Земли не вошло.

E.4Положение основания

Одно измерение связывает грушу с глубинной Землёй: положение её основания.

• Положение — измерено. Модель помещает основание груши около Kiritimati (примерно 1.9°N, 157.5°W, §B.1). Эта точка лежит над Тихоокеанской провинцией, внутри её границы в опубликованных моделях самой нижней мантии, во всех проверенных моделях (таблица и рисунок 14): все пять томографических моделей кластерного анализа Cottaar & Lekic [17] голосуют за то, что точка медленная, и она лежит глубоко внутри контура $-1\%$ как SMEAN [18], так и SMEAN2 [19] на глубине 2,800 km, более чем в 1,200 km от ближайшего края. Основание стоит над северной частью провинции, примерно в 1,500 km к северу от её центра; крупная зона сверхнизких скоростей около Гавайев [20] лежит примерно в 1,100 km от точки, если измерять на границе ядра и мантии.

Три меры, используемые в проверке, требуют пояснения каждая. Разные исследовательские группы строят разные томографические модели по разным данным и методам, и они согласуются не во всех деталях. Карты голосования превращают это расхождение в подсчёт: Cottaar & Lekic [17] отнесли каждую точку самой нижней мантии в каждой из пяти моделей к медленным, нейтральным или быстрым, и голос — это число моделей, называющих точку медленной; пять из пяти означает, что каждая модель помещает её внутрь медленной провинции. SMEAN и SMEAN2 — это усреднения нескольких моделей поперечных волн; $\delta V_S$ — отклонение скорости поперечных волн от средней на этой глубине, так что $-2.25\%$ означает, что волны там распространяются на 2.25% медленнее среднего. Контур $-1\%$ — обычный контур провинции, и точка глубоко внутри него, с краем на расстоянии более тысячи километров, — не пограничный случай.

Долгота 202.5°E в таблице — то же, что 157.5°W, записанная в шкале, идущей на восток от 0 до 360°. Основание — восточный конец следа груши. Более ранняя интерпретация области источника с центром около 25°N, 165°E — это задняя часть груши, которая наклонялась к западу и к северу (§B.1). Paper 9 (The Stripes) помещает отпечаток кончика между двумя изгибами полос северной части Тихого океана, шириной 3,360 km и с центром в 9.3°N, 169.3°E, примерно в 3,760 km к западу от основания (в более ранней версии было 3,770 km), а заднюю часть груши — в дугах западной части Тихого океана. Этот раздел касается основания, под которым погрузилась тяжёлая часть.

Зелёные строки — три меры, помещающие точку внутрь провинции; две последние строки определяют её положение в пределах провинции. Точка лежит в северной части провинции, в 1,476–1,657 km к северо-северо- востоку от её центра, который три модели согласованно помещают к югу от экватора. Гавайская ULVZ находится на расстоянии 2,050 km на поверхности, но лишь 1,120 km на границе ядра и мантии: один и тот же угол между двумя точками охватывает меньшее расстояние на границе ядра и мантии, радиус которой составляет лишь около половины земного.

Рисунок 14 показывает измерение на самих картах: точка около Kiritimati попадает внутрь штрихового контура $-1\%$ обеих усреднённых моделей и на самый тёмный оттенок карты голосования, где согласны все пять моделей.

• Изотопы в базальтах плюмов. В этой модели груша была собственным веществом Земли, и ничего чужеродного в мантию не вошло; поэтому ожидается, что плюмы, поднимающиеся из любой из провинций, несут собственную изотопную подпись Земли, без компонента, чуждого Земле. Изотопы — это разновидности элемента, немного различающиеся по массе; их отношения различаются от тела к телу в Солнечной системе и поэтому служат отпечатком происхождения.

E.5Ядро Земли во время груши

Груша также действовала на Землю, пока стояла. Вопрос этого раздела — что столь большая прикреплённая масса сделала с глубокими недрами Земли и могла ли сохраниться запись об этом.

На той ранней стадии у Земли почти не было ядра. Это была формирующаяся Земля: её слои ещё не определились, появились лишь первые признаки расслоения, а в её центре лежало широкое предъядро — вещество, которому позднее предстояло стать ядром, ещё не отделённое от того, что лежало вокруг. Когда это тело вращалось и начало вытягивать грушу, широкое предъядро приняло ту же форму: протяжённая внутренняя груша, тянущаяся к внешней.

Пока груша стояла, от семи до двенадцати лунных масс собственного вещества Земли стояли на одной стороне Земли, между её поверхностью и расстоянием около 15,400 km от её центра (в более ранней версии было 16,000 km) (§C.7 даёт 8.8–12.1 лунной массы при отделении для оснований 9,000–11,000 km). Их гравитация достигает центра. Предъядро плотнее окружающего вещества, и в поле, действующем на все недра, оно притягивается к груше, как груз в жидкости, пока его не удержит действие вытесняемого им вещества. Поскольку груша — часть Земли, а не отдельное тело, Земля в целом к ней не движется; её поле действует на недра как постоянное поле.

Таблица даёт поля в центре Земли в начале груши и при отделении, для самого узкого и самого широкого основания. Результирующее поле — это притяжение груши плюс малое притяжение Луны минус центробежный член: Земля, груша и Луна вращаются вместе вокруг общего центра масс, который лежит в стороне от центра Земли, ближе к груше, и это вращение сообщает центру Земли ускорение, направленное от этой стороны. Цвет сгущается вниз по таблице по мере того, как груша растёт, а вместе с ней растёт и её притяжение.

Смещение в километрах не приводится и не может быть приведено. Для него потребовались бы определённое ядро, определённая мантия вокруг него и жёсткость между ними, а на той стадии ничего из этого не существовало. Таблица даёт лишь притяжение и его направление. Мы предлагаем, что внутреннее предъядро было вытянуто к груше всё то время, пока груша стояла, — значительную часть примерно 600 миллионов лет от начала вздутия до отделения на 3.873 Ga. Направление опирается на одно допущение: что дефицит, оставленный в глубинном источнике, заполнялся и распределялся окружающим веществом по мере подъёма питания; дефицит, оставшийся на месте рядом с центром, толкал бы в другую сторону.

После отделения сортировка собрала грушу обратно в Землю, постепенно, за десятки–сотни миллионов лет, и её вещество распределилось по той половине Земли, к которой она была прикреплена. Как нескомпенсированный слой, оно продолжало бы притягивать недра к этой половине — поле такого слоя в центре, $GM/2R^2$, составляет 0.53–0.73 m/s². Здесь $M$ — масса слоя, а $R$ — радиус Земли; выражение — это притяжение в центре сферы тонкого слоя, покрывающего одну половину её поверхности. Но лёгкий слой, положенный на жидкую мантию, не остаётся нескомпенсированным: мантия под ним подстраивается, и дальнее поле скомпенсированной нагрузки мало. Компенсация — это процесс, при котором мантия утекает из-под добавленной поверхностной нагрузки, пока столб под каждой точкой снова не будет весить одинаково, как плот оседает в воде, пока не вытеснит собственный вес; добавленная масса тогда уравновешивается дефицитом под ней, и, если смотреть из центра, они почти взаимно погашаются. Внутреннее предъядро затем релаксирует обратно к центру. Коротко: пока груша стояла, предъядро было вытянуто к ней, а после того как груша была собрана обратно, оно релаксировало.

Проверка формулируется как требование и направление для исследований (Paper 12): полусферическая структура ядра, выровненная со стороной груши, первым кандидатом на которую является асимметрия восток–запад внутреннего ядра. Сейсмические волны, пересекающие твёрдое внутреннее ядро, распространяются с разной скоростью в его восточной и западной половинах; если предъядро было вытянуто к груше, пока ядро формировалось, растущее ядро могло записать эту сторону. Проверка слаба, если внутреннее ядро намного моложе Луны, поскольку более позднее внутреннее ядро не несло бы этой записи.

Что мы теперь имеем, — это полная судьба груши: после отделения сортировка собрала её обратно в Землю, причём её тяжёлая часть погрузилась под её основанием, над областью, глубинные провинции которой видны сегодня и природа которых остаётся открытой; основание лежит внутри Тихоокеанской провинции в каждой рассмотренной модели; пока груша стояла, широкое предъядро было вытянуто к ней, а после того как её собрали обратно, предъядро релаксировало.

Дальнейшая работа — направления для исследований

Части A–C задают входные данные для расчётов, которые ещё предстоит выполнить. Следующий список указывает работы, к которым готовы приступить другие исследовательские группы. Каждый пункт называет расчёт, который эта статья подготавливает, но не выполняет, и раздел, результат которого он заменил бы или проверил.

1. Трёхмерная симуляция связного тела. Начальное состояние — тело лунной массы плотностью 1,300 kg/m³, сидящее на кончике в 6,000 km, на родительском теле с объёмным радиусом 6,517 km, вращающемся за 5.5 часа, питаемое через базовый контакт при давлении источника 150 GPa, — полностью задано. Расчёт методом сглаженных частиц или конечных элементов проверил бы вместе устойчивость купола, последовательность скругления из §C.4 и запас отделения из §C.5. Оба метода разбивают тело на множество малых элементов и шаг за шагом прослеживают силы между ними, чего и требует свободная, меняющаяся форма такого рода.

2. Уравнение состояния глубинного расплава. Питание требует расплава легче 3,864 kg/m³ на всём пути подъёма (§A.10). Эксперименты с водосодержащими и карбонатизированными силикатными жидкостями при 50–150 GPa и молекулярная динамика из первых принципов для тех же составов решают, выполняется ли требование и при каком содержании летучих. Уравнение состояния — это соотношение между давлением, температурой и плотностью вещества; вода и углекислый газ, растворённые в расплаве, понижают его плотность.

3. Высвобождение энергии родительского тела. Подъём стоит порядка $10^{30}$ J (§A.12). Модель тепловой эволюции Земли с опускающимся железом, сжимающейся и остывающей под паровой атмосферой, дала бы темп, с которым эта энергия становится доступной, а значит, и продолжительность питания.

4. Адгезия по Стефану горячего силикатного слоя. Запас отделения $\Delta r\simeq2d_0$ (§C.5) использует ньютоновский слой. Лабораторные и численные работы по разделению двух тел, соединённых частично расплавленным слоем, — кавитация, образование шейки, переход от вязкого разрушения к хрупкому — зафиксировали бы диапазон запаса и время отделения. Адгезия по Стефану — это сопротивление тонкой вязкой плёнки разделению двух поверхностей, которые она соединяет, сила, ощущаемая при разнимании двух пластин с мёдом между ними; ньютоновский слой — это слой, сопротивление которого просто пропорционально скорости его деформации.

5. Слоистая кора дальней стороны. Дальняя сторона была построена слоями всё более рассортированного вещества (§B.7). Состав центральных горок в зависимости от глубины их происхождения, отдельно для дальней и ближней сторон, измерил бы градиент, а модель построения предсказала бы его ступени.

6. Ядро Земли во время груши. Трёхмерная гидростатическая модель молодой, ещё не расслоённой Земли — со стоящей грушей и после того, как её собрали обратно, и с прослеживанием дефицита источника — показала бы, как широкое предъядро вытягивалось к груше (§E.5) и как оно затем релаксировало; полусферическая структура внутреннего ядра — первая запись для сравнения.

7. Кора ближней стороны. Сиаль кольца нижнего купола отслоился вместе с телом; над контактом он был расплавлен, а поверхность сглажена теплом и гравитацией (§C.4a). Тепловая модель контакта даёт глубину этого плавления, а значит, и толщину коры над контактом в сравнении с толщиной в поясе.

8. Классификация морей по зонам обнажения. Отверстия вели себя не одинаково (§B.5). Imbrium не выбрасывало вещество, и Serenitatis тоже, разве что, возможно, слегка выплёскивало. Большинство других отверстий, из 34–36 по оценке автора, выбрасывали вещество: отверстия дальней стороны — рано, пока не запечатались, а отверстия у лимба — в течение долгого времени. Различие между невыбрасывающими контактными морями и выбрасывающими проверяемо по составу, полям вторичных кратеров и толщине коры под каждым бассейном (Paper 11, R8).

Доступность кода

Все численные результаты этой статьи воспроизводятся скриптами пакета воспроизведения LEF (Python 3, numpy, scipy), который выводит значения каждого раздела из входных данных, указанных в тексте. Пакет приложен к этому препринту как дополнительный материал (LEF_code_and_data.zip). Более ранняя версия серии и пакета размещена по адресу doi:10.5281/zenodo.22743615.

Литература

[1] Batchelor, G. K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. Источник уравнений баланса импульса, напряжений в жидкости и вязкого течения; численные оценки и их применение к LEF выведены в этой статье.

[2] Hauri, E. H., Weinreich, T., Saal, A. E., Rutherford, M. C., & Van Orman, J. A. (2011). High Pre-Eruptive Water Contents Preserved in Lunar Melt Inclusions. Science, 333, 213–215. https://doi.org/10.1126/science.1204626.

[3] Goldblatt, C., Robinson, T. D., Zahnle, K. J., & Crisp, D. (2013). Low simulated radiation limit for runaway greenhouse climates. Nature Geoscience, 6, 661–667. https://doi.org/10.1038/ngeo1892.

[4] Wieczorek, M. A., et al. (2013). The Crust of the Moon as Seen by GRAIL. Science, 339, 671–675. https://doi.org/10.1126/science.1231530.

[5] Weber, R. C., Lin, P.-Y., Garnero, E. J., Williams, Q., & Lognonné, P. (2011). Seismic Detection of the Lunar Core. Science, 331, 309–312. https://doi.org/10.1126/science.1199375.

[6] Turcotte, D. L., & Schubert, G. (2002). Geodynamics, second edition. Cambridge University Press. Источник реологической схемы, вязкой релаксации рельефа и адгезии тонкой плёнки (по Стефану), используемых в частях B и C.

[7] Mortimer, N., et al. (2017). Zealandia: Earth’s Hidden Continent. GSA Today, 27(3–4), 27–35. DOI 10.1130/GSATG321A.1. Цитируется как предостережение о том, что Тихоокеанский регион не свободен от континентальной коры.

[8] Poincaré, H. (1885). Sur l’équilibre d’une masse fluide animée d’un mouvement de rotation. Acta Mathematica, 7.

[9] Walter, S. A. (2023). The Poincaré pear and Poincaré–Darwin fission theory in astrophysics, 1885–1901. Philosophia Scientiae, 27(3), 159–187. doi:10.4000/philosophiascientiae.4178.

[10] Cartan, É. (1928). Sur la stabilité ordinaire des ellipsoïdes de Jacobi. In J. C. Fields (Ed.), Proceedings of the International Mathematical Congress, Toronto 1924.

[11] Garnero, E. J., McNamara, A. K., & Shim, S.-H. (2016). Continent-sized anomalous zones with low seismic velocity at the base of Earth’s mantle. Nature Geoscience, 9(7), 481–489.

[12] Yuan, Q., Li, M., Desch, S. J., et al. (2023). Moon-forming impactor as a source of Earth’s basal mantle anomalies. Nature, 623, 95–99.

[13] de Meijer, R. J., Anisichkin, V. F., & van Westrenen, W. (2013). Forming the Moon from terrestrial silicate-rich material. Chemical Geology, 345, 40–49. doi:10.1016/j.chemgeo.2012.12.015.

[14] Edwards, M. R. (2026; online 2025). Explosive lunar fission above a large low-velocity province. Acta Geochimica, 45, 15–29. doi:10.1007/s11631-025-00834-2.

[15] Lock, S. J., & Stewart, S. T. (2017). The structure of terrestrial bodies: Impact heating, corotation limits, and synestias. Journal of Geophysical Research: Planets, 122, 950–982. doi:10.1002/2016JE005239.

[16] Denton, C. A., Asphaug, E., Emsenhuber, A., & Melikyan, R. (2025). Capture of an ancient Charon around Pluto. Nature Geoscience, 18, 37–43. doi:10.1038/s41561-024-01612-0.

Внутренние ссылки в серии LEF — рукописи автора: 1, The Model — изложение модели; 2, LEF Mechanism in Principle — коротация, груша, смещение, баланс момента импульса и пределы Роша; 4, The Orbit — эволюция орбиты после отделения; 5, The Maria; 6, The Craters — возвращающееся вещество и кратеры; 7, The Poles — скругление прикреплённого тела; 8, South Pole–Aitken; 9, The Stripes; 10, Mars; 11, The Requirements — наблюдательные проверки, включая классификацию бассейнов по зонам обнажения. Ссылки на рукописи не являются внешним подтверждением результатов модели.

[17] Cottaar, S., & Lekic, V. (2016). Morphology of seismically slow lower-mantle structures. Geophysical Journal International, 207, 1122–1136. doi:10.1093/gji/ggw324.

[18] Becker, T. W., & Boschi, L. (2002). A comparison of tomographic and geodynamic mantle models. Geochemistry, Geophysics, Geosystems, 3, 1003. doi:10.1029/2001GC000168. (SMEAN.)

[19] Jackson, M. G., Konter, J. G., & Becker, T. W. (2017). Primordial helium entrained by the hottest mantle plumes. Nature, 542, 340–343. doi:10.1038/nature21023. (SMEAN2.)

[20] Cottaar, S., & Romanowicz, B. (2012). An unusually large ULVZ at the base of the mantle near Hawaii. Earth and Planetary Science Letters, 355–356, 213–222; исправленная таблица, 390, 327 (2014).

[21] Hut, P. (1981). Tidal evolution in close binary systems. Astronomy and Astrophysics, 99, 126–140. Источник приливных уравнений с постоянным запаздыванием по времени, используемых в поиске расстояния отделения в §C.5a.

Автор, данные и методы

Zohar Duran, независимый исследователь, Рамла, Израиль. ORCID: 0009-0005-3194-9387.

Статья не представляет нового количественного набора наблюдательных данных; местоположение источника и интерпретация формы, принадлежащие автору, — это геоморфологические гипотезы, метод реконструкции которых здесь не изложен. Оценки давления, течения и охлаждения можно воспроизвести по приведённым здесь входным данным и уравнениям. Связанные состояния в части C основаны на расчётах Paper 2; их полное воспроизведение требует также решения для формы и баланса момента импульса, изложенных там. Наблюдательная литература служит ограничением для проверки модели. Число знаков в результатах не является оценкой физической неопределённости, которая определяется главным образом допущениями о структуре и веществе.

Это приложение распределяет компоненты статьи по их статусу. Некоторые из них — стандартная физика, взятая из учебников; некоторые — предшествующие наблюдения, используемые как ограничения; некоторые — расчёты, выполненные здесь; а некоторые — элементы модели, которые предлагаются и должны быть проверены. Таблица читается построчно: средний столбец даёт класс каждого компонента, а правый — его источник и роль, которую он играет в аргументации. Смысл этого распределения в том, чтобы читатель сразу видел, какие части статьи опираются на установленную физику, а какие являются собственными предложениями модели.

Два термина в таблице могут потребовать пояснения. Решение Пуазейля — стандартный результат для установившегося течения вязкой жидкости по трубе: расход растёт как четвёртая степень радиуса трубы, и именно поэтому ширина прохода так важна в части A. Закон Стефана даёт силу, необходимую, чтобы разнять две поверхности, соединённые тонким вязким слоем; здесь он оценивает, насколько сопротивлялся контакт, — малое сопротивление — при отделении примерно в 210 km ($\simeq2d_0$) за линией коротации (§C.5).

Это приложение указывает константы, используемые на протяжении всей статьи, и то, что можно и чего нельзя воспроизвести по одной лишь этой статье.

Во всех численных расчётах здесь: $G=6.674\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$, год = 365.25 суток и сутки = 86,400 секунд. $G$ — гравитационная постоянная, задающая силу гравитации между двумя массами. В таблицах течения вязкость, плотности сегментов, ширина прохода, продолжительность питания и внутренняя доля — это тестовые входные данные: они выбраны для исследования диапазона задачи, а не являются измеренными значениями для древней Земли. Значения $k$, $L_f$ и $\Delta T$ в уравнении охлаждения — численные допущения для оценки; проверенный диапазон для древнего вещества для них не приводится. Здесь $k$ — теплопроводность, $L_f$ — скрытая теплота, выделяющаяся при затвердевании расплава, а $\Delta T$ — разность температур, движущая охлаждение.

Таблицы в части D следуют из состояний сохранения момента импульса и формы из Paper 2. Если заданы массы, расстояние, период и широта, сила и напряжения воспроизводятся из уравнений (19)–(20), а совместная проверка — из уравнений (25)–(29). Доказательство самого периода вращения требует решения для формы и баланса момента импульса из Paper 2; оно не следует из уравнений давления Paper 3. Иными словами, эта статья принимает 5.77-часовые сутки и расстояние отделения из Paper 2 как данные, и всё, что она из них вычисляет, можно проверить здесь; сами сутки проверяются в Paper 2.

Большое число знаков в таблице нельзя переводить в малую неопределённость модели. Неопределённость плотности, границ течения, формы соединения и структуры тела значительнее ошибки округления. Значение вроде 10.49 GPa печатается с четырьмя знаками, чтобы читатель мог точно повторить расчёт, а не потому, что запас известен с такой точностью. Итоговый результат Paper 3 — ограничение осуществимости в рамках оговорённых приближений.

Использование инструментов ИИ: Автор использовал ИИ-ассистентов (Claude, Anthropic; ChatGPT, OpenAI; ИИ-ассистент поиска Google) для написания и запуска расчётных скриптов, анализа каталогов и карт, подготовки рисунков и таблиц, обсуждения сценариев, а также для языкового редактирования и перевода. Модель и её выводы принадлежат автору. Автор проверил содержание и несёт за него полную ответственность.