El entorno físico del artículo

Los cálculos describen un escenario en la Tierra primitiva, en torno a la época de formación de la Luna, hace unos 4.5 mil millones de años. En el estado inicial, la masa del material que formará la Luna está incluida en el cuerpo progenitor: la Tierra joven antes de que la Luna la abandonara. Durante la construcción, esa masa pasa a un cuerpo en desarrollo, mientras cambian la distribución de densidad, el giro, el campo gravitatorio y el estado térmico. Este artículo trata toda esa construcción —la alimentación desde dentro y el ascenso de la corteza exterior— como un único proceso en un único cuerpo.

Como tantas cosas cambian durante el proceso, un número tomado de un momento no puede usarse en otro. Por ello, la tabla define el entorno: para cada dominio indica qué valores son datos de entrada, cuáles cambian con el tiempo y cuáles pertenecen a un estado de prueba definido. Un valor numérico aislado no puede sustituir al perfil físico que exige un cálculo. La columna izquierda nombra el dominio; la derecha da los valores de trabajo y las reglas para usarlos.

Varias filas requieren una explicación. Masa. La masa inicial $M_0$ es la suma de la Tierra y la Luna actuales; no se supone que nada escape, de modo que toda la Luna fue en su día parte de la Tierra, y sus $7.35\times10^{22}$ kg se cuentan una sola vez: dentro del progenitor antes de la transferencia, en la Luna después de ella, y en tránsito (la conexión, el material expulsado y el que vuelve a caer) solo mientras está en camino. Tamaño y forma. El radio de 6,517 km es mayor que el de la Tierra actual porque una Tierra joven y caliente está dilatada (Artículo 2). Un cuerpo fluido en rotación se abulta en su ecuador; el estado de Maclaurin es la forma de equilibrio clásica de un fluido de densidad uniforme en rotación, una esfera achatada, y convierte ese volumen en un radio ecuatorial de unos 6,721 km y un radio polar de unos 6,128 km. Giro. El momento angular, $L_0$, es la cantidad de rotación que contiene el sistema; los procesos internos solo pueden transferirlo de una parte a otra. El momento de inercia, $I(t)$, mide cómo se reparte la masa en torno al eje de giro: la masa desplazada hacia fuera lo aumenta y frena el giro; la masa desplazada hacia dentro lo reduce y acelera el giro, igual que una patinadora gira más despacio con los brazos extendidos y más deprisa con ellos recogidos. Por eso el día no está fijado en 5.5 horas: la pera lleva masa hacia fuera y el hierro que se reúne en el núcleo lleva masa hacia dentro, y en la liberación ambos dejan un día de 5.77 horas.

Corrotación. Todo lo que gira con la Tierra da una vuelta en cada día terrestre, y cuanto más lejos está, más rápido se mueve; la velocidad necesaria para una órbita circular libre disminuye con la distancia. El radio de corrotación es la distancia a la que ambas son iguales: unos 16,400 km en la liberación, unos dos radios terrestres y medio. Un cuerpo llevado hasta él mientras sigue girando con la Tierra ya tiene la velocidad de una órbita. El valor de partícula de prueba (16,331 km) trata la Luna como una partícula pequeña; el valor de dos cuerpos (16,399 km) incluye su propia masa, y la pequeña diferencia muestra lo poco que importa esa simplificación. A la latitud 22.5° la línea está más lejos, a 17,287 km, porque allí un cuerpo a la misma distancia del centro está más cerca del eje de giro y se mueve más despacio. El cuerpo. La misma masa lunar ocupa un volumen mayor cuando es menos densa, por lo que la tabla da su tamaño a varias densidades. A 1,300 kg/m³ el cuerpo está espumado: lleno del gas de sus volátiles, a mucho menos de la mitad de la densidad de la Luna actual, y en este estado ligero la presión de la Parte A puede alimentarlo y elevar material dentro de la pera, mientras la pera eleva el cuerpo. Son estados de prueba para los cálculos, no una historia resuelta de cómo se contrajo el cuerpo.

La corteza es sial: la capa exterior ligera del progenitor, rica en silicio y aluminio, que yace sobre el sima, más denso y rico en magnesio, situado debajo (§C.10). Las aberturas son orificios a través de esa corteza, por los que el material profundo ascendió y fue expulsado. Presión y volátiles. La presión que impulsa la alimentación y la presión que la alimentación debe superar se calculan en el mismo campo, de modo que la prueba no pueda tomar un valor favorable de un cuadro y uno desfavorable de otro. Los volátiles no añaden presión; la presión de la fuente se mantiene en el valor litostático, el peso del material suprayacente. Lo que hacen es aligerar el fundido ascendente, de modo que la misma presión lo eleva más alto. Densidad y viscosidad. La densidad es cuán pesado es un material para su volumen; la viscosidad es con cuánta fuerza se resiste a fluir. Una corteza de $10^{23}$ Pa s o más fluye tan lentamente que sus cráteres conservan su forma (§B.3), mientras que el interior caliente bajo ella fluye con facilidad; donde ambos se encuentran está la capa que cede primero. Lugar. La base de la pera se encontraba cerca de Kiritimati, en el Pacífico central. Debajo de ella, en el fondo del manto, yace la gran provincia de baja velocidad del Pacífico: una región del tamaño de un continente en la que las ondas sísmicas viajan despacio; su naturaleza se deja abierta (Parte E). La región a 25°N, 165°E, leída antes como la fuente, es la parte trasera de la pera, que se inclinaba hacia el oeste y hacia el norte.

Lo que significa el resumen, en palabras sencillas. Alimentado desde dentro y ascendido desde fuera describe dos aportes a un mismo cuerpo. Imagínese un globo que se llena desde una tubería situada debajo, mientras su propia piel es la superficie estirada del suelo sobre el que yacía. El llenado es la alimentación: material profundo y caliente que asciende bajo presión y fluye hacia el cuerpo. La piel es la corteza: la capa exterior de la Tierra sobre la región de construcción, que ascendió con la pera y se deslizó lentamente hasta su punta, hacia el cuerpo, donde se convirtió en su superficie. Ninguno de los dos aportes por sí solo forma la Luna. La alimentación da al cuerpo su interior —el propio manto de la Tierra, razón por la que ambos comparten composición (§C.10)— y la corteza le da su capa exterior, que ya llevaba cráteres de su época en la Tierra.

Lo que significan 150 GPa. En el interior profundo de cualquier cuerpo grande, el material está comprimido por el peso de todo lo que tiene encima. En el centro del progenitor ese peso, ligeramente aliviado por el giro, asciende a 150.26 GPa. Esta presión es el motor de la alimentación: ábrase un camino desde el interior profundo hasta la superficie y el material comprimido ascenderá por él, como asciende la pasta de dientes cuando se aprieta el tubo. La cuestión es si el empuje es suficientemente fuerte. Para llevar fundido desde la profundidad de la fuente hasta el radio de corrotación, la presión debe sostener el peso de toda la columna de fundido a lo largo de ese camino; para fundido de 3,500 kg/m³ en profundidad, espumado a 1,500 kg/m³ por encima de la superficie, ese peso es de 139.78 GPa. El empuje lo supera en 10.49 GPa, y lo superaría para cualquier fundido más ligero que unos 3,864 kg/m³. Ese es el significado de «el empuje tiene un precio»: el artículo no supone que la presión basta, la calcula.

Por qué la conexión debe ser ancha. Si la alimentación ascendiera por una tubería delgada, la tubería tendría que sostener el cuerpo frente a la atracción de la Tierra a lo largo de la línea que los une (la carga radial) y frente a la atracción lateral del giro a la latitud 22.5°, que arrastra el cuerpo hacia el plano ecuatorial (la carga lateral). Solo un conducto de más de unos 1,000 km de radio supera la prueba radial, y un conducto tan ancho ya no es delgado: contiene él mismo casi la mitad de la masa de una Luna y soporta una fuerza lateral del orden de $10^{22}$ N. La conclusión es que la conexión es una parte ancha, caliente y masiva de la Tierra, y la Parte C muestra qué es: la pera.

Qué es la pera. La pera es un abultamiento de la Tierra, estirado. La presión que levantó una colina sobre la fuente siguió levantándola, y la colina creció hasta convertirse en una prolongación larga y ancha del propio material de la Tierra: ancha en su base sobre la superficie terrestre —de 9,000 a 11,000 km, más que el radio de la Tierra— y estrechándose en una sola curva suave hasta su punta, que lleva el cuerpo. Es parte de la Tierra, y está sostenida por la gravedad terrestre como cualquier otra parte de la Tierra. No es expulsada, porque su velocidad no es una velocidad de lanzamiento y se encuentra enteramente dentro de la línea de corrotación (§C.7). Su masa, derivada de la anchura de su base, es de unas nueve a doce masas lunares, y la energía necesaria para elevarla es del orden de la liberada cuando el hierro de la Tierra se hunde en su núcleo (§C.9).

Por qué se libera donde se libera. Toda la pera se encuentra dentro de la línea de corrotación, y allí la atracción combinada de la gravedad y el giro apunta hacia la Tierra, y la pera queda sostenida allí por la gravedad terrestre como parte de la Tierra. El cuerpo sobre su punta asciende con ella hasta que su centro de masa alcanza la línea, y allí comienza a separarse. Allí la velocidad que ya tiene por girar con la Tierra es la velocidad de una órbita circular, y más allá el giro tira hacia fuera más de lo que la gravedad tira hacia dentro; el contacto solo opone una pequeña resistencia, y el cuerpo es arrastrado hacia fuera con fuerza y se libera unos 210 km más allá de la línea (§C.5). La pera permanece dentro de la línea, como parte de la Tierra, y tras la liberación la diferenciación la reintegra en la Tierra a lo largo de decenas a cientos de millones de años.

Cómo se lee el recuadro. El primer párrafo da los dos aportes y lo que cada uno explica en la Luna actual. El casquete de la cara visible de unos 31° es la zona del cuerpo que fue el contacto de 3,000 km con la pera: no quedó del todo cubierta hasta la liberación: Serenitatis se desprendió de ella primero, mientras que Imbrium permaneció conectado hasta la separación. El cinturón de 31° a 70° es el anillo del domo inferior que se desprendió de la Tierra durante el redondeo hacia fuera, llevándose consigo el sial sobre el que se asentaba. Todo lo que está más allá de 70° es el domo superior: corteza desde el principio, expuesta desde la etapa plana y llevando consigo sus cráteres hacia arriba (§B.4). El redondeo funciona como una pelota ligeramente aplastada que se vuelve redonda: cada zona de su superficie se reduce en la misma proporción, de modo que ninguna zona se desplaza respecto a otra. El achatamiento que siguió es el giro achatando el cuerpo en sus polos; el redondeo hacia dentro es el cuerpo volviéndose redondo de nuevo a medida que se densificaba. Durante el redondeo hacia dentro, la superficie polar fue la que más se contrajo, mientras que los cráteres que ya había en ella conservaron su tamaño, de modo que quedaron apiñados cerca de los polos (Artículo 7). Estos cambios ocurrieron mientras el cuerpo estaba unido: la razón de ejes alcanzó 1.69 en el máximo del achatamiento y bajó a 1.2 al final de la etapa unida (Artículo 7), y en la liberación el cuerpo era redondo, con su corteza exterior rígida y una razón de ejes de 1.04 como máximo (Artículo 2, §B.7).

El segundo párrafo enuncia la condición sobre la conexión y su consecuencia. El tercero indica qué ocurre con la pera. La pera no se pierde en la liberación; tras la liberación, la diferenciación la reintegra en la Tierra, gradualmente, a lo largo de decenas a cientos de millones de años. Su parte pesada —incluida la mayor parte del hierro que ascendió a ella (§C.10)— se hunde a gran profundidad en la Tierra bajo la base de la pera (Parte E); su lado delantero se reúne en las franjas del Pacífico Norte, y su parte trasera en los arcos del Pacífico occidental (Artículo 9, Las franjas). La masa no abandona la Tierra; pasa de estar alta en el exterior a estar profunda en el interior. Su rango de nueve a doce masas lunares lo fija la anchura de la base, de 9,000 a 11,000 km, y se deriva en §C.7.

Introducción: un cuerpo, dos aportes

En el modelo, el cuerpo progenitor no expulsa una Luna terminada. El cuerpo unido crece y se desplaza hacia fuera mientras recibe material de dos fuentes a la vez: el material profundo asciende hacia él a través de un afloramiento magmático, y la corteza exterior del progenitor —la capa siálica sobre la región de construcción— asciende con él como su superficie. El Artículo 2, Mecanismo LEF en principio, estableció que en el radio de corrotación la velocidad que ya tiene una masa en corrotación es la velocidad que exige una órbita libre, y que el presupuesto de momento angular del progenitor permite la transferencia. En otras palabras, el Artículo 2 mostró dónde tenía que liberarse la Luna y que la Tierra tenía rotación suficiente para colocarla allí. Este artículo pregunta cómo llegó la masa a ese radio y qué la sostuvo por el camino.

Las dos fuentes contribuyen al mismo cuerpo. La corteza viaja hacia el cuerpo: asciende con la pera y lentamente se separa y se desliza hasta su punta, hacia el cuerpo, donde se convierte en la piel del cuerpo; el deslizamiento se ve facilitado por la capa lubricada entre el sial y el sima (§C.10). La región de construcción es un domo, el domo asciende y su superficie va con él: la corteza es de la Tierra, llevó sus cráteres a la Luna y en la cara oculta se construyó en capas. Por eso un solo artículo trata ambos aportes: no son dos mecanismos que compiten por explicar la Luna, sino el interior y el exterior de un mismo cuerpo en crecimiento.

La corrotación proporciona un vínculo entre el giro y la velocidad orbital. No eleva el material —lo hace la pera—, pero es lo que separa la Luna: una vez que el centro de masa de la Luna alcanza la línea, las fuerzas de corrotación la desprenden. El material en la superficie de la Tierra gira con ella, pero mucho más despacio de lo que exige una órbita; algo debe llevarlo hacia fuera y mantenerlo allí hasta que alcance el radio de corrotación. Para ello se necesitan una presión impulsora, un balance de masa y energía, una estructura que permita el flujo y una conexión capaz de soportar la carga requerida. Los examinamos en cuatro Partes: A, la alimentación desde dentro: el problema del transporte, la fuente, los límites térmicos y si la presión, el ritmo y la energía bastan; B, el ascenso desde fuera: las cuatro etapas del domo, su geometría y en qué se convierte; C, la conexión y la liberación: las cargas que soporta, y cómo el cuerpo comienza a separarse en la línea de corrotación y se libera justo más allá de ella; D, predicciones, pruebas y conclusiones. La Parte C sigue también a la pera que forma la conexión, aquello de lo que está hecho el cuerpo y el material que la Tierra siguió lanzando tras la liberación. Una quinta Parte, E, sigue a la pera de vuelta al interior de la Tierra, registra dónde se encontraba su base respecto a la Tierra profunda que se observa hoy y pregunta qué hizo al interior terrestre; una sección final reúne vías para investigaciones futuras.

La novedad es la combinación de los procesos en una sola construcción conectada. Las leyes de la gravedad, el flujo, la conducción del calor y la adhesión viscosa son la física con la que se examina el mecanismo, no pruebas independientes de que ocurriera. Cada una de estas leyes es estándar; lo que el artículo añade es su aplicación a un cuerpo en una secuencia, con los números de un entorno coherente, de modo que cada paso pueda contrastarse con el siguiente.

El Artículo 2, Mecanismo LEF en principio, mostró dónde se libera la Luna —en el radio de corrotación, donde la velocidad de girar con la Tierra ya es la velocidad de una órbita libre— y que el momento angular de la Tierra basta para colocar material allí. No mostró cómo llegó el material hasta allí. Esta Parte aborda esa cuestión desde el interior de la Tierra. Primero lleva la cuenta de la masa (§A.1), luego explica por qué el giro de la Tierra por sí solo no puede elevar el cuerpo (§A.2), y después escribe el balance de fuerzas que toda alimentación desde la profundidad debe cumplir (§A.3). Las secciones siguientes describen la fuente, el conducto y los límites térmicos (§A.4–A.8), y la siguiente continuación de esta Parte pone números a la presión, el ritmo y la energía (§A.9–A.13).

A.1Un cuerpo que crece mientras se desplaza

El primer paso es contable. Antes de calcular fuerza alguna, debemos poder decir dónde está cada kilogramo en cada momento, de modo que ninguna masa se cuente dos veces y ninguna se pierda de la cuenta.

Al comienzo de la cuenta de masa, el material lunar está incluido en el cuerpo progenitor: en el estado inicial solo hay un cuerpo, el progenitor, de masa $M_0$. A medida que avanza la construcción, esa masa se reparte entre cuatro reservorios. Cuando se distinguen un reservorio terrestre, un cuerpo en desarrollo y material en tránsito, el balance es:

$$M_0=M_E(t)+m(t)+M_{\mathrm{transit}}(t)+M_{\mathrm{escaped}}(t). \tag{1}$$

En palabras: en todo instante $t$, la masa inicial es igual a la masa que sigue en la Tierra, $M_E(t)$, más la masa que ya está en el cuerpo en desarrollo, $m(t)$, más la masa en camino entre ambos (en la conexión, o lanzada hacia arriba y aún no aterrizada), $M_{\mathrm{transit}}(t)$, más lo que haya abandonado el sistema por completo, $M_{\mathrm{escaped}}(t)$. La ecuación es simplemente la conservación de la masa; su utilidad es que obliga a cada kilogramo a estar en exactamente un lugar.

La masa acumulada en el cuerpo cumple:

$$\frac{dm}{dt}=\dot M_{\mathrm{int}}+\dot M_{\mathrm{ext}}-\dot M_{\mathrm{out}}. \tag{2}$$

La ecuación (2) dice a qué ritmo crece el cuerpo. Un punto sobre una masa denota un ritmo, en kilogramos por segundo. $\dot M_{\mathrm{int}}$ es la alimentación interna: material profundo que llega desde abajo a través de la conexión; $\dot M_{\mathrm{ext}}$ es la incorporación de la corteza que asciende con el cuerpo (Parte B): la capa exterior de la Tierra, que se convierte en la piel del cuerpo; y $\dot M_{\mathrm{out}}$ es la salida del cuerpo, el material expulsado a través de sus aberturas. La masa del cuerpo crece con lo que entra desde dentro y desde fuera, menos lo que sale.

El material que sale y retorna se registra en consecuencia en ambos ritmos: una porción eyectada por una abertura se resta cuando sale y se vuelve a sumar cuando aterriza de nuevo sobre el cuerpo. Por tanto, no toda salida debe identificarse con un escape del sistema; la mayor parte del material eyectado permanece en la cuenta como material en tránsito y retorna. La fracción interna de la Luna final —cuánta procede de la profundidad y no de la corteza ascendente— se determina a partir de la integral de la alimentación y de las pérdidas a lo largo de toda la construcción, no a partir del supuesto de un porcentaje fijo. (La Parte B.7 trata ese reparto.)

A.2 Por qué la rotación no es el transporte en sí

La pregunta que responde esta sección es por qué la Luna no pudo simplemente ser lanzada desde la Tierra en rotación, y por qué, por tanto, algo debe llevarla hacia fuera.

El Artículo 2 (§A.1.2) dio la razón por la que un cuerpo lanzado fracasa. En el ecuador de un progenitor que da una vuelta cada 5.5 horas, el suelo se mueve a unos 2,133 m/s, mientras que una órbita libre justo por encima de la superficie exige unos 7,701 m/s. El material soltado desde la superficie, o lanzado hacia arriba desde ella, se mueve lateralmente con demasiada lentitud para permanecer en órbita: su trayectoria es una elipse corta que vuelve a entrar en el progenitor, y cae de nuevo. Solo en el radio de corrotación, a unos 15,818 km del centro con el día de 5.5 horas, la velocidad de girar con la Tierra alcanza la velocidad de una órbita. Por tanto, el material debe llevarse a esa distancia mientras sigue unido y sigue girando con la Tierra. Llevarlo allí es lo que llamamos transporte: un aporte continuo de material profundo, empujado hacia arriba desde una fuente en el interior de la Tierra a través de una conexión hacia el cuerpo en crecimiento, en lugar de un único lanzamiento.

Una objeción natural es que el rápido giro de la Tierra podría realizar la elevación por sí solo. El siguiente ejemplo de carga lo pone a prueba. En el ejemplo de un cuerpo con la masa lunar completa y un radio equivalente de 2,270 km (el radio de una esfera con la masa de la Luna a la baja densidad de 1,500 kg/m³), en contacto con un progenitor de radio ecuatorial 6,721 km, la distancia entre los centros es de 8,991 km: la suma de los dos radios. (En la etapa 2 de la Parte B la misma masa se asienta sobre la punta de la pera como un cuerpo aplastado sobre un contacto de 6,000 km; el ejemplo de carga se mantiene en forma esférica para compararlo con el Artículo 2.) A esa distancia comparamos dos aceleraciones en el centro del cuerpo: la atracción gravitatoria de la Tierra hacia dentro, y la aceleración centrífuga hacia fuera que el giro da a un cuerpo que gira con la Tierra. Usando $M_E$ y un giro de 5.5 horas se obtiene aproximadamente:

$$g_E=4.93\ \mathrm{m\,s^{-2}},\qquad \omega^2r=0.905\ \mathrm{m\,s^{-2}}. \tag{3}$$

Aquí $g_E=GM_E/r^2$ es la atracción de la Tierra a $r=8{,}991$ km, siendo $G$ la constante gravitatoria, y $\omega^2r$ es la aceleración centrífuga, siendo $\omega$ la velocidad angular de un giro de 5.5 horas ($2\pi$ dividido por el periodo en segundos). La comparación es la que siente una niña en un tiovivo que gira: cuanto más rápido gira y cuanto más lejos del centro se coloca, con más fuerza es empujada hacia fuera. A 8,991 km el empuje hacia fuera es menos de una quinta parte de la atracción hacia dentro. Ambos solo serían iguales en el radio de corrotación, donde la atracción se ha debilitado con el cuadrado de la distancia y el término centrífugo ha crecido en proporción a ella.

La aceleración restante hacia dentro es de unos 4.03 m/s² (4.93 menos 0.905): cada kilogramo del cuerpo sigue pesando, hacia la Tierra, unos dos quintos de lo que pesaría hoy en la superficie terrestre. Se trata de un ejemplo de carga definido, no de la descripción de un abultamiento diminuto al comienzo de la construcción. Muestra por qué se requiere un mecanismo adicional que transfiera fuerza y energía: la rotación por sí sola no proporciona sostén en este estado. El giro aligera la carga; no la soporta.

La flotabilidad puede impulsar material ligero dentro de un material más denso, como el aceite asciende a través del agua. Pero la flotabilidad necesita un medio circundante más denso contra el que empujar, y por encima de la superficie del progenitor no lo hay; por tanto, el paso por encima de la superficie del progenitor exige una solución que incluya la forma externa y la conexión. El mecanismo examinado aquí es la alimentación continua bajo presión: el material profundo es empujado hacia arriba por la presión del interior del progenitor, a través de una conexión, hacia el cuerpo. No es necesario excluir cualquier otro posible mecanismo de eyección para examinarlo. El artículo pregunta si este único mecanismo funciona, y lo somete a pruebas cuantitativas.

A.3Qué impulsa el material

Una vez nombrado el mecanismo, escribimos el balance que debe cumplir. La pregunta es cuán grande debe ser la presión para empujar material desde la profundidad a lo largo de un camino hasta el cuerpo.

En un sistema de referencia que gira a ritmo constante —es decir, visto por un observador que gira con la Tierra— la gravedad y el efecto centrífugo pueden combinarse en una única magnitud, el potencial efectivo. Un potencial es la energía por kilogramo que tiene una porción de material debido a dónde está; el material tiende a moverse de potencial alto a bajo, como el agua corre cuesta abajo. El potencial efectivo es:

$$\Phi_{\mathrm{eff}}=\Phi_{\mathrm{grav}}-\frac{1}{2}\omega^2\varpi^2, \tag{4}$$

donde $\Phi_{\mathrm{grav}}$ es el potencial gravitatorio, $\omega$ la velocidad angular, y $\varpi$ es la distancia al eje de giro. El segundo término es la contribución centrífuga: reduce el potencial cuanto más lejos del eje está una porción, y por eso el giro facilita la subida hacia fuera. Elevar material hacia fuera en este sistema significa subir una pendiente en $\Phi_{\mathrm{eff}}$ que se suaviza con la distancia y se vuelve plana en el radio de corrotación.

A lo largo de un camino de alimentación lento, la componente del balance de fuerzas es aproximadamente:

$$\frac{dp}{ds}=-\rho\frac{d\Phi_{\mathrm{eff}}}{ds} -\mathcal R_{\mathrm{visc}}, \tag{5}$$

donde $s$ es la distancia medida a lo largo del camino, $p$ la presión, $\rho$ la densidad del material en el camino, y $\mathcal R_{\mathrm{visc}}$ representa la resistencia al flujo por unidad de longitud: la fricción de un material viscoso que se mueve por un canal. La ecuación (5) dice que, a lo largo del camino, la presión debe disminuir en dos cantidades por unidad de longitud: el peso del material en el campo efectivo (el primer término) y la fricción de moverlo (el segundo). El primer término es la regla conocida de que la presión crece con la profundidad bajo el peso del material de encima; la presión requerida para sostener una columna frente a la gravedad efectiva se denomina su carga hidrostática. Nótese que la carga es proporcional a la densidad $\rho$: un material más ligero necesita menos presión para ser elevado la misma distancia. Esta es la razón por la que la densidad del material ascendente se convierte en la magnitud decisiva en §A.10.

La diferencia de presión debe soportar la carga de gravedad efectiva, la resistencia y la carga en el límite receptor: el peso del cuerpo que presiona sobre la parte superior de la alimentación. Esta ecuación expresa el balance de cantidad de movimiento del continuo a lo largo del camino de alimentación; con un ritmo de giro variable y en flujo tridimensional, también deben incluirse las aceleraciones y la cantidad de movimiento transportada con el material [1]. Para la alimentación lenta y estacionaria examinada aquí, esos términos son pequeños, y la ecuación (5) es la forma que usa la prueba de presión de §A.9.

Las secciones anteriores establecieron que el cuerpo debe ser alimentado desde la profundidad bajo presión. Esta continuación plantea tres preguntas prácticas sobre esa alimentación: de qué lugar del interior de la Tierra procede y por qué se mantiene centrada en un solo lugar (§A.4); qué mantiene abierto el conducto (§A.5); y cómo puede el cuerpo tener un exterior que se endurece mientras su interior y su alimentación siguen calientes y móviles (§A.6–A.7). Termina con el orden en que se suceden los pasos (§A.8).

A.4 La fuente de alimentación y la organización interna

Una alimentación que vagara por la Tierra construiría muchos montones pequeños, no una Luna. Por tanto, la fuente debe estar concentrada y debe alimentar la misma región superficial durante mucho tiempo.

La hipótesis de trabajo es que la alimentación se concentró en una región del interior de la Tierra a medida que el interior se reorganizaba; esa región se encontraba al norte del ecuador (§B.1). En la Tierra joven, el hierro se hundía para formar el núcleo y el interior se separaba en capas; durante esa reorganización el interior no tenía por qué ser simétrico. La falta de uniformidad en la composición, la temperatura y la distribución del material denso puede cambiar la presión y los caminos de flujo. En el modelo, esta falta de uniformidad puede sostener una alimentación prolongada hacia la misma región superficial: el material caliente y más ligero se reúne en un lado y sigue ascendiendo bajo el mismo lugar, como una olla calentada fuera de su centro sigue hirviendo en el mismo punto.

Una región de alimentación concentrada de este tipo no se sigue de la mera existencia de la diferenciación. Para examinarla, deben calcularse el potencial de la distribución de masa y su respuesta a la alimentación. Tanto la redistribución del material denso como la transferencia de masa hacia fuera cambian el momento de inercia —la medida de cuán lejos del eje de giro se encuentra la masa— y, por tanto, cambian el giro. El hierro que se hunde hacia dentro hace que la Tierra gire más rápido, como una patinadora que recoge los brazos; la masa llevada hacia fuera la frena. Por esta razón se usan los estados acoplados del Artículo 2 en lugar de un giro constante durante todo el proceso: el día solo se alarga de 5.5 a 5.77 horas hasta la liberación, porque ambos efectos se compensan en gran medida (Artículo 2, §A.4).

A medida que el cuerpo crece, su propia gravedad empieza a importar. La gravedad del cuerpo en desarrollo se vuelve cada vez más importante para el material cercano a él:

$$g_{\mathrm{self}}=\frac{Gm(t)}{R_b(t)^2}. \tag{6}$$

Aquí $m(t)$ es la masa del cuerpo en el instante $t$ y $R_b(t)$ su radio; $g_{\mathrm{self}}$ es la aceleración hacia el propio centro del cuerpo que se percibe en su superficie. Crece a medida que se acumula masa, y para el cuerpo cerrado de 1,890 km alcanza 1.37 m/s² (Parte B.3). Puede atraer el material entrante y dar forma al cuerpo: los eyectos de retorno aterrizan de nuevo sobre él, y su material tira de sí mismo hacia una forma redondeada. Sin embargo, las fuerzas internas no aceleran el propio centro de masa del cuerpo. Nadie puede levantarse a sí mismo tirando de sus propias botas: cada tirón interno entre dos partes del cuerpo se compensa con un tirón igual y opuesto, y ambos se anulan. La elevación global sigue requiriendo intercambios de fuerza y cantidad de movimiento con su entorno: con la Tierra, a través de la conexión y de la alimentación.

A.5Qué mantiene abierto un conducto

El fundido que asciende a través de un cuerpo más frío tiende a solidificarse y a obstruir su camino. El camino no es un canal con paredes: la propia pera es el conducto de conexión entre el interior de la Tierra y el cuerpo. Esta sección expone qué mantiene abierto ese conducto y qué proporciona y qué no proporciona eso.

La conexión recibe calor de la alimentación y de los cuerpos calientes que la rodean: el fundido que pasa por ella transporta calor hacia arriba desde la profundidad, y tanto el progenitor de abajo como el cuerpo en crecimiento de arriba están calientes. La superficie externa, en contacto con el entorno frío, puede perder calor y endurecerse al mismo tiempo. Por tanto, el sistema puede tener un interior móvil y un exterior más rígido, con una viscosidad que varía entre ambos. La viscosidad es la resistencia de un material a fluir —la miel es más viscosa que el agua—; un interior caliente tiene baja viscosidad y fluye con facilidad, un exterior enfriado la tiene alta y conserva su forma.

El calentamiento a ambos lados de la conexión ayuda a impedir la solidificación local, pero no es en sí una fuerza de confinamiento: el calor mantiene fluido el camino, pero por sí solo no lo confina; el camino es el interior caliente de la pera. La forma del conducto debe satisfacer un balance de presiones y de esfuerzos laterales, frente a la gravedad, el giro y el flujo. La estabilidad tridimensional de la estructura conectada es un requisito que el mecanismo se impone a sí mismo; el cálculo de presión de §A.9–A.13 es la primera de sus pruebas, y §D.1 enumera las demás.

A.6 Volátiles, atmósfera y enfriamiento del exterior

Dos propiedades de la Tierra joven determinan tanto la densidad del material ascendente como el modo en que se enfría el exterior: los volátiles que contenía y la atmósfera que estos formaron.

Los volátiles son las sustancias que se convierten fácilmente en gas: sobre todo agua, junto con dióxido de carbono y compuestos similares. En profundidad, bajo presión, permanecen disueltos en el fundido, como el dióxido de carbono permanece disuelto en una botella cerrada. En el escenario examinado hay un inventario antiguo de volátiles mayor que el que queda hoy. Al descomprimirse —a medida que el fundido asciende y la presión sobre él disminuye—, los volátiles pueden liberarse del magma y cambiar su densidad y su comportamiento, como la botella hace espuma al abrirse. Un fundido lleno de burbujas de gas es un fundido espumado. Su densidad es muy inferior a la del mismo fundido sin burbujas, porque parte de su volumen es gas.

Esta baja densidad es lo que hace posible la alimentación. Según la ecuación (5), la presión necesaria para elevar material es proporcional a su densidad: un fundido espumado necesita mucho menos empuje para alcanzar la misma altura que uno denso. La Parte A.10 convierte esto en un umbral —la presión de la fuente del progenitor puede elevar fundido profundo hasta el radio de corrotación solo si ese fundido es más ligero que unos 3,864 kg/m³— y la Parte B.2 encuentra que el cuerpo sobre la punta de la pera tiene la densidad espumada de unos 1,300 kg/m³. El papel de los volátiles es reducir la densidad del material ascendente, no elevar la presión de la fuente por encima del valor litostático (la presión fijada por el peso del material suprayacente); y no deben suponerse burbujas a todas las profundidades, ya que en lo profundo los volátiles pueden seguir disueltos.

La presencia de agua en inclusiones lunares —diminutas gotas de fundido atrapadas dentro de cristales de material volcánico lunar, que conservaron su agua original— proporciona una restricción sobre algunas fuentes magmáticas lunares; no mide el inventario total de volátiles en la época de la construcción [2]. Muestra que parte del material fuente de la Luna no era seco, sin fijar cuánta agua contenía el sistema en su conjunto.

Un ciclo de ascenso, enfriamiento y retorno puede transferir calor del material al entorno: el material lanzado hacia arriba a través de las aberturas pierde algo de calor en vuelo, pero aterriza todavía caliente. Sin embargo, el enfriamiento del sistema completo requiere que la energía salga al espacio; el calor que pasa del material a su entorno aún no se ha perdido. Una atmósfera de vapor también puede limitar la radiación saliente: el vapor de agua absorbe la radiación infrarroja con la que se enfría una superficie caliente, de modo que una atmósfera espesa de vapor actúa como una manta, y la superficie entera no puede modelarse como si estuviera expuesta al vacío. Los cálculos de una atmósfera saturada demuestran un límite de radiación en ciertas condiciones —un techo para el flujo de calor que un cuerpo cubierto de vapor puede radiar—; un flujo constante tomado de esos cálculos no puede aplicarse a todas las alturas y etapas de este escenario [3], porque la atmósfera, la temperatura y la gravedad cambian a medida que asciende el cuerpo.

A.7Una envoltura que se enfría sobre una base móvil

El cuerpo necesita una piel sólida mientras su interior y su alimentación permanecen fundidos. Esta sección estima con qué rapidez se forma esa piel. Un frente de solidificación es el límite entre la capa sólida que se ha formado en la superficie fría y el fundido que hay debajo; a medida que el calor sale a través del sólido, el frente avanza hacia abajo y la capa sólida se engrosa. El casquete solidificado importa para la supervivencia térmica del cuerpo: una vez formado, se interpone entre el fundido caliente y el exterior frío, y como el calor solo puede salir por conducción a través de él, cuanto más grueso se vuelve, más despacio pierde calor el fundido de debajo. El casquete protege así el interior móvil que la alimentación requiere, mientras él mismo se convierte en el límite exterior resistente.

Una estimación conductiva sencilla del avance de un frente de solidificación es:

$$h_{\mathrm{fr}}(t)\simeq \sqrt{\frac{2k\Delta T\,t}{\rho_s L_f}}. \tag{7}$$

Aquí $h_{\mathrm{fr}}$ es el espesor de la capa sólida tras el tiempo $t$; $k$ es la conductividad térmica del sólido, es decir, con cuánta facilidad deja pasar el calor; $\Delta T$ es la diferencia de temperatura a través de la capa sólida, entre el fundido de su base y la parte superior fría; $\rho_s$ es la densidad del sólido; y $L_f$ es el calor latente de fusión: el calor que debe extraerse de cada kilogramo de fundido para solidificarlo, sin ningún cambio en su temperatura. La ecuación dice que el espesor crece con la raíz cuadrada del tiempo. La razón es el efecto protector que se acaba de describir: cuanto más grueso es el sólido, menos calor pasa a través de él, y más despacio se solidifica la capa siguiente. Duplicar el espesor lleva cuatro veces más tiempo; una capa cincuenta veces más gruesa lleva 2,500 veces más tiempo.

Se trata de una aproximación unidimensional de un balance de calor latente, con una diferencia de temperatura constante y conducción a través de la capa solidificada. Introduciendo $k=3\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$, $\rho_s=3{,}000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ y $L_f=4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$ —valores típicos del material silicatado— se obtienen los tiempos siguientes. Las dos columnas son dos elecciones de la diferencia de temperatura: 1,200 K, para una superficie que se enfría intensamente, y 100 K, para una superficie que se mantiene caliente, por ejemplo por una atmósfera de vapor o un entorno caliente (§A.6).

La tabla se lee hacia abajo en cada columna a medida que crece el sólido, y a lo largo de cada fila a medida que se debilita el enfriamiento. Hacia abajo en una columna, los tiempos aumentan bruscamente: un metro de sólido se forma en días, un kilómetro en miles de años, cincuenta kilómetros en millones. A lo largo de una fila, cada tiempo es doce veces más largo en el caso caliente, porque el tiempo para alcanzar un espesor dado es inversamente proporcional a $\Delta T$. Así, el primer metro se forma casi de inmediato, sean cuales sean las condiciones; una corteza gruesa, no.

La tabla demuestra la sensibilidad a las condiciones de contorno. No determina el espesor final, porque la alimentación caliente, la convección interna, una atmósfera y un reservorio de calor finito cambian la solución: la alimentación caliente que llega desde abajo vuelve a fundir la base del sólido, la convección le aporta calor, una atmósfera reduce $\Delta T$, y un cuerpo con una reserva de calor limitada acaba enfriándose por completo. La rigidez de marea de un cuerpo del tamaño de la Luna —su capacidad de resistir la deformación por la marea terrestre— la aporta la corteza de la Parte B, no este primer metro.

La Figura 1 muestra la misma ley en todo el rango de tiempos. Ambos ejes son logarítmicos, de modo que una ley de raíz cuadrada aparece como una recta que sube un paso en espesor por cada dos pasos en tiempo. La línea azul marino (enfriamiento intenso) y la línea roja (superficie caliente) son paralelas: el caso caliente alcanza cada espesor más tarde en el mismo factor. La línea discontinua marca 50 km, un espesor de ejemplo, y los puntos son las entradas de la tabla.

La corteza de la cara oculta de la Luna se construye, entre otras cosas, a partir de la corteza siálica que asciende como superficie del domo: la capa exterior ligera del progenitor, rica en sílice y aluminio. El material interno, que llegó a la Luna desde la Tierra a través de la alimentación, se solidificó con el tiempo y permaneció en el centro de la Luna y en su parte cercana. La Parte B examina sus contribuciones respectivas y la geometría del domo. Aquí solo se requiere que el límite externo pueda endurecerse mientras el conducto de alimentación permanece móvil, y la estimación muestra que puede: una piel sólida se forma en días, mientras que el fundido de debajo, aislado por ella y reabastecido desde abajo, permanece fluido.

A.8El orden de la construcción

Las piezas de la Parte A actúan conjuntamente, y su orden importa, porque un paso fuera de orden contradiría el registro que lleva el cuerpo.

En este escenario, la alimentación interna y la elevación del domo se solapan mientras siguen produciéndose eyecciones a través de las aberturas: el cuerpo se alimenta desde abajo, su corteza asciende con él, y el material es expulsado a través de las aberturas y retorna, todo a la vez. Las eyecciones nunca cesan mientras el cuerpo está unido: disminuyen a medida que la pera crece y el cuerpo se aleja del centro de la Tierra, y cesan con la separación, cuando el cuerpo queda aislado de la presión de la Tierra. El cierre de la corteza exterior no desempeña ningún papel en esto. Toda la secuencia, desde el inicio del abultamiento hasta la liberación, dura unos 600 millones de años: aproximadamente 400 millones para el abultamiento y la pera, unos 100 millones para el achatamiento y unos 100 millones más hasta la liberación, hace 3.873 mil millones de años; esta es la ventana del escenario de 600 millones de años de la tabla del entorno, y el caso de 100 millones de años sigue siendo una prueba de sensibilidad. Las eyecciones de la etapa de construcción no deben identificarse con el vulcanismo tardío de un cuerpo ya separado; pertenecen al cuerpo unido y son un proceso distinto del vulcanismo de una Luna libre. Las cuatro etapas se exponen en la Parte B.

Lo que tenemos ahora: una cuenta de masa que sitúa cada kilogramo, la razón por la que el cuerpo debe ser transportado y no lanzado, el balance de fuerzas que debe cumplir la alimentación, una fuente concentrada, un conducto mantenido abierto por el calor, un fundido espumado lo bastante ligero para ser elevado y una piel solidificada que se forma rápidamente sobre un interior móvil. Si la presión, el ritmo y la energía son suficientes es el tema de la siguiente continuación de esta Parte.

Las secciones anteriores describieron la alimentación con palabras: una fuente profunda, un conducto mantenido abierto por el calor y un cuerpo que crece en su extremo. Esta continuación de la Parte A pregunta si esa descripción se sostiene cuando se le pone precio. Se plantean tres preguntas por orden, y cada una tiene un número por respuesta. Primero, la presión: ¿mantiene el progenitor presión suficiente en su fuente para empujar fundido profundo hasta el radio de corrotación (§A.9–A.10)? Segundo, el ritmo: si es así, ¿puede el empuje mover la masa lunar a través de un conducto en el tiempo disponible (§A.11)? Tercero, la energía: ¿de dónde procede el trabajo de elevar la masa (§A.12)? La última sección (§A.13) reúne presión, flujo y carga en un único estado, próximo a la liberación, y muestra cómo debe ser la conexión para que las tres se cumplan a la vez. Este último resultado es el puente hacia las Partes B y C.

A.9Una prueba de presión definida

La pregunta que responde esta sección es sencilla de formular: ¿es la propia presión interna del progenitor lo bastante fuerte para sostener una columna de fundido que va desde su centro hasta el radio de corrotación? Para responderla, se calculan dos presiones a partir del mismo campo y se comparan: la presión disponible en la fuente y la presión que exige la columna.

Qué es una carga hidrostática. Una columna de material situada en un campo gravitatorio presiona con su peso sobre su propia base. La presión necesaria en la base para sostener la columna —sin que se hunda ni ascienda— se denomina carga hidrostática de la columna. Una bomba que envía agua a un depósito en un tejado debe proporcionar al menos la carga de la columna de agua entre la bomba y el depósito; si es menor, el agua no llega. La alimentación de la Luna es el mismo problema a escala planetaria: la fuente debe proporcionar al menos la carga de una columna de fundido que va desde el interior profundo del progenitor hasta el cuerpo. En un campo uniforme la carga es simplemente densidad por gravedad por altura; aquí la gravedad cambia a lo largo de la columna y el giro actúa en su contra, de modo que la carga se calcula como la densidad por el cambio del potencial efectivo a lo largo del camino (la ecuación 5 de §A.3, integrada).

Elegimos una sección de referencia del progenitor antes del reparto de la masa: $M_0$, $R_V$, $T_0$ de la tabla. Es decir, el progenitor completo con el material lunar aún en su interior ($M_0=6.0455\times10^{24}$ kg), su radio volumétrico adoptado (6,517 km) y su día inicial de 5.5 horas. Solo para una prueba analítica, usamos el campo de una esfera homogénea y una sección ecuatorial en rotación. Se trata de una aproximación esférica con una corrección centrífuga, no de una solución de equilibrio exacta de un esferoide de Maclaurin. La elección mantiene la aritmética transparente: cada término puede escribirse en forma cerrada y comprobarse a mano, y la verdadera figura achatada cambia los números solo moderadamente.

Sea $R=R_V$, $\rho_p=3M_0/(4\pi R^3)$; $\rho_p$ es la densidad media del progenitor, su masa dividida por su volumen. El campo interno es $g(r)=GM_0r/R^3$, y el campo externo $GM_0/r^2$. Dentro de una esfera uniforme, la gravedad crece en proporción a la distancia al centro —cero en el centro, valor completo en la superficie— porque solo atrae la masa situada por debajo de una profundidad dada; fuera, disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia. El punto final de la prueba de la columna es:

$$r_*=\left(\frac{GM_0}{\omega_0^2}\right)^{1/3} =15{,}882.9\ \mathrm{km}. \tag{8}$$

La ecuación (8) es el radio de corrotación del Artículo 2 (§A.5) con la masa de todo el progenitor: la distancia a la que la gravedad queda exactamente compensada por el efecto centrífugo del giro. Es el final natural de la columna. Por debajo de $r_*$ la atracción neta es hacia dentro, y cada kilómetro de columna añade peso que la fuente debe sostener; en $r_*$ la atracción neta es nula, de modo que el material allí no pesa nada en el sistema en rotación, y más allá la atracción neta apunta hacia fuera. Por tanto, la carga solo debe pagarse hasta $r_*$.

Este es un punto de referencia en el campo completo del progenitor inicial; no es la distancia de liberación de dos cuerpos al final de la transferencia. La diferencia entre él y la referencia de 15,818 km procede de la masa de la ecuación: 15,818 km se calcula con la masa final de la Tierra $M_E$, 15,882.9 km con la masa completa del progenitor $M_0$, que es mayor en la masa de la Luna, y una masa mayor sitúa el punto de equilibrio ligeramente más lejos.

De dónde procede la presión de la fuente. La fuente profunda no es un motor separado. Es el propio interior del progenitor, comprimido por el peso de todo lo que tiene encima. En el centro del progenitor actúa el peso completo del material suprayacente; el giro aligera un poco ese peso en el ecuador, porque allí el efecto centrífugo actúa contra la gravedad. Cuando se abre un camino desde el interior profundo hacia la superficie, es esta presión —peso menos giro— la que empuja el fundido a lo largo de él. La presión de la fuente en el centro, relativa a la presión de la superficie ecuatorial, es:

$$p_s=\frac{\rho_p}{2} \left(\frac{GM_0}{R}-\omega_0^2R^2\right) =150.26\ \mathrm{GPa}. \tag{9}$$

En palabras: el primer término del corchete, $GM_0/R$, es la parte gravitatoria; el factor $\tfrac{1}{2}$ aparece porque la gravedad dentro de una esfera uniforme aumenta uniformemente desde cero en el centro hasta su valor completo en la superficie, de modo que a lo largo del radio actúa en promedio con la mitad de su intensidad. El segundo término, $\omega_0^2R^2$, es el alivio que da el giro a lo largo del radio ecuatorial. Multiplicado por la densidad media del progenitor, el corchete da una presión: 150.26 GPa. Esta es la presión que el progenitor, por su propia masa y su giro, mantiene en su fuente.

En una columna con una densidad profunda constante $\rho_d$ y una densidad exterior $\rho_o$, la carga de presión requerida es:

$$p_{\mathrm{head}}=\rho_d I_d+\rho_o I_o, \tag{10}$$

La columna se divide en dos segmentos, porque el material de cada uno es distinto. El segmento profundo va desde el centro hasta la superficie del progenitor y está lleno de fundido profundo de densidad $\rho_d$. El segmento exterior va desde la superficie hasta $r_*$, por encima del progenitor, y está lleno del material exterior más ligero, de densidad $\rho_o$. Cada segmento contribuye con la densidad por una integral $I$, y $I$ es el cambio del potencial efectivo (gravitatorio menos centrífugo) a lo largo de ese segmento: la energía necesaria para elevar un kilogramo a lo largo de él, en julios por kilogramo, que es lo mismo que $\mathrm{m^2\,s^{-2}}$. La densidad (kilogramos por metro cúbico) por la energía por kilogramo da energía por metro cúbico, que es una presión.

$$I_d=\frac{1}{2}\left(\frac{GM_0}{R}-\omega_0^2R^2\right) =2.88173\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}, \tag{11}$$

La ecuación (11) es el salto de potencial dentro del progenitor, desde el centro hasta la superficie ecuatorial. Es el mismo corchete que en la ecuación (9); la única diferencia es la densidad que lo multiplica. Esta identidad es el núcleo de la prueba: la presión de la fuente es la carga de una columna de la propia densidad media del progenitor, y la carga requerida es la misma columna llena de fundido. Una columna de fundido tan densa como el progenitor quedaría exactamente equilibrada y no ascendería más allá de la superficie. Solo un fundido más ligero que el progenitor obtiene un excedente, y ese excedente debe pagar después el segmento exterior.

$$I_o=GM_0\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_*}\right) -\frac{\omega_0^2}{2}\left(r_*^2-R^2\right) =2.59450\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}. \tag{12}$$

La ecuación (12) es el salto de potencial fuera del progenitor, desde la superficie hasta $r_*$: el primer término es el trabajo contra la gravedad externa, el segundo la ayuda que da el giro a lo largo de la misma distancia. Aunque este segmento es más del doble de largo que el profundo, su valor es algo menor, porque la gravedad se debilita con la distancia y la ayuda del giro crece. Las dos integrales juntas fijan la carga para cualquier par de densidades; la sección siguiente la evalúa.

La columna sirve como prueba de presión en un campo dado; su masa y su efecto sobre la forma del cuerpo no se resuelven aquí. Por tanto, la prueba no debe extenderse automáticamente a la transferencia de toda la masa lunar. Responde a una pregunta —¿puede la fuente sostener una línea de fundido que alcance el radio de corrotación?— y deja el peso de una conexión real y finita para §A.13.

A.10Un umbral de densidad y sensibilidad

La carga depende de lo que llena la columna, y la presión de la fuente no. Por tanto, la pregunta es qué densidades profundas puede soportar la fuente, y dónde está el límite.

Suponiendo $\rho_o=1{,}500\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$, se obtiene:

Cómo leer la tabla. Cada fila llena el segmento profundo con un fundido de distinta densidad; el segmento exterior se mantiene en 1,500 kg/m³. La columna central es la carga que exige esa columna, según la ecuación (10). La columna de la derecha, el remanente, es la presión de la fuente de 150.26 GPa menos esa carga: lo que queda del empuje una vez sostenida la columna. Un remanente positivo significa que el empuje basta: la columna se sostiene y sobra presión para soportar el cuerpo en su extremo e impulsar el flujo. Un remanente negativo significa que el empuje no basta: la columna es demasiado pesada y el fundido no alcanza el radio de corrotación. Leyendo hacia abajo, la carga aumenta en el mismo paso por cada 500 kg/m³ y el remanente disminuye en el mismo paso; el signo cambia entre 3,500 y 4,000 kg/m³. A 3,500 kg/m³, el valor de referencia usado en el resto de la Parte A, quedan 10.49 GPa.

La condición de flujo es:

$$p_s-p_{\mathrm{head}}-p_{\mathrm{load}}-\Delta p_{\mathrm{loss}}>0, \tag{13}$$

La ecuación (13) enuncia el presupuesto completo. La presión de la fuente debe pagar tres facturas: la carga de la columna, $p_{\mathrm{head}}$; la carga en el extremo de la columna, $p_{\mathrm{load}}$, que es el propio cuerpo presionando de vuelta sobre el conducto; y las pérdidas por fricción mientras fluye el fundido, $\Delta p_{\mathrm{loss}}$. El fundido solo se mueve hacia fuera mientras quede algo después de pagar las tres. La tabla anterior muestra solo la primera factura, y por eso su última columna se llama remanente antes de la carga final y las pérdidas.

y el umbral de densidad es, por tanto:

$$\rho_{d,\max}= \frac{p_s-\rho_o I_o-p_{\mathrm{load}}-\Delta p_{\mathrm{loss}}}{I_d}. \tag{14}$$

La ecuación (14) es la ecuación (13) resuelta para la densidad profunda: el fundido profundo más pesado que la fuente todavía puede empujar, una vez pagados el segmento exterior, la carga final y las pérdidas. La razón de que exista un umbral se sigue de §A.9. La presión de la fuente está fijada por la densidad media del progenitor, pero la carga del segmento profundo crece con la densidad del fundido que contiene; en algún punto ambas se encuentran. La situación es la de dos tubos comunicantes, uno lleno de agua y otro de aceite: la columna de aceite se alza más que la de agua, porque es más ligera. Del mismo modo, el fundido profundo solo asciende por encima de la superficie del progenitor porque es más ligero que el progenitor que lo rodea, y cuanto más ligero es, más alto puede alzarse.

Despreciando la carga y las pérdidas, $\rho_{d,\max}\simeq3{,}864\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$. Cada gigapascal adicional de carga o de pérdida reduce el umbral en unos 34.7 kg/m³: un gigapascal dividido por $I_d$, porque cada gigapascal gastado en otro lugar es un gigapascal que el segmento profundo ya no puede usar. El umbral también es sensible a la densidad del segmento exterior: $d\rho_{d,\max}/d\rho_o=-I_o/I_d\simeq-0.900$. En palabras, cada kilogramo por metro cúbico añadido al segmento exterior resta 0.900 kg/m³ al umbral profundo, porque las dos integrales son casi iguales y los dos segmentos comparten una misma fuente.

La prueba de presión se supera para un fundido profundo más ligero que 3,864 kg/m³ y falla por encima. Este es el primer requisito que el mecanismo impone al material profundo, y es el más estricto: un fundido rico en volátiles lo cumple, uno seco no. La razón es que los volátiles disueltos —agua y otros componentes ligeros— reducen la densidad de un fundido silicatado (§A.6), y el margen entre superar y fallar está dentro del rango que pueden aportar. Una densidad de espuma cerca de la superficie no es prueba de una densidad similar en profundidad: las burbujas solo se forman donde la presión es lo bastante baja para que los volátiles salgan de la disolución, de modo que cerca de la superficie un fundido puede ser mucho más ligero que el mismo fundido en profundidad. En un modelo de densidad variable, los dos términos deben sustituirse por una integral de $\rho[p(s),T(s),X(s)]$ —la densidad en función de la presión, la temperatura y la composición a lo largo del camino $s$— y también deben recalcularse la presión de la fuente y el campo gravitatorio. La prueba de densidad constante es el primer paso de ese cálculo, y su umbral es el número con el que debe contrastarse la ecuación de estado del fundido profundo (§D.1).

La Figura 2 dibuja la tabla como dos líneas. La línea roja horizontal es lo que aporta la fuente; no depende del fundido. La línea azul marino ascendente es lo que cuesta la columna; sube con la densidad profunda. A la izquierda de su cruce gana la fuente, y la separación vertical entre las líneas es el remanente: 10.49 GPa a 3,500 kg/m³, marcado por la flecha. A la derecha del cruce gana la columna y la alimentación se detiene. El cruce, 3,864 kg/m³, es el umbral.

Lo que tenemos ahora: el progenitor mantiene 150.26 GPa en su fuente, y esto basta para sostener una columna de fundido hasta el radio de corrotación, siempre que el fundido profundo sea más ligero que unos 3,864 kg/m³. Sostener la columna no es todavía mover masa a lo largo de ella; la sección siguiente pregunta a qué ritmo debe moverse la masa.

A.11¿A qué ritmo debe operar la alimentación?

Un excedente de presión significa que el fundido puede fluir; no dice cuánto. La pregunta aquí es cuánta masa debe aportar la alimentación cada segundo para construir la Luna en el tiempo disponible, y qué exige eso del conducto.

Si una fracción $f_{\mathrm{int}}$ de la masa objetivo llega internamente a lo largo de $\mathcal T$, el ritmo medio es:

$$\overline{\dot M}_{\mathrm{int}}=\frac{f_{\mathrm{int}}m}{\mathcal T}. \tag{15}$$

La ecuación (15) es la cuenta más sencilla posible: la masa aportada por la alimentación, $f_{\mathrm{int}}m$ (la fracción interna de la masa lunar $m$; el resto procede de la corteza ascendente, Parte B), dividida por el tiempo $\mathcal T$ a lo largo del cual llega.

Para $f_{\mathrm{int}}=1$, se obtienen unos $2.33\times10^7\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ a lo largo de 100 millones de años, y unos $3.88\times10^6\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$ a lo largo de 600 millones de años. Las dos ventanas son las de la tabla del entorno: 600 millones de años es la ventana del escenario, 100 millones de años el caso de sensibilidad. Para una fracción interna menor, el ritmo medio disminuye en proporción directa. Estos ritmos describen la acumulación neta media de masa en el cuerpo; cualquier pérdida del material aportado exige un ritmo bruto de alimentación mayor. Una alimentación intermitente exige un ritmo mayor durante la actividad: si la alimentación funciona solo parte del tiempo, debe funcionar más deprisa mientras lo hace para aportar el mismo total.

Para una prueba de sensibilidad, un segmento geométricamente confinado puede representarse como flujo newtoniano laminar en un conducto cilíndrico de radio $b$, longitud $\ell$ y una condición de no deslizamiento:

$$Q=\frac{\pi b^4\Delta p}{8\eta\ell}, \qquad \eta_{\max}=\frac{\pi b^4\Delta p\,\rho_d\mathcal T} {8\ell f_{\mathrm{int}}m}. \tag{16}$$

Los términos requieren una palabra cada uno. El flujo laminar se mueve en capas suaves, sin turbulencia; newtoniano significa que la resistencia del fluido se describe con un único número, su viscosidad $\eta$ —la resistencia del material a fluir, baja para el agua, muy alta para el vidrio frío o para el manto sólido que repta a lo largo del tiempo geológico—; no deslizamiento significa que el fluido en la pared del conducto no se mueve, de modo que el flujo es más rápido a lo largo del eje y más lento en la pared. La primera parte de la ecuación (16) da el volumen de fundido $Q$ que pasa cada segundo por un conducto de radio $b$ y longitud $\ell$ cuando lo impulsa una diferencia de presión $\Delta p$. La segunda parte invierte la pregunta: es la primera parte resuelta para la viscosidad, con $Q$ igual al ritmo volumétrico que necesita la construcción (el ritmo de masa de la ecuación 15 dividido por la densidad del fundido). El resultado, $\eta_{\max}$, es la máxima viscosidad que puede tener el material del conducto sin dejar de aportar la masa lunar a tiempo. Todo material menos viscoso que $\eta_{\max}$ supera la prueba; todo material más rígido falla.

Esta es la solución de Poiseuille [1], usada aquí como estimación para un segmento acotado; no puede suponerse que su condición de contorno en la pared se aplique en toda la parte exterior no confinada.

Para $\ell=10^7\ \mathrm m$, $\rho_d=3{,}500$, $\Delta p=10\ \mathrm{GPa}$ y $f_{\mathrm{int}}=1$:

Los datos de entrada son un conducto de 10,000 km de longitud ($10^7$ m, comparable a la distancia entre la fuente profunda y el cuerpo), la densidad de referencia del fundido de 3,500 kg/m³ y un excedente impulsor de 10 GPa —próximo al remanente de 10.49 GPa de §A.10—, con toda la Luna aportada por la alimentación.

Cómo leer la tabla. Cada celda es el material más rígido que aún construiría la Luna a través de un conducto del radio dado en el tiempo dado. Leyendo hacia abajo en una columna, el techo aumenta bruscamente con el radio: un conducto ancho tolera un material mucho más rígido que uno estrecho. Leyendo a lo largo de una fila, el techo es seis veces más alto para 600 millones de años que para 100 millones, porque un tiempo más largo exige un flujo más lento. Como escala, la tabla del entorno fija la corteza rígida y fría en $\gtrsim10^{23}$ Pa·s; solo el conducto más ancho en la ventana más larga se acerca a ese valor.

La fuerte sensibilidad es $b^4$: reducir el radio a la mitad reduce el ritmo dieciséis veces con el mismo excedente de presión y la misma viscosidad. La razón es que un conducto más ancho gana por partida doble: tiene más sección y su centro está más lejos de las paredes que frenan el flujo. Entre 100 y 500 km el radio se multiplica por cinco y el techo crece en $5^4$, que es el salto entre las dos primeras filas. Los valores de viscosidad de la tabla son techos matemáticos de la estimación, no propiedades medidas en el magma. Un excedente de 10 GPa es un parámetro de prueba; si sostener el cuerpo consume la presión restante, esa presión no está disponible para impulsar el flujo. Una ventana temporal larga puede aliviar el requisito de ritmo, pero exige que el conducto permanezca móvil y estable durante ese tiempo.

Lo que tenemos ahora: con un excedente del tamaño que deja la prueba de presión, un conducto de unos pocos cientos de kilómetros o más puede transportar la masa lunar en la ventana del escenario, siempre que permanezca caliente y móvil. La anchura del conducto importa mucho más que cualquier otro dato de entrada; §A.13 vuelve sobre ella.

A.12 Energía: ¿cuál es la fuente del trabajo?

La presión y el ritmo se refieren a cómo se mueve la masa; la energía, a qué paga su movimiento. Elevar la masa de la Luna desde la superficie de la Tierra hasta el radio de corrotación es trabajo realizado contra la gravedad, y el modelo debe decir de dónde procede ese trabajo.

Una comprobación de orden de magnitud del trabajo gravitatorio para la masa objetivo completa, en un campo terrestre fijo, desde 8,991 km hasta la liberación a 16,400 km da:

$$W_g=GM_Em\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}\right) \simeq1.47\times10^{30}\ \mathrm J. \tag{17}$$

La ecuación (17) es el trabajo estándar necesario para mover una masa $m$ hacia fuera en la gravedad de una masa $M_E$, desde una distancia $r_0$ hasta una distancia $r_1$ de su centro. Aquí $r_0=8{,}991$ km es la distancia entre centros cuando un cuerpo de masa lunar completa toca la superficie del progenitor (§A.2), y $r_1=16{,}400$ km es la distancia de liberación en el ecuador. «Campo terrestre fijo» significa que la masa de la Tierra se mantiene constante y el cuerpo se trata como un punto.

La estimación se refiere a mover una masa dada entre dos distancias; no es la cuenta completa del trabajo de un cuerpo que crece a partir de la fuente profunda. La cuenta completa debe incluir el cambio de la energía gravitatoria de todo el sistema, la energía de rotación, la energía interna, las pérdidas y la energía que se lleva el material que parte.

La energía de ligadura total de la Tierra no puede contarse automáticamente como energía disponible. La energía de ligadura es la energía que se necesitaría para desmontar toda la Tierra contra su propia gravedad; es grande, pero no está almacenada en una forma que pueda gastarse. La energía solo queda disponible cuando el cuerpo pasa a un estado más fuertemente ligado. Se requiere una evolución física que libere energía: por ejemplo, la organización de la densidad, la contracción o una disminución de la energía interna, junto con intercambios de energía de rotación. El trabajo es del orden de $10^{30}$ J, menos del uno por ciento de la energía de ligadura del progenitor; la evolución que lo libera —el hierro que desciende y un interior que se contrae y se enfría— es la misma evolución que impulsa el afloramiento. Cuando el hierro se hunde hacia el centro, la masa del progenitor se concentra y se libera energía gravitatoria; la elevación de la Luna solo necesita una pequeña fracción de ella. La cuenta completa de energía de esa evolución es un requisito enumerado en §D.1.

A.13 Una prueba conjunta en el mismo estado: presión, flujo y carga

Las secciones A.9 a A.11 pusieron a prueba la presión y el flujo por separado, y sobre el progenitor inicial. Una conexión real se enfrenta a todo ello a la vez, y en un estado posterior: una Tierra más pequeña (la masa de la Luna ya la ha abandonado), un día más lento, un cuerpo alejado del ecuador y el peso del cuerpo presionando sobre el extremo del conducto. La pregunta aquí es si un único conducto puede superar todas las pruebas en un mismo estado y, si no puede superarlas como un tubo delgado, qué forma debe tener.

Para poner a prueba las tres magnitudes juntas, elegimos el último estado del ascenso, a la latitud de liberación de la Parte C: masa de la Tierra $M_E$, masa del cuerpo $m$, un día de 5.77 horas, latitud 22.5°, y el centro del cuerpo un radio del cuerpo por dentro de la línea de corrotación, $r=15{,}397\ \mathrm{km}$, con su lado lejano tocando la línea (en la liberación, sobre la propia línea, la carga radial se anula y solo queda la carga lateral, §C.2). La línea de corrotación a 22.5° se encuentra a 17,287 km (Artículo 4); un cuerpo de radio 1,889.77 km cuyo lado lejano la toca tiene su centro a 15,397 km. Es el último estado del ascenso antes de la liberación: el cuerpo está en su punto más lejano antes de que su centro alcance la línea, y su peso sobre el conducto aún no ha caído a cero. Solo para una sección de presión analítica, se mantienen un radio volumétrico terrestre de 6,517 km y una aproximación de densidad homogénea. Son aproximaciones de sección, no la forma de equilibrio completa del cuerpo conectado.

Definimos un eje $u$ desde el centro de la Tierra hacia el cuerpo. El radio equivalente del cuerpo a densidad 2,600 es de 1,889.77 km, de modo que el extremo cercano del conducto de alimentación se encuentra en $u_t=r-R_b=13{,}507.23\ \mathrm{km}$. Por tanto, la columna va desde el centro de la Tierra ($u=0$) hasta el lado cercano del cuerpo ($u=u_t$); allí el cuerpo se asienta sobre ella. El potencial a lo largo del eje incluye la atracción del cuerpo y la aceleración del origen del sistema de referencia terrestre:

$$\Phi(u)=\Phi_E(u)-\frac{Gm}{r-u} +\frac{Gm}{r^2}u-\frac{1}{2}\omega^2u^2\cos^2\lambda. \tag{25}$$

La ecuación (25) enumera todos los efectos que tiran de un trozo de la columna a la distancia $u$, escritos como energía potencial por kilogramo. El primer término, $\Phi_E$, es la gravedad de la Tierra. El segundo es la propia gravedad del cuerpo, que atrae la columna hacia el cuerpo y así ayuda a la alimentación cerca de su extremo superior. El tercer término corrige el hecho de que la propia Tierra no está en reposo: el cuerpo atrae el centro de la Tierra hacia sí, de modo que un sistema fijo al centro de la Tierra está acelerado, y todo lo que hay en ese sistema siente una atracción aparente uniforme en sentido contrario. El cuarto término es el efecto centrífugo del giro; a la latitud $\lambda$ un punto a la distancia $u$ se encuentra solo a $u\cos\lambda$ del eje de giro, y por eso aparece $\cos^2\lambda$.

Para la esfera terrestre homogénea:

$$\Phi_E(u)= \begin{cases} -\dfrac{GM_E}{2R}\left(3-\dfrac{u^2}{R^2}\right),&u\le R,\\ -\dfrac{GM_E}{u},&u\ge R. \end{cases} \tag{26}$$

La ecuación (26) es el potencial de una esfera uniforme: dentro, se hace más profundo hacia el centro como una parábola, lo que corresponde a una gravedad que crece en proporción a la distancia al centro, como en §A.9; fuera, es la conocida forma de masa puntual.

El término lineal de la ecuación (25) cancela la aceleración uniforme del centro de la Tierra debida al cuerpo. Se obtiene $I_d=\Phi(R)-\Phi(0)=2.88219\times10^7$ y $I_o=\Phi(u_t)-\Phi(R)=2.42862\times10^7\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}$. Son los mismos dos saltos de potencial que en las ecuaciones (11) y (12), evaluados ahora en el estado posterior: el salto profundo casi no cambia, y el salto exterior es algo menor, sobre todo porque la columna termina en el lado cercano del cuerpo y no en el radio de corrotación, y la propia atracción del cuerpo ayuda. La presión de la fuente a lo largo de la sección es $p_s=\rho_p I_d=148.46\ \mathrm{GPa}$, donde aquí $\rho_p=5{,}150.96\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$, según la masa de la Tierra tras el reparto de la masa. Como en §A.9, la presión de la fuente es la carga de una columna de la propia densidad media del progenitor, ahora la de la Tierra sin la Luna.

Para la prueba de resistencia elegimos un conducto cilíndrico de radio $b$, densidad profunda 3,500, densidad exterior 1,500 kg/m³ y una viscosidad uniforme adoptada $\eta=10^{19}\ \mathrm{Pa\,s}$. El ritmo de masa es la media de referencia para 600 millones de años, $\dot M=3.882\times10^6\ \mathrm{kg\,s^{-1}}$; se trata de una prueba de estado, no de una demostración de que el estado dure 600 millones de años. Aplicando la estimación de flujo confinado a los dos segmentos se obtiene:

$$\Delta p_{\mathrm{visc}}=\frac{8\eta\dot M}{\pi b^4} \left(\frac{R}{\rho_d}+\frac{u_t-R}{\rho_o}\right). \tag{27}$$

La ecuación (27) es la relación de Poiseuille de la ecuación (16) aplicada sucesivamente a los dos segmentos y sumada: la presión gastada en fricción para empujar el ritmo de masa $\dot M$ a través de un segmento profundo de longitud $R$ lleno de fundido de densidad $\rho_d$, y de un segmento exterior de longitud $u_t-R$ lleno de material de densidad $\rho_o$. Dividir el ritmo de masa por la densidad lo convierte en un ritmo volumétrico; el material exterior, más ligero, debe fluir más deprisa para el mismo ritmo de masa, y por eso cuesta más por kilómetro.

La carga radial en el extremo se escribe como un esfuerzo medio $p_r=m_r a_r/(\pi b^2)$, y la componente lateral como $\tau_\lambda=m_r a_\lambda/(\pi b^2)$. Aquí $m_r a_r$ es la fuerza con la que el cuerpo presiona a lo largo del eje sobre el extremo del conducto —su peso en el sistema en rotación, la atracción gravitatoria hacia dentro menos la parte centrífuga hacia fuera a lo largo del eje— y $m_r a_\lambda$ es la fuerza lateral. La fuerza lateral existe porque el cuerpo no está en el ecuador: el efecto centrífugo apunta en dirección opuesta al eje de giro, no a lo largo de la línea desde el centro de la Tierra, y a la latitud 22.5° parte de él empuja el cuerpo lateralmente, hacia el plano ecuatorial. Dividir cada fuerza por la sección del conducto, $\pi b^2$, la convierte en un esfuerzo que debe soportar el extremo del conducto. Estas expresiones cierran el modelo promediado sobre una sección perpendicular al eje; no resuelven la distribución de presión a través de una conexión finita. El remanente de presión radial es:

$$\Delta p_{\mathrm{rem}}=p_s-\rho_d I_d-\rho_o I_o-p_r-\Delta p_{\mathrm{visc}}. \tag{28}$$

La ecuación (28) es el presupuesto completo de la ecuación (13), ahora con cada factura valorada en un mismo estado: la presión de la fuente, menos la carga de los dos segmentos, menos el peso del cuerpo sobre el extremo, menos la fricción del flujo. Como en §A.10, un remanente positivo significa que el empuje basta.

Cómo leer la tabla. Cada fila es un conducto de radio distinto en el mismo estado. Antes de pagar la carga y la fricción, la fuente y la carga hidrostática dejan unos 11 GPa: 148.46 GPa menos la carga de los dos segmentos (en cualquier fila, el remanente más la carga radial y la pérdida por flujo). La tabla muestra después lo que las facturas restantes toman de ellos. La carga radial es el peso del cuerpo repartido sobre la sección del conducto; disminuye como $1/b^2$, de 46.18 GPa a 500 km a 5.131 GPa a 1,500 km, porque el mismo peso descansa sobre un área mayor. La pérdida por flujo es diminuta en todas las filas —como máximo, alrededor de una centésima de gigapascal—, de modo que la fricción no es el límite en este estado. El remanente radial es lo que queda; es fuertemente negativo para un conducto de 500 km, justo por debajo de cero a 1,000 km y positivo a 1,500 km. El esfuerzo lateral es el empuje lateral que debe resistir el extremo del conducto; es casi tan grande como la carga radial en todas las filas, porque a 22.5° y tan cerca de la línea las partes lateral y radial del peso efectivo del cuerpo son de tamaño similar. La última columna es la masa de material que se encuentra en el segmento exterior del propio conducto, en unidades de la masa de la Luna; crece como $b^2$, desde alrededor de una décima de Luna a 500 km hasta una Luna completa a 1,500 km.

La masa del segmento exterior se estima con la misma geometría:

$$M_{\mathrm{bridge,out}}=\pi b^2\rho_o(u_t-R). \tag{29}$$

La ecuación (29) es el volumen de un cilindro de radio $b$ y longitud $u_t-R$, la parte del conducto que se alza por encima de la superficie de la Tierra, multiplicado por la densidad del material que lo llena.

Resultado de la prueba: con estos datos de entrada, el balance de presión radial se cumple a partir de un radio de unos 1,017 km. Pero ya en este umbral la masa del segmento exterior es de unas 0.46 masas lunares. Por tanto, el supuesto de una conexión de masa despreciable no es coherente en el rango que supera la prueba radial. Esta masa debe reasignarse entre los reservorios de la ecuación (1), e incluirse su campo gravitatorio y su cantidad de movimiento; no debe sumarse a las dos masas dadas sin cambiar el estado. Dicho llanamente: un tubo delgado fracasa porque el peso del cuerpo, concentrado en un extremo pequeño, aplasta el remanente por debajo de cero; un tubo lo bastante ancho para repartir ese peso es tan ancho que contiene él mismo casi media Luna de material. La conexión no puede ser a la vez estrecha y sin masa.

Además, un fluido estático que transmite presión solo a través de la sección radial no proporciona el esfuerzo lateral. Un líquido en reposo puede empujar, pero no puede sostener una fuerza lateral: eso es lo que lo hace líquido. Una columna de fundido puede soportar el peso del cuerpo a lo largo del eje, pero no puede por sí sola impedir que el cuerpo sea empujado hacia el ecuador. Una posible solución tendría que definir una forma de la conexión, esfuerzos viscosos o la resistencia de un material portante, y la cantidad de movimiento transferida en el flujo. El calentamiento facilita el paso; la carga lateral la soporta la forma de la conexión, que es la base ancha del domo de la Parte B.

La sensibilidad a la densidad sigue siendo decisiva: si se eleva la densidad exterior a 2,000 kg/m³, el remanente con un radio de 1,000 km pasa a ser de unos $-12.5\ \mathrm{GPa}$, con los demás datos de entrada sin cambios. Un aumento modesto de la densidad del segmento exterior desplaza así el radio umbral muy por encima de 1,000 km, por la misma razón que en §A.10: cada kilogramo por metro cúbico en la columna cuesta carga. Acortar el tiempo de alimentación a 100 millones de años multiplica por seis la pérdida por flujo en la estimación, pero no elimina el requisito de esfuerzo lateral ni la masa de la conexión. Aun multiplicada por seis, la pérdida por flujo sigue muy por debajo de un gigapascal en las tres filas, de modo que la conclusión no depende de la ventana temporal.

Se trata de un límite cuantitativo de la aproximación cilíndrica: superar la prueba de presión no es todavía superar la prueba completa de construcción. El resultado indica al modelo cómo debe ser su conexión: lo bastante ancha para superar el balance radial (por encima de unos 1,000 km) y, por tanto, lo bastante masiva para que su propia masa y sus esfuerzos laterales entren en la cuenta. Esa conexión es la base del domo de la Parte B —un contacto de 3,000 km de diámetro, la mitad de la base de 6,000 km en anchura y una cuarta parte en área—, y la Parte C muestra cómo el cuerpo comienza a separarse en la línea de corrotación y se libera justo más allá de ella. Un contacto de 3,000 km de diámetro tiene un radio de 1,500 km, la última fila de la tabla, donde el remanente radial es positivo; su carga lateral no la soporta la presión del fluido sino su forma, una base ancha y caliente que se alza sobre una pera más ancha.

La Figura 3 muestra las dos magnitudes que deciden la prueba a medida que el conducto se ensancha. La curva azul marino, el remanente radial, sube desde muy por debajo de cero y lo cruza a unos 1,017 km; a la derecha de la línea discontinua se cumple el balance radial. La curva roja, el esfuerzo lateral, disminuye con la anchura pero se mantiene en varios gigapascales en todo el rango: una carga lateral que la presión por sí sola no puede soportar. El recuadro superior registra el precio de superar la prueba: el segmento exterior ya pesa 0.46 de una Luna en el umbral y una Luna completa a 1,500 km.

Lo que tenemos ahora: la presión del progenitor basta para sostener una columna de fundido ligero hasta el radio de corrotación; un conducto de unos pocos cientos de kilómetros o más puede transportar la masa lunar en la ventana del escenario; la elevación cuesta del orden de $10^{30}$ J, una pequeña parte de lo que libera el hierro que desciende. Pero la conexión que cumple las tres condiciones en un mismo estado no es un tubo delgado. Es ancha, caliente y masiva, y soporta su carga lateral mediante su forma. La Parte B describe esa forma desde fuera.

La Parte A siguió el material que asciende dentro del cuerpo: la fuente profunda, la presión que lo impulsa, y el ritmo y la energía de la alimentación. Esta Parte mira el mismo cuerpo desde fuera. Su pregunta es sencilla de formular: ¿qué le ocurre a la piel exterior de la Tierra sobre la región de construcción mientras el cuerpo se construye por debajo y por encima de ella, y dónde acaba cada trozo de esa piel en la Luna que vemos hoy? La respuesta es el núcleo geométrico del modelo. Se construye aquí en cuatro pasos, uno por etapa, y el cuadro de cada paso se fija con números antes de dar el siguiente.

Toda la Parte se apoya en una sola imagen, y conviene tenerla presente desde el principio. La corteza exterior de la Tierra no se queda atrás mientras el cuerpo asciende; asciende con el cuerpo como la piel de su domo superior. El cuerpo mismo no es una pelota que flota libre, sino una pelota aplastada que descansa sobre la punta de la pera: dos domos, uno sobre otro: un domo inferior que se ciñe desde arriba a la punta redondeada, y un domo superior que se alza muy por encima de ella. Cuando más tarde el cuerpo se redondea hacia fuera hasta formar una esfera, cada parte de su superficie conserva su fracción del total, y así cada parte puede seguirse hasta la Luna actual.

Las cuatro etapas y cómo encajan en la serie. Este artículo numera sus propias etapas: etapa 1, la etapa plana (§B.1); etapa 2, el cuerpo sobre la punta de la pera (§B.2); etapa 3, el redondeo hacia fuera (§B.4); etapa 4, el achatamiento, el redondeo hacia dentro y la liberación (§§B.6, C.4–C.8). La serie en su conjunto numera la historia de la Luna en las etapas 0–8: 0 antes del abultamiento, 1 el abultamiento, 2 el domo, 3 la pera, 4 el redondeo (hacia fuera, luego achatamiento, luego hacia dentro), 5 la liberación, 6 el destino de la pera, 7 el alejamiento, 8 hoy. Las dos numeraciones se corresponden como sigue. La etapa 1 de este artículo es la etapa 0 de la serie y el comienzo del abultamiento, cuando la corteza aún yace plana sobre la alimentación. La etapa 2 es el abultamiento, el domo y la pera (etapas 1–3 de la serie) vistos en el momento en que el cuerpo se asienta como un domo sobre la punta de la pera. La etapa 3 es la primera parte de la etapa 4 de la serie, el redondeo hacia fuera. La etapa 4 es el resto de la etapa 4 de la serie —el achatamiento y el redondeo hacia dentro— junto con la etapa 5 de la serie, la liberación. La etapa 6 de la serie, el destino de la pera, es la Parte E de este artículo; la etapa 7, el alejamiento, es el Artículo 4, La órbita; la etapa 8, la Luna actual, es donde §§B.4–B.7 sitúan cada región de la superficie.

B.1 Etapa 1: la etapa plana y la corteza reunida

Antes de que el cuerpo ascienda, la capa siálica exterior del progenitor sobre la región de construcción yace plana, sobre una alimentación activa. «Siálica» se refiere al sial, la capa superior ligera de la corteza terrestre, rica en silicio y aluminio; bajo ella se encuentra el sima, la capa más densa, rica en silicio y magnesio. El material profundo alcanza el sial a través de aberturas y es eyectado por ellas; parte de los eyectos retorna y aterriza sobre la corteza expuesta, formando cráteres (Artículo 6, Los cráteres). La corteza en esta etapa es la fuente de la corteza de la Luna y de su registro de cráteres más temprano. Esto importa porque significa que la superficie más antigua de la Luna no se formó en la Luna: se formó aquí, en la Tierra, antes de que existiera el cuerpo, y después fue elevada.

El área inicial de la corteza que formará el domo difiere del área superficial del domo resultante. La cuenca del Pacífico de la reconstrucción del autor (Figura 4) —unos $1.65\times10^{14}$ m² con sus mares marginales, unos $1.0\times10^{14}$ m² sin ellos— es de 1.4 a 2.4 veces la superficie del domo superior en la etapa 2 ($7.0\times10^{13}$ m², más abajo). En este cuadro, la corteza sobre la región fue arrastrada hacia dentro en un factor de hasta aproximadamente dos en área a medida que se formaba el domo, como un paño extendido sobre una mesa se recoge hacia dentro cuando se levanta su centro. Por tanto, la cuenca marca el área fuente del material reunido, y no la huella del propio domo. Se trata de una lectura de un rasgo actual, y el artículo expone su dificultad como lo hizo el Artículo 2: el fondo actual de la cuenca es más joven que 180 Myr, y la lectura se refiere a una asimetría hemisférica de la litosfera que hay debajo: la capa exterior rígida de la Tierra, corteza y manto superior, que es más antigua y de raíces más profundas que el fondo marino que ahora la cubre.

La base de la pera y su parte trasera. La región marcada en la Figura 4 es la pera vista desde arriba tal como se inclinaba, no su pie. La base de la pera se encontraba al este, hacia América, y en toda su anchura tenía aberturas —hacia la pera y, a través de ella, hacia la Luna—: en la reconstrucción del autor su centro se encuentra cerca de Kiritimati, en las Islas de la Línea de Kiribati —junto a las aldeas de London, Paris y Poland—, a unos 1.9°N, 157.5°W, unos 4,800 km al este-sureste de la lectura anterior.

La pera no se alzaba vertical, y la razón es el giro de la Tierra. A medida que se estiraba, su parte exterior, alejada del eje, se retrasaba respecto al giro de la Tierra, como se retrasan los brazos de una patinadora cuando los extiende, y toda la pera se inclinaba hacia atrás, hacia el oeste, con su punta y la Luna sobre ella rezagadas (§C.8). También se inclinaba hacia el norte: desde una base cercana al ecuador, su punta alcanzaba unos 22.5°N, la latitud de liberación del Artículo 4. La rotación no produce esa inclinación hacia el norte —a cualquier latitud su empuje lateral es hacia el ecuador—; procede de la alimentación: la fuente profunda, la región de alimentación concentrada de §A.4, se encuentra al norte del ecuador, y la alimentación ascendía oblicuamente desde ella, al norte de la base, llevando consigo la pera hacia el norte (§D.1).

El lado occidental de la pera, bajo el cual se encuentra hoy Japón, es su parte trasera, que fue reintegrada en la Tierra tras la liberación; el frente de la pera, estirado bajo tensión mientras se inclinaba, fue reintegrado en las franjas del Artículo 9, Las franjas. El Artículo 9 localiza también la huella de la propia punta: entre dos inflexiones de las franjas, una región de 3,360 km de anchura centrada en 9.3°N, 169.3°E, a unos 3,760 km al oeste de la base según las coordenadas (una versión anterior daba 3,770 km) —la dirección en que la pera inclinada llevaba su punta—, mientras que la parte trasera, reintegrada, se encuentra en los arcos del Pacífico occidental. Los 22.5°N de la punta en la liberación y los 9.3°N de esta huella son magnitudes distintas: la primera es la dirección del centro de la Luna desde el centro de la Tierra en la liberación, la segunda la huella de la punta reintegrada en la superficie actual, unos 15° al norte del ecuador del sistema de franjas; se miden en sistemas de referencia distintos, y relacionar ambos sistemas —los ejes— es trabajo futuro. La pera nunca abandonó la masa de la Tierra. No se perdió en la liberación; tras la liberación, la diferenciación la reintegró en la Tierra, gradualmente, a lo largo de decenas a cientos de millones de años: su parte pesada a gran profundidad en la Tierra bajo la base de la pera (Parte E), su lado delantero en las franjas del Pacífico Norte y su parte trasera en los arcos del Pacífico occidental. La masa pasó de estar alta fuera de la Tierra a estar profunda en su interior. La base se encuentra sobre la gran provincia de baja velocidad del Pacífico, en el fondo del manto —una amplia región, visible en las imágenes sísmicas, por la que las ondas sísmicas viajan más despacio que en el manto circundante—, en los mapas publicados de esa provincia, que se extiende desde cerca de Hawái hacia el sur; la distancia medida desde la base hasta el centro y el borde de la provincia se da en §E.4. La naturaleza de las provincias profundas se deja abierta.

La Figura 4 debe leerse como una vista desde arriba de un objeto inclinado. El área marcada en el Pacífico centro-norte es donde el cuerpo de la pera yacía sobre la Tierra mientras se inclinaba hacia atrás, hacia el oeste; el pie de la pera, donde se alzaba desde la Tierra, se encontraba al este de ella, cerca de Kiritimati, próximo al ecuador. Los dos márgenes nombrados en el pie de figura delimitan la región fuente por los lados asiático y americano.

Lo que tenemos ahora: una corteza de sial plana sobre una alimentación activa, que ya lleva cráteres del material de retorno, reunida hacia dentro desde una región del tamaño del Pacífico, y el lugar donde la pera se alzó y se inclinó después.

B.2 Etapa 2: el cuerpo sobre la punta de la pera

La pregunta de esta sección es la forma del cuerpo en el momento en que es un cuerpo por primera vez: qué tamaño tiene, cómo se divide su superficie y qué densidad debe tener. En la etapa intermedia el cuerpo se asienta sobre la punta de la pera de §C.7, y la punta es ancha: el contacto mide 6,000 km de diámetro. El cuerpo es una pelota aplastada asentada sobre la punta redondeada de la pera. Su domo inferior yace sobre la punta curva y la sigue —la punta, con un radio de curvatura de unos 4,000 km, penetra en el cuerpo unos 1,350 km bajo el centro del contacto— y su domo superior se alza por encima: dos domos, uno sobre otro, con el inferior ciñéndose a la punta. La cifra de 1,350 km se sigue de la geometría: una superficie curva de radio aproximado de 4,000 km, que abarca una cuerda de 6,000 km, se eleva unos 1,350 km en su centro por encima de la línea de su borde. Así, la parte inferior del cuerpo no es plana; la punta la empuja hacia arriba desde abajo, como un gorro calado sobre una cabeza. Su geometría, para la masa lunar completa:

La tabla compara la misma masa —la masa completa de la Luna— en tres estados. Léase de izquierda a derecha: el cuerpo se vuelve más pequeño y más denso. Sobre la punta de la pera es grande y ligero, con un volumen de unas dos veces y media el actual; como esfera en la liberación su radio es de 1,890 km y su densidad de 2,600 kg/m³; hoy su radio es de 1,737 km y su densidad de 3,344 kg/m³. Léase la primera columna de arriba abajo: dos tercios de la superficie sobre la punta de la pera son el domo superior, un tercio es el domo inferior que descansa sobre la punta. Estas dos fracciones son el punto de partida de la regla de traslación de §B.4.

La altura del domo superior la fija la densidad, porque la masa está fijada: cuanto más alto es el domo sobre el mismo contacto, mayor es el volumen y menor la densidad. La misma masa sobre el mismo contacto tiene una densidad de unos 2,000 kg/m³ si su domo superior es tan alto como un hemisferio, 3,000 km, y la actual de 3,344 si mide 2,450 km, el mínimo posible (Figura 7): mínimo, porque un cuerpo de masa lunar no puede ser más denso de lo que es hoy la Luna. Adoptamos el domo alto: 1,300 kg/m³ es el estado espumado de lanzamiento que exige la prueba de presión de la Parte A —frente a los 1,500 adoptados allí—, y es la densidad a la que comienza el achatamiento del Artículo 7, Los polos. «Espumado» significa un fundido lleno de burbujas de gas, igual que una masa de pan que sube es más ligera que la harina y el agua de que está hecha; una columna ligera es lo que la presión de la fuente de la Parte A puede elevar hasta la línea de corrotación. El cuerpo está espumado, y su domo superior se alza muy alto.

El domo inferior es el contacto con el progenitor: $3.4\times10^{13}$ m². En esta etapa, la autogravedad del cuerpo —la atracción de su propia masa, que lo mantiene unido— es pequeña frente al estiramiento de marea del progenitor, la diferencia entre la atracción de la Tierra sobre el lado cercano y el lado lejano del cuerpo, que tiende a estirarlo: el cociente de §C.4 es de aproximadamente 0.11 (tomando como tamaño del cuerpo su altura total de unos 5,000 km, con un centro a unos 13,000 km del centro de la Tierra; para la esfera equivalente de 2,381 km el cociente sería de aproximadamente 1), de modo que la atracción propia del cuerpo es alrededor de una novena parte del estiramiento a lo largo de su altura total. Por tanto, el cuerpo está sostenido; es un domo sobre la punta, todavía no un cuerpo propio.

La Figura 5 es la historia de esta Parte en cinco imágenes, que deben leerse en su orden numerado. Sus paneles se numeran como imágenes, no como etapas: el panel (1) es la etapa 2 de este artículo, el panel (2) es la etapa 3, los paneles (3) y (4) son la etapa 4, y el panel (5) es la Luna actual. Mírense primero los dos domos del panel (1) y la línea donde el domo inferior se encuentra con la punta; después sígase esa línea a medida que se reduce hacia dentro en el panel (2), y el contorno del cuerpo a medida que se achata en el panel (3) y se redondea de nuevo en el panel (4). El redondeo hacia dentro se completa antes de que el cuerpo parta: en la liberación el cuerpo era redondo, con su corteza exterior rígida (Artículo 2, §B.7: razón de ejes de 1.04 como máximo).

B.3Qué se mueve y qué no

Un lector que imagine una corteza viajando miles de kilómetros desde la Tierra hasta la Luna preguntará qué fuerza lleva una corteza tan lejos. La corteza sí viaja, pero no es arrastrada a través del progenitor: asciende con el cuerpo de la pera y, al mismo tiempo, se separa lentamente del sima que tiene debajo y se desliza pera arriba hasta su punta, hacia el cuerpo. La impulsan las fuerzas del giro, en la dirección de la diferenciación hacia fuera, y la capa lubricada entre el sial y el sima facilita el deslizamiento bajo cizalla (§C.10). Por eso la punta se separa como un cuerpo propio. (La reunión hacia dentro de §B.1 pertenece a la etapa 1, antes del domo.)

Lo que se contrae durante la etapa 3 es el anillo del domo inferior —el anillo de la parte inferior del cuerpo entre el borde del contacto y su centro, la superficie expuesta del cuerpo, no la corteza—: desde el borde, a 3,000 km de radio, hasta el contacto, a 1,500 km, unos 1,500 km de movimiento hacia dentro a lo largo de toda la etapa 3, sobre la misma interfaz débil. El domo requiere una estructura reológica en capas —«reológica» significa cómo fluye cada capa bajo carga—: una corteza rígida y fría ($\eta\gtrsim10^{23}$ Pa s, el valor que impide que un cráter de 100 km se relaje en $10^7$ años a $g=8.25$), sobre un interior móvil, con la capa más débil en su interfaz. Aquí $\eta$ es la viscosidad, la resistencia de un material a fluir: la miel tiene una viscosidad mayor que el agua, y una corteza fría una enormemente mayor que ambas; una corteza de $10^{23}$ Pa s mantiene la forma de un cráter de 100 km de anchura durante diez millones de años sin hundirse. El desprendimiento del contacto de 6,000 a 3,000 km y el redondeo del cuerpo duraron millones de años: lentos al principio, a lo largo de cientos de millones de años, y más rápidos hacia el final, a lo largo de decenas de millones; el calendario de la corteza es el calendario del ascenso.

La gravedad del cuerpo en desarrollo mantiene la corteza contra su superficie. En la cima del domo superior, la propia gravedad del cuerpo es de unos 0.9 m/s² (para la esfera equivalente, 2,381 km a 1,300 kg/m³: la esfera del mismo volumen), y aumenta hasta 1.37 m/s² en el cuerpo cerrado de 1,890 km. Sobre una superficie centrada en el centro de masa del cuerpo, esta gravedad es normal a la superficie —apunta directamente hacia el interior del cuerpo— y sujeta la corteza; no se cuenta como impulso tangencial; el deslizamiento del sial hacia la punta lo impulsan las fuerzas del giro.

B.4 Etapa 3: el redondeo hacia fuera, el contacto y la regla de traslación

Esta sección responde a la pregunta central de la Parte B: cuando el cuerpo aplastado se convierte en una esfera, ¿adónde va cada parte de su superficie? El cuerpo es la carga sobre la punta de la pera de §C.7, y las etapas 3 y 4 son la misma punta estirada mientras el cuerpo que lleva se redondea y se libera. A medida que crece su autogravedad, el cuerpo se redondea hacia fuera (§C.4): el cuerpo aplastado se convierte en una esfera, a volumen constante y sin expansión. El contacto se estrecha de 6,000 a 3,000 km y permanece unido; el resto del domo inferior, el anillo entre ambos, se separa lentamente, desprendiéndose desde el borde hacia dentro con el sial sobre el que se asentaba (§C.4a), igual que una pelota blanda y medio desinflada apretada sobre la parte superior de un soporte redondeado se despega de él desde el borde hacia dentro cuando se infla. El proceso es continuo y lleva tiempo. Al final, el cuerpo está sostenido sobre un disco lo bastante ancho para que la conexión sea una capa y no un cuello (§C.5).

En qué se convierte la superficie del cuerpo sobre la esfera lo fija una sola regla: en el redondeo hacia fuera cada parte conserva su fracción de la superficie.

La regla dice que una parte que cubre el 7% de la superficie del cuerpo aplastado cubre el 7% de la superficie de la esfera, y así para cada parte. Sobre una esfera, una fracción de la superficie medida desde un punto es un ángulo fijo desde ese punto: un casquete que cubre el 7% de una esfera llega a unos $31^\circ$ desde su centro, y un casquete que cubre el 33% llega a unos $70^\circ$. El punto desde el que se miden los ángulos es el centro del contacto: la punta de la pera, a unos 22–24°N. Las zonas se calculan en torno a 24.1°N 335.2°E, el centro del contacto tal como lo delineó el autor, a 34.0° del punto subterrestre. La tabla aplica la regla a las tres partes del cuerpo:

Los colores de la tabla van desde la Tierra hacia fuera: rojo para el contacto, la parte que tocó la Tierra hasta el final; naranja para el anillo, desprendido durante el redondeo; azul para el domo superior, expuesto al espacio desde el principio. Léase cada fila de izquierda a derecha: la parte, su área sobre la punta de la pera, su fracción del total y los ángulos que ocupa sobre la esfera. El contacto y el anillo juntos forman el 33% del domo inferior; el domo superior es el 67% restante. Un casquete de $31^\circ$ en la Luna actual mide unos 1,900 km de diámetro.

La esfera tiene menos superficie que el cuerpo aplastado del mismo volumen — $7.1\times10^{13}$ m² frente a $1.04\times10^{14}$, un factor de 0.68 en área y de 0.83 en longitud— y, como cada parte conserva su fracción, el cambio es el mismo en todas partes: no desplaza ninguna zona ni ningún cráter respecto a otro. Una esfera tiene siempre la mínima superficie para su volumen; por tanto, el redondeo hacia fuera reduce la superficie, pero de manera uniforme, igual que una fotografía reducida de tamaño mantiene cada figura en su lugar. La secuencia de exposición de la construcción está escrita en la Luna como tres zonas concéntricas en torno al centro del contacto:

• El casquete de unos $31^\circ$ fue el contacto; no quedó del todo cubierto hasta la liberación: Serenitatis se desprendió de él primero, e Imbrium fue el último en separarse.

• El cinturón de $31^\circ$ a $70^\circ$ fue el anillo desprendido —el sial sobre el que se asentaba el cuerpo, desprendido del progenitor a medida que el contacto se reducía desde el borde hasta el disco—, expuesto durante el redondeo hacia fuera.

• La cara oculta, más allá de $70^\circ$, fue el domo superior: corteza en su totalidad, expuesta desde la etapa plana, con sus cráteres llevados hacia arriba.

Los ángulos se mantienen en las etapas posteriores, pues lo que sigue al redondeo hacia fuera —el achatamiento y el redondeo hacia dentro (Artículo 7)— cambia los polos frente al ecuador, no la cara visible frente a la oculta. En el achatamiento, el giro ensancha el cuerpo en su ecuador y lo rebaja en sus polos, y en el redondeo hacia dentro esto se deshace; ambos actúan simétricamente en torno al eje de giro y dejan la división entre cara visible y oculta donde estaba. El artículo entrega las zonas al Artículo 11, Los requisitos, como un requisito que debe contrastarse con las cuencas; la identificación del casquete con la región de Procellarum corresponde al Artículo 11, no a este artículo.

Las dos regiones en la Luna actual. La base de la colina y el último contacto pueden dibujarse ambos sobre la cara visible actual, a partir de sus contornos en el mapa LROC (el mapa de la Lunar Reconnaissance Orbiter Camera):

La tabla anida tres regiones, cada una dentro de la anterior. La colina, la base del abultamiento sobre la que se asentaba el cuerpo en la etapa 2, contiene el 99% de los mares lunares de la cara visible —las llanuras oscuras de la cara visible—; el contacto, los últimos 3,000 km que permanecieron unidos, contiene dos tercios de ellos; y Mare Imbrium se encuentra dentro del contacto.

Ambas regiones se encuentran en la cara visible, el contacto dentro de la colina y Mare Imbrium dentro del contacto: la presión y la alimentación que ascendían desde el interior de la Tierra entraban en el cuerpo a través de Imbrium y Serenitatis; Serenitatis se desprendió primero, e Imbrium permaneció conectado hasta la separación, como último enlace. Imbrium se encuentra dentro del contacto, no necesariamente en su centro. Los ángulos de la regla se miden en torno al centro del contacto, 24.1°N 335.2°E; la regla fija el tamaño de las zonas, los contornos fijan dónde se encuentran hoy. Los dos tipos de información se mantienen separados a propósito: la regla es un cálculo de fracciones y no necesita mapa; los contornos son una lectura del mapa e indican dónde se sitúan las zonas calculadas.

La Figura 6 es la tabla de la regla de traslación dibujada. En el panel A, identifíquese cada una de las tres partes del cuerpo aplastado; en el panel B, búsquese la misma parte sobre la esfera. Lo que hay que ver es que nada cambia de orden: el contacto, en el centro de la parte inferior, se convierte en el casquete en el centro de la cara visible; el anillo que lo rodea se convierte en el anillo que rodea el casquete; y el domo superior envuelve el resto de la esfera.

La Figura 7 muestra la relación usada en §B.2 entre la altura del domo superior y la densidad del cuerpo. Obsérvense los tres casos nombrados en el pie de figura. Cuanto más alto es el domo, menor es la densidad; el domo adoptado se sitúa en el extremo ligero, donde el cuerpo tiene la densidad espumada que exige la Parte A.

La Figura 8 lleva la regla a la Luna real. GRAIL, la misión gravimétrica de dos naves gemelas, cartografió el campo gravitatorio de la Luna y, a través de él, el espesor de su corteza. La línea azul marca dónde se encuentra hoy la base del cuerpo de la etapa 2 —el borde del domo inferior—; la línea negra marca el último contacto. Obsérvense los mares oscuros: casi todos caen dentro de la línea azul, y la mayoría dentro de la negra.

Lo que tenemos ahora: una regla que convierte la geometría del cuerpo sobre la punta de la pera en un mapa de la Luna —un casquete de la cara visible, un cinturón a su alrededor y una cara oculta—, con cada zona expuesta en un momento distinto.

B.5Las aberturas

La corteza no es continua. La alimentación de la Parte A llega al domo a través de aberturas, y el material es eyectado por ellas; en la etapa 1 son los mares de la corteza plana, en la etapa 2 las que están sobre el domo superior quedan expuestas a medida que asciende, y las que están bajo el domo inferior permanecen cubiertas hasta la liberación. Por tanto, las aberturas difieren según cuándo quedaron expuestas y qué pasó a través de ellas. Las aberturas de la cima y del flanco estuvieron activas mientras estaban expuestas, y el material fue eyectado por ellas hacia fuera. Las aberturas bajo el domo inferior —los mares lunares de la cara visible— fueron conductos internos: mientras estaban cubiertas, transmitían la presión de la Tierra a través de la pera hacia los mares que vemos y desde allí hacia la Luna, y el material pasaba a través de ellas como por una tubería.

Serenitatis quedó expuesto antes que Imbrium, y cuando quedó expuesto seguía ligeramente activo: se ven salpicaduras en el anillo que lo rodea, pero no cráteres gigantes. Los grandes cráteres los produce material grande, expulsado por la presión; los cráteres pequeños de los anillos que rodean los mares proceden del burbujeo y de salpicaduras, la mayoría de las cuales retorna al mar, mientras que una pequeña parte aterriza en su margen y deja allí su marca. Imbrium quedó expuesto el último. Una vez expuesto, la presión interna de la Luna cesó —no de inmediato, pero sí rápidamente— y con ella el estallido de los mares lunares. La Tierra siguió con su propia actividad y siguió lanzando material en todas direcciones, en su mayor parte pequeño; parte retornó a la Tierra y parte aterrizó en la Luna. Por eso los cráteres pequeños cubren toda la Luna, incluida la cara visible (§C.11).

La forma observacional de este cuadro —qué cuencas son cuáles y qué firma debería llevar cada una— es una cuestión del registro lunar y se examina en el Artículo 11; aquí las aberturas solo intervienen como los lugares donde la alimentación de la Parte A se encuentra con la corteza de la Parte B.

B.6El registro que lleva el cuerpo

Un cráter formado en la corteza por material de retorno mientras la corteza yacía expuesta en la etapa 1, o sobre el domo superior en la etapa 2, viaja con la corteza a medida que el cuerpo se redondea. Esto es estratigrafía —la lectura del orden a partir de lo que yace sobre qué—, no física nueva: $t_{\mathrm crater}<t_{\mathrm cover}$ para el segmento correspondiente. En palabras: un cráter formado antes de que su trozo de superficie fuera cubierto o transportado es transportado con él. El registro sobrevive si la corteza conserva su forma, que es el requisito que la convierte en corteza: una viscosidad del orden de $10^{23}$ Pa s o más en la superficie a lo largo de los $10^7$ años del ascenso. La corteza se endureció pronto, en la primera parte de la tormenta magmática; una corteza rígida ni se estiró al crecer el cuerpo ni se comprimió al redondearse este, y los cráteres sobre ella conservaron su tamaño.

El registro se escribe en tres etapas:

En el redondeo hacia fuera los cráteres ya presentes cambian con la superficie, igual en todas partes, y siguen llegando otros nuevos; se forman los polos.

En el achatamiento que sigue se forma la mayoría de los cráteres, y los mayores: la diferenciación ha avanzado, el material eyectado es rico en agua, y los polos, ya formados, reciben más.

En el redondeo hacia dentro, a medida que el achatamiento se relaja y todo el cuerpo se densifica, los cráteres conservan su tamaño y la superficie entre ellos se cierra, sobre todo en los polos, que los reúnen (Artículo 7), igual que los espacios entre botones cosidos en una tela se cierran cuando la tela se frunce, mientras los botones mantienen su tamaño.

El cinturón y el casquete yacían bajo el domo inferior y no recibieron cráteres antes de su exposición; sus poblaciones más antiguas son más jóvenes que las de la cara oculta. Una cara oculta cuya población más antigua es la más densa, un cinturón menos y un casquete menos aún es lo que predice la regla, y se enuncia en la Parte D con su prueba. Esta es la prueba que la regla de traslación entrega a la Luna: el orden en que se expusieron las zonas debe leerse en el orden de sus cráteres más antiguos.

Entre bastidores. Una versión anterior de esta parte hacía que la cara oculta se cerrara hasta un tercio de su área, con sus cráteres reduciéndose en un factor de 0.58 y su densidad triplicándose. Se interrogó directamente a los cráteres, mediante medidas que un cambio de escala alteraría: el diámetro de la transición de cráteres simples a complejos, los mayores cráteres en un área igual, los antiguos frente a los recientes (Artículo 7, §D.5). Los cráteres pequeños son cuencos simples; por encima de cierto diámetro desarrollan paredes aterrazadas y picos centrales, y ese diámetro de transición habría cambiado si la superficie que los lleva se hubiera comprimido. Entre las tierras altas de la cara oculta y las de la cara visible no encuentran diferencia de escala: la transición se sitúa en 16.5–17.1 km en la cara oculta y en 14.3–15.1 km en la visible. La geometría de §§B.2–B.4 se sigue de ello.

B.7El balance de masa y espesor

La última pregunta de la Parte B es si la corteza que la Luna tiene realmente puede formarse de este modo, tanto en su masa como en su espesor desigual. Según las mediciones actuales, la corteza de la cara oculta —de unos 55 km de espesor según GRAIL, a 2,550 kg/m³ sobre el hemisferio oculto— es de unos $2.6\times10^{21}$ kg, el 3.5% de la Luna (una versión anterior daba $2.7\times10^{21}$ kg y el 3.6%; recalculado en el Artículo 11, §B.3). Son observaciones de la corteza tal como es hoy, no el espesor de una corteza del modelo. En el modelo, la corteza de la cara oculta consta de muchas capas de sial compactado. Dos aportes la construyeron, capa sobre capa, sobre el domo superior: el sial del progenitor, que se deslizó pera arriba sobre el sima y se reunió en su punta (§C.10), y el material eyectado a través de las aberturas, que retornó una y otra vez sobre la parte lejana del cuerpo.

La eyección nunca cesó, y la diferenciación —la separación del material profundo por densidad, con el hierro pesado hundiéndose y el material ligero y rico en volátiles ascendiendo— avanzó con el tiempo. A medida que avanzaba, el material que salía era cada vez más ligero y más rico en fluidos: en el achatamiento, los flujos de salida eran de material terrestre relativamente ligero, lleno de agua. Cada capa depositada antes salió menos diferenciada, y por eso lleva más hierro que las capas que tiene encima. Por tanto, la corteza de la cara oculta está estratificada por edad y por diferenciación, y su contenido en hierro aumenta con la profundidad: cuanto más profunda es la capa, antes se formó, y más rica es en hierro, y más densa. Es una predicción, que se lee en la composición de los picos centrales de los cráteres frente a su profundidad de origen (§D.1).

La cara visible lleva una corteza de 30–35 km —el sial desprendido del anillo y, sobre el contacto, una corteza alisada por el calor y la gravedad—, unos $1.5\times10^{21}$ kg más a la misma densidad (una versión anterior daba $2\times10^{21}$ kg, lo que elevaría el total al 6.3%); juntas son el 4–6% de la masa lunar que los modelos de GRAIL dan para toda la corteza [4]. El 94–96% restante de la masa lunar es el material profundo de la Parte A —un reparto estimado a partir del cuadro anterior de la corteza, que debe recalcularse para la corteza estratificada—, y el metal que el interior debe llevar para un núcleo del 1.4% es un requisito sobre la alimentación de la Parte A, no sobre la corteza (Artículo 11, R2). Por tanto, el balance indica que la corteza que los dos aportes construyen en el exterior es una pequeña fracción de la Luna, y el grueso de la masa es lo que la Parte A eleva desde dentro.

La cara oculta es más gruesa que la cara visible (Figura 9) porque ambos se construyeron de manera distinta: el domo superior, expuesto todo el tiempo, reunió sial y material de retorno capa sobre capa; el domo inferior solo llevó el sial sobre el que se asentaba, y en su centro perdió incluso este por el calor del contacto. La cara visible es más delgada donde está abierto: los mares son las aberturas de §B.5, y la corteza bajo ellos es delgada porque son aberturas. La corteza de la cara oculta es la más antigua y la más gruesa; el límite entre ambas se sitúa en el borde del domo inferior (§B.4).

La Figura 9 es un mapa de toda la Luna desplegado en plano, con la cara visible en el centro y la cara oculta dividida entre los dos bordes; LOLA es el altímetro láser que midió las alturas de la superficie. Obsérvense los colores desde el centro hacia fuera: azul bajo los mares lunares de la cara visible, en el centro del mapa, donde se encontraban el contacto y las aberturas; rojo y blanco hacia ambos bordes, en la cara oculta, donde el domo superior reunió sus capas. El mapa es la regla de traslación vista en el espesor de la corteza.

Lo que ha aportado la Parte B: la corteza de la Luna y sus cráteres más antiguos procedían de la corteza exterior de la Tierra, que ascendió como la piel del domo superior; el cuerpo se asentaba como dos domos sobre la punta de la pera; cuando se redondeó hacia fuera, cada parte conservó su fracción de la superficie, de modo que el contacto se convirtió en un casquete de la cara visible, el anillo desprendido en un cinturón y el domo superior en la cara oculta. La Parte C se ocupa ahora de la conexión bajo el cuerpo: qué soporta y cómo se libera el cuerpo.

La Parte A mostró que la presión puede alimentar el cuerpo, y la Parte B siguió la superficie del cuerpo desde la etapa plana hasta el redondeo hacia fuera. Esta Parte plantea la cuestión mecánica que ambas dejan abierta: qué mantiene el cuerpo unido a la Tierra mientras asciende, y cómo se libera. La respuesta se construye por pasos. Las secciones C.1–C.3 calculan la carga que debe soportar la conexión en la liberación y muestran por qué un cuello estrecho no puede soportarla. Las secciones C.4–C.5 muestran cómo la soporta un contacto ancho y caliente, y cómo el cuerpo comienza a separarse en la línea y se libera unos 210 km más allá de ella, mientras el contacto solo opone una pequeña resistencia; §C.5a da la búsqueda de la distancia de liberación. La sección C.6 entrega el estado de liberación al Artículo 4 (La órbita). Las secciones C.7–C.9 describen la estructura bajo el contacto —un abultamiento de la Tierra estirado en una pera, una parte de la Tierra sostenida por la gravedad terrestre— con su anchura, su longitud y su masa. Las secciones C.10–C.11 cierran con lo que el cuerpo se llevó consigo y lo que la Tierra siguió haciendo tras la liberación.

Tres palabras se mantienen separadas en todo momento. Una fuerza es la tracción o el empuje total, en newtons. Un esfuerzo es esa fuerza dividida por el área que la soporta, en pascales (un gigapascal, GPa, es unas diez mil veces la presión del aire a nivel del mar). Un cambio de forma es lo que hace un material cuando el esfuerzo sobre él no está equilibrado. Una conexión puede soportar una fuerza grande con un esfuerzo pequeño si es ancha, y la misma fuerza puede desgarrar una estrecha.

C.1 El casquete no soporta toda la presión de la fuente

La pregunta de esta sección es sencilla y fácil de responder mal: ¿empuja toda la presión de la fuente profunda sobre el casquete exterior del cuerpo? No. En equilibrio hidrostático —el estado en el que, a cada profundidad, la presión de un fluido soporta justo el peso de lo que tiene encima— la presión varía a lo largo del camino. Es máxima en la fuente profunda y disminuye en la subida, porque en cada paso ha soportado el peso de la columna de encima. Por tanto, la presión de la fuente profunda (unos 150 GPa, Parte A) no debe introducirse como una diferencia de presión uniforme a través del casquete exterior.

Una escala útil es la presión que produce el cuerpo por su propio peso. Para un cuerpo esférico homogéneo de masa lunar y densidad 2,600 kg/m³ se obtiene un radio de unos 1,890 km y una presión central debida a su propia gravedad:

$$p_c=\frac{3Gm^2}{8\pi R_b^4}\simeq3.37\ \mathrm{GPa}. \tag{18}$$

Aquí $G$ es la constante gravitatoria, $m$ la masa lunar y $R_b$ el radio del cuerpo. La fórmula es el resultado estándar para una esfera uniforme: cada capa está comprimida por el peso de las capas que tiene encima, y la suma alcanza su valor máximo en el centro. En palabras, la propia gravedad del cuerpo por sí sola comprime su centro hasta unos 3.37 GPa, unas cuarenta veces menos de lo que mantiene la fuente profunda. Por tanto, la presión que llega al cuerpo ya se ha gastado, en su mayor parte, en elevar la columna que tiene debajo.

La presión hidrostática disminuye hacia el límite. Sin embargo, una envoltura de espesor finito, el flujo entrante, las mareas y una geometría no esférica pueden imponer cargas sobre ese límite. Por tanto, la diferencia de presión y los esfuerzos locales deben calcularse; no debe suponerse automáticamente que son nulos. Esta es la razón por la que las secciones siguientes calculan la carga de la conexión directamente, a partir del movimiento del cuerpo, y no a partir de la presión de la fuente.

C.2 ¿Qué requiere la conexión a latitud no nula?

El cuerpo está unido a la Tierra y gira con ella. Para seguir girando con la Tierra en un lugar fijo, debe recibir en cada momento exactamente la aceleración que exige este movimiento circular; lo que no aporten la gravedad y la rotación debe aportarlo la conexión. Esta sección calcula ese remanente en el momento de la liberación.

Definimos $r$ como la distancia entre los centros, $K=G(M_E+m)$ y $m_r=M_Em/(M_E+m)$. $M_E$ es la masa de la Tierra; $K$ mide la gravedad conjunta del par; y $m_r$ es la masa reducida, la masa única que representa a los dos cuerpos cuando su movimiento mutuo se trata como el movimiento de uno solo (es ligeramente menor que $m$, porque la Tierra también se mueve un poco en torno al centro común). Para un movimiento unido en corrotación —el cuerpo girando con el giro de la Tierra, a la misma velocidad angular $\omega$— a una latitud constante $\lambda$ y a un ritmo constante en el momento examinado, las aceleraciones de sostén requeridas son:

$$a_r=\frac{K}{r^2}-\omega^2r\cos^2\lambda, \qquad a_\lambda=\omega^2r\sin\lambda\cos\lambda. \tag{19}$$

La primera es positiva hacia fuera, y la segunda es hacia el polo en el hemisferio norte. En palabras: $a_r$ es el sostén radial, la atracción de la Tierra $K/r^2$ menos la parte del impulso centrífugo de la rotación que apunta directamente en dirección opuesta al centro de la Tierra. $a_\lambda$ es el sostén lateral. Fuera del ecuador, el impulso centrífugo de la rotación, $\omega^2 r\cos\lambda$, apunta en dirección opuesta al eje de giro, no al centro de la Tierra; por tanto, parte de él corre a lo largo del suelo hacia el ecuador, igual que una cuenta ensartada en un aro que gira es empujada hacia la parte más ancha del aro. Para mantener el cuerpo en su latitud, la conexión debe tirar de él hacia el polo con una aceleración igual a esa parte lateral. La fuerza total requerida de la conexión en la aproximación de dos cuerpos es:

$$F_{\mathrm{conn}}=m_r\sqrt{a_r^2+a_\lambda^2}. \tag{20}$$

Es la masa reducida por la aceleración combinada, con las dos componentes sumadas en ángulo recto.

En el estado de liberación adoptado en la serie —latitud $\lambda=22.5^\circ$, un día terrestre de 5.77 h, y el centro de masa de la Luna sobre la línea de corrotación a esa latitud, $r=r_{\mathrm co}\cos^{-2/3}\lambda$ (Artículos 2 y 4)— se obtiene:

$$T=5.77\ \mathrm h,\qquad r=17{,}287\ \mathrm{km}, \tag{21}$$

$$a_r=0,\qquad a_\lambda=0.559\ \mathrm{m\,s^{-2}},\qquad F_{\mathrm{conn}}=4.06\times10^{22}\ \mathrm N. \tag{22}$$

La línea de corrotación es el conjunto de puntos en los que un cuerpo que gira con la Tierra ya se mueve a la velocidad de una órbita circular libre; en el ecuador se encuentra en $r_{\mathrm co}$, 16,399 km con el día de 5.77 horas, y a la latitud $\lambda$ se encuentra más lejos, en $r_{\mathrm co}\cos^{-2/3}\lambda$, 17,287 km a 22.5°. Sobre esa línea el requisito radial se anula exactamente, $a_r=0$: la gravedad y la rotación se equilibran a lo largo del radio, y la conexión no necesita empujar ni tirar hacia fuera. El requisito lateral no se anula. Es de 0.559 m s$^{-2}$, unos dos quintos de la propia gravedad superficial del cuerpo en la liberación (1.37 m/s², §B.3), y aplicado a la masa reducida da una fuerza de $4.06\times10^{22}$ N. Esa es la carga que debe soportar la conexión en la liberación, y es enteramente lateral.

Una fuerza dice poco de una conexión hasta que se divide por el área que la soporta. Sobre una sección circular de radio $b$, el esfuerzo medio equivalente $F_{\mathrm{conn}}/(\pi b^2)$ es:

La tabla se lee de arriba abajo: el esfuerzo disminuye con el cuadrado del radio, de modo que duplicar la anchura de la conexión divide el esfuerzo por cuatro. Con un radio de 1,500 km, una sección perpendicular a la dirección radial no requiere componente normal —sobre la línea se cumple el balance radial—, pero sí una componente lateral de unos 5.74 GPa. Esa componente lateral es una cizalla: tiende a deslizar una cara de la sección respecto a la otra. Una presión isótropa sobre una sección así —una presión que empuja por igual en todas direcciones, como en un fluido en reposo— no proporciona por sí sola la componente lateral. Otra forma de la conexión puede cambiar la distribución de esfuerzos, pero debe calcularse. Cuando la masa de la conexión es significativa, también deben incluirse esta y la cantidad de movimiento del flujo; la tabla es una estimación de carga para dos cuerpos, no una solución para una conexión masiva.

Por qué un cuello estrecho no puede hacer el trabajo. La tabla muestra la dificultad de una conexión estrecha. Un cuello de 1,000 km de radio tendría que soportar 12.92 GPa de cizalla, y la prueba conjunta de §A.13 da 46.04 GPa para un conducto de 500 km de radio. Un cuello que lleva la alimentación está caliente y parcialmente fundido, y un material fundido no soporta ninguna cizalla duradera: bajo una carga lateral constante, fluye. Por tanto, un cuello estrecho no puede mantener el cuerpo a 22.5°; se doblaría y fluiría hacia el ecuador. La salida no es un cuello más resistente, sino una estructura más ancha: una parte de la propia Tierra, sostenida por la gravedad terrestre, que soporta la carga lateral igual que la Tierra soporta sus montañas. Esa estructura es la base ancha del domo y la pera que hay debajo (§C.4, §C.7). La Figura 10 muestra la carga que debe soportarse.

La figura se lee desde el cuerpo: la flecha roja corta a lo largo del radio es el requisito radial, que es nulo sobre la línea; la flecha roja larga hacia el polo es el requisito lateral que permanece. La conexión debe aportar el segundo.

C.3Cómo separa la corrotación el cuerpo

La corrotación es lo que separa el cuerpo, pero no como un interruptor que se acciona en un único punto. Esta sección explica qué ocurre en la línea. En el plano ecuatorial, y en la aproximación de cuerpo puntual, el cambio de signo de $\omega^2r-K/r^2$ cambia la dirección del sostén requerido: dentro de la línea la conexión debe sostener el cuerpo frente a la atracción de la Tierra; más allá, debe retenerlo frente al impulso centrífugo. En la propia línea el requisito pasa por cero. A latitud no nula, incluso cuando $a_r=0$, $a_\lambda\ne0$ permanece. En el estado de liberación este punto es la propia línea, 17,287 km a 22.5°, y la carga de la conexión allí sigue siendo de $4.06\times10^{22}$ newtons.

Por tanto, la línea de corrotación es el lugar donde la dirección del requisito radial se invierte; es también donde el cuerpo comienza a separarse. La conexión cede un poco más allá de ella, una vez que ya no puede transmitir la fuerza, el momento de fuerza y el flujo de cantidad de movimiento requeridos. La alta temperatura y la fusión pueden reducir su resistencia a la deformación; la presión puede contribuir al empuje; el redondeo cambia la forma del contacto y la trayectoria de los esfuerzos. El calentamiento, la presión y el redondeo actúan juntos en el mismo sistema. Las secciones siguientes muestran cómo actúan juntos en la línea: la línea fija dónde la atracción radial neta se vuelve hacia fuera, y más allá de ella el cuerpo, mientras el contacto solo opone una pequeña resistencia, es arrastrado hacia fuera y se libera unos 210 km más allá de la línea (§C.5–C.5a).

C.4 El redondeo hacia fuera y una conexión ancha

El redondeo es una respuesta de la forma a la autogravedad, las mareas, el giro y la reología (el modo en que un material fluye bajo carga). Un cuerpo mantenido unido por su propia gravedad tiende a convertirse en una esfera; la marea de la Tierra lo estira en una forma alargada a lo largo de la línea que une a ambos; el giro lo achata; y su viscosidad fija con qué rapidez puede seguir estos tirones. La comparación:

$$\frac{Gm}{R_b^2}>\frac{2GM_ER_b}{r^3} \tag{23}$$

da una estimación local de la competencia entre la autogravedad y el estiramiento de marea. El lado izquierdo es la propia gravedad del cuerpo en su superficie, que lo mantiene unido. El lado derecho es el estiramiento de marea a través del cuerpo: la Tierra atrae el lado cercano con más fuerza que el centro y el centro con más fuerza que el lado lejano, y la diferencia a lo largo de un radio del cuerpo es $2GM_ER_b/r^3$. Cuando gana el lado izquierdo, el cuerpo se sostiene a sí mismo; cuando gana el lado derecho, el cuerpo solo está sostenido por aquello sobre lo que descansa. En la etapa 2, sobre la punta ancha, el cociente entre ambos es de aproximadamente 0.11 (§B.2): el cuerpo sigue siendo un domo sobre la punta, todavía no un cuerpo propio. La supervivencia en órbita y el desgarro de la conexión son las dos condiciones que el Artículo 2 impone al cuerpo liberado, y esta comparación es donde intervienen.

La conexión ancha puede estirarse y separarse mientras fluye y se deforma, sin estrecharse antes en un cuello. Esta es la diferencia central con un estrangulamiento: una gota que sale de una jeringa se adelgaza en un hilo y se rompe, pero una capa ancha y blanda que se separa tirando de ella se abre de una vez en toda su anchura (§C.5).

El orden de los cambios de forma está fijado. El cuerpo completó su redondeo hacia fuera mucho antes de la liberación, mientras aún giraba con la Tierra; después se acható con el giro, y tanto el achatamiento como el redondeo hacia dentro que lo relajó ocurrieron mientras el cuerpo estaba unido. En el redondeo hacia dentro, la razón de ejes bajó de 1.69 en el máximo del achatamiento a $a/c\simeq1.2$ al final de la etapa unida (Artículo 7, Los polos). En la liberación el cuerpo era redondo, con su corteza exterior rígida (Artículo 2, §B.7: una razón de ejes de 1.04 como máximo). Los esfuerzos detallados y la evolución de la geometría quedan por resolver. El contacto en este cuadro es el disco de 3,000 km que queda del domo inferior del cuerpo en la etapa 3 (Parte B.4); su anchura, 1,500 km de radio, es el $R_c$ del cálculo de liberación de §C.5.

Por qué la base ancha puede hacer el trabajo. Dos cosas cambian cuando la conexión es la base ancha del cuerpo y no un cuello. La carga se reparte sobre un disco de 1,500 km de radio, de modo que el esfuerzo medio baja a los 5.74 GPa de la tabla de §C.2 en lugar de aumentar a medida que el radio se reduce. Y bajo el disco el sostén no es un hilo, sino una parte ancha de la propia Tierra, la pera de §C.7, una parte de la Tierra sostenida por la gravedad terrestre. El contacto solo tiene que transmitir la carga a la pera, a lo largo de una distancia corta; la pera la lleva hasta la Tierra.

C.4a Desprendimiento: el cuerpo parte con el sial sobre el que se asentaba

Esta sección describe lo que ocurre sobre las partes del domo inferior que no son el contacto final. El cuerpo se asentó desde el principio sobre la capa siálica del progenitor —la capa exterior ligera, rica en silicio y aluminio (§C.10)—, creció sobre ella y partió con ella. La imagen es la de un balón de fútbol o de baloncesto desinflado, apretado sobre la parte superior redondeada de un soporte e inflado mientras sigue sobre el soporte: a medida que se hincha y se redondea, la pared que toca el soporte se despega de él, desde el borde hacia dentro, y se redondea con el resto del balón. Aquí el soporte es la punta de la pera.

Sobre la base de 6,000 km la separación es un desprendimiento. A medida que el cuerpo se redondeaba hacia fuera (§C.4), el contacto se reducía desde el borde del domo inferior, de 6,000 km de diámetro, hasta el disco de 3,000 km (§B.4); el desprendimiento es lento, y el disco permanece unido hasta el final. A lo largo de ese anillo —la corona entre el borde de 6,000 km y el disco de 3,000 km— el cuerpo no se desgarró del progenitor: el sial bajo él se desprendió del sima subyacente (la capa más densa, rica en magnesio, situada bajo el sial), a lo largo del límite lubricado entre ambas capas (§C.10), y se fue con el cuerpo. Ese sial desprendido es el cinturón actual entre $31^\circ$ y $70^\circ$ del centro del contacto (§B.4).

El contacto de 3,000 km es un mecanismo caliente. En el centro del domo inferior el cuerpo se alzaba sobre la cima de la pera, y allí el calor era extremo: fundió la capa de sial y la eliminó. La última separación allí pudo no ser limpia, pero el calor y la gravedad del cuerpo alisaron toda la región. Donde la corteza de la cara visible es más delgada, está abierta: los mares son las aberturas de §B.5, y la corteza bajo ellos es delgada porque son aberturas.

Y la liberación misma. Cuando el centro de masa de la Luna alcanza la línea de corrotación, el cuerpo comienza a separarse; las fuerzas de corrotación tiran de él hacia fuera con fuerza, y lo último del contacto, que solo opone una pequeña resistencia, cede unos 210 km más allá de la línea (§C.5, C.5a, C.8). El cuerpo parte entonces con su sial: la corteza sobre el domo, el sial desprendido sobre el anillo y, sobre el contacto, una superficie ya alisada por el calor.

Así, el cuerpo se separa de dos maneras a la vez: un desprendimiento lento sobre el anillo, donde el sial se va con él, y un tirón sobre el disco central, donde el contacto caliente solo opone una pequeña resistencia. El segundo se estima a continuación.

C.5 Cómo se libera el cuerpo más allá de la línea de corrotación

El Artículo 2 sitúa la liberación donde el centro de masa de la Luna alcanza la línea de corrotación: más allá de ella, las fuerzas de corrotación arrastran el cuerpo hacia fuera. La Luna comienza a separarse cuando su centro de masa alcanza la línea y se libera unos 210 km más allá de ella, cuando algo más de la mitad la ha cruzado (§C.5a). El contacto entre la pera y el cuerpo solo opone una pequeña resistencia; el cuerpo es arrastrado hacia fuera con fuerza, y este tirón levantó las crestas de espátula. Esta sección estima cuánto resistió el contacto.

Por qué el centro de masa y por qué la línea. Un cuerpo que se mueve como una sola pieza responde a la suma de las fuerzas que actúan sobre él, y esa suma actúa como si toda su masa estuviera en su centro de masa. Dentro de la línea de corrotación, la atracción de la Tierra sobre el cuerpo es mayor que lo que necesita su movimiento circular, de modo que el cuerpo en su conjunto presiona hacia la Tierra y el contacto está en compresión: es empujado, no estirado, y resiste. El lado lejano del cuerpo alcanza primero la línea (la tabla de la punta en §C.7), pero mientras el centro esté dentro, las partes situadas dentro de la línea pesan más que las situadas más allá y el cuerpo sigue presionando hacia dentro. Cuando el centro cruza la línea, la suma se invierte: el impulso centrífugo supera a la atracción, y el cuerpo empieza a tirar del contacto. A partir de entonces el contacto está en tracción, y la pregunta pasa a ser cómo se comporta una capa caliente y viscosa cuando se tira de ella.

Qué significa la liberación de Stefan. Dos placas planas de vidrio con una película delgada de agua entre ellas se deslizan con facilidad, pero cuesta separarlas en sentido perpendicular. Para abrir la rendija, el líquido debe fluir desde los bordes hacia el centro, y cuanto más delgada es la rendija, más le cuesta fluir. Si se tira lentamente, las placas se separan al principio despacio; una vez que la rendija se ha ensanchado un poco, el líquido entra con facilidad y se separan de golpe. La resistencia no es una resistencia mecánica que se rompe; es una resistencia a la velocidad de apertura, fijada por la viscosidad de la película —su resistencia a fluir—, por el tamaño de las placas y por la anchura de la rendija. Este es el problema de Stefan, y el contacto es una película así a una escala muy grande.

Modelamos el contacto en la etapa 3 como una capa newtoniana de espesor $d_0$, radio $R_c=1{,}500$ km (el disco de 3,000 km de §B.4) y viscosidad $\eta_c$. Una capa newtoniana es aquella cuya resistencia a fluir es proporcional a la rapidez con que se la hace fluir, como en el agua o la miel. Una capa así no soporta tracción; resiste la velocidad a la que se separan los dos cuerpos. Para dos discos que se separan a velocidad $\dot d$ la resistencia es la de Stefan,

$$F=\frac{3\pi\eta_cR_c^4\,\dot d}{2d^3}, \tag{30}$$

Aquí $d$ es la rendija en un momento dado y $\dot d$ la velocidad a la que se abre. La ecuación dice tres cosas. La resistencia crece con la viscosidad y con la velocidad de apertura: un tirón lento encuentra poca resistencia. Crece de forma muy pronunciada con el tamaño del disco, como $R_c^4$: un disco el doble de ancho resiste dieciséis veces más. Y cae de forma muy pronunciada a medida que la rendija se abre, como $d^{-3}$: una rendija el doble de ancha resiste ocho veces menos.

La fuerza que impulsa la separación, una vez que el centro de masa del cuerpo ha cruzado el radio de corrotación en $\Delta r$, es la fuerza neta hacia fuera en el sistema en rotación, $F_{\mathrm net}=m\,(3\omega^2)\,\Delta r$, con $3\omega^2=2.7\times10^{-7}\ \mathrm{s^{-2}}$ en el día de 5.77 horas de la liberación (Artículo 2). El factor $3\omega^2$ indica con qué rapidez crece la aceleración neta hacia fuera con la distancia más allá de la línea: el impulso centrífugo $\omega^2 r$ crece hacia fuera mientras la atracción $K/r^2$ disminuye, y en la línea ambos juntos cambian en $3\omega^2$ por cada metro de distancia. En la línea la fuerza impulsora es cero; un pequeño paso más allá da una pequeña fuerza hacia fuera, un paso mayor una mayor. Tomando toda la extensión en la capa, $\Delta r=d-d_0$:

$$\dot d=\frac{2m\cdot3\omega^2\,(d-d_0)\,d^3}{3\pi\eta_cR_c^4}. \tag{31}$$

La ecuación (31) iguala la fuerza impulsora a la resistencia y despeja la velocidad de apertura. Contiene los dos efectos que aceleran la liberación: la fuerza impulsora crece con $d-d_0$, y la resistencia cae con $d^3$.

La solución se desboca: la resistencia cae como $d^{-3}$ a medida que la rendija se abre, de modo que la pequeña resistencia del contacto pronto cede; la liberación se define aquí como el momento en que la rendija alcanza $d=3d_0$, donde la resistencia ha caído en un factor de 27 y la solución se desboca. El margen en la liberación lo fija solo el espesor de la capa, $\Delta r_{\mathrm release}=d-d_0\simeq2d_0$ (una versión anterior daba $(1$–$2)\,d_0$); la viscosidad y el radio del contacto fijan solo el tiempo. La razón es que la rendija debe abrirse un múltiplo fijo del espesor inicial antes de que la resistencia se desplome, cualquiera que sea la viscosidad; una capa más rígida solo hace que la misma apertura tarde más. La tabla da cuatro casos; la columna del tiempo cambia con la viscosidad y el espesor, la columna del margen solo con el espesor:

Los tiempos se obtienen integrando la ecuación (31) desde la rendija semilla $d_0(1+10^{-3})$ hasta la rendija de liberación $3d_0$ con la masa lunar; escalan como $\eta_c/d_0^{3}$. Una versión anterior de esta tabla daba unos 4,800, 320 y $5\times10^{5}$ años para las tres últimas filas; esos valores no se seguían de la ecuación (31), que da los tiempos ahora mostrados y concuerda con las curvas de la Figura 11. Una versión posterior daba unos 240, 25,700, 1,640 y $2.6\times10^{6}$ años; los tiempos ahora mostrados son la integral misma, y las cuatro filas escalan entre sí como $\eta_c/d_0^{3}$. La columna del margen no cambia.

Una capa de contacto de 20–50 km de espesor da 40–100 km, y la liberación adoptada de unos 210 km (§C.5a) corresponde a una capa de unos 105 km de espesor; en todos los casos, un margen pequeño frente a una distancia de liberación de 16,400–17,300 km, menos del uno y medio por ciento de ella. Por tanto, el cuerpo parte prácticamente sobre la línea, como exige el Artículo 2, y la órbita en la que entra la fija la línea, no los detalles de la capa. En el relato de §C.7–C.8 esta es la última apertura del contacto, una vez que el centro de la Luna ha alcanzado la línea y las fuerzas de corrotación y la presión interna actúan juntas. La liberación en la línea la lleva a cabo, por tanto, la conexión que encuentra este artículo, sin un cuello estrecho y sin una nueva suposición: el contacto, caliente y blando (§A.5, §B.4), resiste solo un poco, y para una capa de unos 105 km de espesor el cuerpo se libera unos 210 km más allá de la línea (una versión anterior tomaba una capa de 50 km de espesor y una liberación unos 100 km más allá de la línea).

Los tiempos de la tabla, de unos pocos cientos de años a unos pocos millones de años (una versión anterior decía «hasta unos cientos de miles de años»), son cortos frente a la duración de la construcción. Estiman la pequeña resistencia del contacto; el cuerpo mismo es arrastrado hacia fuera con fuerza, y este tirón levantó las crestas de espátula.

El acoplamiento rotacional. Una segunda cuestión es si el mismo contacto puede mantener al cuerpo girando con la Tierra mientras asciende. A medida que el cuerpo se desplaza hacia fuera, debe recibir más velocidad lateral para seguir el ritmo de la rotación, y eso requiere un par, una fuerza de giro. La misma capa responde a la cuestión del acoplamiento rotacional: el par necesario para mantener al cuerpo en corrotación mientras asciende 1 km/año es $2m\omega r\dot r\simeq2\times10^{22}$ N m; la fuerza lateral que implica en el cuerpo, $2m\omega\dot r\simeq1.4\times10^{15}$ N, repartida sobre el contacto, es un esfuerzo de cizalla de unos 0.2 kPa (una versión anterior daba 7 kPa), despreciable para cualquier viscosidad de la tabla. Una quinta parte de kilopascal es aproximadamente una quinientosava parte de la presión del aire al nivel del mar; una capa de cualquiera de las viscosidades anteriores la soporta con una velocidad de cizalla despreciable. El amplio contacto mantiene el acoplamiento rotacional: sujeta al cuerpo lateralmente mientras asciende, y a lo largo del radio resiste solo un poco una vez que el centro ha pasado la línea.

La Figura 11 muestra la apertura de la rendija en el tiempo para dos de los casos. Ambas curvas permanecen casi planas durante la mayor parte del tiempo y luego suben bruscamente: la resistencia cede una vez que la rendija se ha abierto un poco. La capa más gruesa se libera antes, pero en ambos casos la rendija en la liberación se ha abierto hasta tres veces el espesor inicial, de modo que el margen más allá de la línea, $d-d_0$, es el doble del espesor de la capa: 40 km para la capa de 20 km y 100 km para la capa de 50 km, como en la tabla (una versión anterior de esta frase llamaba al margen tres veces el espesor).

El orden es fijo: el cuerpo se redondeó hacia fuera y se acható durante la etapa adherida, y su redondeo hacia dentro se completó antes de la liberación; la razón de ejes de 1.2 pertenece a la etapa adherida tardía, y en la liberación el cuerpo era redondo y su corteza rígida (Artículo 7; Artículo 2, §B.7). La separación es un estiramiento de la capa, no un estrangulamiento, y el cuerpo que libera lleva una corteza.

Por qué el cuerpo no se deslizó hacia el ecuador. Un cuerpo que descansa sobre un cuerpo progenitor que gira una vez cada 5.5 horas siente una fuerza centrífuga, el impulso hacia fuera de la rotación. En el ecuador esa fuerza es enteramente radial; en la latitud $\varphi$ tiene una componente tangencial, $\omega^2 r\sin\varphi\cos\varphi$, dirigida hacia el ecuador. Es la misma componente que $a_\lambda$ de la ecuación (19), vista desde el otro lado: allí es lo que la conexión debe aportar; aquí es lo que movería al cuerpo si nada lo aportara. Sobre un progenitor fluido, un cuerpo a 22.5° se deslizaría hacia el ecuador y se separaría desde allí, con inclinación nula. ¿Qué lo impidió?

Sobre la punta ancha: el anclaje. El cuerpo descansa sobre una base de 6,000 km de ancho, dentro de una abertura en la corteza siálica rígida. Es la corteza que el modelo requiere en cualquier caso, con una viscosidad de $10^{23}$ Pa s o más, para que el registro de cráteres sobreviva en ella (§B.6). Una corteza que conserva cráteres conserva la posición: una base anclada sobre un área así no migra. Una corteza lo bastante rígida como para que un cráter de 100 km no se relaje en diez millones de años (§B.3) es demasiado rígida para permitir que una base de 6,000 km de ancho se deslice sobre ella.

En el redondeo hacia fuera: la pera. El contacto se reduce a 3,000 km, pero el cuerpo sigue descansando sobre la punta de la pera, una parte de la Tierra sostenida por la gravedad de la Tierra, que transmite la carga lateral hacia la Tierra (§C.4, §C.7). El cuerpo no deriva hacia el ecuador.

Conclusión. El cuerpo se libera en la latitud en la que era transportado, la latitud de liberación del Artículo 4, 22.5°. La inclinación es la inclinación de la órbita de la Luna respecto al ecuador de la Tierra; un cuerpo liberado en una latitud comienza en una órbita inclinada en esa latitud. La base de la pera se situaba aproximadamente sobre el ecuador de aquel tiempo; si ese ecuador es el actual se deja a los ejes, que son trabajo futuro.

C.5a Cuán lejos más allá de la línea: la distancia de liberación

La sección C.5 encontró que el cuerpo se libera a una corta distancia más allá de la línea de corrotación. Esta sección pregunta a qué distancia, qué hace esa distancia a la órbita y dentro de qué intervalo la sitúan las leyes reducidas de la serie. La respuesta es la liberación que adopta la serie: unos 210 km más allá de la línea, cuando algo más de la mitad de la Luna la había cruzado. La cuestión importa porque la distancia es pequeña frente al radio —menos del uno por ciento de él—, pero no es pequeña para la forma de la órbita. Un cuerpo liberado exactamente sobre la línea se mueve a la velocidad de una órbita circular y entra en un círculo. Un cuerpo liberado más allá de la línea lleva algo más de velocidad de la que necesita un círculo: el punto de liberación se convierte en el punto más cercano de la órbita, el perigeo, y la órbita es una elipse ligeramente alargada. Su excentricidad $e_0$ —cero para un círculo, creciente a medida que la elipse se alarga— crece con la distancia más allá de la línea. Esa excentricidad, y la órbita algo mayor que la acompaña, se trasladan a los dos números con los que puede contrastarse la Luna actual: la inclinación de su órbita y el alargamiento de su órbita.

El planteamiento. Cada fila sitúa el centro de masa de la Luna al desplazamiento indicado más allá de la línea de corrotación en el momento del desprendimiento completo, con el día terrestre de la liberación, 5.77 h, y el radio del cuerpo en la liberación, 1,890 km; «cruzado» es la fracción del volumen de la Luna que se encuentra más allá de la línea en ese momento. La órbita inicial se sigue de las fórmulas del Artículo 4, Apéndice A (la razón de velocidades $B$, $a_0=r_0/(2-B)$, $e_0=|1-B|$, punto de liberación en el perigeo), y el ángulo final de la ley de la tangente reducida del Artículo 4, Parte D, $\tan i=\tan\lambda\,(a_0/384{,}400\ \mathrm{km})^{1/2}$. La excentricidad se traslada desde la liberación hasta la distancia actual de 384,400 km con la marea de desfase temporal constante [21]: la marea levantada en la Tierra más la marea levantada en una Luna síncrona cuya intensidad relativa a la de la Tierra es $A$ , con el giro de la Tierra derivado de la conservación del momento angular; el Sol y la resonancia de evección no se incluyen.

La inclinación. La primera tabla libera el cuerpo en la latitud de la serie, 22.5°, donde la línea de corrotación se encuentra a 17,287 km. Léase de arriba abajo: el desplazamiento crece, y con él la fracción del cuerpo que ha cruzado la línea, la excentricidad en la liberación, el tamaño de la órbita y el ángulo final a la distancia actual. El tono azul marino se intensifica con el ángulo final. La fila en verde y negrita es aquella cuyo ángulo final iguala los 5.145° observados; es la liberación adoptada.

Tabla C.5a.1. Liberación a 22.5° (línea de corrotación 17,287 km): la órbita inicial y el ángulo final según la ley reducida, en función del desplazamiento más allá de la línea. El azul marino se intensifica con el ángulo final; el verde marca los 5.145° observados, que son la liberación adoptada.

El ángulo final aumenta de forma lenta y regular con el desplazamiento: unas tres centésimas de grado por cada 50 km. La liberación sobre la línea da 5.020°, la liberación 100 km más allá de ella 5.079°, y los 5.145° observados se alcanzan a unos 210 km, cuando el 58% del volumen de la Luna había cruzado. Sin embargo, el ángulo es más sensible a la latitud de la punta que al desplazamiento. El autor sitúa la punta entre 22° y 24°; el desplazamiento que reproduce 5.145° se mueve a lo largo de ese intervalo como sigue:

Tabla C.5a.2. Sensibilidad a la latitud de la punta. El azul marino se intensifica con la latitud; el verde marca la latitud de la serie.

Medio grado de latitud modifica el desplazamiento en unos 200 km. Por tanto, la inclinación por sí sola sitúa la liberación dentro de un intervalo, no en un punto; la segunda prueba lo estrecha.

El alargamiento. La segunda tabla realiza la misma búsqueda para la excentricidad. Se realiza en el plano, con la liberación sobre el ecuador de aquel tiempo (línea de corrotación 16,399 km), donde están escritas las ecuaciones de marea anteriores; para un desplazamiento dado, la excentricidad en la liberación es casi la misma que a 22.5° (compárense las dos tablas). Las tres últimas columnas dan la excentricidad a la distancia actual para tres valores de $A$. El número $A$ indica con qué intensidad la Luna joven absorbía energía de marea en relación con la Tierra: una Luna fría y rígida tiene un $A$ pequeño, una Luna caliente y blanda uno grande. La marea en la Tierra alarga la órbita a medida que esta crece; la marea en la Luna la redondea. El tono azul marino se intensifica con $e_0$; la celda verde está junto al valor actual, 0.0549.

Tabla C.5a.3. Liberación sobre el ecuador de aquel tiempo (línea de corrotación 16,399 km): la órbita inicial y la excentricidad a la distancia actual para tres intensidades $A$ de la marea en la Luna. El azul marino se intensifica con $e_0$; el verde marca el valor más cercano al actual, 0.0549.

La primera fila es la decisiva. Un cuerpo liberado exactamente sobre la línea entra en un círculo, y la marea lleva un círculo hacia fuera como un círculo: cualquiera que sea el valor de $A$, la excentricidad permanece nula hasta los 384,400 km. Por tanto, toda la excentricidad que la Luna tiene hoy debe comenzar como un pequeño $e_0$ en la liberación. Con poca disipación en la Luna ($A=0$ o 1), la marea en la Tierra alarga incluso un pequeño $e_0$ hasta una elipse larga; con una Luna joven y caliente, la marea en la Luna frena el alargamiento, y para $A=3$ el valor actual de 0.0549 se encuentra entre las filas de 200 y 300 km. El desplazamiento que reproduce la excentricidad actual depende de $A$: unos 120 km para $A=2.5$, unos 210 km para $A=3.0$, unos 330 km para $A=3.5$ y unos 460 km para $A=4.0$.

En los términos de §C.5, donde el margen en la liberación es $\Delta r\simeq2d_0$, el desplazamiento adoptado de unos 210 km corresponde a una capa de contacto de unos 105 km de espesor, el doble de la capa de 50 km de la penúltima fila de la tabla de §C.5; la resistencia sigue siendo la pequeña resistencia de un contacto caliente y blando, y el desplazamiento sigue siendo menor que el uno y medio por ciento de la distancia de liberación.

Entre bastidores. Una versión anterior de este artículo adoptaba una liberación unos 100 km más allá de la línea, la estimación del autor para una capa de contacto de unos 50 km de espesor. La búsqueda de la distancia de liberación expuesta arriba mostró que las dos pruebas reducidas coinciden algo más lejos, y la serie adopta ahora el valor calculado; la estimación se encontraba dentro del mismo intervalo y cerca de él.

Lo que tenemos ahora: la carga en la liberación es conocida (§C.2), la sostiene un contacto amplio y caliente y no un cuello (§C.4), y el cuerpo empieza a separarse en la línea y se libera unos 210 km más allá de ella, arrastrado hacia fuera con fuerza contra un contacto que resiste solo un poco (§C.5); la inclinación y el alargamiento de la órbita actual coinciden cerca de esa distancia según las leyes reducidas (§C.5a). La sección siguiente enuncia este resultado en la forma que necesita el Artículo 4.

C.6 Las condiciones de traspaso al artículo orbital

La órbita de la Luna después de la liberación es el tema del Artículo 4 (La órbita). De este artículo necesita solo el estado en el momento de la liberación: dónde estaba la Luna, con qué rapidez giraba la Tierra y qué seguía haciendo la conexión. El estado que se traspasa al Artículo 4 es el del Artículo 2, teniendo en cuenta el desplazamiento de la pera que se alarga y el núcleo centralizador. La pera que se alarga lleva masa hacia fuera y así frena el giro de la Tierra; el hierro que se hunde hacia el centro —el núcleo centralizador— lo acelera, como una patinadora gira más rápido cuando recoge los brazos; ambos juntos dan el día de 5.77 horas (Artículo 2, §A.4):

Las dos filas difieren solo en la latitud. En el ecuador la línea se encuentra a 16,399 km y a la conexión no le queda en la liberación más carga que la pequeña resistencia del contacto; a 22.5° la línea se encuentra más lejos, a 17,287 km, y permanece la carga lateral de §C.2. En ambos casos la Luna parte en una órbita casi circular: sobre la línea, la velocidad que lleva con la rotación es la velocidad de una órbita circular, y unos 210 km más allá algo mayor, de modo que el punto de liberación es el perigeo (§C.5a, §C.8). (Una versión anterior traspasaba una liberación sobre la línea, en una órbita circular.)

Entre bastidores. Una versión anterior de esta sección traspasaba una liberación más tardía, a 20,595 km con un día de 6.59 horas, más allá del límite de Roche fluido de un cuerpo de 2,600 kg/m³. Esa rama tenía en cuenta solo la pera que se alarga; con el núcleo centralizador, el día en la liberación es de 5.77 h y la línea se encuentra a unos 16,400 km (Artículo 2, §A.4). El cuerpo liberado allí está dentro del límite de Roche fluido y muy fuera del rígido (10,314 km a 2,600 kg/m³): lo sostiene su corteza rígida y redondeada, no el equilibrio fluido (Artículo 7, §C.5). El límite de Roche es la distancia a la Tierra dentro de la cual el estiramiento de marea supera la gravedad propia de un cuerpo: un cuerpo fluido dentro de ella es desgarrado, mientras que un cuerpo con una corteza rígida sobrevive mucho más cerca, hasta el límite rígido. La Luna en la liberación se encuentra entre ambos, y por eso importa la corteza rígida.

C.7 Un solo abultamiento: la Tierra estirada en una pera cuya punta se convierte en la Luna

Esta sección describe la estructura que sostiene al cuerpo desde abajo: qué es, por qué tiene forma de pera, qué anchura y longitud tiene y cuánta masa contiene.

En la liberación, el centro del cuerpo se encuentra sobre la línea de corrotación, a unos 16,400 km del centro de la Tierra en el ecuador, y su superficie cercana a unos 14,500 km: el centro menos el radio del cuerpo, 1,890 km. Entre la superficie de la Tierra —a 6,701 km del centro en el ecuador del progenitor achatado con un día de 5.77 horas— y esa superficie hay unos 7,800 km. Algo unido debe llenarlos, porque un cuerpo que hubiera dejado la superficie de la Tierra solo con la rotación llevaría menos de la mitad de la velocidad de una órbita y volvería a caer (§C.8). Proponemos que la propia Tierra los llena, con un solo abultamiento: la presión que levantó la colina siguió levantándola, y el abultamiento se estiró en una pera del propio material de la Tierra, cuya punta —el domo de la Parte B— se redondeó y se convirtió en la Luna. El giro, la diferenciación del interior de la Tierra y la presión interna que estiran la pera actúan como un solo mecanismo; sus tres facetas se exponen más abajo, en La pera antes de este artículo.

Por qué un filamento no puede y una pera sí. Un filamento líquido entre dos cuerpos no puede sostener al cuerpo: la gravedad conjunta de la Tierra y el cuerpo sí atrae el material desplazado de vuelta hacia la línea que los une —en todas las direcciones y a todas las alturas—, pero para un filamento de 3,000–4,200 km de ancho esa atracción restauradora sostiene solo entre una décima y una quincuagésima parte de la presión necesaria cerca de su base, 35–81 GPa. La pera no es un filamento. Es una parte ancha de la propia Tierra, y la sostiene la gravedad de la Tierra como a cualquier otra parte de la Tierra, igual que la Tierra sostiene sus montañas. No es lanzada hacia fuera, porque su velocidad no es una velocidad de lanzamiento y se encuentra enteramente dentro de la línea de corrotación. Cerca de la Tierra es ancha, y se estrecha en un solo arco hacia su punta, que sostiene el contacto a unos 15,400 km del centro: el centro de la Luna a 17,287 km menos su radio de 1,890 km (una versión anterior daba 16,100 km y 9,500 km para la cima de la punta). La pera al inicio, cuando el cuerpo se asentaba sobre la punta ancha (§B.2), y en la liberación:

Las dos columnas describen el crecimiento de la pera. Entre el inicio y la liberación su longitud aproximadamente se duplicó, de unos 4,000 a unos 8,700 km, y su punta se estrechó a la mitad, de 6,000 a 3,000 km, a medida que el cuerpo sobre ella se redondeaba hacia fuera.

La anchura de la base. La base de la pera se toma de 9,000–11,000 km de ancho. Una cota superior procede de la energía: una base más ancha contiene más masa, y levantar más masa cuesta más trabajo. Ensanchando la base con la misma forma, la pera en la liberación contiene 8.8 masas lunares con una base de 9,000 km, 10.4 con 10,000 km y 12.1 con 11,000 km, y levantarla cuesta $8.1\times10^{30}$, $9.3\times10^{30}$ y $1.05\times10^{31}$ J; el último, del orden de la energía liberada por la formación del núcleo de la Tierra. Tomamos la base de 9,000–11,000 km. A medida que el cuerpo ascendía, la punta se estrechó de 6,000 a 3,000 km, mientras la base se ensanchaba.

La masa de la pera. Por tanto, la pera contiene 8.8–12.1 masas lunares para bases de 9,000–11,000 km. La cifra «unas nueve masas lunares» usada en este artículo (§C.9) es el caso de 9,000 km, el extremo estrecho del intervalo; en palabras, la pera contiene entre unas nueve y doce masas lunares. A modo de comparación, la pera de 9,000 km contiene alrededor del 11% de la masa de la Tierra (§C.9): un gran abultamiento, pero una región del planeta, no el planeta.

La Figura 12 dibuja las dos columnas de la tabla. El punto que hay que observar es el contorno del panel (B): se estrecha de forma continua desde la base hasta la punta, en un solo arco, sin cintura donde pudiera estrangularse, y termina antes de la línea de corrotación.

La punta a lo largo del ascenso. La punta de la pera sostiene el cuerpo de la Parte B, y el cuerpo se densifica a medida que asciende; su giro es el de la Tierra. Las etapas, con la figura de un cuerpo en rotación de esa densidad y ese giro (Artículo 7, §C.1). La razón de ejes $a/c$ es la razón entre el eje más largo y el más corto del cuerpo: 1.00 para una esfera, mayor para un cuerpo achatado. Un cuerpo ligero que gira con la Tierra se achata fuertemente, porque su propia gravedad es débil frente al giro; a medida que se densifica, su gravedad crece y se redondea hacia dentro. La tabla se lee de arriba abajo, con la densidad en aumento y la razón descendiendo hacia 1:

El achatamiento y el redondeo hacia dentro tuvieron lugar ambos mientras el cuerpo estaba adherido: la razón cayó de 1.69 en el máximo del achatamiento a 1.20 al final de la etapa adherida. En la liberación el redondeo hacia dentro se había completado; el cuerpo era redondo, su corteza exterior rígida (Artículo 2, §B.7: una razón de ejes de 1.04 como máximo), y desde entonces se ha compactado hasta la densidad actual de 3,344 kg/m³.

Tres resultados. Se siguen tres resultados. La pera es parte de la Tierra y la sostiene la gravedad de la Tierra, de modo que la cuestión lateral de la conexión la responde la propia gravedad de la Tierra: la carga lateral de §C.2 que ningún cuello podría sostener la sostiene un cuerpo ancho del propio material de la Tierra. En su parte superior, la pera la fija el contacto que sostiene, 6,000 km al inicio y 3,000 en la liberación. Y toda la pera se encuentra dentro de la línea de corrotación, de modo que la gravedad efectiva a lo largo de ella apunta hacia la Tierra en todas partes: está comprimida a lo largo de su longitud, no tiene cintura que estrangular y nada de ella puede quedar en órbita; después de la liberación, la diferenciación la reúne entera de vuelta en la Tierra a lo largo de decenas a cientos de millones de años.

Qué fue de la pera. La pera no se perdió en la liberación. Después de la liberación, la diferenciación la reunió de vuelta en la Tierra, gradualmente, a lo largo de decenas a cientos de millones de años. Su parte pesada se hundió profundamente en la Tierra bajo la base de la pera (Parte E); su lado delantero se reunió en las franjas del Pacífico Norte, y su parte trasera en los arcos del Pacífico occidental (Artículo 9, Las franjas). La masa no abandonó la Tierra; pasó de estar alto fuera a estar profundo dentro, y dejó arrugas en la superficie por donde entró.

Entre bastidores. Primero buscamos un filamento estrecho entre la Tierra y el cuerpo; no puede sostener la carga. Luego dibujamos la pera con un cuello largo que se extendía más allá de la línea de corrotación, liberada cuando la punta la cruzaba. Cuando la liberación se situó donde el centro de masa de la Luna alcanza la línea (Artículo 2), el cuello perdió su función: la pera es un solo arco desde la superficie de la Tierra hasta el contacto, enteramente dentro de la línea.

La pera antes de este artículo. La forma no es nueva en física. Poincaré [8] encontró en 1885 que la secuencia de equilibrios fluidos en rotación pasa del esferoide de Maclaurin al elipsoide de Jacobi y se ramifica allí en una figura en forma de pera, o piriforme, y sugirió que una pera podría dividirse en dos cuerpos desiguales. Un esferoide de Maclaurin es la forma achatada, redonda en planta, de un cuerpo fluido uniforme que gira lentamente; un elipsoide de Jacobi es la forma alargada, con tres ejes desiguales, que adopta un cuerpo así cuando gira más rápido; la pera se ramifica de la forma de Jacobi con un giro aún más rápido. Darwin llevó la idea a la Tierra y la Luna, y de ahí surgió la teoría de fisión de Poincaré–Darwin [9]. En esa teoría la pera se estira solo por rotación, y por eso requiere un giro cercano a la ruptura: la objeción del momento angular que acabó con ella; y Cartan mostró más tarde que la inestabilidad dinámica aparece donde la pera se ramifica de la secuencia de Jacobi [10], interrumpiendo la evolución lenta que la teoría suponía. La pera que aquí se propone difiere en su causa. Su causa es un solo mecanismo con tres facetas. El giro crea presión centrífuga. La diferenciación de la Tierra tiende a concentrar el material pesado, y al hacerlo empuja todo lo demás hacia fuera: esta es la presión interna. Y el giro impulsa la diferenciación. Juntos producen la anomalía que es la pera. La pera se forma con un giro de 5.5 horas cuyo parámetro de rotación, $\Omega^2/\pi G\rho\simeq0.092$ para el progenitor homogéneo (una versión anterior daba 0.093), está muy por debajo del punto en el que comienza la rama de Jacobi. El parámetro de rotación compara el giro con la gravedad propia del cuerpo; la comparación debe hacerse en una misma escala. En la escala $\Omega^2/(\pi G\rho)$ usada aquí, la rama de Jacobi comienza en 0.374 (Artículo 2, §A.6.5), de modo que el 0.092 del progenitor es aproximadamente una cuarta parte; el valor 0.187, citado a menudo para el mismo punto de ramificación, es el mismo punto en la escala $\Omega^2/(2\pi G\rho)$, y no debe compararse directamente con 0.092. El progenitor de 5.5 horas está, por tanto, lejos del giro con el que la rotación por sí sola lo convertiría en una pera. La pera de aquí crece desde una región y no desde todo el cuerpo; solo su punta parte, una vez que el centro de masa de la punta alcanza la línea de corrotación, y el resto es reunido de vuelta en la Tierra por la diferenciación. Un equilibrio inestable no es un obstáculo para una figura que es impulsada y luego liberada. Una pera no puede formarse en un cuerpo ya diferenciado y lento, como la Tierra de hoy: un cuerpo así se ha asentado, y nada puede salir de él. En el tiempo de la pera el giro era rápido, la viscosidad baja y la diferenciación solo comenzaba; en estas condiciones se forman peras, y de ellas lunas.

Más cerca del presente relato, varios autores han propuesto que la Luna salió de una Tierra de rotación más lenta con ayuda desde dentro. De Meijer y colaboradores [13] invocaron una explosión nuclear cerca del límite núcleo–manto de una proto-Tierra que giraba en unas 5.8 horas; Edwards [14] propuso que el calor y los volátiles se acumularon sobre las proto-grandes provincias de baja velocidad hasta que una explosión lanzó ese material, junto con el manto que lo cubría, a una órbita baja, donde se agregó en la Luna. Lock y Stewart [15] mostraron que una Tierra caliente y expandida alcanza su límite de corrotación y forma una estructura extendida más allá de él; y Denton y colaboradores [16] encontraron que Caronte, unido a Plutón tras una colisión, tenía su centro de masa más allá del radio de corrotación de Plutón antes de que ambos se separaran. El relato de aquí comparte un motor con los dos primeros y un límite con los dos últimos, y difiere de todos ellos en su curso: ninguna explosión y ninguna nube de escombros, sino un solo cuerpo conectado, elevado gradualmente por la presión, cuya punta empieza a separarse cuando su centro de masa alcanza la línea de corrotación y se libera justo más allá de ella.

La Figura 13 pone las dos peras una junto a otra. A la izquierda, la figura clásica: todo el cuerpo estirado por la rotación. A la derecha, la pera de esta sección, dibujada a escala: una Tierra en rotación de forma ordinaria, de una de cuyas regiones la presión ha estirado una pera, con la Luna en su punta y su centro sobre la línea.

Qué impulsa la pera hacia fuera: un flujo, y luego una presión atrapada. La pera crece en dos fases, fijadas por las aberturas de la cara oculta del cuerpo. Mientras esas aberturas están abiertas, la presión escapa por ellas, pero no sin efecto: establece una corriente que recorre toda la longitud de la estructura, desde la fuente profunda a través de la pera y el cuerpo, hasta las salidas de la cara oculta. Esa corriente construye la cara oculta y su registro de cráteres (Artículo 6, Los cráteres), lleva material al extremo exterior de la pera y mantiene caliente la parte estrecha. Después, las aberturas de la cara oculta se sellan. Proponemos que dos causas actuaron juntas: las aberturas estaban expuestas al frío del espacio y, a medida que la pera crecía, la parte lejana del cuerpo se alejaba del foco de la Tierra y recibía menos calor de la Tierra. El resultado es una reacción en cadena: menos calor, los mares lejanos se sellan, quedan menos salidas, la presión aumenta y la pera se alarga. La mayoría de los mares de la cara oculta se sellaron de este modo y formaron una especie de casquete cerrado, que la presión empuja desde dentro. A partir de entonces la presión queda atrapada y, con el peso del material ascendente cayendo hacia cero en la línea de corrotación, la pera se acelera hacia fuera. La razón es la misma que en §C.5: cerca de la línea, la gravedad y el impulso centrífugo casi se equilibran, de modo que el material allí casi no pesa y una presión atrapada que ya no escapa puede empujarlo hacia fuera con facilidad. La base de la cara visible mira hacia la Tierra caliente y no se sella mientras el cuerpo está adherido. En el desprendimiento, la presión de la Tierra dejó de llegar a la Luna, y con ella la presión interna de la Luna y las eyecciones. Los grandes mares de la cara visible estaban entonces calientes y eran de baja viscosidad, y por eso sus superficies son lisas, como un lago helado; se solidificaron después, lentamente y desde fuera hacia dentro, a lo largo de cientos de millones de años hasta uno o dos mil millones: Serenitatis primero, muy cerca de la Tierra, e Imbrium después del desprendimiento. Los cráteres sobre ellos son en su mayoría pequeños: después de la liberación, gotas pequeñas y medianas lanzadas por la Tierra fueron atraídas hacia la Luna y los formaron (§C.11). Las antiguas aberturas de la cara oculta se habían sellado antes de la liberación. Un mar de la cara oculta es una excepción: Moscoviense permaneció activo mucho después de que los demás se hubieran sellado. El autor propone que fue alimentado desde Serenitatis, mientras Serenitatis era todavía interno, a lo largo de un paso recto a través del interior entre ambos, y que por eso permaneció activo durante tanto tiempo.

La corriente no estira la estrecha parte superior de la pera por arrastre. La estira por lo que transporta y por el calor que aporta. La tabla siguiente pone a prueba ambos efectos. Para las tasas de alimentación de la Parte A, la estrecha parte superior de la pera —3,000 km de diámetro y unos 6,000 km de longitud— y un fundido de 3,000 kg/m$^3$:

Las dos columnas son las dos duraciones de la alimentación de la Parte A (en la última fila, una versión anterior daba 0.0006% para la alimentación de 600 Myr): toda la masa lunar aportada en 100 millones de años o en 600 millones de años. El número de Péclet compara la rapidez con que la corriente transporta calor a lo largo de la pera con la rapidez con que el calor se pierde por conducción; un valor de miles significa que la corriente aporta calor mucho más rápido de lo que puede perderse. La piel solidificada es la corteza exterior fría que puede formarse sobre la parte estrecha mientras la corriente mantiene caliente su interior: cuanto más calor aporta la corriente, más delgada es la piel. Las dos últimas filas dan el arrastre de la corriente sobre las paredes y lo comparan con la carga de §C.2.

El arrastre es despreciable; el calor no. La tracción de la corriente sobre las paredes es menor que una centésima del uno por ciento de la carga de la conexión. La advección —el transporte de calor por el material en movimiento— supera a la conducción en tres órdenes de magnitud, y sobre una parte estrecha de 1,500 km de radio solo se solidifica una piel de algunos kilómetros a algunas decenas de kilómetros: permanece fundida y blanda mientras la pera se estira, y es en el contacto caliente y descubierto donde el cuerpo empieza a separarse cuando su centro alcanza la línea y es arrancado justo más allá de ella (§C.8). Este es el contacto caliente y blando de §C.5, que resiste solo un poco.

C.8 Dónde parte el cuerpo: su centro alcanza la línea

Esta sección establece dónde ocurre la liberación y por qué el cuerpo parte en una órbita en lugar de volver a caer. El cuerpo empieza a separarse cuando su centro de masa alcanza la línea de corrotación y se libera unos 210 km más allá de ella (§C.5a; Artículo 2, §B.8): allí la velocidad que lleva con la rotación es la velocidad de una órbita circular, y más allá las fuerzas de corrotación lo arrastran hacia fuera; la presión interna bajo él contribuye. En la latitud $\varphi$ la línea se encuentra a $r_{\mathrm co}/\cos^{2/3}\varphi$, con $r_{\mathrm co}=16{,}399$ km en el día de 5.77 horas. La línea se desplaza hacia fuera al alejarse del ecuador porque, en una latitud, el cuerpo está más cerca del eje de giro que su distancia al centro, y gira en un círculo menor; debe estar más lejos antes de que la velocidad del giro iguale la de la órbita:

La distancia crece lentamente con la latitud: 888 km entre el ecuador y 22.5°, alrededor del 5%. La liberación adoptada, 17,287 km a 22.5°, está en negrita.

El cuerpo se encuentra allí mucho más allá del límite de Roche rígido, 10,314 km a 2,600 kg/m³, y lo sostiene su corteza rígida y redondeada (Artículo 7, §C.5). El contacto es además el punto más débil de toda la estructura: el único lugar que la piel del cuerpo no cubría, y el lugar donde la pera caliente se une a él.

Qué hace la pera a la Luna: la eleva y la lleva en giro. La pera actúa sobre la Luna en dos direcciones a la vez. Radialmente, la eleva: la presión que estira la pera levanta el cuerpo en su punta desde la superficie de la Tierra hasta la línea de corrotación, con un coste gravitatorio de unos $1.5\times10^{30}$ J (§A.12). Lateralmente, la lleva en giro: como la Luna está adherida, la pera la hace girar con la Tierra, y por cada kilómetro que la Luna asciende debe recibir la velocidad lateral de la rotación a su nueva distancia. La imagen es la de una niña que camina hacia fuera sobre un tiovivo en marcha: cuanto más lejos va, más rápido debe moverse lateralmente para seguirlo, y el tiovivo debe empujarla para darle esa velocidad. La pera aporta esa velocidad a través del contacto, y en la línea la velocidad que ha dado es exactamente la velocidad de una órbita circular allí:

En el ecuador las dos velocidades son iguales, 4.96 km/s: esto es lo que significa «sobre la línea». A 22.5° la velocidad lateral es $\omega r\cos\varphi$, porque la Luna gira en un círculo de radio $r\cos\varphi$ alrededor del eje de giro; la órbita que se sigue de ella se calcula en el Artículo 4. El momento angular —masa por velocidad lateral por distancia al eje, la «cantidad de rotación» que se conserva cuando no actúa ningún par exterior— se da en la última columna. Se calcula aquí con la masa de la Luna $m$ alrededor del eje de giro de la Tierra; los Artículos 2 y 4 dan $5.9\times10^{33}$ para la órbita en la liberación, la misma magnitud en el ecuador escrita para la órbita de dos cuerpos con la masa reducida $m_r$, que es un 1.2% menor que $m$.

El momento angular que la pera transmite a la Luna, alrededor de una sexta parte del del sistema, se toma del giro de la Tierra: el frenado que compensa el núcleo centralizador (Artículo 2, §A.4). La elevación lleva a la Luna hasta la línea; el transporte en giro le da, cuando llega, la velocidad para mantenerse en órbita. Un cuerpo lanzado desde la Tierra tiene lo primero y carece de lo segundo:

Por qué el cuerpo debe ser transportado, no lanzado. La rotación da a un cuerpo la velocidad $\omega r$, que crece hacia fuera, mientras que una órbita necesita $\sqrt{GM/r}$, que disminuye; ambas solo coinciden en el radio de corrotación. Un cuerpo liberado por debajo de la línea vuelve a caer, cualquiera que sea el empuje hacia fuera que reciba, porque un empuje hacia fuera añade altura pero no la velocidad lateral de una órbita. La tabla sigue a tales cuerpos sobre una Tierra de 5.5 horas. «Punto más alto» y «punto más bajo» son las distancias más lejana y más cercana de la órbita al centro de la Tierra; un punto más bajo por debajo del radio de la Tierra significa que el cuerpo vuelve a la Tierra:

Las tres primeras filas parten de 8,991 km, la cima de un cuerpo asentado bajo sobre la Tierra: cualquiera que sea el empuje hacia fuera, incluso 7 km/s, la órbita sigue descendiendo hasta unos 900 km del centro, muy dentro de la Tierra. Un empuje eleva el punto más alto pero apenas mueve el más bajo, porque no da velocidad lateral. Solo las dos últimas filas, liberadas cerca de la línea a 15,800 km (la línea se encuentra a 15,818 km para el día de 5.5 horas), quedan libres de la Tierra, y allí basta un pequeño empuje. Sobre la línea misma no se necesita ninguno.

El ascenso adherido es lo que da al cuerpo la velocidad lateral de una órbita. La pera sigue el ritmo de la rotación mientras crece: el material llevado hacia fuera debe ganar momento angular, y la pera lo aporta, pero con las tasas de alimentación de la Parte A la cizalla que esto exige a la estrecha parte superior de la pera es del orden de 0.03 Pa —despreciable para una conexión fundida y viscosa—, de modo que el retraso no es un desgarro sino una inclinación: la parte exterior de la pera, alejada del eje, se rezaga respecto al giro de la Tierra, y toda la pera se inclina hacia atrás, hacia el oeste, con la Luna en su punta (§B.1). El momento angular que la Luna aún necesita le llega a través del contacto. Sobre la línea el cuerpo lleva la velocidad de una órbita circular; liberado unos 210 km más allá, lleva algo más y parte en una órbita casi circular cuyo perigeo es el punto de liberación (§C.5a; Artículo 4). La gravedad lo mantiene en esa órbita, y la marea levantada en la Tierra, que gira más rápido, lo arrastra hacia delante y hacia fuera a lo largo de los millones de años siguientes.

C.9Lo que la pera requiere

La pera es una estructura grande, y el modelo debe dar cuenta de lo que cuesta. Esta sección reúne sus requisitos; cada uno es una condición que el mecanismo se impone a sí mismo.

• Masa. Para las anchuras de §C.7 a 3,000 kg/m³, desde la superficie de la Tierra hasta el contacto, la pera contiene alrededor del 11% de la masa de la Tierra, unas nueve masas lunares: la base de 9,000 km de §C.7; para bases de 9,000–11,000 km contiene entre unas nueve y doce. Al encontrarse enteramente dentro de la línea de corrotación, no deja ningún residuo de la conexión en órbita; después de la liberación, la diferenciación la reúne de vuelta en la Tierra a lo largo de decenas a cientos de millones de años, y la Tierra vuelve a ser redonda: su parte pesada, profundamente en la Tierra bajo la base de la pera (Parte E); su parte delantera y su parte trasera, en las franjas y los arcos del Pacífico (Artículo 9; §C.7).

• Energía. Levantar esa pera en el campo en rotación cuesta unos $8\times10^{30}$ J, más de cinco veces (unas 5.4 veces) la elevación de la propia Luna (una versión anterior decía unas seis veces) (§A.12). La evolución que la libera —el descenso del hierro al núcleo, que libera del orden de $10^{31}$ J— es la misma que impulsa el ascenso; la cuenta completa es un requisito (§D.1). A medida que el hierro se hunde, la energía gravitatoria que cede basta, en orden de magnitud, para levantar la pera.

• Momento angular y calor. La pera que se alarga frena el giro de la Tierra y el núcleo centralizador lo acelera; el Artículo 2 (§A.4) tiene en cuenta ambos. La pera que regresa libera su energía potencial como calor, que entra en la historia térmica del progenitor.

• Presión. La fuente debe levantar y sostener la pera además del cuerpo; la prueba de presión de §A.9–A.13 ha de repetirse con la masa de la pera.

• El achatamiento del progenitor. La prueba de presión usa un campo esférico. El progenitor achatado ($J_2\simeq0.036$) aumenta la atracción hacia dentro en alrededor del 3% a 9,000 km del centro en el ecuador y en el 1.4% a 25°N, y en el 5.4% en la propia superficie ecuatorial, donde la columna sale del progenitor (una versión anterior decía «como máximo un 3% cerca de la superficie»); a lo largo de la columna exterior el coste aumenta en alrededor del 3%, e incluso si todo el coste de la elevación aumentara en un 3%, unos 4 GPa, el margen de 10.49 GPa lo cubriría. La línea de corrotación en el ecuador se desplaza hacia fuera unos 50 km. ($J_2$ es la medida estándar del abultamiento ecuatorial de un planeta en su campo de gravedad; el valor aquí es el del progenitor en rotación.)

• La forma misma. Las anchuras y masas anteriores proceden de secciones transversales redondas de densidad uniforme, sin flujo; la figura de equilibrio de una Tierra en rotación, presurizada internamente, con un cuerpo en su punta, es el cálculo que queda.

C.9aNingún anillo alrededor de la Tierra joven

Un planeta joven, rápido y rico en volátiles, que expulsa vapor por sus fisuras, puede rodearse de un anillo: el vapor asciende, se condensa más arriba en hielo y polvo, y circunda el planeta a velocidad orbital. Alrededor de la Tierra joven de este modelo no pudo formarse un anillo así, por cuatro razones.

1. La pera barría el lugar. La pera giraba con la Tierra una vez al día, hasta la línea de corrotación. Dentro de la línea, el material de un anillo orbitaría más rápido de lo que giraba la pera; la alcanzaría y chocaría con ella. Todo lo que se condensaba en la banda de la pera era recogido sobre ella y se convertía en material del cuerpo en su punta.

2. Los volátiles tenían un camino. La conexión amplia y caliente llevaba el fundido rico en volátiles hacia arriba, al interior del cuerpo (Parte A). Lo que un planeta que expulsa gases pierde hacia el espacio, la Tierra lo aportaba a la Luna.

3. Demasiado caliente, demasiado cerca del Sol. La Tierra joven estaba caliente y envuelta en una atmósfera de vapor de silicatos (Artículo 6, §J.3); a las alturas donde se situaría un anillo, el agua no se condensaba en hielo.

4. La Luna despeja el resto. Después de la liberación, la Luna, masiva y unos 7,200 km más allá del límite de Roche rígido (§C.5a), eliminaría cualquier remanente mediante sus mareas y resonancias.

La Luna lleva el registro de esta ausencia. Un cuerpo que atraviesa un anillo resulta desgastado: sus depresiones se vuelven someras, sus bordes redondeados, sus cráteres pequeños se borran, y el propio cuerpo se reduce; el liso Deimos es un ejemplo de una superficie así. Las tierras altas lunares conservan un registro de cráteres saturado, y la Luna conservó su masa: nunca atravesó un anillo (Artículo 6, §L.8).

C.10 De qué está hecho el cuerpo: tres capas de una sola pera

La pera no solo transporta el cuerpo; decide de qué está hecho. Esta sección sigue cada una de las tres capas de la Luna —corteza, manto y núcleo— hasta su lugar de procedencia en la pera.

La pera diferencia lo que transporta. Sobre la región de construcción, la capa exterior del progenitor es siálica —ligera y rica en silicio y aluminio— y descansa sobre el sima, más denso y rico en magnesio, que hay debajo. El sial no estaba seco: el límite entre las dos capas estaba lubricado, y a medida que la pera se estiraba el sial se deslizaba pera arriba sobre el sima, a lo largo de sus flancos, hasta la punta —la dirección de la diferenciación hacia fuera, impulsada por las fuerzas del giro—, y el límite lubricado facilitaba el deslizamiento bajo cizalla. Cuando la punta fue liberada, el sial se fue con ella y se convirtió en su piel: sobre el domo superior como la corteza, y sobre el anillo del domo inferior como el sial sobre el que se asentaba el cuerpo, desprendido con él (§C.4a); solo en el contacto fue fundido por el calor. La cara oculta lleva la corteza gruesa porque allí se acumularon muchas capas de sial compactado, con el material que regresó una y otra vez (§B.7). Parte del sial no permaneció en la superficie; entró en el interior de la Luna.

Bajo la piel, el cuerpo es la alimentación: el propio manto de la Tierra, levantado por la presión y transportado a lo largo de la pera. Todo el metal de la Luna es terrestre. Mucho hierro entró en la pera, y menos hacia su punta. A lo largo de toda la pera, que se encuentra dentro de la línea de corrotación, la gravedad efectiva apunta hacia la Tierra, de modo que el material pesado se hundía de vuelta pera abajo mientras el material ligero ascendía hasta la punta; y, para empezar, la presión solo levanta material más ligero que unos 3,864 kg/m$^3$ (§A.10). La pera funcionaba como una columna de decantación: los granos pesados se hunden y los ligeros ascienden, como la arena se deposita bajo el agua en un frasco agitado. Por tanto, la mayor parte del hierro que entró en la pera regresó a la Tierra con el resto de ella después de la liberación; la Luna conservó solo lo que había alcanzado la punta. En el desprendimiento, el material pesado del núcleo se encontraba en el último tercio del cuerpo; no cruzó la línea de corrotación y volvió pera abajo. Por eso el núcleo de la Luna es pequeño: es hierro terrestre que alcanzó la punta, mientras que la mayor parte del material del núcleo que había en la pera regresó a la Tierra. La corriente que recorría la pera llevaba calor y material rico en hierro al interior del cuerpo a través de Mare Imbrium y Mare Serenitatis —Serenitatis hasta que se desprendió, Imbrium hasta el desprendimiento del cuerpo—, las aberturas que unían la alimentación procedente del interior de la Tierra con el interior de la Luna (§B.4).

La tabla pone cada capa del modelo junto a lo que se mide en la Luna:

Cada fila concuerda: una corteza rica en aluminio a partir de una capa rica en aluminio, un manto con los isótopos de oxígeno de la Tierra a partir del manto de la Tierra, y un núcleo pequeño porque la mayor parte del hierro regresó pera abajo.

El balance lo permite. Un sial de 30 km de espesor sobre una región del tamaño de la cuenca del Pacífico contiene unos $1.4\times10^{22}$ kg a los 2,800 kg/m$^3$ de la corteza (una versión anterior daba $1.3\times10^{22}$), unas cuatro veces la corteza lunar; hasta una décima parte de la masa de la Luna en sial llevado al interior reduciría su densidad media en unos 65 kg/m$^3$ y elevaría su aluminio en alrededor del 1.5 por ciento, dentro de la incertidumbre de los modelos actuales. Se sigue una prueba. La anortosita de la corteza es pobre en potasio y torio, mientras que el sial de la Tierra es rico en ellos; una corteza hecha del sial de la Tierra debe haberlos perdido en la fusión y el refinado de la piel, y la composición de las anortositas lunares más primitivas es el lugar donde ponerlo a prueba.

C.11 Después de la liberación: la Tierra sigue lanzando

La liberación no puso fin a la actividad de la Tierra. Sus aberturas siguieron lanzando material; la mayor parte volvió a caer en la Tierra, y parte alcanzó la Luna, entonces un cuerpo separado que se alejaba desde unos pocos radios terrestres. Para alcanzar la Luna, el material tenía que salir de la Tierra más rápido a medida que la Luna se alejaba. Todo él estaba muy caliente: los fragmentos grandes salieron primero y, a medida que la tormenta de magma se calmaba, se eyectaron fragmentos pequeños, todavía calientes, de modo que los fragmentos que llegaban a la Luna fueron haciéndose más pequeños con el tiempo. La Luna guardó el registro, en tres mediciones:

La primera fila es la medición directa, sombreada en verde: solo en las tierras altas, con todos los mares excluidos en ambos lados para que la comparación sea homogénea, la cara visible tiene 1.19 veces más cráteres frescos de 1–2 km que la cara oculta. La segunda y la tercera filas leen la misma historia en los mares: los fondos se solidificaron en orden, y los cráteres sobre ellos se gradúan de grandes y fundidos a pequeños y nítidos.

La cara visible, orientada hacia la Tierra, perdió pronto sus cráteres antiguos, por el calor del contacto y por sus propios mares, y acumuló más de los últimos. El último dispersor de cráteres sobre la Luna fue la Tierra. El registro cierra el relato de la conexión: el cuerpo que fue liberado no se separó de un progenitor en calma, sino de una Tierra cuyas aberturas seguían activas y cuya actividad menguaba a medida que la Luna se alejaba. Un flujo de cuerpos desde el exterior, como interpreta la literatura los cráteres pequeños, no predice ningún exceso en la cara visible, solo uno pequeño en el lado delantero.

Las Partes A–C construyeron el mecanismo: la Parte A cuantificó la alimentación desde dentro, la Parte B siguió la corteza que ascendió desde fuera, y la Parte C unió ambas a través de la pera y su liberación. Esta Parte convierte los mismos resultados en pruebas. La razón para reunirlas en un solo lugar es sencilla: un modelo siempre puede encontrar rasgos que se le parecen, y contar tales coincidencias una a una prueba poco. Lo que decide es si cada requisito puede enunciarse con un número o una geometría, y si existe una medición o un cálculo que lo compruebe. Por tanto, cada fila de la tabla siguiente da una afirmación, el requisito cuantitativo que la sustenta y la prueba que la comprueba.

D.1Pruebas del mecanismo

La tabla se lee fila por fila. Las seis primeras filas son requisitos sobre la maquinaria misma (presión, ritmo, energía, estabilidad, enfriamiento, liberación); las cuatro siguientes son predicciones sobre la superficie y la corteza de la Luna que se siguen de la regla de las proporciones de la Parte B; las tres últimas se refieren al punto de liberación y al destino de la pera.

Cómo leer las filas. La primera fila es el balance de presión de la Parte A en una línea: la presión de la fuente $p_s$ debe superar la suma de la carga hidrostática $p_{\mathrm{head}}$ (el peso de la columna de material que ha de levantarse, desde la fuente hasta la línea de corrotación), la carga $p_{\mathrm{load}}$ del cuerpo que se apoya sobre la conexión, y las pérdidas $\Delta p_{\mathrm{loss}}$ del flujo viscoso a lo largo del trayecto. La Parte A encuentra ese resto positivo para cualquier fundido profundo más ligero que unos 3,864 kg/m³. La segunda fila pregunta si la alimentación es lo bastante rápida: el flujo neto, sumado en el tiempo, debe aportar la masa interna $M_{\mathrm{int}}$ dentro del tiempo disponible. En el escenario, ese tiempo es de unos 600 millones de años desde el inicio del abultamiento hasta la liberación a 3.873 Ga —aproximadamente 400 Myr para el abultamiento y la pera, unos 100 Myr para el achatamiento y unos 100 Myr más hasta la liberación—, con 100 millones de años conservados como caso de sensibilidad (Parte A). La prueba es el flujo en todo el intervalo permitido de viscosidad y apertura: debe ser lo bastante rápido, y el paso debe permanecer abierto hasta que el cuerpo esté completo.

Las filas tercera a sexta preguntan si la energía está disponible, si el cuerpo adherido es estable en tres dimensiones, si su exterior puede rigidizarse mientras su base permanece móvil, y si la conexión sostiene la carga hasta el momento adecuado y luego cede. Cada una se comprueba mediante un cálculo sobre todo el dominio permitido: energía que libera la Tierra en evolución, un cuerpo que se mantiene unido mientras se reúne su masa, enfriamiento y movilidad que se solapan en el tiempo, y una conexión que ni falla demasiado pronto (el cuerpo volvería a caer o se rompería) ni resiste para siempre. La séptima fila fija el orden de los acontecimientos: el cuerpo primero se redondea hacia fuera, luego se achata, luego se redondea hacia dentro, y esta secuencia está muy avanzada antes del desprendimiento. Se comprueba mediante un único modelo temporal común a la alimentación, el enfriamiento y la rotura de la conexión.

Las cuatro filas siguientes son predicciones escritas en la propia Luna. La regla de las proporciones dice que, a medida que el cuerpo aplastado se redondeaba hacia fuera, cada parte de su superficie conservó su fracción del total: el contacto se convirtió en un casquete de la cara visible de unos $31^\circ$ alrededor del centro del contacto, el anillo desprendido en un cinturón hasta $70^\circ$, y el domo superior en el resto, la cara oculta. Se pone a prueba representando las clases de cuencas y el espesor cortical frente a la distancia angular al centro del contacto, 24.1°N 335.2°E (Artículo 11). El registro transportado dice que los cráteres formados sobre la corteza expuesta viajaron con ella y conservaron su tamaño, y que los polos los reunieron durante el redondeo hacia dentro: la población de cráteres más antigua debería ser más densa en la cara oculta, menos densa en el cinturón y menos densa aún en el casquete, sin diferencia de escala entre la cara oculta y la visible. Se comprueba mediante estadística de cráteres por zona y pruebas de tamaño (Artículo 7, §D.5). La corteza estratificada de la cara oculta dice que la cara oculta se construyó capa sobre capa, con las capas posteriores más ligeras y más ricas en fluidos, de modo que el contenido de hierro crece con la profundidad, más en la cara oculta que en la visible. Los picos centrales de los cráteres sacan a la superficie material de una profundidad conocida, de modo que su composición frente a la profundidad de origen mide el perfil.

Las tres últimas filas se refieren a la liberación y a lo que siguió. Liberación sobre la línea: la Luna empieza a separarse cuando su centro de masa alcanza la línea de corrotación y se libera unos 210 km más allá de ella ($\Delta r\simeq2d_0$, un contacto de unos 105 km de espesor; la búsqueda de la distancia de liberación de §C.5a); el contacto resiste solo un poco, y el cuerpo es arrastrado hacia fuera con fuerza, el tirón que levantó las crestas de espátula. Esta es la liberación que requiere la órbita de los Artículos 2 y 4. La pera se inclina hacia el norte: la base se situaba cerca de 1.9°N mientras la punta alcanzaba unos 22.5°N. La rotación por sí sola empuja el material hacia el ecuador, de modo que la inclinación hacia el norte debe proceder de la alimentación, que ascendía oblicuamente desde una fuente profunda al norte del ecuador; se comprueba frente a la geometría de la fuente profunda y del trayecto de la alimentación, y frente a la posición de la base (Parte E). La pera es reunida de vuelta entera: como la pera se encontraba enteramente dentro de la línea de corrotación, donde la gravedad de la Tierra supera el impulso hacia fuera de la rotación, nada de ella podía permanecer en órbita. Es parte de la Tierra, y después de la liberación la diferenciación la reunió de vuelta en la Tierra a lo largo de decenas a cientos de millones de años (Parte E).

Un único ejemplo de densidad vale para ese ejemplo, no para todo escenario de alimentación conectada; y superar una prueba de presión no resuelve por sí solo la estabilidad, la energía ni la conexión. Un único conjunto de parámetros debe satisfacer todos los requisitos. Este es el criterio que el artículo se impone: las trece filas no son trece votos independientes a favor del modelo, sino trece condiciones que la misma Tierra, la misma alimentación y el mismo cuerpo deben cumplir a la vez.

D.2 Resultados que pueden buscarse en la Luna

La cuestión de esta sección es sobre qué rasgos de la Luna actual incide directamente el mecanismo, y hasta qué punto cada uno puede usarse como prueba.

Si un lado recibió una alimentación y un calentamiento más prolongados y el lado opuesto se enfrió antes, cabe esperar una asimetría térmica y estructural. En el modelo, la cara visible se asentaba sobre el contacto, sobre la alimentación, y permaneció caliente más tiempo, mientras que la cara oculta era el domo superior, expuesto y en enfriamiento. Su signo y su intensidad dependen también del material externo, de la mezcla y de la evolución posterior. Los datos de GRAIL —un par de naves que cartografió en detalle el campo de gravedad de la Luna— aportan restricciones sobre la densidad y el espesor de la corteza [4]; la comparación completa entre las observaciones y los requisitos del modelo corresponde al Artículo 11.

Un desplazamiento del centro de masa depende de la distribución completa de la densidad. El centro de masa de la Luna no tiene por qué coincidir con el centro de su figura exterior; la distancia entre ambos viene dada por $$\Delta\mathbf r_{\mathrm{CM}}= \frac{1}{m}\int_V\delta\rho(\mathbf r)\,\mathbf r\,dV. \tag{24}$$ Aquí $m$ es la masa de la Luna, $V$ su volumen, $\mathbf r$ la posición de un pequeño volumen $dV$ medida desde el centro de la figura, y $\delta\rho(\mathbf r)$ la desviación de la densidad en ese punto respecto a la media. En palabras: cada lugar más denso que la media atrae el centro de masa hacia sí, cada lugar más ligero que la media lo aleja, cada uno ponderado por su distancia al centro.

Por tanto, no puede inferirse solo del espesor del casquete sin elegir un contraste de densidad y una compensación. Una corteza gruesa en un lado aleja el centro de masa de ese lado solo en la medida en que la corteza es más ligera que lo que hay debajo, y solo en la medida en que las capas más profundas no se han ajustado para equilibrarla (compensación). La presencia de un componente metálico en la Luna, examinada sismológicamente [5], requiere también en el modelo un mecanismo adecuado de transferencia y separación; no prueba que el metal llegara específicamente a través de la región de alimentación concentrada al norte del ecuador propuesta en la Parte A.

La predicción observacional discriminante debe ser una combinación definida de dirección, geometría, composición y edad. Un número derivado ajustando una observación no es una predicción independiente de ella: si un parámetro se eligió para que el modelo reproduzca un valor medido, esa concordancia no puede contarse después como un éxito. El registro de cráteres transportado sobre el domo se enuncia en §B.6 y se pone a prueba en los Artículos 11 y 6.

D.3 Novedad y alcance de la conclusión

El trabajo examina la construcción interna de un cuerpo adherido mediante un único sistema de requisitos de presión, ritmo, masa y esfuerzo, dentro del marco rotacional de LEF. El resultado particular de la Parte A es que ensanchar el paso facilita el soporte radial y el flujo, pero aumenta la masa de la conexión y no elimina la carga lateral. Por un conducto más ancho es más fácil empujar material y sostiene su columna con más facilidad, pero cuanto más ancho es, más pesa, y la tracción lateral del sistema en rotación sobre él permanece. El resultado particular de la Parte B es que un cuerpo de la masa lunar asentado sobre un contacto de 6,000 km, con su domo superior a unos 3,650 km por encima del borde, encierra un volumen de $5.65\times10^{19}$ m³ —el doble de los $2.83\times10^{19}$ m³ de la esfera en la liberación— y tiene así la densidad espumada que requiere la Parte A, 1,300 kg/m³ —la baja densidad de un fundido lleno de burbujas de gas—, y la corteza de la cara oculta y las zonas de exposición se siguen de la misma geometría: la cara oculta construida capa sobre capa, la cara visible desprendida. La Parte C une ambas: el contacto amplio que exige la Parte A es la base del domo de la Parte B, y en la línea de corrotación el cuerpo empieza a separarse, para ser liberado unos 210 km más allá de ella.

Las ecuaciones de la gravedad, la presión y el flujo son física estándar. La arquitectura LEF y la aplicación de la prueba conjunta son la contribución de este trabajo. No se reivindica aquí prioridad histórica para cada componente del modelo sin una revisión bibliográfica específica; el mapa de fuentes y la clasificación aparecen en el Apéndice A.

El artículo termina con un análisis de viabilidad, un resultado negativo nítido —un paso cilíndrico sin masa que transmite solo presión no puede construir la Luna— y un resultado geométrico que le responde: la conexión amplia, caliente y masiva que exige el resultado negativo es la punta ancha de la pera, una parte de la Tierra sostenida por la gravedad de la Tierra, que lleva un cuerpo de la masa de la Luna a la densidad espumada. El resultado negativo descarta la imagen más simple, un conducto delgado a través del cual la presión por sí sola empuja la Luna hacia fuera; el resultado geométrico muestra que la conexión que la física sí exige no es una suposición adicional, sino la forma que adopta la propia Tierra. La ecuación de estado profunda, la liberación de energía y la estructura tridimensional son los tres requisitos que traspasa, cada uno enunciado con su prueba en §D.1.

D.4 Conclusiones

Las conclusiones siguen el orden del artículo: el sistema de pruebas (1), la presión (2), el paso (3), el enfriamiento (4), la carga lateral (5), la pera y la liberación (6), el cuerpo en la punta (7), y la corteza y los requisitos que se traspasan (8).

1. La alimentación interna de un cuerpo adherido puede formularse mediante balances de masa, presión, cantidad de movimiento y energía. El artículo define un sistema de pruebas cuantitativo para el mecanismo.

2. En la prueba de presión esférica definida, una densidad profunda de 3,500 kg/m³ deja 10.49 GPa antes de la carga y las pérdidas; 4,000 kg/m³ no la supera. El umbral cero es de unos 3,864 kg/m³ bajo los supuestos enunciados: un fundido profundo más ligero que este puede ser levantado hasta la línea de corrotación por la presión de la fuente; uno más pesado, no.

3. En la prueba conjunta del estado no ecuatorial, un radio de paso de unos 1,000 km es el umbral del equilibrio radial para los datos de entrada elegidos. Ya en este umbral la masa del segmento exterior es de unas 0.46 masas lunares, de modo que no puede despreciarse en la cuenta del sistema: un paso lo bastante ancho para conducir la alimentación pesa por sí mismo casi media Luna.

4. Un gradiente térmico proporciona una base para examinar cómo el exterior puede reforzarse mientras el interior permanece móvil. El espesor final y la conservación de las estructuras requieren una solución térmica y reológica acoplada.

5. La prueba del esfuerzo lateral descarta el soporte solo por presión a través de una sección radial en el estado elegido. El cálculo no ecuatorial impone requisitos a la conexión del orden de $10^{22}$ newtons en los ejemplos probados. Una componente radial nula no elimina la carga total y no determina por sí sola el desprendimiento.

6. El redondeo, la presión y el giro participan juntos en la separación a partir de una conexión amplia; el abultamiento se estira en una pera, parte de la Tierra, cuya punta se convierte en el cuerpo; el cuerpo empieza a separarse cuando su centro de masa alcanza la línea de corrotación —unos 16,400 km en el ecuador, 17,287 km a 22.5°— y se libera unos 210 km más allá de ella, con la contribución de la presión interna (§C.7–C.8). La pera eleva la Luna radialmente y, como la Luna está adherida, le da la velocidad lateral de una órbita. Después de la liberación, la diferenciación reúne la pera entera de vuelta en la Tierra a lo largo de decenas a cientos de millones de años: su parte pesada se hunde profundamente en la Tierra bajo la base de la pera, su lado delantero se reúne en las franjas del Pacífico Norte y su parte trasera en los arcos del Pacífico occidental (Artículo 9, Las franjas; Parte E). La masa no abandona la Tierra; pasa de estar alto fuera a estar profundo dentro.

7. El cuerpo se asienta sobre la punta ancha de la pera, un cuerpo aplastado sobre un contacto de 6,000 km cuyo domo superior se eleva unos 3,650 km a la densidad espumada de 1,300 kg/m³. Se redondea hacia fuera conservando cada parte su proporción de la superficie: el contacto se convierte en un casquete de la cara visible de unos $31^\circ$, el anillo desprendido en un cinturón hasta $70^\circ$, el domo superior en la cara oculta. Después se achata y se redondea hacia dentro.

8. La corteza de la cara oculta es el sial de la Tierra —la corteza exterior ligera, rica en sílice y aluminio— y el material que regresó una y otra vez, muchas capas de sial compactado, una pequeña fracción de la masa lunar; la corteza de la cara visible es el sial del domo inferior desprendido con el cuerpo, alisado por el calor sobre el contacto y más delgado bajo los mares, las aberturas; el 94–96% restante es el material profundo de la Parte A (una estimación a partir de la imagen anterior de la corteza, que ha de recalcularse). La secuencia de exposición está escrita en la Luna como tres zonas concéntricas; los cráteres conservan su tamaño y los polos los reúnen; la corteza de la cara oculta se vuelve más densa y más rica en hierro con la profundidad: predicciones que se traspasan a los Artículos 11, 6 y 7 con sus pruebas. El momento de la rotura, la estabilidad tridimensional, la ecuación de estado profunda y el balance energético son los cuatro requisitos que el mecanismo se impone a sí mismo; cada uno se enuncia en §D.1 con su prueba.

Lo que tenemos ahora es un mecanismo enunciado como un conjunto de condiciones, cada una con su prueba. La Parte E sigue la única parte del sistema que no partió: la pera.

La Luna partió; la pera se quedó. Al encontrarse enteramente dentro de la línea de corrotación, no podía seguir a la Luna en órbita. La pera no partió con la Luna; después de la liberación, la diferenciación la reunió de vuelta en la mitad de la Tierra que la había sostenido, a lo largo de decenas a cientos de millones de años. Su masa no abandonó la Tierra; pasó de estar alto fuera a estar profundo dentro. Una masa tan grande —de nueve a doce masas lunares del propio material de la Tierra, rico en hierro en profundidad— fue reunida en la región bajo el Pacífico donde se situaba la pera. Esta Parte registra dónde se encuentra la base de la pera respecto a lo que las imágenes sísmicas muestran hoy en el fondo de esa región, y qué hizo la pera al interior de la Tierra mientras se mantuvo en pie. La naturaleza de las provincias profundas se deja abierta.

E.1Dos provincias en la base del manto

La Tierra profunda se obtiene en imágenes mediante tomografía sísmica. Los terremotos envían ondas a través de todo el planeta; registrados en miles de estaciones, sus tiempos de viaje revelan dónde se movieron las ondas más rápido o más despacio que la media, de manera muy parecida a como un TAC médico construye una imagen del cuerpo a partir de muchas trayectorias de rayos X. Las ondas de cizalla (ondas S), que sacuden el material lateralmente, son especialmente sensibles a la temperatura y la composición: se ralentizan donde el material es más caliente, más blando o de distinta composición.

Las imágenes sísmicas encuentran dos provincias del tamaño de un continente con baja velocidad de las ondas de cizalla en la base del manto terrestre, una bajo África y otra bajo el Pacífico, cada una de las cuales se extiende miles de kilómetros lateralmente y hasta unos 1,000 km por encima del límite núcleo–manto [11]. Son las grandes provincias de baja velocidad (LLVPs): grandes regiones del manto más profundo, justo encima del núcleo, donde las ondas de cizalla viajan despacio. La mayoría de las observaciones favorecen una naturaleza termoquímica —material que difiere en composición del manto que lo rodea, no solo en temperatura—, y ambas provincias se sitúan bajo las plumas y los puntos calientes de las placas que tienen encima: hoy presionan sobre el manto superior. Una pluma es una columna de material caliente que asciende desde lo profundo del manto; donde alcanza la superficie alimenta un punto caliente, como los volcanes de Hawái.

No son iguales. La provincia africana se eleva más que la del Pacífico; la del Pacífico es más baja y más ancha, y en su margen, bajo Hawái, se encuentra material de ultrabaja velocidad rico en hierro. Las zonas de ultrabaja velocidad (ULVZs) son manchas delgadas sobre el límite núcleo–manto en las que las ondas sísmicas se ralentizan mucho más que en las propias provincias; un alto contenido de hierro es una de las interpretaciones propuestas para ellas.

La naturaleza de las provincias sigue debatiéndose. Pueden ser, por ejemplo, material relacionado con el núcleo que no terminó de diferenciarse, o material que todavía se está diferenciando muy lentamente. Este artículo no propone una interpretación de ellas; las usa solo como mapa de la región bajo el Pacífico donde se situaba la pera.

E.2 Dónde se situaba la pera

La pera se situaba sobre la región bajo el Pacífico. Después de la liberación, la diferenciación la reunió de vuelta en la Tierra: su parte pesada —unas nueve masas lunares de sima que llevaban la mayor parte del hierro que había ascendido a ella (§C.10)— se hundió profundamente en la Tierra bajo la base de la pera; su lado delantero se reunió en las franjas del Pacífico Norte, y su parte trasera en los arcos del Pacífico occidental (Artículo 9, Las franjas). El sima es el material más denso, rico en sílice y magnesio, que se encuentra bajo el sial ligero; el hierro que llevaba lo hizo aún más denso. Si alguna de las estructuras profundas que se observan hoy bajo el Pacífico está relacionada con la pera no se aborda aquí: el artículo registra solo dónde se encuentra la base de la pera respecto a esa estructura (§E.4).

E.3Otras interpretaciones de las provincias

Recientemente se ha propuesto que las provincias son restos del manto de Theia, el cuerpo cuyo impacto formó la Luna en el relato aceptado: su manto rico en hierro se habría hundido hasta la base del manto terrestre y habría sobrevivido allí [12]. El autor de esa propuesta ha señalado que un origen distinto de la Luna, sin Theia, obligaría a reconsiderar el origen de las provincias. Edwards [14] ha relacionado la Luna con las provincias desde otra dirección, con una explosión sobre la provincia proto-Pacífica que lanzó su material a órbita. El presente artículo no ofrece una interpretación propia. Señala solo que en este modelo la pera era material propio de la Tierra, y nada ajeno entró en el manto terrestre.

E.4La posición de la base

Una medición relaciona la pera con la Tierra profunda: la posición de su base.

• Posición: medida. El modelo sitúa la base de la pera cerca de Kiritimati (unos 1.9°N, 157.5°W, §B.1). Ese punto se encuentra sobre la provincia del Pacífico, dentro de su contorno en los modelos publicados del manto más profundo, en todos los modelos probados (tabla y Figura 14): los cinco modelos tomográficos del análisis de agrupamiento de Cottaar & Lekic [17] votan el punto como lento, y se encuentra bien dentro del contorno $-1\%$ tanto de SMEAN [18] como de SMEAN2 [19] a 2,800 km, a más de 1,200 km del borde más cercano. La base se sitúa sobre la parte norte de la provincia, unos 1,500 km al norte de su centro; la gran zona de ultrabaja velocidad cercana a Hawái [20] se encuentra a unos 1,100 km del punto, medidos en el límite núcleo–manto.

Las tres medidas usadas en la prueba requieren una palabra cada una. Distintos grupos de investigación construyen distintos modelos tomográficos a partir de distintos datos y métodos, y no concuerdan en todos los detalles. Los mapas de votos convierten este desacuerdo en un recuento: Cottaar & Lekic [17] clasificaron cada punto del manto más profundo, en cada uno de cinco modelos, como lento, neutro o rápido, y el voto es el número de modelos que califican el punto de lento; cinco de cinco significa que todos los modelos lo sitúan dentro de una provincia lenta. SMEAN y SMEAN2 son promedios de varios modelos de ondas de cizalla; $\delta V_S$ es la desviación de la velocidad de las ondas de cizalla respecto a la media a esa profundidad, de modo que $-2.25\%$ significa que las ondas allí viajan un 2.25% más despacio que la media. El contorno $-1\%$ es el contorno habitual de la provincia, y un punto bien dentro de él, con el borde a más de mil kilómetros, no es un caso marginal.

La longitud 202.5°E de la tabla es la misma que 157.5°W, escrita en una escala que va hacia el este de 0 a 360°. La base es el extremo oriental de la huella de la pera. La interpretación anterior de la región fuente, centrada cerca de 25°N, 165°E, es la parte trasera de la pera, que se inclinaba hacia el oeste y el norte (§B.1). El Artículo 9 (Las franjas) localiza la impronta de la punta entre dos inflexiones de las franjas del Pacífico Norte, de 3,360 km de ancho y centrada en 9.3°N, 169.3°E, unos 3,760 km al oeste de la base (una versión anterior daba 3,770 km), y la parte trasera de la pera en los arcos del Pacífico occidental. Esta sección se refiere a la base, bajo la cual se hundió la parte pesada.

Las filas verdes son las tres medidas que sitúan el punto dentro de la provincia; las dos últimas filas lo sitúan dentro de la provincia. El punto se encuentra en la parte norte de la provincia, a 1,476–1,657 km al nor-noreste de su centro, que los tres modelos coinciden en situar al sur del ecuador. La ULVZ hawaiana está a 2,050 km en la superficie, pero solo a 1,120 km en el límite núcleo–manto: el mismo ángulo entre dos puntos abarca una distancia menor sobre el límite núcleo–manto, cuyo radio es solo aproximadamente la mitad del de la Tierra.

La Figura 14 muestra la medición sobre los propios mapas: el punto cercano a Kiritimati cae dentro del contorno a trazos $-1\%$ de ambos modelos promediados y sobre el tono más oscuro del mapa de votos, donde los cinco modelos concuerdan.

• Isótopos en los basaltos de pluma. En este modelo la pera era material propio de la Tierra, y nada ajeno entró en el manto; por tanto, se espera que las plumas que ascienden de cualquiera de las dos provincias lleven la firma isotópica propia de la Tierra, sin ningún componente ajeno a la Tierra. Los isótopos son variantes de un elemento que difieren ligeramente en masa; sus razones difieren de un cuerpo a otro en el sistema solar y actúan así como una huella dactilar del origen.

E.5El núcleo de la Tierra durante la pera

La pera también actuó sobre la Tierra mientras se mantuvo en pie. La cuestión de esta sección es qué hizo una masa adherida tan grande al interior profundo de la Tierra, y si un registro de ello pudo sobrevivir.

En esa etapa temprana la Tierra casi no tenía núcleo. Era una Tierra en formación: sus capas aún no estaban definidas, solo habían aparecido los primeros indicios de estratificación, y en su centro se encontraba un amplio pre-núcleo, material que más tarde se convertiría en el núcleo, todavía no separado de lo que lo rodeaba. A medida que este cuerpo giraba y empezaba a estirar la pera, el amplio pre-núcleo adoptó la misma forma: una pera interior extendida, que se alargaba hacia la exterior.

Mientras la pera se mantuvo en pie, de siete a doce masas lunares del propio material de la Tierra se situaban a un lado de la Tierra, entre su superficie y unos 15,400 km de su centro (una versión anterior daba 16,000 km) (§C.7 da 8.8–12.1 masas lunares en la liberación para bases de 9,000–11,000 km). Su gravedad llega al centro. El pre-núcleo es más denso que el material que lo rodea, y en un campo que actúa sobre todo el interior es atraído hacia la pera, como lo es un peso en un líquido, hasta que la tracción del material que desplaza lo retiene. Como la pera es parte de la Tierra y no un cuerpo separado, la Tierra en su conjunto no se desplaza hacia ella; su campo actúa sobre el interior como un campo estacionario.

La tabla da los campos en el centro de la Tierra al inicio de la pera y en la liberación, para la base más estrecha y la más ancha. El campo neto es la atracción de la pera más la pequeña atracción de la Luna, menos el término centrífugo: la Tierra, la pera y la Luna giran juntas alrededor de su centro de masa común, que se encuentra desplazado del centro de la Tierra hacia la pera, y este giro da al centro de la Tierra una aceleración dirigida en sentido contrario a ese lado. El color se intensifica tabla abajo a medida que la pera crece y su atracción crece con ella.

No se da un desplazamiento en kilómetros, ni puede darse. Requeriría un núcleo definido, un manto definido a su alrededor y una rigidez entre ambos, y en esa etapa no existía ninguno de ellos. La tabla da solo la atracción y su dirección. Proponemos que el pre-núcleo interior se extendió hacia la pera mientras la pera se mantuvo en pie: una gran parte de los aproximadamente 600 millones de años transcurridos desde el inicio del abultamiento hasta la liberación a 3.873 Ga. La dirección descansa en un supuesto: que el déficit dejado en la fuente profunda fue llenado y repartido por el material circundante a medida que ascendía la alimentación; un déficit que quedara en su lugar junto al centro empujaría en sentido contrario.

Después de la liberación, la diferenciación reunió la pera de vuelta en la Tierra, gradualmente, a lo largo de decenas a cientos de millones de años, y su material se extendió sobre la mitad de la Tierra a la que había estado adherida. Como capa no compensada seguiría atrayendo el interior hacia esa mitad: el campo de una capa así en el centro, $GM/2R^2$, es de 0.53–0.73 m/s². Aquí $M$ es la masa de la capa y $R$ el radio de la Tierra; la expresión es la atracción, en el centro de una esfera, de una capa delgada que cubre una mitad de su superficie. Pero una capa ligera depositada sobre un manto fluido no permanece sin compensar: el manto bajo ella se ajusta, y el campo lejano de una carga compensada es pequeño. La compensación es el proceso por el cual el manto fluye desde debajo de una carga superficial añadida hasta que la columna bajo cada punto vuelve a pesar lo mismo, igual que una balsa se hunde en el agua hasta desplazar su propio peso; la masa añadida queda entonces equilibrada por un déficit bajo ella, y vistos desde el centro ambos casi se anulan. El pre-núcleo interior se relaja entonces de vuelta hacia el centro. En resumen: mientras la pera se mantuvo en pie, el pre-núcleo se extendió hacia ella, y después de que la pera fuera reunida de vuelta, se relajó.

La prueba se enuncia como un requisito y una apertura para la investigación (Artículo 12): una estructura hemisférica del núcleo alineada con el lado de la pera, de la cual la asimetría este–oeste del núcleo interno es la primera candidata. Las ondas sísmicas que atraviesan el núcleo interno sólido viajan a distintas velocidades en sus mitades oriental y occidental; si el pre-núcleo se extendió hacia la pera mientras el núcleo se formaba, el núcleo en crecimiento puede haber registrado el lado. La prueba es débil si el núcleo interno es mucho más joven que la Luna, pues un núcleo interno posterior no llevaría el registro.

Lo que tenemos ahora es el destino completo de la pera: después de la liberación, la diferenciación la reunió de vuelta en la Tierra, con su parte pesada hundiéndose bajo su base, sobre una región cuyas provincias profundas se observan hoy y cuya naturaleza se deja abierta; la base se encuentra dentro de la provincia del Pacífico en todos los modelos examinados; mientras la pera se mantuvo en pie, el amplio pre-núcleo se extendió hacia ella, y después de que fuera reunida de vuelta, el pre-núcleo se relajó.

Trabajo futuro — aberturas para la investigación

Las Partes A–C definen las entradas para cálculos que quedan por realizar. La lista siguiente identifica trabajo que otros grupos de investigación están equipados para emprender. Cada punto nombra un cálculo que este artículo plantea pero no realiza, y la sección cuyo resultado sustituiría o pondría a prueba.

1. Una simulación tridimensional del cuerpo conectado. El estado inicial —un cuerpo de la masa lunar a 1,300 kg/m³ asentado sobre una punta de 6,000 km, sobre un progenitor de 6,517 km de radio volumétrico que gira en 5.5 horas, alimentado a través de un contacto basal a una presión de la fuente de 150 GPa— está completamente especificado. Una simulación de partículas suavizadas o de elementos finitos pondría a prueba a la vez la estabilidad del domo, la secuencia de redondeo de §C.4 y el margen de liberación de §C.5. Ambos métodos dividen el cuerpo en muchos elementos pequeños y siguen paso a paso las fuerzas entre ellos, que es lo que requiere una forma libre y cambiante de este tipo.

2. La ecuación de estado del fundido profundo. La alimentación requiere un fundido más ligero que 3,864 kg/m³ a lo largo del ascenso (§A.10). Los experimentos con líquidos silicatados hidratados y carbonatados a 50–150 GPa, y la dinámica molecular de primeros principios de las mismas composiciones, deciden si el requisito se cumple y con qué contenido de volátiles. La ecuación de estado es la relación entre la presión, la temperatura y la densidad de un material; el agua y el dióxido de carbono disueltos en un fundido reducen su densidad.

3. La liberación de energía del progenitor. La elevación cuesta del orden de $10^{30}$ J (§A.12). Un modelo de evolución térmica de una Tierra con hierro descendente, que se contrae y se enfría bajo una atmósfera de vapor, daría el ritmo al que esa energía queda disponible y, por tanto, la duración de la alimentación.

4. Adhesión de Stefan de una capa silicatada caliente. El margen de liberación $\Delta r\simeq2d_0$ (§C.5) usa una capa newtoniana. El trabajo de laboratorio y numérico sobre la separación de dos cuerpos unidos por una capa parcialmente fundida —cavitación, estrechamiento, la transición de la rotura viscosa a la frágil— fijaría el intervalo del margen y el tiempo de liberación. La adhesión de Stefan es la resistencia de una película viscosa delgada a la separación de las dos superficies que une, la fuerza que se siente al separar dos placas con miel entre ellas; una capa newtoniana es aquella cuya resistencia es simplemente proporcional a la velocidad a la que se deforma.

5. La corteza estratificada de la cara oculta. La cara oculta se construyó en capas de material cada vez más diferenciado (§B.7). La composición de los picos centrales frente a su profundidad de origen, por separado para la cara oculta y la visible, mediría el gradiente, y un modelo de la construcción predeciría sus escalones.

6. El núcleo de la Tierra durante la pera. Un modelo hidrostático tridimensional de la Tierra joven, aún no estratificada, con la pera en pie y después de que fuera reunida de vuelta, y con el seguimiento del déficit de la fuente, mostraría cómo el amplio pre-núcleo se extendió hacia la pera (§E.5) y cómo se relajó después; la estructura hemisférica del núcleo interno es el primer registro con el que comparar.

7. La corteza de la cara visible. El sial del anillo del domo inferior se desprendió con el cuerpo; sobre el contacto fue fundido y la superficie alisada por el calor y la gravedad (§C.4a). Un modelo térmico del contacto da la profundidad de esa fusión y, por tanto, el espesor de la corteza sobre el contacto frente al del cinturón.

8. Clasificación de los mares por zona de exposición. Las aberturas no se comportaron todas igual (§B.5). Imbrium no eyectó material, y Serenitatis tampoco, salvo quizá ligeros estallidos. La mayoría de las demás aberturas, de las 34–36 del autor, sí eyectaron material: las de la cara oculta pronto, hasta que se sellaron, y las del limbo durante mucho tiempo. La diferencia entre los mares del contacto, que no eyectaron, y los que sí eyectaron puede ponerse a prueba en la composición, los campos de cráteres secundarios y el espesor cortical bajo cada cuenca (Artículo 11, R8).

Disponibilidad del código

Todos los resultados numéricos de este artículo se reproducen con los scripts del paquete de reproducción LEF (Python 3, numpy, scipy), que imprime los valores de cada sección a partir de las entradas indicadas en el texto. El paquete se adjunta a este preprint como material suplementario (LEF_code_and_data.zip). Una versión anterior de la serie y del paquete está depositada en doi:10.5281/zenodo.22743615.

Referencias

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[15] Lock, S. J., & Stewart, S. T. (2017). The structure of terrestrial bodies: Impact heating, corotation limits, and synestias. Journal of Geophysical Research: Planets, 122, 950–982. doi:10.1002/2016JE005239.

[16] Denton, C. A., Asphaug, E., Emsenhuber, A., & Melikyan, R. (2025). Capture of an ancient Charon around Pluto. Nature Geoscience, 18, 37–43. doi:10.1038/s41561-024-01612-0.

Referencias internas dentro de la serie LEF — manuscritos del autor: 1, El modelo: el relato del modelo; 2, Mecanismo LEF en principio: la corrotación, la pera, el desplazamiento, el balance de momento angular y los límites de Roche; 4, La órbita: la evolución orbital después de la liberación; 5, Los mares; 6, Los cráteres: el material de retorno y los cráteres; 7, Los polos: el redondeo del cuerpo adherido; 8, South Pole–Aitken; 9, Las franjas; 10, Marte; 11, Los requisitos: las pruebas observacionales, incluida la clasificación de las cuencas por zona de exposición. Las referencias a los manuscritos no constituyen una confirmación externa de los resultados del modelo.

[17] Cottaar, S., & Lekic, V. (2016). Morphology of seismically slow lower-mantle structures. Geophysical Journal International, 207, 1122–1136. doi:10.1093/gji/ggw324.

[18] Becker, T. W., & Boschi, L. (2002). A comparison of tomographic and geodynamic mantle models. Geochemistry, Geophysics, Geosystems, 3, 1003. doi:10.1029/2001GC000168. (SMEAN.)

[19] Jackson, M. G., Konter, J. G., & Becker, T. W. (2017). Primordial helium entrained by the hottest mantle plumes. Nature, 542, 340–343. doi:10.1038/nature21023. (SMEAN2.)

[20] Cottaar, S., & Romanowicz, B. (2012). An unusually large ULVZ at the base of the mantle near Hawaii. Earth and Planetary Science Letters, 355–356, 213–222; tabla corregida, 390, 327 (2014).

[21] Hut, P. (1981). Tidal evolution in close binary systems. Astronomy and Astrophysics, 99, 126–140. Fuente de las ecuaciones de marea de desfase temporal constante usadas en la búsqueda de la distancia de liberación de §C.5a.

Autor, datos y métodos

Zohar Duran, investigador independiente, Ramla, Israel. ORCID: 0009-0005-3194-9387.

El artículo no presenta ningún conjunto nuevo de datos observacionales cuantificados; la localización de la fuente y la interpretación de la forma atribuidas al autor son hipótesis geomorfológicas cuyo método de reconstrucción no se ha presentado aquí. Las estimaciones de presión, flujo y enfriamiento pueden reproducirse a partir de las entradas y ecuaciones detalladas aquí. Los estados acoplados de la Parte C se basan en los cálculos del Artículo 2; su reproducción completa requiere también la solución de forma y el balance de momento angular detallados allí. La literatura observacional sirve como restricción para poner a prueba el modelo. El número de cifras de los resultados no es una estimación de la incertidumbre física, que depende principalmente de los supuestos sobre la estructura y el material.

Este apéndice clasifica los componentes del artículo según su estatus. Algunos son física estándar tomada de los libros de texto; algunos son observaciones previas usadas como restricciones; algunos son cálculos realizados aquí; y algunos son elementos del modelo que se proponen y deben ponerse a prueba. La tabla se lee fila por fila: la columna central da la clase de cada componente, y la columna derecha su fuente y la función que desempeña en el argumento. El sentido de la clasificación es que el lector pueda ver de inmediato qué partes del artículo descansan en física establecida y cuáles son propuestas propias del modelo.

Dos términos de la tabla pueden necesitar una aclaración. La solución de Poiseuille es el resultado estándar para el flujo estacionario de un fluido viscoso a través de un conducto: el caudal crece con la cuarta potencia del radio del conducto, y por eso la anchura del paso importa tanto en la Parte A. La ley de Stefan da la fuerza necesaria para separar dos superficies unidas por una capa viscosa delgada; aquí estima cuánto resistió el contacto —una resistencia pequeña—, con la liberación unos 210 km ($\simeq2d_0$) más allá de la línea de corrotación (§C.5).

Este apéndice enuncia las constantes usadas en todo el artículo y lo que puede, y no puede, reproducirse solo a partir de este artículo.

En todos los cálculos numéricos de aquí: $G=6.674\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$, un año = 365.25 días y un día = 86,400 segundos. $G$ es la constante gravitatoria, que fija la intensidad de la gravedad entre dos masas. En las tablas de flujo, la viscosidad, las densidades de los segmentos, la anchura del paso, la duración de la alimentación y la fracción interna son entradas de prueba: se eligen para explorar el intervalo del problema, no son valores medidos de la Tierra antigua. Los valores de $k$, $L_f$ y $\Delta T$ en la ecuación de enfriamiento son supuestos numéricos para la estimación; no se presenta para ellos ningún intervalo verificado de material antiguo. Aquí $k$ es la conductividad térmica, $L_f$ el calor latente liberado cuando el fundido se solidifica, y $\Delta T$ la diferencia de temperatura que impulsa el enfriamiento.

Las tablas de la Parte D se siguen de los estados de conservación del momento angular y de la forma del Artículo 2. Una vez dadas las masas, la distancia, el período y la latitud, la fuerza y los esfuerzos pueden reproducirse a partir de las ecuaciones (19)–(20), y la prueba conjunta a partir de las ecuaciones (25)–(29). La demostración del propio período de giro requiere la solución de forma y el balance de momento angular del Artículo 2; no se sigue de las ecuaciones de presión del Artículo 3. En otras palabras, este artículo toma como dados el día de 5.77 h y la distancia de liberación del Artículo 2, y todo lo que calcula a partir de ellos puede comprobarse aquí; el día mismo se comprueba en el Artículo 2.

Un número elevado de cifras en una tabla no debe convertirse en una incertidumbre pequeña del modelo. La incertidumbre en la densidad, los límites del flujo, la forma de la conexión y la estructura del cuerpo es más significativa que el error de redondeo. Un valor como 10.49 GPa se imprime con cuatro cifras para que el lector pueda repetir el cálculo exactamente, no porque el margen se conozca con esa precisión. El resultado final del Artículo 3 es una restricción de viabilidad dentro de aproximaciones enunciadas.

Uso de herramientas de IA: El autor utilizó asistentes de IA (Claude, Anthropic; ChatGPT, OpenAI; el asistente de búsqueda con IA de Google) para escribir y ejecutar los scripts de cálculo, analizar los catálogos y mapas, preparar figuras y tablas, discutir los escenarios, y para la corrección lingüística y la traducción. El modelo y sus conclusiones son del autor. El autor revisó el contenido y asume plena responsabilidad por él.