Die Tabelle der Rechenumgebung

Die Rechnungen dieses Papers beschreiben einen frühen terrestrischen Mutterkörper — die junge Erde, bevor der Mond sie verließ — im LEF-Szenario. Da sich das System während des Prozesses verändert (Masse wandert von einem Körper zum anderen, Form und Rotation ändern sich), gehört jede der folgenden Zahlen zu einem definierten Zustand: dem Zustand vor der Aufteilung der Masse, einem rechnerischen Referenzzustand, der dem Vergleich dient, oder dem gekoppelten Endzustand bei der Ablösung. Die Trennung dieser Zustände verhindert, dass ein Wert aus einem Moment in einem anderen verwendet wird. Anhang G enthält die vollständige Umgebung, E01–E70; die Tabelle hier führt nur die Größen auf, die für Paper 2 benötigt werden.

Die Tabelle hat drei Spalten. Die erste nennt die Größe, die zweite gibt ihren Wert oder ihre Definition an, und die dritte sagt, welcher Art die Zahl ist: eine Annahme über das System, eine für das Modell gewählte Eingabe, ein in diesem Paper berechneter Wert oder ein Wert, der nur dazu dient zu prüfen, wie empfindlich das Ergebnis ist. Anhand der dritten Spalte kann der Leser sofort erkennen, welche Zahlen hineingegeben werden und welche herauskommen.

Einige Zeilen bedürfen einer Erläuterung. Die anfängliche Masse des Mutterkörpers, 6.0455×10²⁴ kg, ist einfach die Summe der heutigen Erde und des heutigen Mondes: Es wird angenommen, dass nichts entweicht, sodass der ganze Mond einst Teil der Erde war. Der Anfangsradius, 6,517 km, ist größer als der heutige Erdradius, weil eine junge, heiße Erde ausgedehnt ist; die angenommene Ausdehnung beträgt 120 km. Ein rotierender flüssiger Körper wölbt sich am Äquator auf, und das Maclaurin-Modell — die klassische Gleichgewichtsform eines gleichmäßig dichten, rotierenden flüssigen Körpers, eine abgeplattete Kugel — macht aus diesem Volumen einen Äquatorradius von etwa 6,721 km. Die Testteilchen-Näherung behandelt den abgelösten Körper als kleines Teilchen im Feld der Zentralmasse, sodass nur die Erdmasse in die Formel eingeht; der gekoppelte Zweikörperwert (16,399 km statt 16,331 km) zeigt, wie klein diese Vereinfachung ist. Die Zeilen zu den zwei Schichten verwenden $q$, das Verhältnis des Radius der dichten inneren Schicht zum Radius des ganzen Körpers, und $D$, das Verhältnis der inneren zur äußeren Dichte; $D=1$ ist ein gleichförmiger Körper, und ein größeres $D$ bedeutet mehr zum Zentrum hin gesammeltes Eisen. Die 25°-Zeile ist ein Sensitivitätstest, mit dem geprüft wird, wie stark sich das Ergebnis ändert, wenn die Ablösung nicht auf dem Äquator liegt; sie ist nicht der gewählte Wert, der 22.5° beträgt (Paper 4). Wo die Tabelle sagt, dass eine Größe keinen einheitlichen Wert hat — Temperatur, Viskosität, Schwerkraft —, entlehnt das Paper an ihrer Stelle keinen heutigen Wert. Das Aufbaufenster von 600 Myr ist das Arbeitsszenario der Serie: rund 400 Myr für die Aufwölbung und die Birne, etwa 100 Myr Abplattung und etwa 100 Myr bis zur Ablösung bei 3.873 Ga. Paper 2 berechnet diese Dauer nicht und hängt nicht von ihr ab.

Praktisch bedeutet das: Die 7.35×10²² kg des Mondes werden einmal gezählt. Vor dem Transfer sind sie in den 6.0455×10²⁴ kg der Erde enthalten; danach sind sie der Mond, und die Erde behält 5.972×10²⁴ kg.

Warum der alte Einwand nicht greift. Die klassische Spaltung verlangte von der Erde, Material von ihrer eigenen Oberfläche abzuschleudern. An der Oberfläche eines Mutterkörpers mit 5.5 Stunden liefert die Rotation etwa 2,133 m/s, während eine freie Bahn dort etwa 7,701 m/s erfordert (§A.1.2). Der einzige Weg, diese Lücke an der Oberfläche zu schließen, ist, die ganze Erde viel schneller rotieren zu lassen, und schnellere Rotation bedeutet mehr Drehimpuls: Am klassischen Punkt, an dem ein rotierender flüssiger Körper instabil wird (die Jacobi-Bifurkation, §A.6.5), benötigt der Mutterkörper das 2.74-Fache des Drehimpulses, den das Erde-Mond-System heute hat, und die ältere Referenzrechnung, an einem anderen Punkt derselben Folge durchgeführt, ergab etwa das Vierfache. So viel besitzt das System nicht, und deshalb wurde die Spaltung aufgegeben. Der LEF-Weg schließt die Lücke auf andere Weise: nicht durch schnellere Rotation, sondern indem das Material nach außen getragen wird, während es sich mit der Erde dreht. Seine Geschwindigkeit wächst bei gleicher Rotationsrate mit dem Abstand, bis sie am Korotationsradius der Bahngeschwindigkeit gleicht. Die Rotation, die die Erde dafür braucht, ist die Rotation, die sie hätte, wenn ihr der gesamte heutige Drehimpuls zurückgegeben würde — etwa 5.5 Stunden (§A.2) —, und die dann benötigte Bilanz ist das 1.007-Fache der heutigen. Ein Bild aus dem Alltag: Ein Kind auf einem Karussell, das von der Mitte zum Rand geht, bewegt sich am Rand schneller, ohne dass jemand das Karussell stärker anschiebt.

Was die Anforderungen bedeuten. $k$ ist der Trägheitsmomentkoeffizient: Er misst, wie die Masse eines Körpers zwischen Zentrum und Oberfläche verteilt ist. Eine gleichförmige Kugel hat $k=0.4$; die heutige Erde mit ihrem Eisenkern hat etwa 0.33. Der Weg benötigt $k\gtrsim0.397$ zu Beginn des Transfers, also einen Mutterkörper, der sich noch in einem frühen Stadium der Sortierung befindet: Eine Erde, deren Masse weniger zum Zentrum hin konzentriert ist, speichert bei gleicher Rotation mehr Rotation. Die Organisation des Erdkerns ist ein einziger fortlaufender Prozess, der nie aufgehört hat. Während der Aufwölbung stand er an seinem Anfang; während die Birne wuchs, setzte er sich fort; und nach der Ablösung ging er weiter, während die Erde die Birne wieder in sich aufnahm. Eine vollständig gleichförmige Periode gab es wahrscheinlich nie: Je früher das Stadium, desto weniger sortiert die Erde. Eisen könnte sich schon zu Beginn im Kern gesammelt haben; der Prozess setzte sich fort. Die junge Erde muss außerdem heiß und daher größer als heute sein: Eine Ausdehnung zwischen 98 und 520 km ist zulässig, und 120 km werden gewählt. Der Körper muss jenseits des Korotationsradius abgelöst werden und nicht genau auf ihm: Genau auf der Linie ist die Gezeit neutral und gibt keinen Schub in irgendeine Richtung, während ein Körper, der auch nur geringfügig jenseits der Linie liegt, von der Gezeit nach außen gedrückt wird, sodass er sich von Anfang an entfernt (Paper 4); der benötigte Spielraum ist klein, $\Delta r\simeq2d_0$, etwa 210 km (Paper 3, §C.5a). Die fluide Roche-Grenze ist der Abstand, innerhalb dessen die Gezeit der Erde einen Körper auseinanderziehen würde, der allein durch seine eigene Schwerkraft zusammengehalten wird. Ein Körper mit innerer Festigkeit übersteht geringere Abstände, bis zu seiner starren Grenze; der Mond ist bei der Ablösung starr und rund, seine Abplattung und Rundung waren früher abgeschlossen, als er noch verbunden war (Paper 7). Die Verbindung zwischen den beiden Körpern — die Birne — muss die Last bis zur Ablösung tragen. Diese Anforderungen sind nicht in den Ergebnissen versteckt; sie sind in §D.3 gesammelt, und Paper 3 prüft sie.

Einleitung — Teil A: die Ablösungsbedingung im Kontext bestehender Modelle

Zwei Arten von Belegen betreffen den Ursprung des Mondes: wie sein Material in eine Umlaufbahn gelangt sein könnte (die Dynamik der Abtrennung) und ob seine Zusammensetzung zu dem Körper passt, aus dem er stammt. Darwins Arbeiten zu Gezeiten und Rotation gehören zum historischen Hintergrund der Untersuchung der Entwicklung des Erde-Mond-Systems [6]; seine Spaltungsidee — dass eine schnell rotierende Erde den Mond abwarf — ist die klassische Form eines terrestrischen Ursprungs. In diesem Paper wird der quantitative Vergleich mit der klassischen Spaltung über eine definierte Gleichgewichtskonfiguration vorgenommen; ein Ergebnis für eine Konfiguration darf nicht in eine Schranke für jeden möglichen Pfad umgedeutet werden. Mit anderen Worten: Zu zeigen, dass ein bestimmter Spaltungspfad zu viel Drehimpuls benötigt, zeigt nicht, dass jeder Pfad von der Erde dies tut.

In der Modellfamilie des großen Einschlags bildet sich der Mond aus Trümmern, nachdem ein anderer Körper die Erde getroffen hat, und die isotopische Zusammensetzung setzt der Mischung von terrestrischem Material und Impaktormaterial Grenzen. Es gibt verschiedene Versionen des Modells, und die Grenzen hängen von den Zusammensetzungen und der Art der Mischung ab [7]. Im LEF-Szenario wird der Aufbau aus einem gemeinsamen terrestrischen Reservoir untersucht: Der Mond besteht aus dem eigenen Material der Erde, sodass eine enge isotopische Übereinstimmung unmittelbar folgt. Eine gemeinsame Quelle bietet eine Grundlage für den Vergleich der Zusammensetzung, ersetzt aber nicht den Test des Transfers in die Umlaufbahn. Dieser Test ist Gegenstand dieses Papers.

Die gezielte Frage dieses Papers lautet, ob das Hinaustragen von Masse in gemeinsamer Rotation die Geschwindigkeitsbedingung und die Drehimpulsbilanz gegenüber einer direkten Ablösung von der Oberfläche verändert. Die Antwort des Papers lautet: Es verändert sie. Die Ablösungsbedingung wird von der Oberfläche an den Korotationsradius verlegt, und sowohl die Geschwindigkeit als auch die Bilanz passen dann. Der Mechanismus des Aufbaus — die Speisung von innen und der Aufstieg der äußeren Schale als Oberfläche desselben Körpers — ist Gegenstand von Paper 3, Der LEF-Mechanismus in der Praxis. Das vorliegende Paper definiert die physikalischen Bedingungen, die er erfüllen muss. Die Aufteilung ist beabsichtigt: Paper 2 fragt mit Standardphysik, ob der Weg im Prinzip möglich ist; Paper 3 zeigt, wie er ausgeführt wird.

Einleitung — Teil B: was das Paper darstellt

Das Paper ist als Folge von Problemen und ihren Lösungen aufgebaut, sodass jedem Einwand dort begegnet wird, wo er erhoben wird. Teil A legt die Probleme, denen der Weg begegnen muss, eines nach dem anderen dar: die Geschwindigkeitslücke, die zur Ablehnung der klassischen Spaltung führte, was berechnet werden muss, die Birne, die die Erde mit der Korotationslinie verbindet, den Ausgleich zwischen der sich verlängernden Birne und dem sich zentralisierenden Kern, die Korotation selbst, die Drehimpulsbilanz, die Roche-Grenze und die Richtung der Gezeitenentwicklung. Teil B löst sie in derselben Reihenfolge, ausgehend von einer einzigen Rechnung. Teil C fasst zusammen, was gezeigt wurde; Teil D sammelt die Aussagen, Tests und Anforderungen; Teil E nennt die Schlussfolgerungen. Die Anhänge A–G enthalten die Herleitungen, die Sensitivitätsscans, die Roche-Rechnungen und die vollständige Rechenumgebung, sodass jede Zahl im Haupttext nachverfolgt und reproduziert werden kann.

Die Äquatorebene ist der einfachste Fall: Dort trägt die Rotation Material am schnellsten, und der Korotationsradius ist ein einziger Abstand. Eine Ablösung aus höherer Breite verändert die Zahlen etwas, aber nicht das Prinzip; die Größe der Änderung zeigt der 25°-Sensitivitätstest der Umgebungstabelle, und der gewählte Fall von 22.5° wird in Paper 4 berechnet.

Dieser Teil legt die Physik dar, die der Weg erfüllen muss, ein Problem nach dem anderen. Er beginnt mit der Schwierigkeit, die den klassischen Spaltungsweg verschloss — ein Körper, der die Oberfläche einer schnell rotierenden Erde verlässt, hat nicht die Geschwindigkeit einer Umlaufbahn —, und fragt dann der Reihe nach, wo diese Geschwindigkeit erreicht wird, was die Erde mit diesem Ort verbindet, wie sich die Rotation der Erde ändert, während das Material nach außen wandert, ob der Drehimpuls ausreicht, ob der Körper die Gezeit der Erde übersteht und in welche Richtung er sich danach bewegt. Jeder Abschnitt endet mit einer definierten Größe, die Teil B dann berechnet.

A.1Das Problem: die Geschwindigkeitslücke

A.1.1Zwei getrennte dynamische Fragen

Ein Szenario terrestrischen Ursprungs erfordert eine Erklärung für den Transfer von Material vom Mutterkörper in eine freie Umlaufbahn. Eine Übereinstimmung der Zusammensetzung kann eine gemeinsame Quelle stützen, ohne festzulegen, wie das Material in die Umlaufbahn gelangte: Zwei Körper können aus demselben Material bestehen und dennoch die Frage offenlassen, wie einer von ihnen dazu kam, den anderen zu umkreisen. Der Schwerpunkt dieses Papers liegt daher auf der Dynamik. Die ursprüngliche historische Übersicht wird hier durch den Vergleich definierter Gleichgewichtskonfigurationen geprüft, und nicht durch die Behauptung, dass jeder Pfad terrestrischen Ursprungs derselben Spaltungsschwelle unterliegt.

Zwei Fragen müssen auseinandergehalten werden. Die erste Frage ist, unter welchen Bedingungen die Geschwindigkeit des Materials mit einer freien Umlaufbahn vereinbar ist — also ob sich das Material in dem Moment, in dem es losgelassen wird, seitwärts schnell genug bewegt, um weiter um die Erde herum zu fallen, ohne auf sie zurückzufallen. Die zweite Frage ist, ob der zu Beginn des Prozesses verfügbare Drehimpuls den Endzustand und die spätere Entwicklung zulässt. Eine Änderung der Ablösungsbedingung kann den Geschwindigkeitstest verändern, die gesamte Drehimpulsbilanz muss jedoch weiterhin erfüllt sein. Ein Weg kann den ersten Test bestehen und am zweiten scheitern, daher werden beide berechnet.

Drehimpuls und Trägheitsmoment. Drehimpuls ist die Menge an Rotationsbewegung, die ein Körper trägt. Für einen rotierenden Körper ist er das Produkt daraus, wie schnell er sich dreht und wie seine Masse um die Achse verteilt ist. Der Eigendrehimpuls ist:

$$L_{\mathrm{spin}}=I\omega.$$

Hier ist $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit (der pro Sekunde überstrichene Winkel, $2\pi$ geteilt durch die Periode) und $I$ das Trägheitsmoment: die Summe, über jedes Stück des Körpers, seiner Masse mal dem Quadrat seines Abstands von der Rotationsachse. Das Trägheitsmoment misst, wie weit von der Achse die Masse sitzt; Masse fern der Achse zählt viel mehr als Masse nahe der Achse, weil der Abstand quadratisch eingeht. Für einen Körper der Masse $M$ und des Äquatorradius $a$ schreibt man zweckmäßig $I=kMa^2$, wobei der dimensionslose Koeffizient $k$ festhält, wie die Masse verteilt ist: Ein gleichförmiger Körper hat $k=0.4$, und ein Körper mit dichtem Kern hat ein kleineres $k$.

Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße: In einem System, auf das von außen keine verdrehende Kraft (kein Drehmoment) wirkt, kann sich seine Summe nicht ändern; er kann nur von einem Teil des Systems auf einen anderen übergehen. Für das Erde-Mond-System ist das einzige bedeutende äußere Drehmoment die von der Sonne erzeugte Gezeit, die im Lauf der Geschichte des Systems etwa 1% entfernt (§A.2). Diese Erhaltung macht das Problem berechenbar: Was immer der Mond heute in seiner Bahn trägt, muss einst in der Rotation des Mutterkörpers gewesen sein.

Der Transfer von Material nach außen in Korotation — also während es sich mit der eigenen Winkelgeschwindigkeit des Mutterkörpers weiter mit ihm dreht — erfordert, dass der Mutterkörper diesem Material zusätzlichen Drehimpuls liefert, denn dieselbe Winkelgeschwindigkeit in größerem Abstand bedeutet ein größeres Trägheitsmoment dieses Materials. Ohne äußeres Drehmoment ist dies eine Umverteilung vorhandenen Drehimpulses: Was das Material gewinnt, verliert die Rotation des Mutterkörpers.

A.1.2Ablösung von der Oberfläche

Wir untersuchen zunächst den klassischen Fall: Material, das direkt vom Äquator eines schnell rotierenden Mutterkörpers losgelassen wird. Im Referenzzustand beträgt die Periode $T_0=5.5$ Stunden und der Äquatorradius $a_0\simeq6{,}721$ km. Daher gilt, da 5.5 Stunden 19,800 Sekunden sind:

$$\omega_0=\frac{2\pi}{19{,}800}\simeq3.17333\times10^{-4}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$$

Am Äquator müssen nun zwei Geschwindigkeiten verglichen werden. Die erste ist die Geschwindigkeit, die die Rotation selbst einem Punkt auf der Oberfläche verleiht, $v_{\mathrm{rot}}$: die Winkelgeschwindigkeit mal dem Abstand von der Achse. Die zweite ist die Kreisbahngeschwindigkeit $v_{\mathrm{circ}}$: die Geschwindigkeit, bei der ein freier Körper in diesem Abstand auf einer Kreisbahn weiter um die Erde herum fallen würde, wobei seine Fliehtendenz die Schwerkraft genau ausgleicht.

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega_0a_0\simeq2{,}133\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{a_0}}\simeq7{,}701\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$$

Selbst bei einem Tag von nur 5.5 Stunden bewegt sich die Oberfläche mit weniger als einem Drittel der Geschwindigkeit, die eine Umlaufbahn dort erfordert. Die Geschwindigkeitsdifferenz beträgt, in der Rundung der ursprünglichen Referenzrechnung dieses Papers, etwa 5,568 m/s. Das ist die Geschwindigkeitslücke.

Welcher Bahn würde solches Material folgen, wenn es einfach losgelassen würde? Ohne zusätzliche radiale Geschwindigkeit sind die spezifische Energie (die Bahnenergie pro Kilogramm, kinetische minus gravitative) und die große Halbachse (die Hälfte der langen Achse der entstehenden Ellipse):

$$\varepsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{GM_\oplus}{r}\simeq-5.70\times10^7\ \mathrm{J\,kg^{-1}}, \qquad A_{\mathrm{orb}}=-\frac{GM_\oplus}{2\varepsilon}\simeq3{,}495\ \mathrm{km}.$$

Die Energie ist stark negativ — das Material ist tief gebunden —, und die große Halbachse, 3,495 km, beträgt etwa die Hälfte des Äquatorradius des Mutterkörpers. Der Ablösungspunkt ist der fernste Punkt dieser Ellipse, sodass der gesamte übrige Pfad tief im Inneren des Mutterkörpers liegt. Unter diesen Anfangsbedingungen durchdringt die Kepler-Bahn den Mutterkörper: Das Material fällt einfach zurück. Die Oberflächengeschwindigkeit allein liefert daher keine freie Umlaufbahn, die außerhalb von ihm bleibt. Das ist der Kern des klassischen Einwands gegen die Spaltung: Um die Lücke an der Oberfläche zu schließen, müsste der Mutterkörper mehrfach schneller rotieren, was weit mehr Drehimpuls erfordert, als das Erde-Mond-System enthält (§A.6.5).

Die Zahlen in §A.2 bewahren den ursprünglichen Referenzvergleich, in dem GM der endgültigen Erdmasse verwendet wurde. Sie sind keine Rechnung des exakten Feldes des gesamten anfänglichen Mutterkörpers. Diese Definition unterscheidet den reproduzierten Referenzvergleich von der Gesamtbilanz in §A.6.

A.1.3Die Transferbedingung im Test

Der LEF-Weg lässt das Material nicht an der Oberfläche los. Im untersuchten Szenario steigt das Material auf, während es noch verbunden ist, und erhält Drehimpuls, sodass es sich beim Hinauswandern weiter mit dem Mutterkörper dreht. Die beiden Geschwindigkeiten verhalten sich dann gegenläufig. Die Geschwindigkeit $\omega r$ wächst mit dem Abstand, denn ein Punkt, der sich einmal pro Tag dreht, durchläuft einen umso größeren Kreis, je weiter außen er liegt — so wie ein Kind, das auf einem drehenden Karussell nach außen geht, immer schneller herumgetragen wird. Die Bahngeschwindigkeit $\sqrt{GM/r}$ nimmt ab, weil die Schwerkraft mit dem Abstand schwächer wird und weniger seitliche Geschwindigkeit nötig ist, um sie auszugleichen. Die Lücke aus §A.1.2 wird daher kleiner, während das Material aufsteigt, und in einem bestimmten Abstand schließt sie sich.

Das Paper berechnet den Punkt der Gleichheit und die Drehimpulskosten des Transfers; der Aufstiegsprozess selbst ist eine eigene mechanische Frage. Paper 3, Der LEF-Mechanismus in der Praxis, untersucht die Transportkapazität und die Verbindung; die detaillierte Druckrechnung liegt außerhalb der hier vorgestellten Bilanzrechnung. Die Bahn-Anfangsbedingungen werden an Paper 4, Die Umlaufbahn, übergeben.

A.2Was berechnet werden muss

Das Problem hat nun eine bestimmte Gestalt. Fünf Größen müssen berechnet werden: wo der Mond abgelöst wird, mit welchem Erdtag, ob der Drehimpuls ausreicht, ob der Körper die Gezeit übersteht und ob er sich danach entfernt.

Warum 5.5 Stunden. Die Anfangsrotation ist nicht frei gewählt; sie folgt aus der rückwärts angewandten Drehimpulserhaltung. Der gesamte heutige Drehimpuls von Erde und Mond, $3.44\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$ — die Rotation der Erde zusammen mit der Bahn des Mondes —, wird der Rotation einer jungen, heißen, ausgedehnten Erde zurückgegeben, die sich noch in einem frühen Stadium der Sortierung befindet ($k=0.4$ als Rechnungseingabe). „Ausgedehnt“ bedeutet, dass die heiße frühe Erde etwas größer war als die kalte Erde von heute; „ein frühes Stadium der Sortierung“ bedeutet, dass die Organisation des Kerns erst begonnen hatte, sodass die Masse nahezu gleichförmig verteilt war und der gleichförmige Wert $k=0.4$ sie gut beschreibt. Legt man die gesamte Bilanz in die Rotation eines solchen Körpers, ergibt sich die Periode: $$T_0=\frac{2\pi I_0}{L}\simeq5.54\ \mathrm{h}.$$ In Worten: Ein Körper mit dem Trägheitsmoment $I_0$, der den Drehimpuls $L$ trägt, dreht sich mit $\omega=L/I_0$, und seine Periode ist $2\pi/\omega$. Die Sonnengezeiten haben seither etwa 1% des Drehimpulses des Systems entfernt (etwa 1.35%, wenn der sich entfernende Mond verfolgt wird; Eulenfeld & Heubeck 2023; Canup 2004). Eine Periode von 5.5 h trägt daher den heutigen Drehimpuls und das rund 1%, das verloren ging: Sie ist etwas kürzer als 5.54 h, weil das frühe System etwas mehr enthielt. Eine junge Sonne, die um einige Prozent massereicher war, erhöht diesen Verlust nur auf 1–2%.

A.2.1Der Referenzzustand

Für $GM_\oplus\simeq3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ und $T_0=5.5$ Stunden sind der Abstand, bei dem die Rotationsgeschwindigkeit der Bahngeschwindigkeit gleicht — der Korotationsradius, hergeleitet in §A.5 —, und die gemeinsame Geschwindigkeit dort:

$$\boxed{R_{\mathrm{sync},0}\simeq15{,}818\ \mathrm{km}, \qquad v_{\mathrm{sync},0}\simeq5{,}020\ \mathrm{m\,s^{-1}}.}$$

Das ist die zentrale Zahl des Papers. Bei 15,818 km, mehr als dem Doppelten des Äquatorradius des Mutterkörpers, bewegt sich ein Körper, der sich alle 5.5 Stunden einmal mit der Erde dreht, bereits mit 5,020 m/s, also genau mit der Geschwindigkeit einer Kreisbahn in diesem Abstand. Ein Körper, der dort in Korotation gehalten und dann losgelassen wird, benötigt keinen zusätzlichen Schub: Er befindet sich bereits in der Umlaufbahn.

Der Abstand wird in der Testteilchen-Näherung vom Zentrum des Zentralkörpers aus gemessen, in der die eigene Masse des umlaufenden Körpers in der Anziehung vernachlässigt wird. Setzt man diesen Radius in die beiden Geschwindigkeitsformeln ein, bestätigt sich, dass die Geschwindigkeiten gleich sind.

Die Herleitung ist eine Anwendung der Bewegungsgleichungen in einem Zentralfeld [8]. Wird ein Anfangszustand mit der vollen Masse des Mutterkörpers berechnet, muss $M_{\mathrm{tot}}$ in die Formel eingesetzt werden. Der Wert 15,818 km bleibt die in der Tabelle definierte Referenz; die gekoppelte Lösung in §A.4 bezieht die Aufteilung der Masse ausdrücklich ein.

A.3Die Birne

Der Korotationsradius liegt weit über der Oberfläche, also muss etwas das Material dorthin tragen, während es sich weiter mit der Erde dreht. Im Modell ist dies die Birne. Die Verbindung ist ein Hügel, der sich aus der Erde erhebt: eine Basis von etwa 9,000 km Breite an der Oberfläche, Flanken, die einen einzigen Bogen ohne Taille bilden, und eine Kontaktscheibe von 3,000 km Breite am Mond. Sie überbrückt etwa 7,800 km zwischen der Erdoberfläche und dem Mond und liegt vollständig innerhalb der Korotationslinie, sodass sie nach innen gezogen wird: Überall entlang der Birne ist die Schwerkraft stärker als das, was die Rotation benötigt, um das Material kreisen zu lassen, sodass das eigene Material der Birne von der Erde gehalten wird und nicht davonfliegt. Nur der Körper an ihrer Spitze erreicht die Linie. Ihre Länge und Masse sind eine Anforderung: Der Mond wurde als Ganzes abgelöst, also muss eine Birne existieren, die die Bedingungen erfüllt. Wie die Birne aufgebaut wird und wie sie die Last trägt, ist Gegenstand von Paper 3.

Abbildung 1 zeigt die Proportionen maßstabsgetreu: die breite Basis der Birne auf der Erde, den einzigen Bogen ihrer Flanken und den Mond an ihrer Spitze mit seinem Zentrum auf der Korotationslinie. Der in der Zeichnung verwendete Tag von 5.77 h ist der Tag bei der Ablösung, berechnet in §A.4.

A.4 Der Ausgleich: zwei zusammenwirkende Prozesse

Bevor der Erdtag bei der Ablösung berechnet werden kann, müssen zwei Prozesse berücksichtigt werden, die gleichzeitig und in entgegengesetzten Richtungen auf die Rotation der Erde wirken. Das ist wichtig, weil der Tag bei der Ablösung die Lage der Korotationslinie festlegt und damit, wo der Mond losgelassen wird.

1. Die Birne verlängert sich. Material wandert mit der Rotation nach außen und nimmt Drehimpuls mit; der Drehimpuls, der die Erde verlässt, verlangsamt ihre Rotation. Ein Kind, das auf einem Karussell nach außen geht, bremst das Karussell auf dieselbe Weise.

2. Der Kern zentralisiert sich. Differentiation ist die Trennung eines anfangs gemischten Körpers in Schichten nach Dichte: Eisen, der dichteste Bestandteil, sinkt zum Zentrum und bildet einen Kern, während leichteres Material darüber zurückbleibt. Im LEF-Modell ist diese Organisation des Kerns ein einziger fortlaufender Prozess: Sie hatte vor dem Transfer begonnen, setzte sich fort, während die Birne wuchs, und ging nach der Ablösung weiter. Schnelle Rotation beschleunigt die Differentiation: Eisen sinkt nach innen, und das Trägheitsmoment der Erde nimmt ab, weil Masse näher an die Achse rückt. Mit kleinerem Trägheitsmoment und gleichem Drehimpuls muss sich der Körper schneller drehen. Wie bei einer Eiskunstläuferin, die die Arme anzieht, wird die Rotation schneller.

Der Drehimpuls bleibt erhalten, und die beiden Prozesse gleichen einander aus: Das Ergebnis ist der Ausgleich zwischen ihnen. Eine Rechnung, die nur einen von ihnen berücksichtigt, beschreibt nicht die Erde jener Zeit — die Birne allein ergäbe einen zu langen Tag, der Kern allein einen zu kurzen.

Die Tabelle liest sich Zeile für Zeile. Die Birne allein würde den Tag um 0.94 h verlängern und die Korotationslinie um etwa 1,750 km nach außen schieben, weil eine langsamere Rotation einen größeren Abstand braucht, bevor die Rotation Bahngeschwindigkeit liefert. Der sich zentralisierende Kern nimmt 0.67 h zurück. Zusammen verlängert sich der Tag nur um 0.27 h, von 5.50 auf 5.77 h, und die Linie wandert nur mäßig nach außen, auf 16,331 km.

Abbildung 2 zeigt dasselbe Gleichgewicht grafisch: den von der Birne hinzugefügten Balken und den vom Kern entfernten Balken, mit dem Nettoergebnis dazwischen.

Abbildung 3 verfolgt die Korotationslinie im Verlauf des Transfers. Mit der Birne allein wandert die Linie stetig nach außen; wenn sich der Kern gleichzeitig zentralisiert, bleibt sie viel näher an ihrer Ausgangslage.

A.4.1 Die Wirkung der Differentiation auf den Endzustand

Die Konzentration von Masse nach innen verändert das Trägheitsmoment. Um dies zu prüfen, wurden die beiden Schichtgrenzen, die Dichte, die Form und die Rotation zusammen berechnet. Dies erweitert den Sensitivitätstest und ersetzt nicht bloß $k$ innerhalb einer festen homogenen Figur: Ein Körper, der sich differenziert, verändert auch seine Abplattung, und die Abplattung verändert ihrerseits das Trägheitsmoment, sodass alle vier gleichzeitig gelöst werden müssen. Die Grenzen durften von Sphäroiden abweichen; die Beschränkung der Sphäroidannahme in geschichteten Systemen wird auch in der Literatur diskutiert [5].

Die Struktur wird durch zwei Zahlen beschrieben. Das volumetrische Radiusverhältnis $q$ ist der Radius der inneren Schicht geteilt durch den Radius des ganzen Körpers; $q=0.55$ legt die Grenze etwas jenseits der halben Strecke nach außen, vergleichbar mit dem Kern der heutigen Erde. Das Dichteverhältnis $D=\rho_{\mathrm{inner}}/\rho_{\mathrm{outer}}$ gibt an, wie viel dichter die innere Schicht ist als die äußere: $D=1$ ist ein gleichförmiger Körper, $D=2$ eine innere Schicht, die doppelt so dicht ist wie die äußere. Je größer $D$, desto mehr Masse sitzt nahe dem Zentrum und desto kleiner ist der Koeffizient $k$ (für $q=0.55$ und $D=2$ gilt $k=0.360$; §B.6). Für ein volumetrisches Radiusverhältnis $q=0.55$ und ein Dichteverhältnis $D$ ergibt die Testteilchen-Näherung:

Die Tabelle zeigt einen einzigen stetigen Trend: Wenn $D$ von 1 auf 3 steigt, verkürzt sich der Endtag von 6.438 auf 5.274 Stunden, und die Korotationslinie wandert von 17,569 auf 15,382 km nach innen. Die erste Zeile, $D=1$, ist die allein wirkende Birne (keine Zentralisierung); die Zeile $D=2$ ist der gewählte Zustand aus §A.4. Bei $D=2.5$ hebt der sich zentralisierende Kern die durch die Birne verursachte Verlangsamung fast genau auf, und der Tag kehrt etwa zu seinem Ausgangswert zurück.

Die Differentiation in der Endstruktur kann einen Teil der Verlangsamung der Rotation, die den Transfer begleitet, ausgleichen. Die Zeilen sind mögliche Zustände, keine zeitliche Entwicklungsfolge. Alle Zeilen verwenden dieselbe Anfangsbilanz für einen homogenen Mutterkörper; sie begründen nicht, dass eine konzentrierte Anfangsstruktur diese Bilanz liefern würde. Die Annahmen, der vollständige Scan und die Konvergenzprüfungen stehen in Anhang C und in dem damit verknüpften Rechendokument.

A.5 Korotation

Dieser Abschnitt leitet den durchgehend verwendeten Korotationsradius her und gibt an, wo seine Verwendung gültig ist.

Abbildung 4 trägt die beiden Geschwindigkeiten aus §A.1.3 gegen den Abstand vom Erdzentrum auf. Die von der Rotation getragene Geschwindigkeit steigt geradlinig an; die Bahngeschwindigkeit fällt. Innerhalb des Schnittpunkts liefert die Rotation weniger, als eine Umlaufbahn braucht, und Material wird nach innen gezogen; außerhalb liefert die Rotation mehr, als eine Umlaufbahn braucht, und Material strebt nach außen. Der Schnittpunkt ist die Korotationslinie.

Die Korotation wirkt auf den Massenschwerpunkt, nicht auf das geometrische Zentrum, denn das Gleichgewicht von Schwerkraft und Rotation gilt für den Körper als Ganzes, und der ganze Körper bewegt sich so, als wäre seine Masse in seinem Massenschwerpunkt vereinigt. Die Korotationskräfte könnten den Mond etwas später gezogen haben, nachdem sein geometrisches Zentrum die Linie überschritten hatte, weil sein Massenschwerpunkt leicht zur Erde hin verschoben ist (heute etwa 2 km): Das geometrische Zentrum erreicht die Linie zuerst, der Massenschwerpunkt etwas später; der Mond wird kurz nach dem Überschreiten durch seinen Massenschwerpunkt abgelöst, etwa 210 km jenseits der Linie (§D.3; Paper 3, §C.5a).

A.5.1 Die Herleitung

In der Testteilchen-Näherung, in der Äquatorebene und in einem Zentralfeld ist die von der Rotation getragene Geschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit mal dem Abstand; die Kreisbahngeschwindigkeit folgt aus der Gleichsetzung der Gravitationsanziehung mit der Kraft, die nötig ist, um eine Masse $m$ auf einem Kreis mit dem Radius $R$ zu halten:

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega R, \qquad \frac{GMm}{R^2}=\frac{mv_{\mathrm{circ}}^2}{R}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM}{R}}.$$

Die Masse $m$ des umlaufenden Körpers kürzt sich heraus: Die Bahngeschwindigkeit in einem gegebenen Abstand ist für ein Korn und für einen Mond dieselbe. Gleichsetzen der Geschwindigkeiten ergibt:

$$\omega R=\sqrt{\frac{GM}{R}} \quad\Longrightarrow\quad \omega^2R^3=GM.$$

Auflösen nach $R$ und Schreiben von $\omega=2\pi/T$ ergibt:

$$\boxed{R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{GM}{\omega^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}}$$

Das Ergebnis besagt, dass der Korotationsradius nur von der Masse des Zentralkörpers und von seiner Rotationsperiode abhängt und mit der Periode hoch zwei Drittel wächst: Eine langsamere Rotation schiebt die Linie nach außen. Deshalb verschiebt die sich verlängernde Birne die Linie nach außen, und der sich zentralisierende Kern holt sie zurück (§A.4).

Für positive, konstante Masse und Winkelgeschwindigkeit gibt es eine einzige positive Wurzel. Dies ist die Beziehung der synchronen Umlaufbahn aus der Standard-Bahnmechanik — dieselbe Beziehung, die geostationäre Satelliten über der heutigen Erde platziert; neu ist, wo sie ausgewertet wird. Der klassische Einwand wertete die Geschwindigkeitsbedingung an der Oberfläche des Mutterkörpers aus; der LEF-Weg wertet sie am Korotationsradius aus.

A.5.2 Die Ablösungsbedingung und der Gültigkeitsbereich

Die Gleichheit passt zu einer äquatorialen Kreisbahn, wenn die radiale Geschwindigkeit null ist und die Kontaktkräfte aufhören — also wenn sich der Körper rein seitwärts bewegt und die Verbindung ihn weder schiebt noch zieht. Bei zusätzlicher Geschwindigkeit oder bei Ablösung außerhalb des Äquators müssen die Vektoren der Anfangsbedingungen berechnet werden. Das Bahndetail gehört zu Paper 4; in diesem Paper wird nur die für die Drehimpulsbilanz nötige Korrektur beibehalten, in §A.6 und Anhang D.

Das Erreichen der Korotation hebt die für das Anheben und für die Übertragung von Drehimpuls erforderliche Arbeit nicht auf: Die Geschwindigkeitsbedingung ist an der Linie erfüllt, aber Energie und Drehimpuls müssen dem Material auf dem Weg weiterhin zugeführt werden. Das Feld eines abgeplatteten Mutterkörpers, die Größe des sich entwickelnden Körpers und die Zweikörper-Gravitation bringen ebenfalls Korrekturen an der zentralen Beschreibung an. Die Lösung in §A.4 enthält eine bestimmte Zweikörperkorrektur, ist aber keine vollständige Lösung zweier miteinander verbundener deformierter Figuren.

A.5.3 Die Bedeutung der Bedingung für die Ablösung

Die gekoppelte Lösung in §A.4 definiert einen Bilanz-Endzustand: wie viel Drehimpuls im Moment der Ablösung in der Rotation der Erde und wie viel in der Bahn des Mondes steckt. Sie bestimmt für sich genommen nicht den Beginn der Entfernung von dort. Eine zusätzliche radiale Geschwindigkeit ist ebenfalls keine hinreichende Bedingung für eine anhaltende Entfernung, denn sie verändert die Exzentrizität (wie langgestreckt die Bahn ist) und die Gezeiten. Das Verzögerungsmodell und die Rheologie (die Beschreibung, wie sich das Material unter Last verformt und fließt) müssen miteinander konsistent sein [3,4]. Die Richtung des Gezeitenschubs auf jeder Seite der Linie wird in §A.8 dargelegt.

A.5.4 Die Grenze zwischen Paper 2 und Paper 4

Paper 2 legt die Masse, die Rotation und die Bilanz fest, die an den Bahntest übergeben werden. Paper 4 behandelt die Bahnelemente, die Neigung und die Entwicklung nach der Ablösung. Hier gibt es keine berechnete Entfernungszeit und kein allgemeines Verbot einer freien Umlaufbahn innerhalb des Korotationsradius. Im verbundenen Szenario sind die Gleichungen des freien Körpers durch die Gleichungen des verbundenen Zustands zu ersetzen, wo die Gleichungen des freien Körpers nicht mehr gelten: Solange der Mond noch über die Birne verbunden ist, wird er von der Verbindung gehalten und ist kein freier Körper.

A.6Die Drehimpulsbilanz

Das Geschwindigkeitsproblem ist am Korotationsradius gelöst. Die zweite Frage aus §A.1.1 bleibt: Enthält der Mutterkörper genug Drehimpuls, um den Mond dorthin zu bringen und dennoch zu dem System zu passen, das wir heute sehen? Dieser Abschnitt baut die Bilanz Schritt für Schritt auf: den anfänglichen Drehimpuls des Mutterkörpers, die Kosten des Hinausbewegens des Materials, den Vergleich mit dem heutigen System, die Sensitivität gegenüber Periode, Ausdehnung und Struktur sowie den Vergleich mit dem klassischen Spaltungsweg.

A.6.1Der Mutterkörper und die Anfangsbilanz

Die anfängliche Masse des Mutterkörpers ist $M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m$. Das später zu übertragende Material ist noch in seinem Trägheitsmoment enthalten. Der Mutterkörper wird als Maclaurin-Sphäroid beschrieben: die Gleichgewichtsform eines gleichförmigen flüssigen Körpers in stetiger Rotation, an den Polen abgeplattet und am Äquator aufgewölbt, symmetrisch um seine Achse. Je schneller er rotiert, desto flacher ist er. Im homogenen Maclaurin-Modell erhält man unter den Annahmen der Tabelle [1]:

$$I_0=\frac{2}{5}M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_0=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

Die erste Zeile ist das Trägheitsmoment eines gleichförmigen Sphäroids ($k=2/5$) mit dem Äquatorradius 6,721 km; die zweite multipliziert es mit der Winkelgeschwindigkeit des 5.5-Stunden-Tages. Das Ergebnis, $3.466\times10^{34}$, ist die gesamte Drehimpulsbilanz, mit der der Weg arbeiten muss. Die Formgleichung und die vollständige Einsetzung stehen in Anhang B. Gleichförmigkeit ist die Referenzannahme; eine Änderung der Struktur wird unten geprüft.

A.6.2 Die Kosten des Transfers in der Basisrechnung

Vor dem Transfer ist das lunare Material Teil des Mutterkörpers und dreht sich mit ihm, wobei es seinen Anteil am Drehimpuls des Mutterkörpers trägt. Für Material, das die gleichförmige Massenverteilung repräsentiert, ist sein mittlerer quadratischer Abstand von der Achse derselbe wie der des Mutterkörpers, und sein Anteil ist:

$$L_{0,\mathrm{mat}}=m\omega_0\left\langle r_\perp^2\right\rangle =\frac25m\omega_0a_0^2\simeq4.21\times10^{32}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.$$

Hier ist $\langle r_\perp^2\rangle$ der über das Material gemittelte quadratische Abstand von der Rotationsachse. Sobald dieselbe Masse am Korotationsradius sitzt und sich weiter mit dem Mutterkörper dreht, ist ihr Drehimpuls:

$$L_{\mathrm{orb},0}=m\omega_0R_{\mathrm{sync},0}^2\simeq5.83\times10^{33}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

etwa vierzehnmal mehr, weil der Abstand von der Achse gewachsen ist und quadratisch eingeht. Die Differenz zwischen beiden muss von der Rotation des Mutterkörpers geliefert werden. Als Anteil an der gesamten Bilanz:

$$\boxed{\frac{L_{\mathrm{orb},0}-L_{0,\mathrm{mat}}}{L_{\mathrm{initial}}}\simeq15.6\%.}$$

Etwa ein Sechstel des Drehimpulses des Mutterkörpers wird während des Transfers an das Material abgegeben. Das ist der Betrag, um den die Rotation des Mutterkörpers durch die Birne verlangsamt wird (§A.4), bevor der sich zentralisierende Kern berücksichtigt wird.

In der Basisrechnung ergibt eine äquatoriale Oberflächenquelle etwa 13.8%; eine repräsentative Probe einer ähnlichen inneren Region bei der Hälfte des ursprünglichen Radius ergibt etwa 16.5%. Die Quelle ist von Bedeutung, weil Material, das weit von der Achse startet, bereits mehr Drehimpuls trägt und weniger Zufuhr braucht. Eine bestimmte innere Quelle erfordert ihren eigenen mittleren quadratischen Abstand. Das Wort „innen“ darf nicht so verstanden werden, dass der globale Mittelwert notwendigerweise gilt.

A.6.3 Vergleich mit dem heutigen System

Die Bilanz des Mutterkörpers muss nun mit dem verglichen werden, was das Erde-Mond-System heute enthält. Die heutige Summe hat zwei Teile: die Rotation der Erde und die Bahn des Mondes. Die aus der Quelle übernommenen Referenzkonstanten ergeben:

$$L_{\mathrm{spin}}=I_\oplus\omega_\oplus\simeq5.86\times10^{33},$$

$$L_{\mathrm{orbit}}=\mu_{\mathrm{red}}\sqrt{GM_{\mathrm{tot}}a_m(1-e_m^2)} \simeq2.855\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

mit $a_m=3.844\times10^8$ m und $e_m=0.0549$. Die zweite Formel ist der Bahndrehimpuls zweier Körper, die ihren gemeinsamen Schwerpunkt umkreisen: $\mu_{\mathrm{red}}=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ ist die reduzierte Masse, $a_m$ die große Halbachse der Mondbahn und $e_m$ ihre Exzentrizität. Die Summe der Beträge beträgt etwa $3.441\times10^{34}$, wovon etwa 83% auf die Bahn entfallen: Der größte Teil des Drehimpulses des Systems liegt heute in der Bahn des Mondes, nicht in der Rotation der Erde. Der Überschuss der Bilanz des Mutterkörpers gegenüber der Summe der Beträge beträgt etwa 0.7%. Der Mutterkörper enthielt etwas mehr als das System heute, und das ist das Vorzeichen, das der kleine Verlust an die Sonnengezeiten erfordert (§A.2).

Rotation und Bahndrehimpuls sind Vektoren, und sie zeigen nicht in dieselbe Richtung: Die Erdachse ist gegen die Ebene der Mondbahn geneigt. Ist der Winkel zwischen den Vektoren $\theta$, so ist der Gesamtbetrag:

$$L_{\mathrm{vec}}=\sqrt{L_s^2+L_o^2+2L_sL_o\cos\theta}.$$

Die Addition zweier Pfeile unter einem Winkel ergibt eine kürzere Summe, als wenn man sie aneinanderlegt, sodass die Vektorsumme kleiner ist als die skalare Summe und der Überschuss des Mutterkörpers darüber größer. Für die Testwinkel 18.3°, 23.4° und 28.6° erhält man Überschüsse von etwa 1.46%, 1.92% und 2.51%. Die Winkel dienen als Sensitivitätstest; hier wurde keine Beobachtungsepoche gewählt und keine vollständige vektorielle Geschichte berechnet. Die heutige Eigenrotation des Mondes ist sehr klein, seine frühe Rotation war jedoch größer, und beide müssen auseinandergehalten werden.

Der Überschuss hängt davon ab, wie gleichförmig der Mutterkörper war. Bei fester Figur ergibt die Variation von $k$ eine Schwelle von etwa 0.397 gegenüber der skalaren Summe und etwa 0.390–0.394 gegenüber dem vektoriellen Bereich: Mit $k$ unterhalb dieses Wertes würde die Bilanz des Mutterkörpers hinter der heutigen zurückbleiben. Die heutige differenzierte Erde hat ein $k$ von etwa 0.33, deutlich unter der Schwelle, sodass der Weg erfordert, dass sich der Mutterkörper zu Beginn des Transfers noch in einem frühen Stadium der Sortierung befand; diese Anforderung ist in §D.3 aufgeführt. Dies ist eine Sensitivitätsbedingung, keine geschichtete Maclaurin-Lösungsfamilie. Der positive Überschuss bedeutet, dass dieser Test kein Drehimpulsdefizit findet; die Anpassung an die Verlustrate an die Sonne erfordert jedoch eine weitere Rechnung.

A.6.4 Sensitivität gegenüber Periode und Ausdehnung

Ein kürzerer Anfangstag bedeutet mehr Drehimpuls; ein größerer (stärker ausgedehnter) Mutterkörper hat ein größeres Trägheitsmoment und enthält denselben Drehimpuls bei einem längeren Tag. Die zulässige Anfangsperiode hängt daher von der angenommenen Ausdehnung ab. Im Referenzmodell bezieht sich das Fenster 4.90–5.54 Stunden auf die Anfangsperiode und auf die gewählten Bilanz- und Verlustbedingungen: Bei 5.54 Stunden enthält der Mutterkörper genau den heutigen Drehimpuls, und bei 4.90 Stunden enthält er etwa 15% mehr, die gewählte Grenze für den Verlust nach außen. Seine Obergrenze darf nicht auf die Endperiode nach der Übertragung des Drehimpulses angewandt werden, die konstruktionsbedingt länger ist (§A.4). Anhang B bewahrt die ursprüngliche Sensitivitätstabelle, mit der Unterscheidung zwischen einer angenommenen Ausdehnung und einer noch nicht durchgeführten thermischen Rechnung.

Abbildung 5 wird als Karte der erlaubten Anfangszustände gelesen. Die horizontale Achse gibt an, wie stark der heiße Mutterkörper gegenüber seinem kalten Radius ausgedehnt war; die vertikale Achse ist sein Tag. Ein Anfangszustand oberhalb der durchgezogenen Linie enthält weniger Drehimpuls als das heutige System und ist ausgeschlossen; ein Zustand unterhalb der gestrichelten Linie enthält mehr als 15% zusätzlich, mehr als der äußere Verlust entfernen kann. Das Band dazwischen ist zulässig, und es steigt nach rechts an, weil ein größerer Mutterkörper denselben Drehimpuls bei einem längeren Tag enthält. Der Referenzzustand, 5.5 h bei 120 km Ausdehnung, liegt innerhalb des Bandes, knapp unter der Obergrenze.

A.6.5 Vergleich von Gleichgewichtsfiguren

Der klassische Einwand gegen die Spaltung lässt sich nun genau einordnen. Auf dem klassischen Weg muss sich die ganze Erde so schnell drehen, dass sie instabil wird und sich teilt. Eine gleichförmige rotierende Flüssigkeit durchläuft mit wachsendem Drehimpuls eine bekannte Folge von Formen. Zuerst ist sie ein Maclaurin-Sphäroid (§A.6.1), abgeplattet, aber im Äquator rund. Bei einer bestimmten Abplattung zweigt eine zweite Familie ab: die Jacobi-Ellipsoide, deren Äquator kein Kreis mehr ist, sondern eine Ellipse, sodass der Körper langgestreckt wird wie ein Rugbyball, der sich überschlägt. Weiter entlang der Jacobi-Folge kommt eine birnenförmige Figur, von der aus die klassische Spaltung erwartet wurde. Jeder dieser Punkte erfordert eine bestimmte Rotation und einen bestimmten Drehimpuls.

Am klassischen Bifurkationspunkt von Maclaurin zu Jacobi, mit $e\simeq0.81267$ und $\omega^2/(\pi G\rho)\simeq0.37423$, erhält man für die gewählte Masse und das gewählte Volumen $T\simeq2.73$ Stunden, $a\simeq7{,}802$ km und einen Drehimpuls von etwa $9.42\times10^{34}$, ein Verhältnis von etwa 2.74 zur heutigen Summe [1]. Hier ist $e$ die Exzentrizität des Meridianschnitts (null für eine Kugel, nahe eins für einen sehr flachen Körper), und $\omega^2/(\pi G\rho)$ misst die Rotation gegenüber der eigenen Schwerkraft des Körpers. Einfach gesagt: Schon um den ersten Schritt des klassischen Pfades zu erreichen, bräuchte die Erde einen Tag von unter drei Stunden und fast das Dreifache des Drehimpulses, den das Erde-Mond-System enthält.

Dies ist ein Vergleich mit einer definierten Konfiguration auf diesem klassischen Pfad. Der Wert 4.08 der ursprünglichen Referenzrechnung bezieht sich auf einen anderen Punkt der Maclaurin-Folge — den $\Omega$-Maximum-Punkt, nicht die Jacobi-Bifurkation — und wird nicht als universelle Schranke dargestellt. Er ist die Quelle der bekannten Aussage, dass die Spaltung etwa viermal zu viel Drehimpuls benötigt. Der Wert 3.5 für den birnenförmigen Punkt wird nicht übernommen, weil die Überprüfung der Tabelle nicht abgeschlossen ist.

Der Grund für den Unterschied ist der Ort, an dem die Geschwindigkeitsbedingung ausgewertet wird. Der klassische Weg verlangt, dass die Oberfläche des Mutterkörpers Bahngeschwindigkeit erreicht (§A.1.2); das treibt den Mutterkörper zum Zerbrechen, und das Zerbrechen kostet ein Mehrfaches des verfügbaren Drehimpulses. Der LEF-Weg verwendet diese Bedingung nie: Das Material wird in Korotation hinausgetragen, und die Geschwindigkeitsübereinstimmung wird am Korotationsradius hergestellt (§A.5), wo ein Mutterkörper, der sich einmal in 5.5 Stunden dreht, bereits Bahngeschwindigkeit liefert. Dort ausgewertet, fällt die Anforderung auf die Bilanz, die der Mutterkörper tatsächlich hat. Der Vergleich ist einer zwischen zwei Wegen zum selben Produkt: Der klassische benötigt das 2.74-Fache der heutigen Bilanz; dieser benötigt das 1.007-Fache.

A.6.6 Die Vektorkorrektur für die Ablösung außerhalb des Äquators

Bisher wurde angenommen, dass das Material in der Äquatorebene aufbricht. Außerhalb des Äquators müssen der Rotationsvektor und der Bahndrehimpuls im selben Bezugssystem summiert werden, denn die Bahn eines in einer bestimmten Breite abgelösten Körpers ist gegen die Rotation geneigt. Es sei $S=I\omega$ der Eigendrehimpuls und $H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda$ der Bahndrehimpuls des abgelösten Körpers, wobei $\lambda$ der Ablösungswinkel gegenüber der Äquatorebene ist. Für die in Anhang D definierte Geometrie gilt:

$$\boxed{L_0^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.}$$

Dies ist dieselbe Regel für die Addition zweier Pfeile unter einem Winkel wie in §A.6.3: Die Anfangsbilanz muss der Vektorsumme aus der Rotation und der geneigten Bahn gleichen.

Im Beispiel $\lambda=25^\circ$ relativ zur Endachse und bei homogener Struktur ergibt die gekoppelte Zweimassenrechnung eine Endperiode von 6.220 Stunden, einen Referenzabstand von etwa 17,240 km und einen Bahndrehimpuls von etwa 15.83% der Bilanz. Der 25°-Wert ist ein Sensitivitätstest dafür, wie stark eine Ablösung außerhalb des Äquators die Bilanz verändert; die gewählte Ablösungsbreite, das Zentrum der Kontaktfläche, ist 22.5° (Paper 4). Dies ist eine Sensitivitätskorrektur der Bilanz, kein neu gewählter Referenzwert. Die Herleitung von Inklination und Exzentrizität, das Perigäum und die Entwicklung nach der Ablösung werden an Paper 4 übergeben.

A.6.7Die Entscheidungsbedingung der Bilanz

Der Test erfordert einen konsistenten Anfangszustand, Endzustand und äußeren Transfer:

$$\mathbf{L}_i=\mathbf{L}_f+\Delta\mathbf{L}_{\mathrm{external}}.$$

Die Gleichung ist die als Konto geschriebene Drehimpulserhaltung: Was das System zu Beginn hatte, ist gleich dem, was es jetzt enthält, plus dem, was von außen entfernt wurde (für das Erde-Mond-System vor allem durch die Gezeit der Sonne). Das Schließen der numerischen Bilanz beweist die Konsistenz zwischen den definierten Zuständen. Fände sich innerhalb der gestützten Bereiche von Struktur und äußeren Transfers keine Übereinstimmung, wäre dieses Bilanzszenario ausgeschlossen. Eine Übereinstimmung begründet nicht, wie der Körper den Endzustand mechanisch erreicht; das ist Gegenstand von Paper 3.

Die Bilanz steht daher wie folgt: Der Mutterkörper mit 5.5 Stunden enthält etwas mehr Drehimpuls als das heutige System, der Transfer kostet etwa ein Sechstel davon, und der klassische Weg hätte das 2.74-Fache benötigt.

A.7Die Roche-Grenze

Ein Körper, der den Korotationsradius erreicht, muss dort auch zusammenhalten. Nahe einem massereichen Mutterkörper zieht dessen Schwerkraft stärker an der nahen Seite des Körpers als an der fernen; dieser Unterschied, die Gezeitenkraft, neigt dazu, den Körper auseinanderzuziehen. Die Roche-Grenze ist der Abstand, innerhalb dessen diese Streckung die eigene Schwerkraft des Körpers, die ihn zusammenhält, übersteigt. Ein Körper, der nur durch seine eigene Schwerkraft gehalten wird, kann innerhalb dieser Grenze nicht ganz bleiben.

A.7.1Zwei Referenzgrenzen

Für $\rho_s=2{,}600\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ und die Masse des Mutterkörpers nach dem Aufbruch:

$$d_{\mathrm{fluid}}=2.44\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq19{,}971\ \mathrm{km},$$

$$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq10{,}314\ \mathrm{km}.$$

(Eine frühere Version gab 10,313 km an; beide Werte sind im Rahmen der Rundung gleich, und die Serie verwendet 10,314 km. Die Abbildungen 1, 6, 8 und 9 geben die fluide Grenze mit 19,972 km an, im Rahmen der Rundung derselbe Wert.) Der Ausdruck in Klammern ist der Radius, den eine Kugel mit der Masse der Erde hätte, wenn sie die Dichte des Satelliten hätte; die Grenze ist ein festes Vielfaches davon. Die beiden Formeln unterscheiden sich nur in diesem Vielfachen, und der Grund ist physikalisch. Die fluide Näherung betrifft einen sich verformenden Körper: Während er gestreckt wird, verlängert er sich zum Mutterkörper hin, sein nahes und sein fernes Ende rücken weiter auseinander, der Gezeitenunterschied über ihn hinweg wächst, und er gibt früher nach — deshalb liegt die fluide Grenze weiter außen. Die sogenannte starre Näherung vernachlässigt die Formänderung: Der Körper behält seine runde Form, der Gezeitenunterschied über ihn hinweg bleibt kleiner, und er übersteht geringere Abstände. Sie enthält weder Krustendicke noch Materialfestigkeit [1]; sie beschreibt einen allein durch seine eigene Schwerkraft gehaltenen Körper, der lediglich seine Form nicht ändert. Der Basisradius und die beiden gekoppelten Radien liegen zwischen diesen Grenzen: innerhalb der fluiden, außerhalb der starren. Das Vorhandensein einer Kruste allein begründet daher kein Überleben; das Überleben hängt davon ab, ob sich der Körper auf der Zeitskala, die er dort verbringt, starr verhält.

Die Roche-Grenzen wandern mit zunehmender Dichte des Körpers nach innen, weil ein dichterer Körper sich stärker zusammenhält. Eine Dichte von etwa 4,700 kg pro Kubikmeter würde die fluide Grenze an den Ablösungsabstand von etwa 16,400 km verlegen; für den starren Körper bei der Ablösung gilt die starre Grenze (§B.7). Dies ist eine in der Roche-Näherung berechnete Anforderung, kein Beleg dafür, dass der Körper diese Dichte erreichte, und keine Lösung aller Stabilitätsanforderungen.

A.7.2 Was der Vergleich der Beschleunigungen lehrt

Der grundlegende Vergleich ist der zwischen dem Schweregradienten des Mutterkörpers und der Eigengravitation:

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3},\qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

Die erste Größe, $\Delta a$, ist die Differenz zwischen der Anziehung des Mutterkörpers im Zentrum des Körpers und an seiner Oberfläche, die um $R_s$ näher liegt; sie fällt steil ab, mit der dritten Potenz des Abstands $r$. Die zweite, $g_s$, ist die eigene Oberflächenschwerkraft des Körpers, die sein Material zusammenhält. Ist die erste kleiner als die zweite, gewinnt die eigene Schwerkraft des Körpers. Mit den Referenzdaten aus Anhang E liegt das Verhältnis unter eins (etwa 0.277 bei 15,818 km). Dies ist ein nützliches Maß der Belastung, aber Formänderung und Rotation sind in dem Verhältnis nicht enthalten. Die statische Roche-Grenze bietet eine Vergleichsgrundlage; die Reaktion in einer exzentrischen Bahn kann außerdem von der Verformungsgeschichte abhängen [9].

A.7.3Was bedingt bleibt

Der Korotationsradius ist keine Festigkeitsschwelle: Sein Erreichen klärt die Geschwindigkeit, nicht das Überleben. Die Eigenschaften des Körpers und der Verbindung werden in Paper 3 untersucht, die Bahn nach der Ablösung in Paper 4. Paper 2 legt keine verbindliche Verweildauer im Roche-Bereich und keine universelle Viskositätsschwelle fest. Der Vergleich sollte den nächsten Abstand der gewählten Bahn verwenden, nicht allein den Ablösungsabstand. Die Aufteilung der Tests auf die Papers hebt die Anforderung des Überlebens nicht auf.

Abbildung 6 stellt den Mond bei der Ablösung den beiden Familien von Grenzen gegenüber. Die starren Grenzen liegen für den gesamten Dichtebereich deutlich innerhalb der Position des Mondes; die fluiden Grenzen liegen jenseits davon. Der Mond ist bei der Ablösung daher als starrer Körper sicher, und seine Abplattung und Rundung waren früher abgeschlossen, als er noch verbunden war (§B.7; Paper 7).

A.8Die Richtung der Gezeitenentwicklung

Die letzte Frage von Teil A ist, was nach der Ablösung geschieht: Entfernt sich der Mond von der Erde, oder fällt er zurück? Die Antwort hängt davon ab, auf welcher Seite der Korotationslinie er liegt.

A.8.1 Die Richtung der Drehimpulsübertragung

Für eine prograde, kreisförmige, äquatoriale Bahn vergleichen wir die Rotation des Mutterkörpers mit der mittleren Bewegung — der Winkelgeschwindigkeit des umlaufenden Körpers um den Mutterkörper:

$$n=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}.$$

Der umlaufende Körper erzeugt auf dem Mutterkörper eine Gezeitenaufwölbung. Wenn $\omega>n$, dreht sich der Mutterkörper schneller, als der Körper umläuft, und seine Rotation trägt die Aufwölbung dem Körper voraus; die Aufwölbung zieht den Körper nach vorn, gibt ihm Drehimpuls, und der Körper steigt nach außen, während sich die Rotation des Mutterkörpers verlangsamt. In der Sprache der Gezeitengleichungen überträgt der dissipative Gezeitenbeitrag im Mutterkörper Drehimpuls von dessen Rotation auf die Bahn. Wenn $\omega<n$, überholt der Körper die Aufwölbung, die Aufwölbung zieht ihn zurück, und die Richtung kehrt sich um: Der Körper verliert Drehimpuls und spiralt nach innen. Bei exaktem kreisförmigem Synchronismus verschwindet der maßgebliche Beitrag: Die Aufwölbung bleibt direkt unter dem Körper, und es gibt keinen Zug nach vorn oder nach hinten. Da $n$ mit dem Abstand fällt und $\omega$ nicht, gilt $\omega>n$ außerhalb des Korotationsradius und $\omega<n$ innerhalb. Die Korotationslinie ist somit eine Wasserscheide: Ein Körper, der knapp jenseits von ihr abgelöst wird, wird von Anfang an nach außen gedrückt. Die Verallgemeinerung auf eine Bahn mit Inklination und Exzentrizität erfordert die entsprechenden Gezeitengleichungen [2,3].

Abbildung 7 zeigt die Wasserscheide im heutigen Sonnensystem am Werk. Mars hat zwei kleine Monde auf entgegengesetzten Seiten seines synchronen Radius: Phobos, innerhalb, wird nach innen gezogen; Deimos, außerhalb, entfernt sich. Der Fall von Erde und Mond bei der Ablösung ist dieselbe Regel, angewandt auf einen Mond, der knapp jenseits der Linie liegt.

Mit dem Abschluss von Teil A sind die Probleme vollständig definiert: eine Geschwindigkeitslücke, die sich am Korotationsradius schließt, eine Birne, die diesen Radius erreicht, ein Tag bei der Ablösung, der durch zwei gegenläufige Prozesse festgelegt wird, eine Bilanz, die gegenüber dem heutigen System aufgehen muss, ein Roche-Test, den der Körper bestehen muss, und eine Gezeitenwasserscheide, die über seine spätere Richtung entscheidet. Teil B beantwortet sie mit einer einzigen Rechnung.

Teil A nannte die Bedingungen; dieser Teil zeigt, dass ein einziger, konsistenter Satz von Zahlen alle gleichzeitig erfüllt. Das ist wichtig, weil jede Bedingung für sich genommen meist durch Anpassen eines einzigen Parameters erfüllt werden kann, während die Erfüllung aller mit derselben Erde, demselben Mond und derselben Rotation ein viel stärkerer Test des Weges ist.

B.1Die Rechnung

Eingaben. Anfänglicher Erdtag $T_0=5.5$ h (§A.2); ein homogener, ausgedehnter Mutterkörper mit volumetrischem Radius 6,517 km und Dichte 5,214 kg m$^{-3}$ (äquatorial 6,721 km, polar 6,128 km); der Mond: eine Mondmasse, $m=7.35\times10^{22}$ kg, Dichte 2,600 kg m$^{-3}$. „Homogen“ bedeutet, dass der Mutterkörper zu Beginn als gleichförmig dicht angenommen wird, eine Rechnungseingabe für einen Mutterkörper, der sich noch in einem frühen Stadium der Sortierung befindet; „ausgedehnt“ bedeutet, dass er heiß und daher etwas größer ist als eine kalte Erde derselben Masse (§A.2). Äquator- und Polradius unterscheiden sich, weil ein Körper, der sich einmal in 5.5 h dreht, sich am Äquator aufwölbt und an den Polen abplattet.

Von Teil A zum Ablösungszustand, Schritt für Schritt. Der Ablösungszustand folgt aus den Prozessen von Teil A in fünf Schritten. Die folgende Tabelle fasst sie zusammen; ihre Zeilen werden von oben nach unten gelesen, und die Tönung zeigt die Richtung jedes Schrittes: rot für einen Schritt, der die Erde verlangsamt und die Korotationslinie nach außen verschiebt, blau für einen Schritt, der sie beschleunigt und die Linie nach innen verschiebt.

1. Der Ausgangspunkt. Ein Mutterkörper mit einem Tag von 5.5 h hat seine Korotationslinie bei 15,818 km (§A.2.1). Die Korotationslinie ist der Abstand, in dem sich ein Körper, der sich zusammen mit der Erde dreht, bereits mit der Geschwindigkeit einer freien Kreisbahn bewegt.

2. Die Birne verlangsamt die Erde. Während sich die Birne verlängert, wandert Material nach außen, während es sich noch mit der Erde dreht, und nimmt Drehimpuls mit. Drehimpuls ist die „Menge an Rotation“ eines Körpers, seine Masse mal seiner Geschwindigkeit mal seinem Abstand von der Achse; ohne äußeres Drehmoment bleibt seine Summe erhalten. Der Drehimpuls, der mit dem Material abwandert, wird der Rotation der Erde entnommen, sodass sich die Erde langsamer dreht: Für sich allein würde dieser Schritt den Tag von 5.50 auf 6.44 h verlängern und die Linie auf 17,569 km nach außen verschieben (§A.4).

3. Der sich organisierende Kern beschleunigt die Erde. Gleichzeitig sinkt Eisen zum Zentrum. Das verringert das Trägheitsmoment der Erde — das Maß dafür, wie weit ihre Masse von der Achse entfernt liegt —, und wie eine Eiskunstläuferin, die die Arme anzieht, dreht sich die Erde schneller. Mit einem Kern, der doppelt so dicht ist wie der darüber liegende Mantel ($D=2$), nimmt dieser Schritt 0.67 h vom Tag weg.

4. Das Nettoergebnis. Die beiden Schritte wirken zusammen und heben sich teilweise auf: Der Tag bei der Ablösung beträgt 5.77 h, und die Korotationslinie liegt bei 16,331 km, wenn der Mond als Testteilchen behandelt wird, oder bei 16,399 km, wenn die eigene Masse des Mondes in die untenstehende Zweikörperformel einbezogen wird. Wir verwenden den Zweikörperwert, gerundet auf etwa 16,400 km.

5. Ablösung. Der Mond beginnt sich abzutrennen, wenn sein Massenschwerpunkt diese Linie erreicht. Er wird von der Rotation dorthin getragen, nicht geschleudert: In diesem Abstand ist die Geschwindigkeit, die er als Teil des sich drehenden Systems bereits hat, die Geschwindigkeit einer freien Bahn, sodass kein zusätzlicher Schub nötig ist (§B.2).

Der quantitative Gehalt dieser Schritte ist der folgende.

1. Der Erdtag bei der Ablösung. Die sich verlängernde Birne und der sich zentralisierende Kern wirken zusammen (§A.4); mit $D=2$ gilt $$T=5.77\ \mathrm{h},\qquad \Omega=\frac{2\pi}{T}=3.025\times10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}.$$ Hier ist $T$ die Länge des Tages und $\Omega$ die Winkelgeschwindigkeit der Rotation, der pro Sekunde überstrichene Winkel im Bogenmaß. Der Tag ist nur etwa eine Viertelstunde länger als die anfänglichen 5.5 h, weil die Beschleunigung durch das sinkende Eisen den größten Teil der durch die Birne verursachten Verlangsamung aufhebt.

2. Der Ablösungspunkt. Der Mond beginnt sich abzutrennen, wenn sein Massenschwerpunkt die Korotationslinie erreicht: $$r=R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{G\,(M_\oplus+m)}{\Omega^{2}}\right)^{1/3}\simeq16{,}400\ \mathrm{km}.$$ Dies ist die Korotationsformel aus §A.5.1, für zwei Körper geschrieben: $G$ ist die Gravitationskonstante, $M_\oplus$ die Masse der Erde und $m$ die des Mondes. In Worten gibt sie den einen Abstand an, in dem eine Kreisbahn genau so lange dauert wie eine Umdrehung der Erde. Die Einbeziehung von $m$ in die Formel macht aus 16,331 km die 16,399 km. Der Wert beträgt etwa das 2.6-Fache des heutigen Erdradius. Mit $R_m=\left(\tfrac{3m}{4\pi\rho}\right)^{1/3}=1{,}890$ km liegt der nahe Punkt bei 14,509 km und die ferne Seite bei 18,289 km vom Erdzentrum. $R_m$ ist der Radius einer Kugel von einer Mondmasse bei einer Dichte von 2,600 kg m$^{-3}$; zieht man ihn von den 16,400 km des Zentrums ab und addiert ihn dazu, ergibt sich die Ausdehnung des Mondes entlang der Linie Erde-Mond.

3. Die Erde bei der Ablösung (Maclaurin, homogen): $$\frac{\Omega^{2}}{\pi G\rho_\oplus}=\frac{2\sqrt{1-e^{2}}\,(3-2e^{2})}{e^{3}}\arcsin e-\frac{6(1-e^{2})}{e^{2}} \quad\Rightarrow\quad a=6{,}701\ \mathrm{km},\ c=6{,}165\ \mathrm{km}.$$ Ein Maclaurin-Sphäroid ist die Gleichgewichtsform eines gleichförmigen flüssigen Körpers in stetiger Rotation: eine an den Polen abgeplattete Kugel. Die Gleichung verknüpft die Rotation (linke Seite, mit $\rho_\oplus$ der mittleren Dichte der Erde) mit der Exzentrizität $e$, einer Zahl, die die Abplattung misst (0 für eine Kugel, nahe 1 für eine flache Scheibe). Ihre Lösung für die Rotation von 5.77 h ergibt den Äquatorradius $a$ und den Polradius $c$. Die Erde ist bei der Ablösung also noch deutlich abgeplattet, wenn auch etwas weniger als der Mutterkörper mit 5.5 h (6,721 und 6,128 km), weil sie sich nun etwas langsamer dreht. Die Lücke zwischen der äquatorialen Erdoberfläche und dem Mond beträgt etwa 7,800 km: der nahe Punkt des Mondes bei 14,509 km abzüglich des Äquatorradius von 6,701 km. Dies ist der Abstand, den die Birne überbrücken muss (§A.3).

4. Der Drehimpuls. $$L_0=k_0Ma_0^{2}\Omega_0=3.466\times10^{34},\qquad L=I_\oplus\Omega+\mu\,\Omega\,r^{2}.$$ Der erste Ausdruck ist die Anfangsbilanz des Mutterkörpers (§A.6.1, in kg m$^2$ s$^{-1}$): der Trägheitsmomentkoeffizient $k_0$ (0.4 für einen gleichförmigen Körper), die Masse, das Quadrat des Äquatorradius und die Anfangsrotation. Der zweite Ausdruck teilt dieselbe Bilanz bei der Ablösung in zwei Teile: die Rotation der Erde, $I_\oplus\Omega$, wobei $I_\oplus$ ihr Trägheitsmoment ist, und die Bahn des Mondes, $\mu\Omega r^2$, wobei $\mu=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ die reduzierte Masse des Paares und $r$ der Ablösungsabstand ist. Bei der Ablösung enthält die Bahn des Mondes $5.9\times10^{33}$ (17%) und die Rotation der Erde $2.88\times10^{34}$; das System enthält das 1.007-Fache des heutigen Wertes (eine frühere Version gab 1.008 an, ausgehend von der heutigen Summe gerundet auf $3.44\times10^{34}$; mit $3.441\times10^{34}$ aus §A.6.3 ist es 1.007, der durchgehend verwendete Wert). Das $5.9\times10^{33}$ ist definiert als der Bahndrehimpuls des Paares um seinen gemeinsamen Schwerpunkt, $\mu\Omega r^2$, mit der reduzierten Masse $\mu=7.26\times10^{22}$ kg und $r=16{,}399$ km auf dem Äquator. Zählt man die volle Mondmasse $m$ um das Erdzentrum, wie Paper 3 es tut, ergibt derselbe Zustand $6.0\times10^{33}$; für eine Ablösung bei 22.5 ($r=17{,}287$ km, Paper 4), wo sich der Mond in $r\cos22.5^\circ=15{,}971$ km Abstand von der Rotationsachse dreht, ergibt dieselbe Zählung $5.7\times10^{33}$ (Paper 3). Die 17% sind der Preis des Transfers: der Anteil der ursprünglichen Rotation, der von der Rotation der Erde in die Bahn des Mondes übergegangen ist. Die Summe, das 1.007-Fache des heutigen Wertes, liegt etwas über dem heutigen Wert, und das ist das erforderliche Vorzeichen, da die Sonnengezeiten seither etwa 1% des Drehimpulses des Systems entfernt haben (§A.2).

Abbildung 8 zeichnet diesen Zustand maßstabsgetreu. Sie zeigt, wie nahe der Mond der Erde bei der Ablösung noch ist: Die Lücke von etwa 7,800 km wird von der Birne aus §A.3 überspannt.

Was wir nun haben, ist ein vollständiger Ablösungszustand: der Tag und die Form der Erde, die Position und Größe des Mondes und die Aufteilung des Drehimpulses zwischen ihnen. Die folgenden Abschnitte prüfen diesen Zustand an jedem Problem von Teil A.

B.2Die Geschwindigkeitslücke

Das Problem aus §A.1 war, dass Material, das von der Oberfläche einer Erde mit 5.5 h abgelöst wird, sich mit etwa 2,133 m s$^{-1}$ bewegt, weit unter den 7,701 m s$^{-1}$ einer Kreisbahn, eine Lücke von etwa 5,568 m s$^{-1}$. Die Lücke schließt sich mit dem Abstand, weil die von der Rotation getragene Geschwindigkeit mit dem Abstand wächst, während die Bahngeschwindigkeit fällt. Auf der Korotationslinie gibt die Rotation dem Mond genau die Bahngeschwindigkeit, $$v=\Omega r=\sqrt{\frac{G(M_\oplus+m)}{r}}\approx4{,}960\ \mathrm{m\,s^{-1}},$$ sodass keine Lücke bleibt (§A.1, §A.5). Die linke Seite ist die Geschwindigkeit eines Punktes, der sich im Abstand $r$ mit der Erde dreht; die rechte Seite ist die Geschwindigkeit einer freien Kreisbahn im selben Abstand; auf der Linie sind sie gleich. Der Wert liegt etwas unter den 5,020 m s$^{-1}$ der 5.5-h-Referenz (§A.2.1), weil die etwas langsamere Erde die Linie weiter nach außen legt, wo die Bahngeschwindigkeiten niedriger sind. Das Bild aus dem Alltag ist ein Kind auf einem Karussell: Je weiter vom Zentrum es sitzt, desto schneller bewegt es sich, ohne dass jemand es anschiebt.

B.3Die Birne

Die Birne überbrückt etwa 7,800 km und liegt vollständig innerhalb der Korotationslinie; der Mond wird abgelöst, wenn sein Massenschwerpunkt die Linie erreicht (§A.3; der Mechanismus der Ablösung ist Paper 3, Der LEF-Mechanismus in der Praxis). Weil die Birne innerhalb der Linie liegt, zieht die Nettokraft im mitrotierenden System sie zur Erde hin (§B.5): Sie bleibt bei der Erde, während der Mond, dessen Zentrum auf der Linie liegt, sich frei abtrennen kann. Deshalb verlässt der Mond die Erde als Ganzes, und die Verbindung geht nicht mit ihm.

B.4Der Ausgleich

Die Rechnung berücksichtigt beide Prozesse zusammen: Erdtag 5.77 h, Korotationslinie 16,331 km (§A.4). Die 16,331 km sind der Testteilchenwert von Schritt 4 in §B.1; die Einbeziehung der eigenen Masse des Mondes ergibt die 16,399 km, etwa 16,400 km, die für den Ablösungspunkt verwendet werden. Eine Rechnung mit der Birne allein ergäbe 6.44 h und 17,569 km, und eine mit dem Kern allein eine zu schnelle Erde; nur beide zusammen beschreiben die Erde jener Zeit.

B.5 Korotation

Der Massenschwerpunkt des Mondes erreicht die Korotationslinie bei etwa 16,400 km; jenseits davon zieht die Korotation den Mond nach außen, und er wird abgelöst: $$a_{\mathrm{net}}=\Omega^{2}r-\frac{GM_\oplus}{r^{2}}.$$ Dies ist die Nettobeschleunigung, die Material erfährt, das sich im Abstand $r$ mit der Erde dreht, im mitrotierenden System betrachtet. Der erste Term ist die nach außen gerichtete (zentrifugale) Beschleunigung der Rotation, die mit dem Abstand wächst; der zweite ist die Schwerkraft der Erde, die mit dem Abstand fällt. Innerhalb der Linie gewinnt die Schwerkraft, und $a_{\mathrm{net}}$ zeigt nach innen, weshalb die Birne an der Erde gehalten wird; auf der Linie halten sich beide das Gleichgewicht; jenseits davon gewinnt die Rotation, und das Material wird nach außen gezogen. Sobald der Massenschwerpunkt des Mondes die Linie überschreitet, wird der Körper als Ganzes von der Erde weggezogen, und er trennt sich ab.

Abbildung 9 vergrößert den Moment, in dem die Abtrennung beginnt. Die Linie ist durch das Zentrum des Mondes gezogen; die nahe Hälfte des Mondes liegt noch innerhalb, die ferne Hälfte außerhalb.

B.6 Der Drehimpuls

Das System enthält das 1.007-Fache des heutigen Drehimpulses. Bei der Ablösung beträgt der Trägheitsmomentkoeffizient der Erde, der sich aus ihrem verbleibenden Eigendrehimpuls ergibt, $k=0.355$; eine Zweischichtstruktur mit $q=0.55$ und $D=2$ ergibt $$k=\frac{2}{5}\,\frac{(1-q^{5})+Dq^{5}}{(1-q^{3})+Dq^{3}}=0.360.$$ Der Koeffizient $k$ beschreibt, wie die Masse verteilt ist: 0.4 für eine gleichförmige Kugel, niedriger, wenn Masse zum Zentrum hin gesammelt ist (die heutige Erde hat etwa 0.33). Der Wert 0.355 ist das, was die Erde bei der Ablösung haben muss, wenn ihre Rotation von 5.77 h die verbleibenden $2.88\times10^{34}$ tragen soll. Die Formel berechnet $k$ für eine Erde aus zwei Schichten: eine innere Schicht, die bis zu einem Bruchteil $q$ des Radius reicht, mit einer Dichte, die das $D$-Fache derjenigen der äußeren Schicht beträgt. Mit $q=0.55$ und $D=2$ ergibt sie 0.360, nahe an den erforderlichen 0.355. Der vom Ablösungszustand geforderte Drehimpuls und die vom sinkenden Eisen erzeugte Struktur stimmen somit miteinander überein. Weder ein großer Einschlag von außen noch eine spätere Entfernung von Drehimpuls sind nötig; Einschlagsmodelle mit hohem Drehimpuls beginnen bei etwa dem 2–3-Fachen des heutigen Wertes. Der Weg schließt seine Bilanz mit dem, was das Erde-Mond-System heute enthält, plus dem rund 1%, das die Sonnengezeiten seither entfernt haben.

B.7Die Roche-Grenze

Die Roche-Grenze ist der Abstand, innerhalb dessen der Gezeitenzug eines großen Körpers, der Unterschied seiner Schwerkraft zwischen der nahen und der fernen Seite eines kleineren Körpers, die eigene Schwerkraft des kleineren Körpers übersteigt und ihn auseinanderziehen kann. Zwei klassische Formen begrenzen sie: $$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3},\qquad d_{\mathrm{fluid}}=2.44\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3}.$$ Die starre Form gilt für einen Körper, der seine Form behält; die fluide Form für einen Körper, der sich frei verformt und daher von der Gezeit stärker gestreckt wird. In beiden ist $\rho$ die Dichte des kleinen Körpers: Je dichter er ist, desto näher kann er kommen. Das Zentrum des Mondes bei 16,400 km liegt deutlich jenseits der starren Grenze (9,484–12,994 km für 1,300–3,344 kg m$^{-3}$). Derselbe Abstand liegt innerhalb der fluiden Grenze für einen Körper von 2,600 kg m$^{-3}$ (19,971 km, §A.7.1); welche der beiden Grenzen gilt, entscheidet sich daher daran, ob der Mond bei der Ablösung starr ist. Die Rundung war vor der Ablösung abgeschlossen; der Körper ist starr und rund. Die Abplattung und die spätere Rundung des Mondkörpers fanden früher statt, als er noch verbunden war (Paper 7, Die Pole); was die Linie verlässt, ist ein Körper mit einer starren äußeren Schale. Ein starrer Körper verringert die Gezeitenreaktion um $$\frac{1}{1+\dfrac{19\mu}{2\rho gR}},$$ sodass für $\mu\ge10$ GPa das Achsenverhältnis höchstens 1.04 beträgt. Hier ist $\mu$ die Steifigkeit (der Schermodul) des Körpers, $g$ seine Oberflächenschwerkraft und $R$ sein Radius; $\rho gR$ ist der Druck des Eigengewichts des Körpers. Der Faktor besagt, dass ein Körper, dessen Steifigkeit groß ist im Vergleich zum Druck seines Eigengewichts, sich nur um einen kleinen Bruchteil dessen verformt, was ein flüssiger Körper täte. Ein Achsenverhältnis von höchstens 1.04 bedeutet, dass die längste Achse des Mondes die kürzeste um nicht mehr als 4% übertrifft: Der Körper bleibt rund.

B.8Die Richtung der Gezeitenentwicklung

Der Mond wird auf der Korotationslinie abgelöst, und die Gezeiten übertragen ihm Drehimpuls aus der Rotation der Erde: Er entfernt sich (§A.8; die Umlaufbahn ist Paper 4, Die Umlaufbahn). Genau auf der Linie ist die Gezeitenwirkung neutral, da sich die Erde in derselben Zeit einmal dreht, in der der Mond umläuft. Die Abtrennung selbst trägt den Massenschwerpunkt des Mondes etwa 210 km jenseits der Linie, wenn etwas mehr als die Hälfte des Mondes sie überschritten hat (der Spielraum $\Delta r\simeq2d_0$ aus §D.3); dort dreht sich die Erde schneller, als der Mond umläuft, die auf der Erde erzeugte Gezeitenaufwölbung läuft dem Mond voraus, zieht ihn nach vorn, und der Mond bewegt sich nach außen. Dies ist die Seite der Wasserscheide, auf der heute Deimos liegt (Abbildung 7).

Wie weit jenseits der Linie. Der Abstand jenseits der Linie ist klein gegenüber dem Ablösungsradius, legt aber die Form der ersten Bahn fest. Auf der Linie trägt der Mond genau die Geschwindigkeit einer Kreisbahn; jenseits davon etwas mehr, sodass der Ablösungspunkt zum nächsten Punkt einer leicht gestreckten Bahn wird, mit einer Exzentrizität $e_0$, die mit dem Abstand wächst. Die Tabelle verfolgt dies bei der Ablösungsbreite von 22.5°, wo die Korotationslinie bei 17,287 km liegt, mit dem Tag von 5.77 Stunden; die Anfangsbahn stammt aus den Formeln von Paper 4 (Anhang A) und der Endwinkel aus dem reduzierten tan-Gesetz von Paper 4 (Teil D). „Überschritten“ ist der Anteil des Mondvolumens, der bei der Ablösung jenseits der Linie liegt.

Tabelle B.8. Ablösung bei 22.5°: die Anfangsbahn und der Endwinkel des reduzierten Gesetzes, wenn sich die Ablösung über die Korotationslinie hinaus verschiebt (Paper 3, §C.5a). Das Marineblau vertieft sich mit dem Endwinkel; Grün markiert die beobachteten 5.145°, die die gewählte Ablösung sind.

Eine Ablösung genau auf der Linie ergibt einen Kreis, und die Gezeit trägt einen Kreis als Kreis nach außen; die heutige Exzentrizität des Mondes erfordert daher eine Ablösung kurz nachdem sein Massenschwerpunkt die Linie überschritten hat. Bei etwa 210 km liefert das reduzierte Gesetz die beobachtete Inklination, und Paper 3 (§C.5a) zeigt, dass derselbe Versatz für einen heißen jungen Mond die heutige Exzentrizität von 0.0549 liefert; die Serie übernimmt diese Ablösung. Paper 3 gibt die Exzentrizitätstabelle und die Sensitivität gegenüber der Breite der Spitze an; die vollständige Integration von Paper 4 führt den Ablösungszustand durch die gesamte Geschichte.

Was wir nun haben: Der Ablösungszustand aus §B.1 erfüllt jedes der sieben Probleme von Teil A mit einem einzigen Satz von Zahlen.

C.1 Was gezeigt wurde

Die Tabelle stellt jedem Problem von Teil A die in Teil B gegebene Antwort gegenüber. Sie wird Zeile für Zeile gelesen; jedes Häkchen bedeutet, dass der Ablösungszustand aus §B.1 dieses Problem ohne gesonderte Annahme erfüllt.

Dieser Teil sammelt an einer Stelle, was das Paper aussagt, wie jede Aussage geprüft wird und was der Weg von seinem Mechanismus verlangt, sodass diese Punkte hier zu finden sind und nicht über den Text verstreut.

D.1Zentrale Aussagen und Tests

Die Tabelle führt die fünf zentralen Aussagen auf. Die erste Spalte nennt jede Aussage und gibt ihren Status an; die zweite, was sie annimmt und vorhersagt; und die dritte, wie sie geprüft wird.

In einfachen Worten lauten die Aussagen so.

• Korotation. Die Aussage ist, dass an der Korotationslinie die Geschwindigkeit aus der Rotation der Bahngeschwindigkeit gleicht. Die Korrekturen, die das Szenario benötigt (das Feld der abgeplatteten Erde, die Größe des Mondes, die Anziehung zwischen den beiden Körpern), werden an dieser Gleichheit geprüft.

• Schließen des Drehimpulses. Die Aussage ist, dass die Anfangsbilanz von $3.466\times10^{34}$ für eine Ablösung bei etwa 16,400 km ausreicht. Die Bilanz vor der Ablösung wird über die Struktur und den Verlust an die Sonnengezeiten mit der Bilanz danach abgeglichen.

• Sensitivität gegenüber der Struktur. Die Aussage ist, dass ein sinkender Kern den Tag und die Linie in der berechneten Weise verändert (§A.4.1). Die Rechnung findet für jede gescannte Struktur eine Lösung.

• Nicht-äquatorialer Drehimpuls. Die Aussage ist, dass eine Ablösung außerhalb des Äquators die Bilanz nur um die berechnete Vektorkorrektur verändert (§A.6.6). Alle Vektoren werden in einem Bezugssystem summiert.

• Überleben. Die Aussage ist, dass der Mond die Gezeit der Erde bei der Ablösung übersteht. Dies wird in den folgenden Papers geprüft.

Diese Aussagen sind nicht alle unabhängige Beobachtungsvorhersagen: Einige sind physikalische Identitäten, einige Konsistenztests und einige Anforderungen an den Mechanismus. Die Unterscheidung wird in der Neuheitskarte von Anhang F festgehalten. Eine Identität wie die Korotationsformel kann nicht falsch sein, wenn die Eingaben richtig sind; ein Konsistenztest prüft, dass die Zahlen aufgehen; eine Anforderung ist eine Bedingung, die die nächsten Papers erfüllen müssen.

D.2Die Neuheit der Arbeit

Die Korotationsformel, die Maclaurin-Figuren, die Drehimpulserhaltung und die Roche-Grenzen sind bekannte Physik. Die Arbeit untersucht ihre gemeinsame Anwendung auf eine Bedingung des verbundenen Transfers, mit einer konsistenten Berechnung der Änderung von Masse, Form und Rotation und einer Darstellung der Sensitivitätsbereiche. „Verbundener Transfer“ bedeutet, dass das Material mit der Erde verbunden bleibt und sich mit ihr dreht, bis es die Linie erreicht, anstatt von der Oberfläche gestartet zu werden; dies ist die Ablösungsbedingung, unter der der klassische Einwand gegen die Spaltung, eine mehrfach zu große Bilanz, nicht entsteht (§A.6.5). Ein vollständiger Anspruch auf historische Priorität erfordert die Prüfung früherer Arbeiten in Anhang F; der Erfolg der numerischen Reproduktion beweist keine Priorität.

D.3Was angenommen und gefordert wird

Die Annahmen und Anforderungen, die die Argumentation stützen, sind hier gesammelt, um sie nicht neben jedem Ergebnis zu wiederholen. Jede Zeile gibt den gewählten oder geforderten Wert an.

Einige Zeilen bedürfen einer Erläuterung. Die thermische Ausdehnung ist der Betrag, um den die heiße junge Erde größer war als eine kalte; 6,495 km ist der volumetrische Radius am unteren Ende des zulässigen Bereichs (98 km Ausdehnung). Die Ablösungsbedingung liest sich wie folgt. Ein Körper, der genau auf der Korotationslinie abgelöst wird, befindet sich in einem gezeitenneutralen Zustand; sobald er jenseits der Linie liegt, drückt ihn die Gezeit nach außen, sodass sich der Mond von Anfang an entfernt (Paper 4, §B.2). Die Abtrennung legt den Massenschwerpunkt um einen Spielraum $\Delta r\simeq2d_0$ jenseits der Linie, wobei $d_0$ die Dickenskala der Verbindung ist (Anhang E, Zeile E47); der Spielraum beträgt etwa 210 km, $d_0\approx105$ km, festgelegt durch die Suche nach dem Ablösungsabstand in Paper 3, §C.5a (eine frühere Version gab etwa 100 km an). Der Bilanzvergleich wird auf zwei Arten vorgenommen: durch Summieren von Eigen- und Bahndrehimpuls als bloße Beträge (skalar), was einen Überschuss von 0.7% ergibt, und als Vektoren unter einem Winkel, was 1.5–2.5% ergibt (eine frühere Version gab 1.5–2.6% an; der größte der drei geprüften Winkel ergibt 2.51%); die skalare Summe ist die Basis und die Vektorsumme ein Sensitivitätstest (§A.6.3).

Die ersten drei Zeilen sind gewählte Werte mit Fenstern; die nächsten zwei sind Anforderungen, die der Weg an Paper 3 stellt; die letzten zwei sind die Prüfungen, die dieses Paper selbst durchführt. Keine der sieben ist in einem Ergebnis versteckt, und keine wird benötigt, um den Korotationsradius anzugeben, der allein aus Masse und Rotation des Mutterkörpers folgt.

Ein Körper von der Größe des Mondes kann aus dem eigenen Material der Erde ohne einen großen Einschlag von außen in die Umlaufbahn gelangen. Eine schnell rotierende Erde liefert die Geschwindigkeit; die Birne verbindet die Erde mit der Korotationslinie; die sich verlängernde Birne und der sich zentralisierende Kern legen zusammen den Erdtag bei der Ablösung auf 5.77 h fest; der Mond, starr und rund, wird abgelöst, wenn sein Massenschwerpunkt die Korotationslinie bei etwa 16,400 km erreicht; die Drehimpulsbilanz schließt beim 1.007-Fachen des heutigen Wertes, konsistent mit dem Verlust an die Sonnengezeiten; und der Mond entfernt sich vom Moment der Ablösung an.

Als eine einzige Kette ausgedrückt: Die Rotation der Erde trägt das Material nach außen; die Linie, an der die mitgetragene Geschwindigkeit der Bahngeschwindigkeit gleicht, legt fest, wo der Mond aufbricht; das Gleichgewicht von Birne und Kern legt fest, wo diese Linie liegt; und der Drehimpuls, mit dem die Erde begann, reicht aus, mit etwa 1% Reserve, die die Sonne später entfernen kann.

E.1Die beibehaltenen früheren Schlussfolgerungen

Die folgenden Schlussfolgerungen früherer Versionen dieses Papers bleiben gültig und werden hier mit ihren ursprünglichen Referenzwerten beibehalten.

1. Die Ablösungsbedingung bestimmt den Geschwindigkeitstest; direkte Ablösung von der Oberfläche und Transfer in Korotation sind verschiedene Anfangsbedingungen. Eine Ablösung von der Oberfläche hinterlässt eine Geschwindigkeitslücke (§A.1.2); ein korotierender Transfer hinterlässt keine (§B.2).

2. Der ursprüngliche Referenzwert beträgt etwa 15,818 km bei einer Periode von 5.5 Stunden und in der dafür festgelegten Massendefinition. Er ist die Linie vor Beginn des Transfers; der Ablösungswert von etwa 16,400 km ist die Linie, nachdem Birne und Kern gewirkt haben (§B.1).

3. Die Zufuhr an das Material beträgt etwa 15.6% in der Basis und etwa 16.5% in der gekoppelten Lösung; etwa 17.7% ist der endgültige Bahndrehimpuls in der Testteilchen-Näherung, für den gekoppelten Zustand mit der Birne allein ($D=1$, 6.44 h, 17,569 km); im Ablösungszustand mit $D=2$ enthält die Bahn des Mondes etwa 17.0% (§B.1). Diese drei Prozentwerte messen verschiedene Größen: die ersten beiden den Drehimpuls, den das Material während des Transfers gewinnen muss (§A.6.2); der dritte den Anteil der Bilanz, den die Bahn des Mondes am Ende enthält.

4. Die innere Struktur und die Vektorgeometrie beeinflussen das Ergebnis und wurden daher als Sensitivitätstests einbezogen und nicht als gemessene frühere Werte.

5. Die Korotation liefert die Geschwindigkeit und die Bilanz. Mechanische Ablösung jenseits der Korotation, anhaltende Entfernung und Überleben im Roche-Bereich sind die drei Bedingungen, die der Weg an seinen Mechanismus stellt; sie sind in §D.3 gesammelt.

Weiterführende Arbeiten — Ansatzpunkte für die Forschung

Die Rechnungen dieses Papers definieren die Eingaben für weiterführende Arbeiten, für die andere Forschungsgruppen ausgerüstet sind. Jeder Punkt nennt eine Rechnung, die dieses Paper nicht durchführt, und das Paper der Serie, das ihr Ergebnis verwenden würde.

1. Das geschichtete Maclaurin-Problem. Der gekoppelte Endzustand (§A.6.2) verwendet eine gleichförmige Figur mit variablem Trägheitskoeffizienten. Eine Clairaut-Darwin-Radau-Behandlung eines Mutterkörpers mit absinkendem Eisen ergibt den Korotationsradius für den sich zentralisierenden Kern selbstkonsistent (etwa 16,300–16,400 km bei $D=2$) und übergibt Paper 4 seine Anfangsbahn. Die Clairaut-Darwin-Radau-Methode ist das Standardverfahren zur Berechnung der Form eines rotierenden Körpers, dessen Dichte nach innen zunimmt; sie würde die hier verwendete gleichförmige Form durch eine ersetzen, die dem sinkenden Eisen folgt.

2. Die Dissipation der frühen Erde. Die Entfernung ab etwa 2.6 Erdradien (16,400 km; 2.8 Erdradien im früheren Zustand der Birne allein mit 6.44 h) wird durch $k_2/Q$ und seine Geschichte bestimmt; der heutige Wert ist anomal. Hier misst $k_2$, wie stark sich die Erde unter einer Gezeit verformt, und $Q$, wie viel der Gezeitenenergie sie dissipiert; ihr Verhältnis bestimmt, wie schnell sich der Mond entfernt. Ozeanresonanzmodelle, gerechnet ab dem Tag von 5.77 Stunden bei der Ablösung (statt dem Tag von 6.4 Stunden des früheren Zustands der Birne allein), würden die Ratenfunktion liefern, die Paper 4 benötigt.

3. Die thermische Ausdehnung des Mutterkörpers. Die hier gewählten 120 km (98–520 zulässig) sind eine Schätzung aus der Tiefe des Magmaozeans und der Ausdehnung der Schmelze; eine Integration der Zustandsgleichung einer heißen, an flüchtigen Stoffen reichen frühen Erde würde sie festlegen und mit ihr das Rotationsfenster.

4. Der Beginn der Entfernung. Ein Körper, der genau auf der Korotationslinie abgelöst wird, erfährt einen gezeitenneutralen Zustand: Die Erde dreht sich einmal in der Zeit, in der der Körper einmal umläuft, und die Gezeit drückt ihn weder nach außen noch zieht sie ihn nach innen. Sobald der Körper jenseits der Linie liegt, drückt ihn die Gezeit nach außen, sodass sich der Mond von Anfang an entfernt (§B.8; Paper 4, §B.2). Die Abtrennung lässt den Massenschwerpunkt um den Ablösungsspielraum $\Delta r\simeq2d_0$ jenseits der Linie, etwa 210 km (§D.3, §E.1). Eine Gezeitenintegration mit frequenzabhängiger Rheologie in beiden Körpern, ausgehend vom Ablösungszustand von Paper 3, würde den Bereich des Spielraums und die Rate der ersten Entfernung festlegen. „Frequenzabhängige Rheologie“ bedeutet, dass die Art, wie jeder Körper der Gezeit nachgibt, davon abhängt, wie schnell sich die Gezeit ändert.

5. Überleben innerhalb der fluiden Roche-Grenze. Die Größenordnungsabschätzung der Dehnung im Anhang „Abschätzung von Beschleunigung und Dehnung“ ist keine Verformungslösung. Eine viskoelastische Rechnung des starren Körpers von 1,890 km in etwa 16,400 km Abstand von der Erde, über die $10^1$–$10^3$ Jahre, die er dort verbringt, würde sie ersetzen. Eine viskoelastische Rechnung behandelt den Körper über kurze Zeiten als elastisch und über lange Zeiten als langsam fließend, und so verhält sich ein heißer Körper mit starrer äußerer Schale.

6. Der klassische Weg. Der Faktor 2.74 an der Jacobi-Bifurkation ist berechnet; der birnenförmige Punkt entlang der Jacobi-Folge erfordert die Überprüfung der tabellierten Werte, und eine moderne Berechnung der Folge für diese Masse und Dichte würde ihn klären. Die Jacobi-Folge ist die Familie langgestreckter, dreiachsiger Gleichgewichtsformen, in die ein schnell rotierender flüssiger Körper jenseits der Maclaurin-Formen übergeht (§A.6.5).

Verfügbarkeit des Codes

Alle numerischen Ergebnisse dieses Papers werden durch die Skripte des LEF-Reproduktionspakets (Python 3, numpy, scipy) reproduziert, das die Werte jedes Abschnitts aus den im Text angegebenen Eingaben ausgibt. Das Paket ist diesem Preprint als ergänzendes Material beigefügt (LEF_code_and_data.zip). Eine frühere Version der Serie und des Pakets ist unter doi:10.5281/zenodo.22743615 hinterlegt.

Dieser Anhang legt die Definitionen fest, auf denen jede Zahl des Papers beruht. Er stützt den Korotationsradius aus §A.2.1 und §A.5 (15,818 km für die 5.5-Stunden-Referenz) und den Ablösungsabstand aus §B.1. Ein Leser, der ein Ergebnis prüfen möchte, sollte hier beginnen, denn die meisten scheinbaren Abweichungen zwischen Reproduktionen rühren von einer anderen Wahl von Masse, Abstand oder Konstante her, nicht von einer anderen Physik.

Die kurze vollständige Herleitung steht in §B.1. Zwei Massen müssen auseinandergehalten werden. $M_{\mathrm{tot}}$ ist die gesamte Anfangsmasse: die Erde und das lunare Material zusammen, bevor irgendetwas davon aufgebrochen ist. $M_\oplus$ ist die endgültige Masse des Mutterkörpers: die Erde, nachdem das lunare Material dem zweiten Körper zugeordnet wurde. Wird die eine verwendet, wo die andere gemeint ist, wird die Mondmasse doppelt oder gar nicht gezählt.

Auch zwei Abstände müssen auseinandergehalten werden. Ein Radius bezogen auf das Zentrum des Mutterkörpers ist kein Radius bezogen auf den Massenschwerpunkt des Systems; sobald ein zweiter Körper mit realer Masse existiert, drehen sich die beiden Körper um ihren gemeinsamen Massenschwerpunkt, der etwas vom Erdzentrum entfernt liegt. Im Zweikörperfall ist der Abstand $r$ der zwischen den Zentren, und der Gravitationsparameter (das Produkt aus Gravitationskonstante und anziehender Masse) ist $G(M_\oplus+m)$, weil jeder Körper unter der Anziehung des anderen umläuft und die Relativbewegung von der Summe der Massen bestimmt wird.

Die Konstanten sind die reproduzierten Eingaben der Quelle, keine neue Anpassung an eine Ephemeride (eine Tabelle beobachteter Positionen). Eine Änderung der Massendefinition erfordert daher eine neue Rechnung, keine stillschweigende Änderung der Bezeichnung 15,818: Diese Zahl gehört zu einer angegebenen Definition, und eine andere Definition ergibt eine andere Zahl.

Dieser Anhang leitet die Form und den Drehimpuls der jungen Erde vor Beginn des Transfers her. Er stützt die Anfangsbilanz $L_0\simeq3.466\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$ aus §A.6.1 und §B.1, den Vergleich mit dem heutigen System in §A.6.3 und den zulässigen Bereich von Abbildung 5 in §A.6.4. Die Schritte sind: Masse und Größe festlegen; die abgeplattete Form finden, die ein gleichförmiger Körper bei einer Rotation von 5.5 Stunden annimmt; sein Trägheitsmoment berechnen; mit der Rotationsrate multiplizieren.

Appendix B.1Herleitung der Anfangsstruktur — der Basistext bewahrt

Schritt 1: die Masse. Wir wählen $G=6.674\times10^{-11}$, $M_\oplus=5.972\times10^{24}$ kg und $m=7.35\times10^{22}$ kg. Vor dem Transfer ist das lunare Material noch Teil der Erde, sodass der Mutterkörper beides trägt. Im Code wird die exakte Summe der gewählten Werte beibehalten:

$$M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m=6.0455\times10^{24}\ \mathrm{kg}.$$

Ihr gerundeter Wert in der Quelle ist $6.045\times10^{24}$. Der Rundungsunterschied erklärt kleine Abweichungen zwischen Reproduktionen; er ist kein physikalischer Unterschied.

Schritt 2: die Größe. Der über die mittlere terrestrische Dichte definierte Referenzradius beträgt etwa 6,397 km: Das ist der Radius, den die gesamte Anfangsmasse bei der Dichte der heutigen Erde hätte. Die junge Erde ist im Modell heiß und ausgedehnt. Eine gewählte Zugabe von 120 km ergibt einen volumetrischen Radius $R_{V,0}=6{,}517$ km (den Radius einer Kugel mit demselben Volumen wie der abgeplattete Körper) und eine Dichte von etwa 5,214 kg pro Kubikmeter.

Schritt 3: die Form. Ein gleichförmiger flüssiger Körper, der rotiert, nimmt eine abgeplattete Figur an, am Äquator breiter als durch die Pole. Für einen Körper gleichförmiger Dichte ist diese Figur ein Maclaurin-Sphäroid, und seine Form ist durch eine einzige Gleichung festgelegt [1]:

$$\mathcal M(e)=\frac{2\sqrt{1-e^2}}{e^3}(3-2e^2)\arcsin e -\frac{6(1-e^2)}{e^2}, \qquad \frac{\omega^2}{\pi G\rho}=\mathcal M(e).$$

In Worten: Die linke Seite, $\omega^2/(\pi G\rho)$, misst, wie schnell der Körper rotiert, verglichen damit, wie stark ihn seine eigene Schwerkraft zusammenhält ($\omega$ ist die Winkelgeschwindigkeit, $\rho$ die Dichte). Die rechte Seite, $\mathcal M(e)$, ist die Abplattung, die dieses Gleichgewicht erfordert, ausgedrückt über die Exzentrizität $e$ des Meridianschnitts — $e=0$ ist eine Kugel, und $e$ wächst, wenn sich der Körper abplattet. Bei gegebener Rotation und Dichte wird die Gleichung nach $e$ aufgelöst.

Sobald $e$ bekannt ist, folgen der Äquatorradius $a$ und der Polradius $c$ aus dem volumetrischen Radius:

$$a=\frac{R_V}{(1-e^2)^{1/6}}, \qquad c=R_V(1-e^2)^{1/3}.$$

Diese beiden Ausdrücke halten das Volumen fest: $a^2c=R_V^3$, sodass sich der Körper abplattet, ohne Material zu gewinnen oder zu verlieren.

Für eine gegebene Rotation unterhalb des Maximums hat die Maclaurin-Gleichung zwei Lösungen, eine leicht abgeplattete und eine stark abgeplattete. Ein Körper, der allmählich aus einer Kugel heraus beschleunigt wird, folgt der ersten. Auf dem Ast nahe der Kugelform erhält man $e_0\simeq0.4107$, $a_0\simeq6{,}721$ km und $c_0\simeq6{,}128$ km — ein Äquator, der etwa 600 km weiter vom Zentrum entfernt ist als die Pole.

Schritt 4: Trägheitsmoment und Drehimpuls. Das Trägheitsmoment misst, wie schwer ein Körper in Rotation zu versetzen ist, und hängt davon ab, wie weit seine Masse von der Achse entfernt liegt. Für ein gleichförmiges Sphäroid, das sich um seine kurze Achse dreht, beträgt es $\frac25$ der Masse mal dem Quadrat des Äquatorradius. Der Drehimpuls ist das Trägheitsmoment mal der Winkelgeschwindigkeit:

$$I_0=\frac25M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_{\mathrm{initial}}=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

Hier ist $\omega_0=2\pi/19{,}800$ s$^{-1}$ die Winkelgeschwindigkeit eines 5.5-Stunden-Tages. Diese eingerahmte Zahl ist die gesamte Bilanz, aus der der Transfer schöpfen kann; §A.6 vergleicht sie mit dem heutigen Erde-Mond-System.

Gleichförmige Dichte ist eine Rechnungseingabe. Sie beschreibt einen Mutterkörper, der sich noch in einem frühen Stadium der Sortierung befindet: Eisen könnte sich schon zu Beginn im Kern gesammelt haben, und die Organisation des Kerns setzte sich durch den Transfer und nach der Ablösung fort. Ein Körper, der die Differentiation nicht abgeschlossen hat, ist nicht notwendigerweise gleichförmig; die Wirkung von Abweichungen von gleichförmiger Dichte wird unten in einem Sensitivitätstest untersucht (Anhang C und §A.4.1).

Appendix B.2Der ursprüngliche Ausdehnungsscan

Die Ausdehnung von 120 km ist ein gewählter Wert, also stellt sich die Frage, wie stark das Ergebnis von ihr abhängt. Die Tabelle beantwortet dies. Jede Zeile gibt eine Ausdehnung an; die zweite Spalte ist der resultierende volumetrische Radius; die dritte ist der Überschuss der Anfangsbilanz über die heutige bei einem Tag von 5.5 Stunden; die vierte ist der längste Anfangstag, bei dem die Bilanz noch der heutigen gleicht (die skalare Obergrenze). Liest man die Tabelle von oben nach unten, wird der Körper mit wachsender Ausdehnung größer, sein Trägheitsmoment steigt, und sowohl der Überschuss als auch die Obergrenze wachsen mit.

Zwei Zeilen markieren die Ränder des zulässigen Bereichs. Ohne Ausdehnung bleibt die Bilanz 3.3% hinter der heutigen zurück, sodass ein nicht ausgedehnter Mutterkörper mit einer Rotation von 5.5 Stunden das heutige System nicht liefern könnte. Bei 98 km gleicht die Bilanz genau der heutigen; das ist die kleinste Ausdehnung, die funktioniert. Bei 520 km erreicht der Überschuss 15%, die gewählte Grenze für das, was später an die Sonne verloren gegangen sein könnte. Der Bereich 98–520 km aus §D.3 stammt aus diesen beiden Zeilen.

Die Tabelle ist aus der Quelltabelle als Sensitivität des skalaren Modells übernommen. Die Obergrenze von 5.54 Stunden gehört zum Referenzzustand, nicht zu jeder möglichen Struktur. Die Untergrenze von 4.90 Stunden beruht auf einer gewählten Obergrenze von 15% für den äußeren Verlust; für diese Obergrenze gibt es hier keine unabhängige Herleitung. Der Bereich 4.90–5.54 Stunden ist daher keine bewiesene Beobachtungsschranke; er ist das Fenster, innerhalb dessen die gewählten Eingaben konsistent bleiben.

Die 120 km sind ebenfalls ein gewählter Parameter. Die Verwendung dieses Parameters zur Darstellung der thermischen Ausdehnung ersetzt keine Rechnung mit einer Zustandsgleichung (eine Rechnung, die Schicht für Schicht verfolgt, wie sich die Dichte des Materials mit Druck und Temperatur ändert). Die Ausdehnung eines Körpers unter Druck zu begründen erfordert die Integration von Struktur und Dichte; eine lineare Abschätzung auf Grundlage von Schichttiefe und Ausdehnungskoeffizient ist keine geschlossene unabhängige Grundlage. Die Liste der weiterführenden Arbeiten nennt diese Rechnung als Ansatzpunkt für die Forschung.

Dieser Anhang beschreibt, wie die Zweischichtrechnung hinter §A.4 und §A.4.1 aufgesetzt wurde und wie weit ihren Zahlen zu trauen ist. Er stützt die Tabelle der Endperioden und Korotationsradien gegen das Dichteverhältnis $D$ (für $D=2$: 5.77 Stunden und 16,331 km) und den Wert $k=0.360$ aus §B.6. Die physikalische Idee ist die Eiskunstläuferin, die die Arme anzieht: Wenn Eisen zum Zentrum sinkt, fällt das Trägheitsmoment, und bei festem Drehimpuls wird die Rotation schneller.

Das Modell hat zwei Schichten: eine innere und eine äußere. $q$ ist das Verhältnis des inneren zum äußeren volumetrischen Radius, und $D$ ist das Verhältnis ihrer Dichten. Die Schichten sind inkompressibel und in gemeinsamer Rotation, sodass sie sich zusammen wie ein Körper drehen. Das Volumen des Endkörpers ist über die Szenarien hinweg fest; der zur Festlegung von $L_0$ verwendete Anfangszustand bleibt homogen, sodass jedes Szenario von derselben Bilanz ausgeht und sich nur darin unterscheidet, wie der Endkörper seine Masse angeordnet hat.

Für jedes Szenario wird auf beiden Grenzen ein konstantes effektives Potential gelöst: Jede Grenze muss eine Fläche gleichen kombinierten Gravitations- und Zentrifugalpotentials sein, was die Bedingung dafür ist, dass eine flüssige Schicht im mitrotierenden System in Ruhe ist. $I$ wird dann direkt aus Dichte und Form berechnet, nicht aus einer Formel für einen gleichförmigen Körper übernommen. Hier gibt es weder einen zeitlichen Differentiationspfad noch eine Zustandsgleichung: Die Rechnung vergleicht Endzustände und verfolgt das Absinken des Eisens nicht Schritt für Schritt.

Zwei Prüfungen legen die Genauigkeit fest. Die Freigabe der Grenzformen (statt sie als exakte Sphäroide zu erzwingen) veränderte den Radius im $q=0.55$-Scan um bis zu etwa 2.5 km — wenig gegenüber dem Korotationsradius von mehr als 15,000 km. Eine Änderung der numerischen Auflösung veränderte die Radien um wenige Meter; die Feldresiduen konvergieren nicht in jeder Prüfung monoton, daher wird keine physikalische Genauigkeit auf Meterebene beansprucht. Die Ergebnisse sind auf Kilometerebene verlässlich, und auf dieser Ebene verwendet sie das Paper.

Die Hauptrechnung löst den Mond in der Äquatorebene ab. Dieser Anhang fragt, was sich ändert, wenn der Ablösungspunkt außerhalb des Äquators liegt. Er stützt die Bilanzgleichung aus §A.6.6 und die dort angegebenen Sensitivitätswerte. Der Punkt ist geometrisch: Außerhalb des Äquators zeigen der Bahndrehimpuls des Mondes und der Eigendrehimpuls der Erde nicht mehr entlang derselben Achse, und Drehimpulse, die in verschiedene Richtungen zeigen, addieren sich wie Pfeile, nicht wie bloße Zahlen.

In einem Bezugssystem, in dem $z$ die endgültige Rotationsachse ist und $\lambda$ die Breite des Ablösungspunktes, gemessen relativ zu ihrem Äquator, ist der gesamte Drehimpuls:

$$\mathbf{L}_{\mathrm{tot}}=(-H\sin\lambda,0,S+H\cos\lambda),\quad H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda.$$

Hier ist $S$ der Eigendrehimpuls der Erde entlang der Achse. $H$ ist der Bahndrehimpuls des Mondes: $\mu_{\mathrm{red}}$ ist die reduzierte Masse des Paares, $\omega$ die gemeinsame Winkelgeschwindigkeit und $r\cos\lambda$ der Abstand des Ablösungspunktes von der Rotationsachse — nur dieser Abstand zählt für die Geschwindigkeit, die die Rotation liefert. Der Bahnpfeil ist um $\lambda$ gegen die Rotationsachse geneigt, sodass er eine Komponente $H\cos\lambda$ entlang der Achse und eine Komponente $-H\sin\lambda$ quer dazu hat.

Die Länge des Gesamtpfeils ergibt sich durch Quadrieren und Addieren der Komponenten:

$$L_0^2=(H\sin\lambda)^2+(S+H\cos\lambda)^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.$$

Daraus folgt die Bilanzgleichung aus §A.6.6: Die Anfangsbilanz muss dieser Länge gleichen. Bei $\lambda=0$ reduziert sie sich auf die bloße Summe $L_0=S+H$ der äquatorialen Rechnung. Der Winkel zwischen der Rotation und dem gesamten Drehimpuls ist:

$$\beta=\arctan\left(\frac{H\sin\lambda}{S+H\cos\lambda}\right).$$

Dieser Winkel gibt an, wie weit sich die endgültige Rotationsachse der Erde von der Achse des Gesamtsystems neigt — der Ausgangspunkt für die Neigungen, die Paper 4 verfolgt.

Für den Test $q=0.55$, $D=1$, $\lambda=25^\circ$ erhält man etwa 17,177 km und 3.85° in der Testteilchen-Näherung oder etwa 17,240 km und 3.84° mit zwei Massen. Die 25° sind ein Sensitivitätstestwert, gewählt, um die Größe der Korrektur zu zeigen; die gewählte Ablösungsbreite ist 22.5°, das Zentrum der Kontaktfläche, und die Ablösung dort wird in Paper 4 (Die Umlaufbahn) neu berechnet. Dies sind vorgeschlagene Sensitivitätsergebnisse, die die Referenzwerte nicht ersetzen. Die früheren Zahlen 17,115 und 4.48° wurden im Protokoll gesondert geführt, weil sie eine Korrektur der Bezugssystemkonsistenz erforderten: Sie vermischten Vektoren, die relativ zu verschiedenen Achsen ausgedrückt waren. Diese kinematische Gleichung berechnet nicht, wie sich die Achse mit der Zeit ändert; sie gibt den Zustand in einem Moment an.

Die vollständige Dokumentation, einschließlich des für Paper 4 vorgesehenen Bahnmaterials: LEF_PaperI_Calculation2_Latitude25_HE.

Dieser Anhang gibt den Hintergrund zu §A.7 und §B.7: die beiden Roche-Grenzen und eine erste Abschätzung, wie stark die Gezeit der Erde den jungen Mond belastet. Die Roche-Grenze ist der Abstand, innerhalb dessen der Unterschied zwischen der Anziehung der Erde auf die nahe und die ferne Seite eines Satelliten (die Gezeitenstreckung) die eigene Schwerkraft des Satelliten, die ihn zusammenhält, übersteigt. Ein Körper, der sich frei verformt wie eine Flüssigkeit, verlängert sich und erhöht so die Streckung auf sich selbst; seine Grenze liegt weiter außen (Koeffizient 2.44). Ein Körper, der seine Form behält, hat eine weiter innen liegende Grenze (Koeffizient 1.26). Die Frage, die dieser Anhang beantwortet, ist, wie groß die Gezeitenlast beim Ablösungsabstand ist und was darüber hinaus nötig ist, um aus dieser Last ein Ergebnis zum Überleben zu machen.

Die Konstanten 1.26 und 2.44 und die Definitionen der Grenzen wurden aus dem vorherigen Text übernommen. Eine gezielte Überprüfung der Quelle für den sogenannten starren Koeffizienten und seines Gültigkeitsbereichs muss vor der Einreichung abgeschlossen werden. Er enthält kein Festigkeitsgesetz für eine Kruste: Die starre Grenze beschreibt einen Körper, der seine Form nicht ändert, ohne zu sagen, welche Materialfestigkeit dies ermöglicht.

Abschätzung von Beschleunigung und Dehnung — ein bewahrter früherer Rechentext

Die Abschätzung vergleicht zwei Beschleunigungen. $\Delta a$ ist die Gezeitenstreckung: der Unterschied zwischen der Anziehung der Erde im Zentrum des Körpers und an seiner Oberfläche, entlang der Linie zur Erde. $g_s$ ist die eigene Oberflächenschwerkraft des Körpers. Für einen Körperradius $R_s=1{,}890$ km gilt:

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3}, \qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

Die Streckung fällt mit der dritten Potenz des Abstands $r$: Eine Halbierung des Abstands erhöht sie auf das Achtfache. Bei 15,818 km erhält man $\Delta a\simeq0.381$, $g_s\simeq1.373$ m/s² und ein Verhältnis von etwa 0.277. Das Verhältnis vergleicht die Gezeitenstreckung mit der Eigengravitation: Unter eins gewinnt die Eigengravitation, und in diesem Abstand beträgt die Gezeit etwas mehr als ein Viertel der eigenen Schwerkraft des Körpers. Ein Verhältnis unter eins ist notwendig, entscheidet die Sache für einen sich verformenden Körper aber nicht; die Verformung eines heißen Körpers über die Jahre, die er innerhalb der fluiden Grenze verbringt, ist die Überlebensbedingung aus §D.3.

Der nächste Schritt überführt die Beschleunigung in eine Spannung und die Spannung in eine Zeit. Eine Spannungsabschätzung lässt sich aufstellen:

$$\sigma_{\mathrm{tidal}}\sim\rho_s\Delta aR_s\sim1.9\times10^9\ \mathrm{Pa}, \qquad t_{\mathrm{strain}}\sim\frac{\varepsilon_*\eta}{\sigma_{\mathrm{tidal}}}.$$

Der erste Ausdruck ist die gewichtsähnliche Last einer Säule aus dem Material des Körpers, mit der Dichte $\rho_s$ und der Höhe $R_s$, unter der Beschleunigung $\Delta a$. Der zweite gibt an, wie lange ein Material der Viskosität $\eta$ (sein Fließwiderstand, in Pascalsekunden) braucht, um unter dieser Spannung eine Dehnung $\varepsilon_*$ — eine relative Formänderung — zu erreichen: Je steifer das Material, desto länger dauert es.

Die Wahl von $\varepsilon_*=0.5$ (eine Formänderung um die Hälfte) und $\eta=10^{19}\ \mathrm{Pa\,s}$ ergibt etwa 85 Jahre (mit $\rho_s=2{,}600$ kg/m$^3$, $\Delta a\simeq0.381$ m/s$^2$ und $R_s=1{,}890$ km beträgt die Spannung $1.87\times10^9$ Pa; eine frühere Version dieser Abschätzung gab $1.4\times10^9$ Pa und etwa 116 Jahre an, was einer Körperdichte von etwa 1,950 kg/m$^3$ entspricht). Dies ist eine Abschätzung der Dehnung unter einer konstanten repräsentativen Spannung, keine Berechnung einer Zerfallszeit. Die Rheologie (wie das Material über die Zeit auf Last reagiert), die Form, die veränderliche Spannung und die tatsächliche Verweildauer müssen untersucht werden.

Diese Abschätzung wird als parametrische Abhängigkeit beibehalten: Sie zeigt, wie die Zeit mit Viskosität und Spannung skaliert, sodass ein Leser andere Werte einsetzen kann. Die Verweildauer selbst gehört zur Bahnrechnung und wird hier nicht festgelegt. Das dritte Rechendokument sammelt die Roche-, Belastungs- und Bahnprüfungen sowie die Trennung zwischen einem Ergebnis und einer offenen Anforderung: LEF_PaperI_Calculation3_Release_Survival_HE. Die mechanische Belastung ist für Paper 3 (Der LEF-Mechanismus in der Praxis) vorgesehen und die Bahntabellen für Paper 4 (Die Umlaufbahn).

Dieser Anhang gibt Komponente für Komponente an, was das Paper aus früherer Physik übernimmt und was es hinzufügt. Er stützt die Neuheitsaussage aus §D.2. Die Tabelle sollte Zeile für Zeile gelesen werden: Die erste Spalte nennt eine Komponente der Argumentation, die zweite gibt an, ob sie Standardphysik, frühere Arbeit oder die eigene Anwendung des Papers ist, und die dritte, wie das Paper sie verwendet. Das Muster ist beabsichtigt: Die Gesetze sind alt; neu ist, wo sie ausgewertet und wie sie in einem einzigen verbundenen Szenario kombiniert werden.

Vor der Einreichung ist außerdem ein gezielter Vergleich mit früheren Arbeiten zu synchroner Stabilität und Gleichgewichtszuständen nötig, um die Priorität zu beurteilen; insbesondere sind die Verweise auf Counselman, Hut und Grjebine & Marchal aus dem früheren Begutachtungsprotokoll hier nicht als erneut überprüft markiert. Sie sind offene bibliografische Aufgaben, keine neuen Ergebnisse.

Der Test des Herausgebers bleibt erhalten: Für jede zentrale Aussage müssen ihr Status bestimmt, Annahmen und Ergebnis definiert, die Sensitivität offengelegt und ein Weg zur Reproduktion bereitgestellt werden. Die Tabelle der zentralen Aussagen in §D.1 (im früheren Text als „Tabelle E.4“ bezeichnet) füllt zusammen mit der Tabelle der Annahmen und Anforderungen in §D.3 diese Struktur aus; das Fehlen einer Überlebenslösung ist als offen markiert und wird nicht zu einem BESTANDEN.

Literatur

[1] Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale University Press. Quelle aus dem bestehenden Text; genaue Seitenangaben für die Werte der Folge und die Roche-Koeffizienten sind vor der Einreichung zu ergänzen.

[2] Ferraz-Mello, S., Rodríguez, A., & Hussmann, H. Tidal friction in close-in satellites and exoplanets. The Darwin theory re-visited. Autorenversion: https://arxiv.org/abs/0712.1156.

[3] Leconte, J., Chabrier, G., Baraffe, I., & Levrard, B. (2010). Is tidal heating sufficient to explain bloated exoplanets? Consistent calculations accounting for finite initial eccentricity. DOI: 10.1051/0004-6361/201014337.

[4] Efroimsky, M., & Makarov, V. V. (2013). Tidal Friction and Tidal Lagging. Applicability Limitations of a Popular Formula for the Tidal Torque. ApJ, 764, 26. DOI: 10.1088/0004-637X/764/1/26.

[5] Huré, J.-M. (2022). Nested spheroidal figures of equilibrium I. Approximate solutions for rigid rotations. Autorenversion: https://arxiv.org/abs/2202.11044.

[6] Darwin, G. H. (1879). On the precession of a viscous spheroid, and on the remote history of the Earth. DOI: 10.1098/rstl.1879.0073.

[7] Meier, M. M. M., Reufer, A., & Wieler, R. (2014, Preprint). On the origin and composition of Theia: Constraints from new models of the Giant Impact. Autorenversion: https://arxiv.org/abs/1410.3819.

[8] Battin, R. H. (2008). The Two Body Problem. MIT 16.346, Lecture 1. https://ocw.mit.edu/courses/16-346-astrodynamics-fall-2008/resources/lec_01/.

[9] Yu, H., Lau, S. Y., Mckeever, E., Arras, P., & Weinberg, N. N. (2025). Dynamical tide modified Roche limit in eccentric, asynchronous binaries. Autorenversion: https://arxiv.org/abs/2508.20183.

Dieser Anhang ist die vollständige Fassung der Tabelle der Rechenumgebung am Anfang des Papers. Ihr Zweck ist praktisch: Jede Rechnung der Serie wird für einen bestimmten Moment und einen bestimmten Ort im Szenario durchgeführt, und die Tabelle hält Größe für Größe fest, was zu jedem Moment bekannt, was gewählt und was noch offen ist. Sie verhindert den häufigsten Fehler bei der Rekonstruktion eines frühen Zustands — einen Wert von der heutigen Erde oder aus einem anderen Stadium zu entlehnen und dort einzusetzen, wo er nicht hingehört. Jede Zeile trägt eine Kennung (E01, E02, …), sodass spätere Papers sie zitieren können.

Wie die Tabelle zu lesen ist

Jede Zeile trägt einen von fünf Status. Gewählt: eine im Modell gewählte Eingabe. Berechnet: ein Ergebnis innerhalb bestimmter Annahmen. Reproduziert: eine Rechnung, deren Code ausgeführt und reproduziert wurde, ohne dass damit alle ihre Annahmen bestätigt sind. Offen: noch nicht bestimmt oder noch nicht nachgewiesen. Heutige Schranke: eine Angabe über das heutige System, die eine frühe Rekonstruktion begrenzen soll, und keine Messung der Vergangenheit.

Die Spalten folgen dem Szenario in der Zeit. Die Stadien sind nicht drei getrennte Systeme: A — ein Referenzzustand vor der Aufteilung der Masse, wenn das lunare Material noch zur Erde gezählt wird; B — Aufbau und Transfer, während der Körper wächst und aufsteigt; C — ein Zustand nahe der Ablösung. Alle Zahlen in Spalte C beziehen sich auf einen definierten gekoppelten Referenzzustand, nicht auf einen bereits vollständig gelösten Entwicklungspfad. Differentiation, eine von null verschiedene Breite oder eine Mischung von Materialquellen erfordern eine weitere konsistente Rechnung.

Die Tabelle ist nach Themen in Blöcke gegliedert: Zeit, Masse und Geometrie; das Erdinnere, Rotation und Drehimpuls; die Schwerkraft und wo sie gemessen wird; Wärme, Material, Fließen und die Verbindung; sowie zwei spätere Aktualisierungen des Autors zu flüchtigen Stoffen, Abkühlung und Zeitleiste.

Die Umgebungstabelle — Zeit, Masse und Geometrie

Dieser erste Block legt die Buchführung fest: wann das Szenario stattfindet, wie viel Masse es gibt und welchem Körper jeder Teil zugeordnet ist, wie groß die Körper sind und wo die Quelle liegt. Sein Hauptnutzen ist, Doppelzählung zu verhindern — dasselbe Material darf nie zugleich in die Erde und in den Mond gelegt werden — und Größen aus verschiedenen Referenzzuständen auseinanderzuhalten.

Was dieser Block festlegt: eine Systemmasse, aufgeteilt auf zwei Körper und, wo nötig, ein drittes Reservoir von Material im Transit; Referenzgrößen, die zu angegebenen Dichten und Zuständen gehören; und eine Quelle, die eine breite Region ist, kein Punkt.

Die Umgebungstabelle — Erdinneres, Rotation und Drehimpuls

Der zweite Block betrifft die Größen, die Rotation und Bilanz festlegen: wie die Masse im Erdinneren angeordnet ist (der Trägheitskoeffizient $k$, der für eine gleichförmige Kugel 0.4 beträgt und kleiner ist, wenn Masse zum Zentrum hin konzentriert ist), das Trägheitsmoment, die Periode, die Rotationsachse, der gesamte Drehimpuls und der Korotationsradius. Dies sind die Größen der Teile A und B; der Block hält fest, welche Werte zum Referenzzustand und welche zum gekoppelten Zustand nahe der Ablösung gehören, sodass beide nicht vermischt werden.

Was dieser Block festlegt: Die Rotation und der Korotationsradius ändern sich während des Aufbaus, in beide Richtungen; die beiden Werte des Korotationsradius bei der Ablösung (16,331 km für ein Testteilchen, 16,399 km für zwei Massen) sind zwei Näherungen eines einzigen Zustands; und die drei Prozentwerte von E24 messen drei verschiedene Dinge.

Die Umgebungstabelle — veränderliche Schwerkraft und der Ort der Messung

Der dritte Block betrifft die Schwerkraft, die in diesem Szenario keine einzelne Zahl ist. Während Masse von der Erde zum sich entwickelnden Körper wandert, ändert sich die Anziehung an einem gegebenen Punkt, und sie ändert sich unterschiedlich außerhalb der Erde, an ihrer Oberfläche, in ihrem Inneren und in der Verbindung zwischen den Körpern. Jede Zeile nennt einen Ort oder eine Komponente und gibt an, was eine Rechnung dort enthalten muss. Der Zweck ist, zu verhindern, dass ein an einem Ort gültiger Wert an einem anderen verwendet wird.

Was dieser Block festlegt: Die Schwerkraft ist aus der tatsächlichen Massenverteilung am angegebenen Ort und Moment zu berechnen; die zentrifugale und andere Beschleunigungen des Bezugssystems werden nur in einem angegebenen rotierenden Bezugssystem hinzugefügt; und die Roche-Grenzen von E35 sind Referenzabstände, wobei das Überleben als gesonderte Anforderung aus §D.3 behandelt wird.

Die Umgebungstabelle — Wärme, Material, Fließen und die Verbindung

Der vierte Block wendet sich von der Mechanik dem Zustand des Materials zu: Temperatur, Wärme, Druck, Dichte, flüchtige Stoffe, Viskosität, die äußere Schale und die Verbindung sowie das, was nach der Ablösung geschieht. Dies sind die Größen, die Paper 3 (Der LEF-Mechanismus in der Praxis) braucht, um zu prüfen, ob das Material aufsteigen kann, ob die Schale die Last tragen kann und ob die Aufzeichnung an der Oberfläche erhalten bleiben kann. Der Block hält die verwendeten Arbeitswerte fest und, Spalte für Spalte, was noch festzulegen ist.

Was dieser Block festlegt: die mechanischen Arbeitswerte, die Paper 3 verwendet (die Drücke von E39, die Schale von E44, die Verbindung von E47), den festen Punkt, dass der Mond bei der Ablösung starr und rund ist (E48), und eine ausdrückliche Liste thermischer und stofflicher Größen, die noch zu bestimmen sind. Die Abplattung und Rundung des Körpers fanden früher statt, als er noch verbunden war (Paper 7, Die Pole).

Die Karte, die jede Rechnung begleitet

Die obige Tabelle wird in eine Arbeitsregel überführt: eine kurze Karte, die jede Rechnung der Serie vor ihrem Ergebnis angibt, sodass ein Leser sofort sehen kann, welchen Zustand sie beschreibt.

Vor einer Gleichung oder einer Ergebnistabelle ist anzugeben: (1) Stadium und Zeit; (2) Messpunkt; (3) Bezugssystem und Achse; (4) Version des Szenarios; (5) Massen und Radien im selben Stadium; (6) Wärme- und Materialeingaben; (7) vernachlässigte Effekte; (8) Ergebnis und Sensitivität. Fehlt eine Angabe, wird die Rechnung als bedingt oder zurückgestellt markiert — ein Wert darf nicht ohne Begründung aus der Gegenwart oder aus einem anderen Stadium entlehnt werden.

Die Massenbuchführung wird als eine einzige Gleichung geschrieben. Gleichung der Massenverwaltung: $M_{\mathrm{total}}=M_E+m_{\mathrm{body}}+M_{\mathrm{transit}}+M_{\mathrm{escaped}}$, entsprechend den System- und Reservoirgrenzen: die Erde, der sich entwickelnde Körper, das Material auf dem Weg zwischen ihnen und jegliches aus dem System verlorene Material. Wird ein geschlossenes System ohne Verlust gewählt oder Material jenseits eines der Körper zugeordnet, muss dies angegeben und die Terme entsprechend reduziert werden. Die in GM eingehende Masse muss in derselben Rechnung der Reservoirdefinition entsprechen.

Das kombinierte Schwerefeld muss aus der tatsächlichen Massenverteilung berechnet werden. Eine Zwei-Punktmassen-Näherung ist nur dort und mit der Genauigkeit zulässig, die definiert sind; sie ist keine vollständige Beschreibung des Erdinneren, der Verbindung oder einer lokalen Anomalie. Bei einer Zerlegung in Hintergrund und Anomalie wird nur die Differenzmasse hinzugefügt, sodass keine Masse doppelt gezählt wird.

Die Aktualisierung des Autors — das frühe Inventar an flüchtigen Stoffen und das zurückkehrende Material

Diese Aktualisierung ergänzt die Tabelle um die flüchtigen Stoffe — Wasser, Gase und andere leicht verdampfende Substanzen —, die Dichte, Fließen, Abkühlung und das zurückkehrende Material beeinflussen. Sie hält das Bild des Autors und die Unterscheidungen fest, die jede spätere Rechnung bewahren muss, ohne jetzt Mengen zu berechnen.

Ausdrückliche Anweisung des Autors: Im untersuchten Szenario ist das frühe Inventar an flüchtigen Stoffen weit größer als das heute verbliebene Inventar. Flüchtige Stoffe sind in dem Material vorhanden, aus dem das System aufgebaut ist, einschließlich des tiefen Materials und des Magmas; ein Teil der mit dem sich entwickelnden Körper übertragenen flüchtigen Stoffe ging an den Weltraum verloren, und während der Abtrennung trat gemäß der Hypothese weiterer Verlust auf. Eine Berechnung der Mengen oder Verlustraten ist derzeit nicht verlangt.

Die Zeilen trennen, was leicht vermengt wird: wie viel flüchtiges Material es gab (E54), wo es war (E55), in welcher Form (E56), wie es verloren ging (E57), wie der Verlust in die Massenbilanz eingeht (E58) und wie es mit dem zurückkehrenden Material zusammenhängen könnte, das später auf dem Mond landet (E59). E60 hält zwei Eigenschaften eines Magmas auseinander — Fließwiderstand und Leichtigkeit —, die ein blasenreiches Magma zugleich haben kann, die aber nicht dieselbe Größe sind.

Kumulative Aktualisierung — Kreislauf der flüchtigen Stoffe, Abkühlung und Zeitleiste

Die zweite Aktualisierung beschreibt, wie das junge System abkühlte, während es aufgebaut wurde, und legt die Reihenfolge der Ereignisse vom aktiven Aufbau bis zu einem gesonderten Körper fest.

11. September 2026. Diese Aktualisierung wird allen bisherigen Inhalten hinzugefügt; sie ersetzt weder die Tabellen E01–E60 noch die Unterscheidungen darin. Das Dokument enthält nun 70 Punkte. Der frühere Verweis auf 53 Größen beschreibt nur die ursprüngliche Basistabelle.

Klarstellung des Autors: Im vorgeschlagenen Bild der Umgebung befand sich das Wasserinventar, das heute in Meeren und Ozeanen vertreten ist, zu Beginn des Szenarios in verdampftem Zustand, und das System war auch im tiefen Material reich an flüchtigen Stoffen. Es findet eine zyklische Bewegung statt: An flüchtigen Stoffen reiches Material steigt auf, kühlt ab, und ein Teil davon kehrt nach unten zurück, wird erhitzt und steigt erneut auf — nach Art eines Suppentopfs auf dem Herd, dessen Oberfläche Wärme abgibt, während sich das Innere fortwährend umwälzt. Gemäß der Hypothese unterstützt der Kreislauf die Abkühlung der äußeren Oberfläche und die Erhaltung der Aufzeichnung, während das Innere heiß und beweglich bleibt.

Status: Dies ist die Beschreibung des Szenarios, das der Autor zu untersuchen bittet. Sie enthält keine überprüfte quantitative Bestimmung des frühen Wasserinventars, des Zustands der flüchtigen Stoffe in jeder Tiefe, der Dauer des Aufbaus oder der Abkühlungskapazität. Die bisherige Unterscheidung zwischen Annahme, Ergebnis und Angabe bleibt erhalten. Das Fenster von 600 Myr darf nicht ohne Entscheidung durch eine andere kurze Zeit ersetzt und nicht als gemessene Abschlussdauer dargestellt werden.

Die folgende Tabelle trägt den Kreislauf Zeile für Zeile in die Umgebung ein: das Wasser zu Beginn (E61), den Kreislauf selbst (E62–E64), seine Wirkung auf die Schale (E65), das Zeitfenster (E66) sowie den Rückgang der Auswürfe nach außen, ihr Ende bei der Abtrennung und ihr Verhältnis zur inneren Speisung (E67–E70).

Zeitleiste für die Beschreibung — ohne erfundene Zwischenzeiten

Die Zeitleiste ordnet die Stadien, ohne den Zwischenschritten Daten zuzuweisen, da diese Daten nicht berechnet wurden. Jede Zeile wird quer gelesen: Sie gibt für ein Stadium den Zustand der Auswürfe nach außen, der Verbindung und der Wärme an. Liest man eine Spalte von oben nach unten, verfolgt man einen Prozess vom Anfang bis zum Ende: Die Auswürfe gehen zurück, während die Birne wächst, setzen sich aber fort, solange der Körper verbunden ist, und hören bei der Abtrennung auf.

Wie die Aktualisierung an die bisherigen Tabellen anschließt

Die folgende Liste verknüpft die Aktualisierung mit den Zeilen, die sie berührt, sodass ein Leser, der eine bestimmte Größe verfolgt, jede Stelle findet, an der sie vorkommt.

• E01–E02: Das Fenster des Szenarios und die Epoche werden getrennt von noch nicht bestimmten Zeiten der Stadien geführt.

• E37–E38 und E52: Der Kreislauf der flüchtigen Stoffe und der Pfad des Wärmeverlusts wurden der thermischen Beschreibung hinzugefügt; Temperatur- und Leistungswerte sind noch offen.

• E42 und E54–E58: Inventar, Phase, Freisetzung und Entweichen bleiben gesonderte Größen; gelöste flüchtige Stoffe dürfen nicht in jeder Tiefe in freien Dampf umgerechnet werden.

• E44–E46 und E50–E51: Die abgestufte Struktur der gesamten Dicke der Schale, die Beweglichkeit und die Erhaltung der Aufzeichnung bleiben erhalten. Der Vorschlag eines Abkühlungskreislaufs hebt die Anforderung des mechanischen Tests nicht auf.

• E48 und E53: Die Rundung ist vor der Ablösung abgeschlossen, ebenso bleibt die Unterscheidung zwischen einem verbundenen Körper und einem Körper in der Umlaufbahn nach der Ablösung erhalten.

• E60: Die Frage Viskosität gegenüber Dichte wurde durch die Klärung des Dampfkreislaufs weder gestrichen noch automatisch gelöst.

Für künftige Untersuchung, ohne jetzt eine Rechnung zu öffnen: Wärmefluss durch die Atmosphäre; latente Wärme bei Verdampfung und Kondensation; die Wirkung der Atmosphäre auf den Austritt der Strahlung; Wasser- und Flüchtigenbilanz zwischen den Reservoiren; Konsistenz zwischen Abkühlung, Aktivitätsdauer, Beweglichkeit der Schale und Erhaltung der Aufzeichnungen. Hier wird nicht festgestellt, dass eine Dampfatmosphäre die Abkühlung unter allen Bedingungen notwendigerweise beschleunigt.

Verwendung von KI-Werkzeugen: Der Autor verwendete KI-Assistenten (Claude, Anthropic; ChatGPT, OpenAI; den KI-Suchassistenten von Google), um die Rechenskripte zu schreiben und auszuführen, die Kataloge und Karten zu analysieren, Abbildungen und Tabellen zu erstellen, die Szenarien zu diskutieren sowie für sprachliche Bearbeitung und Übersetzung. Das Modell und seine Schlussfolgerungen sind die des Autors. Der Autor hat den Inhalt geprüft und übernimmt die volle Verantwortung dafür.