计算环境表

本文的计算描述 LEF 情景中的早期地球母体——月球离开之前的年轻地球。由于系统在过程中不断变化（质量从一个天体转移到另一个天体，形状和自转随之改变），下列每个数值都属于一个确定的状态：质量分配之前的状态、用于比较的计算参考状态，或释放时的耦合终态。将这些状态区分开，可以避免把某一时刻的数值用于另一时刻。附录 G 给出完整的环境 E01–E70；此处的表格只列出 Paper 2 所需的量。

表格分三列。第一列为物理量名称，第二列给出其数值或定义，第三列说明该数值的性质：系统假设、为模型选定的输入、本文计算所得的数值，或仅用于检验结果敏感性的数值。读者可借第三列一眼看出哪些数值是输入的，哪些是得出的。

有几行需要稍作说明。起始母体质量 6.0455×10²⁴ kg 就是今天地球与月球之和：假定没有任何物质逃逸，因此整个月球曾经是地球的一部分。初始半径 6,517 km 大于今天的地球半径，因为年轻而炽热的地球处于膨胀状态；采用的膨胀量为 120 km。自转的流体天体在赤道处隆起，而 Maclaurin 模型——密度均匀的自转流体天体的经典平衡形状，即扁球体——将该体积换算为约 6,721 km 的赤道半径。检验粒子近似把被释放的天体视为中心质量引力场中的小粒子，因此公式中只出现地球的质量；耦合二体值（16,399 km 而非 16,331 km）表明这一简化的影响很小。两层结构的各行使用 $q$，即致密内层半径与整个天体半径之比，以及 $D$，即内层密度与外层密度之比；$D=1$ 为均匀天体，$D$ 越大，表示越多的铁向中心聚集。25° 一行是敏感性检验，用于考察释放点不在赤道上时结果的变化幅度；它不是采用值，采用值为 22.5°（Paper 4）。凡表中注明某量不存在单一数值之处——温度、黏度、重力——本文均不借用现代数值替代。600 Myr 的构建窗口是本系列的工作情景：隆起与梨形体约 400 Myr，扁化约 100 Myr，至 3.873 Ga 释放约 100 Myr。Paper 2 不计算这一持续时间，也不依赖于它。

实际上这意味着：月球的 7.35×10²² kg 只计算一次。转移之前，它包含在地球的 6.0455×10²⁴ kg 之内；转移之后，它就是月球，而地球保留 5.972×10²⁴ kg。

为何旧的反对意见不适用。经典分裂要求地球从其自身表面抛出物质。在 5.5 小时母体的表面，自转提供约 2,133 m/s，而该处的自由轨道需要约 7,701 m/s（§A.1.2）。在表面弥合这一差距的唯一办法是让整个地球转得快得多，而更快的自转意味着更多的角动量：在自转流体天体失稳的经典点（Jacobi 分岔，§A.6.5），母体需要的角动量是今天地月系统的 2.74 倍，而较早的参考计算在同一序列的另一点上得出约四倍。系统并没有这么多角动量，这正是分裂说被放弃的原因。LEF 路径以另一种方式弥合这一差距：不是转得更快，而是在物质随地球转动的同时把它向外带。在相同的自转角速度下，其速度随距离增大，直到在共转半径处等于轨道速度。为此地球所需的自转，就是把今天全部角动量归还给它时它所具有的自转——约 5.5 小时（§A.2）——此时所需的收支为今天的 1.007 倍。一个日常的比喻：旋转木马上的孩子从中心走到边缘，在边缘处运动得更快，而无需任何人更用力地推动木马。

各项要求的含义。$k$ 是转动惯量系数：它衡量天体的质量在中心与表面之间如何分布。均匀球体的 $k=0.4$；今天带有铁核的地球约为 0.33。该路径要求转移开始时 $k\gtrsim0.397$，即母体仍处于分选的早期阶段：质量向中心集中程度较低的地球，在相同自转下储存更多的转动。地核的组织是一个从未停止的连续过程。在隆起阶段它处于开端；梨形体生长期间它持续进行；释放之后，在地球收回梨形体的过程中它仍在继续。很可能从未存在完全均匀的时期：阶段越早，地球的分选程度越低。铁在开始时可能已经在地核中聚集；这一过程随后继续。年轻的地球还必须是炽热的，因而比今天更大：98 至 520 km 之间的膨胀量是允许的，采用值为 120 km。天体必须在共转半径之外释放，而不是恰在其上：恰在共转线上时潮汐是中性的，不向任何方向推动，而位于共转线之外哪怕一点点的天体都会被潮汐向外推，因此从一开始就后退（Paper 4）；所需的余量很小，$\Delta r\simeq2d_0$，约 210 km（Paper 3，§C.5a）。流体洛希极限是这样一个距离：仅靠自身引力维系的天体，在此距离之内会被地球的潮汐拉散。具有内部强度的天体可以在更近处存续，直至其刚性极限；释放时的月球是刚性的、圆的，其扁化与圆化早在它仍相连时便已完成（Paper 7）。两个天体之间的连接——梨形体——必须在释放之前承受载荷。这些要求并未隐藏在结果之中；它们汇集于 §D.3，并由 Paper 3 加以检验。

引言——A 部分：现有模型背景下的释放条件

与月球起源相关的证据有两类：其物质如何能够进入轨道（分离动力学），以及其成分是否与其来源天体相符。Darwin 关于潮汐与自转的工作，是考察地月系统演化的历史背景之一 [6]；他的分裂设想——快速自转的地球甩出了月球——是地球起源的经典形式。本文通过一个确定的平衡构型与经典分裂作定量比较；某一构型的结果不得被转化为对所有可能路径的限制。换言之，证明某一条分裂路径需要过多的角动量，并不证明所有来自地球的路径都是如此。

在大碰撞类模型中，月球由另一天体撞击地球后的碎屑形成，而同位素组成对地球物质与撞击体物质的混合施加约束。该模型存在不同版本，其约束取决于成分和混合方式 [7]。在 LEF 情景中，考察的是由共同的地球储库构建：月球由地球自身的物质构成，因此同位素的高度一致是直接的结果。共同来源为成分比较提供了基础，但并不能替代转移至轨道的检验。这一检验正是本文的主题。

本文聚焦的问题是：在共同转动中把质量向外携带，相对于从表面直接释放，是否改变速度条件和角动量收支。本文给出的回答是肯定的：释放条件从表面移到了共转半径，此时速度和收支都相符。构建机制——来自内部的供给，以及外壳作为同一天体表面的抬升——是 Paper 3《LEF 机制的实践》的主题。本文界定该机制必须满足的物理条件。这一分工是有意为之的：Paper 2 以标准物理学探讨该路径在原理上是否可能；Paper 3 说明它如何实现。

引言——B 部分：本文的内容

本文按“问题—解答”的方式组织，使每一项反对意见都在其被提出之处得到回应。A 部分逐一列出该路径必须面对的问题：导致经典分裂被否定的速度差距、必须计算的内容、连接地球与共转线的梨形体、伸长的梨形体与向心聚集的地核之间的抵消、共转本身、角动量收支、洛希极限以及潮汐演化的方向。B 部分从同一个计算出发，按相同顺序予以解决。C 部分总结已证明的内容；D 部分汇集主张、检验与要求；E 部分陈述结论。附录 A–G 给出推导、敏感性扫描、洛希计算和完整的计算环境，使正文中的每一个数值都可追溯、可复现。

赤道平面是最简单的情形：在那里自转对物质的携带最快，共转半径是单一的距离。从更高纬度释放会使数值有所改变，但不改变原理；变化幅度由环境表中 25° 的敏感性检验给出，采用的 22.5° 情形在 Paper 4 中计算。

本部分逐一列出该路径必须满足的物理条件。首先是使经典分裂路径被放弃的困难——离开快速自转地球表面的天体不具备轨道速度——随后依次追问：该速度在何处达到，什么将地球与该处相连，物质向外移动时地球自转如何变化，角动量是否足够，天体能否在地球潮汐下存续，以及此后它向哪个方向运动。每一节都以一个确定的量结束，由 B 部分加以计算。

A.1问题：速度差距

A.1.1两个独立的动力学问题

地球起源情景需要解释物质如何从母体转移到自由轨道。成分上的一致可以支持共同来源，却不能决定物质如何进入轨道：两个天体可以由相同物质构成，而其中一个如何开始绕另一个运行的问题依然悬而未决。因此本文的重点是动力学。此处通过比较确定的平衡构型来审视原有的历史评述，而不是断言所有地球起源路径都受同一分裂阈值的约束。

有两个问题必须区分开。第一个问题是：在什么条件下物质的速度与自由轨道相容——即在被放开的那一刻，物质的侧向速度是否足够快，使其持续绕地球下落而不落回地球。第二个问题是：过程开始时可用的角动量是否允许该终态及其后的演化。改变释放条件可以改变速度检验的结果，但总的角动量平衡仍须满足。一条路径可能通过第一项检验而未通过第二项，因此两者都要计算。

角动量与转动惯量。角动量是天体所携带的转动运动的量。对于自转天体，它是转动快慢与质量绕轴分布方式的乘积。自转角动量为：

$$L_{\mathrm{spin}}=I\omega.$$

其中 $\omega$ 是角速度（每秒转过的角度，$2\pi$ 除以周期），$I$ 是转动惯量：天体每一部分的质量乘以其到自转轴距离平方的总和。转动惯量衡量质量离轴有多远；远离轴的质量比靠近轴的质量重要得多，因为距离以平方形式进入。对于质量为 $M$、赤道半径为 $a$ 的天体，可方便地写作 $I=kMa^2$，其中无量纲系数 $k$ 记录质量的分布方式：均匀天体的 $k=0.4$，而具有致密核心的天体其 $k$ 较小。

角动量守恒：在不受外部扭转力（力矩）作用的系统中，其总量不能改变；它只能从系统的一部分传给另一部分。对于地月系统，唯一显著的外部力矩是太阳引起的潮汐，它在系统历史中移除了约 1%（§A.2）。正是这一守恒使问题可以计算：月球今天在其轨道中携带的一切，必定曾经存在于母体的自转之中。

在共转中向外转移物质——即物质以母体自身的角速度持续随母体转动——要求母体向该物质提供额外的角动量，因为在更大距离上保持相同角速度意味着该物质具有更大的转动惯量。在没有外部力矩的情况下，这是既有角动量的重新分配：物质所得，即母体自转所失。

A.1.2从表面释放

我们首先考察经典情形：物质直接从快速自转母体的赤道放开。在参考状态中，周期为 $T_0=5.5$ 小时，赤道半径为 $a_0\simeq6{,}721$ km。因此，由于 5.5 小时等于 19,800 秒：

$$\omega_0=\frac{2\pi}{19{,}800}\simeq3.17333\times10^{-4}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$$

现在须在赤道处比较两种速度。第一种是自转本身赋予表面一点的速度 $v_{\mathrm{rot}}$：角速度乘以到轴的距离。第二种是圆轨道速度 $v_{\mathrm{circ}}$：在该距离上的自由天体以圆形持续绕地球下落所需的速度，此时其离心倾向与重力恰好平衡。

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega_0a_0\simeq2{,}133\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{a_0}}\simeq7{,}701\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$$

即使日长只有 5.5 小时，表面的运动速度仍不到该处轨道所需速度的三分之一。按本文原始参考计算的取整，速度差约为 5,568 m/s。这就是速度差距。

如果这样的物质被直接放开，它会沿什么轨道运动？在没有附加径向速度的情况下，比能（每千克的轨道能量，动能减去引力势能）和半长轴（所得椭圆长轴的一半）为：

$$\varepsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{GM_\oplus}{r}\simeq-5.70\times10^7\ \mathrm{J\,kg^{-1}}, \qquad A_{\mathrm{orb}}=-\frac{GM_\oplus}{2\varepsilon}\simeq3{,}495\ \mathrm{km}.$$

能量为很大的负值——物质被深度束缚——半长轴 3,495 km 约为母体赤道半径的一半。释放点是该椭圆的最远点，因此路径的其余部分全部深入母体之内。在这些初始条件下，开普勒轨道穿入母体：物质只是落回。因此，仅凭表面速度无法提供一条保持在母体之外的自由轨道。这是对分裂说的经典反对意见的核心：要在表面弥合差距，母体必须转快数倍，这需要远多于地月系统所拥有的角动量（§A.6.5）。

§A.2 中的数值保留了原始参考比较，其中使用的是最终地球质量的 GM。它们并非对整个初始母体精确引力场的计算。这一定义将复现的参考比较与 §A.6 中的总收支区分开来。

A.1.3所考察的转移条件

LEF 路径并不在表面放开物质。在所考察的情景中，物质在仍相连时上升并获得角动量，从而在向外移动时持续随母体转动。此时两种速度的变化方向相反。速度 $\omega r$ 随距离增大，因为每天转一周的点离得越远，所走的圆就越大——正如在旋转木马上向外走的孩子被带着转得越来越快。轨道速度 $\sqrt{GM/r}$ 则减小，因为重力随距离减弱，平衡它所需的侧向速度也随之减小。因此 §A.1.2 中的差距随物质上升而缩小，并在某一距离处闭合。

本文计算相等点以及转移的角动量代价；上升过程本身是另一个力学问题。Paper 3《LEF 机制的实践》考察输运能力与连接；详细的压力计算不在此处所给出的收支计算范围之内。轨道初始条件交由 Paper 4《轨道》处理。

A.2必须计算的内容

问题现在有了确定的形态。必须计算五个量：月球在何处释放，释放时的地球日长是多少，角动量是否足够，天体能否在潮汐下存续，以及此后它是否后退。

为何是 5.5 小时。起始自转并非随意选定；它由反向推演的角动量守恒得出。今天地月系统的全部角动量 $3.44\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$——地球自转与月球轨道之和——被归还给一个年轻、炽热、膨胀且仍处于分选早期阶段的地球的自转（计算输入为 $k=0.4$）。“膨胀”是指炽热的早期地球比今天冷却的地球稍大；“分选的早期阶段”是指地核的组织才刚刚开始，因此质量分布近乎均匀，均匀值 $k=0.4$ 能很好地描述它。把全部收支放入这样一个天体的自转，得到周期：$$T_0=\frac{2\pi I_0}{L}\simeq5.54\ \mathrm{h}.$$ 用文字表述：转动惯量为 $I_0$、携带角动量 $L$ 的天体以 $\omega=L/I_0$ 转动，其周期为 $2\pi/\omega$。此后太阳潮汐移除了系统约 1% 的角动量（若追踪后退中的月球则约为 1.35%；Eulenfeld & Heubeck 2023；Canup 2004）。因此 5.5 h 的周期携带了今天的角动量以及损失掉的约 1%：它略短于 5.54 h，因为早期系统所含的角动量略多。质量大几个百分点的年轻太阳只会使这一损失升至 1–2%。

A.2.1参考状态

对于 $GM_\oplus\simeq3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ 和 $T_0=5.5$ 小时，自转速度等于轨道速度的距离——共转半径，在 §A.5 中推导——以及该处的共同速度为：

$$\boxed{R_{\mathrm{sync},0}\simeq15{,}818\ \mathrm{km}, \qquad v_{\mathrm{sync},0}\simeq5{,}020\ \mathrm{m\,s^{-1}}.}$$

这是本文的核心数值。在 15,818 km 处，即母体赤道半径的两倍以上，每 5.5 小时随地球转动一周的天体已经以 5,020 m/s 运动，这恰好是该距离上的圆轨道速度。在那里保持共转然后被放开的天体，不需要任何额外的推动：它已经在轨道上。

该距离是在检验粒子近似下从中心天体的中心量起的，在这一近似中忽略了绕转天体自身质量对引力的贡献。把这一半径代入两个速度公式，可确认两者相等。

该推导是中心场运动方程的应用 [8]。若用完整的母体质量计算初始状态，则须在公式中代入 $M_{\mathrm{tot}}$。15,818 km 这一数值仍是表中所定义的参考；§A.4 中的耦合解明确包含了质量的分配。

A.3梨形体

共转半径远高于地表，因此必须有某种东西在物质持续随地球转动的同时把它带到那里。在模型中，这就是梨形体。该连接是从地球升起的一座丘体：在地表的基部宽约 9,000 km，侧面构成一条没有束腰的单一弧线，在月球处为宽 3,000 km 的接触面。它跨越地表与月球之间约 7,800 km 的距离，并完全位于共转线以内，因此受到向内的拉力：沿梨形体的每一处，重力都强于维持物质绕转所需的转动，因此梨形体自身的物质被地球束缚而不会飞离。只有位于其尖端的天体到达共转线。其长度和质量是一项要求：月球是完整地被释放的，因此必然存在一个满足这些条件的梨形体。梨形体如何构建、如何承受载荷，是 Paper 3 的主题。

图 1 按比例显示了各部分的比例关系：梨形体在地球上的宽阔基部、其侧面的单一弧线，以及位于尖端、中心在共转线上的月球。图中所用的 5.77 h 日长是释放时的日长，在 §A.4 中计算。

A.4 抵消：两个共同作用的过程

在计算释放时的地球日长之前，必须同时考虑两个以相反方向同时作用于地球自转的过程。这一点很重要，因为释放时的日长决定了共转线的位置，从而决定了月球在何处被放开。

1. 梨形体伸长。物质随自转向外移动并携带角动量；离开地球的角动量使地球自转减慢。在旋转木马上向外走的孩子以同样的方式使木马减慢。

2. 地核向心聚集。分异是指一个起初混合的天体按密度分成若干层：最致密的组分铁向中心下沉形成地核，较轻的物质留在其上方。在 LEF 模型中，地核的这种组织是一个连续过程：它在转移之前已经开始，在梨形体生长期间持续，在释放之后仍在继续。快速自转加速分异：铁向内下沉，地球的转动惯量减小，因为质量移向更靠近轴的位置。转动惯量减小而角动量不变，天体就必须转得更快。正如收拢双臂的滑冰者，自转加快。

角动量守恒，两个过程相互抵消：结果是二者之间的抵消。只考虑其中之一的计算无法描述那时的地球——仅有梨形体会给出过长的日长，仅有地核则给出过短的日长。

表格按行阅读。仅有梨形体时，日长会增加 0.94 h，共转线会向外推移约 1,750 km，因为自转越慢，自转提供轨道速度所需的距离就越大。向心聚集的地核收回 0.67 h。二者共同作用时，日长只增加 0.27 h，从 5.50 h 增至 5.77 h，共转线也只适度外移，至 16,331 km。

图 2 以图形方式显示同一平衡：梨形体增加的条形与地核减去的条形，以及二者之间的净结果。

图 3 追踪转移进行过程中的共转线。仅有梨形体时，共转线稳定地向外移动；地核同时向心聚集时，它保持在更接近起始位置的地方。

A.4.1 分异对终态的影响

质量向内集中会改变转动惯量。为检验这一点，对两个层界面、密度、形状和自转进行了联合计算。这是对敏感性检验的扩展，而不仅仅是在固定的均匀形体中替换 $k$：发生分异的天体其扁率也会改变，而扁率又反过来改变转动惯量，因此四者必须同时求解。界面允许偏离椭球形；文献中也讨论了分层系统中椭球假设的局限 [5]。

结构由两个数描述。体积半径比 $q$ 是内层半径除以整个天体的半径；$q=0.55$ 把界面置于略超过一半的位置，与现今地球的地核相当。密度比 $D=\rho_{\mathrm{inner}}/\rho_{\mathrm{outer}}$ 表示内层比外层致密多少：$D=1$ 为均匀天体，$D=2$ 为内层密度是外层两倍。$D$ 越大，靠近中心的质量越多，系数 $k$ 越小（对于 $q=0.55$ 和 $D=2$，$k=0.360$；§B.6）。对于体积半径比 $q=0.55$ 和密度比 $D$，检验粒子近似给出：

表格显示出一个稳定的趋势：随着 $D$ 从 1 增至 3，最终日长从 6.438 小时缩短至 5.274 小时，共转线从 17,569 km 向内移至 15,382 km。第一行 $D=1$ 是梨形体单独作用（无向心聚集）；$D=2$ 一行是 §A.4 的采用状态。在 $D=2.5$ 时，向心聚集的地核几乎恰好抵消了梨形体引起的减慢，日长回到大约其起始值。

终态结构中的分异可以抵消伴随转移而来的部分自转减慢。各行是可能的状态，而非随时间演化的序列。所有行对均匀母体使用相同的初始收支；它们并不证明集中的初始结构能够提供该收支。假设、完整扫描和收敛检验见附录 C 及与之关联的计算文档。

A.5 共转

本节推导全文所用的共转半径，并说明其适用范围。

图 4 绘出 §A.1.3 中的两种速度随到地心距离的变化。自转携带的速度呈直线上升；轨道速度则下降。在交点以内，自转提供的速度小于轨道所需，物质受到向内的拉力；在交点以外，自转提供的速度大于轨道所需，物质趋向外移。该交点就是共转线。

共转作用于质心，而非几何中心，因为重力与自转的平衡适用于整个天体，而整个天体的运动如同其质量集中于质心。由于月球的质心略向地球一侧偏移（今天约 2 km），共转力可能在其几何中心越过共转线之后稍晚才对其发生作用：几何中心先到达共转线，质心稍后到达；月球在其质心越过之后稍晚、约在共转线以外 210 km 处被释放（§D.3；Paper 3，§C.5a）。

A.5.1 推导

在检验粒子近似下、在赤道平面内和中心场中，自转携带的速度为角速度乘以距离；圆轨道速度由引力与使质量 $m$ 保持在半径 $R$ 的圆上所需的力相等求得：

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega R, \qquad \frac{GMm}{R^2}=\frac{mv_{\mathrm{circ}}^2}{R}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM}{R}}.$$

绕转天体的质量 $m$ 被消去：在给定距离上，一粒尘埃与一颗月球的轨道速度相同。令两速度相等得：

$$\omega R=\sqrt{\frac{GM}{R}} \quad\Longrightarrow\quad \omega^2R^3=GM.$$

解出 $R$，并记 $\omega=2\pi/T$：

$$\boxed{R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{GM}{\omega^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}}$$

该结果表明，共转半径只取决于中心天体的质量及其自转周期，并随周期的三分之二次方增长：自转越慢，共转线越向外推。这就是伸长的梨形体使共转线外移、而向心聚集的地核使其回移的原因（§A.4）。

对于正的、恒定的质量和角速度，存在唯一的正根。这是标准轨道力学中的同步轨道关系——也是使地球静止卫星位于今天地球上空的同一关系；新颖之处在于它在何处被评估。经典反对意见在母体表面评估速度条件；LEF 路径则在共转半径处评估它。

A.5.2 释放条件与适用范围

当径向速度为零且接触力消失时——即天体只作纯侧向运动、连接不再对其推或拉时——该等式对应赤道圆轨道。若存在附加速度，或从赤道以外释放，则须计算初始条件矢量。轨道细节属于 Paper 4；本文只在 §A.6 和附录 D 中保留角动量收支所需的修正。

到达共转并不抵消提升或角动量转移所需的功：速度条件在共转线处得到满足，但能量和角动量仍须在途中输送给物质。扁平母体的引力场、正在发育的天体的尺度以及二体引力，也对中心场描述施加修正。§A.4 中的解包含了一项特定的二体修正，但并非两个相互连接的变形形体的完整解。

A.5.3 该条件对释放的意义

§A.4 中的耦合解定义了一个收支终态：释放时刻有多少角动量在地球自转中、多少在月球轨道中。它本身并不决定从该状态开始后退的起点。附加的径向速度也不是持续后退的充分条件，因为它会改变偏心率（轨道的扁长程度）和潮汐。滞后模型与流变学（描述物质在载荷下如何变形和流动）必须相互一致 [3,4]。共转线两侧潮汐推动的方向在 §A.8 中阐述。

A.5.4 Paper 2 与 Paper 4 的分界

Paper 2 确定交给轨道检验的质量、自转和收支。Paper 4 处理轨道要素、倾角和释放后的演化。此处没有计算后退时间，也没有对共转半径以内自由轨道的一般性禁止。在相连的情景中，在自由天体方程不再适用之处，应以相连状态的方程代替自由天体方程：当月球仍通过梨形体相连时，它由连接所维系，并非自由天体。

A.6角动量收支

速度问题在共转半径处得到解决。§A.1.1 的第二个问题仍然存在：母体是否拥有足够的角动量，既能把月球送到那里，又能与我们今天所见的系统相符？本节逐步建立收支：母体的初始角动量、把物质向外移动的代价、与现今系统的比较、对周期、膨胀量和结构的敏感性，以及与经典分裂路径的比较。

A.6.1母体与初始收支

初始母体质量为 $M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m$。之后要转移的物质仍包含在其转动惯量之中。母体被描述为 Maclaurin 椭球体：稳定自转的均匀流体天体的平衡形状，两极扁平、赤道隆起，绕其轴对称。转得越快，就越扁。在均匀 Maclaurin 模型中，在表中的假设下得到 [1]：

$$I_0=\frac{2}{5}M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_0=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

第一行是赤道半径为 6,721 km 的均匀椭球体的转动惯量（$k=2/5$）；第二行将其乘以 5.5 小时日长的角速度。结果 $3.466\times10^{34}$ 就是该路径可资利用的全部角动量收支。形状方程和完整的代入过程保留在附录 B 中。均匀性是参考假设；结构的变化在下文检验。

A.6.2 基础计算中的转移代价

转移之前，月球物质是母体的一部分并随之转动，携带其在母体角动量中的份额。对于代表均匀质量分布的物质，其到轴的均方距离与母体相同，其份额为：

$$L_{0,\mathrm{mat}}=m\omega_0\left\langle r_\perp^2\right\rangle =\frac25m\omega_0a_0^2\simeq4.21\times10^{32}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.$$

其中 $\langle r_\perp^2\rangle$ 是物质到自转轴距离平方的平均值。一旦同一质量位于共转半径处并仍随母体转动，其角动量为：

$$L_{\mathrm{orb},0}=m\omega_0R_{\mathrm{sync},0}^2\simeq5.83\times10^{33}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

约大十四倍，因为到轴的距离增大了，而且以平方形式进入。二者之差必须由母体的自转提供。占全部收支的比例为：

$$\boxed{\frac{L_{\mathrm{orb},0}-L_{0,\mathrm{mat}}}{L_{\mathrm{initial}}}\simeq15.6\%.}$$

转移期间，母体角动量的约六分之一交给了物质。这就是在考虑向心聚集的地核之前，梨形体使母体自转减慢的量（§A.4）。

在基础计算中，赤道表面来源给出约 13.8%；在原半径一半处类似内部区域的代表性样本给出约 16.5%。来源之所以重要，是因为起初远离轴的物质已携带较多角动量，需要附加的较少。特定的内部来源需要其自身的均方距离。不得把“内部”一词理解为全局平均值必然适用。

A.6.3 与现今系统的比较

现在必须把母体的收支与地月系统今天所拥有的角动量相比较。现今总量由两部分组成：地球自转和月球轨道。从来源抄录的参考常数给出：

$$L_{\mathrm{spin}}=I_\oplus\omega_\oplus\simeq5.86\times10^{33},$$

$$L_{\mathrm{orbit}}=\mu_{\mathrm{red}}\sqrt{GM_{\mathrm{tot}}a_m(1-e_m^2)} \simeq2.855\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

其中 $a_m=3.844\times10^8$ m，$e_m=0.0549$。第二个公式是两个天体绕共同质心运行的轨道角动量：$\mu_{\mathrm{red}}=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ 是约化质量，$a_m$ 是月球轨道的半长轴，$e_m$ 是其偏心率。各分量大小之和约为 $3.441\times10^{34}$，其中约 83% 属于轨道：系统的大部分角动量如今位于月球轨道中，而非地球自转中。母体收支相对于大小之和的盈余约为 0.7%。母体所含的角动量略多于系统今天所含的，这正是太阳潮汐小幅损失所要求的符号（§A.2）。

自转角动量和轨道角动量都是矢量，且方向不同：地球自转轴相对月球轨道平面是倾斜的。若两矢量之间的夹角为 $\theta$，则总大小为：

$$L_{\mathrm{vec}}=\sqrt{L_s^2+L_o^2+2L_sL_o\cos\theta}.$$

两支成一定角度的箭头相加，其总长短于首尾相接，因此矢量总和小于标量和，母体相对它的盈余就更大。对于检验角 18.3°、23.4° 和 28.6°，得到的盈余约为 1.46%、1.92% 和 2.51%。这些角度用作敏感性检验；此处未选定观测历元，也未计算完整的矢量历史。月球现今的自转很小，但其早期自转较大，二者必须区分开。

盈余取决于母体的均匀程度。在形体固定的条件下改变 $k$，相对于标量和得到的阈值约为 0.397，相对于矢量范围约为 0.390–0.394：若 $k$ 低于该值，母体的收支将不及今天。现今已分异的地球其 $k$ 约为 0.33，远低于阈值，因此该路径要求母体在转移开始时仍处于分选的早期阶段；这一要求列于 §D.3。这是一个敏感性条件，而非分层 Maclaurin 解族。正的盈余意味着本检验未发现角动量亏缺，但要与向太阳损失的速率相匹配，还需进一步计算。

A.6.4 对周期与膨胀量的敏感性

初始日长越短，角动量越多；更大（膨胀更多）的母体转动惯量更大，在更长的日长下拥有同样的角动量。因此，允许的初始周期取决于采用的膨胀量。在参考模型中，4.90–5.54 小时的窗口指的是初始周期以及采用的收支与损失条件：在 5.54 小时时母体恰好拥有今天的角动量，在 4.90 小时时则多出约 15%，即采用的向外损失极限。其上限不得应用于角动量转移后的最终周期，后者按设计更长（§A.4）。附录 B 保留了原始敏感性表格，并区分了采用的膨胀量与尚未进行的热计算。

图 5 可作为允许起始状态的图谱来阅读。横轴是炽热母体相对其冷却半径的膨胀量；纵轴是其日长。位于实线上方的起始状态所含角动量少于今天的系统，因而被排除；位于虚线下方的状态多出 15% 以上，超过外部损失所能移除的量。二者之间的条带是允许的，且向右上升，因为更大的母体在更长的日长下拥有同样的角动量。参考状态——5.5 h、膨胀 120 km——位于条带之内，紧靠上限之下。

A.6.5 平衡形体的比较

现在可以准确地定位对分裂说的经典反对意见。在经典路径中，整个地球必须转得如此之快，以致失稳并分裂。均匀的自转流体随角动量增大而经历一个已知的形状序列。起初它是 Maclaurin 椭球体（§A.6.1），扁平但赤道为圆形。在某一确定的扁率处分出第二个族：Jacobi 椭球体，其赤道不再是圆而是椭圆，因此天体变得细长，如同首尾翻转的橄榄球。沿 Jacobi 序列再往前是一个梨状形体，经典分裂被认为由此进行。这些点中的每一个都需要确定的自转和确定的角动量。

在从 Maclaurin 到 Jacobi 的经典分岔点，取 $e\simeq0.81267$ 和 $\omega^2/(\pi G\rho)\simeq0.37423$，对于采用的质量和体积得到 $T\simeq2.73$ 小时、$a\simeq7{,}802$ km，角动量约为 $9.42\times10^{34}$，与现今总和之比约为 2.74 [1]。其中 $e$ 是子午截面的偏心率（球体为零，非常扁的天体趋近于一），$\omega^2/(\pi G\rho)$ 衡量自转相对天体自身引力的大小。简而言之：仅仅为了到达经典路径的第一步，地球就需要不到三小时的日长，以及几乎三倍于地月系统所拥有的角动量。

这是与该经典路径上一个确定构型的比较。原始参考计算中的 4.08 这一数值指的是 Maclaurin 序列上的另一点——最大 $\Omega$ 点，而非 Jacobi 分岔——并不作为普适界限给出。它是“分裂需要约四倍过多的角动量”这一常见说法的来源。梨状点的 3.5 这一数值未予采用，因为对该表格的核验尚未完成。

差异的原因在于评估速度条件的位置。经典路径要求母体表面达到轨道速度（§A.1.2）；这迫使母体趋向瓦解，而瓦解的代价是可用角动量的数倍。LEF 路径从不使用该条件：物质在共转中被带出，速度匹配在共转半径处实现（§A.5），在那里每 5.5 小时转一周的母体已经提供轨道速度。在那里评估，所需的量降至母体实际拥有的收支。这是通向同一结果的两条路径之间的比较：经典路径需要现今收支的 2.74 倍；本路径需要 1.007 倍。

A.6.6 偏离赤道释放的矢量修正

到此为止，均假定物质在赤道平面内离开。在赤道以外，自转矢量与轨道角动量必须在同一参考系中求和，因为在某一纬度释放的天体其轨道相对自转是倾斜的。设 $S=I\omega$ 为自转角动量，$H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda$ 为被释放天体的轨道角动量，其中 $\lambda$ 是释放点相对赤道平面的角度。对于附录 D 中定义的几何：

$$\boxed{L_0^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.}$$

这与 §A.6.3 中两支成一定角度的箭头相加的规则相同：初始收支必须等于自转与倾斜轨道的矢量和。

在相对最终自转轴 $\lambda=25^\circ$、结构均匀的示例中，双质量耦合计算给出最终周期 6.220 小时、参考距离约 17,240 km、轨道角动量约为收支的 15.83%。25° 这一数值是敏感性检验，考察偏离赤道的释放使收支改变多少；采用的释放纬度——接触面的中心——为 22.5°（Paper 4）。这是对收支的敏感性修正，而非新采用的参考值。倾角和偏心率的推导、近地点以及释放后的演化交由 Paper 4 处理。

A.6.7收支判定条件

该检验需要一致的初始状态、终态和外部转移：

$$\mathbf{L}_i=\mathbf{L}_f+\Delta\mathbf{L}_{\mathrm{external}}.$$

该方程是以账目形式写出的角动量守恒：系统起初所有的，等于它现在所有的加上从外部移除的（对地月系统而言主要由太阳潮汐移除）。数值平衡的闭合证明了所定义各状态之间的一致性。若在结构和外部转移的可支持范围内找不到匹配，将排除这一收支情景。匹配并不证明天体在力学上如何到达终态；那是 Paper 3 的主题。

因此收支情况如下：5.5 小时的母体所含角动量略多于今天的系统，转移消耗其约六分之一，而经典路径则需要 2.74 倍之多。

A.7洛希极限

到达共转半径的天体还必须在那里保持完整。在大质量母体附近，母体对天体近侧的引力强于对远侧的引力；这一差值即潮汐力，倾向于把天体拉散。洛希极限是这样一个距离：在此距离之内，这种拉伸超过维系天体的自身引力。仅靠自身引力维系的天体不能在其中保持完整。

A.7.1两个参考极限

对于 $\rho_s=2{,}600\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ 和离开后的母体质量：

$$d_{\mathrm{fluid}}=2.44\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq19{,}971\ \mathrm{km},$$

$$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq10{,}314\ \mathrm{km}.$$

（较早的版本给出 10,313 km；二者在取整范围内相同，本系列使用 10,314 km。图 1、6、8 和 9 将流体极限标为 19,972 km，在取整范围内为同一数值。）括号内的项是一个具有地球质量、却具有卫星密度的球体所应有的半径；极限是它的固定倍数。两个公式只在该倍数上不同，而原因是物理性的。流体近似涉及一个会变形的天体：它被拉伸时朝母体方向伸长，近端与远端相距更远，跨越它的潮汐差增大，于是更早瓦解——因此流体极限位于更远处。所谓刚性近似忽略形状的变化：天体保持其圆形，跨越它的潮汐差较小，因而能在更近处存续。它不包含任何壳层厚度或物质强度 [1]；它是一个仅靠自身引力维系、只是不改变形状的天体。基础半径和两个耦合半径位于这两个极限之间：在流体极限以内，在刚性极限以外。因此，仅有壳层的存在并不能证明存续；存续取决于天体在其停留于该处的时间尺度上是否表现为刚性。

洛希极限随天体密度增大而向内移动，因为更致密的天体能更牢固地维系自身。约 4,700 kg/立方米的密度会使流体极限移至约 16,400 km 的释放距离；对于释放时的刚性天体，适用的是刚性极限（§B.7）。这是在洛希近似下计算的要求，并非天体达到该密度的证据，也不是对全部稳定性要求的解答。

A.7.2 加速度比较的启示

基本的比较是母体引力梯度与自身引力之间的比较：

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3},\qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

第一个量 $\Delta a$ 是母体在天体中心与在其表面（近 $R_s$ 的距离）处引力之差；它随距离 $r$ 的三次方急剧减小。第二个量 $g_s$ 是天体自身维系其物质的表面重力。当第一个量小于第二个量时，天体自身的引力占优。采用附录 E 的参考数据，该比值小于 1（在 15,818 km 处约为 0.277）。这是衡量载荷的有用指标，但形状变化和自转未包含在该比值中。静态洛希极限提供了比较的基础；在偏心轨道中的响应还可能取决于变形历史 [9]。

A.7.3仍有条件的部分

共转半径并不是强度阈值：到达它解决的是速度问题，而非存续问题。天体和连接的性质在 Paper 3 中考察，释放后的轨道在 Paper 4 中考察。Paper 2 不采用洛希区域内具有约束力的停留时间，也不采用普适的黏度阈值。比较应使用所选轨道的最近距离，而不仅仅是释放距离。将各项检验分配给不同论文并不消除存续的要求。

图 6 将释放时的月球与两族极限对照。整个密度范围的刚性极限都远在月球位置以内；流体极限则在其以外。因此释放时的月球作为刚性天体是安全的，其扁化与圆化早在它仍相连时便已完成（§B.7；Paper 7）。

A.8潮汐演化的方向

A 部分的最后一个问题是释放之后发生什么：月球是远离地球还是落回？答案取决于它位于共转线的哪一侧。

A.8.1 角动量转移的方向

对于顺行、圆形、赤道轨道，我们比较母体的自转与平均运动——绕转天体绕母体运行的角速度：

$$n=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}.$$

绕转天体在母体上引起潮汐隆起。当 $\omega>n$ 时，母体转得比天体绕转更快，其自转把隆起带到天体前方；隆起向前拉动天体，赋予其角动量，天体向外爬升，而母体的自转减慢。用潮汐方程的语言说，母体中的耗散潮汐贡献把角动量从其自转转移到轨道。当 $\omega<n$ 时，天体超过隆起，隆起把它向后拉，方向随之反转：天体失去角动量并向内螺旋。在精确的圆形同步状态下，相关贡献为零：隆起正好位于天体下方，既无向前也无向后的拉力。由于 $n$ 随距离减小而 $\omega$ 不变，在共转半径以外 $\omega>n$ 成立，在其以内 $\omega<n$ 成立。因此共转线是一道分水岭：在其外侧稍远处释放的天体从一开始就被向外推。推广到具有倾角和偏心率的轨道，需要相应的潮汐方程 [2,3]。

图 7 显示这道分水岭在现今太阳系中的作用。火星有两颗小卫星，分处其同步半径的两侧：内侧的 Phobos 正被向内拉；外侧的 Deimos 正在远离。释放时的地月情形，就是把同一规则应用于位于共转线外侧稍远处的月球。

A 部分完成后，问题已得到完整界定：在共转半径处闭合的速度差距，到达该半径的梨形体，由两个相反过程决定的释放时日长，必须与今天系统相闭合的收支，天体必须通过的洛希检验，以及决定其此后方向的潮汐分水岭。B 部分以一个计算回答这些问题。

A 部分陈述了条件；本部分表明，一组单一而一致的数值同时满足所有条件。这一点很重要，因为每个条件单独来看通常可以通过调整一个参数来满足，而用同一个地球、同一个月球和同一自转满足所有条件，是对该路径强得多的检验。

B.1计算

输入。初始地球日长 $T_0=5.5$ h（§A.2）；均匀、膨胀的母体，体积半径 6,517 km，密度 5,214 kg m$^{-3}$（赤道 6,721 km，极 6,128 km）；月球：一个月球质量 $m=7.35\times10^{22}$ kg，密度 2,600 kg m$^{-3}$。“均匀”是指母体在开始时被视为密度均匀，这是对仍处于分选早期阶段的母体的计算输入；“膨胀”是指它是炽热的，因而比同等质量的冷却地球稍大（§A.2）。赤道半径与极半径不同，是因为每 5.5 h 转一周的天体在赤道隆起、在两极扁平。

从 A 部分到释放状态，逐步推演。释放状态由 A 部分的过程经五个步骤得出。下表汇集了这些步骤；各行自上而下阅读，底色表示每一步的方向：红色表示使地球减慢、使共转线外移的步骤，蓝色表示使地球加快、使共转线内移的步骤。

1. 起点。日长 5.5 h 的母体其共转线位于 15,818 km（§A.2.1）。共转线是这样一个距离：随地球一同转动的天体在此已经以自由圆轨道的速度运动。

2. 梨形体使地球减慢。随着梨形体伸长，物质在仍随地球转动的同时向外移动，并携带角动量。角动量是天体的“转动量”，即其质量乘以速度再乘以到轴的距离；在没有外部力矩时其总量守恒。随物质离开的角动量取自地球的自转，因此地球转得更慢：仅这一步就会使日长从 5.50 h 增至 6.44 h，并使共转线外移至 17,569 km（§A.4）。

3. 组织中的地核使地球加快。与此同时，铁向中心下沉。这降低了地球的转动惯量——衡量其质量离轴多远的量——而且如同收拢双臂的滑冰者，地球转得更快。当地核密度是其上方地幔的两倍时（$D=2$），这一步从日长中减去 0.67 h。

4. 净结果。两个步骤共同作用并部分抵消：释放时的日长为 5.77 h，把月球视为检验粒子时共转线位于 16,331 km，在下述二体公式中计入月球自身质量时则为 16,399 km。我们使用二体值，取整为约 16,400 km。

5. 释放。当月球的质心到达这条线时，月球开始分离。它是被自转带到那里的，而不是被抛出的：在该距离上，它作为转动系统的一部分已有的速度就是自由轨道的速度，因此不需要额外的推动（§B.2）。

这些步骤的定量内容如下。

1. 释放时的地球日长。伸长的梨形体与向心聚集的地核共同作用（§A.4）；当 $D=2$ 时，$$T=5.77\ \mathrm{h},\qquad \Omega=\frac{2\pi}{T}=3.025\times10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}.$$ 其中 $T$ 是日长，$\Omega$ 是自转角速度，即每秒转过的弧度。日长只比起始的 5.5 h 长约一刻钟，因为下沉的铁所带来的加速抵消了梨形体造成的大部分减慢。

2. 释放点。当月球的质心到达共转线时，月球开始分离：$$r=R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{G\,(M_\oplus+m)}{\Omega^{2}}\right)^{1/3}\simeq16{,}400\ \mathrm{km}.$$ 这是 §A.5.1 中针对二体写出的共转公式：$G$ 是引力常数，$M_\oplus$ 是地球质量，$m$ 是月球质量。用文字表述，它给出唯一的距离，在此距离上圆轨道运行一周所需的时间恰好等于地球转一周的时间。正是在公式中计入 $m$，使 16,331 km 变为 16,399 km。该值约为今天地球半径的 2.6 倍。取 $R_m=\left(\tfrac{3m}{4\pi\rho}\right)^{1/3}=1{,}890$ km，近点距地心 14,509 km，远侧距地心 18,289 km。$R_m$ 是密度为 2,600 kg m$^{-3}$ 的一个月球质量球体的半径；在中心的 16,400 km 上减去和加上它，即得月球沿地月连线的范围。

3. 释放时的地球（Maclaurin，均匀）：$$\frac{\Omega^{2}}{\pi G\rho_\oplus}=\frac{2\sqrt{1-e^{2}}\,(3-2e^{2})}{e^{3}}\arcsin e-\frac{6(1-e^{2})}{e^{2}} \quad\Rightarrow\quad a=6{,}701\ \mathrm{km},\ c=6{,}165\ \mathrm{km}.$$ Maclaurin 椭球体是稳定自转的均匀流体天体的平衡形状：两极扁平的球体。该方程将自转（左侧，$\rho_\oplus$ 为地球平均密度）与偏心率 $e$ 联系起来，后者是衡量扁率的数（球体为 0，扁平圆盘趋近于 1）。对 5.77 h 的自转求解，得到赤道半径 $a$ 和极半径 $c$。因此释放时的地球仍明显扁平，但略逊于 5.5 h 的母体（6,721 和 6,128 km），因为它现在转得稍慢。地球赤道表面与月球之间的间隙约为 7,800 km：月球近点的 14,509 km 减去 6,701 km 的赤道半径。这就是梨形体必须跨越的距离（§A.3）。

4. 角动量。$$L_0=k_0Ma_0^{2}\Omega_0=3.466\times10^{34},\qquad L=I_\oplus\Omega+\mu\,\Omega\,r^{2}.$$ 第一个表达式是母体的起始收支（§A.6.1，单位 kg m$^2$ s$^{-1}$）：转动惯量系数 $k_0$（均匀天体为 0.4）、质量、赤道半径的平方和初始自转。第二个表达式将释放时的同一收支分为两部分：地球自转 $I_\oplus\Omega$，其中 $I_\oplus$ 是其转动惯量；月球轨道 $\mu\Omega r^2$，其中 $\mu=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ 是二者的约化质量，$r$ 是释放距离。释放时，月球轨道拥有 $5.9\times10^{33}$（17%），地球自转拥有 $2.88\times10^{34}$；系统拥有今天数值的 1.007 倍（较早的版本给出 1.008，源于将今天的总量取整为 $3.44\times10^{34}$；采用 §A.6.3 的 $3.441\times10^{34}$ 则为 1.007，即全文所用的数值）。$5.9\times10^{33}$ 定义为二者绕其共同质心的轨道角动量 $\mu\Omega r^2$，约化质量 $\mu=7.26\times10^{22}$ kg，赤道上 $r=16{,}399$ km。若像 Paper 3 那样以地心为中心计入完整的月球质量 $m$，同一状态给出 $6.0\times10^{33}$；对于在 22.5 处释放（$r=17{,}287$ km，Paper 4），此时月球在距自转轴 $r\cos22.5^\circ=15{,}971$ km 处转动，同样的计算给出 $5.7\times10^{33}$（Paper 3）。17% 是转移的代价：原始转动中从地球自转移入月球轨道的份额。总量为今天的 1.007 倍，略高于现今数值，这正是所要求的符号，因为此后太阳潮汐已移除了系统约 1% 的角动量（§A.2）。

图 8 按比例绘出这一状态。它显示释放时月球离地球仍然多么近：约 7,800 km 的间隙由 §A.3 的梨形体跨越。

我们现在得到了一个完整的释放状态：地球的日长和形状，月球的位置和大小，以及二者之间角动量的分配。以下各节将这一状态与 A 部分的每个问题逐一核对。

B.2速度差距

§A.1 的问题是：从 5.5 h 地球表面释放的物质以约 2,133 m s$^{-1}$ 运动，远低于圆轨道的 7,701 m s$^{-1}$，差距约为 5,568 m s$^{-1}$。该差距随距离闭合，因为自转携带的速度随距离增大，而轨道速度随距离减小。在共转线上，自转恰好赋予月球轨道速度，$$v=\Omega r=\sqrt{\frac{G(M_\oplus+m)}{r}}\approx4{,}960\ \mathrm{m\,s^{-1}},$$ 因此不再有差距（§A.1，§A.5）。左侧是在距离 $r$ 处随地球转动的一点的速度；右侧是同一距离上自由圆轨道的速度；在共转线上二者相等。该值略低于 5.5 h 参考的 5,020 m s$^{-1}$（§A.2.1），因为稍慢的地球把共转线置于更远处，那里的轨道速度更低。日常的比喻是旋转木马上的孩子：她坐得离中心越远，运动就越快，而无需任何人推她。

B.3梨形体

梨形体跨越约 7,800 km，并完全位于共转线以内；月球在其质心到达共转线时被释放（§A.3；释放机制见 Paper 3《LEF 机制的实践》）。由于梨形体位于共转线以内，转动参考系中的净力把它拉向地球（§B.5）：它留在地球一侧，而中心位于共转线上的月球则可自由分离。这就是月球完整离开、而连接并不随之而去的原因。

B.4抵消

该计算同时考虑了两个过程：地球日长 5.77 h，共转线 16,331 km（§A.4）。16,331 km 是 §B.1 第 4 步的检验粒子值；计入月球自身质量则得到 16,399 km，即约 16,400 km，用作释放点。仅考虑梨形体的计算会给出 6.44 h 和 17,569 km，仅考虑地核的计算则会给出过快的地球；只有二者共同作用才能描述那时的地球。

B.5 共转

月球的质心在约 16,400 km 处到达共转线；越过之后，共转把月球向外拉，月球随即被释放：$$a_{\mathrm{net}}=\Omega^{2}r-\frac{GM_\oplus}{r^{2}}.$$ 这是在转动参考系中观察到的、在距离 $r$ 处随地球转动的物质所感受的净加速度。第一项是自转产生的向外（离心）加速度，随距离增大；第二项是地球的重力，随距离减小。在共转线以内重力占优，$a_{\mathrm{net}}$ 指向内侧，这就是梨形体被束缚在地球上的原因；在共转线上二者平衡；越过它之后自转占优，物质被向外拉。月球的质心一越过共转线，整个天体便被拉离地球，随之分离。

图 9 放大了分离开始的时刻。共转线穿过月球中心；月球的近半部仍在线内，远半部在线外。

B.6 角动量

系统拥有今天角动量的 1.007 倍。释放时，由地球剩余的自转角动量所推得的地球转动惯量系数为 $k=0.355$；具有 $q=0.55$ 和 $D=2$ 的两层结构给出 $$k=\frac{2}{5}\,\frac{(1-q^{5})+Dq^{5}}{(1-q^{3})+Dq^{3}}=0.360.$$ 系数 $k$ 描述质量的分布方式：均匀球体为 0.4，质量向中心聚集时更低（今天的地球约为 0.33）。0.355 是地球在释放时为使其 5.77 h 的自转承载剩余的 $2.88\times10^{34}$ 所必须具有的数值。该公式为两层地球计算 $k$：内层延伸至半径的 $q$ 比例处，密度为外层的 $D$ 倍。取 $q=0.55$ 和 $D=2$，得到 0.360，接近所需的 0.355。因此，释放状态所要求的角动量与下沉的铁所形成的结构彼此相符。不需要来自外部的大碰撞，也不需要后来移除角动量；高角动量碰撞模型的起点约为今天数值的 2–3 倍。该路径以地月系统今天所拥有的角动量，加上此后被太阳潮汐移除的约 1%，闭合了其收支。

B.7洛希极限

洛希极限是这样一个距离：在此距离之内，大天体的潮汐拉力——即其引力在小天体近侧与远侧之间的差值——超过小天体自身的引力，并能将其拉散。两种经典形式给出其界限：$$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3},\qquad d_{\mathrm{fluid}}=2.44\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3}.$$ 刚性形式适用于保持形状的天体；流体形式适用于自由变形、因而被潮汐进一步拉伸的天体。在二者中，$\rho$ 都是小天体的密度：密度越大，它能靠得越近。月球中心位于 16,400 km，远在刚性极限之外（1,300–3,344 kg m$^{-3}$ 时为 9,484–12,994 km）。对于 2,600 kg m$^{-3}$ 的天体，同一距离位于流体极限之内（19,971 km，§A.7.1）；因此适用哪一个极限，取决于月球在释放时是否为刚性。圆化在释放之前已经完成；天体是刚性的、圆的。月球天体的扁化以及其后的圆化发生得更早，在它仍相连时进行（Paper 7《极区》）；离开共转线的是一个具有刚性外壳的天体。刚性天体使潮汐响应减小 $$\frac{1}{1+\dfrac{19\mu}{2\rho gR}},$$ 倍，因此当 $\mu\ge10$ GPa 时，轴比至多为 1.04。其中 $\mu$ 是天体的刚度（剪切模量），$g$ 是其表面重力，$R$ 是其半径；$\rho gR$ 是天体自身重量的压力。该因子表明，刚度远大于自身重量压力的天体，其变形只有流体天体的一小部分。轴比至多为 1.04，意味着月球的最长轴比最短轴长不超过 4%：天体保持圆形。

B.8潮汐演化的方向

月球在共转线上被释放，潮汐把角动量从地球自转转移给它：它后退（§A.8；轨道见 Paper 4《轨道》）。恰在共转线上时潮汐效应是中性的，因为地球转一周的时间与月球绕转一周的时间相同。分离本身把月球的质心带到共转线以外约 210 km 处，此时月球的一半多一点已越过该线（§D.3 的余量 $\Delta r\simeq2d_0$）；在那里地球自转快于月球绕转，地球上被引起的潮汐隆起超前于月球，把它向前拉，月球向外移动。这正是 Deimos 今天所在的分水岭一侧（图 7）。

越过共转线多远。越过共转线的距离相对于释放半径很小，但它决定了第一条轨道的形状。在共转线上，月球恰好携带圆轨道的速度；越过它之后则稍多一些，因此释放点成为一条略微拉长的轨道的最近点，其偏心率 $e_0$ 随该距离增大。下表在 22.5° 的释放纬度上追踪这一点，该处共转线位于 17,287 km，日长为 5.77 小时；初始轨道来自 Paper 4 的公式（附录 A），最终角度来自 Paper 4 的简化 tan 定律（D 部分）。“已越过”是释放时月球体积中位于共转线以外的份额。

表 B.8. 在 22.5° 释放：随释放点移至共转线以外，初始轨道与简化定律的最终角度（Paper 3，§C.5a）。深蓝色随最终角度加深；绿色标示观测值 5.145°，即采用的释放。

恰在共转线上释放得到圆轨道，而潮汐把圆轨道作为圆轨道向外推移；因此月球现今的偏心率要求释放发生在其质心越过之后稍晚。在约 210 km 处，简化定律给出观测到的倾角，而 Paper 3（§C.5a）表明，对于炽热的年轻月球，同一偏移给出今天 0.0549 的偏心率；本系列采用这一释放。Paper 3 给出偏心率表以及对尖端纬度的敏感性；Paper 4 的完整积分将释放状态贯穿于整个历史。

我们现在得到的是：§B.1 的释放状态以一组数值满足了 A 部分的全部七个问题。

C.1 已证明的内容

下表将 A 部分的每个问题与 B 部分给出的答案配对。按行阅读；每个勾号表示 §B.1 的释放状态无需单独假设即满足该问题。

本部分将本文的主张、每项主张的检验方式以及该路径对其机制的要求集中于一处，使这些内容在此可查，而不是散布于全文。

D.1核心主张与检验

下表列出五项核心主张。第一列为每项主张的名称并说明其性质；第二列为其假设和预测；第三列为其检验方式。

用通俗的话说，各项主张如下。

• 共转。主张是：在共转线上，自转所给的速度等于轨道速度。情景所需的修正（扁平地球的引力场、月球的尺度、两个天体之间的引力）均以该等式为基准加以检查。

• 角动量闭合。主张是：$3.466\times10^{34}$ 的起始收支足以实现约 16,400 km 处的释放。释放前的收支通过结构和太阳潮汐损失与释放后的收支相匹配。

• 对结构的敏感性。主张是：下沉的地核以计算所得的方式改变日长和共转线（§A.4.1）。计算对所扫描的每一种结构都收敛于一个解。

• 非赤道角动量。主张是：偏离赤道的释放只以计算所得的矢量修正改变收支（§A.6.6）。所有矢量在同一参考系中求和。

• 存续。主张是：月球在释放时能在地球潮汐下存续。这在后续论文中检验。

这些主张并非都是独立的观测预测：有些是物理恒等式，有些是一致性检验，有些是对机制的要求。这一区分保留在附录 F 的新颖性图谱中。恒等式（例如共转公式）在输入正确时不可能出错；一致性检验核对数值是否闭合；要求则是后续论文必须满足的条件。

D.2本工作的新颖性

共转公式、Maclaurin 形体、角动量守恒和洛希极限都是已有的物理学。本工作考察它们在相连转移条件下的联合应用，对质量、形状和自转的变化进行一致的计算，并给出敏感性范围。“相连转移”是指物质始终与地球相连并随之转动，直至到达共转线，而不是从表面发射出去；在这一释放条件下，对分裂说的经典反对意见——收支大了数倍——不会出现（§A.6.5）。完整的历史优先权主张需要附录 F 中的前人工作核查；数值复现的成功并不证明优先权。

D.3假设与要求

支撑论证的假设和要求集中于此，以免在每个结果旁重复。每一行给出采用或要求的数值。

有几行需要稍作说明。热膨胀是炽热的年轻地球比冷却地球大出的量；6,495 km 是允许范围下限（膨胀 98 km）对应的体积半径。释放条件的含义如下。恰在共转线上释放的天体处于潮汐中性状态；一旦位于共转线之外，潮汐就把它向外推，因此月球从一开始就后退（Paper 4，§B.2）。分离使质心位于共转线以外，余量为 $\Delta r\simeq2d_0$，其中 $d_0$ 是连接的厚度尺度（附录 E，E47 行）；该余量约为 210 km，$d_0\approx105$ km，由 Paper 3 §C.5a 的释放距离搜索确定（较早的版本给出约 100 km）。收支比较以两种方式进行：将自转角动量与轨道角动量作为单纯的大小相加（标量），得到 0.7% 的盈余；作为成一定角度的矢量相加，得到 1.5–2.5%（较早的版本给出 1.5–2.6%；所检验的三个角度中最大者给出 2.51%）；标量和为基准，矢量和为敏感性检验（§A.6.3）。

前三行是带有窗口的采用值；接下来两行是该路径对 Paper 3 提出的要求；最后两行是本文自身进行的核查。这七项中没有一项隐藏在结果之中，也没有一项是陈述共转半径所必需的——共转半径仅由母体的质量和自转得出。

一个月球大小的天体可以由地球自身的物质进入轨道，而无需来自外部的大碰撞。快速自转的地球提供速度；梨形体将地球与共转线相连；伸长的梨形体与向心聚集的地核共同把释放时的地球日长定为 5.77 h；刚性而圆的月球在其质心于约 16,400 km 处到达共转线时被释放；角动量收支在今天数值的 1.007 倍处闭合，与太阳潮汐造成的损失一致；月球自释放之时起即后退。

归结为一条链：地球的自转把物质向外携带；携带速度等于轨道速度的那条线决定月球在何处离开；梨形体与地核的平衡决定那条线的位置；而地球起初拥有的角动量是足够的，还留有约 1% 的余量供太阳日后移除。

E.1保留的早期结论

本文早期版本的下列结论依然有效，连同其原始参考值保留于此。

1. 释放条件决定速度检验；从表面直接释放与在共转中转移是不同的初始条件。表面释放留下速度差距（§A.1.2）；共转转移则不留任何差距（§B.2）。

2. 原始参考值在 5.5 小时周期及为其设定的质量定义下约为 15,818 km。它是转移开始前的共转线；约 16,400 km 的释放值是梨形体与地核发挥作用之后的共转线（§B.1）。

3. 附加给物质的角动量在基础计算中约为 15.6%，在耦合解中约为 16.5%；约 17.7% 是检验粒子近似下、仅考虑梨形体的耦合状态（$D=1$，6.44 h，17,569 km）的最终轨道角动量；在 $D=2$ 的释放状态中，月球轨道拥有约 17.0%（§B.1）。这三个百分比衡量的是不同的量：前两个是物质在转移期间必须获得的角动量（§A.6.2）；第三个是终态时月球轨道所占的收支份额。

4. 内部结构和矢量几何会影响结果，因此作为敏感性检验纳入，而不是作为实测的过去数值。

5. 共转提供速度和收支。共转之外的力学分离、持续后退以及在洛希区域内的存续，是该路径对其机制提出的三个条件；它们汇集于 §D.3。

后续工作——研究方向

本文的计算为后续工作确定了输入，其他研究团队具备开展这些工作的条件。每一项都指明本文未进行的一项计算，以及本系列中将使用其结果的论文。

1. 分层 Maclaurin 问题。耦合终态（§A.6.2）使用的是转动惯量系数可变的均匀形体。对铁在下沉的母体进行 Clairaut–Darwin–Radau 处理，可自洽地给出向心聚集地核情形下的共转半径（在 $D=2$ 时约为 16,300–16,400 km），并为 Paper 4 提供其起始轨道。Clairaut–Darwin–Radau 方法是计算密度向内增大的自转天体形状的标准方法；它将以一个追随下沉之铁的形状取代此处所用的均匀形状。

2. 早期地球的耗散。从约 2.6 个地球半径（16,400 km；在较早的仅梨形体、6.44 h 状态中为 2.8 个地球半径）开始的后退由 $k_2/Q$ 及其历史决定；现今数值是异常的。其中 $k_2$ 衡量地球在潮汐下变形的程度，$Q$ 衡量其耗散的潮汐能量的多少；二者之比决定月球后退的快慢。从释放时 5.77 小时的日长（而非较早仅梨形体状态的 6.4 小时日长）出发运行的海洋共振模型，将给出 Paper 4 所需的速率函数。

3. 母体的热膨胀。此处采用的 120 km（允许范围 98–520）是根据岩浆洋深度和熔体膨胀所作的估计；对炽热、富含挥发分的早期地球进行状态方程积分，将确定这一数值，并随之确定自转窗口。

4. 后退的开始。恰在共转线上释放的天体处于潮汐中性状态：地球转一周的时间等于天体绕转一周的时间，潮汐既不把它向外推，也不把它向内拉。一旦天体位于共转线之外，潮汐就把它向外推，因此月球从一开始就后退（§B.8；Paper 4，§B.2）。分离使质心位于共转线以外，释放余量为 $\Delta r\simeq2d_0$，约 210 km（§D.3，§E.1）。从 Paper 3 的释放状态出发、在两个天体中均采用频率相关流变学的潮汐积分，将确定该余量的范围以及最初后退的速率。“频率相关流变学”是指每个天体对潮汐的屈从方式取决于潮汐变化的快慢。

5. 在流体洛希极限之内的存续。附录“加速度与应变的估计”中的数量级应变估计并非变形解。对距地球约 16,400 km、1,890 km 的刚性天体，在其停留于该处的 $10^1$–$10^3$ 年间进行黏弹性计算，将取代该估计。黏弹性计算把天体在短时间内视为弹性的，在长时间内视为缓慢流动的，这正是具有刚性外壳的炽热天体的行为方式。

6. 经典路径。Jacobi 分岔处的因子 2.74 已经计算；沿 Jacobi 序列的梨状点需要核验表列数值，针对此质量和密度对该序列进行现代计算可以解决这一问题。Jacobi 序列是快速自转的流体天体越过 Maclaurin 形状之后所进入的细长三轴平衡形状族（§A.6.5）。

代码可用性

本文的全部数值结果均可由 LEF 复现包（Python 3、numpy、scipy）中的脚本复现，该包根据正文所述输入打印各节的数值。该包作为补充材料附于本预印本（LEF_code_and_data.zip）。本系列及该包的较早版本存放于 doi:10.5281/zenodo.22743615。

本附录确定本文每一个数值所依据的定义。它支撑 §A.2.1 和 §A.5 的共转半径（5.5 小时参考下为 15,818 km）以及 §B.1 的释放距离。希望核查任何结果的读者应从这里开始，因为不同复现之间的大多数表面分歧来自质量、距离或常数的不同选择，而不是来自不同的物理学。

简短的完整推导见 §B.1。必须区分两种质量。$M_{\mathrm{tot}}$ 是总初始质量：地球与月球物质之和，此时尚无任何部分离开。$M_\oplus$ 是最终母体质量：月球物质被归属于第二个天体之后的地球。在应使用其中一个的地方使用了另一个，会使月球质量被计算两次或完全未被计算。

还必须区分两种距离。相对于母体中心的半径并不是相对于系统质心的半径；一旦存在具有实际质量的第二个天体，两个天体便绕其共同质心转动，而该质心略偏离地心。在二体情形中，距离 $r$ 是两中心之间的距离，引力参数（引力常数与施加引力的质量之积）为 $G(M_\oplus+m)$，因为每个天体都在另一个的引力下运行，而相对运动由质量之和支配。

这些常数是复现的来源输入，而不是对星历表（观测位置的表格）的新拟合。因此，改变质量的定义需要进行新的计算，而不是悄然改变 15,818 这一标签：该数值属于一个明确陈述的定义，不同的定义会得出不同的数值。

本附录推导转移开始前年轻地球的形状和角动量。它支撑 §A.6.1 和 §B.1 的初始收支 $L_0\simeq3.466\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$、§A.6.3 中与现今系统的比较，以及 §A.6.4 中图 5 的允许区域。步骤如下：确定质量和尺寸；求出均匀天体在 5.5 小时自转下所取的扁平形状；计算其转动惯量；乘以自转角速度。

Appendix B.1初始结构的推导——保留的基础文本

第 1 步：质量。我们采用 $G=6.674\times10^{-11}$，$M_\oplus=5.972\times10^{24}$ kg 和 $m=7.35\times10^{22}$ kg。转移之前，月球物质仍是地球的一部分，因此母体同时携带二者。代码中保留了各采用值的精确和：

$$M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m=6.0455\times10^{24}\ \mathrm{kg}.$$

其在来源中的取整值为 $6.045\times10^{24}$。取整差异解释了不同复现之间的微小差别；它不是物理上的差别。

第 2 步：尺寸。以地球平均密度定义的参考半径约为 6,397 km：这是整个初始质量在现今地球密度下所具有的半径。模型中的年轻地球是炽热而膨胀的。采用的 120 km 增量给出体积半径 $R_{V,0}=6{,}517$ km（与扁平天体体积相同的球体的半径），密度约为 5,214 kg/立方米。

第 3 步：形状。自转的均匀流体天体会稳定为一个扁平形体，赤道处比穿过两极处更宽。对于密度均匀的天体，该形体是 Maclaurin 椭球体，其形状由一个方程确定 [1]：

$$\mathcal M(e)=\frac{2\sqrt{1-e^2}}{e^3}(3-2e^2)\arcsin e -\frac{6(1-e^2)}{e^2}, \qquad \frac{\omega^2}{\pi G\rho}=\mathcal M(e).$$

用文字表述：左侧 $\omega^2/(\pi G\rho)$ 衡量天体自转的快慢相对于其自身引力维系它的强弱（$\omega$ 为角速度，$\rho$ 为密度）。右侧 $\mathcal M(e)$ 是该平衡所要求的扁率，通过子午截面的偏心率 $e$ 表示——$e=0$ 为球体，$e$ 随天体变扁而增大。给定自转和密度，即可对该方程求解 $e$。

一旦 $e$ 已知，赤道半径 $a$ 和极半径 $c$ 便由体积半径得出：

$$a=\frac{R_V}{(1-e^2)^{1/6}}, \qquad c=R_V(1-e^2)^{1/3}.$$

这两个表达式保持体积不变：$a^2c=R_V^3$，因此天体变扁时既不增加也不损失物质。

对于低于最大值的给定自转，Maclaurin 方程有两个解，一个略扁，一个很扁。从球体逐渐加速自转的天体遵循第一个解。在接近球形的分支上得到 $e_0\simeq0.4107$，$a_0\simeq6{,}721$ km 和 $c_0\simeq6{,}128$ km——赤道比两极离中心远约 600 km。

第 4 步：转动惯量与角动量。转动惯量衡量使天体转动起来的难易程度，取决于其质量离轴多远。对于绕其短轴转动的均匀椭球体，它等于质量乘以赤道半径平方的 $\frac25$。角动量是转动惯量乘以角速度：

$$I_0=\frac25M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_{\mathrm{initial}}=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

其中 $\omega_0=2\pi/19{,}800$ s$^{-1}$，即 5.5 小时日长的角速度。这一加框数值是转移所能动用的全部收支；§A.6 将其与现今地月系统相比较。

均匀密度是一项计算输入。它描述的是仍处于分选早期阶段的母体：铁在开始时可能已经在地核中聚集，而地核的组织贯穿转移并延续至释放之后。尚未完成分异的天体不一定是均匀的；偏离均匀密度的影响在下文的敏感性检验中考察（附录 C 和 §A.4.1）。

Appendix B.2原始膨胀扫描

120 km 的膨胀量是一个采用值，因此问题在于结果在多大程度上依赖于它。下表回答这一问题。每一行给出一个膨胀量；第二列是所得的体积半径；第三列是日长为 5.5 小时时初始收支相对现今收支的盈余；第四列是收支仍等于现今收支时的最长初始日长（标量上限）。自上而下阅读：随着膨胀量增大，天体变大，其转动惯量上升，盈余和上限都随之增大。

有两行标示了允许范围的边界。没有膨胀时，收支比现今少 3.3%，因此未膨胀、以 5.5 小时自转的母体无法提供今天的系统。在 98 km 时，收支恰好等于现今收支；这是可行的最小膨胀量。在 520 km 时，盈余达到 15%，即采用的日后可能向太阳损失量的极限。§D.3 中 98–520 km 的范围即来自这两行。

该表作为标量模型的敏感性从来源表格中保留下来。5.54 小时的上限属于参考状态，而不属于所有可能的结构。4.90 小时的下限依据的是采用的 15% 外部损失上限；此处没有对该上限的独立推导。因此 4.90–5.54 小时的范围并不是经过证明的观测约束；它是采用的输入保持一致的窗口。

120 km 同样是一个采用参数。以该参数代表热膨胀，并不能替代状态方程计算（逐层追踪物质密度如何随压力和温度变化的计算）。确定受压天体的膨胀需要对结构和密度进行积分；基于层深和膨胀系数的线性估计并不是一个封闭的独立依据。后续工作清单将这一计算列为研究方向。

本附录说明 §A.4 和 §A.4.1 背后的两层计算是如何建立的，以及其数值的可信程度。它支撑最终周期与共转半径随密度比 $D$ 变化的表格（对于 $D=2$：5.77 小时和 16,331 km），以及 §B.6 的数值 $k=0.360$。其物理思想是收拢双臂的滑冰者：铁向中心下沉时，转动惯量减小，而在角动量固定的情况下，自转加快。

模型有两层：内层和外层。$q$ 是内层与外层体积半径之比，$D$ 是二者的密度之比。各层不可压缩且共同转动，因此作为一个天体一起转动。终态天体的体积在各情景中保持固定；用于确定 $L_0$ 的初始状态保持均匀，因此每个情景都从相同的收支出发，区别仅在于终态天体如何安排其质量。

对于每个情景，在两个界面上求解恒定的有效势：要求每个界面都是引力势与离心势之和相等的面，这是流体层在转动参考系中处于静止的条件。然后由密度和形状直接计算 $I$，而不是取自均匀天体的公式。此处没有随时间的分异路径，也没有状态方程：该计算比较的是终态，并不逐步追踪铁的下沉。

两项核查确定了精度。允许界面形状变化（而不是强制其为精确的椭球体），在 $q=0.55$ 扫描中使半径改变至多约 2.5 km——相对于超过 15,000 km 的共转半径很小。改变数值分辨率使半径改变数米；场残差并非在每项核查中都单调收敛，因此不主张米级的物理精度。结果在千米量级上是可靠的，这也是本文使用它们的量级。

主计算在赤道平面内释放月球。本附录探讨若释放点偏离赤道会有什么变化。它支撑 §A.6.6 的收支方程及其中引用的敏感性数值。要点是几何性的：在赤道以外，月球的轨道角动量与地球的自转角动量不再沿同一轴，而指向不同方向的角动量按箭头相加，而不是按单纯的数值相加。

在以 $z$ 为最终自转轴、以 $\lambda$ 为释放点相对其赤道所量纬度的参考系中，总角动量为：

$$\mathbf{L}_{\mathrm{tot}}=(-H\sin\lambda,0,S+H\cos\lambda),\quad H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda.$$

其中 $S$ 是地球沿轴的自转角动量。$H$ 是月球的轨道角动量：$\mu_{\mathrm{red}}$ 是二者的约化质量，$\omega$ 是共同角速度，$r\cos\lambda$ 是释放点到自转轴的距离——只有这一距离决定自转所提供的速度。轨道箭头相对自转轴倾斜 $\lambda$，因此它有沿轴的分量 $H\cos\lambda$ 和垂直于轴的分量 $-H\sin\lambda$。

总箭头的长度由各分量平方相加求得：

$$L_0^2=(H\sin\lambda)^2+(S+H\cos\lambda)^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.$$

由此得到 §A.6.6 的收支方程：初始收支必须等于这一长度。在 $\lambda=0$ 时，它简化为赤道计算的单纯和 $L_0=S+H$。自转与总角动量之间的夹角为：

$$\beta=\arctan\left(\frac{H\sin\lambda}{S+H\cos\lambda}\right).$$

该角度表明地球最终自转轴相对整个系统的轴倾斜多少——这是 Paper 4 所追踪的各倾角的起点。

对于检验 $q=0.55$，$D=1$，$\lambda=25^\circ$，在检验粒子近似下得到约 17,177 km 和 3.85°，在双质量情形下得到约 17,240 km 和 3.84°。25° 是敏感性检验值，选取它是为了显示修正的大小；采用的释放纬度为 22.5°，即接触面的中心，该处的释放在 Paper 4（轨道）中重新计算。这些是提出的敏感性结果，并不取代参考值。较早的数值 17,115 和 4.48° 在记录中被单列出来，因为它们需要参考系一致性修正：它们混合了相对于不同轴表示的矢量。这一运动学方程不计算自转轴如何随时间变化；它给出的是某一时刻的状态。

完整文档，包括供 Paper 4 使用的轨道材料：LEF_PaperI_Calculation2_Latitude25_HE。

本附录给出 §A.7 和 §B.7 的背景：两个洛希极限，以及对地球潮汐对年轻月球所施载荷强度的初步估计。洛希极限是这样一个距离：在此距离之内，地球对卫星近侧与远侧引力之差（潮汐拉伸）超过维系卫星的自身引力。像流体那样自由变形的天体会伸长，从而增大对自身的拉伸；其极限位于更远处（系数 2.44）。保持形状的天体其极限位于更近处（系数 1.26）。本附录回答的问题是：在释放距离上潮汐载荷有多大，以及要把这一载荷转化为存续结果还需要什么。

常数 1.26 和 2.44 以及极限的定义沿用自先前的文本。所谓刚性系数的来源及其适用范围的专门核验，必须在投稿之前完成。它不包含任何壳层强度定律：刚性极限描述的是一个不改变形状的天体，而并未说明什么样的物质强度使之成为可能。

加速度与应变的估计——保留的先前计算文本

该估计比较两种加速度。$\Delta a$ 是潮汐拉伸：沿指向地球的连线，地球在天体中心与在其表面处引力之差。$g_s$ 是天体自身的表面重力。对于天体半径 $R_s=1{,}890$ km：

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3}, \qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

拉伸随距离 $r$ 的三次方减小：距离减半，拉伸增至八倍。在 15,818 km 处得到 $\Delta a\simeq0.381$，$g_s\simeq1.373$ m/s²，比值约为 0.277。该比值比较潮汐拉伸与自身引力：低于一时，自身引力占优，而在该距离上潮汐略大于天体自身引力的四分之一。比值低于一是必要的，但对于会变形的天体并不能决定问题；炽热天体在流体极限之内停留的若干年间的变形，才是 §D.3 的存续条件。

下一步把加速度转化为应力，再把应力转化为时间。可以建立如下应力估计：

$$\sigma_{\mathrm{tidal}}\sim\rho_s\Delta aR_s\sim1.9\times10^9\ \mathrm{Pa}, \qquad t_{\mathrm{strain}}\sim\frac{\varepsilon_*\eta}{\sigma_{\mathrm{tidal}}}.$$

第一个表达式是密度为 $\rho_s$、高度为 $R_s$ 的天体物质柱在加速度 $\Delta a$ 下类似重量的载荷。第二个表达式说明黏度为 $\eta$（其抵抗流动的能力，单位为帕秒）的物质在该应力下达到应变 $\varepsilon_*$（形状的相对变化）需要多长时间：物质越刚硬，所需时间越长。

取 $\varepsilon_*=0.5$（形状改变一半）和 $\eta=10^{19}\ \mathrm{Pa\,s}$，得到约 85 年（取 $\rho_s=2{,}600$ kg/m$^3$，$\Delta a\simeq0.381$ m/s$^2$ 和 $R_s=1{,}890$ km，应力为 $1.87\times10^9$ Pa；该估计的较早版本给出 $1.4\times10^9$ Pa 和约 116 年，对应约 1,950 kg/m$^3$ 的天体密度）。这是在恒定代表性应力下的应变估计，而不是瓦解时间的计算。流变学（物质随时间对载荷的响应方式）、形状、变化的应力以及实际停留时间都必须加以考察。

该估计作为一种参数依赖关系保留：它显示时间如何随黏度和应力变化，使读者可以代入其他数值。停留时间本身属于轨道计算，此处不予采用。第三份计算文档汇集了洛希、载荷和轨道核查，以及结果与待满足要求之间的区分：LEF_PaperI_Calculation3_Release_Survival_HE。力学载荷供 Paper 3（LEF 机制的实践）使用，轨道表格供 Paper 4（轨道）使用。

本附录逐个组成部分说明本文从既有物理学中取用了什么、又增加了什么。它支撑 §D.2 的新颖性陈述。表格应按行阅读：第一列为论证的一个组成部分，第二列说明它是标准物理学、前人工作还是本文自身的应用，第三列说明本文如何使用它。这一模式是有意为之的：定律是旧的；新的是在何处评估它们，以及如何在一个相连的情景中将它们结合起来。

投稿之前，还需要与关于同步稳定性和平衡态的前人工作进行专门比较，以评估优先权；特别是先前评审记录中对 Counselman、Hut 以及 Grjebine & Marchal 的引用，此处未标记为已重新核验。它们是待完成的文献工作，而非新的结果。

编辑检验予以保留：对每一项核心主张，都必须标明其性质，界定假设与结果，展示敏感性，并提供复现途径。§D.1 的核心主张表（在较早的文本中标为“Table E.4”）与 §D.3 的假设与要求表共同构成这一结构；存续解的缺失被标记为待定，不会成为“通过”。

参考文献

[1] Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale University Press. 来源于现有文本；序列数值和洛希系数的确切页码需在投稿前补全。

[2] Ferraz-Mello, S., Rodríguez, A., & Hussmann, H. Tidal friction in close-in satellites and exoplanets. The Darwin theory re-visited. 作者版本：https://arxiv.org/abs/0712.1156.

[3] Leconte, J., Chabrier, G., Baraffe, I., & Levrard, B. (2010). Is tidal heating sufficient to explain bloated exoplanets? Consistent calculations accounting for finite initial eccentricity. DOI: 10.1051/0004-6361/201014337.

[4] Efroimsky, M., & Makarov, V. V. (2013). Tidal Friction and Tidal Lagging. Applicability Limitations of a Popular Formula for the Tidal Torque. ApJ, 764, 26. DOI: 10.1088/0004-637X/764/1/26.

[5] Huré, J.-M. (2022). Nested spheroidal figures of equilibrium I. Approximate solutions for rigid rotations. 作者版本：https://arxiv.org/abs/2202.11044.

[6] Darwin, G. H. (1879). On the precession of a viscous spheroid, and on the remote history of the Earth. DOI: 10.1098/rstl.1879.0073.

[7] Meier, M. M. M., Reufer, A., & Wieler, R. (2014, preprint). On the origin and composition of Theia: Constraints from new models of the Giant Impact. 作者版本：https://arxiv.org/abs/1410.3819.

[8] Battin, R. H. (2008). The Two Body Problem. MIT 16.346, Lecture 1. https://ocw.mit.edu/courses/16-346-astrodynamics-fall-2008/resources/lec_01/.

[9] Yu, H., Lau, S. Y., Mckeever, E., Arras, P., & Weinberg, N. N. (2025). Dynamical tide modified Roche limit in eccentric, asynchronous binaries. 作者版本：https://arxiv.org/abs/2508.20183.

本附录是本文开头计算环境表的完整版本。其目的是实用的：本系列中的每一项计算都针对情景中的某一特定时刻和特定位置，而该表逐个物理量记录了在每一时刻什么是已知的、什么是采用的、什么仍待确定。它防止了重建古代状态时最常见的错误——从现今地球或另一阶段借用一个数值，并将其放在不属于它的位置。每一行都带有标识符（E01、E02、…），以便后续论文引用。

如何阅读该表

每一行带有五种性质之一。采用：模型中选定的输入。计算：特定假设下的结果。复现：其代码已运行并复现的计算，但这并不验证其全部假设。待定：尚未确定或尚未证明。现今约束：关于今天系统的数据，用于限制古代重建，而不是对过去的测量。

各列按时间顺序追随情景。各阶段并不是三个独立的系统：A——质量分配之前的参考状态，此时月球物质仍计入地球；B——构建与转移，此时天体生长并上升；C——接近释放的状态。C 列中的所有数值都指一个确定的耦合参考状态，而非已完整求解的演化路径。分异、非零纬度或物质来源的混合需要进一步的一致计算。

该表按主题分为若干块：时间、质量与几何；地球内部、自转与角动量；重力及其测量位置；热、物质、流动与连接；以及作者后来关于挥发分、冷却和时间线的两项更新。

环境表——时间、质量与几何

第一块确定账目：情景发生于何时，有多少质量、每一部分归属于哪个天体，天体有多大，以及来源位于何处。其主要用途是防止重复计算——同一物质绝不能同时放在地球和月球中——并将来自不同参考状态的尺寸区分开。

本块确立的内容：一个系统质量，分配于两个天体之间，必要时还有第三个转运中物质的储库；属于明确陈述的密度和状态的参考尺寸；以及一个宽广区域而非一个点的来源。

环境表——地球内部、自转与角动量

第二块涉及决定自转和收支的量：质量在地球内部如何排布（转动惯量系数 $k$，均匀球体为 0.4，质量向中心集中时更小）、转动惯量、周期、自转轴、总角动量和共转半径。这些是 A 部分和 B 部分的量；本块记录哪些数值属于参考状态、哪些属于接近释放的耦合状态，以免二者混淆。

本块确立的内容：自转和共转半径在构建期间沿两个方向变化；释放时共转半径的两个数值（检验粒子为 16,331 km，双质量为 16,399 km）是同一状态的两种近似；E24 的三个百分比衡量三种不同的量。

环境表——变化的重力与测量位置

第三块关于重力，在本情景中它不是一个单一的数值。随着质量从地球移向发育中的天体，给定点处的引力随之变化，而且在地球外部、地表、地球内部以及两天体之间的连接中变化方式各不相同。每一行指明一个位置或组成部分，并说明在该处进行的计算必须包含什么。其目的是防止在某处有效的数值被用于另一处。

本块确立的内容：重力须根据所述位置和时刻的实际质量分布计算；离心加速度及其他参考系加速度只在明确陈述的转动参考系中加入；E35 的洛希极限是参考距离，存续则作为 §D.3 的单独要求处理。

环境表——热、物质、流动与连接

第四块从力学转向物质的状态：温度、热、压力、密度、挥发分、黏度、外壳与连接，以及释放之后发生的情况。这些是 Paper 3（LEF 机制的实践）为检验物质能否上升、外壳能否承受载荷、地表记录能否保存所需要的量。本块记录正在使用的工作值，并逐列记录仍有待确定的内容。

本块确立的内容：Paper 3 所用的力学工作值（E39 的压力、E44 的外壳、E47 的连接），月球在释放时是刚性的、圆的这一确定点（E48），以及一份明确的、仍待确定的热与物质量清单。天体的扁化与圆化发生得更早，在它仍相连时进行（Paper 7《极区》）。

每项计算所附的卡片

上表被转化为一条工作规则：一张简短的卡片，本系列中的任何计算都在给出结果之前陈述它，使读者能一眼看出该计算描述的是哪个状态。

在方程或结果表之前，陈述：(1) 阶段与时间；(2) 测量点；(3) 参考系与轴；(4) 情景版本；(5) 同一阶段的质量与半径；(6) 热与物质输入；(7) 被忽略的效应；(8) 结果与敏感性。若缺少某项数据，则将该计算标记为有条件的或延后的——不得无正当理由地从现今或另一阶段借用数值。

质量账目写成一个方程。质量管理方程：$M_{\mathrm{total}}=M_E+m_{\mathrm{body}}+M_{\mathrm{transit}}+M_{\mathrm{escaped}}$，按系统与储库边界划分：地球、发育中的天体、二者之间途中的物质，以及从系统中损失的任何物质。若选择无损失的封闭系统，或将物质归属于某一天体之外，则必须加以说明，并相应地减少各项。进入 GM 的质量必须与同一计算中的储库定义相符。

组合引力场必须根据实际质量分布计算。双质点近似只允许在所定义的位置和精度上使用；它不是对地球内部、连接或局部异常的完整描述。在分解为背景与异常时，只加入差值质量，以免任何质量被计算两次。

作者的更新——古代挥发分总量与返回物质

本更新在表中加入挥发分——水、气体及其他易蒸发的物质——它们影响密度、流动、冷却以及返回物质。它记录作者的图景以及任何后续计算必须保持的区分，而不在现在计算具体数量。

作者的明确指示：在所考察的情景中，古代挥发分总量远大于今天剩余的总量。挥发分存在于构建系统的物质之中，包括深部物质和岩浆；随发育中的天体转移的部分挥发分损失到太空中，而按照该假说，在分离期间又发生了进一步的损失。目前不要求计算其数量或损失速率。

各行区分了容易混为一谈的内容：挥发性物质有多少（E54），位于何处（E55），以何种形态存在（E56），如何损失（E57），损失如何进入质量账目（E58），以及它可能如何与日后落到月球上的返回物质相关（E59）。E60 将岩浆的两种性质——抗流动性与轻度——区分开来，富含气泡的岩浆可以同时具备二者，但它们并不是同一个量。

累积更新——挥发分循环、冷却与时间线

第二项更新描述年轻系统在构建期间如何冷却，并确定从活跃构建到形成单独天体的事件顺序。

2026 年 9 月 11 日。本更新附加于先前的全部内容；它不取代表 E01–E60 或其中的区分。本文档现包含 70 项。此前提到的 53 个物理量仅指原始基础表。

作者的澄清：在所提出的环境图景中，今天体现在海洋中的水量，在情景开始时处于汽化状态，而且系统在深部物质中也富含挥发分。存在一种循环运动：富含挥发分的物质上升、冷却，其中一部分向下返回，被加热后再次上升——如同炉灶上的一锅汤，表面散发热量，而内部持续翻滚。按照该假说，这一循环有助于外表面的冷却和记录的保存，而内部保持炽热和可流动。

性质：这是作者要求考察的情景描述。它不包含对古代水量、各深度挥发分状态、构建持续时间或冷却能力的经核实的定量确定。先前对假设、结果与数据的区分得到保留。600 Myr 的窗口不得在未经决定的情况下被另一较短时间取代，也不得被表述为实测的闭合持续时间。

下表将这一循环逐行纳入环境：开始时的水（E61），循环本身（E62–E64），其对外壳的影响（E65），时间窗口（E66），以及向外抛射的减弱、其在分离时的终止及其与内部供给的关系（E67–E70）。

用于描述的时间线——不虚构中间时间

该时间线排列各阶段的顺序，而不为中间步骤指定日期，因为这些日期尚未计算。横向阅读每一行：它给出某一阶段向外抛射、连接和热的状态。纵向阅读一列，可从头至尾追踪一个过程：抛射随梨形体生长而减弱，但在天体相连期间持续，并在分离时停止。

本更新与先前各表的联系

下列清单将本更新与其涉及的各行联系起来，使追踪任一物理量的读者都能找到它出现的每一处。

• E01–E02：情景窗口与时代，与尚未确定的阶段时间分开保存。

• E37–E38 与 E52：挥发分循环与热损失路径已加入热描述；温度与功率数值仍待定。

• E42 与 E54–E58：总量、相、释放与逃逸仍为各自独立的量；不得把溶解的挥发分在每个深度都换算为自由蒸气。

• E44–E46 与 E50–E51：外壳整个厚度的渐变结构、流动性与记录的保存均予保留。提出冷却循环并不取消力学检验的要求。

• E48 与 E53：圆化在释放之前完成；相连天体与释放后在轨道中的天体之间的区分同样保留。

• E60：黏度与密度的问题既未被删除，也未因蒸气循环的澄清而自动解决。

供日后考察，目前不展开计算：经由大气的热通量；蒸发与凝结时的潜热；大气对辐射逸出的影响；各储库之间的水与挥发分平衡；冷却、活动持续时间、外壳流动性与记录保存之间的一致性。此处并不确定蒸气大气在所有条件下都必然加速冷却。

AI 工具的使用：作者使用了 AI 助手（Claude，Anthropic；ChatGPT，OpenAI；Google 的 AI 搜索助手）来编写和运行计算脚本、分析目录与地图、准备图表、讨论情景，以及进行语言编辑和翻译。模型及其结论属于作者。作者核查了内容，并对其承担全部责任。