計算環境表

本論文の計算は、LEF シナリオにおける初期の地球親天体、すなわち月が離れる以前の若い地球を記述する。過程の途中で系は変化する（質量が一方の天体から他方へ移り、形状と自転が変わる）ため、以下のすべての数値は定義された状態に属する。すなわち、質量分割以前の状態、比較のために用いる計算上の基準状態、あるいは解放時の結合した最終状態である。これらの状態を区別しておくことで、ある時点の値が別の時点で用いられることを防ぐ。付録 G に完全な環境 E01–E70 を収める。ここでの表は Paper 2 に必要な量のみを挙げる。

表は三列からなる。第一列は量の名称、第二列はその値または定義、第三列はその数値の種類を示す。すなわち、系の仮定、モデルのために選んだ入力、本論文で計算した値、あるいは結果の感度を調べるためだけに用いる値である。読者は第三列により、どの数値が入力でどの数値が出力であるかを一目で確認できる。

いくつかの行には説明が必要である。開始時の親天体質量 6.0455×10²⁴ kg は、単に今日の地球と月を合計したものである。何も逃げ出さないと仮定するので、月の全体はかつて地球の一部であった。初期半径 6,517 km が今日の地球より大きいのは、若く高温の地球は膨張しているからであり、採用する膨張は 120 km である。自転する流体天体は赤道で膨らむ。Maclaurin モデルは、一様な密度をもつ自転流体天体の古典的な平衡形状、すなわち扁平な球であり、この体積を約 6,721 km の赤道半径に変換する。試験粒子近似は、解放された天体を中心質量の場の中の小さな粒子として扱うので、式には地球の質量のみが入る。結合した二体の値（16,331 km に対して 16,399 km）は、この単純化の影響がいかに小さいかを示す。二層の行では、$q$（高密度の内層の半径と天体全体の半径の比）と$D$（内側密度と外側密度の比）を用いる。$D=1$ は一様な天体であり、$D$ が大きいほど鉄が中心に向かってより多く集まっていることを意味する。25° の行は感度試験であり、解放が赤道上にない場合に結果がどれだけ変わるかを見るために用いる。これは採用値ではなく、採用値は 22.5°（Paper 4）である。表がある量に単一の値がない（温度、粘性、重力）と述べている箇所では、本論文はその代わりに現代の値を借用しない。600 Myr の構築期間はシリーズの作業シナリオであり、隆起と洋梨体におよそ 400 Myr、扁平化に約 100 Myr、そして 3.873 Ga の解放まで約 100 Myr である。Paper 2 はこの期間を計算せず、またこれに依存しない。

実際には次のことを意味する。月の 7.35×10²² kg は一度だけ数えられる。移送の前、それは地球の 6.0455×10²⁴ kg の内部にあり、移送の後、それは月となり、地球は 5.972×10²⁴ kg を保持する。

古い反論が当てはまらない理由。古典的な分裂説は、地球に自らの表面から物質を投げ出すことを求めた。5.5 時間の親天体の表面では、回転が与える速さは約 2,133 m/s であるのに対し、そこでの自由軌道には約 7,701 m/s が必要である（§A.1.2）。表面でこの差を埋める唯一の方法は地球全体をはるかに速く自転させることであり、速い自転はより多くの角運動量を意味する。自転流体天体が不安定になる古典的な点（Jacobi 分岐、§A.6.5）では、親天体は今日の地球–月系がもつ角運動量の 2.74 倍を必要とし、同じ系列の別の点で行われた以前の基準計算では約四倍とされた。系はそれほど多くの角運動量をもたず、これが分裂説が放棄された理由である。LEF 経路は別の方法でこの差を埋める。より速く自転させるのではなく、物質を地球とともに回転させたまま外向きに運ぶのである。その速さは同じ自転角速度のもとで距離とともに増し、共回転半径において軌道速度に等しくなる。このために地球に必要な自転は、今日の角運動量がすべて地球に戻された場合に地球がもつであろう自転、すなわち約 5.5 時間（§A.2）であり、そのとき必要な収支は今日の 1.007 倍である。日常的なたとえを挙げれば、回転遊具の中心から縁へ歩いていく子どもは、誰も遊具をより強く押さなくても、縁ではより速く動いている。

要件の意味。$k$ は慣性モーメント係数であり、天体の質量が中心と表面の間にどのように分布しているかを測る。一様な球は $k=0.4$ をもち、鉄の核をもつ今日の地球は約 0.33 をもつ。この経路は移送開始時に $k\gtrsim0.397$ を必要とする。すなわち、まだ分別の初期段階にある親天体である。質量が中心へあまり集中していない地球は、同じ自転でより多くの回転を蓄える。地球の核の組織化は、一度も止まることのなかった一つの連続した過程である。隆起の間それは始まったばかりであり、洋梨体が成長する間それは続き、解放の後も地球が洋梨体を取り込む間それは進行した。完全に一様な期間はおそらく一度もなかった。段階が早いほど、地球の分別は進んでいない。鉄は開始時にすでに核に集まりつつあったかもしれず、その過程は続いた。若い地球はまた高温であり、したがって今日より大きくなければならない。98 から 520 km の間の膨張が許容され、120 km を採用する。天体は共回転半径の正確にその上ではなく、それを越えて解放されなければならない。正確に線上では潮汐は中立でどちらの方向にも押さないが、線をわずかでも越えた位置にある天体は潮汐によって外向きに押され、最初から遠ざかる（Paper 4）。必要な余裕は小さく、$\Delta r\simeq2d_0$、約 210 km である（Paper 3, §C.5a）。流体ロッシュ限界は、自己重力のみで保持されている天体を地球の潮汐が引き裂くであろう距離である。内部強度をもつ天体はそれより内側でも、剛体限界まで生き延びる。解放時の月は剛体的で球形であり、その扁平化と球形化は、月がなお付着していたより早い時期に完了している（Paper 7）。二つの天体の間の接続部、すなわち洋梨体は、解放まで荷重を支えなければならない。これらの要件は結果の中に隠されてはいない。それらは §D.3 にまとめられ、Paper 3 がそれらを試験する。

序論 — Part A：既存モデルの文脈における解放条件

月の起源には二種類の証拠が関わる。月の物質がどのように軌道に到達しえたか（分離の力学）と、その組成が由来した天体と一致するかどうかである。潮汐と自転に関する Darwin の研究は、地球–月系の進化を検討する歴史的背景の一部である [6]。高速で自転する地球が月を放出したという彼の分裂の考えは、地球起源説の古典的な形である。本論文では、古典的分裂説との定量的比較を、定義された平衡配置を通じて行う。一つの配置に対する結果を、あらゆる可能な経路に対する制約に変換してはならない。言い換えれば、ある特定の分裂経路が多すぎる角運動量を必要とすることを示しても、地球からのあらゆる経路がそうであることを示したことにはならない。

巨大衝突モデルの系統では、別の天体が地球に衝突した後、その破片から月が形成され、同位体組成は地球物質と衝突体物質の混合に制約を課す。このモデルにはさまざまな版があり、制約は組成と混合の様式に依存する [7]。LEF シナリオでは、共有された地球のリザーバーからの構築を検討する。月は地球自身の物質からなるので、同位体の密接な一致は直接に導かれる。共通の起源は組成比較の基礎を与えるが、軌道への移送の試験に代わるものではない。その試験が本論文の主題である。

本論文の焦点となる問いは、共有された回転の中で質量を外向きに運ぶことが、表面からの直接解放と比べて速度条件と角運動量収支を変えるかどうかである。本論文が与える答えは、変える、というものである。解放条件は表面から共回転半径へ移され、そのとき速さと収支の両方が適合する。構築の機構、すなわち内部からの供給と、同じ天体の表面としての外殻の上昇は、Paper 3『LEF 機構：実際』の主題である。本論文は、その機構が満たすべき物理的条件を定める。この分担は意図的なものである。Paper 2 は標準的な物理学を用いて、この経路が原理的に可能かを問い、Paper 3 はそれがどのように遂行されるかを示す。

序論 — Part B：本論文が提示するもの

本論文は、問題とそれに続く解の組として構成されており、各反論はそれが提起された場所で応答される。Part A は、この経路が満たすべき問題を一つずつ示す。古典的分裂説の棄却につながった速度差、計算すべきもの、地球と共回転線を結ぶ洋梨体、伸長する洋梨体と中心集中する核との相殺、共回転そのもの、角運動量収支、ロッシュ限界、そして潮汐進化の方向である。Part B は、一つの計算から出発して、それらを同じ順序で解く。Part C は示されたことを要約し、Part D は主張、試験、要件をまとめ、Part E は結論を述べる。付録 A–G は導出、感度走査、ロッシュ計算、完全な計算環境を与え、本文中のすべての数値を追跡し再現できるようにする。

赤道面は最も単純な場合である。そこでは自転が物質を最も速く運び、共回転半径は単一の距離となる。より高い緯度からの解放は数値をいくらか変えるが、原理は変えない。変化の大きさは環境表の 25° の感度試験が示し、採用する 22.5° の場合は Paper 4 で計算される。

この Part は、この経路が満たさなければならない物理を、一つの問題ずつ示す。まず古典的分裂経路を閉ざした困難、すなわち高速で自転する地球の表面を離れる天体は軌道の速さをもたないという困難から始め、次に順に、その速さがどこで達成されるか、何が地球とその場所を結ぶか、物質が外へ移動する間に地球の自転がどう変わるか、角運動量は足りるか、天体は地球の潮汐を生き延びるか、そしてその後どの方向に動くかを問う。各節は定義された量で終わり、Part B がそれを計算する。

A.1問題：速度差

A.1.1二つの別個の力学的問題

地球起源のシナリオは、親天体から自由軌道への物質の移送について説明を必要とする。組成の一致は、物質がどのように軌道に達したかを決めることなく、共通の起源を支持しうる。二つの天体が同じ物質からなっていても、その一方がどのようにして他方を周回するに至ったかという問いは未解決のまま残りうる。したがって本論文の焦点は力学である。当初の歴史的検討は、ここでは定義された平衡配置を比較することによって検討するのであり、地球起源のあらゆる経路が同じ分裂の閾値に従うと主張することによってではない。

二つの問いを区別しておかなければならない。第一の問いは、どのような条件のもとで物質の速度が自由軌道と整合するか、すなわち放された瞬間に、物質が地球に落ち戻ることなく地球の周りを落ち続けるのに十分な速さで横向きに動いているかである。第二の問いは、過程の開始時に利用できる角運動量が、最終状態とその後の進化を許すかどうかである。解放条件を変えれば速度の試験は変わりうるが、全体の角運動量の釣り合いは依然として満たされなければならない。ある経路が第一の試験に合格し第二の試験に不合格となることもありうるので、両方を計算する。

角運動量と慣性モーメント。角運動量は天体が運ぶ回転運動の量である。自転する天体では、それはどれだけ速く回転するかと、質量が軸の周りにどのように分布しているかの積である。自転角運動量は次のとおりである。

$$L_{\mathrm{spin}}=I\omega.$$

ここで $\omega$ は角速度（毎秒回転する角度、$2\pi$ を周期で割ったもの）であり、$I$ は慣性モーメントである。すなわち天体のあらゆる部分について、その質量と自転軸からの距離の二乗との積を合計したものである。慣性モーメントは質量が軸からどれだけ離れて位置するかを測る。距離が二乗で入るため、軸から遠い質量は軸に近い質量よりはるかに大きく効く。質量 $M$、赤道半径 $a$ の天体については $I=kMa^2$ と書くと便利である。ここで無次元係数 $k$ は質量の分布を表す。一様な天体は $k=0.4$ をもち、高密度の核をもつ天体はより小さな $k$ をもつ。

角運動量は保存される。外部から何もねじる力（トルク）を及ぼさない系では、その総量は変化できず、系のある部分から別の部分へ受け渡されることしかできない。地球–月系について有意な外部トルクは太陽が起こす潮汐のみであり、それは系の歴史を通じて約 1% を取り除く（§A.2）。この保存が問題を計算可能にする。今日の月が軌道で運んでいるものは、かつて親天体の自転の中にあったはずである。

物質を共回転のまま、すなわち親天体自身の角速度で親天体とともに回転し続けたまま外向きに移送するには、親天体がその物質に追加の角運動量を供給しなければならない。同じ角速度でより大きな距離にあることは、その物質の慣性モーメントがより大きいことを意味するからである。外部トルクがない場合、これは既存の角運動量の再配分である。物質が得るものを、親天体の自転が失う。

A.1.2表面からの解放

まず古典的な場合、すなわち高速で自転する親天体の赤道から直接放される物質を検討する。基準状態では周期は $T_0=5.5$ 時間、赤道半径は $a_0\simeq6{,}721$ km である。したがって、5.5 時間は 19,800 秒であるから、

$$\omega_0=\frac{2\pi}{19{,}800}\simeq3.17333\times10^{-4}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$$

ここで赤道において二つの速さを比較しなければならない。第一は、回転そのものが表面上の点に与える速さ $v_{\mathrm{rot}}$、すなわち角速度と軸からの距離の積である。第二は円軌道速度 $v_{\mathrm{circ}}$、すなわちその距離にある自由な天体が、遠心的傾向が重力とちょうど釣り合った状態で、地球の周りを円を描いて落ち続ける速さである。

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega_0a_0\simeq2{,}133\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{a_0}}\simeq7{,}701\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$$

一日がわずか 5.5 時間であっても、表面はそこでの軌道が要求する速さの三分の一未満でしか動かない。速度差は、本論文の当初の基準計算の丸めで約 5,568 m/s である。これが速度差である。

そのような物質が単に放されたとすると、どのような軌道をたどるだろうか。追加の動径速度がなければ、比エネルギー（1 キログラムあたりの軌道エネルギー、運動エネルギーから重力エネルギーを引いたもの）と軌道長半径（結果として生じる楕円の長軸の半分）は次のとおりである。

$$\varepsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{GM_\oplus}{r}\simeq-5.70\times10^7\ \mathrm{J\,kg^{-1}}, \qquad A_{\mathrm{orb}}=-\frac{GM_\oplus}{2\varepsilon}\simeq3{,}495\ \mathrm{km}.$$

エネルギーは大きく負であり、物質は深く束縛されている。軌道長半径 3,495 km は親天体の赤道半径の約半分である。解放点はこの楕円の最遠点であるから、残りの経路全体は親天体の深部にある。この初期条件のもとでは、Kepler 軌道は親天体を貫通する。物質は単に落ち戻るのである。したがって表面速度だけでは、親天体の外側にとどまる自由軌道は得られない。これが分裂説に対する古典的反論の核心である。表面でこの差を埋めるには親天体は数倍速く自転しなければならず、それには地球–月系が保持するよりはるかに多くの角運動量が必要となる（§A.6.5）。

§A.2 の数値は、最終地球質量の GM を用いた当初の基準比較を保持している。それらは初期親天体全体の厳密な場の計算ではない。この定義により、再現された基準比較を §A.6 の全体収支から区別する。

A.1.3移送条件の検討

LEF 経路は物質を表面で放さない。検討するシナリオでは、物質は付着したまま上昇して角運動量を受け取り、外へ移動する間も親天体とともに回転し続ける。このとき二つの速さは逆の振る舞いをする。速度 $\omega r$ は距離とともに増加する。一日に一回転する点は、遠くにあるほど大きな円を進むからである。回転する遊具の上を外側へ歩く子どもが、ますます速く回されるのと同じである。軌道速度 $\sqrt{GM/r}$ は減少する。重力は距離とともに弱まり、それと釣り合うのに必要な横向きの速さが小さくなるからである。したがって §A.1.2 の差は物質が上昇するにつれて狭まり、ある距離で閉じる。

本論文は等しくなる点と移送の角運動量コストを計算する。上昇過程そのものは別の力学的問題である。Paper 3『LEF 機構：実際』が輸送能力と接続部を検討する。詳細な圧力計算は、ここに示す収支計算の範囲外である。軌道の初期条件は Paper 4『軌道』に引き渡される。

A.2計算すべきもの

問題はいまや明確な形をもつ。五つの量を計算しなければならない。月がどこで解放されるか、どのような地球の一日でか、角運動量は足りるか、天体は潮汐を生き延びるか、そしてその後遠ざかるか、である。

なぜ 5.5 時間か。出発時の自転は自由に選ばれるのではない。それは角運動量保存を逆向きにたどることから得られる。今日の地球–月の角運動量の全体 $3.44\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$（地球の自転と月の軌道を合わせたもの）を、まだ分別の初期段階にある、若く高温で膨張した地球の自転に戻す（計算入力としては $k=0.4$）。「膨張した」とは、高温の初期地球が今日の冷えた地球よりいくらか大きかったことを意味する。「分別の初期段階」とは、核の組織化が始まったばかりであり、したがって質量がほぼ一様に分布していて、一様な値 $k=0.4$ がそれをよく記述することを意味する。収支の全体をそのような天体の自転に入れると、周期は $$T_0=\frac{2\pi I_0}{L}\simeq5.54\ \mathrm{h}.$$ となる。言葉で言えば、角運動量 $L$ を運ぶ慣性モーメント $I_0$ の天体は $\omega=L/I_0$ で回転し、その周期は $2\pi/\omega$ である。その後、太陽潮汐が系の角運動量の約 1% を取り除いた（遠ざかる月を追跡すると約 1.35%。Eulenfeld & Heubeck 2023; Canup 2004）。したがって 5.5 h の周期は、今日の角運動量と失われたおよそ 1% とを運んでいる。初期の系がわずかに多くを保持していたため、それは 5.54 h よりわずかに短い。数パーセント質量の大きい若い太陽でも、この損失は 1–2% に増えるにすぎない。

A.2.1基準状態

$GM_\oplus\simeq3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ と $T_0=5.5$ 時間に対して、回転の速さが軌道速度に等しくなる距離、すなわち §A.5 で導出する共回転半径と、そこでの共通の速さは次のとおりである。

$$\boxed{R_{\mathrm{sync},0}\simeq15{,}818\ \mathrm{km}, \qquad v_{\mathrm{sync},0}\simeq5{,}020\ \mathrm{m\,s^{-1}}.}$$

これが本論文の中心となる数値である。親天体の赤道半径の二倍を超える 15,818 km において、地球とともに 5.5 時間ごとに一回転する天体はすでに 5,020 m/s で動いており、これはちょうどその距離における円軌道の速さである。そこに共回転のまま保持され、その後放された天体は、いかなる追加の押しも必要としない。それはすでに軌道上にある。

距離は試験粒子近似において中心天体の中心から測られる。この近似では、周回する天体自身の質量は重力の引力において無視される。この半径を二つの速度式に代入すると、速さが等しいことが確かめられる。

この導出は中心力場における運動方程式の応用である [8]。初期状態を親天体の全質量で計算する場合は、式に $M_{\mathrm{tot}}$ を代入しなければならない。値 15,818 km は表で定義された基準のままであり、§A.4 の結合解は質量の分割を明示的に含む。

A.3洋梨体

共回転半径は表面のはるか上にあるので、物質が地球とともに回転し続ける間、何かがそれをそこまで運ばなければならない。モデルではこれが洋梨体である。接続部は地球から立ち上がる丘である。表面で幅約 9,000 km の基部、くびれのない単一の弧をなす側面、そして月の側で幅 3,000 km の接触円盤をもつ。それは地球表面と月の間の約 7,800 km を橋渡しし、全体が共回転線の内側にあるので内向きに引かれる。洋梨体に沿ったあらゆる場所で、重力は物質を周回させ続けるのに回転が必要とするものより強いので、洋梨体自身の物質は地球に保持され、飛び去らない。その先端にある天体だけが線に達する。その長さと質量は要件である。月は損なわれずに解放されたのであるから、条件を満たす洋梨体が存在しなければならない。洋梨体がどのように構築され、どのように荷重を支えるかは Paper 3 の主題である。

図 1 は比率を縮尺どおりに示す。地球上の洋梨体の広い基部、その側面の単一の弧、そして中心を共回転線上にもつ先端の月である。図で用いた 5.77 h の一日は解放時の一日であり、§A.4 で計算される。

A.4 相殺：同時に作用する二つの過程

解放時の地球の一日を計算する前に、地球の自転に同時に、しかも逆方向に作用する二つの過程を両方とも考慮しなければならない。解放時の一日が共回転線の位置を、したがって月が放される場所を定めるので、これは重要である。

1. 洋梨体が伸長する。物質は回転とともに外向きに移動し、角運動量を運び去る。地球を離れる角運動量は地球の自転を遅くする。回転遊具の上を外側へ歩く子どもも、同じように遊具を遅くする。

2. 核が中心集中する。分化とは、当初混合していた天体が密度によって層に分離することである。最も密度の高い成分である鉄は中心に向かって沈んで核を形成し、より軽い物質はその上に残される。LEF モデルでは、この核の組織化は一つの連続した過程である。それは移送の前に始まり、洋梨体が成長する間続き、解放の後も進行した。速い回転は分化を速める。鉄が内側へ沈み、質量が軸に近づくので、地球の慣性モーメントは減少する。慣性モーメントが小さく角運動量が同じであれば、天体はより速く回転しなければならない。腕を引き寄せるスケーターのように、自転は速くなる。

角運動量は保存され、二つの過程は互いに相殺する。結果は両者の間の相殺である。どちらか一方のみを考慮した計算は当時の地球を記述しない。洋梨体のみでは一日が長すぎ、核のみでは短すぎるのである。

表は行ごとに読む。洋梨体のみでは一日は 0.94 h 長くなり、共回転線は約 1,750 km 外向きに押される。自転が遅いと、回転が軌道速度を供給するまでにより大きな距離が必要となるからである。中心集中する核は 0.67 h を取り戻す。合わせると、一日は 5.50 から 5.77 h へ 0.27 h だけ長くなり、線は 16,331 km へとわずかに外へ移動するにとどまる。

図 2 は同じ釣り合いを図で示す。洋梨体が加える棒と核が差し引く棒、そしてその間の正味の結果である。

図 3 は移送の進行に伴う共回転線を追う。洋梨体のみでは線は着実に外向きに進む。同時に核が中心集中すると、線は出発位置のはるか近くにとどまる。

A.4.1 分化が最終状態に及ぼす影響

質量の内向きの集中は慣性モーメントを変える。これを試験するため、二つの層境界、密度、形状、自転を同時に計算した。これは感度試験を拡張するものであり、固定された均質な形状の中で $k$ を置き換えるだけではない。分化する天体はその扁平化も変え、扁平化は今度は慣性モーメントを変えるので、四つすべてを同時に解かなければならない。境界は回転楕円体から外れることを許した。層状の系における回転楕円体仮定の限界は文献でも論じられている [5]。

構造は二つの数で記述される。体積半径比 $q$ は内層の半径を天体全体の半径で割ったものである。$q=0.55$ は境界を中ほどより少し外側に置き、現在の地球の核に匹敵する。密度比 $D=\rho_{\mathrm{inner}}/\rho_{\mathrm{outer}}$ は内層が外層よりどれだけ密度が高いかを示す。$D=1$ は一様な天体であり、$D=2$ は外層の二倍の密度をもつ内層である。$D$ が大きいほど、より多くの質量が中心付近に位置し、係数 $k$ は小さくなる（$q=0.55$ と $D=2$ に対して $k=0.360$。§B.6）。体積半径比 $q=0.55$、密度比 $D$ に対して、試験粒子近似は次を与える。

表は一つの着実な傾向を示す。$D$ が 1 から 3 へ増加するにつれて、最終的な一日は 6.438 から 5.274 時間へ短くなり、共回転線は 17,569 から 15,382 km へ内向きに移動する。第一行 $D=1$ は洋梨体が単独で作用する場合（中心集中なし）であり、行 $D=2$ は §A.4 の採用状態である。$D=2.5$ では中心集中する核が洋梨体による減速をほぼ正確に打ち消し、一日はほぼ出発時の値に戻る。

最終構造における分化は、移送に伴う自転の減速の一部を相殺しうる。各行は可能な状態であり、時間に沿った進化の系列ではない。すべての行は均質な親天体に対する同じ初期収支を用いる。それらは、集中した初期構造がその収支を与えることを示すものではない。仮定、完全な走査、収束の確認は付録 C と、それに関連付けられた計算文書にある。

A.5 共回転

この節では、全体を通じて用いる共回転半径を導出し、その使用が妥当となる範囲を述べる。

図 4 は §A.1.3 の二つの速さを地球中心からの距離に対してプロットしたものである。回転が運ぶ速さは直線的に増加し、軌道速度は減少する。交点の内側では回転が与える速さは軌道に必要な速さより小さく、物質は内向きに引かれる。交点の外側では回転が与える速さは軌道に必要な速さより大きく、物質は外向きに向かう。この交点が共回転線である。

共回転は幾何学的中心ではなく質量中心に作用する。重力と回転の釣り合いは天体全体に対して成り立ち、天体全体はその質量が質量中心に集まっているかのように運動するからである。月の質量中心はわずかに地球側へずれている（今日では約 2 km）ので、共回転の力は月の幾何学的中心が線を越えた少し後に月を引いたかもしれない。幾何学的中心が先に線に達し、質量中心は少し遅れて達する。月は質量中心が線を越えた少し後、線の約 210 km 先で解放される（§D.3; Paper 3, §C.5a）。

A.5.1 導出

試験粒子近似において、赤道面内かつ中心力場の中では、回転が運ぶ速さは角速度と距離の積である。円軌道速度は、重力の引力を、質量 $m$ を半径 $R$ の円上に保つのに必要な力と等置することから得られる。

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega R, \qquad \frac{GMm}{R^2}=\frac{mv_{\mathrm{circ}}^2}{R}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM}{R}}.$$

周回する天体の質量 $m$ は消える。ある距離における軌道速度は、一粒の砂粒に対しても月に対しても同じである。速さを等置すると次を得る。

$$\omega R=\sqrt{\frac{GM}{R}} \quad\Longrightarrow\quad \omega^2R^3=GM.$$

$R$ について解き、$\omega=2\pi/T$ と書くと、

$$\boxed{R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{GM}{\omega^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}}$$

この結果は、共回転半径が中心天体の質量とその自転周期のみに依存し、周期の三分の二乗に比例して増大することを示す。自転が遅いほど線は外へ押される。伸長する洋梨体が線を外へ移し、中心集中する核がそれを戻す理由はここにある（§A.4）。

正で一定の質量と角速度に対して、正の根は一つだけである。これは標準的な軌道力学の同期軌道の関係であり、今日の地球の上空に静止衛星を置くのと同じ関係である。新しいのは、それをどこで評価するかである。古典的反論は速さの条件を親天体の表面で評価した。LEF 経路はそれを共回転半径で評価する。

A.5.2 解放条件と妥当範囲

この等式は、動径速度がゼロで接触力が消えるとき、すなわち天体が純粋に横向きに動いており、接続部がもはやそれを押しも引きもしないとき、赤道上の円軌道に適合する。追加の速度がある場合や赤道外での解放の場合は、初期条件のベクトルを計算しなければならない。軌道の詳細は Paper 4 に属する。本論文では、角運動量収支に必要な補正のみを §A.6 と付録 D に保持する。

共回転に達しても、持ち上げや角運動量の移送に必要な仕事が消えるわけではない。速さの条件は線上で満たされるが、エネルギーと角運動量は途中で物質に供給されなければならない。扁平な親天体の場、成長する天体の大きさ、二体の重力もまた中心力場の記述に補正を課す。§A.4 の解は特定の二体補正を含むが、互いに接続された二つの変形した形状の完全な解ではない。

A.5.3 解放に対する条件の意味

§A.4 の結合解は収支上の最終状態を定める。すなわち、解放の瞬間にどれだけの角運動量が地球の自転にあり、どれだけが月の軌道にあるかである。それ自体は、そこからの後退の開始を決めない。付加された動径速度もまた、持続的な後退の十分条件ではない。それは離心率（軌道がどれだけ細長いか）と潮汐を変えるからである。遅れのモデルとレオロジー（荷重のもとで物質がどのように変形し流動するかの記述）は互いに整合していなければならない [3,4]。線の両側における潮汐の押しの方向は §A.8 で述べる。

A.5.4 Paper 2 と Paper 4 の境界

Paper 2 は、軌道の試験に引き渡す質量、自転、収支を定める。Paper 4 は軌道要素、傾き、解放後の進化を扱う。ここには計算された後退時間はなく、共回転半径の内側の自由軌道に対する一般的な禁止もない。接続されたシナリオでは、自由天体の方程式が適用されなくなる場所で、それらを接続状態の方程式で置き換える。月がなお洋梨体を通じて付着している間、月は接続部によって保持されており、自由な天体ではない。

A.6角運動量収支

速さの問題は共回転半径で解かれる。§A.1.1 の第二の問いが残る。親天体は、月をそこに置き、なお今日見られる系と一致するのに十分な角運動量を保持しているか。この節では収支を段階的に組み立てる。親天体の初期角運動量、物質を外へ移すコスト、現在の系との比較、周期・膨張・構造への感度、そして古典的分裂経路との比較である。

A.6.1親天体と初期収支

初期の親天体質量は $M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m$ である。後に移送される物質は、なおその慣性モーメントに含まれている。親天体は Maclaurin 回転楕円体として記述される。これは定常回転する一様な流体天体の平衡形状であり、極で扁平になり赤道で膨らみ、その軸について対称である。速く自転するほど扁平になる。均質な Maclaurin モデルにおいて、表の仮定のもとで次を得る [1]。

$$I_0=\frac{2}{5}M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_0=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

第一行は赤道半径 6,721 km の一様な回転楕円体の慣性モーメント（$k=2/5$）であり、第二行はそれに 5.5 時間の一日の角速度を掛けたものである。結果 $3.466\times10^{34}$ が、この経路が用いることのできる角運動量収支の全体である。形状方程式と完全な代入は付録 B に保持する。一様性は基準仮定であり、構造の変化は以下で試験する。

A.6.2 基本計算における移送のコスト

移送の前、月の物質は親天体の一部であり、親天体とともに回転して、親天体の角運動量のうちその分担分を運んでいる。一様な質量分布を代表する物質については、軸からの平均二乗距離は親天体のそれと同じであり、その分担分は次のとおりである。

$$L_{0,\mathrm{mat}}=m\omega_0\left\langle r_\perp^2\right\rangle =\frac25m\omega_0a_0^2\simeq4.21\times10^{32}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.$$

ここで $\langle r_\perp^2\rangle$ は、物質にわたる自転軸からの距離の二乗の平均である。同じ質量が共回転半径に位置し、なお親天体とともに回転しているとき、その角運動量は次のとおりである。

$$L_{\mathrm{orb},0}=m\omega_0R_{\mathrm{sync},0}^2\simeq5.83\times10^{33}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

これは約十四倍である。軸からの距離が増大し、それが二乗で入るからである。両者の差は親天体の自転によって供給されなければならない。収支全体に対する割合としては、

$$\boxed{\frac{L_{\mathrm{orb},0}-L_{0,\mathrm{mat}}}{L_{\mathrm{initial}}}\simeq15.6\%.}$$

親天体の角運動量の約六分の一が、移送の間に物質に受け渡される。これは、中心集中する核を考慮する前に、洋梨体によって親天体の自転が減速される量である（§A.4）。

基本計算では、赤道表面の供給源は約 13.8% を与え、元の半径の半分の位置にある同様の内部領域の代表的な試料は約 16.5% を与える。供給源が重要なのは、軸から遠くで出発する物質はすでにより多くの角運動量を運んでおり、付加が少なくて済むからである。特定の内部供給源には、それ自身の平均二乗距離が必要である。「内部」という語を、全球平均が必ず当てはまることを含意するものと受け取ってはならない。

A.6.3 現在の系との比較

次に、親天体の収支を今日の地球–月系が保持するものと比較しなければならない。現在の総量は二つの部分、すなわち地球の自転と月の軌道からなる。出典から写した基準定数は次を与える。

$$L_{\mathrm{spin}}=I_\oplus\omega_\oplus\simeq5.86\times10^{33},$$

$$L_{\mathrm{orbit}}=\mu_{\mathrm{red}}\sqrt{GM_{\mathrm{tot}}a_m(1-e_m^2)} \simeq2.855\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

ここで $a_m=3.844\times10^8$ m、$e_m=0.0549$ である。第二式は共通の中心を周回する二天体の軌道角運動量であり、$\mu_{\mathrm{red}}=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ は換算質量、$a_m$ は月の軌道の軌道長半径、$e_m$ はその離心率である。大きさの和は約 $3.441\times10^{34}$ であり、そのうち約 83% が軌道成分である。系の角運動量の大部分は、いまや地球の自転ではなく月の軌道にある。大きさの和に対する親天体の収支の余剰は約 0.7% である。親天体は今日の系が保持するよりわずかに多くを保持していた。これは太陽潮汐へのわずかな損失が要求する符号である（§A.2）。

自転角運動量と軌道角運動量はベクトルであり、同じ方向を向いていない。地球の軸は月の軌道面に対して傾いている。ベクトル間の角度を $\theta$ とすると、総量の大きさは次のとおりである。

$$L_{\mathrm{vec}}=\sqrt{L_s^2+L_o^2+2L_sL_o\cos\theta}.$$

角度をなす二本の矢印を加えると、端と端をつなげて並べるより短い合計となる。したがってベクトル和はスカラー和より小さく、それに対する親天体の余剰はより大きい。試験角度 18.3°、23.4°、28.6° に対して、約 1.46%、1.92%、2.51% の余剰を得る。これらの角度は感度試験として用いるものであり、ここでは観測上の時期を選んでおらず、完全なベクトル履歴も計算していない。月の現在の自転はきわめて小さいが、初期の自転はより大きく、両者は区別しなければならない。

余剰は親天体がどれだけ一様であったかに依存する。形状を固定して $k$ を変えると、スカラー和に対して約 0.397、ベクトルの範囲に対して約 0.390–0.394 の閾値が得られる。$k$ がこの値を下回れば、親天体の収支は今日の収支に届かない。現在の分化した地球の $k$ は約 0.33 であり、閾値を大きく下回る。したがってこの経路は、移送が始まったとき親天体がまだ分別の初期段階にあったことを要求する。この要件は §D.3 に挙げる。これは感度条件であり、成層した Maclaurin 解の族ではない。正の余剰は、この試験が角運動量の不足を見出さないことを意味するが、太陽への損失率との一致にはさらなる計算が必要である。

A.6.4 周期と膨張への感度

初期の一日が短いほど角運動量は多い。より大きな（より膨張した）親天体は慣性モーメントが大きく、より長い一日で同じ角運動量を保持する。したがって許容される初期周期は採用する膨張に依存する。基準モデルでは、4.90–5.54 時間の範囲は初期周期と、採用した収支および損失条件に関わる。5.54 時間では親天体はちょうど今日の角運動量を保持し、4.90 時間では約 15% 多く保持する。これが外部への損失について採用した限界である。その上限を、角運動量の移送後の最終周期に適用してはならない。最終周期は設計上より長いからである（§A.4）。付録 B は、採用した膨張とまだ行われていない熱的計算との区別を付して、当初の感度表を保持する。

図 5 は、許容される出発状態の地図として読む。横軸は高温の親天体がその冷えた半径に対してどれだけ膨張していたか、縦軸はその一日である。実線より上の出発状態は今日の系より少ない角運動量しか保持せず、除外される。破線より下の状態は 15% を超える余剰を保持し、外部損失が取り除けるより多い。両者の間の帯が許容範囲であり、大きな親天体ほど長い一日で同じ角運動量を保持するので、帯は右に向かって上昇する。基準状態、すなわち膨張 120 km での 5.5 h は帯の内側、上限のすぐ下にある。

A.6.5 平衡形状の比較

分裂説に対する古典的反論は、いまや正確に位置づけることができる。古典的経路では、地球全体が不安定になり分裂するほど速く自転しなければならない。一様な回転流体は、角運動量が増すにつれて既知の形状の系列をたどる。最初は Maclaurin 回転楕円体（§A.6.1）であり、扁平であるが赤道は円である。ある決まった扁平度で第二の族が分岐する。Jacobi 楕円体であり、その赤道はもはや円ではなく楕円であって、天体は端から端へ回転するラグビーボールのように細長くなる。Jacobi 系列をさらに進むと洋梨形の形状が現れ、古典的分裂はそこから進行すると期待された。これらの各点は、決まった自転と決まった角運動量を必要とする。

Maclaurin から Jacobi への古典的分岐点では、$e\simeq0.81267$ と $\omega^2/(\pi G\rho)\simeq0.37423$ により、採用した質量と体積に対して $T\simeq2.73$ 時間、$a\simeq7{,}802$ km、角運動量約 $9.42\times10^{34}$ を得る。これは現在の和に対しておよそ 2.74 の比である [1]。ここで $e$ は子午線断面の離心率（球ではゼロ、非常に扁平な天体では一に近づく）であり、$\omega^2/(\pi G\rho)$ は天体自身の重力に対する自転を測る。平たく言えば、古典的経路の最初の段階に達するだけでも、地球は三時間未満の一日と、地球–月系が保持する角運動量のほぼ三倍を必要とする。

これは、この古典的経路上の定義された配置との比較である。当初の基準計算の値 4.08 は Maclaurin 系列上の別の点、すなわち Jacobi 分岐ではなく $\Omega$ 最大の点に関するものであり、普遍的な限界として提示するものではない。これが、分裂説は約四倍多すぎる角運動量を必要とするというよく知られた記述の出所である。洋梨形の点に対する値 3.5 は、表の検証が完了していないため採用しない。

この違いの理由は、速さの条件を評価する場所にある。古典的経路は親天体の表面が軌道速度に達することを求める（§A.1.2）。それは親天体を分解へと追いやり、分解には利用可能な角運動量の数倍が必要となる。LEF 経路はその条件を決して用いない。物質は共回転のまま運び出され、速さの一致は共回転半径で達成される（§A.5）。そこでは 5.5 時間に一回転する親天体がすでに軌道速度を供給している。そこで評価すると、要求は親天体が実際にもつ収支にまで下がる。比較は同じ産物に至る二つの経路の間のものである。古典的経路は現在の収支の 2.74 倍を必要とし、この経路は 1.007 倍を必要とする。

A.6.6 赤道外での解放に対するベクトル補正

ここまでは、物質が赤道面内で離れると仮定した。赤道外では、ある緯度で解放された天体の軌道は自転に対して傾くので、自転ベクトルと軌道角運動量を同じ座標系で合計しなければならない。$S=I\omega$ を自転角運動量、$H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda$ を解放された天体の軌道角運動量とし、$\lambda$ を赤道面からの解放角とする。付録 D で定義した幾何に対して、

$$\boxed{L_0^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.}$$

これは §A.6.3 と同じ、角度をなす二本の矢印を加える規則である。初期収支は、自転と傾いた軌道のベクトル和に等しくなければならない。

最終的な軸に対する $\lambda=25^\circ$ と均質な構造の例では、二質量の結合計算は、最終周期 6.220 時間、基準距離約 17,240 km、収支の約 15.83% の軌道角運動量を与える。25° の値は、赤道外での解放が収支をどれだけ変えるかの感度試験である。採用する解放緯度、すなわち接触域の中心は 22.5° である（Paper 4）。これは収支に対する感度補正であり、新たに採用する基準値ではない。軌道傾斜角と離心率の導出、近地点、解放後の進化は Paper 4 に引き渡される。

A.6.7収支上の判定条件

この試験には、整合した初期状態、最終状態、外部への移動が必要である。

$$\mathbf{L}_i=\mathbf{L}_f+\Delta\mathbf{L}_{\mathrm{external}}.$$

この式は、角運動量保存を勘定として書いたものである。系が出発時にもっていたものは、いま保持しているものと外部から取り除かれたもの（地球–月系では主に太陽の潮汐による）の和に等しい。数値的な釣り合いが閉じることは、定義された状態の間の整合性を証明する。構造と外部移動の支持された範囲内で一致が見出せなければ、この収支上のシナリオは棄却される。一致は、天体がどのように力学的に最終状態に達するかを確立するものではない。それは Paper 3 の主題である。

したがって収支は次のとおりである。5.5 時間の親天体は今日の系よりわずかに多くの角運動量を保持し、移送はその約六分の一を要し、古典的経路はその 2.74 倍を必要としたであろう。

A.7ロッシュ限界

共回転半径に達した天体は、そこで一体を保たなければならない。質量の大きい親天体の近くでは、親天体の重力は天体の近い側を遠い側より強く引く。この差、すなわち潮汐力は天体を引き伸ばして引き離そうとする。ロッシュ限界とは、その内側でこの引き伸ばしが天体をまとめている天体自身の重力を上回る距離である。自己重力のみで保持されている天体は、その内側で損なわれずにとどまることはできない。

A.7.1二つの基準限界

$\rho_s=2{,}600\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ と離脱後の親天体質量に対して、

$$d_{\mathrm{fluid}}=2.44\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq19{,}971\ \mathrm{km},$$

$$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq10{,}314\ \mathrm{km}.$$

（以前の版では 10,313 km としていた。両者は丸めの範囲内で同じであり、シリーズでは 10,314 km を用いる。図 1、6、8、9 は流体限界を 19,972 km と表示しているが、これも丸めの範囲内で同じ値である。）括弧内の項は、地球の質量をもつ球が衛星の密度をもつとした場合の半径であり、限界はその一定倍である。二つの式はその倍数だけが異なり、その理由は物理的なものである。流体近似は変形する天体に関わる。天体は引き伸ばされると親天体に向かって長くなり、近い端と遠い端がさらに離れ、天体にかかる潮汐の差が増大して、より早く崩れる。そのため流体限界はより外側にある。いわゆる剛体近似は形状の変化を無視する。天体は丸い形を保ち、天体にかかる潮汐の差は小さいままで、より内側でも生き延びる。剛体近似には地殻の厚さも物質の強度も含まれない [1]。それは自己重力のみで保持され、単に形を変えないだけの天体である。基本半径と二つの結合半径はこれらの限界の間、すなわち流体限界の内側かつ剛体限界の外側にある。したがって地殻が存在するだけでは生存は確立されない。生存は、天体がそこで過ごす時間尺度において剛体として振る舞うかどうかに依存する。

ロッシュ限界は天体密度が増すにつれて内側へ移動する。密度の高い天体ほど自らをより強くまとめているからである。1 立方メートルあたり約 4,700 kg の密度であれば、流体限界は約 16,400 km の解放距離に移る。解放時の剛体的な天体には剛体限界が適用される（§B.7）。これはロッシュ近似で計算された要件であり、天体がその密度に達したことの証拠でも、すべての安定性要件の解でもない。

A.7.2 加速度の比較が示すこと

基本的な比較は、親天体の重力勾配と自己重力との間のものである。

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3},\qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

第一の量 $\Delta a$ は、天体の中心における親天体の引力と、$R_s$ だけ近い天体の表面における引力との差である。それは距離 $r$ の三乗に従って急激に減少する。第二の量 $g_s$ は、物質を内側に保持する天体自身の表面重力である。第一が第二より小さいとき、天体自身の重力が勝つ。付録 E の基準データでは比は 1 を下回る（15,818 km で約 0.277）。これは荷重の有用な尺度であるが、形状の変化と回転はこの比に含まれない。静的なロッシュ限界は比較の基礎を与える。離心軌道における応答は変形の履歴にも依存しうる [9]。

A.7.3条件付きのまま残るもの

共回転半径は強度の閾値ではない。それに達することで速さは決まるが、生存は決まらない。天体と接続部の性質は Paper 3 で、解放後の軌道は Paper 4 で検討する。Paper 2 は、ロッシュ領域における拘束的な滞在時間も、普遍的な粘性の閾値も採用しない。比較には解放距離だけでなく、選んだ軌道の最接近距離を用いるべきである。試験を論文間で分担しても、生存という要件がなくなるわけではない。

図 6 は、解放時の月を二つの限界の族に対して配置する。全密度範囲の剛体限界は月の位置のはるか内側にあり、流体限界はその外側にある。したがって解放時の月は剛体として安全であり、その扁平化と球形化は、月がなお付着していたより早い時期に完了していた（§B.7; Paper 7）。

A.8潮汐進化の方向

Part A の最後の問いは、解放後に何が起こるかである。月は地球から遠ざかるのか、それとも落ち戻るのか。答えは、月が共回転線のどちら側にあるかに依存する。

A.8.1 角運動量移動の方向

順行・円・赤道軌道について、親天体の自転を平均運動、すなわち周回する天体が親天体の周りを回る角速度と比較する。

$$n=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}.$$

周回する天体は親天体に潮汐隆起を起こす。$\omega>n$ のとき、親天体は天体の公転より速く回転し、その回転が隆起を天体の前方へ運ぶ。隆起は天体を前へ引いて角運動量を与え、天体は外へ上昇し、親天体の自転は遅くなる。潮汐方程式の言葉で言えば、親天体における散逸的な潮汐の寄与が、角運動量をその自転から軌道へ移す。$\omega<n$ のとき、天体は隆起を追い越し、隆起はそれを後ろへ引き、方向は逆転する。天体は角運動量を失い、内側へ渦を巻いて落ちる。厳密な円同期では関係する寄与は消える。隆起は天体の真下にとどまり、前向きにも後ろ向きにも引かない。$n$ は距離とともに減少し $\omega$ は減少しないので、共回転半径の外側では $\omega>n$、内側では $\omega<n$ が成り立つ。したがって共回転線は分水嶺である。そのすぐ外側で解放された天体は、最初から外向きに押される。軌道傾斜角と離心率をもつ軌道への一般化には、適切な潮汐方程式が必要である [2,3]。

図 7 は、現在の太陽系で働いている分水嶺を示す。火星には同期半径の反対側に二つの小さな衛星がある。内側の Phobos は内側へ引き寄せられつつあり、外側の Deimos は遠ざかりつつある。解放時の地球–月の場合は、線のすぐ外側に置かれた月に同じ規則を適用したものである。

Part A が完了し、問題は完全に定義された。共回転半径で閉じる速度差、その半径に達する洋梨体、二つの対立する過程によって定まる解放時の一日、今日の系に対して閉じなければならない収支、天体が合格しなければならないロッシュ試験、そしてその後の方向を決める潮汐の分水嶺である。Part B はそれらに一つの計算で答える。

Part A は条件を述べた。この Part は、単一の整合した数値の組がそれらすべてを同時に満たすことを示す。この点が重要なのは、各条件を単独で取り上げれば通常は一つのパラメータを調整して満たせるのに対し、同じ地球、同じ月、同じ自転でそれらすべてを満たすことは、この経路のはるかに強い試験となるからである。

B.1計算

入力。初期の地球の一日 $T_0=5.5$ h（§A.2）。体積等価半径 6,517 km、密度 5,214 kg m$^{-3}$ の均質で膨張した親天体（赤道 6,721 km、極 6,128 km）。月：月質量一つ分 $m=7.35\times10^{22}$ kg、密度 2,600 kg m$^{-3}$。「均質」とは、親天体を開始時に密度一様とみなすことを意味し、まだ分別の初期段階にある親天体に対する計算入力である。「膨張した」とは、親天体が高温であり、したがって同じ質量の冷えた地球よりいくらか大きいことを意味する（§A.2）。赤道半径と極半径が異なるのは、5.5 h に一回転する天体が赤道で膨らみ極で扁平になるからである。

Part A から解放状態へ、段階を追って。解放状態は、Part A の過程から五つの段階で得られる。下の表はそれらをまとめたものであり、行は上から下へ読み、色合いは各段階の方向を示す。赤は地球を減速させ共回転線を外へ移す段階、青は地球を加速させ線を内へ移す段階である。

1. 出発点。5.5 h の一日をもつ親天体は、共回転線を 15,818 km にもつ（§A.2.1）。共回転線とは、地球とともに回転する天体がすでに自由円軌道の速さで動いている距離である。

2. 洋梨体が地球を減速させる。洋梨体が伸長するにつれて、物質は地球とともに回転したまま外へ移動し、角運動量を運び去る。角運動量は天体の「回転の量」であり、質量と速さと軸からの距離の積である。外部トルクがなければその総量は保存される。物質とともに離れる角運動量は地球の自転から取られるので、地球はより遅く回転する。この段階単独では、一日は 5.50 から 6.44 h に長くなり、線は 17,569 km へ外に移る（§A.4）。

3. 組織化する核が地球を加速させる。同時に鉄は中心に向かって沈む。これは地球の慣性モーメント（質量が軸からどれだけ離れて位置するかの尺度）を下げ、腕を引き寄せるスケーターのように、地球はより速く回転する。上にあるマントルの二倍の密度の核（$D=2$）では、この段階は一日から 0.67 h を差し引く。

4. 正味の結果。二つの段階は同時に作用し、部分的に打ち消し合う。解放時の一日は 5.77 h であり、共回転線は、月を試験粒子として扱うと 16,331 km、下の二体の式で月自身の質量を含めると 16,399 km にある。本論文は二体の値を用い、約 16,400 km に丸める。

5. 解放。月は、その質量中心がこの線に達したときに分離し始める。月は投げ出されるのではなく、回転によってそこへ運ばれる。その距離では、回転する系の一部として月がすでにもっている速さが自由軌道の速さであるので、追加の押しは必要ない（§B.2）。

これらの段階の定量的な内容は次のとおりである。

1. 解放時の地球の一日。伸長する洋梨体と中心集中する核は同時に作用する（§A.4）。$D=2$ のとき、$$T=5.77\ \mathrm{h},\qquad \Omega=\frac{2\pi}{T}=3.025\times10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}.$$ ここで $T$ は一日の長さ、$\Omega$ は自転の角速度、すなわち毎秒回転するラジアン単位の角度である。沈む鉄による加速が洋梨体による減速の大部分を打ち消すので、一日は出発時の 5.5 h よりわずか約四分の一時間長いだけである。

2. 解放点。月は、その質量中心が共回転線に達したときに分離し始める。$$r=R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{G\,(M_\oplus+m)}{\Omega^{2}}\right)^{1/3}\simeq16{,}400\ \mathrm{km}.$$ これは二体について書いた §A.5.1 の共回転の式である。$G$ は重力定数、$M_\oplus$ は地球の質量、$m$ は月の質量である。言葉で言えば、それは円軌道の一周がちょうど地球の一回転と同じ時間を要する唯一の距離を与える。式に $m$ を含めることが、16,331 km を 16,399 km に変える。この値は今日の地球半径の約 2.6 倍である。$R_m=\left(\tfrac{3m}{4\pi\rho}\right)^{1/3}=1{,}890$ km により、近い点は地球中心から 14,509 km、遠い側は 18,289 km にある。$R_m$ は密度 2,600 kg m$^{-3}$ における月質量一つ分の球の半径であり、それを中心の 16,400 km から引き、また加えると、地球–月の線に沿った月の広がりが得られる。

3. 解放時の地球（Maclaurin、均質）：$$\frac{\Omega^{2}}{\pi G\rho_\oplus}=\frac{2\sqrt{1-e^{2}}\,(3-2e^{2})}{e^{3}}\arcsin e-\frac{6(1-e^{2})}{e^{2}} \quad\Rightarrow\quad a=6{,}701\ \mathrm{km},\ c=6{,}165\ \mathrm{km}.$$ Maclaurin 回転楕円体は、定常に自転する一様な流体天体の平衡形状、すなわち極で扁平になった球である。この方程式は自転（左辺、$\rho_\oplus$ は地球の平均密度）を、扁平度を測る数である離心率 $e$（球で 0、平たい円盤で 1 に近づく）に結びつける。5.77 h の自転についてこれを解くと、赤道半径 $a$ と極半径 $c$ を得る。したがって解放時の地球はなお明らかに扁平であるが、いまはわずかにゆっくり回転しているので、5.5 h の親天体（6,721 と 6,128 km）よりわずかに扁平度が小さい。地球の赤道表面と月の間の隙間は約 7,800 km である。すなわち 14,509 km にある月の近い点から赤道半径 6,701 km を引いたものである。これが洋梨体が橋渡ししなければならない距離である（§A.3）。

4. 角運動量。$$L_0=k_0Ma_0^{2}\Omega_0=3.466\times10^{34},\qquad L=I_\oplus\Omega+\mu\,\Omega\,r^{2}.$$ 第一の式は親天体の出発時の収支（§A.6.1、単位は kg m$^2$ s$^{-1}$）であり、慣性モーメント係数 $k_0$（一様な天体で 0.4）、質量、赤道半径の二乗、初期の自転からなる。第二の式は、解放時の同じ収支を二つの部分に分ける。地球の自転 $I_\oplus\Omega$（$I_\oplus$ はその慣性モーメント）と月の軌道 $\mu\Omega r^2$（$\mu=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ は二天体の換算質量、$r$ は解放距離）である。解放時に月の軌道は $5.9\times10^{33}$（17%）を、地球の自転は $2.88\times10^{34}$ を保持する。系は今日の値の 1.007 倍を保持する（以前の版では、今日の総量を $3.44\times10^{34}$ に丸めたことから 1.008 としていた。§A.6.3 の $3.441\times10^{34}$ を用いると 1.007 となり、全体を通じてこの値を用いる）。$5.9\times10^{33}$ は、二天体の共通中心の周りの軌道角運動量 $\mu\Omega r^2$ として定義され、換算質量 $\mu=7.26\times10^{22}$ kg、赤道上で $r=16{,}399$ km である。Paper 3 のように、月の全質量 $m$ を地球中心の周りで数えると、同じ状態は $6.0\times10^{33}$ を与える。22.5 ($r=17{,}287$ km, Paper 4) での解放では、月は自転軸から $r\cos22.5^\circ=15{,}971$ km の位置で回転し、同じ数え方で $5.7\times10^{33}$ を与える（Paper 3）。17% は移送の代価、すなわち元の回転のうち地球の自転から月の軌道へ移った割合である。総量、すなわち今日の 1.007 倍は現在の値をわずかに上回る。それ以来、太陽潮汐が系の角運動量の約 1% を取り除いてきた（§A.2）ので、これは要求される符号である。

図 8 はこの状態を縮尺どおりに描く。解放時に月がなお地球にいかに近いかを示している。約 7,800 km の隙間は §A.3 の洋梨体が橋渡しする。

これで完全な解放状態が得られた。地球の一日と形状、月の位置と大きさ、そして両者の間の角運動量の分配である。以下の節では、この状態を Part A の各問題に照らして確認する。

B.2速度差

§A.1 の問題は、5.5 h の地球の表面から解放された物質が約 2,133 m s$^{-1}$ で動き、円軌道の 7,701 m s$^{-1}$ をはるかに下回り、約 5,568 m s$^{-1}$ の差があることであった。回転が運ぶ速さは距離とともに増し、軌道速度は減少するので、差は距離とともに閉じる。共回転線上では回転が月にちょうど軌道速度を与え、$$v=\Omega r=\sqrt{\frac{G(M_\oplus+m)}{r}}\approx4{,}960\ \mathrm{m\,s^{-1}},$$ したがって差は残らない（§A.1、§A.5）。左辺は距離 $r$ において地球とともに回転する点の速さであり、右辺は同じ距離における自由円軌道の速さである。線上で両者は等しい。この値は 5.5 h の基準（§A.2.1）の 5,020 m s$^{-1}$ をわずかに下回る。わずかに遅い地球は線をより外側に置き、そこでは軌道速度がより低いからである。日常的なたとえは回転遊具の上の子どもである。中心から遠くに座るほど、誰も押さなくても速く動く。

B.3洋梨体

洋梨体は約 7,800 km を橋渡しし、全体が共回転線の内側にある。月は、その質量中心が線に達したときに解放される（§A.3。解放の機構は Paper 3『LEF 機構：実際』）。洋梨体は線の内側にあるので、回転座標系における正味の力はそれを地球に向かって引く（§B.5）。洋梨体は地球とともにとどまり、中心が線上にある月は自由に分離できる。月が損なわれずに離れ、接続部が月とともに行かないのはこのためである。

B.4相殺

計算は二つの過程を同時に考慮する。地球の一日 5.77 h、共回転線 16,331 km である（§A.4）。16,331 km は §B.1 の段階 4 の試験粒子値であり、月自身の質量を含めると解放点に用いる 16,399 km、約 16,400 km を与える。洋梨体のみの計算では 6.44 h と 17,569 km が得られ、核のみの計算では速すぎる地球が得られる。両者を合わせたときにのみ当時の地球が記述される。

B.5 共回転

月の質量中心は約 16,400 km で共回転線に達する。その先では共回転が月を外向きに引き、月は解放される。$$a_{\mathrm{net}}=\Omega^{2}r-\frac{GM_\oplus}{r^{2}}.$$ これは、距離 $r$ において地球とともに回転する物質が、回転座標系で感じる正味の加速度である。第一項は回転による外向き（遠心）加速度であり、距離とともに増大する。第二項は地球の重力であり、距離とともに減少する。線の内側では重力が勝ち、$a_{\mathrm{net}}$ は内向きとなる。これが洋梨体が地球に保持される理由である。線上では両者が釣り合い、線の外側では回転が勝って物質は外向きに引かれる。月の質量中心が線を越えるやいなや、天体全体が地球から引き離され、分離する。

図 9 は、分離が始まる瞬間を拡大したものである。線は月の中心を通って引かれており、月の近い半分はなおその内側に、遠い半分は外側にある。

B.6 角運動量

系は今日の角運動量の 1.007 倍を保持する。解放時に、地球に残る自転角運動量から導かれる地球の慣性モーメント係数は $k=0.355$ である。$q=0.55$ と $D=2$ の二層構造は $$k=\frac{2}{5}\,\frac{(1-q^{5})+Dq^{5}}{(1-q^{3})+Dq^{3}}=0.360.$$ を与える。係数 $k$ は質量の分布を記述し、一様な球で 0.4、質量が中心に集まるとそれより小さくなる（今日の地球は約 0.33）。値 0.355 は、5.77 h の自転が残りの $2.88\times10^{34}$ を運ぶために地球が解放時にもたなければならない値である。この式は二層の地球、すなわち半径の割合 $q$ まで達し、外層の $D$ 倍の密度をもつ内層からなる地球について $k$ を計算する。$q=0.55$ と $D=2$ では 0.360 を与え、要求される 0.355 に近い。したがって、解放状態が要求する角運動量と、沈む鉄が生み出す構造とは互いに一致する。外部からの巨大衝突も、その後の角運動量の除去も必要ない。高角運動量の衝突モデルは今日の値の約 2–3 倍から出発する。この経路は、今日の地球–月系が保持するものに、その後太陽潮汐が取り除いたおよそ 1% を加えたもので収支を閉じる。

B.7ロッシュ限界

ロッシュ限界とは、その内側で大きな天体の潮汐による引力、すなわち小さな天体の近い側と遠い側の間の重力の差が、小さな天体自身の重力を上回り、それを引き裂きうる距離である。二つの古典的な形がそれを挟む。$$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3},\qquad d_{\mathrm{fluid}}=2.44\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3}.$$ 剛体の形は形状を保つ天体に、流体の形は自由に変形し、したがって潮汐によってさらに引き伸ばされる天体に適用される。どちらでも $\rho$ は小さな天体の密度であり、密度が高いほど近くまで来ることができる。16,400 km にある月の中心は剛体限界（1,300–3,344 kg m$^{-3}$ に対して 9,484–12,994 km）のはるか外側にある。同じ距離は、2,600 kg m$^{-3}$ の天体に対する流体限界（19,971 km、§A.7.1）の内側にある。したがって二つの限界のどちらが適用されるかは、解放時に月が剛体的であるかどうかによって決まる。球形化は解放前に完了しており、天体は剛体的で球形である。月の天体の扁平化とその後の球形化は、月がなお付着していたより早い時期に起こった（Paper 7『極』）。線を離れるのは剛体的な外殻をもつ天体である。剛体的な天体は潮汐応答を $$\frac{1}{1+\dfrac{19\mu}{2\rho gR}},$$ だけ減じるので、$\mu\ge10$ GPa に対して軸比は高々 1.04 である。ここで $\mu$ は天体の剛性（剪断弾性率）、$g$ はその表面重力、$R$ はその半径であり、$\rho gR$ は天体自身の重さによる圧力である。この因子は、自身の重さによる圧力に比べて剛性が大きい天体は、流体の天体が変形する量のわずかな割合しか変形しないことを示す。軸比が高々 1.04 であるとは、月の最長軸が最短軸を 4% 以上は上回らないこと、すなわち天体が球形を保つことを意味する。

B.8潮汐進化の方向

月は共回転線上で解放され、潮汐は地球の自転から月へ角運動量を移す。月は遠ざかる（§A.8。軌道は Paper 4『軌道』）。線のちょうど上では、地球は月が公転するのと同じ時間で一回転するので、潮汐の効果は中立である。分離そのものが、月の半分を少し超える部分が線を越えたとき、月の質量中心を線の約 210 km 先へ運ぶ（§D.3 の余裕 $\Delta r\simeq2d_0$）。そこでは地球は月の公転より速く自転し、地球に起こされた潮汐隆起は月の前方を進んで月を前へ引き、月は外へ移動する。これは今日 Deimos が位置する分水嶺の側である（図 7）。

線からどれだけ先か。線を越えた距離は解放半径に比べれば小さいが、最初の軌道の形を定める。線上では月はちょうど円軌道の速さをもつ。線を越えるとそれよりわずかに大きな速さをもつので、解放点はわずかに引き伸ばされた軌道の最接近点となり、離心率 $e_0$ は距離とともに増大する。表はこれを、5.77 時間の一日で共回転線が 17,287 km にある解放緯度 22.5° について追う。初期軌道は Paper 4 の式（付録 A）から、最終角度は Paper 4 の簡約 tan 則（Part D）から得る。「越えた割合」は、解放時に線の外側にある月の体積の割合である。

表 B.8. 22.5° での解放：解放が共回転線を越えて移るにつれての初期軌道と簡約則の最終角度（Paper 3, §C.5a）。紺色は最終角度とともに濃くなり、緑は観測値 5.145°、すなわち採用する解放を示す。

線のちょうど上での解放は円を与え、潮汐は円を円のまま外へ運ぶ。したがって月の現在の離心率は、その質量中心が線を越えた少し後での解放を要求する。約 210 km で簡約則は観測された傾斜角を再現し、Paper 3（§C.5a）は、同じずれが高温の若い月について今日の離心率 0.0549 を再現することを示す。シリーズはこの解放を採用する。Paper 3 は離心率の表と先端の緯度への感度を与え、Paper 4 の完全な積分は解放状態を歴史全体を通じて追跡する。

ここまでで得られたこと：§B.1 の解放状態は、一つの数値の組で Part A の七つの問題のそれぞれを満たす。

C.1 示されたこと

表は Part A の各問題を Part B で与えた答えと対にしている。行ごとに読み、各チェック印は、§B.1 の解放状態が別個の仮定なしにその問題を満たすことを意味する。

この Part は、本論文が何を主張し、各主張がどのように試験され、この経路がその機構に何を要求するかを一か所にまとめる。これらの点は本文中に散在するのではなく、ここに見出される。

D.1中心的主張と試験

表は五つの中心的主張を挙げる。第一列は各主張の名称とその位置づけを、第二列はそれが仮定し予測するものを、第三列はそれがどのように試験されるかを示す。

平易な言葉で言えば、主張は次のとおりである。

• 共回転。主張は、共回転線において回転による速さが軌道速度に等しいことである。シナリオが必要とする補正（扁平な地球の場、月の大きさ、二天体間の引力）は、その等式に照らして確認される。

• 角運動量の閉合。主張は、$3.466\times10^{34}$ の出発時の収支が約 16,400 km での解放に十分であることである。解放前の収支は、構造と太陽潮汐による損失を通じて解放後の収支と一致させられる。

• 構造への感度。主張は、沈む核が一日と線を計算どおりに変えることである（§A.4.1）。計算は走査した各構造について一つの解に落ち着く。

• 非赤道の角運動量。主張は、赤道外での解放が、計算されたベクトル補正だけ収支を変えることである（§A.6.6）。すべてのベクトルは一つの座標系で合計される。

• 生存。主張は、月が解放時に地球の潮汐を生き延びることである。これは後続の論文で試験される。

これらの主張はすべてが独立した観測上の予測というわけではない。あるものは物理的恒等式、あるものは整合性試験、あるものは機構に対する要件である。この区別は付録 F の新規性マップに保持する。共回転の式のような恒等式は、入力が正しければ誤りえない。整合性試験は数値が閉じることを確認する。要件は次の論文が満たさなければならない条件である。

D.2本研究の新規性

共回転の式、Maclaurin 形状、角運動量保存、ロッシュ限界は既存の物理学である。本研究は、質量・形状・自転の変化の整合した計算と感度範囲の提示を伴って、接続移送の条件へのそれらの共同の適用を検討する。「接続移送」とは、物質が表面から打ち上げられるのではなく、線に達するまで地球につながったまま地球とともに回転することを意味する。これは、分裂説に対する古典的反論、すなわち収支が数倍大きすぎるという反論が生じない解放条件である（§A.6.5）。歴史的な先行性を完全に主張するには付録 F の先行研究の確認が必要である。数値的再現の成功は先行性を証明しない。

D.3仮定されるものと要求されるもの

議論を支える仮定と要件は、各結果のそばで繰り返すことを避けるため、ここにまとめる。各行は採用値または要求値を与える。

いくつかの行には説明が必要である。熱膨張は、高温の若い地球が冷えた地球よりどれだけ大きかったかの量である。6,495 km は許容範囲の下端（膨張 98 km）における体積等価半径である。解放条件は次のように読む。共回転線のちょうど上で解放された天体は潮汐的に中立な状態にある。線の外側に位置するやいなや潮汐はそれを外向きに押すので、月は最初から遠ざかる（Paper 4, §B.2）。分離は質量中心を余裕 $\Delta r\simeq2d_0$ だけ線の外側に置く。ここで $d_0$ は接続部の厚さの尺度である（付録 E、行 E47）。余裕は約 210 km、$d_0\approx105$ km であり、Paper 3, §C.5a の解放距離の探索によって定まる（以前の版では約 100 km としていた）。収支の比較は二通りに行う。自転角運動量と軌道角運動量を単なる大きさとして合計する（スカラー）と 0.7% の余剰を与え、角度をなすベクトルとして合計すると 1.5–2.5% を与える（以前の版では 1.5–2.6% としていた。試験した三つの角度のうち最大のものは 2.51% を与える）。スカラー和が基準であり、ベクトル和は感度試験である（§A.6.3）。

最初の三行は範囲を伴う採用値であり、次の二行はこの経路が Paper 3 に課す要件、最後の二行は本論文自身が行う確認である。七つのいずれも結果の中に隠されてはおらず、いずれも共回転半径を述べるのに必要ではない。共回転半径は親天体の質量と自転のみから導かれる。

月の大きさの天体は、外部からの巨大衝突なしに、地球自身の物質から軌道に到達しうる。高速で自転する地球が速さを供給し、洋梨体が地球を共回転線に結び、伸長する洋梨体と中心集中する核が合わせて解放時の地球の一日を 5.77 h に定める。剛体的で球形の月は、その質量中心が約 16,400 km で共回転線に達したときに解放される。角運動量収支は今日の値の 1.007 倍で閉じ、太陽潮汐への損失と整合する。そして月は解放の瞬間から遠ざかる。

一つの連鎖として述べれば次のとおりである。地球の回転が物質を外へ運ぶ。運ばれる速さが軌道速度に等しくなる線が、月の離れる場所を定める。洋梨体と核の釣り合いがその線の位置を定める。そして地球が出発時にもっていた角運動量は十分であり、太陽が後に取り除くための約 1% の余裕がある。

E.1保持される以前の結論

本論文の以前の版の以下の結論は引き続き有効であり、当初の基準値とともにここに保持する。

1. 解放条件が速度の試験を決める。表面からの直接解放と共回転での移送は異なる初期条件である。表面での解放は速度差を残し（§A.1.2）、共回転での移送は何も残さない（§B.2）。

2. 当初の基準値は、周期 5.5 時間で、それについて設定された質量の定義のもとで約 15,818 km である。これは移送が始まる前の線であり、約 16,400 km という解放時の値は、洋梨体と核が作用した後の線である（§B.1）。

3. 物質への付加は、基本で約 15.6%、結合解で約 16.5% である。約 17.7% は、洋梨体のみの結合状態（$D=1$、6.44 h、17,569 km）に対する試験粒子近似での最終的な軌道角運動量である。$D=2$ の解放状態では、月の軌道は約 17.0% を保持する（§B.1）。これら三つの百分率は異なる量を測る。最初の二つは移送の間に物質が獲得しなければならない角運動量（§A.6.2）、三つ目は最後に月の軌道が保持する収支の割合である。

4. 内部構造とベクトルの幾何は結果に影響するので、測定された過去の値としてではなく感度試験として含めた。

5. 共回転が速さと収支を供給する。共回転を越えた力学的分離、持続的な後退、ロッシュ領域での生存は、この経路がその機構に課す三つの条件であり、§D.3 にまとめられている。

今後の研究 — 研究への開口

本論文の計算は、他の研究グループが取り組む用意のある今後の研究の入力を定める。各項目は、本論文が行わない計算と、その結果を用いるシリーズの論文を挙げる。

1. 成層 Maclaurin 問題。結合した最終状態（§A.6.2）は、慣性係数を変化させた一様な形状を用いる。下降する鉄をもつ親天体の Clairaut–Darwin–Radau による扱いは、中心集中する核に対する共回転半径を自己無撞着に与え（$D=2$ で約 16,300–16,400 km）、Paper 4 にその出発軌道を引き渡す。Clairaut–Darwin–Radau 法は、密度が内側に向かって増大する回転天体の形状を計算する標準的な方法である。それは、ここで用いた一様な形状を、沈む鉄に従う形状で置き換えるであろう。

2. 初期地球の散逸。約 2.6 地球半径（16,400 km。以前の洋梨体のみの 6.44 h の状態では 2.8 地球半径）からの後退は $k_2/Q$ とその履歴によって定まる。現在の値は異常である。ここで $k_2$ は潮汐のもとで地球がどれだけ変形するかを、$Q$ は潮汐エネルギーのどれだけを散逸するかを測り、その比が月の遠ざかる速さを定める。解放時の 5.77 時間の一日（以前の洋梨体のみの状態の 6.4 時間の一日ではなく）から走らせた海洋共鳴モデルは、Paper 4 が必要とする速さの関数を与えるであろう。

3. 親天体の熱膨張。ここで採用した 120 km（許容範囲 98–520）は、マグマオーシャンの深さと融体の膨張からの推定である。高温で揮発性物質に富む初期地球の状態方程式の積分はそれを確定させ、それとともに回転の範囲を確定させるであろう。

4. 後退の開始。共回転線のちょうど上で解放された天体は潮汐的に中立な状態を感じる。地球は天体が一周する時間で一回転し、潮汐はそれを外へ押しも内へ引きもしない。天体が線の外側に位置するやいなや潮汐はそれを外向きに押すので、月は最初から遠ざかる（§B.8; Paper 4, §B.2）。分離は、質量中心を解放の余裕 $\Delta r\simeq2d_0$、約 210 km だけ線の外側に残す（§D.3、§E.1）。Paper 3 の解放状態から出発し、両天体に周波数依存のレオロジーを用いた潮汐積分は、余裕の範囲と最初の後退の速さを確定させるであろう。「周波数依存のレオロジー」とは、各天体が潮汐に屈する仕方が、潮汐がどれだけ速く変化するかに依存することを意味する。

5. 流体ロッシュ限界の内側での生存。付録「加速度とひずみの見積もり」のオーダー評価によるひずみの見積もりは変形解ではない。地球から約 16,400 km にある 1,890 km の剛体的な天体について、そこで過ごす $10^1$–$10^3$ 年にわたる粘弾性計算がそれに代わるであろう。粘弾性計算は天体を短時間では弾性的、長時間ではゆっくり流動するものとして扱う。これは剛体的な外殻をもつ高温の天体の振る舞いである。

6. 古典的経路。Jacobi 分岐での因子 2.74 は計算済みである。Jacobi 系列に沿った洋梨形の点は表の値の検証を必要とし、この質量と密度に対する系列の現代的な計算がそれを決着させるであろう。Jacobi 系列は、高速で自転する流体天体が Maclaurin 形状を越えて移行する、細長い三軸の平衡形状の族である（§A.6.5）。

コードの入手可能性

本論文のすべての数値結果は、LEF 再現パッケージ（Python 3、numpy、scipy）のスクリプトによって再現され、それは本文に記した入力から各節の値を出力する。パッケージはこのプレプリントに補足資料（LEF_code_and_data.zip）として添付されている。シリーズとパッケージの以前の版は doi:10.5281/zenodo.22743615 に寄託されている。

この付録は、本論文のすべての数値の基礎となる定義を定める。それは §A.2.1 と §A.5 の共回転半径（5.5 時間の基準で 15,818 km）と §B.1 の解放距離を支える。いずれかの結果を確認したい読者はここから始めるべきである。再現の間の見かけ上の不一致の大部分は、異なる物理からではなく、質量、距離、定数の異なる選択から生じるからである。

短い完全な導出は §B.1 にある。二つの質量を区別しなければならない。$M_{\mathrm{tot}}$ は初期の全質量、すなわちそのいずれもが離れる前の地球と月の物質の合計である。$M_\oplus$ は最終の親天体質量、すなわち月の物質が第二の天体に割り当てられた後の地球である。一方を意図するところで他方を用いると、月の質量を二重に数えるか、まったく数えないことになる。

二つの距離もまた区別しなければならない。親天体の中心に対する半径は、系の質量中心に対する半径ではない。実際の質量をもつ第二の天体が存在すると、二天体はその共通の質量中心の周りを回転し、それは地球の中心からわずかに離れている。二体の場合、距離 $r$ は中心間の距離であり、重力パラメータ（重力定数と引く質量の積）は $G(M_\oplus+m)$ である。各天体は他方の引力のもとで周回し、相対運動は質量の和によって支配されるからである。

定数は再現された出典の入力であり、暦表（観測された位置の表）への新たなフィットではない。したがって質量の定義を変えるには新たな計算が必要であり、15,818 というラベルを黙って変えることではない。その数値は一つの明示された定義に属し、異なる定義は異なる数値を生む。

この付録は、移送が始まる前の若い地球の形状と角運動量を導出する。それは §A.6.1 と §B.1 の初期収支 $L_0\simeq3.466\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$、§A.6.3 の現在の系との比較、§A.6.4 の図 5 の許容領域を支える。手順は次のとおりである。質量と大きさを定める。一様な天体が 5.5 時間の自転でとる扁平な形状を求める。その慣性モーメントを計算する。自転角速度を掛ける。

Appendix B.1初期構造の導出 — 保持された基本テキスト

段階 1：質量。$G=6.674\times10^{-11}$、$M_\oplus=5.972\times10^{24}$ kg、$m=7.35\times10^{22}$ kg を採用する。移送の前、月の物質はなお地球の一部であるので、親天体は両方を運ぶ。コードでは採用値の厳密な和を保持する。

$$M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m=6.0455\times10^{24}\ \mathrm{kg}.$$

出典におけるその丸めた値は $6.045\times10^{24}$ である。丸めの差は再現の間の小さな差を説明するものであり、物理的な差ではない。

段階 2：大きさ。地球の平均密度を通じて定義された基準半径は約 6,397 km である。これは初期の全質量が現在の地球の密度でもつであろう半径である。モデルにおける若い地球は高温で膨張している。採用した 120 km の付加により、体積等価半径 $R_{V,0}=6{,}517$ km（扁平な天体と同じ体積をもつ球の半径）と、1 立方メートルあたり約 5,214 kg の密度を得る。

段階 3：形状。自転する一様な流体天体は扁平な形状に落ち着き、極を通る方向より赤道で幅が広くなる。一様な密度の天体ではこの形状は Maclaurin 回転楕円体であり、その形は一つの方程式によって定まる [1]。

$$\mathcal M(e)=\frac{2\sqrt{1-e^2}}{e^3}(3-2e^2)\arcsin e -\frac{6(1-e^2)}{e^2}, \qquad \frac{\omega^2}{\pi G\rho}=\mathcal M(e).$$

言葉で言えば、左辺 $\omega^2/(\pi G\rho)$ は、天体自身の重力がそれをどれだけ強くまとめているかに比べて天体がどれだけ速く自転しているかを測る（$\omega$ は角速度、$\rho$ は密度）。右辺 $\mathcal M(e)$ はその釣り合いが要求する扁平度であり、子午線断面の離心率 $e$ を通じて書かれる。$e=0$ は球であり、天体が扁平になるにつれて $e$ は増大する。自転と密度が与えられれば、方程式は $e$ について解かれる。

$e$ がわかれば、赤道半径 $a$ と極半径 $c$ は体積等価半径から得られる。

$$a=\frac{R_V}{(1-e^2)^{1/6}}, \qquad c=R_V(1-e^2)^{1/3}.$$

これら二つの式は体積を一定に保つ。$a^2c=R_V^3$ であり、天体は物質を得ることも失うこともなく扁平になる。

最大値未満の与えられた自転に対して、Maclaurin 方程式は二つの解をもつ。一つはわずかに扁平な解、もう一つは強く扁平な解である。球から徐々に自転を速められた天体は第一の解に従う。球形に近い分枝では $e_0\simeq0.4107$、$a_0\simeq6{,}721$ km、$c_0\simeq6{,}128$ km を得る。赤道は極より中心から約 600 km 遠い。

段階 4：慣性モーメントと角運動量。慣性モーメントは天体を回転させることの難しさを測り、その質量が軸からどれだけ離れて位置するかに依存する。短軸の周りに回転する一様な回転楕円体では、それは質量と赤道半径の二乗の積の $\frac25$ である。角運動量は慣性モーメントと角速度の積である。

$$I_0=\frac25M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_{\mathrm{initial}}=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

ここで $\omega_0=2\pi/19{,}800$ s$^{-1}$ は 5.5 時間の一日の角速度である。この囲み付きの数値が、移送が引き出しうる収支の全体である。§A.6 はそれを現在の地球–月系と比較する。

一様な密度は計算入力である。それはまだ分別の初期段階にある親天体を記述する。鉄は開始時にすでに核に集まりつつあったかもしれず、核の組織化は移送を通じて解放の後まで続いた。分化を完了していない天体が必ずしも一様であるとは限らない。一様な密度からのずれの影響は、以下の感度試験（付録 C と §A.4.1）で検討する。

Appendix B.2当初の膨張の走査

120 km の膨張は採用値であるので、問題は結果がそれにどれだけ依存するかである。表がこれに答える。各行は一つの膨張を与える。第二列は結果として得られる体積等価半径、第三列は一日が 5.5 時間の場合の現在の収支に対する初期収支の余剰、第四列は収支がなお現在の収支に等しい最長の初期の一日（スカラー上限）である。表を下へ読むと、膨張が増すにつれて天体は大きくなり、慣性モーメントが増大し、余剰と上限はともに増大する。

二つの行が許容範囲の端を示す。膨張がなければ収支は現在の収支に 3.3% 届かず、したがって 5.5 時間で自転する膨張していない親天体は今日の系を供給できない。98 km では収支はちょうど現在の収支に等しく、これが成り立つ最小の膨張である。520 km では余剰は 15% に達し、これは後に太陽に失われえた量について採用した限界である。§D.3 の 98–520 km の範囲はこれら二つの行から得られる。

この表は、スカラーモデルの感度として出典の表から保持したものである。5.54 時間の上限は基準状態に属し、あらゆる可能な構造に属するものではない。4.90 時間の下限は、採用した 15% の外部損失の上限に基づく。その上限の独立した導出はここにはない。したがって 4.90–5.54 時間の範囲は証明された観測的制約ではなく、採用した入力が整合性を保つ範囲である。

120 km もまた採用したパラメータである。このパラメータを熱膨張を表すのに用いても、状態方程式の計算（物質の密度が圧力と温度によってどのように変化するかを層ごとに追う計算）に代わるものではない。圧力下の天体の膨張を確立するには構造と密度の積分が必要であり、層の深さと膨張係数に基づく線形の見積もりは閉じた独立の基礎ではない。今後の研究のリストは、この計算を研究への開口として挙げている。

この付録は、§A.4 と §A.4.1 の背後にある二層計算がどのように設定されたか、そしてその数値がどこまで信頼できるかを述べる。それは密度比 $D$ に対する最終周期と共回転半径の表（$D=2$ に対して 5.77 時間と 16,331 km）と、§B.6 の値 $k=0.360$ を支える。物理的な着想は腕を引き寄せるスケーターである。鉄が中心に向かって沈むと慣性モーメントが減少し、角運動量が一定であれば自転は速くなる。

モデルは内層と外層の二層からなる。$q$ は内側の体積等価半径と外側のそれとの比であり、$D$ はそれらの密度の比である。層は非圧縮性で共有された回転の中にあり、一つの天体として一緒に回転する。最終的な天体の体積はシナリオ間で一定である。$L_0$ を定めるのに用いる初期状態は均質のままであるので、すべてのシナリオは同じ収支から出発し、最終的な天体がその質量をどのように配置したかだけが異なる。

各シナリオについて、両方の境界上で一定の有効ポテンシャルを解く。各境界は重力と遠心力を合わせたポテンシャルが等しい面であることが要求され、これは流体層が回転座標系で静止しているための条件である。そのうえで $I$ は、一様な天体の式から取るのではなく、密度と形状から直接計算される。ここには時間に沿った分化の経路も状態方程式もない。計算は最終状態を比較するものであり、鉄の沈降を段階ごとに追うものではない。

二つの確認が精度を定める。境界の形状を変化させることを許すと（厳密な回転楕円体であることを強制する代わりに）、$q=0.55$ の走査で半径は最大約 2.5 km 変化した。これは 15,000 km を超える共回転半径に比べて小さい。数値分解能を変えると半径は数メートル変化した。場の残差はすべての確認で単調に収束するわけではないので、メートル水準の物理的精度は主張しない。結果はキロメートル水準で信頼でき、本論文はその水準でそれらを用いる。

主計算は月を赤道面内で解放する。この付録は、解放点が赤道から外れている場合に何が変わるかを問う。それは §A.6.6 の収支方程式とそこに引用した感度値を支える。要点は幾何学的なものである。赤道外では、月の軌道角運動量と地球の自転角運動量はもはや同じ軸に沿って向かず、異なる方向を向く角運動量は単なる数としてではなく矢印として加わる。

$z$ を最終的な自転軸とし、$\lambda$ をその赤道に対して測った解放点の緯度とする座標系では、全角運動量は次のとおりである。

$$\mathbf{L}_{\mathrm{tot}}=(-H\sin\lambda,0,S+H\cos\lambda),\quad H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda.$$

ここで $S$ は軸に沿った地球の自転角運動量である。$H$ は月の軌道角運動量であり、$\mu_{\mathrm{red}}$ は二天体の換算質量、$\omega$ は共通の角速度、$r\cos\lambda$ は自転軸からの解放点の距離である。回転が供給する速さに効くのはその距離だけである。軌道の矢印は自転軸から $\lambda$ だけ傾いているので、軸に沿った成分 $H\cos\lambda$ と軸を横切る成分 $-H\sin\lambda$ をもつ。

全体の矢印の長さは、成分を二乗して加えることで求められる。

$$L_0^2=(H\sin\lambda)^2+(S+H\cos\lambda)^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.$$

これより §A.6.6 の収支方程式が得られる。初期収支はこの長さに等しくなければならない。$\lambda=0$ ではそれは赤道計算の単純な和 $L_0=S+H$ に帰着する。自転と全角運動量の間の角度は次のとおりである。

$$\beta=\arctan\left(\frac{H\sin\lambda}{S+H\cos\lambda}\right).$$

この角度は、地球の最終的な自転軸が系全体の軸からどれだけ傾いているかを示す。これは Paper 4 が追跡する傾きの出発点である。

試験 $q=0.55$、$D=1$、$\lambda=25^\circ$ に対して、試験粒子近似では約 17,177 km と 3.85°、二質量では約 17,240 km と 3.84° を得る。25° は補正の大きさを示すために選んだ感度試験の値である。採用する解放緯度は接触域の中心である 22.5° であり、そこでの解放は Paper 4（軌道）で再計算される。これらは提案された感度結果であり、基準値に代わるものではない。以前の数値 17,115 と 4.48° は、座標系の整合性の補正を要したため記録の中で区別された。それらは異なる軸に対して表されたベクトルを混在させていた。この運動学的方程式は軸が時間とともにどう変わるかを計算せず、ある一時点の状態を与える。

Paper 4 向けの軌道に関する資料を含む完全な文書：LEF_PaperI_Calculation2_Latitude25_HE。

この付録は §A.7 と §B.7 の背景、すなわち二つのロッシュ限界と、地球の潮汐が若い月にどれだけ強い荷重をかけるかの最初の見積もりを与える。ロッシュ限界とは、その内側で衛星の近い側と遠い側にかかる地球の引力の差（潮汐による引き伸ばし）が、衛星をまとめている衛星自身の重力を上回る距離である。流体のように自由に変形する天体は細長くなり、それによって自らにかかる引き伸ばしを増大させるので、その限界はより外側にある（係数 2.44）。形状を保つ天体の限界はより内側にある（係数 1.26）。この付録が答える問いは、解放距離において潮汐荷重がどれだけ大きいか、そしてその荷重を生存の結果に変えるには何がさらに必要かである。

定数 1.26 と 2.44 と限界の定義は以前のテキストから保持した。いわゆる剛体係数の出典とその妥当範囲の焦点を絞った検証は、投稿前に完了しなければならない。それには地殻の強度則は含まれない。剛体限界は形状を変えない天体を記述するが、どのような物質強度がそれを可能にするかは述べない。

加速度とひずみの見積もり — 保持された以前の計算テキスト

見積もりは二つの加速度を比較する。$\Delta a$ は潮汐による引き伸ばし、すなわち地球への線に沿った、天体の中心と表面における地球の引力の差である。$g_s$ は天体自身の表面重力である。天体半径 $R_s=1{,}890$ km に対して、

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3}, \qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

引き伸ばしは距離 $r$ の三乗に従って減少する。距離を半分にするとそれは八倍になる。15,818 km では $\Delta a\simeq0.381$、$g_s\simeq1.373$ m/s²、比は約 0.277 を得る。この比は潮汐による引き伸ばしを自己重力と比較する。1 未満であれば自己重力が勝ち、この距離では潮汐は天体自身の重力の四分の一をわずかに超える程度である。1 未満の比は必要であるが、変形する天体については問題を決着させない。流体限界の内側で過ごす年月にわたる高温の天体の変形が、§D.3 の生存条件である。

次の段階では、加速度を応力に、応力を時間に変換する。応力の見積もりは次のように組み立てられる。

$$\sigma_{\mathrm{tidal}}\sim\rho_s\Delta aR_s\sim1.9\times10^9\ \mathrm{Pa}, \qquad t_{\mathrm{strain}}\sim\frac{\varepsilon_*\eta}{\sigma_{\mathrm{tidal}}}.$$

第一の式は、密度 $\rho_s$、高さ $R_s$ の天体物質の柱に、加速度 $\Delta a$ のもとでかかる重さに似た荷重である。第二の式は、粘性 $\eta$（流動への抵抗、パスカル秒単位）の物質が、その応力のもとでひずみ $\varepsilon_*$（形状の相対的変化）に達するのにどれだけかかるかを示す。物質が硬いほど長くかかる。

$\varepsilon_*=0.5$（形状の半分の変化）と $\eta=10^{19}\ \mathrm{Pa\,s}$ を選ぶと約 85 年を得る（$\rho_s=2{,}600$ kg/m$^3$、$\Delta a\simeq0.381$ m/s$^2$、$R_s=1{,}890$ km で応力は $1.87\times10^9$ Pa である。この見積もりの以前の版では $1.4\times10^9$ Pa と約 116 年としていたが、これは約 1,950 kg/m$^3$ の天体密度に対応する）。これは一定の代表的応力のもとでのひずみの見積もりであり、破壊時間の計算ではない。レオロジー（物質が時間とともに荷重にどう応答するか）、形状、変化する応力、実際の滞在時間を検討しなければならない。

この見積もりはパラメトリックな依存性として保持する。それは時間が粘性と応力とともにどう変わるかを示し、読者が他の値を代入できるようにする。滞在時間そのものは軌道計算に属し、ここでは採用しない。第三の計算文書は、ロッシュ、荷重、軌道の確認と、結果と未決の要件との区別をまとめている：LEF_PaperI_Calculation3_Release_Survival_HE。力学的荷重は Paper 3（LEF 機構：実際）向け、軌道の表は Paper 4（軌道）向けである。

この付録は、構成要素ごとに、本論文が既存の物理学から何を取り入れ、何を付け加えるかを述べる。それは §D.2 の新規性の記述を支える。表は行ごとに読むべきである。第一列は議論の構成要素を挙げ、第二列はそれが標準的な物理学か、先行研究か、本論文自身の応用かを示し、第三列は本論文がそれをどのように用いるかを示す。このパターンは意図的なものである。法則は古く、新しいのはそれらをどこで評価し、一つの接続されたシナリオの中でどのように組み合わせるかである。

投稿前には、先行性を評価するため、同期安定性と平衡状態に関する先行研究との焦点を絞った比較も必要である。特に、以前の査読記録にある Counselman、Hut、Grjebine & Marchal への参照は、ここでは再検証済みとして示していない。それらは未完了の書誌上の作業であり、新しい結果ではない。

編集者の試験は保持される。すべての中心的主張について、その位置づけを特定し、仮定と結果を定義し、感度を示し、再現への道筋を提供しなければならない。§D.1 の中心的主張の表（以前のテキストでは「Table E.4」と表記）は、§D.3 の仮定と要件の表とともにこの構造を満たす。生存解がないことは未決として示され、PASS にはならない。

参考文献

[1] Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale University Press. 既存のテキストからの出典。系列の値とロッシュ係数の正確なページ参照は投稿前に補完を要する。

[2] Ferraz-Mello, S., Rodríguez, A., & Hussmann, H. Tidal friction in close-in satellites and exoplanets. The Darwin theory re-visited. 著者版：https://arxiv.org/abs/0712.1156.

[3] Leconte, J., Chabrier, G., Baraffe, I., & Levrard, B. (2010). Is tidal heating sufficient to explain bloated exoplanets? Consistent calculations accounting for finite initial eccentricity. DOI: 10.1051/0004-6361/201014337.

[4] Efroimsky, M., & Makarov, V. V. (2013). Tidal Friction and Tidal Lagging. Applicability Limitations of a Popular Formula for the Tidal Torque. ApJ, 764, 26. DOI: 10.1088/0004-637X/764/1/26.

[5] Huré, J.-M. (2022). Nested spheroidal figures of equilibrium I. Approximate solutions for rigid rotations. 著者版：https://arxiv.org/abs/2202.11044.

[6] Darwin, G. H. (1879). On the precession of a viscous spheroid, and on the remote history of the Earth. DOI: 10.1098/rstl.1879.0073.

[7] Meier, M. M. M., Reufer, A., & Wieler, R. (2014, preprint). On the origin and composition of Theia: Constraints from new models of the Giant Impact. 著者版：https://arxiv.org/abs/1410.3819.

[8] Battin, R. H. (2008). The Two Body Problem. MIT 16.346, Lecture 1. https://ocw.mit.edu/courses/16-346-astrodynamics-fall-2008/resources/lec_01/.

[9] Yu, H., Lau, S. Y., Mckeever, E., Arras, P., & Weinberg, N. N. (2025). Dynamical tide modified Roche limit in eccentric, asynchronous binaries. 著者版：https://arxiv.org/abs/2508.20183.

この付録は、本論文冒頭の計算環境表の完全版である。その目的は実用的なものである。シリーズのすべての計算はシナリオの特定の時点と特定の場所について行われ、表は量ごとに、各時点で何が既知で、何が採用され、何がなお未決であるかを記録する。それは古い状態を再構成する際の最もよくある誤り、すなわち現在の地球や異なる段階から値を借用し、それが属さない場所に代入する誤りを防ぐ。各行には識別子（E01、E02、…）が付されており、後の論文がそれを引用できる。

表の読み方

各行は五つの区分のいずれかをもつ。採用：モデルで選んだ入力。計算：特定の仮定のもとでの結果。再現：コードを実行して再現した計算。ただし、これによってそのすべての仮定が検証されるわけではない。未決：まだ決定されていない、またはまだ示されていないもの。現在の制約：古い再構成を制限することを意図した今日の系に関するデータであり、過去の測定ではない。

列はシナリオを時間に沿って追う。段階は三つの別個の系ではない。A — 質量分割以前の基準状態で、月の物質がなお地球に数えられている状態。B — 天体が成長し上昇する間の構築と移送。C — 解放に近い状態。列 C のすべての数値は定義された結合基準状態を指すものであり、すでに完全に解かれた進化経路を指すものではない。分化、ゼロでない緯度、物質源の混合には、さらなる整合した計算が必要である。

表は主題ごとのブロックに分かれている。時間、質量、幾何。地球の内部、回転、角運動量。重力とそれが測られる場所。熱、物質、流動、接続部。そして揮発性物質、冷却、年表に関する著者による後の二つの更新である。

環境表 — 時間、質量、幾何

この最初のブロックは帳簿を定める。シナリオがいつ起こるか、質量がどれだけあり、各部分がどの天体に割り当てられるか、天体がどれだけ大きいか、そして供給源がどこにあるかである。その主な用途は二重計上を防ぐこと（同じ物質を地球と月の両方に置いてはならない）と、異なる基準状態からの大きさを区別しておくことである。

このブロックが確立すること：二つの天体と、必要な場合には移動中の物質の第三のリザーバーに分けられた一つの系の質量。明示された密度と状態に属する基準の大きさ。そして、点ではなく広い領域である供給源。

環境表 — 地球の内部、回転、角運動量

第二のブロックは、自転と収支を定める量に関わる。すなわち、地球内部で質量がどのように配置されているか（慣性係数 $k$。一様な球で 0.4、質量が中心に集中するとそれより小さい）、慣性モーメント、周期、自転軸、全角運動量、共回転半径である。これらは Part A と B の量である。このブロックは、どの値が基準状態に属し、どの値が解放に近い結合状態に属するかを記録し、両者が混同されないようにする。

このブロックが確立すること：自転と共回転半径は構築の間に両方向に変化する。解放時の共回転半径の二つの値（試験粒子で 16,331 km、二質量で 16,399 km）は一つの状態の二つの近似である。そして E24 の三つの百分率は三つの異なるものを測る。

環境表 — 変化する重力と測定の場所

第三のブロックは重力に関するものであり、このシナリオでは重力は一つの数ではない。質量が地球から成長中の天体へ移るにつれて、ある点における引力は変化し、それは地球の外側、表面、内部、そして天体間の接続部で異なる仕方で変化する。各行は一つの場所または成分を挙げ、そこでの計算が何を含まなければならないかを述べる。目的は、ある場所で有効な値が別の場所で用いられることを防ぐことである。

このブロックが確立すること：重力は、明示された場所と時点における実際の質量分布から計算する。遠心加速度その他の座標系の加速度は、明示された回転座標系においてのみ加える。そして E35 のロッシュ限界は基準距離であり、生存は §D.3 の別個の要件として扱う。

環境表 — 熱、物質、流動、接続部

第四のブロックは力学から物質の状態へと移る。温度、熱、圧力、密度、揮発性物質、粘性、外殻と接続部、そして解放後に起こることである。これらは、物質が上昇できるか、外殻が荷重を支えられるか、表面の記録が保存されうるかを試験するために Paper 3（LEF 機構：実際）が必要とする量である。このブロックは使用中の作業値と、列ごとに、なお定めるべきものを記録する。

このブロックが確立すること：Paper 3 が用いる力学的作業値（E39 の圧力、E44 の外殻、E47 の接続部）、解放時に月が剛体的で球形であるという確定点（E48）、そしてなお決定すべき熱的および物質的な量の明示的なリスト。天体の扁平化と球形化は、天体がなお付着していたより早い時期に起こった（Paper 7『極』）。

すべての計算に添えるカード

上の表は作業規則に変えられる。シリーズのいかなる計算もその結果の前に記す短いカードであり、読者はそれがどの状態を記述しているかを一目で確認できる。

方程式や結果の表の前に、次を記す。(1) 段階と時間。(2) 測定点。(3) 座標系と軸。(4) シナリオの版。(5) 同じ段階での質量と半径。(6) 熱と物質の入力。(7) 無視した効果。(8) 結果と感度。データが欠けている場合、計算は条件付きまたは保留と示される。正当化なしに現在や別の段階から値を借用してはならない。

質量の帳簿は一つの方程式として書かれる。質量管理方程式：$M_{\mathrm{total}}=M_E+m_{\mathrm{body}}+M_{\mathrm{transit}}+M_{\mathrm{escaped}}$。これは系とリザーバーの境界、すなわち地球、成長中の天体、両者の間を移動中の物質、系から失われた物質に従う。損失のない閉じた系を選ぶ場合、あるいは物質をいずれかの天体の外に割り当てる場合は、そのことを明示し、項をそれに応じて減らさなければならない。GM に入る質量は、同じ計算におけるリザーバーの定義と一致していなければならない。

合成された重力場は、実際の質量分布から計算しなければならない。二点質量近似は、定義された場所と精度においてのみ許される。それは地球内部、接続部、局所的な異常の完全な記述ではない。背景と異常への分解では、差の質量のみを加え、いかなる質量も二重に数えないようにする。

著者による更新 — 古い揮発性物質の存在量と戻ってくる物質

この更新は、密度、流動、冷却、戻ってくる物質に影響する揮発性物質（水、ガス、その他蒸発しやすい物質）を表に加える。それは著者の描像と、後のいかなる計算も保たなければならない区別を記録するものであり、いま量を計算するものではない。

著者からの明示的な指示：検討するシナリオにおいて、古い揮発性物質の存在量は今日残っている存在量よりはるかに大きい。揮発性物質は、深部物質とマグマを含め、系を構成する物質の中に存在する。成長中の天体とともに移送された揮発性物質の一部は宇宙空間に失われ、仮説によれば分離の間にさらなる損失が生じた。量や損失率を計算する要請は現時点ではない。

これらの行は、混同されやすいものを分ける。揮発性物質がどれだけあったか（E54）、どこにあったか（E55）、どのような形であったか（E56）、どのように失われたか（E57）、損失が質量の勘定にどう入るか（E58）、そして後に月に着地する戻ってくる物質とどう関係しうるか（E59）である。E60 はマグマの二つの性質、すなわち流動への抵抗と軽さを区別する。気泡に富むマグマは両者を同時にもちうるが、それらは同じ量ではない。

累積的更新 — 揮発性物質の循環、冷却、年表

第二の更新は、若い系が構築されている間にどのように冷却したかを記述し、活発な構築から別個の天体に至るまでの事象の順序を定める。

2026 年 9 月 11 日。この更新はそれ以前のすべての内容に追加されるものであり、表 E01–E60 やその中の区別を置き換えるものではない。文書はいまや 70 項目を含む。以前の 53 の量への言及は、当初の基本表のみを記述している。

著者による明確化：提案された環境の描像では、今日、海と大洋に表される水の存在量は、シナリオの開始時には気化した状態にあり、系は深部物質の内部においても揮発性物質に富んでいた。循環運動が起こる。揮発性物質に富む物質が上昇し、冷却し、その一部が下へ戻って加熱され、再び上昇する。これはこんろの上のスープの鍋のようなものであり、表面は熱を放出しながら、内部は回転し続ける。仮説によれば、この循環は外表面の冷却と記録の保存を助け、内部は高温で動きやすいままである。

位置づけ：これは著者が検討を求めるシナリオの記述である。古い水の存在量、あらゆる深さにおける揮発性物質の状態、構築の期間、冷却能力についての検証された定量的決定は含まれない。仮定、結果、データの間の以前の区別は保持される。600 Myr の時間枠は、決定なしに別の短い時間で置き換えてはならず、測定された完了期間として提示してはならない。

続く表は、循環を環境に行ごとに組み入れる。開始時の水（E61）、循環そのもの（E62–E64）、外殻への影響（E65）、時間枠（E66）、そして外向きの放出の衰退、分離時のその終わり、内部供給との関係（E67–E70）である。

記述のための年表 — 作り出した中間時期なしに

年表は、中間段階に日付を割り当てることなく段階を順序づける。それらの日付は計算されていないからである。各行を横に読むと、一つの段階について外向きの放出、接続部、熱の状態が得られる。列を下へ読むと、一つの過程を始めから終わりまで追うことができる。放出は洋梨体が成長するにつれて衰退するが、天体が付着している間は続き、分離時に止まる。

更新と以前の表とのつながり

以下のリストは、更新をそれが関わる行に結びつけ、いずれか一つの量を追う読者がそれが現れるすべての場所を見つけられるようにする。

• E01–E02：シナリオの時間枠と時期は、まだ決定されていない段階の時間とは別に保持される。

• E37–E38 と E52：揮発性物質の循環と熱損失の経路が熱的記述に加えられた。温度と出力の値はなお未決である。

• E42 と E54–E58：存在量、相、放出、散逸は別個の量のままである。溶存した揮発性物質を、あらゆる深さで自由な蒸気に変換してはならない。

• E44–E46 と E50–E51：外殻の厚さ全体にわたる漸移的な構造、移動性、記録の保存は保持される。冷却循環の提案は、力学的試験の要件を取り消さない。

• E48 と E53：球形化は解放前に完了し、付着した天体と解放後の軌道上の天体との区別も保持される。

• E60：粘性と密度の問題は、蒸気循環の明確化によって削除されたのでも、自動的に解決されたのでもない。

今後の検討のために、いま計算を開くことなく：大気を通じた熱流束。蒸発と凝縮の潜熱。放射の出口に対する大気の影響。リザーバー間の水と揮発性物質の収支。冷却、活動期間、外殻の移動性、記録の保存の間の整合性。蒸気大気があらゆる条件のもとで必ず冷却を加速するという決定はここにはない。

AI ツールの使用：著者は、計算スクリプトの作成と実行、カタログと地図の解析、図表の作成、シナリオの議論、そして言語の編集と翻訳のために AI アシスタント（Claude, Anthropic; ChatGPT, OpenAI; Google の AI 検索アシスタント）を用いた。モデルとその結論は著者のものである。著者は内容を確認し、それに対する全責任を負う。