Le tableau de l’environnement de calcul

Les calculs de cet article décrivent un corps parent terrestre primitif — la jeune Terre avant que la Lune ne la quitte — dans le scénario LEF. Comme le système change au cours du processus (la masse passe d’un corps à l’autre, la forme et la rotation changent), chaque nombre ci-dessous appartient à un état défini : l’état antérieur à la division de la masse, un état de référence de calcul utilisé pour la comparaison, ou l’état final couplé à la libération. Séparer ces états empêche qu’une valeur d’un moment soit utilisée à un autre. L’annexe G contient l’environnement complet, E01–E70 ; le tableau ci-dessous ne présente que les grandeurs nécessaires à l’article 2.

Le tableau comporte trois colonnes. La première nomme la grandeur, la deuxième donne sa valeur ou sa définition, et la troisième indique de quel type de nombre il s’agit : une hypothèse du système, une donnée d’entrée choisie pour le modèle, une valeur calculée dans cet article, ou une valeur utilisée uniquement pour tester la sensibilité du résultat. La troisième colonne permet au lecteur de voir d’emblée quels nombres sont introduits et lesquels sont obtenus.

Quelques lignes appellent une explication. La masse du parent au début, 6.0455×10²⁴ kg, est simplement la somme de la Terre et de la Lune actuelles : on suppose que rien ne s’échappe, de sorte que la Lune entière a fait autrefois partie de la Terre. Le rayon initial, 6,517 km, est supérieur à celui de la Terre actuelle parce qu’une Terre jeune et chaude est dilatée ; la dilatation adoptée est de 120 km. Un corps fluide en rotation se renfle à son équateur, et le modèle de Maclaurin — la forme d’équilibre classique d’un corps fluide en rotation de densité uniforme, une sphère aplatie — convertit ce volume en un rayon équatorial d’environ 6,721 km. L’approximation de la particule test traite le corps libéré comme une petite particule dans le champ de la masse centrale, de sorte que seule la masse de la Terre entre dans la formule ; la valeur couplée à deux corps (16,399 km au lieu de 16,331 km) montre combien cette simplification est minime. Les lignes à deux couches utilisent $q$, le rapport du rayon de la couche interne dense au rayon du corps entier, et $D$, le rapport de la densité interne à la densité externe ; $D=1$ correspond à un corps uniforme, et une valeur plus grande de $D$ signifie davantage de fer rassemblé vers le centre. La ligne à 25° est un test de sensibilité, qui sert à voir de combien le résultat change lorsque la libération ne se situe pas sur l’équateur ; ce n’est pas la valeur adoptée, qui est 22.5° (article 4). Lorsque le tableau indique qu’une grandeur n’a pas de valeur unique — température, viscosité, gravité — l’article n’emprunte pas une valeur moderne à sa place. La fenêtre de construction de 600 Myr est le scénario de travail de la série : environ 400 Myr pour le renflement et la poire, environ 100 Myr d’aplatissement et environ 100 Myr jusqu’à la libération à 3.873 Ga. L’article 2 ne calcule pas cette durée et n’en dépend pas.

Concrètement, cela signifie que les 7.35×10²² kg de la Lune sont comptés une seule fois. Avant le transfert, ils font partie des 6.0455×10²⁴ kg de la Terre ; après, ils constituent la Lune, et la Terre conserve 5.972×10²⁴ kg.

Pourquoi l’ancienne objection ne s’applique pas. La fission classique demandait à la Terre de projeter du matériau depuis sa propre surface. À la surface d’un parent de 5.5 heures, la rotation donne environ 2,133 m/s, alors qu’une orbite libre y nécessite environ 7,701 m/s (§A.1.2). La seule façon de combler cet écart à la surface est de faire tourner la Terre entière beaucoup plus vite, et une rotation plus rapide signifie davantage de moment cinétique : au point classique où un corps fluide en rotation devient instable (la bifurcation de Jacobi, §A.6.5), le parent a besoin de 2.74 fois le moment cinétique que possède aujourd’hui le système Terre–Lune, et l’ancien calcul de référence, effectué en un autre point de la même séquence, donnait environ quatre fois. Le système n’en possède pas autant, et c’est pourquoi la fission a été abandonnée. La voie LEF comble l’écart d’une autre manière : non pas en tournant plus vite, mais en portant le matériau vers l’extérieur pendant qu’il tourne avec la Terre. Sa vitesse croît avec la distance au même taux de rotation, jusqu’à égaler la vitesse orbitale au rayon de corotation. La rotation dont la Terre a besoin pour cela est celle qu’elle aurait si tout le moment cinétique actuel lui était restitué — environ 5.5 heures (§A.2) — et le bilan alors nécessaire est de 1.007 fois le bilan actuel. Une image du quotidien : un enfant sur un manège qui marche du centre vers le bord se déplace plus vite au bord sans que personne ne pousse le manège plus fort.

Ce que signifient les exigences. $k$ est le coefficient du moment d’inertie : il mesure la répartition de la masse d’un corps entre le centre et la surface. Une sphère uniforme a $k=0.4$ ; la Terre actuelle, avec son noyau de fer, a environ 0.33. La voie nécessite $k\gtrsim0.397$ au début du transfert, c’est-à-dire un parent encore à un stade précoce de tri : une Terre dont la masse est moins concentrée vers le centre stocke davantage de rotation pour la même vitesse de rotation. L’organisation du noyau terrestre est un processus continu qui ne s’est jamais arrêté. Pendant le renflement, elle en était à son début ; pendant la croissance de la poire, elle s’est poursuivie ; et après la libération, elle a continué tandis que la Terre réabsorbait la poire. Il n’y a probablement jamais eu de période entièrement uniforme : plus le stade est précoce, moins la Terre est triée. Le fer s’accumulait peut-être déjà dans le noyau au début ; le processus s’est poursuivi. La jeune Terre doit aussi être chaude et donc plus grande qu’aujourd’hui : une dilatation comprise entre 98 et 520 km est admissible, et 120 km est adoptée. Le corps doit être libéré au-delà du rayon de corotation et non exactement sur celui-ci : exactement sur la ligne, la marée est neutre et ne pousse dans aucun sens, tandis qu’un corps situé même légèrement au-delà de la ligne est poussé vers l’extérieur par la marée, de sorte qu’il s’éloigne dès le départ (article 4) ; la marge nécessaire est faible, $\Delta r\simeq2d_0$, environ 210 km (article 3, §C.5a). La limite de Roche fluide est la distance en deçà de laquelle la marée terrestre disloquerait un corps tenu par sa seule gravité. Un corps doté d’une résistance interne survit plus près, jusqu’à sa limite rigide ; la Lune à la libération est rigide et ronde, son aplatissement et son arrondissement ayant été achevés plus tôt, alors qu’elle était encore attachée (article 7). La liaison entre les deux corps — la poire — doit porter la charge jusqu’à la libération. Ces exigences ne sont pas dissimulées dans les résultats ; elles sont réunies au §D.3, et l’article 3 les teste.

Introduction — Partie A : la condition de libération dans le contexte des modèles existants

Deux types d’indices portent sur l’origine de la Lune : la manière dont son matériau a pu atteindre l’orbite (la dynamique de la séparation) et la correspondance de sa composition avec le corps dont il provient. Les travaux de Darwin sur les marées et la rotation font partie du contexte historique de l’étude de l’évolution du système Terre–Lune [6] ; son idée de fission — une Terre en rotation rapide qui aurait détaché la Lune — est la forme classique d’une origine terrestre. Dans cet article, la comparaison quantitative avec la fission classique se fait au moyen d’une configuration d’équilibre définie ; un résultat obtenu pour une configuration ne doit pas être converti en une borne valable pour tous les chemins possibles. Autrement dit, montrer qu’un chemin de fission particulier exige trop de moment cinétique ne montre pas que tout chemin à partir de la Terre l’exige.

Dans la famille de modèles de l’impact géant, la Lune se forme à partir de débris après qu’un autre corps a heurté la Terre, et la composition isotopique impose des contraintes au mélange du matériau terrestre et de celui de l’impacteur. Il existe différentes versions du modèle, et les contraintes dépendent des compositions et du mode de mélange [7]. Le scénario LEF examine une construction à partir d’un réservoir terrestre commun : la Lune est faite du matériau propre de la Terre, de sorte qu’une étroite correspondance isotopique en découle directement. Une source commune fournit une base pour la comparaison des compositions, mais ne remplace pas le test du transfert vers l’orbite. Ce test est l’objet du présent article.

La question ciblée de cet article est de savoir si le fait de porter de la masse vers l’extérieur en rotation commune modifie la condition de vitesse et le bilan de moment cinétique par rapport à une libération directe depuis la surface. La réponse qu’apporte l’article est affirmative : la condition de libération est déplacée de la surface au rayon de corotation, et la vitesse comme le bilan s’accordent alors. Le mécanisme de construction — l’alimentation depuis l’intérieur et la montée de la coquille externe en tant que surface du même corps — est l’objet de l’article 3, Le mécanisme LEF en pratique. Le présent article définit les conditions physiques auxquelles il doit satisfaire. Cette répartition est délibérée : l’article 2 demande si la voie est possible en principe, à l’aide de la physique standard ; l’article 3 montre comment elle se réalise.

Introduction — Partie B : ce que présente l’article

L’article est construit comme une suite de problèmes suivis de leurs solutions, de sorte que chaque objection reçoit une réponse à l’endroit où elle est soulevée. La partie A expose un à un les problèmes auxquels la voie doit répondre : l’écart de vitesse qui a conduit au rejet de la fission classique, ce qui doit être calculé, la poire qui relie la Terre à la ligne de corotation, la compensation entre la poire qui s’allonge et le noyau en centralisation, la corotation elle-même, le bilan de moment cinétique, la limite de Roche et le sens de l’évolution des marées. La partie B les résout dans le même ordre, à partir d’un seul calcul. La partie C résume ce qui a été montré ; la partie D réunit les thèses, les tests et les exigences ; la partie E énonce les conclusions. Les annexes A–G donnent les dérivations, les balayages de sensibilité, les calculs de Roche et l’environnement de calcul complet, de sorte que chaque nombre du texte principal peut être retracé et reproduit.

Le plan équatorial est le cas le plus simple : la rotation y emporte le matériau le plus vite et le rayon de corotation y est une distance unique. Une libération depuis une latitude plus élevée modifie quelque peu les nombres mais non le principe ; l’ampleur de cette modification est donnée par le test de sensibilité à 25° du tableau de l’environnement, et le cas adopté de 22.5° est calculé dans l’article 4.

Cette partie expose la physique à laquelle la voie doit satisfaire, un problème à la fois. Elle commence par la difficulté qui a fermé la voie de la fission classique — un corps qui quitte la surface d’une Terre en rotation rapide n’a pas la vitesse d’une orbite — puis demande successivement où cette vitesse est atteinte, ce qui relie la Terre à cet endroit, comment la rotation de la Terre change pendant que le matériau se déplace vers l’extérieur, si le moment cinétique suffit, si le corps survit à la marée terrestre, et dans quel sens il se déplace ensuite. Chaque section se termine par une grandeur définie que la partie B calcule ensuite.

A.1Le problème : l’écart de vitesse

A.1.1Deux questions dynamiques distinctes

Un scénario d’origine terrestre exige une explication du transfert de matériau du corps parent vers une orbite libre. Une correspondance de composition peut étayer une source commune sans déterminer comment le matériau a atteint l’orbite : deux corps peuvent être faits du même matériau et laisser néanmoins ouverte la question de savoir comment l’un d’eux en est venu à tourner autour de l’autre. Cet article porte donc sur la dynamique. La revue historique d’origine est examinée ici en comparant des configurations d’équilibre définies, et non en affirmant que tout chemin d’origine terrestre est soumis au même seuil de fission.

Deux questions doivent être distinguées. La première est de savoir dans quelles conditions la vitesse du matériau est compatible avec une orbite libre — c’est-à-dire si, au moment où il est lâché, le matériau se déplace assez vite latéralement pour continuer à tomber autour de la Terre sans retomber sur elle. La seconde est de savoir si le moment cinétique disponible au début du processus permet l’état final et l’évolution ultérieure. Modifier la condition de libération peut modifier le test de vitesse, mais le bilan global du moment cinétique doit toujours être satisfait. Une voie peut réussir le premier test et échouer au second ; les deux sont donc calculés.

Moment cinétique et moment d’inertie. Le moment cinétique est la quantité de mouvement de rotation que porte un corps. Pour un corps en rotation, c’est le produit de la vitesse à laquelle il tourne et de la répartition de sa masse autour de l’axe. Le moment cinétique de rotation propre est :

$$L_{\mathrm{spin}}=I\omega.$$

Ici $\omega$ est la vitesse angulaire (l’angle parcouru par seconde, $2\pi$ divisé par la période) et $I$ est le moment d’inertie : la somme, sur chaque élément du corps, de sa masse multipliée par le carré de sa distance à l’axe de rotation. Le moment d’inertie mesure à quelle distance de l’axe se trouve la masse ; la masse éloignée de l’axe compte beaucoup plus que la masse proche, car la distance intervient au carré. Pour un corps de masse $M$ et de rayon équatorial $a$ il est commode d’écrire $I=kMa^2$, où le coefficient sans dimension $k$ traduit la répartition de la masse : un corps uniforme a $k=0.4$, et un corps doté d’un noyau dense a un $k$ plus petit.

Le moment cinétique se conserve : dans un système sur lequel rien d’extérieur n’exerce de force de torsion (un couple), son total ne peut pas changer ; il ne peut que passer d’une partie du système à une autre. Pour le système Terre–Lune, le seul couple extérieur significatif est la marée soulevée par le Soleil, qui en retire environ 1% sur l’histoire du système (§A.2). C’est cette conservation qui rend le problème calculable : tout ce que la Lune porte aujourd’hui dans son orbite a dû se trouver autrefois dans la rotation du parent.

Transférer du matériau vers l’extérieur en corotation — c’est-à-dire pendant qu’il continue à tourner avec le parent à la vitesse angulaire propre de celui-ci — exige que le parent fournisse un moment cinétique supplémentaire à ce matériau, car la même vitesse angulaire à une plus grande distance signifie un plus grand moment d’inertie pour ce matériau. En l’absence de couple extérieur, il s’agit d’une redistribution du moment cinétique existant : ce que gagne le matériau, la rotation du parent le perd.

A.1.2Libération depuis la surface

Nous examinons d’abord le cas classique : un matériau lâché directement depuis l’équateur d’un parent en rotation rapide. Dans l’état de référence, la période est de $T_0=5.5$ heures et le rayon équatorial est de $a_0\simeq6{,}721$ km. Par conséquent, puisque 5.5 heures font 19,800 secondes :

$$\omega_0=\frac{2\pi}{19{,}800}\simeq3.17333\times10^{-4}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$$

Deux vitesses doivent maintenant être comparées à l’équateur. La première est la vitesse que la rotation elle-même donne à un point de la surface, $v_{\mathrm{rot}}$ : la vitesse angulaire multipliée par la distance à l’axe. La seconde est la vitesse orbitale circulaire $v_{\mathrm{circ}}$ : la vitesse à laquelle un corps libre à cette distance continuerait à tomber en cercle autour de la Terre, sa tendance centrifuge équilibrant exactement la gravité.

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega_0a_0\simeq2{,}133\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{a_0}}\simeq7{,}701\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$$

Même avec un jour de seulement 5.5 heures, la surface se déplace à moins d’un tiers de la vitesse qu’y exige une orbite. La différence de vitesse, avec l’arrondi du calcul de référence d’origine de cet article, est d’environ 5,568 m/s. C’est l’écart de vitesse.

Quelle orbite un tel matériau suivrait-il s’il était simplement lâché ? Sans vitesse radiale supplémentaire, l’énergie spécifique (l’énergie orbitale par kilogramme, cinétique moins gravitationnelle) et le demi-grand axe (la moitié du grand axe de l’ellipse obtenue) sont :

$$\varepsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{GM_\oplus}{r}\simeq-5.70\times10^7\ \mathrm{J\,kg^{-1}}, \qquad A_{\mathrm{orb}}=-\frac{GM_\oplus}{2\varepsilon}\simeq3{,}495\ \mathrm{km}.$$

L’énergie est fortement négative — le matériau est profondément lié — et le demi-grand axe, 3,495 km, vaut environ la moitié du rayon équatorial du parent. Le point de libération est le point le plus éloigné de cette ellipse, de sorte que tout le reste de la trajectoire se situe profondément à l’intérieur du parent. Dans ces conditions initiales, l’orbite képlérienne pénètre le corps parent : le matériau retombe tout simplement. La vitesse de surface seule ne fournit donc pas une orbite libre qui reste à l’extérieur de celui-ci. C’est le cœur de l’objection classique à la fission : pour combler l’écart à la surface, le parent devrait tourner plusieurs fois plus vite, ce qui exige bien plus de moment cinétique que n’en contient le système Terre–Lune (§A.6.5).

Les nombres du §A.2 conservent la comparaison de référence d’origine, dans laquelle on a utilisé le GM de la masse finale de la Terre. Ce ne sont pas un calcul du champ exact de l’ensemble du parent initial. Cette définition distingue la comparaison de référence reproduite du bilan global du §A.6.

A.1.3La condition de transfert examinée

La voie LEF ne lâche pas le matériau à la surface. Dans le scénario examiné, le matériau monte en restant attaché et reçoit du moment cinétique, de sorte qu’il continue à tourner avec le parent à mesure qu’il s’éloigne. Les deux vitesses se comportent alors de façons opposées. La vitesse $\omega r$ croît avec la distance, car un point qui fait un tour par jour parcourt un cercle d’autant plus grand qu’il est plus éloigné — comme un enfant qui marche vers l’extérieur sur un manège en rotation est emporté de plus en plus vite. La vitesse orbitale $\sqrt{GM/r}$ diminue, car la gravité s’affaiblit avec la distance et il faut moins de vitesse latérale pour l’équilibrer. L’écart du §A.1.2 se réduit donc à mesure que le matériau monte, et à une certaine distance il se referme.

L’article calcule le point d’égalité et le coût en moment cinétique du transfert ; le processus d’ascension lui-même est une question mécanique distincte. L’article 3, Le mécanisme LEF en pratique, examine la capacité de transport et la liaison ; le calcul détaillé des pressions se situe en dehors du calcul de bilan présenté ici. Les conditions initiales orbitales sont transmises à l’article 4, L’orbite.

A.2Ce qui doit être calculé

Le problème a maintenant une forme précise. Cinq grandeurs doivent être calculées : où la Lune est libérée, avec quel jour terrestre, si le moment cinétique suffit, si le corps survit à la marée, et s’il s’éloigne ensuite.

Pourquoi 5.5 heures. La rotation de départ n’est pas choisie librement ; elle découle de la conservation du moment cinétique appliquée à rebours. Tout le moment cinétique actuel du système Terre–Lune, $3.44\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$ — la rotation de la Terre jointe à l’orbite de la Lune — est restitué à la rotation d’une Terre jeune, chaude et dilatée, encore à un stade précoce de tri ($k=0.4$ comme donnée d’entrée du calcul). « Dilatée » signifie que la Terre primitive chaude était un peu plus grande que la Terre froide d’aujourd’hui ; « un stade précoce de tri » signifie que l’organisation du noyau n’avait fait que commencer, de sorte que la masse était répartie de façon presque uniforme et que la valeur uniforme $k=0.4$ la décrit de près. Placer tout le bilan dans la rotation d’un tel corps donne la période : $$T_0=\frac{2\pi I_0}{L}\simeq5.54\ \mathrm{h}.$$ En mots : un corps de moment d’inertie $I_0$ portant un moment cinétique $L$ tourne à $\omega=L/I_0$, et sa période est $2\pi/\omega$. Les marées solaires ont depuis retiré environ 1% du moment cinétique du système (environ 1.35% lorsqu’on suit l’éloignement de la Lune ; Eulenfeld & Heubeck 2023 ; Canup 2004). Une période de 5.5 h porte donc le moment cinétique actuel et le 1% environ qui a été perdu : elle est légèrement plus courte que 5.54 h parce que le système primitif en contenait légèrement plus. Un jeune Soleil plus massif de quelques pour cent ne porte cette perte qu’à 1–2%.

A.2.1L’état de référence

Pour $GM_\oplus\simeq3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ et $T_0=5.5$ heures, la distance à laquelle la vitesse de rotation égale la vitesse orbitale — le rayon de corotation, dérivé au §A.5 — et la vitesse commune à cet endroit sont :

$$\boxed{R_{\mathrm{sync},0}\simeq15{,}818\ \mathrm{km}, \qquad v_{\mathrm{sync},0}\simeq5{,}020\ \mathrm{m\,s^{-1}}.}$$

C’est le nombre central de l’article. À 15,818 km, plus de deux fois le rayon équatorial du parent, un corps qui fait un tour toutes les 5.5 heures avec la Terre se déplace déjà à 5,020 m/s, ce qui est exactement la vitesse d’une orbite circulaire à cette distance. Un corps maintenu à cet endroit en corotation puis lâché n’a besoin d’aucune poussée supplémentaire : il est déjà en orbite.

La distance est mesurée depuis le centre du corps central dans l’approximation de la particule test, dans laquelle la masse propre du corps en orbite est négligée dans l’attraction gravitationnelle. Substituer ce rayon dans les deux formules de vitesse confirme que les vitesses sont égales.

La dérivation est une application des équations du mouvement dans un champ central [8]. Si un état initial est calculé avec la masse complète du parent, $M_{\mathrm{tot}}$ doit être introduit dans la formule. La valeur de 15,818 km reste la référence définie dans le tableau ; la solution couplée du §A.4 inclut explicitement la division de la masse.

A.3La poire

Le rayon de corotation se situe bien au-dessus de la surface ; il faut donc que quelque chose y porte le matériau pendant qu’il continue à tourner avec la Terre. Dans le modèle, c’est la poire. La liaison est une colline qui s’élève depuis la Terre : une base large d’environ 9,000 km à la surface, des flancs qui forment un arc unique sans étranglement, et un disque de contact large de 3,000 km au niveau de la Lune. Elle franchit environ 7,800 km entre la surface de la Terre et la Lune et se situe entièrement à l’intérieur de la ligne de corotation, de sorte qu’elle est tirée vers l’intérieur : partout le long de la poire, la gravité est plus forte que ce dont la rotation a besoin pour maintenir le matériau en mouvement circulaire, si bien que le matériau propre de la poire est retenu par la Terre et ne s’envole pas. Seul le corps à son extrémité atteint la ligne. Sa longueur et sa masse sont une exigence : la Lune a été libérée intacte, il doit donc exister une poire qui satisfait aux conditions. La manière dont la poire est construite et dont elle porte la charge est l’objet de l’article 3.

La figure 1 montre les proportions à l’échelle : la large base de la poire sur la Terre, l’arc unique de ses flancs, et la Lune à son extrémité avec son centre sur la ligne de corotation. Le jour de 5.77 h utilisé dans le dessin est le jour à la libération, calculé au §A.4.

A.4 La compensation : deux processus qui agissent ensemble

Avant de pouvoir calculer le jour terrestre à la libération, il faut prendre en compte deux processus qui agissent sur la rotation de la Terre en même temps, et en sens opposés. Cela importe parce que le jour à la libération fixe la position de la ligne de corotation, et donc l’endroit où la Lune est lâchée.

1. La poire s’allonge. Le matériau se déplace vers l’extérieur avec la rotation et emporte du moment cinétique ; le moment cinétique qui quitte la Terre ralentit sa rotation. Un enfant qui marche vers l’extérieur sur un manège ralentit le manège de la même façon.

2. Le noyau se centralise. La différenciation est la séparation d’un corps initialement mélangé en couches selon la densité : le fer, le composant le plus dense, s’enfonce vers le centre et forme un noyau, tandis que le matériau plus léger reste au-dessus. Dans le modèle LEF, cette organisation du noyau est un processus continu : elle avait commencé avant le transfert, elle s’est poursuivie pendant la croissance de la poire, et elle a continué après la libération. Une rotation rapide accélère la différenciation : le fer s’enfonce vers l’intérieur et le moment d’inertie de la Terre diminue, car la masse se rapproche de l’axe. Avec moins de moment d’inertie et le même moment cinétique, le corps doit tourner plus vite. Comme une patineuse qui ramène ses bras, la rotation s’accélère.

Le moment cinétique se conserve, et les deux processus se compensent : le résultat est la compensation entre eux. Un calcul qui ne tient compte que de l’un d’eux ne décrit pas la Terre de cette époque — la poire seule donnerait un jour trop long, et le noyau seul un jour trop court.

Le tableau se lit ligne par ligne. La poire seule allongerait le jour de 0.94 h et repousserait la ligne de corotation vers l’extérieur d’environ 1,750 km, car une rotation plus lente exige une plus grande distance avant que la rotation ne fournisse la vitesse orbitale. Le noyau en centralisation reprend 0.67 h. Ensemble, le jour ne s’allonge que de 0.27 h, de 5.50 à 5.77 h, et la ligne ne se déplace que modérément vers l’extérieur, jusqu’à 16,331 km.

La figure 2 montre graphiquement le même équilibre : la barre ajoutée par la poire et la barre retirée par le noyau, avec le résultat net entre les deux.

La figure 3 suit la ligne de corotation au fil du transfert. Avec la poire seule, la ligne progresse régulièrement vers l’extérieur ; avec le noyau qui se centralise en même temps, elle reste beaucoup plus proche de sa position de départ.

A.4.1 L’effet de la différenciation sur l’état final

La concentration de la masse vers l’intérieur modifie le moment d’inertie. Pour le tester, les deux limites de couches, la densité, la forme et la rotation ont été calculées ensemble. Cela étend le test de sensibilité, et ne se limite pas à remplacer $k$ à l’intérieur d’une figure homogène fixe : un corps qui se différencie modifie aussi son aplatissement, et l’aplatissement modifie à son tour le moment d’inertie, de sorte que les quatre doivent être résolus à la fois. Les limites ont pu s’écarter de sphéroïdes ; la limitation de l’hypothèse sphéroïdale dans les systèmes stratifiés est également discutée dans la littérature [5].

La structure est décrite par deux nombres. Le rapport des rayons volumétriques $q$ est le rayon de la couche interne divisé par le rayon du corps entier ; $q=0.55$ place la limite un peu au-delà de la mi-distance, de façon comparable au noyau de la Terre actuelle. Le rapport des densités $D=\rho_{\mathrm{inner}}/\rho_{\mathrm{outer}}$ indique de combien la couche interne est plus dense que la couche externe : $D=1$ est un corps uniforme, $D=2$ une couche interne deux fois plus dense que la couche externe. Plus $D$ est grand, plus la masse se trouve près du centre et plus le coefficient $k$ est petit (pour $q=0.55$ et $D=2$, $k=0.360$ ; §B.6). Pour un rapport des rayons volumétriques $q=0.55$, et un rapport des densités $D$, l’approximation de la particule test donne :

Le tableau montre une tendance régulière unique : quand $D$ passe de 1 à 3, le jour final se raccourcit de 6.438 à 5.274 heures et la ligne de corotation se déplace vers l’intérieur de 17,569 à 15,382 km. La première ligne, $D=1$, correspond à la poire agissant seule (sans centralisation) ; la ligne $D=2$ est l’état adopté du §A.4. À $D=2.5$, le noyau en centralisation annule presque exactement le ralentissement causé par la poire, et le jour revient à peu près à sa valeur de départ.

La différenciation dans la structure finale peut compenser une partie du ralentissement de la rotation qui accompagne le transfert. Les lignes sont des états possibles, et non une séquence d’évolution dans le temps. Toutes les lignes utilisent le même bilan initial pour un parent homogène ; elles n’établissent pas qu’une structure initiale concentrée fournirait ce bilan. Les hypothèses, le balayage complet et les vérifications de convergence se trouvent à l’annexe C et dans le document de calcul qui lui est associé.

A.5 La corotation

Cette section dérive le rayon de corotation utilisé tout au long de l’article, et précise où son emploi est valide.

La figure 4 trace les deux vitesses du §A.1.3 en fonction de la distance au centre de la Terre. La vitesse portée par la rotation croît en ligne droite ; la vitesse orbitale décroît. En deçà du croisement, la rotation donne moins que ce qu’exige une orbite et le matériau est tiré vers l’intérieur ; au-delà, la rotation donne plus que ce qu’exige une orbite et le matériau tend vers l’extérieur. Le croisement est la ligne de corotation.

La corotation agit sur le centre de masse, et non sur le centre géométrique, car l’équilibre entre gravité et rotation s’applique au corps dans son ensemble, et le corps entier se déplace comme si sa masse était rassemblée en son centre de masse. Les forces de corotation ont pu tirer la Lune légèrement après que son centre géométrique eut franchi la ligne, car son centre de masse est légèrement décalé vers la Terre (aujourd’hui d’environ 2 km) : le centre géométrique atteint la ligne en premier, et le centre de masse un peu plus tard ; la Lune est libérée peu après le franchissement de son centre de masse, environ 210 km au-delà de la ligne (§D.3 ; article 3, §C.5a).

A.5.1 La dérivation

Dans l’approximation de la particule test, dans le plan équatorial et dans un champ central, la vitesse portée par la rotation est la vitesse angulaire multipliée par la distance ; la vitesse orbitale circulaire s’obtient en égalant l’attraction gravitationnelle à la force nécessaire pour maintenir une masse $m$ sur un cercle de rayon $R$ :

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega R, \qquad \frac{GMm}{R^2}=\frac{mv_{\mathrm{circ}}^2}{R}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM}{R}}.$$

La masse $m$ du corps en orbite s’élimine : la vitesse orbitale à une distance donnée est la même pour un grain et pour une Lune. L’égalité des vitesses donne :

$$\omega R=\sqrt{\frac{GM}{R}} \quad\Longrightarrow\quad \omega^2R^3=GM.$$

En résolvant pour $R$, et en écrivant $\omega=2\pi/T$ :

$$\boxed{R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{GM}{\omega^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}}$$

Le résultat indique que le rayon de corotation ne dépend que de la masse du corps central et de sa période de rotation, et qu’il croît comme la période à la puissance deux tiers : une rotation plus lente repousse la ligne vers l’extérieur. C’est pourquoi la poire qui s’allonge déplace la ligne vers l’extérieur et le noyau en centralisation la ramène (§A.4).

Pour une masse et une vitesse angulaire positives et constantes, il existe une seule racine positive. C’est la relation de l’orbite synchrone de la mécanique orbitale standard — la même relation qui place les satellites géostationnaires au-dessus de la Terre actuelle ; ce qui est nouveau, c’est l’endroit où elle est évaluée. L’objection classique évaluait la condition de vitesse à la surface du parent ; la voie LEF l’évalue au rayon de corotation.

A.5.2 La condition de libération et le domaine de validité

L’égalité correspond à une orbite circulaire équatoriale lorsque la vitesse radiale est nulle et que les forces de contact cessent — c’est-à-dire lorsque le corps se déplace purement latéralement et que la liaison ne le pousse ni ne le tire plus. Avec une vitesse supplémentaire, ou avec une libération hors de l’équateur, les vecteurs des conditions initiales doivent être calculés. Le détail orbital relève de l’article 4 ; dans cet article, seule la correction nécessaire au bilan de moment cinétique est conservée, au §A.6 et à l’annexe D.

Atteindre la corotation n’annule pas le travail nécessaire à l’élévation ni au transfert de moment cinétique : la condition de vitesse est satisfaite à la ligne, mais l’énergie et le moment cinétique doivent encore être fournis au matériau en chemin. Le champ d’un parent aplati, la taille du corps en formation et la gravité à deux corps imposent également des corrections à la description centrale. La solution du §A.4 inclut une correction particulière à deux corps, mais n’est pas une solution complète de deux figures déformées reliées l’une à l’autre.

A.5.3 La signification de la condition pour la libération

La solution couplée du §A.4 définit un état final du bilan : quelle part du moment cinétique se trouve dans la rotation de la Terre et quelle part dans l’orbite de la Lune au moment de la libération. Elle ne détermine pas à elle seule le début de l’éloignement à partir de cet état. Une vitesse radiale ajoutée n’est pas non plus une condition suffisante pour un éloignement durable, car elle modifie l’excentricité (le degré d’allongement de l’orbite) et les marées. Le modèle de retard et la rhéologie (la description de la manière dont le matériau se déforme et s’écoule sous charge) doivent être mutuellement cohérents [3,4]. Le sens de la poussée de marée de chaque côté de la ligne est exposé au §A.8.

A.5.4 La frontière entre l’article 2 et l’article 4

L’article 2 fixe la masse, la rotation et le bilan à transmettre au test orbital. L’article 4 traite les éléments orbitaux, l’inclinaison et l’évolution après la libération. Il n’y a ici ni temps d’éloignement calculé, ni interdiction générale d’une orbite libre à l’intérieur du rayon de corotation. Dans le scénario connecté, les équations du corps libre doivent être remplacées par les équations de l’état connecté là où les équations du corps libre cessent de s’appliquer : tant que la Lune est encore attachée par la poire, elle est retenue par la liaison et n’est pas un corps libre.

A.6Le bilan de moment cinétique

Le problème de vitesse est résolu au rayon de corotation. La seconde question du §A.1.1 demeure : le parent contient-il assez de moment cinétique pour y placer la Lune tout en correspondant au système que nous observons aujourd’hui ? Cette section construit le bilan pas à pas : le moment cinétique initial du parent, le coût du déplacement du matériau vers l’extérieur, la comparaison avec le système actuel, la sensibilité à la période, à la dilatation et à la structure, et la comparaison avec la voie de la fission classique.

A.6.1Le parent et le bilan initial

La masse initiale du parent est $M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m$. Le matériau qui sera transféré plus tard est encore inclus dans son moment d’inertie. Le parent est décrit comme un sphéroïde de Maclaurin : la forme d’équilibre d’un corps fluide uniforme en rotation stationnaire, aplati aux pôles et renflé à l’équateur, symétrique autour de son axe. Plus il tourne vite, plus il est aplati. Dans le modèle de Maclaurin homogène, sous les hypothèses du tableau, on obtient [1] :

$$I_0=\frac{2}{5}M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_0=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

La première ligne est le moment d’inertie d’un sphéroïde uniforme ($k=2/5$) de rayon équatorial 6,721 km ; la seconde le multiplie par la vitesse angulaire du jour de 5.5 heures. Le résultat, $3.466\times10^{34}$, est l’ensemble du bilan de moment cinétique dont dispose la voie. L’équation de forme et la substitution complète sont conservées à l’annexe B. L’uniformité est l’hypothèse de référence ; un changement de structure est testé ci-dessous.

A.6.2 Le coût du transfert dans le calcul de base

Avant le transfert, le matériau lunaire fait partie du parent et tourne avec lui, portant sa part du moment cinétique du parent. Pour un matériau représentatif de la distribution de masse uniforme, sa distance quadratique moyenne à l’axe est la même que celle du parent, et sa part est :

$$L_{0,\mathrm{mat}}=m\omega_0\left\langle r_\perp^2\right\rangle =\frac25m\omega_0a_0^2\simeq4.21\times10^{32}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.$$

Ici $\langle r_\perp^2\rangle$ est la moyenne, sur le matériau, du carré de la distance à l’axe de rotation. Une fois que la même masse se trouve au rayon de corotation et tourne encore avec le parent, son moment cinétique est :

$$L_{\mathrm{orb},0}=m\omega_0R_{\mathrm{sync},0}^2\simeq5.83\times10^{33}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

soit environ quatorze fois plus, car la distance à l’axe a augmenté et intervient au carré. La différence entre les deux doit être fournie par la rotation du parent. En fraction du bilan total :

$$\boxed{\frac{L_{\mathrm{orb},0}-L_{0,\mathrm{mat}}}{L_{\mathrm{initial}}}\simeq15.6\%.}$$

Environ un sixième du moment cinétique du parent est cédé au matériau pendant le transfert. C’est la quantité dont la rotation du parent est ralentie par la poire (§A.4) avant que le noyau en centralisation ne soit pris en compte.

Dans le calcul de base, une source de surface équatoriale donne environ 13.8% ; un échantillon représentatif d’une région intérieure similaire à la moitié du rayon d’origine donne environ 16.5%. La source importe, car un matériau qui part loin de l’axe porte déjà plus de moment cinétique et a besoin d’en recevoir moins. Une source intérieure spécifique exige sa propre distance quadratique moyenne. Le mot « intérieur » ne doit pas être compris comme impliquant que la moyenne globale s’applique nécessairement.

A.6.3 Comparaison avec le système actuel

Le bilan du parent doit maintenant être comparé à ce que contient aujourd’hui le système Terre–Lune. Le total actuel comporte deux parties : la rotation de la Terre et l’orbite de la Lune. Les constantes de référence reprises de la source donnent :

$$L_{\mathrm{spin}}=I_\oplus\omega_\oplus\simeq5.86\times10^{33},$$

$$L_{\mathrm{orbit}}=\mu_{\mathrm{red}}\sqrt{GM_{\mathrm{tot}}a_m(1-e_m^2)} \simeq2.855\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

où $a_m=3.844\times10^8$ m et $e_m=0.0549$. La seconde formule est le moment cinétique orbital de deux corps tournant autour de leur centre commun : $\mu_{\mathrm{red}}=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ est la masse réduite, $a_m$ le demi-grand axe de l’orbite lunaire et $e_m$ son excentricité. La somme des modules est d’environ $3.441\times10^{34}$, dont environ 83% sont orbitaux : la plus grande partie du moment cinétique du système se trouve aujourd’hui dans l’orbite de la Lune, et non dans la rotation de la Terre. L’excédent du bilan du parent par rapport à la somme des modules est d’environ 0.7%. Le parent contenait légèrement plus que ce que contient le système aujourd’hui, ce qui est le signe exigé par la faible perte due aux marées solaires (§A.2).

La rotation et le moment cinétique orbital sont des vecteurs, et ils ne sont pas orientés de la même façon : l’axe de la Terre est incliné par rapport au plan de l’orbite lunaire. Si l’angle entre les vecteurs est $\theta$, le module total est :

$$L_{\mathrm{vec}}=\sqrt{L_s^2+L_o^2+2L_sL_o\cos\theta}.$$

Additionner deux flèches formant un angle donne un total plus court que de les mettre bout à bout ; le total vectoriel est donc inférieur à la somme scalaire, et l’excédent du parent par rapport à lui est plus grand. Pour les angles de test 18.3°, 23.4° et 28.6°, on obtient des excédents d’environ 1.46%, 1.92% et 2.51%. Les angles servent de test de sensibilité ; aucune époque d’observation n’a été choisie ici et aucune histoire vectorielle complète n’a été calculée. La rotation actuelle de la Lune est très faible, mais sa rotation primitive était plus grande, et les deux doivent être distinguées.

L’excédent dépend du degré d’uniformité du parent. À figure fixe, la variation de $k$ donne un seuil d’environ 0.397 par rapport à la somme scalaire et d’environ 0.390–0.394 par rapport à la plage vectorielle : avec $k$ inférieur à cette valeur, le bilan du parent serait inférieur au bilan actuel. La Terre différenciée actuelle a un $k$ d’environ 0.33, bien en dessous du seuil ; la voie exige donc que le parent ait été encore à un stade précoce de tri au début du transfert ; cette exigence figure au §D.3. Il s’agit d’une condition de sensibilité, et non d’une famille stratifiée de solutions de Maclaurin. L’excédent positif signifie que ce test ne trouve aucun déficit de moment cinétique, mais l’accord avec le taux de perte vers le Soleil exige un calcul supplémentaire.

A.6.4 Sensibilité à la période et à la dilatation

Un jour initial plus court signifie davantage de moment cinétique ; un parent plus grand (plus dilaté) a un moment d’inertie plus grand et contient le même moment cinétique pour un jour plus long. La période initiale admissible dépend donc de la dilatation adoptée. Dans le modèle de référence, la fenêtre 4.90–5.54 heures se rapporte à la période initiale et aux conditions de bilan et de perte adoptées : à 5.54 heures, le parent contient exactement le moment cinétique actuel, et à 4.90 heures il en contient environ 15% de plus, la limite adoptée pour la perte vers l’extérieur. Son plafond ne doit pas être appliqué à la période finale après le transfert de moment cinétique, qui est plus longue par construction (§A.4). L’annexe B conserve le tableau de sensibilité d’origine, avec la distinction entre une dilatation adoptée et un calcul thermique non encore effectué.

La figure 5 se lit comme une carte des états de départ autorisés. L’axe horizontal indique de combien le parent chaud était dilaté par rapport à son rayon froid ; l’axe vertical est son jour. Un état de départ situé au-dessus de la ligne continue contient moins de moment cinétique que le système actuel et est exclu ; un état situé sous la ligne tiretée en contient plus de 15% de plus, davantage que ce que la perte extérieure peut retirer. La bande entre les deux est admissible, et elle monte vers la droite parce qu’un parent plus grand contient le même moment cinétique pour un jour plus long. L’état de référence, 5.5 h avec 120 km de dilatation, se situe à l’intérieur de la bande, juste sous le plafond.

A.6.5 Comparaison des figures d’équilibre

L’objection classique à la fission peut maintenant être située exactement. Dans la voie classique, la Terre entière doit tourner si vite qu’elle devient instable et se divise. Un fluide uniforme en rotation suit une séquence connue de formes à mesure que son moment cinétique croît. D’abord, c’est un sphéroïde de Maclaurin (§A.6.1), aplati mais circulaire à l’équateur. À un aplatissement défini, une seconde famille bifurque : les ellipsoïdes de Jacobi, dont l’équateur n’est plus un cercle mais une ellipse, de sorte que le corps s’allonge comme un ballon de rugby qui tourne bout par-dessus bout. Plus loin le long de la séquence de Jacobi vient une figure piriforme, à partir de laquelle on attendait que la fission classique se produise. Chacun de ces points exige une rotation définie et un moment cinétique défini.

Au point de bifurcation classique de Maclaurin à Jacobi, avec $e\simeq0.81267$ et $\omega^2/(\pi G\rho)\simeq0.37423$, on obtient pour la masse et le volume adoptés $T\simeq2.73$ heures, $a\simeq7{,}802$ km et un moment cinétique d’environ $9.42\times10^{34}$, soit un rapport d’environ 2.74 à la somme actuelle [1]. Ici $e$ est l’excentricité de la section méridienne (nulle pour une sphère, tendant vers un pour un corps très aplati) et $\omega^2/(\pi G\rho)$ mesure la rotation par rapport à la gravité propre du corps. En termes simples : rien que pour atteindre la première étape de la voie classique, la Terre aurait besoin d’un jour de moins de trois heures et de presque trois fois le moment cinétique que contient le système Terre–Lune.

Il s’agit d’une comparaison avec une configuration définie sur cette voie classique. La valeur de 4.08 du calcul de référence d’origine se rapporte à un autre point de la séquence de Maclaurin — le point de $\Omega$ maximal, et non la bifurcation de Jacobi — et n’est pas présentée comme une borne universelle. C’est la source de l’affirmation familière selon laquelle la fission exige environ quatre fois trop de moment cinétique. La valeur de 3.5 pour le point piriforme n’est pas adoptée, car la vérification du tableau n’a pas été achevée.

La raison de cette différence est l’endroit où la condition de vitesse est évaluée. La voie classique demande à la surface du parent d’atteindre la vitesse orbitale (§A.1.2) ; cela pousse le parent vers la rupture, et la rupture coûte plusieurs fois le moment cinétique disponible. La voie LEF n’utilise jamais cette condition : le matériau est porté vers l’extérieur en corotation et l’accord des vitesses se fait au rayon de corotation (§A.5), où un parent qui fait un tour en 5.5 heures fournit déjà la vitesse orbitale. Évaluée à cet endroit, l’exigence se réduit au bilan dont le parent dispose réellement. La comparaison porte sur deux voies menant au même produit : la voie classique exige 2.74 fois le bilan actuel ; celle-ci exige 1.007.

A.6.6 La correction vectorielle pour une libération hors de l’équateur

Jusqu’ici, on a supposé que le matériau partait dans le plan équatorial. Hors de l’équateur, le vecteur de rotation et le moment cinétique orbital doivent être additionnés dans le même repère, car l’orbite d’un corps libéré à une certaine latitude est inclinée par rapport à la rotation. Soit $S=I\omega$ le moment cinétique de rotation et $H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda$ le moment cinétique orbital du corps libéré, où $\lambda$ est l’angle de libération par rapport au plan équatorial. Pour la géométrie définie à l’annexe D :

$$\boxed{L_0^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.}$$

C’est la même règle d’addition de deux flèches formant un angle qu’au §A.6.3 : le bilan initial doit être égal à la somme vectorielle de la rotation et de l’orbite inclinée.

Dans l’exemple $\lambda=25^\circ$ par rapport à l’axe final et avec une structure homogène, le calcul couplé à deux masses donne une période finale de 6.220 heures, une distance de référence d’environ 17,240 km et un moment cinétique orbital d’environ 15.83% du bilan. La valeur de 25° est un test de sensibilité de la mesure dans laquelle une libération hors de l’équateur modifie le bilan ; la latitude de libération adoptée, le centre de la zone de contact, est 22.5° (article 4). Il s’agit d’une correction de sensibilité du bilan, et non d’une nouvelle valeur de référence adoptée. La dérivation de l’inclinaison et de l’excentricité, le périgée et l’évolution après la libération sont transmis à l’article 4.

A.6.7La condition de décision du bilan

Le test exige un état initial, un état final et un transfert externe cohérents :

$$\mathbf{L}_i=\mathbf{L}_f+\Delta\mathbf{L}_{\mathrm{external}}.$$

L’équation est la conservation du moment cinétique écrite sous forme de compte : ce dont le système disposait au départ est égal à ce qu’il contient maintenant plus ce qui a été retiré de l’extérieur (pour le système Terre–Lune, principalement par la marée solaire). Boucler le bilan numérique prouve la cohérence entre les états définis. L’absence d’accord dans les plages étayées de structure et de transferts externes exclurait ce scénario de bilan. Un accord n’établit pas comment le corps atteint mécaniquement l’état final ; c’est l’objet de l’article 3.

Le bilan s’établit donc ainsi : le parent de 5.5 heures contient légèrement plus de moment cinétique que le système actuel, le transfert en coûte environ un sixième, et la voie classique en aurait exigé 2.74 fois plus.

A.7La limite de Roche

Un corps qui atteint le rayon de corotation doit aussi y rester cohérent. Près d’un parent massif, la gravité du parent tire plus fort sur la face proche du corps que sur sa face éloignée ; cette différence, la force de marée, tend à étirer le corps jusqu’à le disloquer. La limite de Roche est la distance en deçà de laquelle cet étirement dépasse la gravité propre du corps qui le maintient. Un corps tenu par sa seule gravité ne peut pas rester entier à l’intérieur de cette limite.

A.7.1Deux limites de référence

Pour $\rho_s=2{,}600\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ et la masse du parent après le départ :

$$d_{\mathrm{fluid}}=2.44\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq19{,}971\ \mathrm{km},$$

$$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq10{,}314\ \mathrm{km}.$$

(Une version antérieure donnait 10,313 km ; les deux valeurs sont identiques à l’arrondi près, et la série utilise 10,314 km. Les figures 1, 6, 8 et 9 indiquent la limite fluide à 19,972 km, la même valeur à l’arrondi près.) Le terme entre crochets est le rayon qu’aurait une sphère de la masse de la Terre si elle avait la densité du satellite ; la limite en est un multiple fixe. Les deux formules ne diffèrent que par ce multiple, et la raison en est physique. L’approximation fluide concerne un corps qui se déforme : à mesure qu’il est étiré, il s’allonge vers le parent, ses extrémités proche et éloignée s’écartent, la différence de marée à travers lui augmente, et il cède plus tôt — la limite fluide se situe donc plus loin. L’approximation dite rigide néglige le changement de forme : le corps garde sa forme ronde, la différence de marée à travers lui reste plus faible, et il survit plus près. Elle ne comporte ni épaisseur de croûte ni résistance du matériau [1] ; c’est un corps tenu par sa seule gravité qui se contente de ne pas changer de forme. Le rayon de base et les deux rayons couplés se situent entre ces limites : à l’intérieur de la limite fluide, à l’extérieur de la limite rigide. La présence d’une croûte ne suffit donc pas à établir la survie ; la survie dépend du fait que le corps se comporte ou non comme rigide à l’échelle de temps qu’il passe à cet endroit.

Les limites de Roche se déplacent vers l’intérieur à mesure que la densité du corps augmente, car un corps plus dense se maintient plus fortement. Une densité d’environ 4,700 kg par mètre cube porterait la limite fluide à la distance de libération d’environ 16,400 km ; pour le corps rigide à la libération, c’est la limite rigide qui s’applique (§B.7). Il s’agit d’une exigence calculée dans l’approximation de Roche, et non d’une preuve que le corps a atteint cette densité ni d’une solution à toutes les exigences de stabilité.

A.7.2 Ce qu’enseigne la comparaison des accélérations

La comparaison de base se fait entre le gradient de gravité du parent et l’autogravité :

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3},\qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

La première grandeur, $\Delta a$, est la différence entre l’attraction du parent au centre du corps et à sa surface, plus proche d’une distance $R_s$ ; elle décroît fortement, comme le cube de la distance $r$. La seconde, $g_s$, est la gravité de surface propre du corps, qui retient son matériau. Lorsque la première est inférieure à la seconde, la gravité propre du corps l’emporte. Avec les données de référence de l’annexe E, le rapport est inférieur à l’unité (environ 0.277 à 15,818 km). C’est une mesure utile de la sollicitation, mais le changement de forme et la rotation ne sont pas inclus dans ce rapport. La limite de Roche statique fournit une base de comparaison ; la réponse sur une orbite excentrique peut aussi dépendre de l’histoire de la déformation [9].

A.7.3Ce qui reste conditionnel

Le rayon de corotation n’est pas un seuil de résistance : l’atteindre règle la vitesse, non la survie. Les propriétés du corps et de la liaison sont examinées dans l’article 3, et l’orbite après la libération dans l’article 4. L’article 2 n’adopte aucun temps de séjour contraignant dans le domaine de Roche ni aucun seuil de viscosité universel. La comparaison doit utiliser la distance la plus proche de l’orbite choisie, et non la seule distance de libération. La répartition des tests entre les articles ne supprime pas l’exigence de survie.

La figure 6 situe la Lune à la libération par rapport aux deux familles de limites. Les limites rigides, pour toute la plage de densités, se situent bien en deçà de la position de la Lune ; les limites fluides se situent au-delà. La Lune à la libération est donc en sécurité en tant que corps rigide, et son aplatissement et son arrondissement ont été achevés plus tôt, alors qu’elle était encore attachée (§B.7 ; article 7).

A.8Le sens de l’évolution des marées

La dernière question de la partie A est ce qui se passe après la libération : la Lune s’éloigne-t-elle de la Terre ou retombe-t-elle ? La réponse dépend du côté de la ligne de corotation où elle se trouve.

A.8.1 Le sens du transfert de moment cinétique

Pour une orbite directe, circulaire et équatoriale, on compare la rotation du parent au moyen mouvement — la vitesse angulaire du corps en orbite autour du parent :

$$n=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}.$$

Le corps en orbite soulève un renflement de marée sur le parent. Lorsque $\omega>n$, le parent tourne plus vite que le corps n’orbite, et sa rotation entraîne le renflement en avant du corps ; le renflement tire le corps vers l’avant, lui donne du moment cinétique, et le corps monte vers l’extérieur tandis que la rotation du parent ralentit. Dans le langage des équations de marée, la contribution de marée dissipative dans le parent transfère du moment cinétique de sa rotation vers l’orbite. Lorsque $\omega<n$, le corps devance le renflement, le renflement le tire vers l’arrière, et le sens s’inverse : le corps perd du moment cinétique et décrit une spirale vers l’intérieur. Au synchronisme circulaire exact, la contribution concernée s’annule : le renflement reste directement sous le corps et il n’y a aucune traction vers l’avant ou vers l’arrière. Puisque $n$ décroît avec la distance et que $\omega$ ne décroît pas, $\omega>n$ est vérifié à l’extérieur du rayon de corotation et $\omega<n$ à l’intérieur. La ligne de corotation est donc une ligne de partage : un corps libéré juste au-delà est poussé vers l’extérieur dès le départ. La généralisation à une orbite avec inclinaison et excentricité exige les équations de marée appropriées [2,3].

La figure 7 montre cette ligne de partage à l’œuvre dans le Système solaire actuel. Mars possède deux petites lunes de part et d’autre de son rayon synchrone : Phobos, à l’intérieur, est attirée vers l’intérieur ; Deimos, à l’extérieur, s’éloigne. Le cas Terre–Lune à la libération est la même règle appliquée à une Lune placée juste au-delà de la ligne.

La partie A étant achevée, les problèmes sont entièrement définis : un écart de vitesse qui se referme au rayon de corotation, une poire qui atteint ce rayon, un jour à la libération fixé par deux processus opposés, un bilan qui doit se boucler par rapport au système actuel, un test de Roche que le corps doit réussir, et une ligne de partage des marées qui décide de son sens ultérieur. La partie B y répond par un seul calcul.

La partie A a énoncé les conditions ; cette partie montre qu’un ensemble unique et cohérent de nombres les satisfait toutes à la fois. Ce point importe, car chaque condition prise isolément peut généralement être satisfaite en ajustant un paramètre, tandis que les satisfaire toutes avec la même Terre, la même Lune et la même rotation est un test bien plus fort de la voie.

B.1Le calcul

Données d’entrée. Jour terrestre initial $T_0=5.5$ h (§A.2) ; un parent homogène et dilaté, de rayon volumétrique 6,517 km et de densité 5,214 kg m$^{-3}$ (équatorial 6,721 km, polaire 6,128 km) ; la Lune : une masse lunaire, $m=7.35\times10^{22}$ kg, densité 2,600 kg m$^{-3}$. « Homogène » signifie que le parent est considéré comme de densité uniforme au départ, une donnée d’entrée du calcul pour un parent encore à un stade précoce de tri ; « dilaté » signifie qu’il est chaud et donc un peu plus grand qu’une Terre froide de même masse (§A.2). Les rayons équatorial et polaire diffèrent parce qu’un corps qui fait un tour en 5.5 h se renfle à l’équateur et s’aplatit aux pôles.

De la partie A à l’état de libération, pas à pas. L’état de libération découle des processus de la partie A en cinq étapes. Le tableau ci-dessous les réunit ; ses lignes se lisent de haut en bas, et la teinte indique le sens de chaque étape : rouge pour une étape qui ralentit la Terre et déplace la ligne de corotation vers l’extérieur, bleu pour une étape qui l’accélère et déplace la ligne vers l’intérieur.

1. Le point de départ. Un parent dont le jour est de 5.5 h a sa ligne de corotation à 15,818 km (§A.2.1). La ligne de corotation est la distance à laquelle un corps tournant avec la Terre se déplace déjà à la vitesse d’une orbite circulaire libre.

2. La poire ralentit la Terre. À mesure que la poire s’allonge, du matériau se déplace vers l’extérieur tout en tournant encore avec la Terre, et il emporte du moment cinétique. Le moment cinétique est la « quantité de rotation » d’un corps, sa masse multipliée par sa vitesse et par sa distance à l’axe ; en l’absence de couple extérieur, son total se conserve. Le moment cinétique qui part avec le matériau est prélevé sur la rotation de la Terre, de sorte que la Terre tourne plus lentement : à elle seule, cette étape allongerait le jour de 5.50 à 6.44 h et repousserait la ligne jusqu’à 17,569 km (§A.4).

3. Le noyau qui s’organise accélère la Terre. En même temps, le fer s’enfonce vers le centre. Cela abaisse le moment d’inertie de la Terre — la mesure de l’éloignement de sa masse par rapport à l’axe — et, comme une patineuse qui ramène ses bras, la Terre tourne plus vite. Avec un noyau deux fois plus dense que le manteau qui le surmonte ($D=2$), cette étape retire 0.67 h au jour.

4. Le résultat net. Les deux étapes agissent ensemble et se compensent en partie : le jour à la libération est de 5.77 h, et la ligne de corotation se situe à 16,331 km lorsque la Lune est traitée comme une particule test, ou à 16,399 km lorsque la masse propre de la Lune est incluse dans la formule à deux corps ci-dessous. Nous utilisons la valeur à deux corps, arrondie à environ 16,400 km.

5. La libération. La Lune commence à se séparer lorsque son centre de masse atteint cette ligne. Elle y est portée par la rotation, et non lancée : à cette distance, la vitesse qu’elle possède déjà en tant que partie du système en rotation est la vitesse d’une orbite libre, de sorte qu’aucune poussée supplémentaire n’est nécessaire (§B.2).

Le contenu quantitatif de ces étapes est le suivant.

1. Le jour terrestre à la libération. La poire qui s’allonge et le noyau en centralisation agissent ensemble (§A.4) ; avec $D=2$, $$T=5.77\ \mathrm{h},\qquad \Omega=\frac{2\pi}{T}=3.025\times10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}.$$ Ici $T$ est la durée du jour et $\Omega$ la vitesse angulaire de la rotation, l’angle en radians parcouru par seconde. Le jour n’est plus long que d’environ un quart d’heure par rapport aux 5.5 h de départ, car l’accélération due au fer qui s’enfonce annule la majeure partie du ralentissement causé par la poire.

2. Le point de libération. La Lune commence à se séparer lorsque son centre de masse atteint la ligne de corotation : $$r=R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{G\,(M_\oplus+m)}{\Omega^{2}}\right)^{1/3}\simeq16{,}400\ \mathrm{km}.$$ C’est la formule de corotation du §A.5.1, écrite pour deux corps : $G$ est la constante gravitationnelle, $M_\oplus$ la masse de la Terre et $m$ celle de la Lune. En mots, elle donne l’unique distance à laquelle une orbite circulaire dure exactement autant qu’un tour de la Terre. C’est l’inclusion de $m$ dans la formule qui transforme 16,331 km en 16,399 km. La valeur vaut environ 2.6 fois le rayon terrestre actuel. Avec $R_m=\left(\tfrac{3m}{4\pi\rho}\right)^{1/3}=1{,}890$ km, le point proche se situe à 14,509 km et la face éloignée à 18,289 km du centre de la Terre. $R_m$ est le rayon d’une sphère d’une masse lunaire à une densité de 2,600 kg m$^{-3}$ ; le soustraire des 16,400 km du centre et l’y ajouter donne l’extension de la Lune le long de la ligne Terre–Lune.

3. La Terre à la libération (Maclaurin, homogène) : $$\frac{\Omega^{2}}{\pi G\rho_\oplus}=\frac{2\sqrt{1-e^{2}}\,(3-2e^{2})}{e^{3}}\arcsin e-\frac{6(1-e^{2})}{e^{2}} \quad\Rightarrow\quad a=6{,}701\ \mathrm{km},\ c=6{,}165\ \mathrm{km}.$$ Un sphéroïde de Maclaurin est la forme d’équilibre d’un corps fluide uniforme en rotation stationnaire : une sphère aplatie aux pôles. L’équation relie la rotation (membre de gauche, avec $\rho_\oplus$ la densité moyenne de la Terre) à l’excentricité $e$, un nombre qui mesure l’aplatissement (0 pour une sphère, tendant vers 1 pour un disque plat). La résoudre pour la rotation de 5.77 h donne le rayon équatorial $a$ et le rayon polaire $c$. La Terre à la libération est donc encore nettement aplatie, bien qu’un peu moins que le parent de 5.5 h (6,721 et 6,128 km), car elle tourne désormais un peu plus lentement. L’écart entre la surface équatoriale de la Terre et la Lune est d’environ 7,800 km : le point proche de la Lune à 14,509 km moins le rayon équatorial de 6,701 km. C’est la distance que la poire doit franchir (§A.3).

4. Le moment cinétique. $$L_0=k_0Ma_0^{2}\Omega_0=3.466\times10^{34},\qquad L=I_\oplus\Omega+\mu\,\Omega\,r^{2}.$$ La première expression est le bilan de départ du parent (§A.6.1, en kg m$^2$ s$^{-1}$) : le coefficient du moment d’inertie $k_0$ (0.4 pour un corps uniforme), la masse, le carré du rayon équatorial et la rotation initiale. La seconde expression divise le même bilan à la libération en deux parties : la rotation de la Terre, $I_\oplus\Omega$, où $I_\oplus$ est son moment d’inertie, et l’orbite de la Lune, $\mu\Omega r^2$, où $\mu=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ est la masse réduite du couple et $r$ la distance de libération. À la libération, l’orbite de la Lune contient $5.9\times10^{33}$ (17%) et la rotation de la Terre $2.88\times10^{34}$ ; le système contient 1.007 fois la valeur actuelle (une version antérieure donnait 1.008, à partir du total actuel arrondi à $3.44\times10^{34}$ ; avec le $3.441\times10^{34}$ du §A.6.3, c’est 1.007, la valeur utilisée tout au long de l’article). Le $5.9\times10^{33}$ est défini comme le moment cinétique orbital du couple autour de leur centre commun, $\mu\Omega r^2$, avec la masse réduite $\mu=7.26\times10^{22}$ kg et $r=16{,}399$ km sur l’équateur. En comptant la masse lunaire complète $m$ autour du centre de la Terre, comme le fait l’article 3, le même état donne $6.0\times10^{33}$ ; pour une libération à 22.5 ($r=17{,}287$ km, article 4), où la Lune tourne à $r\cos22.5^\circ=15{,}971$ km de l’axe de rotation, le même décompte donne $5.7\times10^{33}$ (article 3). Les 17% sont le prix du transfert : la part de la rotation d’origine qui est passée de la rotation de la Terre à l’orbite de la Lune. Le total, 1.007 fois la valeur actuelle, est légèrement supérieur à la valeur présente, ce qui est le signe requis, puisque les marées solaires ont depuis retiré environ 1% du moment cinétique du système (§A.2).

La figure 8 représente cet état à l’échelle. Elle montre combien la Lune est encore proche de la Terre à la libération : l’écart d’environ 7,800 km est franchi par la poire du §A.3.

Nous disposons maintenant d’un état de libération complet : le jour et la forme de la Terre, la position et la taille de la Lune, et la répartition du moment cinétique entre elles. Les sections suivantes confrontent cet état à chaque problème de la partie A.

B.2L’écart de vitesse

Le problème du §A.1 était qu’un matériau libéré depuis la surface d’une Terre de 5.5 h se déplace à environ 2,133 m s$^{-1}$, bien en dessous des 7,701 m s$^{-1}$ d’une orbite circulaire, soit un écart d’environ 5,568 m s$^{-1}$. L’écart se referme avec la distance, car la vitesse portée par la rotation croît avec la distance tandis que la vitesse orbitale décroît. Sur la ligne de corotation, la rotation donne à la Lune exactement la vitesse orbitale, $$v=\Omega r=\sqrt{\frac{G(M_\oplus+m)}{r}}\approx4{,}960\ \mathrm{m\,s^{-1}},$$ de sorte qu’il ne reste aucun écart (§A.1, §A.5). Le membre de gauche est la vitesse d’un point tournant avec la Terre à la distance $r$ ; le membre de droite est la vitesse d’une orbite circulaire libre à la même distance ; sur la ligne, elles sont égales. La valeur est un peu inférieure aux 5,020 m s$^{-1}$ de la référence de 5.5 h (§A.2.1), car la Terre légèrement plus lente place la ligne plus loin, là où les vitesses orbitales sont plus faibles. L’image du quotidien est celle d’une enfant sur un manège : plus elle est assise loin du centre, plus elle se déplace vite, sans que personne ne la pousse.

B.3La poire

La poire franchit environ 7,800 km et se situe entièrement à l’intérieur de la ligne de corotation ; la Lune est libérée lorsque son centre de masse atteint la ligne (§A.3 ; le mécanisme de libération est l’objet de l’article 3, Le mécanisme LEF en pratique). Comme la poire se situe à l’intérieur de la ligne, la force nette dans le repère tournant la tire vers la Terre (§B.5) : elle reste avec la Terre, tandis que la Lune, dont le centre est sur la ligne, est libre de se séparer. C’est pourquoi la Lune part intacte et la liaison ne part pas avec elle.

B.4La compensation

Le calcul prend en compte les deux processus ensemble : jour terrestre 5.77 h, ligne de corotation 16,331 km (§A.4). Les 16,331 km sont la valeur en particule test de l’étape 4 du §B.1 ; l’inclusion de la masse propre de la Lune donne les 16,399 km, environ 16,400 km, utilisés pour le point de libération. Un calcul avec la poire seule donnerait 6.44 h et 17,569 km, et un calcul avec le noyau seul donnerait une Terre trop rapide ; seuls les deux ensemble décrivent la Terre de cette époque.

B.5 La corotation

Le centre de masse de la Lune atteint la ligne de corotation à environ 16,400 km ; au-delà, la corotation tire la Lune vers l’extérieur et elle est libérée : $$a_{\mathrm{net}}=\Omega^{2}r-\frac{GM_\oplus}{r^{2}}.$$ C’est l’accélération nette ressentie par un matériau qui tourne avec la Terre à la distance $r$, vue dans le repère tournant. Le premier terme est l’accélération vers l’extérieur (centrifuge) de la rotation, qui croît avec la distance ; le second est la gravité de la Terre, qui décroît avec la distance. En deçà de la ligne, la gravité l’emporte et $a_{\mathrm{net}}$ est dirigée vers l’intérieur, ce qui explique que la poire soit retenue par la Terre ; sur la ligne, les deux s’équilibrent ; au-delà, la rotation l’emporte et le matériau est entraîné vers l’extérieur. Dès que le centre de masse de la Lune franchit la ligne, le corps dans son ensemble est entraîné loin de la Terre, et il se sépare.

La figure 9 agrandit le moment où la séparation commence. La ligne est tracée par le centre de la Lune ; la moitié proche de la Lune se situe encore en deçà, et la moitié éloignée au-delà.

B.6 Le moment cinétique

Le système contient 1.007 fois le moment cinétique actuel. À la libération, le coefficient du moment d’inertie de la Terre qu’implique son moment cinétique de rotation restant est $k=0.355$ ; une structure à deux couches avec $q=0.55$ et $D=2$ donne $$k=\frac{2}{5}\,\frac{(1-q^{5})+Dq^{5}}{(1-q^{3})+Dq^{3}}=0.360.$$ Le coefficient $k$ décrit la répartition de la masse : 0.4 pour une sphère uniforme, moins lorsque la masse est rassemblée vers le centre (la Terre actuelle a environ 0.33). La valeur 0.355 est celle que la Terre doit avoir à la libération si sa rotation de 5.77 h doit porter les $2.88\times10^{34}$ restants. La formule calcule $k$ pour une Terre à deux couches : une couche interne s’étendant jusqu’à une fraction $q$ du rayon, avec une densité $D$ fois celle de la couche externe. Avec $q=0.55$ et $D=2$, elle donne 0.360, proche des 0.355 requis. Le moment cinétique exigé par l’état de libération et la structure produite par le fer qui s’enfonce s’accordent donc l’un avec l’autre. Aucun impact géant venu de l’extérieur ni aucun retrait ultérieur de moment cinétique ne sont nécessaires ; les modèles d’impact à fort moment cinétique partent d’environ 2–3 fois la valeur actuelle. La voie boucle son bilan avec ce que contient aujourd’hui le système Terre–Lune plus le 1% environ que les marées solaires ont retiré depuis.

B.7La limite de Roche

La limite de Roche est la distance en deçà de laquelle l’attraction de marée d’un grand corps, la différence de sa gravité entre la face proche et la face éloignée d’un corps plus petit, dépasse la gravité propre du petit corps et peut le disloquer. Deux formes classiques la bornent : $$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3},\qquad d_{\mathrm{fluid}}=2.44\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3}.$$ La forme rigide s’applique à un corps qui garde sa forme ; la forme fluide à un corps qui se déforme librement et est donc étiré davantage par la marée. Dans les deux, $\rho$ est la densité du petit corps : plus il est dense, plus il peut s’approcher. Le centre de la Lune à 16,400 km se situe bien au-delà de la limite rigide (9,484–12,994 km pour 1,300–3,344 kg m$^{-3}$). La même distance se situe à l’intérieur de la limite fluide pour un corps de 2,600 kg m$^{-3}$ (19,971 km, §A.7.1) ; laquelle des deux limites s’applique dépend donc du caractère rigide ou non de la Lune à la libération. L’arrondissement était achevé avant la libération ; le corps est rigide et rond. L’aplatissement et l’arrondissement ultérieur du corps lunaire ont eu lieu plus tôt, alors qu’il était encore attaché (article 7, Les pôles) ; ce qui quitte la ligne est un corps doté d’une coquille externe rigide. Un corps rigide réduit la réponse de marée par $$\frac{1}{1+\dfrac{19\mu}{2\rho gR}},$$ de sorte que pour $\mu\ge10$ GPa le rapport des axes est au plus de 1.04. Ici $\mu$ est la rigidité (module de cisaillement) du corps, $g$ sa gravité de surface et $R$ son rayon ; $\rho gR$ est la pression due au poids propre du corps. Ce facteur indique qu’un corps dont la rigidité est grande par rapport à la pression de son propre poids ne se déforme que d’une petite fraction de ce que subirait un corps fluide. Un rapport des axes d’au plus 1.04 signifie que le plus long axe de la Lune ne dépasse pas le plus court de plus de 4% : le corps reste rond.

B.8Le sens de l’évolution des marées

La Lune est libérée sur la ligne de corotation, et les marées lui transfèrent du moment cinétique prélevé sur la rotation de la Terre : elle s’éloigne (§A.8 ; l’orbite est l’objet de l’article 4, L’orbite). Exactement sur la ligne, l’effet de marée est neutre, puisque la Terre fait un tour dans le même temps que la Lune parcourt son orbite. La séparation elle-même porte le centre de masse de la Lune environ 210 km au-delà de la ligne, lorsqu’un peu plus de la moitié de la Lune l’a franchie (la marge $\Delta r\simeq2d_0$ du §D.3) ; là, la Terre tourne plus vite que la Lune n’orbite, le renflement de marée soulevé sur la Terre devance la Lune, la tire vers l’avant, et la Lune se déplace vers l’extérieur. C’est le côté de la ligne de partage où se trouve aujourd’hui Deimos (figure 7).

À quelle distance au-delà de la ligne. La distance au-delà de la ligne est faible par rapport au rayon de libération, mais elle fixe la forme de la première orbite. Sur la ligne, la Lune porte exactement la vitesse d’une orbite circulaire ; au-delà, un peu plus, de sorte que le point de libération devient le point le plus proche d’une orbite légèrement étirée, d’excentricité $e_0$ croissant avec la distance. Le tableau suit ce comportement à la latitude de libération de 22.5°, où la ligne de corotation se situe à 17,287 km, avec le jour de 5.77 heures ; l’orbite initiale provient des formules de l’article 4 (annexe A) et l’angle final de la loi en tangente réduite de l’article 4 (partie D). « Franchi » désigne la part du volume de la Lune située au-delà de la ligne à la libération.

Tableau B.8. Libération à 22.5° : l’orbite initiale et l’angle final de la loi réduite à mesure que la libération se déplace au-delà de la ligne de corotation (article 3, §C.5a). Le bleu marine s’assombrit avec l’angle final ; le vert marque les 5.145° observés, qui correspondent à la libération adoptée.

Une libération exactement sur la ligne donne un cercle, et la marée emporte un cercle vers l’extérieur en tant que cercle ; l’excentricité actuelle de la Lune exige donc une libération un peu après que son centre de masse a franchi la ligne. À environ 210 km, la loi réduite restitue l’inclinaison observée, et l’article 3 (§C.5a) montre que le même décalage restitue l’excentricité actuelle de 0.0549 pour une Lune jeune et chaude ; la série adopte cette libération. L’article 3 donne le tableau des excentricités et la sensibilité à la latitude de l’extrémité ; l’intégration complète de l’article 4 porte l’état de libération à travers toute l’histoire.

Ce dont nous disposons maintenant : l’état de libération du §B.1 répond à chacun des sept problèmes de la partie A avec un seul ensemble de nombres.

C.1 Ce qui a été montré

Le tableau associe chaque problème de la partie A à la réponse donnée dans la partie B. Il se lit ligne par ligne ; chaque coche signifie que l’état de libération du §B.1 répond à ce problème sans hypothèse distincte.

Cette partie réunit en un seul endroit ce que l’article affirme, la manière dont chaque thèse est testée, et ce que la voie exige de son mécanisme, de sorte que ces points se trouvent ici plutôt que dispersés dans le texte.

D.1Thèses centrales et tests

Le tableau présente les cinq thèses centrales. La première colonne nomme chaque thèse et indique son statut ; la deuxième, ce qu’elle suppose et prédit ; et la troisième, la manière dont elle est testée.

En termes simples, les thèses sont les suivantes.

• Corotation. La thèse est qu’à la ligne de corotation, la vitesse issue de la rotation est égale à la vitesse orbitale. Les corrections dont le scénario a besoin (le champ de la Terre aplatie, la taille de la Lune, l’attraction entre les deux corps) sont vérifiées par rapport à cette égalité.

• Bouclage du moment cinétique. La thèse est que le bilan de départ de $3.466\times10^{34}$ suffit pour une libération à environ 16,400 km. Le bilan avant la libération est mis en correspondance avec le bilan après celle-ci au moyen de la structure et de la perte par les marées solaires.

• Sensibilité à la structure. La thèse est qu’un noyau qui s’enfonce modifie le jour et la ligne de la manière calculée (§A.4.1). Le calcul converge vers une solution pour chaque structure balayée.

• Moment cinétique non équatorial. La thèse est qu’une libération hors de l’équateur ne modifie le bilan que de la correction vectorielle calculée (§A.6.6). Tous les vecteurs sont additionnés dans un seul repère.

• Survie. La thèse est que la Lune survit à la marée terrestre à la libération. Cela est testé dans les articles suivants.

Ces thèses ne sont pas toutes des prédictions observationnelles indépendantes : certaines sont des identités physiques, d’autres des tests de cohérence et d’autres des exigences portant sur le mécanisme. La distinction est conservée dans la carte de nouveauté de l’annexe F. Une identité, comme la formule de corotation, ne peut pas être fausse si les données d’entrée sont justes ; un test de cohérence vérifie que les nombres se bouclent ; une exigence est une condition à laquelle les articles suivants doivent satisfaire.

D.2La nouveauté du travail

La formule de corotation, les figures de Maclaurin, la conservation du moment cinétique et les limites de Roche relèvent de la physique antérieure. Le travail examine leur application conjointe à une condition de transfert connecté, avec un calcul cohérent de la variation de masse, de forme et de rotation et une présentation des domaines de sensibilité. « Transfert connecté » signifie que le matériau reste lié à la Terre et tourne avec elle jusqu’à ce qu’il atteigne la ligne, au lieu d’être lancé depuis la surface ; c’est la condition de libération sous laquelle l’objection classique à la fission, un bilan plusieurs fois trop grand, ne se pose pas (§A.6.5). Une revendication complète de priorité historique exige la vérification des travaux antérieurs de l’annexe F ; le succès de la reproduction numérique ne prouve pas la priorité.

D.3Ce qui est supposé et exigé

Les hypothèses et les exigences qui soutiennent l’argument sont réunies ici afin d’éviter de les répéter à côté de chaque résultat. Chaque ligne donne la valeur adoptée ou exigée.

Quelques lignes appellent une explication. La dilatation thermique est la quantité dont la jeune Terre chaude était plus grande qu’une Terre froide ; 6,495 km est le rayon volumétrique à la borne inférieure de la plage admissible (98 km de dilatation). La condition de libération se lit comme suit. Un corps libéré exactement sur la ligne de corotation est dans un état neutre vis-à-vis des marées ; dès qu’il se situe au-delà de la ligne, la marée le pousse vers l’extérieur, de sorte que la Lune s’éloigne dès le départ (article 4, §B.2). La séparation place le centre de masse au-delà de la ligne d’une marge $\Delta r\simeq2d_0$, où $d_0$ est l’échelle d’épaisseur de la liaison (annexe E, ligne E47) ; la marge est d’environ 210 km, $d_0\approx105$ km, fixée par la recherche de la distance de libération de l’article 3, §C.5a (une version antérieure donnait environ 100 km). La comparaison des bilans se fait de deux manières : en additionnant les moments cinétiques de rotation et orbital comme de simples modules (scalaire), ce qui donne un excédent de 0.7%, et comme des vecteurs formant un angle, ce qui donne 1.5–2.5% (une version antérieure donnait 1.5–2.6% ; le plus grand des trois angles testés donne 2.51%) ; la somme scalaire est la base et la somme vectorielle un test de sensibilité (§A.6.3).

Les trois premières lignes sont des valeurs adoptées avec leurs fenêtres ; les deux suivantes sont des exigences que la voie impose à l’article 3 ; les deux dernières sont les vérifications que cet article effectue lui-même. Aucune des sept n’est dissimulée dans un résultat, et aucune n’est nécessaire pour énoncer le rayon de corotation, qui découle de la seule masse et de la seule rotation du parent.

Un corps de la taille de la Lune peut atteindre l’orbite à partir du matériau propre de la Terre sans impact géant venu de l’extérieur. Une Terre en rotation rapide fournit la vitesse ; la poire relie la Terre à la ligne de corotation ; la poire qui s’allonge et le noyau en centralisation fixent ensemble le jour terrestre à la libération à 5.77 h ; la Lune, rigide et ronde, est libérée lorsque son centre de masse atteint la ligne de corotation à environ 16,400 km ; le bilan de moment cinétique se boucle à 1.007 fois la valeur actuelle, en accord avec la perte due aux marées solaires ; et la Lune s’éloigne dès le moment de la libération.

En une seule chaîne : la rotation de la Terre porte le matériau vers l’extérieur ; la ligne où la vitesse portée égale la vitesse orbitale fixe l’endroit où la Lune part ; l’équilibre entre la poire et le noyau fixe la position de cette ligne ; et le moment cinétique dont la Terre disposait au départ suffit, avec environ 1% de marge que le Soleil retirera plus tard.

E.1Les conclusions antérieures conservées

Les conclusions suivantes des versions antérieures de cet article restent valides et sont conservées ici, avec leurs valeurs de référence d’origine.

1. La condition de libération détermine le test de vitesse ; la libération directe depuis la surface et le transfert en corotation sont des conditions initiales différentes. Une libération depuis la surface laisse un écart de vitesse (§A.1.2) ; un transfert en corotation n’en laisse aucun (§B.2).

2. La valeur de référence d’origine est d’environ 15,818 km pour une période de 5.5 heures et dans la définition de masse fixée pour elle. C’est la ligne avant le début du transfert ; la valeur à la libération d’environ 16,400 km est la ligne après l’action de la poire et du noyau (§B.1).

3. L’apport au matériau est d’environ 15.6% dans le calcul de base et d’environ 16.5% dans la solution couplée ; environ 17.7% est le moment cinétique orbital final dans l’approximation de la particule test, pour l’état couplé avec la poire seule ($D=1$, 6.44 h, 17,569 km) ; dans l’état de libération avec $D=2$, l’orbite de la Lune contient environ 17.0% (§B.1). Ces trois pourcentages mesurent des grandeurs différentes : les deux premiers, le moment cinétique que le matériau doit gagner pendant le transfert (§A.6.2) ; le troisième, la part du bilan détenue par l’orbite de la Lune à la fin.

4. La structure interne et la géométrie vectorielle influent sur le résultat, et ont donc été incluses comme tests de sensibilité et non comme valeurs passées mesurées.

5. La corotation fournit la vitesse et le bilan. Le détachement mécanique au-delà de la corotation, l’éloignement durable et la survie dans le domaine de Roche sont les trois conditions que la voie impose à son mécanisme ; elles sont réunies au §D.3.

Travaux ultérieurs — pistes de recherche

Les calculs de cet article définissent les données d’entrée de travaux ultérieurs que d’autres groupes de recherche sont équipés pour mener. Chaque point nomme un calcul que cet article n’effectue pas et l’article de la série qui en utiliserait le résultat.

1. Le problème de Maclaurin stratifié. L’état final couplé (§A.6.2) utilise une figure uniforme avec un coefficient d’inertie variable. Un traitement de Clairaut–Darwin–Radau d’un parent dont le fer descend donne de façon autocohérente le rayon de corotation pour le noyau en centralisation (environ 16,300–16,400 km à $D=2$), et transmet à l’article 4 son orbite de départ. La méthode de Clairaut–Darwin–Radau est la manière standard de calculer la forme d’un corps en rotation dont la densité croît vers l’intérieur ; elle remplacerait la forme uniforme utilisée ici par une forme qui suit le fer qui s’enfonce.

2. La dissipation de la Terre primitive. L’éloignement à partir d’environ 2.6 rayons terrestres (16,400 km ; 2.8 rayons terrestres dans l’état antérieur avec la poire seule, de 6.44 h) est fixé par $k_2/Q$ et son histoire ; la valeur actuelle est anormale. Ici $k_2$ mesure de combien la Terre se déforme sous une marée et $Q$ quelle part de l’énergie de marée elle dissipe ; leur rapport fixe la vitesse à laquelle la Lune s’éloigne. Des modèles de résonance océanique partant du jour de 5.77 heures de la libération (plutôt que du jour de 6.4 heures de l’état antérieur avec la poire seule) donneraient la fonction de taux dont l’article 4 a besoin.

3. La dilatation thermique du parent. Les 120 km adoptés ici (98–520 admissibles) sont une estimation tirée de la profondeur de l’océan de magma et de la dilatation du bain fondu ; une intégration par équation d’état d’une Terre primitive chaude et riche en volatils la fixerait, et avec elle la fenêtre de rotation.

4. Le début de l’éloignement. Un corps libéré exactement sur la ligne de corotation se trouve dans un état neutre vis-à-vis des marées : la Terre fait un tour dans le temps où le corps parcourt une orbite, et la marée ne le pousse ni vers l’extérieur ni vers l’intérieur. Dès que le corps se situe au-delà de la ligne, la marée le pousse vers l’extérieur, de sorte que la Lune s’éloigne dès le départ (§B.8 ; article 4, §B.2). La séparation laisse le centre de masse au-delà de la ligne de la marge de libération $\Delta r\simeq2d_0$, environ 210 km (§D.3, §E.1). Une intégration des marées avec une rhéologie dépendant de la fréquence dans les deux corps, partant de l’état de libération de l’article 3, fixerait la plage de cette marge et le taux du premier éloignement. « Rhéologie dépendant de la fréquence » signifie que la manière dont chaque corps cède à la marée dépend de la rapidité avec laquelle la marée varie.

5. La survie à l’intérieur de la limite de Roche fluide. L’estimation en ordre de grandeur de la déformation de l’annexe « Estimation de l’accélération et de la déformation » n’est pas une solution de déformation. Un calcul viscoélastique du corps rigide de 1,890 km à environ 16,400 km de la Terre, sur les $10^1$–$10^3$ années qu’il y passe, la remplacerait. Un calcul viscoélastique traite le corps comme élastique sur des temps courts et comme lentement fluant sur des temps longs, ce qui est le comportement d’un corps chaud doté d’une coquille externe rigide.

6. La voie classique. Le facteur 2.74 à la bifurcation de Jacobi est calculé ; le point piriforme le long de la séquence de Jacobi exige la vérification des valeurs tabulées, et un calcul moderne de la séquence pour cette masse et cette densité trancherait la question. La séquence de Jacobi est la famille des formes d’équilibre allongées à trois axes dans lesquelles passe un corps fluide en rotation rapide au-delà des formes de Maclaurin (§A.6.5).

Disponibilité du code

Tous les résultats numériques de cet article sont reproduits par les scripts du paquet de reproduction LEF (Python 3, numpy, scipy), qui affiche les valeurs de chaque section à partir des données d’entrée indiquées dans le texte. Le paquet est joint à cette prépublication comme matériel supplémentaire (LEF_code_and_data.zip). Une version antérieure de la série et du paquet est déposée à doi:10.5281/zenodo.22743615.

Cette annexe fixe les définitions sur lesquelles repose chaque nombre de l’article. Elle étaye le rayon de corotation des §A.2.1 et §A.5 (15,818 km pour la référence de 5.5 heures) et la distance de libération du §B.1. Un lecteur qui souhaite vérifier un résultat devrait commencer ici, car la plupart des désaccords apparents entre reproductions proviennent d’un choix différent de masse, de distance ou de constante, et non d’une physique différente.

La dérivation complète courte se trouve au §B.1. Deux masses doivent être distinguées. $M_{\mathrm{tot}}$ est la masse initiale totale : la Terre et le matériau lunaire ensemble, avant qu’aucune partie n’en soit partie. $M_\oplus$ est la masse finale du parent : la Terre après que le matériau lunaire a été attribué au second corps. Utiliser l’une à la place de l’autre compte la masse lunaire deux fois ou pas du tout.

Deux distances doivent aussi être distinguées. Un rayon rapporté au centre du parent n’est pas un rayon rapporté au centre de masse du système ; dès qu’existe un second corps de masse réelle, les deux corps tournent autour de leur centre de masse commun, qui se situe légèrement à l’écart du centre de la Terre. Dans le cas à deux corps, la distance $r$ est celle entre les centres, et le paramètre gravitationnel (le produit de la constante gravitationnelle et de la masse qui attire) est $G(M_\oplus+m)$, car chaque corps orbite sous l’attraction de l’autre et le mouvement relatif est régi par la somme des masses.

Les constantes sont les données d’entrée reproduites de la source, et non un nouvel ajustement à des éphémérides (une table de positions observées). Changer la définition de la masse exige donc un nouveau calcul, et non un changement tacite de l’étiquette 15,818 : ce nombre appartient à une définition énoncée, et une définition différente produit un nombre différent.

Cette annexe dérive la forme et le moment cinétique de la jeune Terre avant le début du transfert. Elle étaye le bilan initial $L_0\simeq3.466\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$ des §A.6.1 et §B.1, la comparaison avec le système actuel au §A.6.3, et la région admissible de la figure 5 au §A.6.4. Les étapes sont : fixer la masse et la taille ; trouver la forme aplatie que prend un corps uniforme à une rotation de 5.5 heures ; calculer son moment d’inertie ; le multiplier par le taux de rotation.

Appendix B.1Dérivation de la structure initiale — le texte de base conservé

Étape 1 : la masse. Nous adoptons $G=6.674\times10^{-11}$, $M_\oplus=5.972\times10^{24}$ kg et $m=7.35\times10^{22}$ kg. Avant le transfert, le matériau lunaire fait encore partie de la Terre, de sorte que le parent porte les deux. Dans le code, la somme exacte des valeurs adoptées est conservée :

$$M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m=6.0455\times10^{24}\ \mathrm{kg}.$$

Sa valeur arrondie dans la source est $6.045\times10^{24}$. La différence d’arrondi explique de petites différences entre reproductions ; ce n’est pas une différence physique.

Étape 2 : la taille. Le rayon de référence défini à partir de la densité terrestre moyenne est d’environ 6,397 km : c’est le rayon qu’aurait toute la masse initiale à la densité de la Terre actuelle. La jeune Terre du modèle est chaude et dilatée. Un ajout adopté de 120 km donne un rayon volumétrique $R_{V,0}=6{,}517$ km (le rayon d’une sphère de même volume que le corps aplati) et une densité d’environ 5,214 kg par mètre cube.

Étape 3 : la forme. Un corps fluide uniforme en rotation se stabilise en une figure aplatie, plus large à l’équateur qu’entre les pôles. Pour un corps de densité uniforme, cette figure est un sphéroïde de Maclaurin, et sa forme est fixée par une seule équation [1] :

$$\mathcal M(e)=\frac{2\sqrt{1-e^2}}{e^3}(3-2e^2)\arcsin e -\frac{6(1-e^2)}{e^2}, \qquad \frac{\omega^2}{\pi G\rho}=\mathcal M(e).$$

En mots : le membre de gauche, $\omega^2/(\pi G\rho)$, mesure la vitesse de rotation du corps comparée à la force avec laquelle sa propre gravité le maintient ($\omega$ est la vitesse angulaire, $\rho$ la densité). Le membre de droite, $\mathcal M(e)$, est l’aplatissement qu’exige cet équilibre, exprimé au moyen de l’excentricité $e$ de la section méridienne — $e=0$ correspond à une sphère, et $e$ croît à mesure que le corps s’aplatit. Étant donné la rotation et la densité, l’équation est résolue pour $e$.

Une fois $e$ connu, le rayon équatorial $a$ et le rayon polaire $c$ découlent du rayon volumétrique :

$$a=\frac{R_V}{(1-e^2)^{1/6}}, \qquad c=R_V(1-e^2)^{1/3}.$$

Ces deux expressions maintiennent le volume fixe : $a^2c=R_V^3$, de sorte que le corps s’aplatit sans gagner ni perdre de matériau.

Pour une rotation donnée inférieure au maximum, l’équation de Maclaurin a deux solutions, l’une légèrement aplatie et l’autre fortement aplatie. Un corps mis en rotation progressivement à partir d’une sphère suit la première. Sur la branche proche de la forme sphérique, on obtient $e_0\simeq0.4107$, $a_0\simeq6{,}721$ km et $c_0\simeq6{,}128$ km — un équateur situé environ 600 km plus loin du centre que les pôles.

Étape 4 : le moment d’inertie et le moment cinétique. Le moment d’inertie mesure la difficulté de mettre un corps en rotation, et dépend de la distance de sa masse à l’axe. Pour un sphéroïde uniforme tournant autour de son petit axe, il vaut $\frac25$ de la masse multipliée par le carré du rayon équatorial. Le moment cinétique est le moment d’inertie multiplié par la vitesse angulaire :

$$I_0=\frac25M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_{\mathrm{initial}}=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

Ici $\omega_0=2\pi/19{,}800$ s$^{-1}$, la vitesse angulaire d’un jour de 5.5 heures. Ce nombre encadré est l’ensemble du bilan dans lequel le transfert peut puiser ; le §A.6 le compare au système Terre–Lune actuel.

La densité uniforme est une donnée d’entrée du calcul. Elle décrit un parent encore à un stade précoce de tri : le fer s’accumulait peut-être déjà dans le noyau au début, et l’organisation du noyau s’est poursuivie pendant le transfert et après la libération. Un corps qui n’a pas achevé sa différenciation n’est pas nécessairement uniforme ; l’effet des écarts à la densité uniforme est examiné ci-dessous dans un test de sensibilité (annexe C et §A.4.1).

Appendix B.2Le balayage d’origine de la dilatation

La dilatation de 120 km est une valeur adoptée ; la question est donc de savoir dans quelle mesure le résultat en dépend. Le tableau y répond. Chaque ligne donne une dilatation ; la deuxième colonne est le rayon volumétrique qui en résulte ; la troisième est l’excédent du bilan initial sur le bilan actuel si le jour est de 5.5 heures ; la quatrième est le jour initial le plus long pour lequel le bilan est encore égal au bilan actuel (le plafond scalaire). En lisant le tableau de haut en bas : à mesure que la dilatation croît, le corps devient plus grand, son moment d’inertie augmente, et l’excédent comme le plafond croissent avec lui.

Deux lignes marquent les bornes de la plage admissible. Sans dilatation, le bilan est inférieur de 3.3% au bilan actuel, de sorte qu’un parent non dilaté tournant en 5.5 heures ne pourrait pas fournir le système actuel. À 98 km, le bilan est exactement égal au bilan actuel ; c’est la plus petite dilatation qui convient. À 520 km, l’excédent atteint 15%, la limite adoptée pour ce qui a pu être perdu ensuite au profit du Soleil. La plage 98–520 km du §D.3 provient de ces deux lignes.

Le tableau est conservé à partir du tableau source comme sensibilité du modèle scalaire. Le plafond de 5.54 heures appartient à l’état de référence, et non à toute structure possible. Le plancher de 4.90 heures repose sur un plafond adopté de 15% pour la perte externe ; il n’y a ici aucune dérivation indépendante de ce plafond. La plage 4.90–5.54 heures n’est donc pas une contrainte observationnelle prouvée ; c’est la fenêtre à l’intérieur de laquelle les données d’entrée adoptées restent cohérentes.

Les 120 km sont également un paramètre adopté. Utiliser ce paramètre pour représenter la dilatation thermique ne remplace pas un calcul par équation d’état (un calcul qui suit, couche par couche, la variation de la densité du matériau avec la pression et la température). Établir la dilatation d’un corps sous pression exige d’intégrer la structure et la densité ; une estimation linéaire fondée sur la profondeur des couches et un coefficient de dilatation ne constitue pas une base indépendante fermée. La liste des travaux ultérieurs cite ce calcul comme une piste de recherche.

Cette annexe décrit comment le calcul à deux couches qui sous-tend les §A.4 et §A.4.1 a été construit, et dans quelle mesure on peut se fier à ses nombres. Elle étaye le tableau des périodes finales et des rayons de corotation en fonction du rapport des densités $D$ (pour $D=2$ : 5.77 heures et 16,331 km), et la valeur $k=0.360$ du §B.6. L’idée physique est celle de la patineuse qui ramène ses bras : lorsque le fer s’enfonce vers le centre, le moment d’inertie diminue et, le moment cinétique étant fixé, la rotation s’accélère.

Le modèle comporte deux couches : une interne et une externe. $q$ est le rapport du rayon volumétrique interne au rayon externe, et $D$ est le rapport de leurs densités. Les couches sont incompressibles et en rotation commune, de sorte qu’elles tournent ensemble comme un seul corps. Le volume du corps final est fixé d’un scénario à l’autre ; l’état initial utilisé pour fixer $L_0$ reste homogène, de sorte que chaque scénario part du même bilan et ne diffère que par la manière dont le corps final a disposé sa masse.

Pour chaque scénario, un potentiel effectif constant est résolu sur les deux limites : chaque limite doit être une surface d’égal potentiel gravitationnel et centrifuge combiné, ce qui est la condition pour qu’une couche fluide soit au repos dans le repère tournant. $I$ est ensuite calculé directement à partir de la densité et de la forme, et non tiré d’une formule pour un corps uniforme. Il n’y a ici ni chemin de différenciation dans le temps ni équation d’état : le calcul compare des états finaux, et ne suit pas pas à pas l’enfoncement du fer.

Deux vérifications fixent la précision. Laisser varier les formes des limites (au lieu de les contraindre à être des sphéroïdes exacts) a modifié le rayon d’au plus 2.5 km environ dans le balayage de $q=0.55$ — peu de chose par rapport au rayon de corotation de plus de 15,000 km. Changer la résolution numérique a modifié les rayons de quelques mètres ; les résidus de champ ne convergent pas de façon monotone dans toutes les vérifications, de sorte qu’aucune précision physique au mètre n’est revendiquée. Les résultats sont fiables au kilomètre près, ce qui est le niveau auquel l’article les utilise.

Le calcul principal libère la Lune dans le plan équatorial. Cette annexe examine ce qui change si le point de libération se situe hors de l’équateur. Elle étaye l’équation de bilan du §A.6.6 et les valeurs de sensibilité qui y sont citées. Le point est géométrique : hors de l’équateur, le moment cinétique orbital de la Lune et le moment cinétique de rotation de la Terre ne sont plus orientés selon le même axe, et des moments cinétiques orientés dans des directions différentes s’additionnent comme des flèches, et non comme de simples nombres.

Dans un repère où $z$ est l’axe de rotation final, et $\lambda$ est la latitude du point de libération mesurée par rapport à son équateur, le moment cinétique total est :

$$\mathbf{L}_{\mathrm{tot}}=(-H\sin\lambda,0,S+H\cos\lambda),\quad H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda.$$

Ici $S$ est le moment cinétique de rotation de la Terre, selon l’axe. $H$ est le moment cinétique orbital de la Lune : $\mu_{\mathrm{red}}$ est la masse réduite du couple, $\omega$ la vitesse angulaire commune et $r\cos\lambda$ la distance du point de libération à l’axe de rotation — seule cette distance compte pour la vitesse que fournit la rotation. La flèche orbitale est inclinée de $\lambda$ par rapport à l’axe de rotation ; elle a donc une composante $H\cos\lambda$ selon l’axe et une composante $-H\sin\lambda$ perpendiculaire à celui-ci.

La longueur de la flèche totale s’obtient en élevant les composantes au carré et en les additionnant :

$$L_0^2=(H\sin\lambda)^2+(S+H\cos\lambda)^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.$$

D’où l’équation de bilan du §A.6.6 : le bilan initial doit être égal à cette longueur. À $\lambda=0$, elle se réduit à la simple somme $L_0=S+H$ du calcul équatorial. L’angle entre la rotation et le moment cinétique total est :

$$\beta=\arctan\left(\frac{H\sin\lambda}{S+H\cos\lambda}\right).$$

Cet angle indique de combien l’axe de rotation final de la Terre s’incline par rapport à l’axe du système entier — le point de départ des inclinaisons que suit l’article 4.

Pour le test $q=0.55$, $D=1$, $\lambda=25^\circ$, on obtient environ 17,177 km et 3.85° dans l’approximation de la particule test, ou environ 17,240 km et 3.84° avec deux masses. Les 25° sont une valeur de test de sensibilité, choisie pour montrer l’ampleur de la correction ; la latitude de libération adoptée est 22.5°, le centre de la zone de contact, et la libération à cet endroit est recalculée dans l’article 4 (L’orbite). Ce sont des résultats de sensibilité proposés, qui ne remplacent pas les valeurs de référence. Les nombres antérieurs 17,115 et 4.48° ont été mis à part dans le journal parce qu’ils exigeaient une correction de cohérence du repère : ils mélangeaient des vecteurs exprimés par rapport à des axes différents. Cette équation cinématique ne calcule pas l’évolution de l’axe dans le temps ; elle donne l’état à un instant donné.

La documentation complète, y compris le matériel orbital destiné à l’article 4 : LEF_PaperI_Calculation2_Latitude25_HE.

Cette annexe donne le contexte des §A.7 et §B.7 : les deux limites de Roche et une première estimation de l’intensité avec laquelle la marée terrestre sollicite la jeune Lune. La limite de Roche est la distance en deçà de laquelle la différence entre l’attraction de la Terre sur la face proche et sur la face éloignée d’un satellite (l’étirement de marée) dépasse la gravité propre du satellite qui le maintient. Un corps qui se déforme librement, comme un fluide, s’allonge et accroît ainsi l’étirement qu’il subit ; sa limite se situe plus loin (coefficient 2.44). Un corps qui garde sa forme a une limite plus proche (coefficient 1.26). La question à laquelle répond cette annexe est de savoir quelle est l’ampleur de la charge de marée à la distance de libération, et ce qu’il faut de plus pour transformer cette charge en un résultat de survie.

Les constantes 1.26 et 2.44 et les définitions des limites ont été conservées du texte précédent. Une vérification ciblée de la source du coefficient dit rigide et de son domaine de validité doit être achevée avant la soumission. Elle ne comporte aucune loi de résistance pour une croûte : la limite rigide décrit un corps qui ne change pas de forme, sans dire quelle résistance du matériau le rend possible.

Estimation de l’accélération et de la déformation — un texte de calcul antérieur conservé

L’estimation compare deux accélérations. $\Delta a$ est l’étirement de marée : la différence entre l’attraction de la Terre au centre du corps et à sa surface, le long de la ligne dirigée vers la Terre. $g_s$ est la gravité de surface propre du corps. Pour un rayon du corps de $R_s=1{,}890$ km :

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3}, \qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

L’étirement décroît comme le cube de la distance $r$ : diviser la distance par deux le multiplie par huit. À 15,818 km, on obtient $\Delta a\simeq0.381$, $g_s\simeq1.373$ m/s² et un rapport d’environ 0.277. Le rapport compare l’étirement de marée à l’autogravité : en dessous de un, l’autogravité l’emporte, et à cette distance la marée représente un peu plus du quart de la gravité propre du corps. Un rapport inférieur à un est nécessaire mais ne règle pas la question pour un corps qui se déforme ; la déformation d’un corps chaud au cours des années qu’il passe à l’intérieur de la limite fluide est la condition de survie du §D.3.

L’étape suivante convertit l’accélération en contrainte et la contrainte en durée. Une estimation de la contrainte peut être construite :

$$\sigma_{\mathrm{tidal}}\sim\rho_s\Delta aR_s\sim1.9\times10^9\ \mathrm{Pa}, \qquad t_{\mathrm{strain}}\sim\frac{\varepsilon_*\eta}{\sigma_{\mathrm{tidal}}}.$$

La première expression est la charge, analogue à un poids, d’une colonne du matériau du corps, de densité $\rho_s$ et de hauteur $R_s$, sous l’accélération $\Delta a$. La seconde indique combien de temps un matériau de viscosité $\eta$ (sa résistance à l’écoulement, en pascals-secondes) met pour atteindre une déformation $\varepsilon_*$ — une variation relative de forme — sous cette contrainte : plus le matériau est rigide, plus cela prend de temps.

Le choix de $\varepsilon_*=0.5$ (une variation de forme de moitié) et de $\eta=10^{19}\ \mathrm{Pa\,s}$ donne environ 85 ans (avec $\rho_s=2{,}600$ kg/m$^3$, $\Delta a\simeq0.381$ m/s$^2$ et $R_s=1{,}890$ km, la contrainte est de $1.87\times10^9$ Pa ; une version antérieure de cette estimation donnait $1.4\times10^9$ Pa et environ 116 ans, ce qui correspond à une densité du corps d’environ 1,950 kg/m$^3$). Il s’agit d’une estimation de la déformation sous une contrainte représentative constante, et non d’un calcul du temps de dislocation. La rhéologie (la manière dont le matériau répond à une charge au cours du temps), la forme, la contrainte variable et le temps de séjour réel doivent être examinés.

Cette estimation est conservée comme dépendance paramétrique : elle montre comment la durée varie avec la viscosité et la contrainte, de sorte qu’un lecteur peut introduire d’autres valeurs. Le temps de séjour lui-même relève du calcul orbital et n’est pas adopté ici. Le troisième document de calcul réunit les vérifications de Roche, de sollicitation et d’orbite ainsi que la séparation entre un résultat et une exigence ouverte : LEF_PaperI_Calculation3_Release_Survival_HE. La sollicitation mécanique est destinée à l’article 3 (Le mécanisme LEF en pratique) et les tableaux orbitaux à l’article 4 (L’orbite).

Cette annexe indique, composante par composante, ce que l’article emprunte à la physique antérieure et ce qu’il ajoute. Elle étaye l’énoncé de nouveauté du §D.2. Le tableau doit être lu ligne par ligne : la première colonne nomme une composante de l’argument, la deuxième indique s’il s’agit de physique standard, de travaux antérieurs ou de l’application propre à l’article, et la troisième indique comment l’article l’utilise. Le schéma est délibéré : les lois sont anciennes ; ce qui est nouveau, c’est l’endroit où elles sont évaluées et la manière dont elles sont combinées dans un seul scénario connecté.

Avant la soumission, une comparaison ciblée avec les travaux antérieurs sur la stabilité synchrone et les états d’équilibre est également nécessaire pour évaluer la priorité ; en particulier, les références à Counselman, Hut et Grjebine & Marchal issues du registre de revue précédent ne sont pas marquées ici comme revérifiées. Ce sont des tâches bibliographiques ouvertes, et non de nouveaux résultats.

Le test de l’éditeur est conservé : pour chaque thèse centrale, son statut doit être identifié, ses hypothèses et son résultat définis, sa sensibilité exposée, et une voie de reproduction fournie. Le tableau des thèses centrales du §D.1 (intitulé « Table E.4 » dans le texte antérieur), joint au tableau des hypothèses et des exigences du §D.3, remplit cette structure ; l’absence de solution de survie est marquée comme ouverte et ne devient pas un RÉUSSI.

Références

[1] Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale University Press. Source issue du texte existant ; les références de pages exactes pour les valeurs de la séquence et les coefficients de Roche doivent être complétées avant la soumission.

[2] Ferraz-Mello, S., Rodríguez, A., & Hussmann, H. Tidal friction in close-in satellites and exoplanets. The Darwin theory re-visited. Version des auteurs : https://arxiv.org/abs/0712.1156.

[3] Leconte, J., Chabrier, G., Baraffe, I., & Levrard, B. (2010). Is tidal heating sufficient to explain bloated exoplanets? Consistent calculations accounting for finite initial eccentricity. DOI : 10.1051/0004-6361/201014337.

[4] Efroimsky, M., & Makarov, V. V. (2013). Tidal Friction and Tidal Lagging. Applicability Limitations of a Popular Formula for the Tidal Torque. ApJ, 764, 26. DOI : 10.1088/0004-637X/764/1/26.

[5] Huré, J.-M. (2022). Nested spheroidal figures of equilibrium I. Approximate solutions for rigid rotations. Version de l’auteur : https://arxiv.org/abs/2202.11044.

[6] Darwin, G. H. (1879). On the precession of a viscous spheroid, and on the remote history of the Earth. DOI : 10.1098/rstl.1879.0073.

[7] Meier, M. M. M., Reufer, A., & Wieler, R. (2014, prépublication). On the origin and composition of Theia: Constraints from new models of the Giant Impact. Version des auteurs : https://arxiv.org/abs/1410.3819.

[8] Battin, R. H. (2008). The Two Body Problem. MIT 16.346, Lecture 1. https://ocw.mit.edu/courses/16-346-astrodynamics-fall-2008/resources/lec_01/.

[9] Yu, H., Lau, S. Y., Mckeever, E., Arras, P., & Weinberg, N. N. (2025). Dynamical tide modified Roche limit in eccentric, asynchronous binaries. Version des auteurs : https://arxiv.org/abs/2508.20183.

Cette annexe est la version complète du tableau de l’environnement de calcul placé en tête de l’article. Son but est pratique : chaque calcul de la série est effectué pour un moment et un lieu particuliers du scénario, et le tableau consigne, grandeur par grandeur, ce qui est connu, ce qui est adopté et ce qui reste ouvert à chaque moment. Il prévient l’erreur la plus courante dans la reconstruction d’un état ancien — emprunter une valeur à la Terre actuelle, ou à une étape différente, et l’insérer là où elle n’a pas sa place. Chaque ligne porte un identifiant (E01, E02, …) afin que les articles ultérieurs puissent la citer.

Comment lire le tableau

Chaque ligne porte l’un de cinq statuts. Adopté : une donnée d’entrée choisie dans le modèle. Calculé : un résultat obtenu sous des hypothèses particulières. Reproduit : un calcul dont le code a été exécuté et reproduit, sans que cela valide toutes ses hypothèses. Ouvert : pas encore déterminé ou pas encore démontré. Contrainte actuelle : une donnée sur le système actuel destinée à limiter une reconstruction ancienne, et non une mesure du passé.

Les colonnes suivent le scénario dans le temps. Les étapes ne sont pas trois systèmes distincts : A — un état de référence antérieur à la division de la masse, lorsque le matériau lunaire est encore compté dans la Terre ; B — la construction et le transfert, pendant que le corps croît et monte ; C — un état proche de la libération. Tous les nombres de la colonne C se rapportent à un état de référence couplé défini, et non à un chemin d’évolution déjà entièrement résolu. La différenciation, une latitude non nulle ou un mélange de sources de matériau exigent un calcul cohérent supplémentaire.

Le tableau est divisé en blocs par sujet : le temps, la masse et la géométrie ; l’intérieur de la Terre, la rotation et le moment cinétique ; la gravité et l’endroit où elle est mesurée ; la chaleur, le matériau, l’écoulement et la liaison ; et deux mises à jour ultérieures de l’auteur sur les volatils, le refroidissement et la chronologie.

Le tableau de l’environnement — temps, masse et géométrie

Ce premier bloc fixe la comptabilité : quand le scénario se déroule, quelle est la quantité de masse et à quel corps chaque partie est attribuée, quelle est la taille des corps, et où se situe la source. Son usage principal est d’empêcher le double comptage — le même matériau ne doit jamais être placé à la fois dans la Terre et dans la Lune — et de séparer les tailles issues d’états de référence différents.

Ce qu’établit ce bloc : une seule masse du système, répartie entre deux corps et, lorsque c’est nécessaire, un troisième réservoir de matériau en transit ; des tailles de référence qui appartiennent à des densités et des états énoncés ; et une source qui est une région étendue, et non un point.

Le tableau de l’environnement — intérieur de la Terre, rotation et moment cinétique

Le deuxième bloc concerne les grandeurs qui fixent la rotation et le bilan : la disposition de la masse à l’intérieur de la Terre (le coefficient d’inertie $k$, qui vaut 0.4 pour une sphère uniforme et moins lorsque la masse est concentrée vers le centre), le moment d’inertie, la période, l’axe de rotation, le moment cinétique total et le rayon de corotation. Ce sont les grandeurs des parties A et B ; le bloc indique quelles valeurs appartiennent à l’état de référence et lesquelles à l’état couplé proche de la libération, afin que les deux ne soient pas mélangés.

Ce qu’établit ce bloc : la rotation et le rayon de corotation changent pendant la construction, dans les deux sens ; les deux valeurs du rayon de corotation à la libération (16,331 km pour une particule test, 16,399 km pour deux masses) sont deux approximations d’un même état ; et les trois pourcentages de E24 mesurent trois choses différentes.

Le tableau de l’environnement — gravité variable et lieu de mesure

Le troisième bloc porte sur la gravité, qui dans ce scénario n’est pas un nombre unique. À mesure que la masse passe de la Terre au corps en formation, l’attraction en un point donné change, et elle change différemment à l’extérieur de la Terre, à sa surface, à l’intérieur et dans la liaison entre les corps. Chaque ligne nomme un lieu ou une composante et indique ce qu’un calcul à cet endroit doit inclure. Le but est d’empêcher qu’une valeur valable en un lieu soit utilisée en un autre.

Ce qu’établit ce bloc : la gravité doit être calculée à partir de la répartition réelle de la masse au lieu et au moment indiqués ; les accélérations centrifuge et autres accélérations de repère ne sont ajoutées que dans un repère tournant indiqué ; et les limites de Roche de E35 sont des distances de référence, la survie étant traitée comme l’exigence distincte du §D.3.

Le tableau de l’environnement — chaleur, matériau, écoulement et liaison

Le quatrième bloc passe de la mécanique à l’état du matériau : température, chaleur, pression, densité, volatils, viscosité, coquille externe et liaison, et ce qui se passe après la libération. Ce sont les grandeurs dont l’article 3 (Le mécanisme LEF en pratique) a besoin pour tester si le matériau peut monter, si la coquille peut porter la charge et si l’enregistrement de surface peut être conservé. Le bloc consigne les valeurs de travail en usage et, colonne par colonne, ce qui reste à fixer.

Ce qu’établit ce bloc : les valeurs mécaniques de travail qu’utilise l’article 3 (les pressions de E39, la coquille de E44, la liaison de E47), le point fixe selon lequel la Lune est rigide et ronde à la libération (E48), et une liste explicite des grandeurs thermiques et matérielles qui restent à déterminer. L’aplatissement et l’arrondissement du corps ont eu lieu plus tôt, alors qu’il était encore attaché (article 7, Les pôles).

La fiche qui accompagne chaque calcul

Le tableau ci-dessus est transformé en règle de travail : une courte fiche que tout calcul de la série énonce avant son résultat, afin qu’un lecteur voie d’emblée quel état il décrit.

Avant une équation ou un tableau de résultats, indiquer : (1) l’étape et le temps ; (2) le point de mesure ; (3) le repère et l’axe ; (4) la version du scénario ; (5) les masses et les rayons à la même étape ; (6) les données d’entrée thermiques et matérielles ; (7) les effets négligés ; (8) le résultat et la sensibilité. Si une donnée manque, le calcul est marqué conditionnel ou différé — une valeur ne doit pas être empruntée au présent ou à une autre étape sans justification.

La comptabilité de la masse s’écrit en une seule équation. Équation de gestion de la masse : $M_{\mathrm{total}}=M_E+m_{\mathrm{body}}+M_{\mathrm{transit}}+M_{\mathrm{escaped}}$, selon les limites du système et des réservoirs : la Terre, le corps en formation, le matériau en chemin entre eux, et tout matériau perdu par le système. Si l’on choisit un système fermé sans perte, ou si du matériau est attribué au-delà de l’un des corps, cela doit être indiqué et les termes réduits en conséquence. La masse qui entre dans GM doit correspondre à la définition du réservoir dans le même calcul.

Le champ gravitationnel combiné doit être calculé à partir de la répartition réelle de la masse. Une approximation à deux masses ponctuelles n’est permise que là où elle est définie et à la précision définie ; ce n’est pas une description complète de l’intérieur de la Terre, de la liaison ou d’une anomalie locale. Dans une décomposition en fond et anomalie, seule la masse de différence est ajoutée, de sorte qu’aucune masse n’est comptée deux fois.

La mise à jour de l’auteur — l’inventaire ancien des volatils et le matériau de retour

Cette mise à jour ajoute au tableau les volatils — l’eau, les gaz et d’autres substances qui s’évaporent facilement — qui influent sur la densité, l’écoulement, le refroidissement et le matériau de retour. Elle consigne la représentation de l’auteur et les distinctions que tout calcul ultérieur doit conserver, sans calculer de quantités pour l’instant.

Instruction explicite de l’auteur : dans le scénario examiné, l’inventaire ancien des volatils est bien plus grand que l’inventaire qui subsiste aujourd’hui. Les volatils sont présents dans le matériau à partir duquel le système est construit, y compris le matériau profond et le magma ; une partie des volatils transférés avec le corps en formation a été perdue dans l’espace, et pendant le détachement une perte supplémentaire s’est produite selon l’hypothèse. Il n’est pas demandé pour l’instant de calculer les quantités ni les taux de perte.

Les lignes séparent ce que l’on confond facilement : la quantité de matériau volatil (E54), sa localisation (E55), sa forme (E56), la manière dont il a été perdu (E57), la manière dont la perte entre dans le compte de masse (E58), et son lien possible avec le matériau de retour qui retombe plus tard sur la Lune (E59). E60 distingue deux propriétés d’un magma — la résistance à l’écoulement et la légèreté — qu’un magma riche en bulles peut avoir à la fois mais qui ne sont pas la même grandeur.

Mise à jour cumulative — cycle des volatils, refroidissement et chronologie

La seconde mise à jour décrit comment le jeune système s’est refroidi pendant sa construction, et fixe l’ordre des événements depuis la construction active jusqu’à un corps séparé.

11 septembre 2026. Cette mise à jour s’ajoute à tout le contenu précédent ; elle ne remplace pas les tableaux E01–E60 ni les distinctions qu’ils contiennent. Le document contient désormais 70 éléments. La mention antérieure de 53 grandeurs ne décrit que le tableau de base d’origine.

Précision de l’auteur : dans la représentation proposée de l’environnement, l’inventaire d’eau représenté aujourd’hui dans les mers et les océans était, au début du scénario, à l’état de vapeur, et le système était riche en volatils également au sein du matériau profond. Un mouvement cyclique se produit : un matériau riche en volatils monte, se refroidit, et une partie redescend, est réchauffée et remonte — à la manière d’une marmite de soupe sur le feu, dont la surface dégage de la chaleur tandis que l’intérieur continue de se brasser. Selon l’hypothèse, le cycle favorise le refroidissement de la surface externe et la conservation de l’enregistrement, tandis que l’intérieur reste chaud et mobile.

Statut : il s’agit de la description du scénario que l’auteur demande d’examiner. Elle ne contient aucune détermination quantitative vérifiée de l’inventaire ancien d’eau, de l’état des volatils à chaque profondeur, de la durée de la construction ni de la capacité de refroidissement. La distinction antérieure entre hypothèse, résultat et donnée est conservée. La fenêtre de 600 Myr ne doit pas être remplacée par une autre durée courte sans décision, et ne doit pas être présentée comme une durée d’achèvement mesurée.

Le tableau qui suit introduit le cycle dans l’environnement ligne par ligne : l’eau au départ (E61), le cycle lui-même (E62–E64), son effet sur la coquille (E65), la fenêtre temporelle (E66), et le déclin des éjections vers l’extérieur, leur fin au détachement et leur relation avec l’alimentation interne (E67–E70).

Chronologie de la description — sans temps intermédiaires inventés

La chronologie ordonne les étapes sans attribuer de dates aux étapes intermédiaires, puisque ces dates n’ont pas été calculées. Chaque ligne se lit horizontalement : elle donne, pour une étape, l’état des éjections vers l’extérieur, de la liaison et de la chaleur. Une colonne se lit de haut en bas pour suivre un processus du début à la fin : les éjections déclinent à mesure que la poire croît mais se poursuivent tant que le corps est attaché, et cessent au détachement.

Comment la mise à jour se rattache aux tableaux précédents

La liste ci-dessous rattache la mise à jour aux lignes qu’elle concerne, afin qu’un lecteur qui suit une grandeur puisse retrouver tous les endroits où elle apparaît.

• E01–E02 : la fenêtre du scénario et l’époque sont conservées séparément des temps d’étape non encore déterminés.

• E37–E38 et E52 : le cycle des volatils et le chemin de perte de chaleur ont été ajoutés à la description thermique ; les valeurs de température et de puissance restent ouvertes.

• E42 et E54–E58 : l’inventaire, la phase, la libération et l’échappement restent des grandeurs distinctes ; les volatils dissous ne doivent pas être convertis en vapeur libre à toute profondeur.

• E44–E46 et E50–E51 : la structure graduée de toute l’épaisseur de la coquille, la mobilité et la conservation de l’enregistrement sont conservées. La proposition d’un cycle de refroidissement n’annule pas l’exigence du test mécanique.

• E48 et E53 : l’arrondissement est achevé avant la libération, et la distinction entre un corps attaché et un corps en orbite après la libération est maintenue.

• E60 : la question de la viscosité par rapport à la densité n’a été ni supprimée ni résolue automatiquement par la précision sur le cycle de vapeur.

Pour un examen futur, sans ouvrir de calcul maintenant : le flux de chaleur à travers l’atmosphère ; la chaleur latente lors de l’évaporation et de la condensation ; l’effet de l’atmosphère sur la sortie du rayonnement ; le bilan d’eau et de volatils entre les réservoirs ; la cohérence entre le refroidissement, la durée d’activité, la mobilité de la coquille et la conservation des enregistrements. Il n’est pas établi ici qu’une atmosphère de vapeur accélère nécessairement le refroidissement dans toutes les conditions.

Utilisation d’outils d’IA : L’auteur a utilisé des assistants d’IA (Claude, Anthropic ; ChatGPT, OpenAI ; l’assistant de recherche IA de Google) pour écrire et exécuter les scripts de calcul, analyser les catalogues et les cartes, préparer les figures et les tableaux, discuter des scénarios, ainsi que pour la révision linguistique et la traduction. Le modèle et ses conclusions sont ceux de l’auteur. L’auteur a vérifié le contenu et en assume l’entière responsabilité.