Таблица вычислительной среды

Расчёты этой статьи описывают раннее земное родительское тело — молодую Землю до того, как её покинула Луна, — в сценарии LEF. Поскольку система в ходе процесса меняется (масса переходит от одного тела к другому, меняются форма и вращение), каждое число ниже относится к определённому состоянию: состоянию до разделения массы, расчётному опорному состоянию, используемому для сравнения, или связанному конечному состоянию в момент отделения. Разделение этих состояний не позволяет использовать значение одного момента в другом. Приложение G содержит полную среду, E01–E70; здесь в таблице приведены лишь величины, нужные для Paper 2.

Таблица состоит из трёх столбцов. В первом названа величина, во втором дано её значение или определение, а в третьем указано, какого рода это число: допущение о системе, входной параметр, выбранный для модели, значение, вычисленное в этой статье, или значение, используемое только для проверки чувствительности результата. По третьему столбцу читатель сразу видит, какие числа заданы на входе, а какие получены на выходе.

Несколько строк требуют пояснения. Родительская масса в начале, 6.0455×10²⁴ kg, — это просто сумма нынешних Земли и Луны: ничто не считается улетевшим, поэтому вся Луна некогда была частью Земли. Начальный радиус, 6,517 km, больше нынешнего радиуса Земли, потому что молодая горячая Земля расширена; принятое расширение составляет 120 km. Вращающееся жидкое тело вздувается на экваторе, и модель Маклорена — классическая равновесная форма однородно плотного вращающегося жидкого тела, сплющенная сфера, — переводит этот объём в экваториальный радиус около 6,721 km. Приближение пробной частицы рассматривает отделённое тело как малую частицу в поле центральной массы, так что в формулу входит только масса Земли; связанное значение для двух тел (16,399 km вместо 16,331 km) показывает, насколько мало это упрощение. В двухслойных строках используются $q$, отношение радиуса плотного внутреннего слоя к радиусу всего тела, и $D$, отношение внутренней плотности к внешней; $D=1$ соответствует однородному телу, а большее $D$ означает больше железа, собранного к центру. Строка 25° — тест чувствительности, используемый для того, чтобы увидеть, насколько меняется результат, когда отделение происходит не на экваторе; это не принятое значение, которое составляет 22.5° (Paper 4). Там, где таблица указывает, что у величины нет единого значения, — температура, вязкость, гравитация, — статья не заимствует на его место современное значение. Окно построения в 600 Myr — рабочий сценарий серии: примерно 400 Myr на вздутие и грушу, около 100 Myr на сплющивание и около 100 Myr до отделения в 3.873 Ga. Paper 2 не вычисляет эту длительность и не зависит от неё.

На практике это означает: 7.35×10²² kg Луны учитываются один раз. До переноса они находятся внутри 6.0455×10²⁴ kg Земли; после него это Луна, а у Земли остаётся 5.972×10²⁴ kg.

Почему старое возражение неприменимо. Классическое деление требовало, чтобы Земля сбрасывала вещество со своей собственной поверхности. На поверхности родительского тела с периодом 5.5 часа вращение даёт около 2,133 m/s, тогда как свободной орбите там нужно около 7,701 m/s (§A.1.2). Единственный способ закрыть этот разрыв на поверхности — раскрутить всю Землю намного быстрее, а более быстрое вращение означает больший момент импульса: в классической точке, где вращающееся жидкое тело становится неустойчивым (бифуркация Якоби, §A.6.5), родительскому телу нужно в 2.74 раза больше момента импульса, чем имеет система Земля–Луна сегодня, а более старый опорный расчёт, выполненный в другой точке той же последовательности, давал около четырёх раз. У системы нет столько, и именно поэтому от деления отказались. Путь LEF закрывает разрыв иначе: не более быстрым вращением, а выносом вещества наружу, пока оно вращается вместе с Землёй. Его скорость растёт с расстоянием при той же угловой скорости, пока на радиусе коротации не сравняется с орбитальной скоростью. Вращение, которое для этого нужно Земле, — это вращение, которое она имела бы, если бы ей вернули весь нынешний момент импульса, — около 5.5 часа (§A.2), и тогда нужный баланс составляет 1.007 нынешнего. Бытовой образ: ребёнок на карусели, идущий от центра к краю, движется у края быстрее, хотя никто не толкает карусель сильнее.

Что означают требования. $k$ — коэффициент момента инерции: он показывает, как масса тела распределена между центром и поверхностью. Однородная сфера имеет $k=0.4$; нынешняя Земля с её железным ядром имеет около 0.33. Пути нужно $k\gtrsim0.397$ в начале переноса, то есть родительское тело, ещё находящееся на ранней стадии сортировки: Земля, чья масса менее сконцентрирована к центру, запасает больше вращения при той же угловой скорости. Организация земного ядра — единый непрерывный процесс, который никогда не прекращался. Во время вздутия он был в начале; пока росла груша, он продолжался; и после отделения он шёл дальше, пока Земля вбирала грушу обратно. Вероятно, никогда не было полностью однородного периода: чем раньше стадия, тем менее сортирована Земля. Железо, возможно, уже собиралось в ядре в начале; процесс продолжался. Молодая Земля также должна быть горячей и потому больше нынешней: допустимо расширение от 98 до 520 km, принято 120 km. Тело должно быть отделено за пределами радиуса коротации, а не точно на нём: точно на линии прилив нейтрален и не даёт толчка ни в одну сторону, тогда как тело, лежащее хотя бы немного за линией, выталкивается приливом наружу, так что оно удаляется с самого начала (Paper 4); нужный запас мал, $\Delta r\simeq2d_0$, около 210 km (Paper 3, §C.5a). Жидкий предел Роша — это расстояние, внутри которого прилив Земли разорвал бы тело, удерживаемое только собственной гравитацией. Тело с внутренней прочностью выживает ближе, вплоть до своего жёсткого предела; Луна в момент отделения жёсткая и круглая, её сплющивание и скругление завершились раньше, пока она ещё была прикреплена (Paper 7). Связь между двумя телами — груша — должна нести нагрузку до отделения. Эти требования не спрятаны в результатах; они собраны в §D.3, и Paper 3 их проверяет.

Введение — Часть A: условие отделения в контексте существующих моделей

К происхождению Луны относятся два рода свидетельств: как её вещество могло достичь орбиты (динамика разделения) и соответствует ли её состав телу, из которого она произошла. Работа Дарвина о приливах и вращении — часть исторического фона для исследования эволюции системы Земля–Луна [6]; его идея деления — что быстро вращающаяся Земля сбросила Луну — является классической формой земного происхождения. В этой статье количественное сравнение с классическим делением проводится через определённую равновесную конфигурацию; результат для одной конфигурации нельзя превращать в ограничение для любого возможного пути. Иными словами, если показано, что одному конкретному пути деления нужно слишком много момента импульса, это не показывает, что так обстоит дело с каждым путём от Земли.

В семействе моделей гигантского столкновения Луна образуется из обломков после удара другого тела о Землю, и изотопный состав накладывает ограничения на смешение земного вещества и вещества ударника. Существуют разные версии модели, и ограничения зависят от составов и от способа смешения [7]. В сценарии LEF рассматривается построение из общего земного резервуара: Луна сделана из собственного вещества Земли, поэтому близкое изотопное соответствие следует непосредственно. Общий источник даёт основу для сравнения составов, но не заменяет проверку переноса на орбиту. Эта проверка и есть предмет настоящей статьи.

Конкретный вопрос этой статьи — меняет ли вынос массы наружу при общем вращении условие скорости и баланс момента импульса по сравнению с прямым отделением от поверхности. Ответ, который даёт статья, — меняет: условие отделения переносится с поверхности на радиус коротации, и тогда и скорость, и баланс сходятся. Механизм построения — питание изнутри и подъём внешней оболочки как поверхности того же тела — является предметом Paper 3, Механизм LEF на практике. Настоящая статья определяет физические условия, которым он должен удовлетворять. Разделение намеренное: Paper 2 спрашивает, возможен ли путь в принципе, используя стандартную физику; Paper 3 показывает, как он осуществляется.

Введение — Часть B: что представляет статья

Статья построена как набор проблем, за которыми следуют их решения, так что каждое возражение встречает ответ в том месте, где оно поднимается. Часть A излагает проблемы, которые должен преодолеть путь, одну за другой: разрыв скоростей, приведший к отказу от классического деления, что должно быть вычислено, груша, соединяющая Землю с линией коротации, взаимная компенсация удлиняющейся груши и централизующегося ядра, сама коротация, баланс момента импульса, предел Роша и направление приливной эволюции. Часть B решает их в том же порядке, исходя из одного расчёта. Часть C подводит итоги показанного; Часть D собирает утверждения, тесты и требования; Часть E формулирует выводы. Приложения A–G дают выводы формул, сканирования чувствительности, расчёты Роша и полную вычислительную среду, так что каждое число в основном тексте можно проследить и воспроизвести.

Экваториальная плоскость — простейший случай: там вращение несёт вещество быстрее всего, а радиус коротации — одно расстояние. Отделение с более высокой широты несколько меняет числа, но не принцип; величину изменения показывает тест чувствительности 25° в таблице среды, а принятый случай 22.5° рассчитан в Paper 4.

Эта Часть излагает физику, которой должен удовлетворять путь, по одной проблеме за раз. Она начинается с трудности, закрывшей классический путь деления, — тело, покидающее поверхность быстро вращающейся Земли, не имеет орбитальной скорости, — а затем последовательно спрашивает, где эта скорость достигается, что соединяет Землю с этим местом, как меняется вращение Земли, пока вещество движется наружу, достаточно ли момента импульса, выживает ли тело в приливе Земли и в каком направлении оно движется после этого. Каждый раздел завершается определённой величиной, которую затем вычисляет Часть B.

A.1Проблема: разрыв скоростей

A.1.1Два отдельных динамических вопроса

Сценарий земного происхождения требует объяснения переноса вещества с родительского тела на свободную орбиту. Соответствие составов может поддерживать общий источник, не определяя, как вещество достигло орбиты: два тела могут быть сделаны из одного и того же вещества и всё же оставлять открытым вопрос о том, как одно из них стало обращаться вокруг другого. Поэтому в центре внимания этой статьи — динамика. Исходный исторический обзор рассматривается здесь путём сравнения определённых равновесных конфигураций, а не утверждением, что каждый путь земного происхождения подчиняется одному и тому же порогу деления.

Необходимо разделять два вопроса. Первый вопрос — при каких условиях скорость вещества совместима со свободной орбитой, то есть движется ли вещество в момент, когда его отпускают, достаточно быстро вбок, чтобы продолжать падать вокруг Земли, не падая обратно на неё. Второй вопрос — допускает ли момент импульса, имеющийся в начале процесса, конечное состояние и последующую эволюцию. Изменение условия отделения может изменить тест скорости, но общий баланс момента импульса всё равно должен выполняться. Путь может пройти первый тест и не пройти второй, поэтому вычисляются оба.

Момент импульса и момент инерции. Момент импульса — это количество вращательного движения, которое несёт тело. Для вращающегося тела это произведение того, насколько быстро оно вращается, и того, как его масса распределена вокруг оси. Спиновый момент импульса равен:

$$L_{\mathrm{spin}}=I\omega.$$

Здесь $\omega$ — угловая скорость (угол поворота за секунду, $2\pi$, делённое на период), а $I$ — момент инерции: сумма по всем частям тела произведений их массы на квадрат расстояния от оси вращения. Момент инерции показывает, насколько далеко от оси находится масса; масса вдали от оси значит гораздо больше, чем масса вблизи неё, потому что расстояние входит в квадрате. Для тела массы $M$ и экваториального радиуса $a$ удобно записать $I=kMa^2$, где безразмерный коэффициент $k$ фиксирует распределение массы: однородное тело имеет $k=0.4$, а тело с плотным ядром имеет меньший $k$.

Момент импульса сохраняется: в системе, на которую ничто извне не действует закручивающей силой (моментом силы), его сумма не может измениться; он может лишь передаваться от одной части системы к другой. Для системы Земля–Луна единственный существенный внешний момент силы — прилив, поднимаемый Солнцем, который за историю системы отнимает около 1% (§A.2). Именно это сохранение делает задачу вычислимой: всё, что Луна несёт сегодня в своей орбите, некогда должно было находиться во вращении родительского тела.

Перенос вещества наружу в коротации — то есть пока оно продолжает вращаться вместе с родительским телом с его собственной угловой скоростью — требует, чтобы родительское тело передало этому веществу дополнительный момент импульса, поскольку та же угловая скорость на большем расстоянии означает больший момент инерции этого вещества. При отсутствии внешнего момента силы это перераспределение уже имеющегося момента импульса: что приобретает вещество, то теряет вращение родительского тела.

A.1.2Отделение с поверхности

Сначала рассмотрим классический случай: вещество отпускается непосредственно с экватора быстро вращающегося родительского тела. В опорном состоянии период составляет $T_0=5.5$ часа, а экваториальный радиус — $a_0\simeq6{,}721$ km. Следовательно, поскольку 5.5 часа — это 19,800 секунд:

$$\omega_0=\frac{2\pi}{19{,}800}\simeq3.17333\times10^{-4}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$$

Теперь на экваторе нужно сравнить две скорости. Первая — скорость, которую само вращение придаёт точке на поверхности, $v_{\mathrm{rot}}$: угловая скорость, умноженная на расстояние от оси. Вторая — круговая орбитальная скорость $v_{\mathrm{circ}}$: скорость, при которой свободное тело на этом расстоянии продолжало бы падать вокруг Земли по кругу, а его центробежное стремление точно уравновешивало бы гравитацию.

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega_0a_0\simeq2{,}133\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{a_0}}\simeq7{,}701\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$$

Даже при сутках всего 5.5 часа поверхность движется со скоростью менее трети той, которой требует орбита там. Разность скоростей, в округлении исходного опорного расчёта этой статьи, составляет около 5,568 m/s. Это и есть разрыв скоростей.

По какой орбите пошло бы такое вещество, если бы его просто отпустили? Без дополнительной радиальной скорости удельная энергия (орбитальная энергия на килограмм, кинетическая минус гравитационная) и большая полуось (половина длинной оси получающегося эллипса) равны:

$$\varepsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{GM_\oplus}{r}\simeq-5.70\times10^7\ \mathrm{J\,kg^{-1}}, \qquad A_{\mathrm{orb}}=-\frac{GM_\oplus}{2\varepsilon}\simeq3{,}495\ \mathrm{km}.$$

Энергия сильно отрицательна — вещество глубоко связано, — а большая полуось, 3,495 km, составляет около половины экваториального радиуса родительского тела. Точка отделения — самая удалённая точка этого эллипса, так что вся остальная часть пути лежит глубоко внутри родительского тела. При этих начальных условиях кеплерова орбита проникает в родительское тело: вещество просто падает обратно. Поэтому одна лишь поверхностная скорость не даёт свободной орбиты, остающейся вне его. В этом суть классического возражения против деления: чтобы закрыть разрыв на поверхности, родительское тело должно было бы вращаться в несколько раз быстрее, что требует гораздо большего момента импульса, чем имеет система Земля–Луна (§A.6.5).

Числа в §A.2 сохраняют исходное опорное сравнение, в котором использовалось GM конечной массы Земли. Они не являются расчётом точного поля всего начального родительского тела. Это определение отличает воспроизведённое опорное сравнение от общего баланса в §A.6.

A.1.3Рассмотренное условие переноса

Путь LEF не отпускает вещество на поверхности. В рассматриваемом сценарии вещество поднимается, ещё будучи прикреплённым, и получает момент импульса, так что продолжает вращаться вместе с родительским телом, двигаясь наружу. Две скорости тогда ведут себя противоположным образом. Скорость $\omega r$ растёт с расстоянием, потому что точка, совершающая один оборот в сутки, проходит тем больший круг, чем дальше она находится, — как ребёнка, идущего к краю вращающейся карусели, несёт по кругу всё быстрее и быстрее. Орбитальная скорость $\sqrt{GM/r}$ уменьшается, потому что гравитация ослабевает с расстоянием и для её уравновешивания нужно меньше боковой скорости. Поэтому разрыв из §A.1.2 сужается по мере подъёма вещества, и на одном расстоянии он закрывается.

Статья вычисляет точку равенства и затраты момента импульса на перенос; сам процесс подъёма — отдельный механический вопрос. Paper 3, Механизм LEF на практике, исследует транспортную способность и связь; детальный расчёт давления лежит за пределами представленного здесь расчёта баланса. Орбитальные начальные условия передаются в Paper 4, Орбита.

A.2Что должно быть вычислено

Теперь задача приобрела определённую форму. Нужно вычислить пять величин: где отделяется Луна, при каких земных сутках, достаточно ли момента импульса, выживает ли тело в приливе и удаляется ли оно впоследствии.

Почему 5.5 часа. Начальное вращение не выбирается свободно; оно следует из сохранения момента импульса, прослеженного назад. Весь нынешний момент импульса системы Земля–Луна, $3.44\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$ — вращение Земли вместе с орбитой Луны, — возвращается во вращение молодой, горячей, расширенной Земли, ещё находящейся на ранней стадии сортировки ($k=0.4$ как входной параметр расчёта). «Расширенная» означает, что горячая ранняя Земля была несколько больше холодной Земли сегодняшнего дня; «ранняя стадия сортировки» означает, что организация ядра только началась, так что масса была распределена почти однородно и однородное значение $k=0.4$ описывает её достаточно точно. Помещение всего баланса во вращение такого тела даёт период: $$T_0=\frac{2\pi I_0}{L}\simeq5.54\ \mathrm{h}.$$ Словами: тело с моментом инерции $I_0$, несущее момент импульса $L$, вращается с $\omega=L/I_0$, и его период равен $2\pi/\omega$. С тех пор солнечные приливы отняли около 1% момента импульса системы (около 1.35%, если проследить удаляющуюся Луну; Eulenfeld & Heubeck 2023; Canup 2004). Поэтому период 5.5 h несёт нынешний момент импульса и примерно 1%, который был потерян: он немного короче 5.54 h, потому что ранняя система имела немного больше. Молодое Солнце, более массивное на несколько процентов, увеличивает эту потерю лишь до 1–2%.

A.2.1Опорное состояние

Для $GM_\oplus\simeq3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ и $T_0=5.5$ часа расстояние, на котором скорость вращения равна орбитальной скорости, — радиус коротации, выведенный в §A.5, — и общая скорость там равны:

$$\boxed{R_{\mathrm{sync},0}\simeq15{,}818\ \mathrm{km}, \qquad v_{\mathrm{sync},0}\simeq5{,}020\ \mathrm{m\,s^{-1}}.}$$

Это центральное число статьи. На 15,818 km, более чем вдвое дальше экваториального радиуса родительского тела, тело, совершающее один оборот за 5.5 часа вместе с Землёй, уже движется со скоростью 5,020 m/s, что в точности равно скорости круговой орбиты на этом расстоянии. Телу, удерживаемому там в коротации и затем отпущенному, не нужен никакой дополнительный толчок: оно уже на орбите.

Расстояние измеряется от центра центрального тела в приближении пробной частицы, в котором собственная масса обращающегося тела в гравитационном притяжении не учитывается. Подстановка этого радиуса в две формулы скорости подтверждает, что скорости равны.

Вывод представляет собой применение уравнений движения в центральном поле [8]. Если начальное состояние вычисляется с полной родительской массой, в формулу нужно подставить $M_{\mathrm{tot}}$. Значение 15,818 km остаётся опорным, определённым в таблице; связанное решение в §A.4 явно включает разделение массы.

A.3Груша

Радиус коротации лежит далеко над поверхностью, поэтому что-то должно нести туда вещество, пока оно продолжает вращаться вместе с Землёй. В модели это груша. Связь представляет собой возвышенность, поднимающуюся от Земли: основание шириной около 9,000 km у поверхности, боковые склоны, образующие единую дугу без перехвата, и диск контакта шириной 3,000 km у Луны. Она перекрывает около 7,800 km между поверхностью Земли и Луной и целиком лежит внутри линии коротации, поэтому притягивается внутрь: всюду вдоль груши гравитация сильнее того, что нужно вращению для удержания вещества на круговом движении, так что собственное вещество груши удерживается Землёй и не улетает. Только тело на её кончике достигает линии. Её длина и масса — требование: Луна была отделена целой, следовательно, должна существовать груша, удовлетворяющая условиям. Как груша строится и как она несёт нагрузку — предмет Paper 3.

Рисунок 1 показывает пропорции в масштабе: широкое основание груши на Земле, единую дугу её склонов и Луну на её кончике с центром на линии коротации. Сутки 5.77 h, использованные на чертеже, — это сутки в момент отделения, вычисленные в §A.4.

A.4 Компенсация: два процесса, действующие совместно

Прежде чем можно будет вычислить земные сутки в момент отделения, необходимо учесть два процесса, действующих на вращение Земли одновременно и в противоположных направлениях. Это важно, потому что сутки в момент отделения задают положение линии коротации, а значит, и место, где Луна отпускается.

1. Груша удлиняется. Вещество движется наружу вместе с вращением и уносит с собой момент импульса; момент импульса, покидающий Землю, замедляет её вращение. Ребёнок, идущий к краю карусели, точно так же замедляет карусель.

2. Ядро централизуется. Дифференциация — это разделение изначально перемешанного тела на слои по плотности: железо, самый плотный компонент, опускается к центру и образует ядро, а более лёгкое вещество остаётся над ним. В модели LEF эта организация ядра — единый непрерывный процесс: он начался до переноса, продолжался, пока росла груша, и шёл дальше после отделения. Быстрое вращение ускоряет дифференциацию: железо опускается внутрь, и момент инерции Земли уменьшается, потому что масса приближается к оси. При меньшем моменте инерции и том же моменте импульса тело должно вращаться быстрее. Как у фигуристки, прижимающей руки, вращение ускоряется.

Момент импульса сохраняется, и два процесса компенсируют друг друга: результат есть итог компенсации между ними. Расчёт, учитывающий только один из них, не описывает Землю того времени — одна лишь груша дала бы слишком длинные сутки, а одно лишь ядро — слишком короткие.

Таблица читается построчно. Одна лишь груша удлинила бы сутки на 0.94 h и сдвинула бы линию коротации наружу примерно на 1,750 km, потому что более медленному вращению нужно большее расстояние, прежде чем вращение обеспечит орбитальную скорость. Централизующееся ядро возвращает 0.67 h. Вместе сутки удлиняются всего на 0.27 h, с 5.50 до 5.77 h, а линия сдвигается наружу лишь умеренно, до 16,331 km.

Рисунок 2 показывает тот же баланс графически: столбец, добавленный грушей, и столбец, отнятый ядром, с итоговым результатом между ними.

Рисунок 3 прослеживает линию коротации по ходу переноса. При одной груше линия равномерно уходит наружу; при одновременной централизации ядра она остаётся гораздо ближе к своему исходному положению.

A.4.1 Влияние дифференциации на конечное состояние

Концентрация массы внутрь меняет момент инерции. Чтобы проверить это, две границы слоёв, плотность, форма и вращение были вычислены совместно. Это расширяет тест чувствительности, а не просто заменяет $k$ внутри фиксированной однородной фигуры: дифференцирующееся тело меняет также своё сплющивание, а сплющивание в свою очередь меняет момент инерции, поэтому все четыре величины нужно решать одновременно. Границам было позволено отклоняться от сфероидов; ограниченность сфероидального допущения в слоистых системах обсуждается также в литературе [5].

Структура описывается двумя числами. Отношение объёмных радиусов $q$ — это радиус внутреннего слоя, делённый на радиус всего тела; $q=0.55$ помещает границу немного дальше середины, что сравнимо с ядром нынешней Земли. Отношение плотностей $D=\rho_{\mathrm{inner}}/\rho_{\mathrm{outer}}$ показывает, насколько внутренний слой плотнее внешнего: $D=1$ — однородное тело, $D=2$ — внутренний слой вдвое плотнее внешнего. Чем больше $D$, тем больше массы находится вблизи центра и тем меньше коэффициент $k$ (для $q=0.55$ и $D=2$, $k=0.360$; §B.6). Для отношения объёмных радиусов $q=0.55$ и отношения плотностей $D$ приближение пробной частицы даёт:

Таблица показывает одну устойчивую тенденцию: по мере роста $D$ от 1 до 3 конечные сутки укорачиваются с 6.438 до 5.274 часа, а линия коротации сдвигается внутрь с 17,569 до 15,382 km. Первая строка, $D=1$, — это груша, действующая одна (без централизации); строка $D=2$ — принятое состояние §A.4. При $D=2.5$ централизующееся ядро почти точно компенсирует замедление, вызванное грушей, и сутки возвращаются примерно к исходному значению.

Дифференциация в конечной структуре может компенсировать часть замедления вращения, сопровождающего перенос. Строки — это возможные состояния, а не последовательность эволюции во времени. Все строки используют один и тот же начальный баланс для однородного родительского тела; они не устанавливают, что сконцентрированная начальная структура обеспечила бы этот баланс. Допущения, полное сканирование и проверки сходимости приведены в Приложении C и в связанном с ним расчётном документе.

A.5 Коротация

В этом разделе выводится радиус коротации, используемый на всём протяжении статьи, и указывается, где его применение правомерно.

Рисунок 4 показывает две скорости из §A.1.3 в зависимости от расстояния от центра Земли. Скорость, сообщаемая вращением, растёт по прямой; орбитальная скорость падает. Внутри точки пересечения вращение даёт меньше, чем нужно орбите, и вещество притягивается внутрь; снаружи от неё вращение даёт больше, чем нужно орбите, и вещество стремится наружу. Точка пересечения — линия коротации.

Коротация действует на центр масс, а не на геометрический центр, потому что баланс гравитации и вращения относится к телу в целом, а всё тело движется так, как если бы его масса была собрана в центре масс. Силы коротации могли потянуть Луну немного после того, как её геометрический центр пересёк линию, поскольку её центр масс слегка смещён к Земле (сегодня примерно на 2 km): геометрический центр достигает линии первым, а центр масс — чуть позже; Луна отделяется немного после того, как пересекает линию её центр масс, примерно в 210 km за линией (§D.3; Paper 3, §C.5a).

A.5.1 Вывод

В приближении пробной частицы, в экваториальной плоскости и в центральном поле скорость, сообщаемая вращением, равна угловой скорости, умноженной на расстояние; круговая орбитальная скорость следует из приравнивания гравитационного притяжения силе, необходимой для удержания массы $m$ на окружности радиуса $R$:

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega R, \qquad \frac{GMm}{R^2}=\frac{mv_{\mathrm{circ}}^2}{R}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM}{R}}.$$

Масса $m$ обращающегося тела сокращается: орбитальная скорость на данном расстоянии одинакова для песчинки и для Луны. Приравнивание скоростей даёт:

$$\omega R=\sqrt{\frac{GM}{R}} \quad\Longrightarrow\quad \omega^2R^3=GM.$$

Решая относительно $R$ и записывая $\omega=2\pi/T$:

$$\boxed{R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{GM}{\omega^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}}$$

Результат означает, что радиус коротации зависит только от массы центрального тела и от его периода вращения и растёт как период в степени две трети: более медленное вращение отодвигает линию наружу. Именно поэтому удлиняющаяся груша сдвигает линию наружу, а централизующееся ядро возвращает её обратно (§A.4).

Для положительных постоянных массы и угловой скорости существует единственный положительный корень. Это соотношение синхронной орбиты стандартной орбитальной механики — то же соотношение, которое помещает геостационарные спутники над нынешней Землёй; новым является место, где оно оценивается. Классическое возражение оценивало условие скорости на поверхности родительского тела; путь LEF оценивает его на радиусе коротации.

A.5.2 Условие отделения и область применимости

Равенство соответствует экваториальной круговой орбите, когда радиальная скорость равна нулю и контактные силы прекращают действие, — то есть когда тело движется чисто вбок и связь больше не толкает и не тянет его. При дополнительной скорости или при отделении вне экватора необходимо вычислять векторы начальных условий. Орбитальные детали относятся к Paper 4; в этой статье сохраняется лишь поправка, нужная для баланса момента импульса, в §A.6 и Приложении D.

Достижение коротации не отменяет работы, необходимой для подъёма или для передачи момента импульса: условие скорости выполняется на линии, но энергия и момент импульса всё равно должны быть доставлены веществу по пути. Поле сплюснутого родительского тела, размер развивающегося тела и гравитация двух тел также вносят поправки в центральное описание. Решение в §A.4 включает определённую поправку на два тела, но не является полным решением для двух деформированных фигур, соединённых друг с другом.

A.5.3 Смысл условия для отделения

Связанное решение в §A.4 определяет балансовое конечное состояние: сколько момента импульса находится во вращении Земли и сколько — в орбите Луны в момент отделения. Само по себе оно не определяет начало удаления от неё. Добавленная радиальная скорость также не является достаточным условием устойчивого удаления, поскольку она меняет эксцентриситет (насколько вытянута орбита) и приливы. Модель запаздывания и реология (описание того, как вещество деформируется и течёт под нагрузкой) должны быть взаимно согласованы [3,4]. Направление приливного толчка по каждую сторону линии изложено в §A.8.

A.5.4 Граница между Paper 2 и Paper 4

Paper 2 фиксирует массу, вращение и баланс, передаваемые орбитальному тесту. Paper 4 рассматривает орбитальные элементы, наклон и эволюцию после отделения. Здесь нет вычисленного времени удаления и нет общего запрета на свободную орбиту внутри радиуса коротации. В связанном сценарии уравнения свободного тела следует заменить уравнениями связанного состояния там, где уравнения свободного тела перестают действовать: пока Луна ещё прикреплена через грушу, она удерживается связью и не является свободным телом.

A.6Баланс момента импульса

Проблема скорости решена на радиусе коротации. Остаётся второй вопрос из §A.1.1: достаточно ли у родительского тела момента импульса, чтобы поместить туда Луну и всё же соответствовать системе, которую мы видим сегодня? Этот раздел строит баланс шаг за шагом: начальный момент импульса родительского тела, затраты на вынос вещества наружу, сравнение с нынешней системой, чувствительность к периоду, расширению и структуре и сравнение с классическим путём деления.

A.6.1Родительское тело и начальный баланс

Начальная родительская масса равна $M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m$. Вещество, которое будет перенесено позднее, ещё входит в её момент инерции. Родительское тело описывается как сфероид Маклорена: равновесная форма однородного жидкого тела при установившемся вращении, сплюснутая у полюсов и вздутая на экваторе, симметричная относительно своей оси. Чем быстрее оно вращается, тем оно более сплюснуто. В однородной модели Маклорена при допущениях таблицы получаем [1]:

$$I_0=\frac{2}{5}M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_0=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

Первая строка — момент инерции однородного сфероида ($k=2/5$) с экваториальным радиусом 6,721 km; вторая умножает его на угловую скорость суток в 5.5 часа. Результат, $3.466\times10^{34}$, — это весь баланс момента импульса, с которым должен работать путь. Уравнение формы и полная подстановка сохранены в Приложении B. Однородность — опорное допущение; изменение структуры проверяется ниже.

A.6.2 Затраты на перенос в базовом расчёте

До переноса лунное вещество является частью родительского тела и вращается вместе с ним, неся свою долю момента импульса родительского тела. Для вещества, представляющего однородное распределение массы, средний квадрат расстояния от оси тот же, что и у родительского тела, и его доля равна:

$$L_{0,\mathrm{mat}}=m\omega_0\left\langle r_\perp^2\right\rangle =\frac25m\omega_0a_0^2\simeq4.21\times10^{32}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.$$

Здесь $\langle r_\perp^2\rangle$ — среднее по веществу значение квадрата расстояния от оси вращения. Когда та же масса находится на радиусе коротации и всё ещё вращается вместе с родительским телом, её момент импульса равен:

$$L_{\mathrm{orb},0}=m\omega_0R_{\mathrm{sync},0}^2\simeq5.83\times10^{33}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

примерно в четырнадцать раз больше, потому что расстояние от оси выросло и входит в квадрате. Разность между ними должна быть обеспечена вращением родительского тела. Как доля всего баланса:

$$\boxed{\frac{L_{\mathrm{orb},0}-L_{0,\mathrm{mat}}}{L_{\mathrm{initial}}}\simeq15.6\%.}$$

Около одной шестой момента импульса родительского тела передаётся веществу во время переноса. Это та величина, на которую вращение родительского тела замедляется грушей (§A.4) до учёта централизующегося ядра.

В базовом расчёте экваториальный поверхностный источник даёт около 13.8%; представительная выборка подобной внутренней области на половине исходного радиуса даёт около 16.5%. Источник имеет значение, потому что вещество, начинающее путь далеко от оси, уже несёт больше момента импульса и требует меньшей добавки. Конкретный внутренний источник требует своего собственного среднего квадрата расстояния. Слово «внутренний» нельзя понимать так, будто обязательно применимо глобальное среднее.

A.6.3 Сравнение с нынешней системой

Теперь баланс родительского тела нужно сравнить с тем, что имеет система Земля–Луна сегодня. Нынешний итог состоит из двух частей: вращения Земли и орбиты Луны. Опорные константы, взятые из источника, дают:

$$L_{\mathrm{spin}}=I_\oplus\omega_\oplus\simeq5.86\times10^{33},$$

$$L_{\mathrm{orbit}}=\mu_{\mathrm{red}}\sqrt{GM_{\mathrm{tot}}a_m(1-e_m^2)} \simeq2.855\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

где $a_m=3.844\times10^8$ m и $e_m=0.0549$. Вторая формула — орбитальный момент импульса двух тел, обращающихся вокруг общего центра: $\mu_{\mathrm{red}}=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ — приведённая масса, $a_m$ — большая полуось лунной орбиты, а $e_m$ — её эксцентриситет. Сумма модулей составляет около $3.441\times10^{34}$, из которых около 83% — орбитальная часть: бо́льшая часть момента импульса системы теперь находится в орбите Луны, а не во вращении Земли. Избыток баланса родительского тела относительно суммы модулей составляет около 0.7%. Родительское тело имело немного больше, чем имеет система сегодня, — именно такого знака требует небольшая потеря на солнечные приливы (§A.2).

Спиновый и орбитальный моменты импульса — векторы, и они направлены не одинаково: ось Земли наклонена к плоскости лунной орбиты. Если угол между векторами равен $\theta$, полный модуль равен:

$$L_{\mathrm{vec}}=\sqrt{L_s^2+L_o^2+2L_sL_o\cos\theta}.$$

Сложение двух стрелок под углом даёт более короткий итог, чем укладывание их одна за другой, поэтому векторный итог меньше скалярной суммы, а избыток родительского тела над ним больше. Для проверочных углов 18.3°, 23.4° и 28.6° получаются избытки около 1.46%, 1.92% и 2.51%. Углы служат тестом чувствительности; никакая наблюдательная эпоха здесь не выбиралась и полная векторная история не вычислялась. Нынешнее вращение Луны очень мало, но её раннее вращение было больше, и их необходимо разделять.

Избыток зависит от того, насколько однородным было родительское тело. При фиксированной фигуре варьирование $k$ даёт порог около 0.397 относительно скалярной суммы и около 0.390–0.394 относительно векторного диапазона: при $k$ ниже этого значения баланс родительского тела был бы меньше нынешнего. Нынешняя дифференцированная Земля имеет $k$ около 0.33, значительно ниже порога, поэтому путь требует, чтобы родительское тело ещё находилось на ранней стадии сортировки, когда начался перенос; это требование перечислено в §D.3. Это условие чувствительности, а не стратифицированное семейство решений Маклорена. Положительный избыток означает, что этот тест не обнаруживает дефицита момента импульса, но согласование скорости потери на Солнце требует дальнейшего расчёта.

A.6.4 Чувствительность к периоду и расширению

Более короткие начальные сутки означают больше момента импульса; более крупное (более расширенное) родительское тело имеет больший момент инерции и несёт тот же момент импульса при более длинных сутках. Поэтому допустимый начальный период зависит от принятого расширения. В опорной модели окно 4.90–5.54 часа относится к начальному периоду и к принятым условиям баланса и потерь: при 5.54 часа родительское тело имеет ровно нынешний момент импульса, а при 4.90 часа — примерно на 15% больше, принятый предел для потери вовне. Его верхнюю границу нельзя применять к конечному периоду после передачи момента импульса, который длиннее по построению (§A.4). Приложение B сохраняет исходную таблицу чувствительности с разграничением между принятым расширением и ещё не выполненным тепловым расчётом.

Рисунок 5 читается как карта допустимых начальных состояний. Горизонтальная ось — насколько горячее родительское тело было расширено сверх своего холодного радиуса; вертикальная ось — его сутки. Начальное состояние выше сплошной линии несёт меньше момента импульса, чем нынешняя система, и исключается; состояние ниже штриховой линии несёт более 15% избытка, больше, чем может отнять внешняя потеря. Полоса между ними допустима, и она поднимается вправо, потому что более крупное родительское тело несёт тот же момент импульса при более длинных сутках. Опорное состояние, 5.5 h при расширении на 120 km, лежит внутри полосы, чуть ниже верхней границы.

A.6.5 Сравнение равновесных фигур

Теперь классическое возражение против деления можно поместить точно. В классическом пути вся Земля должна вращаться настолько быстро, что становится неустойчивой и делится. Однородная вращающаяся жидкость по мере роста момента импульса проходит известную последовательность форм. Сначала это сфероид Маклорена (§A.6.1), сплюснутый, но круглый по экватору. При определённом сплющивании ответвляется второе семейство: эллипсоиды Якоби, у которых экватор уже не круг, а эллипс, так что тело становится вытянутым, как мяч для регби, вращающийся через торец. Далее по последовательности Якоби следует грушевидная фигура, от которой, как ожидалось, должно было происходить классическое деление. Каждая из этих точек требует определённого вращения и определённого момента импульса.

В классической точке бифуркации от Маклорена к Якоби, при $e\simeq0.81267$ и $\omega^2/(\pi G\rho)\simeq0.37423$, для принятых массы и объёма получаем $T\simeq2.73$ часа, $a\simeq7{,}802$ km и момент импульса около $9.42\times10^{34}$, отношение около 2.74 к нынешней сумме [1]. Здесь $e$ — эксцентриситет меридионального сечения (ноль для сферы, приближается к единице для очень плоского тела), а $\omega^2/(\pi G\rho)$ измеряет вращение относительно собственной гравитации тела. Проще говоря: лишь для того, чтобы достичь первого шага классического пути, Земле понадобились бы сутки менее трёх часов и почти в три раза больше момента импульса, чем имеет система Земля–Луна.

Это сравнение с определённой конфигурацией на данном классическом пути. Значение 4.08 исходного опорного расчёта относится к другой точке последовательности Маклорена — точке максимума $\Omega$, а не к бифуркации Якоби — и не представляется как универсальная граница. Оно является источником известного утверждения, что делению нужно примерно в четыре раза больше момента импульса, чем имеется. Значение 3.5 для грушевидной точки не принимается, поскольку проверка таблицы не завершена.

Причина различия — место, где оценивается условие скорости. Классический путь требует, чтобы поверхность родительского тела достигла орбитальной скорости (§A.1.2); это толкает родительское тело к распаду, а распад стоит в несколько раз больше имеющегося момента импульса. Путь LEF никогда не использует это условие: вещество выносится наружу в коротации, и согласование скоростей происходит на радиусе коротации (§A.5), где родительское тело, совершающее один оборот за 5.5 часа, уже обеспечивает орбитальную скорость. При оценке там требование снижается до баланса, который у родительского тела действительно есть. Сравнение проводится между двумя путями к одному и тому же результату: классическому нужно 2.74 нынешнего баланса; этому — 1.007.

A.6.6 Векторная поправка для отделения вне экватора

До сих пор предполагалось, что вещество уходит в экваториальной плоскости. Вне экватора спиновый вектор и орбитальный момент импульса необходимо суммировать в одной системе отсчёта, потому что орбита тела, отделённого на некоторой широте, наклонена относительно вращения. Пусть $S=I\omega$ — спиновый момент импульса, а $H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda$ — орбитальный момент импульса отделённого тела, где $\lambda$ — угол отделения от экваториальной плоскости. Для геометрии, определённой в Приложении D:

$$\boxed{L_0^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.}$$

Это то же правило сложения двух стрелок под углом, что и в §A.6.3: начальный баланс должен равняться векторной сумме вращения и наклонной орбиты.

В примере $\lambda=25^\circ$ относительно конечной оси и однородной структуры связанный расчёт двух масс даёт конечный период 6.220 часа, опорное расстояние около 17,240 km и орбитальный момент импульса около 15.83% баланса. Значение 25° — тест чувствительности того, насколько отделение вне экватора меняет баланс; принятая широта отделения, центр области контакта, составляет 22.5° (Paper 4). Это поправка чувствительности к балансу, а не вновь принятое опорное значение. Вывод наклонения и эксцентриситета, перигей и эволюция после отделения передаются в Paper 4.

A.6.7Балансовое условие решения

Тест требует согласованных начального состояния, конечного состояния и внешней передачи:

$$\mathbf{L}_i=\mathbf{L}_f+\Delta\mathbf{L}_{\mathrm{external}}.$$

Уравнение — это сохранение момента импульса, записанное как счёт: то, с чего система начала, равно тому, что она имеет сейчас, плюс то, что было отнято извне (для системы Земля–Луна — главным образом приливом Солнца). Замыкание численного баланса доказывает согласованность между определёнными состояниями. Невозможность найти соответствие в обоснованных диапазонах структуры и внешних передач исключила бы этот балансовый сценарий. Соответствие не устанавливает, как тело механически достигает конечного состояния; это предмет Paper 3.

Таким образом, баланс выглядит следующим образом: родительское тело с периодом 5.5 часа имеет немного больше момента импульса, чем нынешняя система, перенос стоит около одной шестой от него, а классическому пути понадобилось бы в 2.74 раза больше.

A.7Предел Роша

Тело, достигшее радиуса коротации, должно также сохранять там целостность. Вблизи массивного родительского тела его гравитация тянет ближнюю сторону тела сильнее, чем дальнюю; эта разность, приливная сила, стремится растянуть тело на части. Предел Роша — это расстояние, внутри которого это растяжение превышает собственную гравитацию тела, удерживающую его целым. Тело, удерживаемое только собственной гравитацией, не может оставаться целым внутри него.

A.7.1Два опорных предела

Для $\rho_s=2{,}600\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ и родительской массы после ухода:

$$d_{\mathrm{fluid}}=2.44\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq19{,}971\ \mathrm{km},$$

$$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq10{,}314\ \mathrm{km}.$$

(Более ранняя версия давала 10,313 km; оба значения совпадают в пределах округления, и серия использует 10,314 km. Рисунки 1, 6, 8 и 9 указывают жидкий предел как 19,972 km — то же значение в пределах округления.) Член в скобках — это радиус, который имела бы сфера массы Земли, если бы у неё была плотность спутника; предел является фиксированным кратным этого радиуса. Две формулы различаются лишь этим множителем, и причина физическая. Жидкое приближение касается деформирующегося тела: по мере растяжения оно удлиняется в сторону родительского тела, его ближний и дальний концы расходятся, приливная разность поперёк него растёт, и оно поддаётся раньше — поэтому жидкий предел лежит дальше. Так называемое жёсткое приближение пренебрегает изменением формы: тело сохраняет свою круглую форму, приливная разность поперёк него остаётся меньше, и оно выживает ближе. Оно не содержит ни толщины коры, ни прочности вещества [1]; это тело, удерживаемое только собственной гравитацией, которое лишь не меняет своей формы. Базовый радиус и два связанных радиуса лежат между этими пределами: внутри жидкого предела, снаружи от жёсткого. Поэтому одно лишь наличие коры не устанавливает выживание; выживание зависит от того, ведёт ли себя тело как жёсткое на той шкале времени, которую оно там проводит.

Пределы Роша смещаются внутрь по мере роста плотности тела, потому что более плотное тело сильнее удерживает себя. Плотность около 4,700 kg на кубический метр сдвинула бы жидкий предел на расстояние отделения около 16,400 km; для жёсткого тела в момент отделения применяется жёсткий предел (§B.7). Это требование, вычисленное в приближении Роша, а не свидетельство того, что тело достигло такой плотности, и не решение всех требований устойчивости.

A.7.2 Чему учит сравнение ускорений

Базовое сравнение проводится между градиентом гравитации родительского тела и собственной гравитацией:

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3},\qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

Первая величина, $\Delta a$, — это разность притяжения родительского тела в центре тела и на его поверхности, на расстоянии $R_s$ ближе; она быстро падает, как куб расстояния $r$. Вторая, $g_s$, — собственная поверхностная гравитация тела, удерживающая его вещество. Когда первая меньше второй, побеждает собственная гравитация тела. С опорными данными Приложения E отношение меньше единицы (около 0.277 на 15,818 km). Это полезная мера нагрузки, но изменение формы и вращение в отношение не входят. Статический предел Роша даёт основу для сравнения; отклик на эксцентричной орбите может зависеть также от истории деформации [9].

A.7.3Что остаётся условным

Радиус коротации — не порог прочности: его достижение решает вопрос скорости, а не выживания. Свойства тела и связи исследуются в Paper 3, а орбита после отделения — в Paper 4. Paper 2 не принимает обязательного времени пребывания в области Роша и универсального порога вязкости. Сравнение должно использовать ближайшее расстояние выбранной орбиты, а не одно лишь расстояние отделения. Распределение тестов между статьями не снимает требования выживания.

Рисунок 6 сопоставляет Луну в момент отделения с двумя семействами пределов. Жёсткие пределы для всего диапазона плотностей лежат значительно внутри положения Луны; жидкие пределы лежат за ним. Поэтому Луна в момент отделения находится в безопасности как жёсткое тело, а её сплющивание и скругление завершились раньше, пока она ещё была прикреплена (§B.7; Paper 7).

A.8Направление приливной эволюции

Последний вопрос Части A — что происходит после отделения: удаляется ли Луна от Земли или падает обратно? Ответ зависит от того, по какую сторону линии коротации она находится.

A.8.1 Направление передачи момента импульса

Для прямой, круговой, экваториальной орбиты сравним вращение родительского тела со средним движением — угловой скоростью обращающегося тела вокруг родительского:

$$n=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}.$$

Обращающееся тело поднимает на родительском теле приливный горб. Когда $\omega>n$, родительское тело вращается быстрее, чем обращается тело, и его вращение выносит горб вперёд тела; горб тянет тело вперёд, передаёт ему момент импульса, и тело поднимается наружу, а вращение родительского тела замедляется. На языке приливных уравнений диссипативный приливный вклад в родительском теле передаёт момент импульса от его вращения орбите. Когда $\omega<n$, тело обгоняет горб, горб тянет его назад, и направление меняется на обратное: тело теряет момент импульса и по спирали движется внутрь. При точной круговой синхронности соответствующий вклад исчезает: горб остаётся прямо под телом, и нет ни притяжения вперёд, ни назад. Поскольку $n$ падает с расстоянием, а $\omega$ нет, $\omega>n$ выполняется снаружи радиуса коротации, а $\omega<n$ внутри него. Линия коротации, таким образом, — водораздел: тело, отделённое сразу за ней, с самого начала выталкивается наружу. Обобщение на орбиту с наклонением и эксцентриситетом требует соответствующих приливных уравнений [2,3].

Рисунок 7 показывает действие водораздела в нынешней Солнечной системе. У Марса две малые луны по разные стороны его синхронного радиуса: Phobos, внутри, притягивается внутрь; Deimos, снаружи, удаляется. Случай Земля–Луна в момент отделения — то же правило, применённое к Луне, помещённой сразу за линией.

С завершением Части A проблемы полностью определены: разрыв скоростей, закрывающийся на радиусе коротации; груша, достигающая этого радиуса; сутки в момент отделения, задаваемые двумя противоположными процессами; баланс, который должен замкнуться относительно нынешней системы; тест Роша, который тело должно пройти; и приливный водораздел, определяющий его дальнейшее направление. Часть B отвечает на них одним расчётом.

Часть A сформулировала условия; эта Часть показывает, что один согласованный набор чисел удовлетворяет им всем одновременно. Это важно, потому что каждое условие, взятое отдельно, обычно можно выполнить подбором одного параметра, тогда как выполнение их всех с той же Землёй, той же Луной и тем же вращением — гораздо более сильная проверка пути.

B.1Расчёт

Входные данные. Начальные земные сутки $T_0=5.5$ h (§A.2); однородное расширенное родительское тело с объёмным радиусом 6,517 km и плотностью 5,214 kg m$^{-3}$ (экваториальный 6,721 km, полярный 6,128 km); Луна: одна лунная масса, $m=7.35\times10^{22}$ kg, плотность 2,600 kg m$^{-3}$. «Однородное» означает, что родительское тело в начале принимается однородным по плотности — входной параметр расчёта для родительского тела, ещё находящегося на ранней стадии сортировки; «расширенное» означает, что оно горячее и потому несколько больше холодной Земли той же массы (§A.2). Экваториальный и полярный радиусы различаются, потому что тело, совершающее один оборот за 5.5 h, вздувается на экваторе и сплющивается у полюсов.

От Части A к состоянию отделения, шаг за шагом. Состояние отделения следует из процессов Части A в пять шагов. Таблица ниже их собирает; её строки читаются сверху вниз, а оттенок показывает направление каждого шага: красный — для шага, который замедляет Землю и сдвигает линию коротации наружу, синий — для шага, который ускоряет её и сдвигает линию внутрь.

1. Исходная точка. У родительского тела с сутками 5.5 h линия коротации находится на 15,818 km (§A.2.1). Линия коротации — это расстояние, на котором тело, вращающееся вместе с Землёй, уже движется со скоростью свободной круговой орбиты.

2. Груша замедляет Землю. По мере удлинения груши вещество движется наружу, ещё вращаясь вместе с Землёй, и уносит с собой момент импульса. Момент импульса — это «количество вращения» тела, его масса, умноженная на скорость и на расстояние от оси; при отсутствии внешнего момента силы его сумма сохраняется. Момент импульса, уходящий с веществом, берётся из вращения Земли, поэтому Земля вращается медленнее: в одиночку этот шаг удлинил бы сутки с 5.50 до 6.44 h и сдвинул бы линию наружу до 17,569 km (§A.4).

3. Организующееся ядро ускоряет Землю. Одновременно железо опускается к центру. Это уменьшает момент инерции Земли — меру того, насколько далеко от оси лежит её масса, — и, как фигуристка, прижимающая руки, Земля вращается быстрее. При ядре вдвое плотнее лежащей над ним мантии ($D=2$) этот шаг отнимает от суток 0.67 h.

4. Итоговый результат. Два шага действуют совместно и частично компенсируют друг друга: сутки в момент отделения составляют 5.77 h, а линия коротации лежит на 16,331 km, если Луна рассматривается как пробная частица, или на 16,399 km, если собственная масса Луны включена в приведённую ниже формулу двух тел. Мы используем значение для двух тел, округлённое до примерно 16,400 km.

5. Отделение. Луна начинает отделяться, когда её центр масс достигает этой линии. Её приносит туда вращение, а не бросок: на этом расстоянии скорость, которую она уже имеет как часть вращающейся системы, является скоростью свободной орбиты, поэтому никакой дополнительный толчок не требуется (§B.2).

Количественное содержание этих шагов таково.

1. Земные сутки в момент отделения. Удлиняющаяся груша и централизующееся ядро действуют совместно (§A.4); при $D=2$, $$T=5.77\ \mathrm{h},\qquad \Omega=\frac{2\pi}{T}=3.025\times10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}.$$ Здесь $T$ — продолжительность суток, а $\Omega$ — угловая скорость вращения, угол в радианах, проходимый за секунду. Сутки лишь примерно на четверть часа длиннее исходных 5.5 h, потому что ускорение от опускающегося железа компенсирует бо́льшую часть замедления, вызванного грушей.

2. Точка отделения. Луна начинает отделяться, когда её центр масс достигает линии коротации: $$r=R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{G\,(M_\oplus+m)}{\Omega^{2}}\right)^{1/3}\simeq16{,}400\ \mathrm{km}.$$ Это формула коротации из §A.5.1, записанная для двух тел: $G$ — гравитационная постоянная, $M_\oplus$ — масса Земли, а $m$ — масса Луны. Словами, она даёт то единственное расстояние, на котором круговая орбита длится ровно столько же, сколько один оборот Земли. Именно включение $m$ в формулу превращает 16,331 km в 16,399 km. Значение составляет около 2.6 нынешнего радиуса Земли. При $R_m=\left(\tfrac{3m}{4\pi\rho}\right)^{1/3}=1{,}890$ km ближняя точка лежит на 14,509 km, а дальняя сторона — на 18,289 km от центра Земли. $R_m$ — радиус сферы одной лунной массы при плотности 2,600 kg m$^{-3}$; вычитание его из 16,400 km центра и прибавление к ним дают протяжённость Луны вдоль линии Земля–Луна.

3. Земля в момент отделения (Маклорен, однородная): $$\frac{\Omega^{2}}{\pi G\rho_\oplus}=\frac{2\sqrt{1-e^{2}}\,(3-2e^{2})}{e^{3}}\arcsin e-\frac{6(1-e^{2})}{e^{2}} \quad\Rightarrow\quad a=6{,}701\ \mathrm{km},\ c=6{,}165\ \mathrm{km}.$$ Сфероид Маклорена — равновесная форма однородного жидкого тела, равномерно вращающегося: сфера, сплюснутая у полюсов. Уравнение связывает вращение (левая часть, где $\rho_\oplus$ — средняя плотность Земли) с эксцентриситетом $e$, числом, измеряющим сплющивание (0 для сферы, приближается к 1 для плоского диска). Решение для вращения 5.77 h даёт экваториальный радиус $a$ и полярный радиус $c$. Таким образом, Земля в момент отделения ещё явно сплюснута, хотя немного меньше, чем родительское тело с периодом 5.5 h (6,721 и 6,128 km), потому что теперь она вращается чуть медленнее. Промежуток между экваториальной поверхностью Земли и Луной составляет около 7,800 km: ближняя точка Луны на 14,509 km минус экваториальный радиус 6,701 km. Это расстояние, которое должна перекрыть груша (§A.3).

4. Момент импульса. $$L_0=k_0Ma_0^{2}\Omega_0=3.466\times10^{34},\qquad L=I_\oplus\Omega+\mu\,\Omega\,r^{2}.$$ Первое выражение — исходный баланс родительского тела (§A.6.1, в kg m$^2$ s$^{-1}$): коэффициент момента инерции $k_0$ (0.4 для однородного тела), масса, квадрат экваториального радиуса и начальное вращение. Второе выражение делит тот же баланс в момент отделения на две части: вращение Земли, $I_\oplus\Omega$, где $I_\oplus$ — её момент инерции, и орбиту Луны, $\mu\Omega r^2$, где $\mu=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ — приведённая масса пары, а $r$ — расстояние отделения. В момент отделения орбита Луны несёт $5.9\times10^{33}$ (17%), а вращение Земли — $2.88\times10^{34}$; система несёт 1.007 нынешнего значения (более ранняя версия давала 1.008, исходя из нынешнего итога, округлённого до $3.44\times10^{34}$; с $3.441\times10^{34}$ из §A.6.3 это 1.007 — значение, используемое на всём протяжении). $5.9\times10^{33}$ определяется как орбитальный момент импульса пары относительно их общего центра, $\mu\Omega r^2$, с приведённой массой $\mu=7.26\times10^{22}$ kg и $r=16{,}399$ km на экваторе. Если считать полную лунную массу $m$ относительно центра Земли, как это делает Paper 3, то же состояние даёт $6.0\times10^{33}$; для отделения на 22.5 ($r=17{,}287$ km, Paper 4), где Луна вращается на $r\cos22.5^\circ=15{,}971$ km от оси вращения, тот же счёт даёт $5.7\times10^{33}$ (Paper 3). 17% — цена переноса: доля исходного вращения, перешедшая из вращения Земли в орбиту Луны. Итог, 1.007 нынешнего, немного выше нынешнего значения, — это требуемый знак, поскольку с тех пор солнечные приливы отняли около 1% момента импульса системы (§A.2).

Рисунок 8 изображает это состояние в масштабе. Он показывает, насколько близко к Земле ещё находится Луна в момент отделения: промежуток около 7,800 km перекрывает груша из §A.3.

Теперь мы имеем полное состояние отделения: сутки и форму Земли, положение и размер Луны и распределение момента импульса между ними. Следующие разделы проверяют это состояние по каждой проблеме Части A.

B.2Разрыв скоростей

Проблема §A.1 состояла в том, что вещество, отделённое с поверхности Земли с сутками 5.5 h, движется со скоростью около 2,133 m s$^{-1}$, намного ниже 7,701 m s$^{-1}$ круговой орбиты, — разрыв около 5,568 m s$^{-1}$. Разрыв закрывается с расстоянием, потому что скорость, сообщаемая вращением, растёт с расстоянием, а орбитальная скорость падает. На линии коротации вращение даёт Луне в точности орбитальную скорость, $$v=\Omega r=\sqrt{\frac{G(M_\oplus+m)}{r}}\approx4{,}960\ \mathrm{m\,s^{-1}},$$ поэтому разрыва не остаётся (§A.1, §A.5). Левая часть — скорость точки, вращающейся вместе с Землёй на расстоянии $r$; правая часть — скорость свободной круговой орбиты на том же расстоянии; на линии они равны. Значение немного ниже 5,020 m s$^{-1}$ опорного случая 5.5 h (§A.2.1), потому что чуть более медленная Земля помещает линию дальше, где орбитальные скорости ниже. Бытовой образ — ребёнок на карусели: чем дальше от центра он сидит, тем быстрее движется, хотя его никто не толкает.

B.3Груша

Груша перекрывает около 7,800 km и целиком лежит внутри линии коротации; Луна отделяется, когда её центр масс достигает линии (§A.3; механизм отделения — Paper 3, Механизм LEF на практике). Поскольку груша лежит внутри линии, результирующая сила во вращающейся системе отсчёта тянет её к Земле (§B.5): она остаётся с Землёй, тогда как Луна, чей центр находится на линии, свободна отделиться. Именно поэтому Луна уходит целой, а связь не уходит вместе с ней.

B.4Компенсация

Расчёт учитывает оба процесса вместе: земные сутки 5.77 h, линия коротации 16,331 km (§A.4). 16,331 km — значение для пробной частицы из шага 4 в §B.1; включение собственной массы Луны даёт 16,399 km, около 16,400 km, используемые для точки отделения. Расчёт с одной лишь грушей дал бы 6.44 h и 17,569 km, а с одним лишь ядром — слишком быструю Землю; только оба вместе описывают Землю того времени.

B.5 Коротация

Центр масс Луны достигает линии коротации примерно на 16,400 km; за ней коротация тянет Луну наружу, и она отделяется: $$a_{\mathrm{net}}=\Omega^{2}r-\frac{GM_\oplus}{r^{2}}.$$ Это результирующее ускорение, испытываемое веществом, вращающимся вместе с Землёй на расстоянии $r$, во вращающейся системе отсчёта. Первый член — направленное наружу (центробежное) ускорение вращения, растущее с расстоянием; второй — гравитация Земли, падающая с расстоянием. Внутри линии побеждает гравитация, и $a_{\mathrm{net}}$ направлено внутрь, поэтому груша удерживается Землёй; на линии оба уравновешиваются; за ней побеждает вращение, и вещество увлекается наружу. Как только центр масс Луны проходит линию, тело в целом увлекается прочь от Земли и отделяется.

Рисунок 9 увеличивает момент, в который начинается отделение. Линия проведена через центр Луны; ближняя половина Луны ещё лежит внутри неё, а дальняя — снаружи.

B.6 Момент импульса

Система несёт 1.007 нынешнего момента импульса. В момент отделения коэффициент момента инерции Земли, вытекающий из её оставшегося спинового момента импульса, равен $k=0.355$; двухслойная структура с $q=0.55$ и $D=2$ даёт $$k=\frac{2}{5}\,\frac{(1-q^{5})+Dq^{5}}{(1-q^{3})+Dq^{3}}=0.360.$$ Коэффициент $k$ описывает распределение массы: 0.4 для однородной сферы, меньше, когда масса собрана к центру (у нынешней Земли около 0.33). Значение 0.355 — то, которое Земля должна иметь в момент отделения, если её вращение с периодом 5.77 h должно нести оставшиеся $2.88\times10^{34}$. Формула вычисляет $k$ для Земли из двух слоёв: внутреннего слоя, доходящего до доли $q$ радиуса, с плотностью в $D$ раз больше плотности внешнего слоя. При $q=0.55$ и $D=2$ она даёт 0.360, близко к требуемому 0.355. Таким образом, момент импульса, которого требует состояние отделения, и структура, создаваемая опускающимся железом, согласуются друг с другом. Не нужны ни гигантское столкновение извне, ни последующее удаление момента импульса; модели столкновения с высоким моментом импульса начинаются примерно с 2–3 нынешних значений. Путь замыкает свой баланс тем, что система Земля–Луна имеет сегодня, плюс примерно 1%, отнятый с тех пор солнечными приливами.

B.7Предел Роша

Предел Роша — это расстояние, внутри которого приливное притяжение крупного тела, разность его гравитации между ближней и дальней сторонами меньшего тела, превышает собственную гравитацию меньшего тела и может разорвать его. Две классические формы его ограничивают: $$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3},\qquad d_{\mathrm{fluid}}=2.44\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3}.$$ Жёсткая форма применима к телу, сохраняющему свою форму; жидкая — к телу, которое свободно деформируется и потому сильнее растягивается приливом. В обеих $\rho$ — плотность малого тела: чем оно плотнее, тем ближе оно может подойти. Центр Луны на 16,400 km лежит значительно дальше жёсткого предела (9,484–12,994 km для 1,300–3,344 kg m$^{-3}$). То же расстояние лежит внутри жидкого предела для тела плотностью 2,600 kg m$^{-3}$ (19,971 km, §A.7.1); поэтому то, какой из двух пределов применим, решается тем, является ли Луна жёсткой в момент отделения. Скругление завершилось до отделения; тело жёсткое и круглое. Сплющивание и последующее скругление лунного тела произошли раньше, пока оно ещё было прикреплено (Paper 7, Полюсы); то, что покидает линию, — это тело с жёсткой внешней оболочкой. Жёсткое тело уменьшает приливный отклик в $$\frac{1}{1+\dfrac{19\mu}{2\rho gR}},$$ так что при $\mu\ge10$ GPa отношение осей составляет не более 1.04. Здесь $\mu$ — жёсткость (модуль сдвига) тела, $g$ — его поверхностная гравитация, а $R$ — его радиус; $\rho gR$ — давление собственного веса тела. Множитель означает, что тело, чья жёсткость велика по сравнению с давлением его собственного веса, деформируется лишь на малую долю того, на что деформировалось бы жидкое тело. Отношение осей не более 1.04 означает, что самая длинная ось Луны превышает самую короткую не более чем на 4%: тело остаётся круглым.

B.8Направление приливной эволюции

Луна отделяется на линии коротации, и приливы передают ей момент импульса от вращения Земли: она удаляется (§A.8; орбита — Paper 4, Орбита). Точно на линии приливный эффект нейтрален, поскольку Земля совершает один оборот за то же время, за которое Луна совершает обращение. Само отделение выносит центр масс Луны примерно на 210 km за линию, когда немного более половины Луны её пересекло (запас $\Delta r\simeq2d_0$ из §D.3); там Земля вращается быстрее, чем обращается Луна, приливный горб, поднятый на Земле, опережает Луну, тянет её вперёд, и Луна движется наружу. Это та сторона водораздела, на которой сегодня находится Deimos (Рисунок 7).

Насколько далеко за линией. Расстояние за линией мало по сравнению с радиусом отделения, но оно задаёт форму первой орбиты. На линии Луна несёт в точности скорость круговой орбиты; за ней — немного больше, поэтому точка отделения становится ближайшей точкой слегка вытянутой орбиты с эксцентриситетом $e_0$, растущим с расстоянием. Таблица прослеживает это на широте отделения 22.5°, где линия коротации лежит на 17,287 km, при сутках 5.77 часа; начальная орбита получена по формулам Paper 4 (Приложение A), а конечный угол — по приведённому закону тангенса из Paper 4 (Часть D). «Пересечено» — доля объёма Луны за линией в момент отделения.

Таблица B.8. Отделение на 22.5°: начальная орбита и конечный угол приведённого закона по мере смещения отделения за линию коротации (Paper 3, §C.5a). Тёмно-синий цвет сгущается с ростом конечного угла; зелёным отмечен наблюдаемый 5.145°, соответствующий принятому отделению.

Отделение точно на линии даёт окружность, а прилив выносит окружность наружу как окружность; поэтому нынешний эксцентриситет Луны требует отделения немного после того, как её центр масс пересёк линию. Примерно при 210 km приведённый закон возвращает наблюдаемое наклонение, а Paper 3 (§C.5a) показывает, что то же смещение возвращает нынешний эксцентриситет 0.0549 для горячей молодой Луны; серия принимает это отделение. Paper 3 даёт таблицу эксцентриситетов и чувствительность к широте кончика; полное интегрирование Paper 4 проводит состояние отделения через всю историю.

Что мы теперь имеем: состояние отделения из §B.1 решает каждую из семи проблем Части A одним набором чисел.

C.1 Что было показано

Таблица сопоставляет каждой проблеме Части A ответ, данный в Части B. Она читается построчно; каждая отметка означает, что состояние отделения из §B.1 решает эту проблему без отдельного допущения.

Эта Часть собирает в одном месте то, что утверждает статья, как проверяется каждое утверждение и чего путь требует от своего механизма, чтобы эти пункты находились здесь, а не были разбросаны по тексту.

D.1Центральные утверждения и тесты

Таблица перечисляет пять центральных утверждений. Первый столбец называет каждое утверждение и указывает его статус; второй — что оно предполагает и предсказывает; третий — как оно проверяется.

Простыми словами, утверждения таковы.

• Коротация. Утверждается, что на линии коротации скорость от вращения равна орбитальной скорости. Поправки, нужные сценарию (поле сплюснутой Земли, размер Луны, притяжение между двумя телами), проверяются относительно этого равенства.

• Замыкание момента импульса. Утверждается, что исходного баланса $3.466\times10^{34}$ достаточно для отделения примерно на 16,400 km. Баланс до отделения согласуется с балансом после него через структуру и потерю на солнечные приливы.

• Чувствительность к структуре. Утверждается, что опускающееся ядро меняет сутки и линию вычисленным образом (§A.4.1). Расчёт сходится к решению для каждой просканированной структуры.

• Неэкваториальный момент импульса. Утверждается, что отделение вне экватора меняет баланс лишь на вычисленную векторную поправку (§A.6.6). Все векторы суммируются в одной системе отсчёта.

• Выживание. Утверждается, что Луна выживает в приливе Земли в момент отделения. Это проверяется в последующих статьях.

Не все эти утверждения являются независимыми наблюдательными предсказаниями: некоторые — физические тождества, некоторые — тесты согласованности, а некоторые — требования к механизму. Это различие сохранено в карте новизны Приложения F. Тождество, такое как формула коротации, не может быть ошибочным, если входные данные верны; тест согласованности проверяет, что числа замыкаются; требование — это условие, которому должны удовлетворять следующие статьи.

D.2Новизна работы

Формула коротации, фигуры Маклорена, сохранение момента импульса и пределы Роша — это предшествующая физика. Работа исследует их совместное применение к условию связанного переноса с согласованным расчётом изменения массы, формы и вращения и представлением областей чувствительности. «Связанный перенос» означает, что вещество остаётся соединённым с Землёй и вращается вместе с ней, пока не достигнет линии, вместо того чтобы быть запущенным с поверхности; это условие отделения, при котором классическое возражение против деления — баланс, в несколько раз превышающий допустимый, — не возникает (§A.6.5). Полное утверждение исторического приоритета требует проверки предшествующих работ из Приложения F; успех численного воспроизведения не доказывает приоритета.

D.3Что принимается и требуется

Допущения и требования, на которые опирается аргумент, собраны здесь, чтобы не повторять их рядом с каждым результатом. Каждая строка даёт принятое или требуемое значение.

Несколько строк требуют пояснения. Тепловое расширение — величина, на которую горячая молодая Земля была больше холодной; 6,495 km — объёмный радиус на нижней границе допустимого диапазона (расширение на 98 km). Условие отделения читается следующим образом. Тело, отделённое точно на линии коротации, находится в приливно-нейтральном состоянии; как только оно оказывается за линией, прилив выталкивает его наружу, так что Луна удаляется с самого начала (Paper 4, §B.2). Отделение помещает центр масс за линию с запасом $\Delta r\simeq2d_0$, где $d_0$ — масштаб толщины связи (Приложение E, строка E47); запас составляет около 210 km, $d_0\approx105$ km, и задан поиском расстояния отделения в Paper 3, §C.5a (более ранняя версия давала около 100 km). Сравнение балансов проводится двумя способами: суммированием спинового и орбитального моментов импульса как простых модулей (скалярно), что даёт избыток 0.7%, и как векторов под углом, что даёт 1.5–2.5% (более ранняя версия давала 1.5–2.6%; наибольший из трёх проверенных углов даёт 2.51%); скалярная сумма — базовая, а векторная — тест чувствительности (§A.6.3).

Первые три строки — принятые значения с окнами; следующие две — требования, которые путь предъявляет к Paper 3; последние две — проверки, которые выполняет сама эта статья. Ни одно из семи не спрятано внутри результата, и ни одно не нужно для определения радиуса коротации, который следует только из массы и вращения родительского тела.

Тело размером с Луну может достичь орбиты из собственного вещества Земли без гигантского столкновения извне. Быстро вращающаяся Земля обеспечивает скорость; груша соединяет Землю с линией коротации; удлиняющаяся груша и централизующееся ядро вместе задают земные сутки в момент отделения равными 5.77 h; Луна, жёсткая и круглая, отделяется, когда её центр масс достигает линии коротации примерно на 16,400 km; баланс момента импульса замыкается на 1.007 нынешнего значения, что согласуется с потерей на солнечные приливы; и Луна удаляется с момента отделения.

Единой цепочкой: вращение Земли выносит вещество наружу; линия, где переносная скорость равна орбитальной, задаёт место ухода Луны; баланс груши и ядра задаёт положение этой линии; и момента импульса, с которым начала Земля, достаточно, с запасом около 1%, который Солнце отнимет позднее.

E.1Сохранённые прежние выводы

Следующие выводы прежних версий этой статьи остаются в силе и сохранены здесь с их исходными опорными значениями.

1. Условие отделения определяет тест скорости; прямое отделение от поверхности и перенос в коротации — разные начальные условия. Отделение с поверхности оставляет разрыв скоростей (§A.1.2); перенос в коротации не оставляет его (§B.2).

2. Исходное опорное значение составляет около 15,818 km при периоде 5.5 часа и в заданном для него определении массы. Это линия до начала переноса; значение при отделении, около 16,400 km, — линия после того, как подействовали груша и ядро (§B.1).

3. Добавка к веществу составляет около 15.6% в базовом и около 16.5% в связанном решении; около 17.7% — конечный орбитальный момент импульса в приближении пробной частицы для связанного состояния с одной лишь грушей ($D=1$, 6.44 h, 17,569 km); в состоянии отделения при $D=2$ орбита Луны несёт около 17.0% (§B.1). Эти три процента измеряют разные величины: первые два — момент импульса, который вещество должно приобрести во время переноса (§A.6.2); третий — долю баланса, которую несёт орбита Луны в конце.

4. Внутренняя структура и векторная геометрия влияют на результат и поэтому включены как тесты чувствительности, а не как измеренные прошлые значения.

5. Коротация обеспечивает скорость и баланс. Механический отрыв за пределами коротации, устойчивое удаление и выживание в области Роша — три условия, которые путь предъявляет к своему механизму; они собраны в §D.3.

Дальнейшая работа — направления исследований

Расчёты этой статьи определяют входные данные для дальнейшей работы, которую способны выполнить другие исследовательские группы. Каждый пункт называет расчёт, который эта статья не выполняет, и статью серии, которая использовала бы его результат.

1. Стратифицированная задача Маклорена. Связанное конечное состояние (§A.6.2) использует однородную фигуру при меняющемся коэффициенте инерции. Подход Клеро–Дарвина–Радо для родительского тела с опускающимся железом даёт радиус коротации для централизующегося ядра самосогласованно (около 16,300–16,400 km при $D=2$) и передаёт Paper 4 его начальную орбиту. Метод Клеро–Дарвина–Радо — стандартный способ вычисления формы вращающегося тела, плотность которого растёт внутрь; он заменил бы использованную здесь однородную форму формой, следующей за опускающимся железом.

2. Диссипация ранней Земли. Удаление примерно от 2.6 земного радиуса (16,400 km; 2.8 земного радиуса в прежнем состоянии при одной лишь груше с периодом 6.44 h) задаётся $k_2/Q$ и его историей; нынешнее значение аномально. Здесь $k_2$ измеряет, насколько Земля деформируется под действием прилива, а $Q$ — какую часть приливной энергии она рассеивает; их отношение задаёт скорость удаления Луны. Модели океанского резонанса, запущенные от 5.77-часовых суток отделения (а не от 6.4-часовых суток прежнего состояния с одной лишь грушей), дали бы функцию скорости, которой требует Paper 4.

3. Тепловое расширение родительского тела. Принятые здесь 120 km (допустимо 98–520) — оценка по глубине магматического океана и расширению расплава; интегрирование уравнения состояния горячей, богатой летучими ранней Земли зафиксировало бы его, а вместе с ним и окно вращения.

4. Начало удаления. Тело, отделённое точно на линии коротации, находится в приливно-нейтральном состоянии: Земля совершает один оборот за время, за которое тело совершает одно обращение, и прилив его ни выталкивает наружу, ни втягивает внутрь. Как только тело оказывается за линией, прилив выталкивает его наружу, так что Луна удаляется с самого начала (§B.8; Paper 4, §B.2). Отделение оставляет центр масс за линией с запасом отделения $\Delta r\simeq2d_0$, около 210 km (§D.3, §E.1). Приливное интегрирование с частотно-зависимой реологией в обоих телах, начинающееся из состояния отделения Paper 3, зафиксировало бы диапазон запаса и скорость первого удаления. «Частотно-зависимая реология» означает, что то, как каждое тело поддаётся приливу, зависит от того, насколько быстро меняется прилив.

5. Выживание внутри жидкого предела Роша. Оценка деформации по порядку величины в приложении «Оценка ускорения и деформации» не является решением для деформации. Вязкоупругий расчёт жёсткого тела радиусом 1,890 km примерно на 16,400 km от Земли в течение $10^1$–$10^3$ лет, которые оно там проводит, заменил бы её. Вязкоупругий расчёт рассматривает тело как упругое на коротких временах и медленно текущее на длинных — именно так ведёт себя горячее тело с жёсткой внешней оболочкой.

6. Классический путь. Множитель 2.74 в бифуркации Якоби вычислен; грушевидная точка на последовательности Якоби требует проверки табличных значений, и современный расчёт последовательности для данных массы и плотности решил бы этот вопрос. Последовательность Якоби — семейство вытянутых трёхосных равновесных форм, в которые переходит быстро вращающееся жидкое тело за пределами форм Маклорена (§A.6.5).

Доступность кода

Все численные результаты этой статьи воспроизводятся скриптами пакета воспроизведения LEF (Python 3, numpy, scipy), который выводит значения каждого раздела из входных данных, указанных в тексте. Пакет приложен к этому препринту как дополнительный материал (LEF_code_and_data.zip). Более ранняя версия серии и пакета депонирована по адресу doi:10.5281/zenodo.22743615.

Это приложение фиксирует определения, на которых основано каждое число статьи. Оно обосновывает радиус коротации из §A.2.1 и §A.5 (15,818 km для опорного случая 5.5 часа) и расстояние отделения из §B.1. Читателю, желающему проверить любой результат, следует начинать отсюда, потому что большинство кажущихся расхождений между воспроизведениями происходит из иного выбора массы, расстояния или константы, а не из иной физики.

Краткий полный вывод приведён в §B.1. Необходимо разделять две массы. $M_{\mathrm{tot}}$ — полная начальная масса: Земля и лунное вещество вместе, до того как какая-либо его часть ушла. $M_\oplus$ — конечная родительская масса: Земля после того, как лунное вещество приписано второму телу. Использование одной вместо другой учитывает лунную массу дважды или не учитывает вовсе.

Необходимо также разделять два расстояния. Радиус относительно центра родительского тела — не то же, что радиус относительно центра масс системы; как только существует второе тело реальной массы, оба тела вращаются вокруг общего центра масс, который лежит немного в стороне от центра Земли. В случае двух тел расстояние $r$ берётся между центрами, а гравитационный параметр (произведение гравитационной постоянной на притягивающую массу) равен $G(M_\oplus+m)$, потому что каждое тело обращается под действием притяжения другого, а относительное движение определяется суммой масс.

Константы — воспроизведённые исходные входные данные, а не новая подгонка к эфемеридам (таблице наблюдаемых положений). Поэтому изменение определения массы требует нового расчёта, а не молчаливой замены метки 15,818: это число принадлежит одному заявленному определению, и иное определение даёт иное число.

Это приложение выводит форму и момент импульса молодой Земли до начала переноса. Оно обосновывает начальный баланс $L_0\simeq3.466\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$ из §A.6.1 и §B.1, сравнение с нынешней системой в §A.6.3 и допустимую область Рисунка 5 в §A.6.4. Шаги таковы: зафиксировать массу и размер; найти сплюснутую форму, которую принимает однородное тело при вращении с периодом 5.5 часа; вычислить его момент инерции; умножить на угловую скорость.

Appendix B.1Вывод начальной структуры — сохранённый базовый текст

Шаг 1: масса. Принимаем $G=6.674\times10^{-11}$, $M_\oplus=5.972\times10^{24}$ kg и $m=7.35\times10^{22}$ kg. До переноса лунное вещество ещё является частью Земли, поэтому родительское тело несёт обе массы. В коде сохраняется точная сумма принятых значений:

$$M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m=6.0455\times10^{24}\ \mathrm{kg}.$$

Её округлённое значение в источнике равно $6.045\times10^{24}$. Разность округления объясняет небольшие различия между воспроизведениями; это не физическое различие.

Шаг 2: размер. Опорный радиус, определённый через среднюю земную плотность, составляет около 6,397 km: это радиус, который имела бы вся начальная масса при плотности нынешней Земли. Молодая Земля в модели горячая и расширенная. Принятая добавка 120 km даёт объёмный радиус $R_{V,0}=6{,}517$ km (радиус сферы того же объёма, что и сплюснутое тело) и плотность около 5,214 kg на кубический метр.

Шаг 3: форма. Однородное жидкое тело, которое вращается, принимает сплюснутую фигуру, более широкую на экваторе, чем через полюсы. Для тела однородной плотности эта фигура — сфероид Маклорена, и её форма задаётся одним уравнением [1]:

$$\mathcal M(e)=\frac{2\sqrt{1-e^2}}{e^3}(3-2e^2)\arcsin e -\frac{6(1-e^2)}{e^2}, \qquad \frac{\omega^2}{\pi G\rho}=\mathcal M(e).$$

Словами: левая часть, $\omega^2/(\pi G\rho)$, измеряет, насколько быстро тело вращается по сравнению с тем, насколько сильно его собственная гравитация удерживает его целым ($\omega$ — угловая скорость, $\rho$ — плотность). Правая часть, $\mathcal M(e)$, — сплющивание, которого требует этот баланс, записанное через эксцентриситет $e$ меридионального сечения — $e=0$ соответствует сфере, а $e$ растёт по мере сплющивания тела. При заданных вращении и плотности уравнение решается относительно $e$.

Когда $e$ известно, экваториальный радиус $a$ и полярный радиус $c$ следуют из объёмного радиуса:

$$a=\frac{R_V}{(1-e^2)^{1/6}}, \qquad c=R_V(1-e^2)^{1/3}.$$

Эти два выражения сохраняют объём неизменным: $a^2c=R_V^3$, так что тело сплющивается, не приобретая и не теряя вещества.

Для заданного вращения ниже максимума уравнение Маклорена имеет два решения: одно слабо сплюснутое и одно сильно сплюснутое. Тело, постепенно раскручиваемое из сферы, следует первому. На ветви вблизи сферической формы получаем $e_0\simeq0.4107$, $a_0\simeq6{,}721$ km и $c_0\simeq6{,}128$ km — экватор примерно на 600 km дальше от центра, чем полюсы.

Шаг 4: момент инерции и момент импульса. Момент инерции измеряет, насколько трудно привести тело во вращение, и зависит от того, насколько далеко от оси лежит его масса. Для однородного сфероида, вращающегося вокруг своей короткой оси, он равен $\frac25$ массы, умноженной на квадрат экваториального радиуса. Момент импульса равен моменту инерции, умноженному на угловую скорость:

$$I_0=\frac25M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_{\mathrm{initial}}=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

Здесь $\omega_0=2\pi/19{,}800$ s$^{-1}$ — угловая скорость суток в 5.5 часа. Это выделенное в рамку число — весь баланс, из которого может черпать перенос; §A.6 сравнивает его с нынешней системой Земля–Луна.

Однородная плотность — входной параметр расчёта. Она описывает родительское тело, ещё находящееся на ранней стадии сортировки: железо, возможно, уже собиралось в ядре в начале, а организация ядра продолжалась на протяжении переноса и после отделения. Тело, не завершившее дифференциацию, не обязательно однородно; влияние отклонений от однородной плотности исследуется ниже в тесте чувствительности (Приложение C и §A.4.1).

Appendix B.2Исходное сканирование расширения

Расширение на 120 km — принятое значение, поэтому вопрос в том, насколько от него зависит результат. Таблица отвечает на это. Каждая строка даёт одно расширение; второй столбец — получающийся объёмный радиус; третий — избыток начального баланса над нынешним, если сутки равны 5.5 часа; четвёртый — самые длинные начальные сутки, при которых баланс ещё равен нынешнему (скалярная верхняя граница). Читайте таблицу сверху вниз: по мере роста расширения тело становится больше, его момент инерции возрастает, и вместе с ним растут и избыток, и верхняя граница.

Две строки отмечают границы допустимого диапазона. Без расширения баланс на 3.3% меньше нынешнего, так что нерасширенное родительское тело, вращающееся с периодом 5.5 часа, не могло бы обеспечить нынешнюю систему. При 98 km баланс в точности равен нынешнему; это наименьшее работающее расширение. При 520 km избыток достигает 15% — принятого предела того, что могло быть впоследствии потеряно на Солнце. Диапазон 98–520 km из §D.3 следует из этих двух строк.

Таблица сохранена из исходной таблицы как чувствительность скалярной модели. Верхняя граница 5.54 часа относится к опорному состоянию, а не к любой возможной структуре. Нижняя граница 4.90 часа опирается на принятый предел внешней потери в 15%; независимого вывода этого предела здесь нет. Поэтому диапазон 4.90–5.54 часа — не доказанное наблюдательное ограничение; это окно, внутри которого принятые входные данные остаются согласованными.

120 km — также принятый параметр. Использование этого параметра для представления теплового расширения не заменяет расчёта по уравнению состояния (расчёта, прослеживающего, как плотность вещества меняется с давлением и температурой, слой за слоем). Установление расширения тела под давлением требует интегрирования структуры и плотности; линейная оценка, основанная на глубине слоя и коэффициенте расширения, не является замкнутой независимой основой. Список дальнейшей работы называет этот расчёт как направление исследований.

Это приложение описывает, как был поставлен двухслойный расчёт, лежащий в основе §A.4 и §A.4.1, и насколько можно доверять его числам. Оно обосновывает таблицу конечных периодов и радиусов коротации в зависимости от отношения плотностей $D$ (для $D=2$: 5.77 часа и 16,331 km) и значение $k=0.360$ из §B.6. Физическая идея — фигуристка, прижимающая руки: когда железо опускается к центру, момент инерции падает и при фиксированном моменте импульса вращение ускоряется.

Модель имеет два слоя: внутренний и внешний. $q$ — отношение внутреннего объёмного радиуса к внешнему, а $D$ — отношение их плотностей. Слои несжимаемы и находятся в общем вращении, так что вращаются вместе как одно тело. Объём конечного тела одинаков во всех сценариях; начальное состояние, используемое для задания $L_0$, остаётся однородным, так что каждый сценарий начинается с того же баланса и отличается лишь тем, как конечное тело распределило свою массу.

Для каждого сценария на обеих границах решается условие постоянного эффективного потенциала: каждая граница должна быть поверхностью равного суммарного гравитационного и центробежного потенциала, что является условием покоя жидкого слоя во вращающейся системе отсчёта. $I$ затем вычисляется непосредственно из плотности и формы, а не берётся из формулы для однородного тела. Здесь нет пути дифференциации во времени и нет уравнения состояния: расчёт сравнивает конечные состояния и не прослеживает опускание железа шаг за шагом.

Точность задают две проверки. Разрешение формам границ меняться (вместо того чтобы принуждать их быть точными сфероидами) изменило радиус не более чем примерно на 2.5 km при сканировании $q=0.55$ — мало по сравнению с радиусом коротации более 15,000 km. Изменение численного разрешения меняло радиусы на несколько метров; невязки поля сходятся не монотонно во всех проверках, поэтому утверждения о физической точности на уровне метров не делается. Результаты надёжны на уровне километров — на том уровне, на котором их использует статья.

Основной расчёт отделяет Луну в экваториальной плоскости. Это приложение спрашивает, что меняется, если точка отделения лежит вне экватора. Оно обосновывает уравнение баланса из §A.6.6 и приведённые там значения чувствительности. Суть геометрическая: вне экватора орбитальный момент импульса Луны и спиновый момент импульса Земли уже не направлены вдоль одной оси, а моменты импульса, направленные в разные стороны, складываются как стрелки, а не как простые числа.

В системе отсчёта, где $z$ — конечная ось вращения, а $\lambda$ — широта точки отделения, отсчитываемая от её экватора, полный момент импульса равен:

$$\mathbf{L}_{\mathrm{tot}}=(-H\sin\lambda,0,S+H\cos\lambda),\quad H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda.$$

Здесь $S$ — спиновый момент импульса Земли, направленный вдоль оси. $H$ — орбитальный момент импульса Луны: $\mu_{\mathrm{red}}$ — приведённая масса пары, $\omega$ — общая угловая скорость, а $r\cos\lambda$ — расстояние точки отделения от оси вращения: только это расстояние имеет значение для скорости, которую обеспечивает вращение. Орбитальная стрелка наклонена на $\lambda$ от оси вращения, поэтому у неё есть компонента $H\cos\lambda$ вдоль оси и компонента $-H\sin\lambda$ поперёк неё.

Длина полной стрелки находится возведением компонент в квадрат и сложением:

$$L_0^2=(H\sin\lambda)^2+(S+H\cos\lambda)^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.$$

Отсюда уравнение баланса из §A.6.6: начальный баланс должен равняться этой длине. При $\lambda=0$ оно сводится к простой сумме $L_0=S+H$ экваториального расчёта. Угол между вращением и полным моментом импульса равен:

$$\beta=\arctan\left(\frac{H\sin\lambda}{S+H\cos\lambda}\right).$$

Этот угол показывает, насколько конечная ось вращения Земли отклонена от оси всей системы, — исходная точка для наклонов, которые прослеживает Paper 4.

Для теста $q=0.55$, $D=1$, $\lambda=25^\circ$ получаем около 17,177 km и 3.85° в приближении пробной частицы или около 17,240 km и 3.84° с двумя массами. 25° — значение теста чувствительности, выбранное для того, чтобы показать величину поправки; принятая широта отделения — 22.5°, центр области контакта, и отделение там пересчитывается в Paper 4 (Орбита). Это предлагаемые результаты чувствительности, которые не заменяют опорных значений. Прежние числа 17,115 и 4.48° были отложены в журнале, поскольку требовали поправки на согласованность систем отсчёта: в них смешивались векторы, выраженные относительно разных осей. Это кинематическое уравнение не вычисляет, как ось меняется со временем; оно даёт состояние в один момент.

Полная документация, включая орбитальный материал, предназначенный для Paper 4: LEF_PaperI_Calculation2_Latitude25_HE.

Это приложение даёт основу для §A.7 и §B.7: два предела Роша и первую оценку того, насколько сильно прилив Земли нагружает молодую Луну. Предел Роша — это расстояние, внутри которого разность притяжения Земли на ближней и дальней сторонах спутника (приливное растяжение) превышает собственную гравитацию спутника, удерживающую его целым. Тело, свободно деформирующееся, как жидкость, вытягивается и тем самым увеличивает растяжение, действующее на него; его предел лежит дальше (коэффициент 2.44). Тело, сохраняющее свою форму, имеет предел ближе (коэффициент 1.26). Вопрос, на который отвечает это приложение, — насколько велика приливная нагрузка на расстоянии отделения и что ещё нужно, чтобы превратить эту нагрузку в результат о выживании.

Константы 1.26 и 2.44 и определения пределов сохранены из прежнего текста. Целенаправленная проверка источника для так называемого жёсткого коэффициента и области его применимости должна быть завершена до подачи. Он не содержит закона прочности для коры: жёсткий предел описывает тело, которое не меняет формы, не указывая, какая прочность вещества делает это возможным.

Оценка ускорения и деформации — сохранённый текст прежнего расчёта

Оценка сравнивает два ускорения. $\Delta a$ — приливное растяжение: разность притяжения Земли в центре тела и на его поверхности вдоль линии, направленной к Земле. $g_s$ — собственная поверхностная гравитация тела. Для радиуса тела $R_s=1{,}890$ km:

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3}, \qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

Растяжение падает как куб расстояния $r$: уменьшение расстояния вдвое увеличивает его в восемь раз. На 15,818 km получаем $\Delta a\simeq0.381$, $g_s\simeq1.373$ m/s² и отношение около 0.277. Отношение сравнивает приливное растяжение с собственной гравитацией: ниже единицы побеждает собственная гравитация, и на этом расстоянии прилив составляет немногим более четверти собственной гравитации тела. Отношение ниже единицы необходимо, но не решает вопроса для деформирующегося тела; деформация горячего тела за годы, проведённые им внутри жидкого предела, — это условие выживания из §D.3.

Следующий шаг переводит ускорение в напряжение, а напряжение — во время. Можно построить оценку напряжения:

$$\sigma_{\mathrm{tidal}}\sim\rho_s\Delta aR_s\sim1.9\times10^9\ \mathrm{Pa}, \qquad t_{\mathrm{strain}}\sim\frac{\varepsilon_*\eta}{\sigma_{\mathrm{tidal}}}.$$

Первое выражение — весовая нагрузка столба вещества тела плотностью $\rho_s$ и высотой $R_s$ под действием ускорения $\Delta a$. Второе показывает, сколько времени требуется веществу с вязкостью $\eta$ (его сопротивлением течению, в паскаль-секундах), чтобы достичь деформации $\varepsilon_*$ — относительного изменения формы — под этим напряжением: чем жёстче вещество, тем дольше.

Выбор $\varepsilon_*=0.5$ (изменение формы наполовину) и $\eta=10^{19}\ \mathrm{Pa\,s}$ даёт около 85 лет (при $\rho_s=2{,}600$ kg/m$^3$, $\Delta a\simeq0.381$ m/s$^2$ и $R_s=1{,}890$ km напряжение равно $1.87\times10^9$ Pa; более ранняя версия этой оценки давала $1.4\times10^9$ Pa и около 116 лет, что соответствует плотности тела около 1,950 kg/m$^3$). Это оценка деформации при постоянном представительном напряжении, а не расчёт времени разрушения. Необходимо исследовать реологию (как вещество отвечает на нагрузку во времени), форму, меняющееся напряжение и фактическое время пребывания.

Эта оценка сохраняется как параметрическая зависимость: она показывает, как время масштабируется с вязкостью и напряжением, чтобы читатель мог подставить другие значения. Само время пребывания относится к орбитальному расчёту и здесь не принимается. Третий расчётный документ собирает проверки Роша, нагрузки и орбиты и разграничение между результатом и открытым требованием: LEF_PaperI_Calculation3_Release_Survival_HE. Механическая нагрузка предназначена для Paper 3 (Механизм LEF на практике), а орбитальные таблицы — для Paper 4 (Орбита).

Это приложение указывает, компонент за компонентом, что статья берёт из прежней физики и что она добавляет. Оно обосновывает утверждение о новизне в §D.2. Таблицу следует читать построчно: первый столбец называет компонент аргумента, второй указывает, является ли он стандартной физикой, предшествующей работой или собственным применением статьи, а третий — как статья его использует. Закономерность намеренная: законы стары; новым является место, где они оцениваются, и то, как они объединены в одном связанном сценарии.

До подачи требуется также целенаправленное сравнение с предшествующими работами о синхронной устойчивости и равновесных состояниях для оценки приоритета; в частности, ссылки на Counselman, Hut и Grjebine & Marchal из прежнего журнала рецензирования здесь не отмечены как повторно проверенные. Это открытые библиографические задачи, а не новые результаты.

Тест редактора сохранён: для каждого центрального утверждения должен быть указан его статус, определены допущения и результат, раскрыта чувствительность и предоставлен путь к воспроизведению. Таблица центральных утверждений в §D.1 (в прежнем тексте обозначенная «Table E.4») вместе с таблицей допущений и требований в §D.3 заполняет эту структуру; отсутствие решения о выживании отмечено как открытое и не становится PASS.

Литература

[1] Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale University Press. Источник из существующего текста; точные ссылки на страницы для значений последовательности и коэффициентов Роша требуют уточнения до подачи.

[2] Ferraz-Mello, S., Rodríguez, A., & Hussmann, H. Tidal friction in close-in satellites and exoplanets. The Darwin theory re-visited. Авторская версия: https://arxiv.org/abs/0712.1156.

[3] Leconte, J., Chabrier, G., Baraffe, I., & Levrard, B. (2010). Is tidal heating sufficient to explain bloated exoplanets? Consistent calculations accounting for finite initial eccentricity. DOI: 10.1051/0004-6361/201014337.

[4] Efroimsky, M., & Makarov, V. V. (2013). Tidal Friction and Tidal Lagging. Applicability Limitations of a Popular Formula for the Tidal Torque. ApJ, 764, 26. DOI: 10.1088/0004-637X/764/1/26.

[5] Huré, J.-M. (2022). Nested spheroidal figures of equilibrium I. Approximate solutions for rigid rotations. Авторская версия: https://arxiv.org/abs/2202.11044.

[6] Darwin, G. H. (1879). On the precession of a viscous spheroid, and on the remote history of the Earth. DOI: 10.1098/rstl.1879.0073.

[7] Meier, M. M. M., Reufer, A., & Wieler, R. (2014, препринт). On the origin and composition of Theia: Constraints from new models of the Giant Impact. Авторская версия: https://arxiv.org/abs/1410.3819.

[8] Battin, R. H. (2008). The Two Body Problem. MIT 16.346, Lecture 1. https://ocw.mit.edu/courses/16-346-astrodynamics-fall-2008/resources/lec_01/.

[9] Yu, H., Lau, S. Y., Mckeever, E., Arras, P., & Weinberg, N. N. (2025). Dynamical tide modified Roche limit in eccentric, asynchronous binaries. Авторская версия: https://arxiv.org/abs/2508.20183.

Это приложение — полная версия таблицы вычислительной среды в начале статьи. Её назначение практическое: каждый расчёт серии выполняется для определённого момента и определённого места в сценарии, и таблица фиксирует, величина за величиной, что известно, что принято и что ещё открыто в каждый момент. Она предотвращает самую распространённую ошибку при реконструкции древнего состояния — заимствование значения у нынешней Земли или с другой стадии и подстановку его туда, где ему не место. Каждая строка имеет идентификатор (E01, E02, …), чтобы последующие статьи могли на неё ссылаться.

Как читать таблицу

Каждая строка имеет один из пяти статусов. Принято: входной параметр, выбранный в модели. Вычислено: результат при определённых допущениях. Воспроизведено: расчёт, код которого был запущен и воспроизведён, без того чтобы это подтверждало все его допущения. Открыто: ещё не определено или ещё не продемонстрировано. Нынешнее ограничение: данные о системе сегодня, предназначенные для ограничения древней реконструкции, а не измерение прошлого.

Столбцы следуют сценарию во времени. Стадии — не три отдельные системы: A — опорное состояние до разделения массы, когда лунное вещество ещё учитывается в Земле; B — построение и перенос, пока тело растёт и поднимается; C — состояние, близкое к отделению. Все числа в столбце C относятся к определённому связанному опорному состоянию, а не к уже полностью решённому эволюционному пути. Дифференциация, ненулевая широта или смешение источников вещества требуют дальнейшего согласованного расчёта.

Таблица разделена на блоки по темам: время, масса и геометрия; недра Земли, вращение и момент импульса; гравитация и место её измерения; тепло, вещество, течение и связь; и два более поздних обновления автора о летучих, остывании и хронологии.

Таблица среды — время, масса и геометрия

Этот первый блок фиксирует учёт: когда происходит сценарий, сколько имеется массы и какому телу приписана каждая часть, каковы размеры тел и где лежит источник. Его основное назначение — не допустить двойного учёта (одно и то же вещество никогда не должно помещаться одновременно в Землю и в Луну) и разделять размеры из разных опорных состояний.

Что устанавливает этот блок: одна масса системы, разделённая между двумя телами и, где нужно, третьим резервуаром вещества в пути; опорные размеры, относящиеся к заявленным плотностям и состояниям; и источник, представляющий собой широкую область, а не точку.

Таблица среды — недра Земли, вращение и момент импульса

Второй блок касается величин, задающих вращение и баланс: как масса распределена внутри Земли (коэффициент инерции $k$, равный 0.4 для однородной сферы и меньший, когда масса сконцентрирована к центру), момент инерции, период, ось вращения, полный момент импульса и радиус коротации. Это величины Частей A и B; блок фиксирует, какие значения относятся к опорному состоянию, а какие — к связанному состоянию вблизи отделения, чтобы они не смешивались.

Что устанавливает этот блок: вращение и радиус коротации меняются во время построения в обоих направлениях; два значения радиуса коротации в момент отделения (16,331 km для пробной частицы, 16,399 km для двух масс) — два приближения одного состояния; а три процента из E24 измеряют три разные вещи.

Таблица среды — меняющаяся гравитация и место измерения

Третий блок посвящён гравитации, которая в этом сценарии не является одним числом. По мере перехода массы от Земли к развивающемуся телу притяжение в данной точке меняется, и меняется по-разному вне Земли, на её поверхности, внутри неё и в связи между телами. Каждая строка называет одно место или компонент и указывает, что должен включать расчёт там. Цель — не допустить использования значения, правомерного в одном месте, в другом.

Что устанавливает этот блок: гравитация должна вычисляться по фактическому распределению массы в указанном месте и в указанный момент; центробежное и другие ускорения системы отсчёта добавляются только в указанной вращающейся системе отсчёта; а пределы Роша из E35 — опорные расстояния, причём выживание рассматривается как отдельное требование §D.3.

Таблица среды — тепло, вещество, течение и связь

Четвёртый блок переходит от механики к состоянию вещества: температура, тепло, давление, плотность, летучие, вязкость, внешняя оболочка и связь, а также то, что происходит после отделения. Это величины, которые нужны Paper 3 (Механизм LEF на практике), чтобы проверить, может ли вещество подниматься, может ли оболочка нести нагрузку и может ли сохраниться запись на поверхности. Блок фиксирует используемые рабочие значения и, столбец за столбцом, то, что ещё предстоит зафиксировать.

Что устанавливает этот блок: механические рабочие значения, которые использует Paper 3 (давления E39, оболочка E44, связь E47), фиксированное положение о том, что Луна в момент отделения жёсткая и круглая (E48), и явный перечень тепловых и вещественных величин, которые ещё предстоит определить. Сплющивание и скругление тела произошли раньше, пока оно ещё было прикреплено (Paper 7, Полюсы).

Карточка, сопровождающая каждый расчёт

Приведённая выше таблица превращается в рабочее правило: короткую карточку, которую любой расчёт серии указывает перед своим результатом, чтобы читатель сразу видел, какое состояние он описывает.

Перед уравнением или таблицей результатов укажите: (1) стадию и время; (2) точку измерения; (3) систему отсчёта и ось; (4) версию сценария; (5) массы и радиусы на той же стадии; (6) тепловые и вещественные входные данные; (7) неучтённые эффекты; (8) результат и чувствительность. Если каких-то данных недостаёт, расчёт помечается как условный или отложенный — значение нельзя без обоснования заимствовать из настоящего или с другой стадии.

Учёт массы записывается одним уравнением. Уравнение управления массой: $M_{\mathrm{total}}=M_E+m_{\mathrm{body}}+M_{\mathrm{transit}}+M_{\mathrm{escaped}}$, в соответствии с границами системы и резервуаров: Земля, развивающееся тело, вещество на пути между ними и любое вещество, потерянное системой. Если выбрана замкнутая система без потерь или вещество приписано за пределами одного из тел, это должно быть указано, а члены соответственно сокращены. Масса, входящая в GM, должна соответствовать определению резервуара в том же расчёте.

Объединённое гравитационное поле должно вычисляться по фактическому распределению массы. Приближение двух точечных масс допустимо только там и с той точностью, которые определены; это не полное описание недр Земли, связи или локальной аномалии. При разложении на фон и аномалию добавляется только разностная масса, чтобы никакая масса не учитывалась дважды.

Обновление автора — древний запас летучих и возвращающееся вещество

Это обновление добавляет в таблицу летучие — воду, газы и другие легко испаряющиеся вещества, — которые влияют на плотность, течение, остывание и возвращающееся вещество. Оно фиксирует картину автора и разграничения, которые должен сохранять любой последующий расчёт, не вычисляя пока количеств.

Явное указание автора: в рассматриваемом сценарии древний запас летучих значительно больше запаса, остающегося сегодня. Летучие присутствуют в веществе, из которого построена система, включая глубинное вещество и магму; часть летучих, перенесённых вместе с развивающимся телом, была потеряна в космос, а во время отрыва, согласно гипотезе, произошла дальнейшая потеря. Сейчас не требуется вычислять количества или скорости потерь.

Строки разделяют то, что легко смешать: сколько было летучего вещества (E54), где оно находилось (E55), в какой форме (E56), как оно было потеряно (E57), как потеря входит в учёт массы (E58) и как оно может быть связано с возвращающимся веществом, которое позднее падает на Луну (E59). E60 разделяет два свойства магмы — сопротивление течению и лёгкость, — которыми богатая пузырьками магма может обладать одновременно, но которые не являются одной и той же величиной.

Сводное обновление — цикл летучих, остывание и хронология

Второе обновление описывает, как молодая система остывала в ходе своего построения, и фиксирует порядок событий от активного построения до отдельного тела.

11 сентября 2026. Это обновление добавлено ко всему предыдущему содержанию; оно не заменяет таблиц E01–E60 и содержащихся в них разграничений. Документ теперь содержит 70 пунктов. Прежнее упоминание 53 величин описывает лишь исходную базовую таблицу.

Уточнение автора: в предлагаемой картине среды запас воды, представленный сегодня в морях и океанах, в начале сценария находился в испарённом состоянии, и система была богата летучими также внутри глубинного вещества. Происходит циклическое движение: богатое летучими вещество поднимается, остывает, и часть его возвращается вниз, нагревается и снова поднимается — подобно кастрюле супа на плите, где поверхность отдаёт тепло, а внутренность продолжает перемешиваться. Согласно гипотезе, цикл способствует остыванию внешней поверхности и сохранению записи, тогда как недра остаются горячими и подвижными.

Статус: это описание сценария, исследовать который просит автор. Оно не содержит проверенного количественного определения древнего запаса воды, состояния летучих на каждой глубине, длительности построения или способности к остыванию. Прежнее разграничение между допущением, результатом и данными сохраняется. Окно в 600 Myr нельзя без решения заменять другим коротким временем, и его нельзя представлять как измеренную длительность завершения.

Следующая таблица вводит цикл в среду строка за строкой: вода в начале (E61), сам цикл (E62–E64), его влияние на оболочку (E65), временное окно (E66), а также ослабление выбросов наружу, их прекращение при отрыве и их связь с внутренним питанием (E67–E70).

Хронология для описания — без вымышленных промежуточных времён

Хронология упорядочивает стадии, не присваивая дат промежуточным шагам, поскольку эти даты не вычислялись. Читайте каждую строку поперёк: она даёт для одной стадии состояние выбросов наружу, связи и тепла. Читайте столбец сверху вниз, чтобы проследить один процесс от начала до конца: выбросы ослабевают по мере роста груши, но продолжаются, пока тело прикреплено, и прекращаются при отрыве.

Как обновление связано с предыдущими таблицами

Приведённый ниже список связывает обновление со строками, которых оно касается, чтобы читатель, следящий за какой-либо одной величиной, мог найти каждое место, где она встречается.

• E01–E02: окно сценария и эпоха хранятся отдельно от ещё не определённых времён стадий.

• E37–E38 и E52: цикл летучих и путь потери тепла добавлены в тепловое описание; значения температуры и мощности по-прежнему открыты.

• E42 и E54–E58: запас, фаза, выделение и уход остаются отдельными величинами; растворённые летучие нельзя превращать в свободный пар на каждой глубине.

• E44–E46 и E50–E51: градиентная структура всей толщины оболочки, подвижность и сохранность записи сохраняются. Предложение цикла остывания не отменяет требования механического теста.

• E48 и E53: скругление завершается до отделения, как и разграничение между прикреплённым телом и телом на орбите после отделения.

• E60: вопрос о вязкости в сравнении с плотностью не был ни удалён, ни решён автоматически уточнением цикла пара.

Для будущего исследования, без открытия расчёта сейчас: тепловой поток через атмосферу; скрытая теплота при испарении и конденсации; влияние атмосферы на выход излучения; баланс воды и летучих между резервуарами; согласованность между остыванием, длительностью активности, подвижностью оболочки и сохранностью записей. Здесь не утверждается, что паровая атмосфера обязательно ускоряет остывание при всех условиях.

Использование инструментов ИИ: Автор использовал ИИ-ассистентов (Claude, Anthropic; ChatGPT, OpenAI; ИИ-ассистент поиска Google) для написания и запуска расчётных скриптов, анализа каталогов и карт, подготовки рисунков и таблиц, обсуждения сценариев, а также для языкового редактирования и перевода. Модель и её выводы принадлежат автору. Автор проверил содержание и несёт за него полную ответственность.