Tabla del entorno computacional

Los cálculos de este artículo describen un cuerpo progenitor terrestre temprano —la Tierra joven antes de que la Luna la abandonara— en el escenario LEF. Puesto que el sistema cambia durante el proceso (la masa pasa de un cuerpo al otro, y cambian la forma y el giro), cada número que sigue pertenece a un estado definido: el estado anterior a la división de la masa, un estado de referencia computacional usado para la comparación, o el estado final acoplado en la liberación. Mantener separados estos estados impide que un valor de un momento se use en otro. El Apéndice G contiene el entorno completo, E01–E70; la tabla de aquí recoge solo las magnitudes necesarias para el Artículo 2.

La tabla tiene tres columnas. La primera nombra la magnitud, la segunda da su valor o definición, y la tercera indica qué clase de número es: una hipótesis del sistema, una entrada elegida para el modelo, un valor calculado en este artículo o un valor usado solo para comprobar la sensibilidad del resultado. El lector puede usar la tercera columna para ver de inmediato qué números se introducen y cuáles se obtienen.

Algunas filas requieren una explicación. La masa del progenitor al inicio, 6.0455×10²⁴ kg, es simplemente la suma de la Tierra y la Luna actuales: no se supone que nada escape, de modo que toda la Luna fue en su día parte de la Tierra. El radio inicial, 6,517 km, es mayor que el de la Tierra actual porque una Tierra joven y caliente está expandida; la expansión adoptada es de 120 km. Un cuerpo fluido en rotación se abulta en su ecuador, y el modelo de Maclaurin —la forma de equilibrio clásica de un cuerpo fluido en rotación de densidad uniforme, una esfera achatada— convierte ese volumen en un radio ecuatorial de unos 6,721 km. La aproximación de partícula de prueba trata el cuerpo liberado como una pequeña partícula en el campo de la masa central, de modo que solo la masa de la Tierra entra en la fórmula; el valor acoplado de dos cuerpos (16,399 km en lugar de 16,331 km) muestra lo pequeña que es esta simplificación. Las filas de dos capas usan $q$, la razón entre el radio de la capa interna densa y el radio de todo el cuerpo, y $D$, la razón entre la densidad interna y la densidad externa; $D=1$ es un cuerpo uniforme y un $D$ mayor significa más hierro reunido hacia el centro. La fila de 25° es una prueba de sensibilidad, usada para ver cuánto cambia el resultado cuando la liberación no se sitúa en el ecuador; no es el valor adoptado, que es 22.5° (Artículo 4). Donde la tabla indica que una magnitud no tiene un valor único —temperatura, viscosidad, gravedad—, el artículo no toma prestado en su lugar un valor moderno. La ventana de construcción de 600 Myr es el escenario de trabajo de la serie: aproximadamente 400 Myr para el abultamiento y la pera, unos 100 Myr de achatamiento y unos 100 Myr hasta la liberación a 3.873 Ga. El Artículo 2 no calcula esta duración ni depende de ella.

En la práctica esto significa que los 7.35×10²² kg de la Luna se cuentan una sola vez. Antes de la transferencia están dentro de los 6.0455×10²⁴ kg de la Tierra; después son la Luna, y la Tierra conserva 5.972×10²⁴ kg.

Por qué la antigua objeción no se aplica. La fisión clásica pedía a la Tierra que lanzara material desde su propia superficie. En la superficie de un progenitor de 5.5 horas, la rotación proporciona unos 2,133 m/s, mientras que una órbita libre allí necesita unos 7,701 m/s (§A.1.2). La única manera de cerrar esa diferencia en la superficie es hacer girar toda la Tierra mucho más rápido, y un giro más rápido significa más momento angular: en el punto clásico en el que un cuerpo fluido en rotación se vuelve inestable (la bifurcación de Jacobi, §A.6.5), el progenitor necesita 2.74 veces el momento angular que tiene hoy el sistema Tierra–Luna, y el cálculo de referencia más antiguo, realizado en otro punto de la misma secuencia, daba unas cuatro veces. El sistema no tiene tanto, y por eso se abandonó la fisión. La ruta LEF cierra la diferencia de otro modo: no girando más rápido, sino llevando el material hacia fuera mientras gira con la Tierra. Su velocidad crece con la distancia a la misma tasa de giro, hasta que en el radio de corrotación iguala la velocidad orbital. El giro que la Tierra necesita para ello es el que habría tenido si se le devolviera todo el momento angular actual —unas 5.5 horas (§A.2)—, y el balance necesario es entonces 1.007 veces el actual. Una imagen cotidiana: un niño en un tiovivo que camina del centro al borde se mueve más rápido en el borde sin que nadie empuje el tiovivo con más fuerza.

Qué significan los requisitos. $k$ es el coeficiente de momento de inercia: mide cómo se reparte la masa de un cuerpo entre el centro y la superficie. Una esfera uniforme tiene $k=0.4$; la Tierra actual, con su núcleo de hierro, tiene unos 0.33. La ruta necesita $k\gtrsim0.397$ al inicio de la transferencia, es decir, un progenitor todavía en una etapa temprana de diferenciación: una Tierra cuya masa está menos concentrada hacia el centro almacena más rotación con el mismo giro. La organización del núcleo de la Tierra es un único proceso continuo que nunca se detuvo. Durante el abultamiento estaba en su comienzo; mientras crecía la pera, continuó; y tras la liberación prosiguió mientras la Tierra reabsorbía la pera. Probablemente nunca hubo un periodo totalmente uniforme: cuanto más temprana la etapa, menos diferenciada estaba la Tierra. El hierro puede haber empezado ya a reunirse en el núcleo al principio; el proceso continuó. La Tierra joven debe además estar caliente y, por tanto, ser mayor que hoy: es admisible una expansión de entre 98 y 520 km, y se adoptan 120 km. El cuerpo debe liberarse más allá del radio de corrotación y no exactamente sobre él: exactamente sobre la línea la marea es neutra y no da empuje en ningún sentido, mientras que un cuerpo situado incluso ligeramente más allá de la línea es empujado hacia fuera por la marea, de modo que se aleja desde el principio (Artículo 4); el margen necesario es pequeño, $\Delta r\simeq2d_0$, unos 210 km (Artículo 3, §C.5a). El límite de Roche fluido es la distancia por debajo de la cual la marea de la Tierra desgarraría un cuerpo cohesionado solo por su propia gravedad. Un cuerpo con resistencia interna sobrevive más cerca, hasta su límite rígido; la Luna en la liberación es rígida y redonda, con su achatamiento y su redondeo completados antes, cuando aún estaba unida (Artículo 7). La conexión entre los dos cuerpos —la pera— debe soportar la carga hasta la liberación. Estos requisitos no están ocultos en los resultados; se reúnen en §D.3, y el Artículo 3 los pone a prueba.

Introducción — Parte A: la condición de liberación en el contexto de los modelos existentes

Dos clases de evidencia atañen al origen de la Luna: cómo pudo su material alcanzar la órbita (la dinámica de la separación) y si su composición coincide con la del cuerpo del que procede. El trabajo de Darwin sobre las mareas y la rotación forma parte del trasfondo histórico para examinar la evolución del sistema Tierra–Luna [6]; su idea de la fisión —que una Tierra de giro rápido desprendió la Luna— es la forma clásica de un origen terrestre. En este artículo, la comparación cuantitativa con la fisión clásica se realiza mediante una configuración de equilibrio definida; un resultado para una configuración no debe convertirse en una cota para toda trayectoria posible. Dicho de otro modo, mostrar que una trayectoria de fisión concreta necesita demasiado momento angular no muestra que lo necesite toda trayectoria desde la Tierra.

En la familia de modelos del gran impacto, la Luna se forma a partir de restos después de que otro cuerpo golpee la Tierra, y la composición isotópica impone restricciones a la mezcla de material terrestre y del impactor. Existen distintas versiones del modelo, y las restricciones dependen de las composiciones y del modo de mezcla [7]. En el escenario LEF se examina la construcción a partir de un reservorio terrestre compartido: la Luna está hecha del propio material de la Tierra, de modo que una estrecha coincidencia isotópica se sigue directamente. Una fuente compartida proporciona una base para la comparación composicional, pero no sustituye a la prueba de la transferencia a la órbita. Esa prueba es el objeto de este artículo.

La pregunta concreta de este artículo es si llevar masa hacia fuera en rotación compartida cambia la condición de velocidad y el balance de momento angular con respecto a la liberación directa desde la superficie. La respuesta que da el artículo es que sí: la condición de liberación se traslada de la superficie al radio de corrotación, y tanto la velocidad como el balance encajan entonces. El mecanismo de construcción —la alimentación desde dentro y el ascenso de la corteza exterior como superficie del mismo cuerpo— es el objeto del Artículo 3, Mecanismo LEF en la práctica. El presente artículo define las condiciones físicas que debe cumplir. La división es deliberada: el Artículo 2 pregunta si la ruta es posible en principio, usando física estándar; el Artículo 3 muestra cómo se lleva a cabo.

Introducción — Parte B: lo que presenta el artículo

El artículo está construido como un conjunto de problemas seguidos de sus soluciones, de modo que cada objeción se responde en el lugar en que se plantea. La Parte A expone uno por uno los problemas que debe resolver la ruta: la diferencia de velocidad que llevó al rechazo de la fisión clásica, qué debe calcularse, la pera que conecta la Tierra con la línea de corrotación, la compensación entre la pera que se alarga y el núcleo centralizador, la propia corrotación, el balance de momento angular, el límite de Roche y la dirección de la evolución mareal. La Parte B los resuelve en el mismo orden, partiendo de un único cálculo. La Parte C resume lo que se ha mostrado; la Parte D reúne las tesis, las pruebas y los requisitos; la Parte E enuncia las conclusiones. Los Apéndices A–G ofrecen las derivaciones, los barridos de sensibilidad, los cálculos de Roche y el entorno computacional completo, de modo que cada número del texto principal pueda rastrearse y reproducirse.

El plano ecuatorial es el caso más sencillo: allí el giro arrastra el material con mayor rapidez y el radio de corrotación es una única distancia. La liberación desde una latitud más alta cambia algo los números, pero no el principio; la magnitud del cambio la muestra la prueba de sensibilidad de 25° de la tabla del entorno, y el caso adoptado de 22.5° se calcula en el Artículo 4.

Esta Parte expone la física que la ruta debe satisfacer, un problema cada vez. Comienza con la dificultad que cerró la ruta clásica de la fisión —un cuerpo que abandona la superficie de una Tierra de giro rápido no tiene la velocidad de una órbita— y pregunta luego, sucesivamente, dónde se alcanza esa velocidad, qué conecta la Tierra con ese lugar, cómo cambia el giro de la Tierra mientras el material se desplaza hacia fuera, si el momento angular es suficiente, si el cuerpo sobrevive a la marea de la Tierra y en qué dirección se mueve después. Cada sección termina con una magnitud definida que la Parte B calcula a continuación.

A.1El problema: la diferencia de velocidad

A.1.1Dos cuestiones dinámicas separadas

Un escenario de origen terrestre requiere una explicación de la transferencia de material desde el cuerpo progenitor a una órbita libre. Una coincidencia composicional puede respaldar una fuente compartida sin determinar cómo alcanzó el material la órbita: dos cuerpos pueden estar hechos del mismo material y dejar aún abierta la cuestión de cómo uno de ellos llegó a girar alrededor del otro. El foco de este artículo es, por tanto, la dinámica. La revisión histórica original se examina aquí comparando configuraciones de equilibrio definidas, y no afirmando que toda trayectoria de origen terrestre esté sujeta al mismo umbral de fisión.

Hay que mantener separadas dos cuestiones. La primera es en qué condiciones la velocidad del material es compatible con una órbita libre, es decir, si, en el momento en que se suelta, el material se mueve lateralmente con rapidez suficiente para seguir cayendo alrededor de la Tierra sin volver a caer sobre ella. La segunda es si el momento angular disponible al inicio del proceso permite el estado final y la evolución posterior. Cambiar la condición de liberación puede cambiar la prueba de velocidad, pero el balance global de momento angular debe seguir cumpliéndose. Una ruta puede superar la primera prueba y fallar la segunda, por lo que se calculan ambas.

Momento angular y momento de inercia. El momento angular es la cantidad de movimiento de rotación que lleva un cuerpo. Para un cuerpo en rotación es el producto de la rapidez con que gira y de cómo se reparte su masa alrededor del eje. El momento angular de giro es:

$$L_{\mathrm{spin}}=I\omega.$$

Aquí $\omega$ es la velocidad angular (el ángulo girado por segundo, $2\pi$ dividido por el periodo) y $I$ es el momento de inercia: la suma, sobre cada porción del cuerpo, de su masa por el cuadrado de su distancia al eje de giro. El momento de inercia mide a qué distancia del eje se encuentra la masa; la masa alejada del eje cuenta mucho más que la cercana, porque la distancia interviene al cuadrado. Para un cuerpo de masa $M$ y radio ecuatorial $a$ conviene escribir $I=kMa^2$, donde el coeficiente adimensional $k$ registra cómo está distribuida la masa: un cuerpo uniforme tiene $k=0.4$, y un cuerpo con un núcleo denso tiene un $k$ menor.

El momento angular se conserva: en un sistema sobre el que nada exterior ejerce una fuerza de torsión (un par), su total no puede cambiar; solo puede pasar de una parte del sistema a otra. Para el sistema Tierra–Luna, el único par exterior significativo es la marea levantada por el Sol, que retira aproximadamente un 1% a lo largo de la historia del sistema (§A.2). Esta conservación es lo que hace calculable el problema: todo lo que la Luna lleva hoy en su órbita tuvo que estar en su día en el giro del progenitor.

Transferir material hacia fuera en corrotación —es decir, mientras sigue girando con el progenitor a la propia velocidad angular del progenitor— exige que el progenitor aporte momento angular adicional a ese material, porque la misma velocidad angular a mayor distancia significa un mayor momento de inercia para ese material. En ausencia de un par exterior, se trata de una redistribución del momento angular existente: lo que gana el material lo pierde el giro del progenitor.

A.1.2Liberación desde la superficie

Examinamos primero el caso clásico: material soltado directamente desde el ecuador de un progenitor de giro rápido. En el estado de referencia el periodo es $T_0=5.5$ horas y el radio ecuatorial es $a_0\simeq6{,}721$ km. Por tanto, puesto que 5.5 horas son 19,800 segundos:

$$\omega_0=\frac{2\pi}{19{,}800}\simeq3.17333\times10^{-4}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$$

Hay que comparar ahora dos velocidades en el ecuador. La primera es la velocidad que la propia rotación da a un punto de la superficie, $v_{\mathrm{rot}}$: la velocidad angular por la distancia al eje. La segunda es la velocidad orbital circular $v_{\mathrm{circ}}$: la velocidad a la que un cuerpo libre a esa distancia seguiría cayendo alrededor de la Tierra en un círculo, con su tendencia centrífuga equilibrando exactamente la gravedad.

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega_0a_0\simeq2{,}133\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{a_0}}\simeq7{,}701\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$$

Incluso con un día de solo 5.5 horas, la superficie se mueve a menos de un tercio de la velocidad que allí requiere una órbita. La diferencia de velocidad, con el redondeo del cálculo de referencia original de este artículo, es de unos 5,568 m/s. Esta es la diferencia de velocidad.

¿Qué órbita seguiría ese material si simplemente se soltara? Sin una velocidad radial adicional, la energía específica (la energía orbital por kilogramo, cinética menos gravitatoria) y el semieje mayor (la mitad del eje largo de la elipse resultante) son:

$$\varepsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{GM_\oplus}{r}\simeq-5.70\times10^7\ \mathrm{J\,kg^{-1}}, \qquad A_{\mathrm{orb}}=-\frac{GM_\oplus}{2\varepsilon}\simeq3{,}495\ \mathrm{km}.$$

La energía es fuertemente negativa —el material está profundamente ligado— y el semieje mayor, 3,495 km, es aproximadamente la mitad del radio ecuatorial del progenitor. El punto de liberación es el punto más lejano de esta elipse, de modo que todo el resto de la trayectoria se encuentra muy dentro del progenitor. Con estas condiciones iniciales, la órbita kepleriana penetra en el cuerpo progenitor: el material simplemente vuelve a caer. La velocidad de la superficie por sí sola, por tanto, no proporciona una órbita libre que permanezca fuera de él. Este es el núcleo de la objeción clásica a la fisión: para cerrar la diferencia en la superficie, el progenitor tendría que girar varias veces más rápido, lo que exige mucho más momento angular del que contiene el sistema Tierra–Luna (§A.6.5).

Los números de §A.2 conservan la comparación de referencia original, en la que se usó GM de la masa final de la Tierra. No son un cálculo del campo exacto de todo el progenitor inicial. Esta definición distingue la comparación de referencia reproducida del balance global de §A.6.

A.1.3La condición de transferencia examinada

La ruta LEF no suelta el material en la superficie. En el escenario examinado, el material asciende mientras sigue unido y recibe momento angular, de modo que sigue girando con el progenitor a medida que se desplaza hacia fuera. Las dos velocidades se comportan entonces de forma opuesta. La velocidad $\omega r$ crece con la distancia, porque un punto que da una vuelta por día recorre un círculo mayor cuanto más lejos está, del mismo modo que un niño que camina hacia fuera en un tiovivo en movimiento es llevado cada vez más rápido. La velocidad orbital $\sqrt{GM/r}$ disminuye, porque la gravedad se debilita con la distancia y se necesita menos velocidad lateral para equilibrarla. La diferencia de §A.1.2 se estrecha, por tanto, a medida que el material asciende, y a una distancia determinada se cierra.

El artículo calcula el punto de igualdad y el coste en momento angular de la transferencia; el propio proceso de ascenso es una cuestión mecánica aparte. El Artículo 3, Mecanismo LEF en la práctica, examina la capacidad de transporte y la conexión; el cálculo detallado de presiones queda fuera del cálculo del balance presentado aquí. Las condiciones orbitales iniciales se remiten al Artículo 4, La órbita.

A.2Qué debe calcularse

El problema tiene ahora una forma definida. Deben calcularse cinco magnitudes: dónde se libera la Luna, con qué día terrestre, si el momento angular es suficiente, si el cuerpo sobrevive a la marea y si después se aleja.

Por qué 5.5 horas. El giro inicial no se elige libremente; se sigue de la conservación del momento angular aplicada hacia atrás. Todo el momento angular actual del sistema Tierra–Luna, $3.44\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$ —el giro de la Tierra junto con la órbita de la Luna—, se devuelve al giro de una Tierra joven, caliente y expandida, todavía en una etapa temprana de diferenciación ($k=0.4$ como entrada del cálculo). «Expandida» significa que la Tierra temprana caliente era algo mayor que la Tierra fría de hoy; «una etapa temprana de diferenciación» significa que la organización del núcleo solo había comenzado, de modo que la masa estaba repartida de forma casi uniforme y el valor uniforme $k=0.4$ la describe con precisión. Poner todo el balance en el giro de un cuerpo así da el periodo: $$T_0=\frac{2\pi I_0}{L}\simeq5.54\ \mathrm{h}.$$ En palabras: un cuerpo con momento de inercia $I_0$ que lleva un momento angular $L$ gira a $\omega=L/I_0$, y su periodo es $2\pi/\omega$. Desde entonces, las mareas solares han retirado aproximadamente un 1% del momento angular del sistema (alrededor de un 1.35% cuando se sigue el alejamiento de la Luna; Eulenfeld & Heubeck 2023; Canup 2004). Un periodo de 5.5 h lleva, por tanto, el momento angular actual más el 1% aproximado que se perdió: es ligeramente más corto que 5.54 h porque el sistema temprano contenía algo más. Un Sol joven más masivo en unas pocas unidades porcentuales eleva esta pérdida solo hasta un 1–2%.

A.2.1El estado de referencia

Para $GM_\oplus\simeq3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ y $T_0=5.5$ horas, la distancia a la que la velocidad de rotación iguala la velocidad orbital —el radio de corrotación, derivado en §A.5— y la velocidad común allí son:

$$\boxed{R_{\mathrm{sync},0}\simeq15{,}818\ \mathrm{km}, \qquad v_{\mathrm{sync},0}\simeq5{,}020\ \mathrm{m\,s^{-1}}.}$$

Este es el número central del artículo. A 15,818 km, más del doble del radio ecuatorial del progenitor, un cuerpo que da una vuelta cada 5.5 horas con la Tierra ya se mueve a 5,020 m/s, que es exactamente la velocidad de una órbita circular a esa distancia. Un cuerpo mantenido allí en corrotación y luego soltado no necesita ningún empuje adicional: ya está en órbita.

La distancia se mide desde el centro del cuerpo central en la aproximación de partícula de prueba, en la que la propia masa del cuerpo en órbita se desprecia en la atracción gravitatoria. Sustituir este radio en las dos fórmulas de velocidad confirma que las velocidades son iguales.

La derivación es una aplicación de las ecuaciones del movimiento en un campo central [8]. Si un estado inicial se calcula con la masa completa del progenitor, debe insertarse $M_{\mathrm{tot}}$ en la fórmula. El valor de 15,818 km sigue siendo la referencia definida en la tabla; la solución acoplada de §A.4 incluye explícitamente la división de la masa.

A.3La pera

El radio de corrotación se encuentra muy por encima de la superficie, de modo que algo debe llevar el material hasta allí mientras sigue girando con la Tierra. En el modelo, eso es la pera. La conexión es una colina que se eleva desde la Tierra: una base de unos 9,000 km de ancho en la superficie, unos flancos que forman un único arco sin estrechamiento, y un disco de contacto de 3,000 km de ancho en la Luna. Salva unos 7,800 km entre la superficie de la Tierra y la Luna y se encuentra por completo dentro de la línea de corrotación, de modo que es atraída hacia dentro: en todo punto de la pera, la gravedad es más fuerte de lo que la rotación necesita para mantener el material girando, por lo que el propio material de la pera queda sujeto por la Tierra y no sale despedido. Solo el cuerpo de su punta alcanza la línea. Su longitud y su masa son un requisito: la Luna fue liberada entera, de modo que debe existir una pera que cumpla las condiciones. Cómo se construye la pera y cómo soporta la carga es el objeto del Artículo 3.

La Figura 1 muestra las proporciones a escala: la amplia base de la pera sobre la Tierra, el único arco de sus flancos y la Luna en su punta con su centro sobre la línea de corrotación. El día de 5.77 h usado en el dibujo es el día en la liberación, calculado en §A.4.

A.4 La compensación: dos procesos que actúan conjuntamente

Antes de poder calcular el día terrestre en la liberación, deben tenerse en cuenta dos procesos que actúan sobre el giro de la Tierra al mismo tiempo y en sentidos opuestos. Esto importa porque el día en la liberación fija la posición de la línea de corrotación y, por tanto, dónde se suelta la Luna.

1. La pera se alarga. El material se desplaza hacia fuera con la rotación y lleva consigo momento angular; el momento angular que abandona la Tierra frena su giro. Un niño que camina hacia fuera en un tiovivo frena el tiovivo de la misma manera.

2. El núcleo se centraliza. La diferenciación es la separación de un cuerpo inicialmente mezclado en capas según su densidad: el hierro, el componente más denso, se hunde hacia el centro y forma un núcleo, mientras que el material más ligero queda por encima. En el modelo LEF, esta organización del núcleo es un único proceso continuo: había comenzado antes de la transferencia, continuó mientras crecía la pera y prosiguió tras la liberación. La rotación rápida acelera la diferenciación: el hierro se hunde hacia dentro y el momento de inercia de la Tierra disminuye, porque la masa se acerca al eje. Con menos momento de inercia y el mismo momento angular, el cuerpo debe girar más rápido. Como una patinadora que recoge los brazos, el giro se acelera.

El momento angular se conserva, y los dos procesos se compensan entre sí: el resultado es la compensación entre ambos. Un cálculo que tenga en cuenta solo uno de ellos no describe la Tierra de aquella época: la pera sola daría un día demasiado largo, y el núcleo solo, uno demasiado corto.

La tabla se lee fila por fila. La pera sola alargaría el día en 0.94 h y desplazaría la línea de corrotación hacia fuera unos 1,750 km, porque un giro más lento necesita una distancia mayor antes de que la rotación proporcione la velocidad orbital. El núcleo centralizador recupera 0.67 h. Juntos, el día se alarga solo 0.27 h, de 5.50 a 5.77 h, y la línea se desplaza hacia fuera solo moderadamente, hasta 16,331 km.

La Figura 2 muestra el mismo equilibrio gráficamente: la barra añadida por la pera y la barra restada por el núcleo, con el resultado neto entre ambas.

La Figura 3 sigue la línea de corrotación a medida que avanza la transferencia. Con la pera sola, la línea se desplaza continuamente hacia fuera; con el núcleo centralizándose al mismo tiempo, se mantiene mucho más cerca de su posición inicial.

A.4.1 El efecto de la diferenciación sobre el estado final

La concentración de la masa hacia dentro cambia el momento de inercia. Para comprobarlo, se calcularon conjuntamente los dos límites de capa, la densidad, la forma y el giro. Esto amplía la prueba de sensibilidad, y no se limita a sustituir $k$ dentro de una figura homogénea fija: un cuerpo que se diferencia cambia también su achatamiento, y el achatamiento a su vez cambia el momento de inercia, de modo que las cuatro magnitudes deben resolverse a la vez. Se permitió que los límites se apartaran de los esferoides; la limitación de la hipótesis esferoidal en sistemas estratificados se discute también en la literatura [5].

La estructura se describe con dos números. La razón de radios volumétricos $q$ es el radio de la capa interna dividido por el radio de todo el cuerpo; $q=0.55$ sitúa el límite un poco más allá de la mitad, de forma comparable al núcleo de la Tierra actual. La razón de densidades $D=\rho_{\mathrm{inner}}/\rho_{\mathrm{outer}}$ indica cuánto más densa es la capa interna que la externa: $D=1$ es un cuerpo uniforme, $D=2$ una capa interna el doble de densa que la externa. Cuanto mayor es $D$, más masa se sitúa cerca del centro y menor es el coeficiente $k$ (para $q=0.55$ y $D=2$, $k=0.360$; §B.6). Para una razón de radios volumétricos $q=0.55$, y una razón de densidades $D$, la aproximación de partícula de prueba da:

La tabla muestra una única tendencia constante: a medida que $D$ aumenta de 1 a 3, el día final se acorta de 6.438 a 5.274 horas y la línea de corrotación se desplaza hacia dentro de 17,569 a 15,382 km. La primera fila, $D=1$, es la pera actuando sola (sin centralización); la fila $D=2$ es el estado adoptado de §A.4. Con $D=2.5$ el núcleo centralizador anula casi exactamente el frenado causado por la pera, y el día vuelve aproximadamente a su valor inicial.

La diferenciación en la estructura final puede compensar parte del frenado del giro que acompaña a la transferencia. Las filas son estados posibles, no una secuencia de evolución en el tiempo. Todas las filas usan el mismo balance inicial para un progenitor homogéneo; no establecen que una estructura inicial concentrada proporcionaría ese balance. Las hipótesis, el barrido completo y las comprobaciones de convergencia se encuentran en el Apéndice C y en el documento de cálculo vinculado a él.

A.5 Corrotación

Esta sección deriva el radio de corrotación usado a lo largo de todo el artículo y enuncia dónde es válido su uso.

La Figura 4 representa las dos velocidades de §A.1.3 frente a la distancia al centro de la Tierra. La velocidad arrastrada por la rotación crece en línea recta; la velocidad orbital disminuye. Por dentro del cruce, la rotación da menos de lo que necesita una órbita y el material es atraído hacia dentro; por fuera, la rotación da más de lo que necesita una órbita y el material tiende hacia fuera. El cruce es la línea de corrotación.

La corrotación actúa sobre el centro de masa, no sobre el centro geométrico, porque el equilibrio entre gravedad y rotación se aplica al cuerpo en su conjunto, y todo el cuerpo se mueve como si su masa estuviera reunida en su centro de masa. Las fuerzas de corrotación pueden haber arrastrado la Luna ligeramente después de que su centro geométrico cruzara la línea, porque su centro de masa está desplazado ligeramente hacia la Tierra (hoy unos 2 km): el centro geométrico alcanza primero la línea, y el centro de masa un poco después; la Luna se libera ligeramente después de que cruce su centro de masa, unos 210 km más allá de la línea (§D.3; Artículo 3, §C.5a).

A.5.1 La derivación

En la aproximación de partícula de prueba, en el plano ecuatorial y en un campo central, la velocidad arrastrada por la rotación es la velocidad angular por la distancia; la velocidad orbital circular se obtiene igualando la atracción gravitatoria a la fuerza necesaria para mantener una masa $m$ sobre un círculo de radio $R$:

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega R, \qquad \frac{GMm}{R^2}=\frac{mv_{\mathrm{circ}}^2}{R}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM}{R}}.$$

La masa $m$ del cuerpo en órbita se cancela: la velocidad orbital a una distancia dada es la misma para un grano que para una Luna. Igualando las velocidades se obtiene:

$$\omega R=\sqrt{\frac{GM}{R}} \quad\Longrightarrow\quad \omega^2R^3=GM.$$

Despejando $R$, y escribiendo $\omega=2\pi/T$:

$$\boxed{R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{GM}{\omega^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}}$$

El resultado indica que el radio de corrotación depende solo de la masa del cuerpo central y de su periodo de rotación, y crece como el periodo elevado a dos tercios: un giro más lento desplaza la línea hacia fuera. Por eso la pera que se alarga desplaza la línea hacia fuera y el núcleo centralizador la hace retroceder (§A.4).

Para una masa y una velocidad angular positivas y constantes existe una única raíz positiva. Esta es la relación de órbita síncrona de la mecánica orbital estándar —la misma relación que sitúa los satélites geoestacionarios sobre la Tierra actual—; lo nuevo es dónde se evalúa. La objeción clásica evaluó la condición de velocidad en la superficie del progenitor; la ruta LEF la evalúa en el radio de corrotación.

A.5.2 La condición de liberación y el dominio de validez

La igualdad corresponde a una órbita circular ecuatorial cuando la velocidad radial es nula y cesan las fuerzas de contacto, es decir, cuando el cuerpo se mueve de forma puramente lateral y la conexión ya no lo empuja ni tira de él. Con velocidad adicional, o con una liberación fuera del ecuador, deben calcularse los vectores de las condiciones iniciales. El detalle orbital corresponde al Artículo 4; en este artículo se conserva solo la corrección necesaria para el balance de momento angular, en §A.6 y el Apéndice D.

Alcanzar la corrotación no anula el trabajo requerido para la elevación ni la transferencia de momento angular: la condición de velocidad se cumple en la línea, pero la energía y el momento angular deben seguir entregándose al material durante el trayecto. El campo de un progenitor achatado, el tamaño del cuerpo en desarrollo y la gravedad de dos cuerpos imponen también correcciones a la descripción central. La solución de §A.4 incluye una corrección concreta de dos cuerpos, pero no es una solución completa de dos figuras deformadas conectadas entre sí.

A.5.3 El significado de la condición para la liberación

La solución acoplada de §A.4 define un estado final del balance: cuánto momento angular hay en el giro de la Tierra y cuánto en la órbita de la Luna en el momento de la liberación. No determina por sí sola el comienzo del alejamiento a partir de él. Una velocidad radial añadida tampoco es condición suficiente para un alejamiento sostenido, porque cambia la excentricidad (lo alargada que es la órbita) y las mareas. El modelo de retardo y la reología (la descripción de cómo se deforma y fluye el material bajo carga) deben ser coherentes entre sí [3,4]. La dirección del empuje mareal a cada lado de la línea se expone en §A.8.

A.5.4 La frontera entre el Artículo 2 y el Artículo 4

El Artículo 2 fija la masa, el giro y el balance que se entregan a la prueba orbital. El Artículo 4 trata los elementos orbitales, la inclinación y la evolución tras la liberación. Aquí no hay un tiempo de alejamiento calculado, ni una prohibición general de una órbita libre dentro del radio de corrotación. En el escenario conectado, las ecuaciones del cuerpo libre deben sustituirse por las ecuaciones del estado conectado allí donde las ecuaciones del cuerpo libre dejan de aplicarse: mientras la Luna sigue unida a través de la pera, la sujeta la conexión y no es un cuerpo libre.

A.6El balance de momento angular

El problema de la velocidad está resuelto en el radio de corrotación. Queda la segunda cuestión de §A.1.1: ¿contiene el progenitor suficiente momento angular para situar allí la Luna y coincidir aún con el sistema que vemos hoy? Esta sección construye el balance paso a paso: el momento angular inicial del progenitor, el coste de desplazar el material hacia fuera, la comparación con el sistema actual, la sensibilidad al periodo, la expansión y la estructura, y la comparación con la ruta clásica de la fisión.

A.6.1El progenitor y el balance inicial

La masa inicial del progenitor es $M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m$. El material que se transferirá después sigue incluido en su momento de inercia. El progenitor se describe como un esferoide de Maclaurin: la forma de equilibrio de un cuerpo fluido uniforme en rotación estacionaria, achatado en los polos y abultado en el ecuador, simétrico respecto a su eje. Cuanto más rápido gira, más achatado está. En el modelo homogéneo de Maclaurin, con las hipótesis de la tabla, se obtiene [1]:

$$I_0=\frac{2}{5}M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_0=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

La primera línea es el momento de inercia de un esferoide uniforme ($k=2/5$) con el radio ecuatorial de 6,721 km; la segunda lo multiplica por la velocidad angular del día de 5.5 horas. El resultado, $3.466\times10^{34}$, es todo el balance de momento angular con el que debe trabajar la ruta. La ecuación de la forma y la sustitución completa se conservan en el Apéndice B. La uniformidad es la hipótesis de referencia; más abajo se pone a prueba un cambio de estructura.

A.6.2 El coste de la transferencia en el cálculo base

Antes de la transferencia, el material lunar forma parte del progenitor y gira con él, llevando su parte del momento angular del progenitor. Para un material que representa la distribución uniforme de la masa, su distancia cuadrática media al eje es la misma que la del progenitor, y su parte es:

$$L_{0,\mathrm{mat}}=m\omega_0\left\langle r_\perp^2\right\rangle =\frac25m\omega_0a_0^2\simeq4.21\times10^{32}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.$$

Aquí $\langle r_\perp^2\rangle$ es el promedio, sobre el material, de la distancia al cuadrado al eje de giro. Una vez que la misma masa se sitúa en el radio de corrotación y sigue girando con el progenitor, su momento angular es:

$$L_{\mathrm{orb},0}=m\omega_0R_{\mathrm{sync},0}^2\simeq5.83\times10^{33}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

unas catorce veces más, porque la distancia al eje ha crecido e interviene al cuadrado. La diferencia entre ambos debe aportarla el giro del progenitor. Como fracción de todo el balance:

$$\boxed{\frac{L_{\mathrm{orb},0}-L_{0,\mathrm{mat}}}{L_{\mathrm{initial}}}\simeq15.6\%.}$$

Aproximadamente una sexta parte del momento angular del progenitor se entrega al material durante la transferencia. Esta es la cantidad en la que la pera frena el giro del progenitor (§A.4) antes de tener en cuenta el núcleo centralizador.

En el cálculo base, una fuente superficial ecuatorial da alrededor de un 13.8%; una muestra representativa de una región interior similar a la mitad del radio original da alrededor de un 16.5%. La fuente importa porque el material que parte lejos del eje ya lleva más momento angular y necesita que se le añada menos. Una fuente interior concreta requiere su propia distancia cuadrática media. La palabra «interior» no debe tomarse como indicación de que se aplique necesariamente la media global.

A.6.3 Comparación con el sistema actual

El balance del progenitor debe compararse ahora con lo que contiene hoy el sistema Tierra–Luna. El total actual tiene dos partes: el giro de la Tierra y la órbita de la Luna. Las constantes de referencia copiadas de la fuente dan:

$$L_{\mathrm{spin}}=I_\oplus\omega_\oplus\simeq5.86\times10^{33},$$

$$L_{\mathrm{orbit}}=\mu_{\mathrm{red}}\sqrt{GM_{\mathrm{tot}}a_m(1-e_m^2)} \simeq2.855\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

donde $a_m=3.844\times10^8$ m y $e_m=0.0549$. La segunda fórmula es el momento angular orbital de dos cuerpos que giran alrededor de su centro común: $\mu_{\mathrm{red}}=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ es la masa reducida, $a_m$ el semieje mayor de la órbita lunar y $e_m$ su excentricidad. La suma de las magnitudes es de aproximadamente $3.441\times10^{34}$, de la cual alrededor del 83% es orbital: la mayor parte del momento angular del sistema se encuentra hoy en la órbita de la Luna, no en el giro de la Tierra. El excedente del balance del progenitor respecto a la suma de las magnitudes es de aproximadamente un 0.7%. El progenitor contenía algo más de lo que contiene hoy el sistema, que es el signo que exige la pequeña pérdida por mareas solares (§A.2).

El giro y el momento angular orbital son vectores, y no apuntan en la misma dirección: el eje de la Tierra está inclinado respecto al plano de la órbita lunar. Si el ángulo entre los vectores es $\theta$, la magnitud total es:

$$L_{\mathrm{vec}}=\sqrt{L_s^2+L_o^2+2L_sL_o\cos\theta}.$$

Sumar dos flechas que forman un ángulo da un total más corto que colocarlas una tras otra, de modo que el total vectorial es menor que la suma escalar y el excedente del progenitor sobre él es mayor. Para los ángulos de prueba 18.3°, 23.4° y 28.6° se obtienen excedentes de aproximadamente 1.46%, 1.92% y 2.51%. Los ángulos sirven como prueba de sensibilidad; aquí no se eligió ninguna época observacional ni se calculó una historia vectorial completa. El giro actual de la Luna es muy pequeño, pero su giro temprano era mayor, y ambos deben mantenerse separados.

El excedente depende de lo uniforme que fuera el progenitor. Con figura fija, variar $k$ da un umbral de aproximadamente 0.397 frente a la suma escalar y de aproximadamente 0.390–0.394 frente al intervalo vectorial: con $k$ por debajo de este valor, el balance del progenitor quedaría por debajo del actual. La Tierra diferenciada actual tiene un $k$ de aproximadamente 0.33, muy por debajo del umbral, de modo que la ruta requiere que el progenitor estuviera todavía en una etapa temprana de diferenciación cuando comenzó la transferencia; este requisito figura en §D.3. Se trata de una condición de sensibilidad, no de una familia estratificada de soluciones de Maclaurin. El excedente positivo significa que esta prueba no encuentra déficit de momento angular, pero ajustar la tasa de pérdida hacia el Sol requiere un cálculo adicional.

A.6.4 Sensibilidad al periodo y a la expansión

Un día inicial más corto significa más momento angular; un progenitor mayor (más expandido) tiene un momento de inercia mayor y contiene el mismo momento angular con un día más largo. El periodo inicial admisible depende, por tanto, de la expansión adoptada. En el modelo de referencia, la ventana de 4.90–5.54 horas se refiere al periodo inicial y a las condiciones adoptadas de balance y pérdida: a 5.54 horas el progenitor contiene exactamente el momento angular actual, y a 4.90 horas contiene alrededor de un 15% más, el límite adoptado para la pérdida hacia el exterior. Su techo no debe aplicarse al periodo final tras la transferencia de momento angular, que es más largo por construcción (§A.4). El Apéndice B conserva la tabla de sensibilidad original, con la distinción entre una expansión adoptada y un cálculo térmico aún no realizado.

La Figura 5 se lee como un mapa de los estados iniciales permitidos. El eje horizontal es cuánto se expandió el progenitor caliente respecto a su radio frío; el eje vertical es su día. Un estado inicial por encima de la línea continua contiene menos momento angular que el sistema actual y queda excluido; un estado por debajo de la línea discontinua contiene más de un 15% adicional, más de lo que puede retirar la pérdida exterior. La banda entre ambas es admisible, y asciende hacia la derecha porque un progenitor mayor contiene el mismo momento angular con un día más largo. El estado de referencia, 5.5 h con 120 km de expansión, se sitúa dentro de la banda, justo por debajo del techo.

A.6.5 Comparación de figuras de equilibrio

La objeción clásica a la fisión puede situarse ahora con exactitud. En la ruta clásica, toda la Tierra debe girar tan rápido que se vuelve inestable y se divide. Un fluido uniforme en rotación sigue una secuencia conocida de formas a medida que crece su momento angular. Al principio es un esferoide de Maclaurin (§A.6.1), achatado pero redondo en el ecuador. A un achatamiento determinado se ramifica una segunda familia: los elipsoides de Jacobi, cuyo ecuador ya no es un círculo sino una elipse, de modo que el cuerpo se alarga como un balón de rugby que gira de extremo a extremo. Más adelante en la secuencia de Jacobi aparece una figura en forma de pera, a partir de la cual se esperaba que procediera la fisión clásica. Cada uno de estos puntos requiere un giro definido y un momento angular definido.

En el punto clásico de bifurcación de Maclaurin a Jacobi, con $e\simeq0.81267$ y $\omega^2/(\pi G\rho)\simeq0.37423$, se obtiene para la masa y el volumen adoptados $T\simeq2.73$ horas, $a\simeq7{,}802$ km y un momento angular de aproximadamente $9.42\times10^{34}$, una razón de aproximadamente 2.74 respecto a la suma actual [1]. Aquí $e$ es la excentricidad de la sección meridiana (cero para una esfera, cercana a uno para un cuerpo muy achatado) y $\omega^2/(\pi G\rho)$ mide el giro frente a la propia gravedad del cuerpo. En términos sencillos: solo para alcanzar el primer paso de la trayectoria clásica, la Tierra necesitaría un día de menos de tres horas y casi tres veces el momento angular que contiene el sistema Tierra–Luna.

Se trata de una comparación con una configuración definida de esta trayectoria clásica. El valor 4.08 del cálculo de referencia original se refiere a otro punto de la secuencia de Maclaurin —el punto de $\Omega$ máximo, no la bifurcación de Jacobi— y no se presenta como una cota universal. Es el origen de la conocida afirmación de que la fisión necesita unas cuatro veces demasiado momento angular. El valor 3.5 para el punto en forma de pera no se adopta porque la verificación de la tabla no se ha completado.

La razón de la diferencia es el lugar donde se evalúa la condición de velocidad. La ruta clásica pide que la superficie del progenitor alcance la velocidad orbital (§A.1.2); eso empuja al progenitor hacia la ruptura, y la ruptura cuesta varias veces el momento angular disponible. La ruta LEF nunca usa esa condición: el material se lleva hacia fuera en corrotación y el ajuste de velocidades se realiza en el radio de corrotación (§A.5), donde un progenitor que da una vuelta cada 5.5 horas ya proporciona la velocidad orbital. Evaluado allí, el requisito se reduce al balance que el progenitor tiene realmente. La comparación es entre dos rutas hacia el mismo producto: la clásica necesita 2.74 veces el balance actual; esta necesita 1.007.

A.6.6 La corrección vectorial para una liberación fuera del ecuador

Hasta aquí se supuso que el material partía en el plano ecuatorial. Fuera del ecuador, el vector de giro y el momento angular orbital deben sumarse en el mismo sistema de referencia, porque la órbita de un cuerpo liberado a una latitud está inclinada respecto al giro. Sea $S=I\omega$ el momento angular de giro y $H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda$ el momento angular orbital del cuerpo liberado, donde $\lambda$ es el ángulo de liberación respecto al plano ecuatorial. Para la geometría definida en el Apéndice D:

$$\boxed{L_0^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.}$$

Es la misma regla para sumar dos flechas que forman un ángulo que en §A.6.3: el balance inicial debe igualar la suma vectorial del giro y de la órbita inclinada.

En el ejemplo $\lambda=25^\circ$ respecto al eje final y con una estructura homogénea, el cálculo acoplado de dos masas da un periodo final de 6.220 horas, una distancia de referencia de unos 17,240 km y un momento angular orbital de aproximadamente un 15.83% del balance. El valor de 25° es una prueba de sensibilidad de cuánto cambia el balance una liberación fuera del ecuador; la latitud de liberación adoptada, el centro del área de contacto, es 22.5° (Artículo 4). Se trata de una corrección de sensibilidad del balance, no de un nuevo valor de referencia adoptado. La derivación de la inclinación y la excentricidad, el perigeo y la evolución tras la liberación se remiten al Artículo 4.

A.6.7La condición de decisión del balance

La prueba requiere un estado inicial, un estado final y una transferencia exterior coherentes:

$$\mathbf{L}_i=\mathbf{L}_f+\Delta\mathbf{L}_{\mathrm{external}}.$$

La ecuación es la conservación del momento angular escrita como una cuenta: aquello con lo que comenzó el sistema es igual a lo que contiene ahora más lo que se retiró desde fuera (para el sistema Tierra–Luna, principalmente por la marea del Sol). Cerrar el balance numérico prueba la coherencia entre los estados definidos. No encontrar una coincidencia dentro de los intervalos respaldados de estructura y de transferencias exteriores descartaría este escenario de balance. Una coincidencia no establece cómo alcanza mecánicamente el cuerpo el estado final; ese es el objeto del Artículo 3.

El balance queda, por tanto, así: el progenitor de 5.5 horas contiene algo más de momento angular que el sistema actual, la transferencia cuesta aproximadamente una sexta parte de él, y la ruta clásica habría necesitado 2.74 veces más.

A.7El límite de Roche

Un cuerpo que alcanza el radio de corrotación debe además mantenerse cohesionado allí. Cerca de un progenitor masivo, la gravedad del progenitor tira con más fuerza de la cara cercana del cuerpo que de la cara lejana; esta diferencia, la fuerza de marea, tiende a estirar el cuerpo hasta separarlo. El límite de Roche es la distancia por debajo de la cual este estiramiento supera la propia gravedad del cuerpo que lo mantiene cohesionado. Un cuerpo sujeto solo por su propia gravedad no puede permanecer entero dentro de él.

A.7.1Dos límites de referencia

Para $\rho_s=2{,}600\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ y la masa del progenitor tras la partida:

$$d_{\mathrm{fluid}}=2.44\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq19{,}971\ \mathrm{km},$$

$$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq10{,}314\ \mathrm{km}.$$

(Una versión anterior daba 10,313 km; ambos valores coinciden dentro del redondeo, y la serie usa 10,314 km. Las Figuras 1, 6, 8 y 9 muestran el límite fluido como 19,972 km, el mismo valor dentro del redondeo.) El término entre corchetes es el radio que tendría una esfera de la masa de la Tierra si tuviera la densidad del satélite; el límite es un múltiplo fijo de él. Las dos fórmulas difieren solo en ese múltiplo, y la razón es física. La aproximación fluida se refiere a un cuerpo que se deforma: al ser estirado se alarga hacia el progenitor, sus extremos cercano y lejano se separan más, la diferencia mareal a través de él crece y cede antes; por eso el límite fluido se sitúa más lejos. La llamada aproximación rígida desprecia el cambio de forma: el cuerpo conserva su forma redonda, la diferencia mareal a través de él sigue siendo menor y sobrevive más cerca. No incluye espesor de corteza ni resistencia del material [1]; es un cuerpo sujeto solo por su propia gravedad que simplemente no cambia de forma. El radio base y los dos radios acoplados se sitúan entre estos límites: dentro del límite fluido, fuera del rígido. La mera presencia de una corteza no establece, por tanto, la supervivencia; la supervivencia depende de si el cuerpo se comporta como rígido en la escala de tiempo que pasa allí.

Los límites de Roche se desplazan hacia dentro a medida que aumenta la densidad del cuerpo, porque un cuerpo más denso se mantiene cohesionado con más fuerza. Una densidad de unos 4,700 kg por metro cúbico desplazaría el límite fluido hasta la distancia de liberación de unos 16,400 km; para el cuerpo rígido en la liberación se aplica el límite rígido (§B.7). Se trata de un requisito calculado en la aproximación de Roche, no de una evidencia de que el cuerpo alcanzara esa densidad ni de una solución a todos los requisitos de estabilidad.

A.7.2 Lo que enseña la comparación de aceleraciones

La comparación básica es entre el gradiente de gravedad del progenitor y la autogravedad:

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3},\qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

La primera magnitud, $\Delta a$, es la diferencia entre la atracción del progenitor en el centro del cuerpo y en su superficie, a una distancia $R_s$ más cerca; disminuye bruscamente, como el cubo de la distancia $r$. La segunda, $g_s$, es la propia gravedad superficial del cuerpo, que retiene su material. Cuando la primera es menor que la segunda, gana la propia gravedad del cuerpo. Con los datos de referencia del Apéndice E, la razón es inferior a la unidad (aproximadamente 0.277 a 15,818 km). Es una medida útil de la carga, pero el cambio de forma y la rotación no están incluidos en la razón. El límite de Roche estático proporciona una base de comparación; la respuesta en una órbita excéntrica puede depender también de la historia de deformación [9].

A.7.3Lo que sigue siendo condicional

El radio de corrotación no es un umbral de resistencia: alcanzarlo resuelve la velocidad, no la supervivencia. Las propiedades del cuerpo y de la conexión se examinan en el Artículo 3, y la órbita tras la liberación en el Artículo 4. El Artículo 2 no adopta ningún tiempo de permanencia vinculante en el dominio de Roche ni ningún umbral universal de viscosidad. La comparación debe usar la distancia más cercana de la órbita elegida, no solo la distancia de liberación. Repartir las pruebas entre los artículos no elimina el requisito de supervivencia.

La Figura 6 sitúa la Luna en la liberación frente a las dos familias de límites. Los límites rígidos para todo el intervalo de densidades se encuentran muy por dentro de la posición de la Luna; los límites fluidos se sitúan más allá de ella. La Luna en la liberación está, por tanto, a salvo como cuerpo rígido, y su achatamiento y su redondeo se completaron antes, cuando aún estaba unida (§B.7; Artículo 7).

A.8La dirección de la evolución mareal

La última pregunta de la Parte A es qué ocurre tras la liberación: ¿se aleja la Luna de la Tierra o vuelve a caer? La respuesta depende del lado de la línea de corrotación en que se encuentre.

A.8.1 La dirección de la transferencia de momento angular

Para una órbita directa, circular y ecuatorial, comparamos el giro del progenitor con el movimiento medio, la velocidad angular del cuerpo en órbita alrededor del progenitor:

$$n=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}.$$

El cuerpo en órbita levanta un abultamiento de marea en el progenitor. Cuando $\omega>n$, el progenitor gira más rápido de lo que orbita el cuerpo, y su rotación lleva el abultamiento por delante del cuerpo; el abultamiento tira del cuerpo hacia delante, le da momento angular, y el cuerpo asciende hacia fuera mientras el giro del progenitor se frena. En el lenguaje de las ecuaciones de marea, la contribución mareal disipativa en el progenitor transfiere momento angular de su giro a la órbita. Cuando $\omega<n$, el cuerpo adelanta al abultamiento, el abultamiento tira de él hacia atrás, y la dirección se invierte: el cuerpo pierde momento angular y desciende en espiral hacia dentro. En el sincronismo circular exacto, la contribución correspondiente se anula: el abultamiento permanece directamente debajo del cuerpo y no hay tirón hacia delante ni hacia atrás. Puesto que $n$ disminuye con la distancia y $\omega$ no, $\omega>n$ se cumple fuera del radio de corrotación y $\omega<n$ dentro de él. La línea de corrotación es, así, una divisoria: un cuerpo liberado justo más allá de ella es empujado hacia fuera desde el principio. La generalización a una órbita con inclinación y excentricidad requiere las ecuaciones de marea apropiadas [2,3].

La Figura 7 muestra la divisoria en acción en el Sistema Solar actual. Marte tiene dos pequeñas lunas a lados opuestos de su radio síncrono: Phobos, dentro, está siendo atraída hacia dentro; Deimos, fuera, se está alejando. El caso Tierra–Luna en la liberación es la misma regla aplicada a una Luna situada justo más allá de la línea.

Con la Parte A completa, los problemas quedan totalmente definidos: una diferencia de velocidad que se cierra en el radio de corrotación, una pera que alcanza ese radio, un día en la liberación fijado por dos procesos opuestos, un balance que debe cerrarse frente al sistema actual, una prueba de Roche que el cuerpo debe superar y una divisoria mareal que decide su dirección posterior. La Parte B los responde con un único cálculo.

La Parte A enunció las condiciones; esta Parte muestra que un único conjunto coherente de números las cumple todas a la vez. Esto importa porque cada condición tomada por separado puede cumplirse normalmente ajustando un parámetro, mientras que cumplirlas todas con la misma Tierra, la misma Luna y el mismo giro es una prueba mucho más exigente de la ruta.

B.1El cálculo

Entradas. Día terrestre inicial $T_0=5.5$ h (§A.2); un progenitor homogéneo y expandido de radio volumétrico 6,517 km y densidad 5,214 kg m$^{-3}$ (ecuatorial 6,721 km, polar 6,128 km); la Luna: una masa lunar, $m=7.35\times10^{22}$ kg, densidad 2,600 kg m$^{-3}$. «Homogéneo» significa que el progenitor se toma con densidad uniforme al inicio, una entrada del cálculo para un progenitor todavía en una etapa temprana de diferenciación; «expandido» significa que está caliente y, por tanto, es algo mayor que una Tierra fría de la misma masa (§A.2). Los radios ecuatorial y polar difieren porque un cuerpo que da una vuelta cada 5.5 h se abulta en el ecuador y se achata en los polos.

De la Parte A al estado de liberación, paso a paso. El estado de liberación se sigue de los procesos de la Parte A en cinco pasos. La tabla siguiente los reúne; sus filas se leen de arriba abajo, y el tono indica la dirección de cada paso: rojo para un paso que frena la Tierra y desplaza la línea de corrotación hacia fuera, azul para un paso que la acelera y desplaza la línea hacia dentro.

1. El punto de partida. Un progenitor con un día de 5.5 h tiene su línea de corrotación a 15,818 km (§A.2.1). La línea de corrotación es la distancia a la que un cuerpo que gira junto con la Tierra ya se mueve a la velocidad de una órbita circular libre.

2. La pera frena la Tierra. A medida que la pera se alarga, el material se desplaza hacia fuera mientras sigue girando con la Tierra, y lleva consigo momento angular. El momento angular es la «cantidad de rotación» de un cuerpo, su masa por su velocidad por su distancia al eje; sin un par exterior, su total se conserva. El momento angular que se va con el material se toma del giro de la Tierra, de modo que la Tierra gira más despacio: por sí solo, este paso alargaría el día de 5.50 a 6.44 h y desplazaría la línea hacia fuera hasta 17,569 km (§A.4).

3. El núcleo que se organiza acelera la Tierra. Al mismo tiempo, el hierro se hunde hacia el centro. Esto reduce el momento de inercia de la Tierra —la medida de lo lejos del eje que se encuentra su masa— y, como una patinadora que recoge los brazos, la Tierra gira más rápido. Con un núcleo el doble de denso que el manto que tiene encima ($D=2$), este paso resta 0.67 h al día.

4. El resultado neto. Los dos pasos actúan conjuntamente y se compensan en parte: el día en la liberación es de 5.77 h, y la línea de corrotación se sitúa a 16,331 km cuando la Luna se trata como partícula de prueba, o a 16,399 km cuando la propia masa de la Luna se incluye en la fórmula de dos cuerpos que sigue. Usamos el valor de dos cuerpos, redondeado a unos 16,400 km.

5. Liberación. La Luna empieza a separarse cuando su centro de masa alcanza esta línea. La lleva hasta allí la rotación, no es lanzada: a esa distancia, la velocidad que ya tiene como parte del sistema en rotación es la velocidad de una órbita libre, de modo que no se requiere ningún empuje adicional (§B.2).

El contenido cuantitativo de estos pasos es el siguiente.

1. El día terrestre en la liberación. La pera que se alarga y el núcleo centralizador actúan conjuntamente (§A.4); con $D=2$, $$T=5.77\ \mathrm{h},\qquad \Omega=\frac{2\pi}{T}=3.025\times10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}.$$ Aquí $T$ es la duración del día y $\Omega$ la velocidad angular del giro, el ángulo en radianes girado por segundo. El día es solo un cuarto de hora más largo que las 5.5 h iniciales, porque la aceleración debida al hierro que se hunde anula la mayor parte del frenado causado por la pera.

2. El punto de liberación. La Luna empieza a separarse cuando su centro de masa alcanza la línea de corrotación: $$r=R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{G\,(M_\oplus+m)}{\Omega^{2}}\right)^{1/3}\simeq16{,}400\ \mathrm{km}.$$ Esta es la fórmula de corrotación de §A.5.1, escrita para dos cuerpos: $G$ es la constante gravitatoria, $M_\oplus$ la masa de la Tierra y $m$ la de la Luna. En palabras, da la única distancia a la que una órbita circular tarda exactamente lo mismo que una vuelta de la Tierra. Incluir $m$ en la fórmula es lo que convierte 16,331 km en 16,399 km. El valor es aproximadamente 2.6 veces el radio terrestre actual. Con $R_m=\left(\tfrac{3m}{4\pi\rho}\right)^{1/3}=1{,}890$ km, el punto cercano se sitúa a 14,509 km y la cara lejana a 18,289 km del centro de la Tierra. $R_m$ es el radio de una esfera de una masa lunar con una densidad de 2,600 kg m$^{-3}$; restarlo de los 16,400 km del centro y sumarlo a ellos da la extensión de la Luna a lo largo de la línea Tierra–Luna.

3. La Tierra en la liberación (Maclaurin, homogénea): $$\frac{\Omega^{2}}{\pi G\rho_\oplus}=\frac{2\sqrt{1-e^{2}}\,(3-2e^{2})}{e^{3}}\arcsin e-\frac{6(1-e^{2})}{e^{2}} \quad\Rightarrow\quad a=6{,}701\ \mathrm{km},\ c=6{,}165\ \mathrm{km}.$$ Un esferoide de Maclaurin es la forma de equilibrio de un cuerpo fluido uniforme que gira de forma estacionaria: una esfera achatada en los polos. La ecuación relaciona el giro (lado izquierdo, con $\rho_\oplus$ la densidad media de la Tierra) con la excentricidad $e$, un número que mide el achatamiento (0 para una esfera, cercano a 1 para un disco plano). Resolverla para el giro de 5.77 h da el radio ecuatorial $a$ y el radio polar $c$. La Tierra en la liberación sigue, por tanto, claramente achatada, aunque algo menos que el progenitor de 5.5 h (6,721 y 6,128 km), porque ahora gira un poco más despacio. La separación entre la superficie ecuatorial de la Tierra y la Luna es de unos 7,800 km: el punto cercano de la Luna a 14,509 km menos el radio ecuatorial de 6,701 km. Esta es la distancia que debe salvar la pera (§A.3).

4. El momento angular. $$L_0=k_0Ma_0^{2}\Omega_0=3.466\times10^{34},\qquad L=I_\oplus\Omega+\mu\,\Omega\,r^{2}.$$ La primera expresión es el balance inicial del progenitor (§A.6.1, en kg m$^2$ s$^{-1}$): el coeficiente de momento de inercia $k_0$ (0.4 para un cuerpo uniforme), la masa, el cuadrado del radio ecuatorial y el giro inicial. La segunda expresión divide el mismo balance en la liberación en dos partes: el giro de la Tierra, $I_\oplus\Omega$, donde $I_\oplus$ es su momento de inercia, y la órbita de la Luna, $\mu\Omega r^2$, donde $\mu=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ es la masa reducida del par y $r$ la distancia de liberación. En la liberación, la órbita de la Luna contiene $5.9\times10^{33}$ (17%) y el giro de la Tierra $2.88\times10^{34}$; el sistema contiene 1.007 veces el valor actual (una versión anterior daba 1.008, a partir del total actual redondeado a $3.44\times10^{34}$; con el $3.441\times10^{34}$ de §A.6.3 es 1.007, el valor usado a lo largo de todo el artículo). El $5.9\times10^{33}$ se define como el momento angular orbital del par alrededor de su centro común, $\mu\Omega r^2$, con la masa reducida $\mu=7.26\times10^{22}$ kg y $r=16{,}399$ km sobre el ecuador. Contando la masa lunar completa $m$ alrededor del centro de la Tierra, como hace el Artículo 3, el mismo estado da $6.0\times10^{33}$; para una liberación a 22.5 ($r=17{,}287$ km, Artículo 4), donde la Luna gira a $r\cos22.5^\circ=15{,}971$ km del eje de giro, el mismo cómputo da $5.7\times10^{33}$ (Artículo 3). El 17% es el precio de la transferencia: la parte de la rotación original que ha pasado del giro de la Tierra a la órbita de la Luna. El total, 1.007 veces el actual, está ligeramente por encima del valor actual, que es el signo requerido, puesto que las mareas solares han retirado desde entonces aproximadamente un 1% del momento angular del sistema (§A.2).

La Figura 8 dibuja este estado a escala. Muestra lo cerca que está todavía la Luna de la Tierra en la liberación: la separación de unos 7,800 km la salva la pera de §A.3.

Lo que tenemos ahora es un estado de liberación completo: el día y la forma de la Tierra, la posición y el tamaño de la Luna, y el reparto del momento angular entre ambas. Las secciones siguientes contrastan este estado con cada problema de la Parte A.

B.2La diferencia de velocidad

El problema de §A.1 era que el material liberado desde la superficie de una Tierra de 5.5 h se mueve a unos 2,133 m s$^{-1}$, muy por debajo de los 7,701 m s$^{-1}$ de una órbita circular, una diferencia de unos 5,568 m s$^{-1}$. La diferencia se cierra con la distancia, porque la velocidad arrastrada por la rotación crece con la distancia mientras que la velocidad orbital disminuye. Sobre la línea de corrotación, la rotación da a la Luna exactamente la velocidad orbital, $$v=\Omega r=\sqrt{\frac{G(M_\oplus+m)}{r}}\approx4{,}960\ \mathrm{m\,s^{-1}},$$ de modo que no queda ninguna diferencia (§A.1, §A.5). El lado izquierdo es la velocidad de un punto que gira con la Tierra a la distancia $r$; el lado derecho es la velocidad de una órbita circular libre a la misma distancia; sobre la línea son iguales. El valor está un poco por debajo de los 5,020 m s$^{-1}$ de la referencia de 5.5 h (§A.2.1), porque la Tierra, algo más lenta, sitúa la línea más lejos, donde las velocidades orbitales son menores. La imagen cotidiana es la de una niña en un tiovivo: cuanto más lejos del centro se sienta, más rápido se mueve, sin que nadie la empuje.

B.3La pera

La pera salva unos 7,800 km y se encuentra por completo dentro de la línea de corrotación; la Luna se libera cuando su centro de masa alcanza la línea (§A.3; el mecanismo de liberación es objeto del Artículo 3, Mecanismo LEF en la práctica). Como la pera se encuentra dentro de la línea, la fuerza neta en el sistema en rotación la atrae hacia la Tierra (§B.5): permanece con la Tierra, mientras que la Luna, cuyo centro está sobre la línea, queda libre para separarse. Por eso la Luna parte entera y la conexión no se va con ella.

B.4La compensación

El cálculo tiene en cuenta ambos procesos conjuntamente: día terrestre de 5.77 h, línea de corrotación a 16,331 km (§A.4). Los 16,331 km son el valor de partícula de prueba del paso 4 de §B.1; incluir la propia masa de la Luna da los 16,399 km, unos 16,400 km, usados para el punto de liberación. Un cálculo con la pera sola daría 6.44 h y 17,569 km, y uno con el núcleo solo daría una Tierra demasiado rápida; solo ambos juntos describen la Tierra de aquella época.

B.5 Corrotación

El centro de masa de la Luna alcanza la línea de corrotación a unos 16,400 km; más allá de ella, la corrotación arrastra la Luna hacia fuera y esta se libera: $$a_{\mathrm{net}}=\Omega^{2}r-\frac{GM_\oplus}{r^{2}}.$$ Esta es la aceleración neta que siente el material que gira con la Tierra a la distancia $r$, vista en el sistema en rotación. El primer término es la aceleración hacia fuera (centrífuga) de la rotación, que crece con la distancia; el segundo es la gravedad de la Tierra, que disminuye con la distancia. Por dentro de la línea gana la gravedad y $a_{\mathrm{net}}$ apunta hacia dentro, por lo que la pera queda sujeta a la Tierra; sobre la línea ambas se equilibran; más allá de ella gana la rotación y el material es arrastrado hacia fuera. En cuanto el centro de masa de la Luna sobrepasa la línea, el cuerpo en su conjunto es arrastrado lejos de la Tierra, y se separa.

La Figura 9 amplía el momento en que comienza la separación. La línea se traza a través del centro de la Luna; la mitad cercana de la Luna sigue estando dentro de ella y la mitad lejana fuera.

B.6 El momento angular

El sistema contiene 1.007 veces el momento angular actual. En la liberación, el coeficiente de momento de inercia de la Tierra implicado por su momento angular de giro restante es $k=0.355$; una estructura de dos capas con $q=0.55$ y $D=2$ da $$k=\frac{2}{5}\,\frac{(1-q^{5})+Dq^{5}}{(1-q^{3})+Dq^{3}}=0.360.$$ El coeficiente $k$ describe cómo está distribuida la masa: 0.4 para una esfera uniforme, menor cuando la masa se reúne hacia el centro (la Tierra actual tiene unos 0.33). El valor 0.355 es el que debe tener la Tierra en la liberación si su giro de 5.77 h ha de llevar el $2.88\times10^{34}$ restante. La fórmula calcula $k$ para una Tierra de dos capas: una capa interna que llega hasta una fracción $q$ del radio, con una densidad $D$ veces la de la capa externa. Con $q=0.55$ y $D=2$ da 0.360, cerca del 0.355 requerido. El momento angular que exige el estado de liberación y la estructura producida por el hierro que se hunde concuerdan, así, entre sí. No se necesita ningún gran impacto desde fuera ni ninguna retirada posterior de momento angular; los modelos de impacto de alto momento angular parten de unas 2–3 veces el valor actual. La ruta cierra su balance con lo que contiene hoy el sistema Tierra–Luna más el 1% aproximado que las mareas solares han retirado desde entonces.

B.7El límite de Roche

El límite de Roche es la distancia por debajo de la cual el tirón mareal de un cuerpo grande, la diferencia de su gravedad entre la cara cercana y la cara lejana de un cuerpo menor, supera la propia gravedad del cuerpo menor y puede desgarrarlo. Dos formas clásicas lo acotan: $$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3},\qquad d_{\mathrm{fluid}}=2.44\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3}.$$ La forma rígida se aplica a un cuerpo que conserva su forma; la forma fluida, a un cuerpo que se deforma libremente y que, por ello, la marea estira más. En ambas, $\rho$ es la densidad del cuerpo pequeño: cuanto más denso es, más puede acercarse. El centro de la Luna a 16,400 km se encuentra muy por encima del límite rígido (9,484–12,994 km para 1,300–3,344 kg m$^{-3}$). La misma distancia se encuentra dentro del límite fluido para un cuerpo de 2,600 kg m$^{-3}$ (19,971 km, §A.7.1); cuál de los dos límites se aplica lo decide, por tanto, si la Luna es rígida en la liberación. El redondeo se completó antes de la liberación; el cuerpo es rígido y redondo. El achatamiento y el redondeo posterior del cuerpo lunar tuvieron lugar antes, cuando aún estaba unido (Artículo 7, Los polos); lo que abandona la línea es un cuerpo con una corteza exterior rígida. Un cuerpo rígido reduce la respuesta mareal en $$\frac{1}{1+\dfrac{19\mu}{2\rho gR}},$$ de modo que para $\mu\ge10$ GPa la razón de ejes es como máximo 1.04. Aquí $\mu$ es la rigidez (módulo de cizalla) del cuerpo, $g$ su gravedad superficial y $R$ su radio; $\rho gR$ es la presión del propio peso del cuerpo. El factor indica que un cuerpo cuya rigidez es grande comparada con la presión de su propio peso se deforma solo una pequeña fracción de lo que se deformaría un cuerpo fluido. Una razón de ejes de como máximo 1.04 significa que el eje más largo de la Luna supera al más corto en no más de un 4%: el cuerpo permanece redondo.

B.8La dirección de la evolución mareal

La Luna se libera sobre la línea de corrotación, y las mareas le transfieren momento angular desde el giro de la Tierra: se aleja (§A.8; la órbita es objeto del Artículo 4, La órbita). Exactamente sobre la línea, el efecto mareal es neutro, puesto que la Tierra da una vuelta en el mismo tiempo en que la Luna completa su órbita. La propia separación lleva el centro de masa de la Luna unos 210 km más allá de la línea, cuando algo más de la mitad de la Luna la ha cruzado (el margen $\Delta r\simeq2d_0$ de §D.3); allí la Tierra gira más rápido de lo que orbita la Luna, el abultamiento de marea levantado en la Tierra se adelanta a la Luna, tira de ella hacia delante, y la Luna se desplaza hacia fuera. Este es el lado de la divisoria en el que se encuentra hoy Deimos (Figura 7).

A qué distancia más allá de la línea. La distancia más allá de la línea es pequeña frente al radio de liberación, pero fija la forma de la primera órbita. Sobre la línea, la Luna lleva exactamente la velocidad de una órbita circular; más allá, algo más, de modo que el punto de liberación se convierte en el punto más cercano de una órbita ligeramente alargada, con una excentricidad $e_0$ que crece con la distancia. La tabla lo sigue a la latitud de liberación de 22.5°, donde la línea de corrotación se sitúa a 17,287 km, con el día de 5.77 horas; la órbita inicial procede de las fórmulas del Artículo 4 (Apéndice A) y el ángulo final de la ley de la tangente reducida del Artículo 4 (Parte D). «Cruzada» es la parte del volumen de la Luna que se encuentra más allá de la línea en la liberación.

Tabla B.8. Liberación a 22.5°: la órbita inicial y el ángulo final de la ley reducida a medida que la liberación se desplaza más allá de la línea de corrotación (Artículo 3, §C.5a). El azul marino se intensifica con el ángulo final; el verde marca el 5.145° observado, que es la liberación adoptada.

Una liberación exactamente sobre la línea da un círculo, y la marea lleva un círculo hacia fuera como un círculo; la excentricidad actual de la Luna exige, por tanto, una liberación un poco después de que su centro de masa haya cruzado. A unos 210 km, la ley reducida devuelve la inclinación observada, y el Artículo 3 (§C.5a) muestra que el mismo desplazamiento devuelve la excentricidad actual de 0.0549 para una Luna joven y caliente; la serie adopta esta liberación. El Artículo 3 ofrece la tabla de excentricidades y la sensibilidad a la latitud de la punta; la integración completa del Artículo 4 lleva el estado de liberación a lo largo de toda la historia.

Lo que tenemos ahora: el estado de liberación de §B.1 resuelve cada uno de los siete problemas de la Parte A con un único conjunto de números.

C.1 Lo que se ha mostrado

La tabla empareja cada problema de la Parte A con la respuesta dada en la Parte B. Se lee fila por fila; cada marca de verificación significa que el estado de liberación de §B.1 resuelve ese problema sin una hipótesis aparte.

Esta Parte reúne en un solo lugar lo que afirma el artículo, cómo se pone a prueba cada tesis y lo que la ruta exige de su mecanismo, de modo que estos puntos se encuentren aquí y no dispersos por el texto.

D.1Tesis centrales y pruebas

La tabla enumera las cinco tesis centrales. La primera columna nombra cada tesis e indica su estado; la segunda, lo que supone y predice; y la tercera, cómo se pone a prueba.

En palabras sencillas, las tesis son las siguientes.

• Corrotación. La tesis es que, en la línea de corrotación, la velocidad debida a la rotación iguala la velocidad orbital. Las correcciones que necesita el escenario (el campo de la Tierra achatada, el tamaño de la Luna, la atracción entre los dos cuerpos) se contrastan con esa igualdad.

• Cierre del momento angular. La tesis es que el balance inicial de $3.466\times10^{34}$ basta para una liberación a unos 16,400 km. El balance anterior a la liberación se ajusta al posterior a través de la estructura y de la pérdida por mareas solares.

• Sensibilidad a la estructura. La tesis es que un núcleo que se hunde cambia el día y la línea de la forma calculada (§A.4.1). El cálculo converge en una solución para cada estructura barrida.

• Momento angular no ecuatorial. La tesis es que una liberación fuera del ecuador cambia el balance solo en la corrección vectorial calculada (§A.6.6). Todos los vectores se suman en un único sistema de referencia.

• Supervivencia. La tesis es que la Luna sobrevive a la marea de la Tierra en la liberación. Esto se pone a prueba en los artículos siguientes.

No todas estas tesis son predicciones observacionales independientes: algunas son identidades físicas, otras pruebas de coherencia y otras requisitos sobre el mecanismo. La distinción se mantiene en el mapa de novedad del Apéndice F. Una identidad, como la fórmula de corrotación, no puede ser errónea si las entradas son correctas; una prueba de coherencia comprueba que los números cierran; un requisito es una condición que los artículos siguientes deben cumplir.

D.2La novedad del trabajo

La fórmula de corrotación, las figuras de Maclaurin, la conservación del momento angular y los límites de Roche son física previa. El trabajo examina su aplicación conjunta a una condición de transferencia conectada, con un cálculo coherente del cambio de masa, forma y giro y una presentación de los dominios de sensibilidad. «Transferencia conectada» significa que el material permanece unido a la Tierra y gira con ella hasta alcanzar la línea, en lugar de ser lanzado desde la superficie; esta es la condición de liberación bajo la cual no surge la objeción clásica a la fisión, un balance varias veces demasiado grande (§A.6.5). Una reivindicación completa de prioridad histórica requiere la comprobación de trabajos previos del Apéndice F; el éxito de la reproducción numérica no prueba la prioridad.

D.3Lo que se supone y se requiere

Las hipótesis y los requisitos que sostienen el argumento se reúnen aquí para no repetirlos junto a cada resultado. Cada fila da el valor adoptado o requerido.

Algunas filas requieren una explicación. La expansión térmica es la cantidad en la que la Tierra joven y caliente era mayor que una fría; 6,495 km es el radio volumétrico en el extremo inferior del intervalo admisible (98 km de expansión). La condición de liberación se lee así. Un cuerpo liberado exactamente sobre la línea de corrotación se encuentra en un estado mareal neutro; en cuanto se sitúa más allá de la línea, la marea lo empuja hacia fuera, de modo que la Luna se aleja desde el principio (Artículo 4, §B.2). La separación sitúa el centro de masa más allá de la línea con un margen $\Delta r\simeq2d_0$, donde $d_0$ es la escala de espesor de la conexión (Apéndice E, fila E47); el margen es de unos 210 km, $d_0\approx105$ km, fijado por la búsqueda de la distancia de liberación del Artículo 3, §C.5a (una versión anterior daba unos 100 km). La comparación del balance se hace de dos maneras: sumando los momentos angulares de giro y orbital como simples magnitudes (escalar), lo que da un excedente del 0.7%, y como vectores que forman un ángulo, lo que da 1.5–2.5% (una versión anterior daba 1.5–2.6%; el mayor de los tres ángulos probados da 2.51%); la suma escalar es la base y la suma vectorial una prueba de sensibilidad (§A.6.3).

Las tres primeras filas son valores adoptados con ventanas; las dos siguientes son requisitos que la ruta impone al Artículo 3; las dos últimas son las comprobaciones que realiza el propio artículo. Ninguna de las siete está oculta dentro de un resultado, y ninguna es necesaria para enunciar el radio de corrotación, que se sigue solo de la masa y del giro del progenitor.

Un cuerpo del tamaño de la Luna puede alcanzar la órbita a partir del propio material de la Tierra sin un gran impacto desde fuera. Una Tierra de giro rápido proporciona la velocidad; la pera conecta la Tierra con la línea de corrotación; la pera que se alarga y el núcleo centralizador fijan juntos el día terrestre en la liberación en 5.77 h; la Luna, rígida y redonda, se libera cuando su centro de masa alcanza la línea de corrotación a unos 16,400 km; el balance de momento angular cierra en 1.007 veces el valor actual, en coherencia con la pérdida por mareas solares; y la Luna se aleja desde el momento de la liberación.

Expresado como una sola cadena: la rotación de la Tierra lleva el material hacia fuera; la línea en la que la velocidad arrastrada iguala la velocidad orbital fija dónde parte la Luna; el equilibrio entre la pera y el núcleo fija dónde está esa línea; y el momento angular con el que comenzó la Tierra es suficiente, con alrededor de un 1% de margen para que el Sol lo retire después.

E.1Las conclusiones anteriores que se mantienen

Las siguientes conclusiones de versiones anteriores de este artículo siguen siendo válidas y se mantienen aquí, con sus valores de referencia originales.

1. La condición de liberación determina la prueba de velocidad; la liberación directa desde la superficie y la transferencia en corrotación son condiciones iniciales distintas. Una liberación desde la superficie deja una diferencia de velocidad (§A.1.2); una transferencia en corrotación no deja ninguna (§B.2).

2. El valor de referencia original es de unos 15,818 km con un periodo de 5.5 horas y en la definición de masa fijada para él. Es la línea antes de que comenzara la transferencia; el valor de liberación de unos 16,400 km es la línea después de que hayan actuado la pera y el núcleo (§B.1).

3. La aportación al material es de aproximadamente un 15.6% en la base y de un 16.5% en la solución acoplada; aproximadamente un 17.7% es el momento angular orbital final en la aproximación de partícula de prueba, para el estado acoplado con la pera sola ($D=1$, 6.44 h, 17,569 km); en el estado de liberación con $D=2$ la órbita de la Luna contiene aproximadamente un 17.0% (§B.1). Estos tres porcentajes miden magnitudes distintas: los dos primeros, el momento angular que el material debe ganar durante la transferencia (§A.6.2); el tercero, la parte del balance que contiene la órbita de la Luna al final.

4. La estructura interna y la geometría vectorial afectan al resultado, y por ello se incluyeron como pruebas de sensibilidad y no como valores pasados medidos.

5. La corrotación proporciona la velocidad y el balance. El desprendimiento mecánico más allá de la corrotación, el alejamiento sostenido y la supervivencia en el dominio de Roche son las tres condiciones que la ruta impone a su mecanismo; se reúnen en §D.3.

Trabajo futuro — aberturas para la investigación

Los cálculos de este artículo definen las entradas para un trabajo futuro que otros grupos de investigación están en condiciones de emprender. Cada punto nombra un cálculo que este artículo no realiza y el artículo de la serie que usaría su resultado.

1. El problema de Maclaurin estratificado. El estado final acoplado (§A.6.2) usa una figura uniforme con un coeficiente de inercia variable. Un tratamiento de Clairaut–Darwin–Radau de un progenitor con hierro descendente da de forma autoconsistente el radio de corrotación para el núcleo centralizador (unos 16,300–16,400 km con $D=2$), y entrega al Artículo 4 su órbita inicial. El método de Clairaut–Darwin–Radau es la forma estándar de calcular la forma de un cuerpo en rotación cuya densidad aumenta hacia dentro; sustituiría la forma uniforme usada aquí por otra que siga al hierro que se hunde.

2. La disipación de la Tierra temprana. El alejamiento desde unos 2.6 radios terrestres (16,400 km; 2.8 radios terrestres en el estado anterior de la pera sola, de 6.44 h) lo fijan $k_2/Q$ y su historia; el valor actual es anómalo. Aquí $k_2$ mide cuánto se deforma la Tierra bajo una marea y $Q$ cuánta energía mareal disipa; su cociente fija la rapidez con que se aleja la Luna. Modelos de resonancia oceánica ejecutados a partir del día de 5.77 horas de la liberación (en lugar del día de 6.4 horas del estado anterior de la pera sola) darían la función de tasa que requiere el Artículo 4.

3. La expansión térmica del progenitor. Los 120 km adoptados aquí (98–520 admisibles) son una estimación a partir de la profundidad del océano de magma y de la expansión del fundido; una integración con ecuación de estado de una Tierra temprana caliente y rica en volátiles la fijaría y, con ella, la ventana de rotación.

4. El comienzo del alejamiento. Un cuerpo liberado exactamente sobre la línea de corrotación siente un estado mareal neutro: la Tierra da una vuelta en el tiempo en que el cuerpo completa una órbita, y la marea ni lo empuja hacia fuera ni lo atrae hacia dentro. En cuanto el cuerpo se sitúa más allá de la línea, la marea lo empuja hacia fuera, de modo que la Luna se aleja desde el principio (§B.8; Artículo 4, §B.2). La separación deja el centro de masa más allá de la línea con el margen de liberación $\Delta r\simeq2d_0$, unos 210 km (§D.3, §E.1). Una integración mareal con una reología dependiente de la frecuencia en ambos cuerpos, partiendo del estado de liberación del Artículo 3, fijaría el intervalo del margen y la tasa del primer alejamiento. «Reología dependiente de la frecuencia» significa que la forma en que cada cuerpo cede a la marea depende de la rapidez con que cambia la marea.

5. Supervivencia dentro del límite de Roche fluido. La estimación de orden de magnitud de la deformación del apéndice «Estimación de la aceleración y de la deformación» no es una solución de deformación. Un cálculo viscoelástico del cuerpo rígido de 1,890 km a unos 16,400 km de la Tierra, a lo largo de los $10^1$–$10^3$ años que pasa allí, la sustituiría. Un cálculo viscoelástico trata el cuerpo como elástico en tiempos cortos y como un fluido lento en tiempos largos, que es como se comporta un cuerpo caliente con una corteza exterior rígida.

6. La ruta clásica. El factor 2.74 en la bifurcación de Jacobi está calculado; el punto en forma de pera a lo largo de la secuencia de Jacobi requiere verificar los valores tabulados, y un cálculo moderno de la secuencia para esta masa y esta densidad lo resolvería. La secuencia de Jacobi es la familia de formas de equilibrio alargadas, de tres ejes, a las que pasa un cuerpo fluido de giro rápido más allá de las formas de Maclaurin (§A.6.5).

Disponibilidad del código

Todos los resultados numéricos de este artículo se reproducen con los scripts del paquete de reproducción LEF (Python 3, numpy, scipy), que imprime los valores de cada sección a partir de las entradas indicadas en el texto. El paquete se adjunta a esta prepublicación como material complementario (LEF_code_and_data.zip). Una versión anterior de la serie y del paquete está depositada en doi:10.5281/zenodo.22743615.

Este apéndice fija las definiciones en las que descansa cada número del artículo. Sustenta el radio de corrotación de §A.2.1 y §A.5 (15,818 km para la referencia de 5.5 horas) y la distancia de liberación de §B.1. El lector que desee comprobar cualquier resultado debería empezar aquí, porque la mayoría de los desacuerdos aparentes entre reproducciones proceden de una elección distinta de masa, distancia o constante, no de una física distinta.

La derivación completa breve se encuentra en §B.1. Hay que mantener separadas dos masas. $M_{\mathrm{tot}}$ es la masa inicial total: la Tierra y el material lunar juntos, antes de que nada de él haya partido. $M_\oplus$ es la masa final del progenitor: la Tierra después de que el material lunar se haya asignado al segundo cuerpo. Usar una donde corresponde la otra cuenta la masa lunar dos veces o ninguna.

También hay que mantener separadas dos distancias. Un radio relativo al centro del progenitor no es un radio relativo al centro de masa del sistema; en cuanto existe un segundo cuerpo con masa real, los dos cuerpos giran alrededor de su centro de masa común, que se encuentra ligeramente apartado del centro de la Tierra. En el caso de dos cuerpos, la distancia $r$ es entre los centros, y el parámetro gravitatorio (el producto de la constante gravitatoria por la masa que atrae) es $G(M_\oplus+m)$, porque cada cuerpo orbita bajo la atracción del otro y el movimiento relativo está gobernado por la suma de las masas.

Las constantes son las entradas reproducidas de la fuente, no un nuevo ajuste a unas efemérides (una tabla de posiciones observadas). Cambiar la definición de la masa requiere, por tanto, un nuevo cálculo, no un cambio silencioso de la etiqueta 15,818: ese número pertenece a una definición enunciada, y una definición distinta produce un número distinto.

Este apéndice deriva la forma y el momento angular de la Tierra joven antes de que comience la transferencia. Sustenta el balance inicial $L_0\simeq3.466\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$ de §A.6.1 y §B.1, la comparación con el sistema actual de §A.6.3 y la región admisible de la Figura 5 de §A.6.4. Los pasos son: fijar la masa y el tamaño; hallar la forma achatada que adopta un cuerpo uniforme con un giro de 5.5 horas; calcular su momento de inercia; multiplicar por la tasa de giro.

Appendix B.1Derivación de la estructura inicial — el texto base conservado

Paso 1: la masa. Adoptamos $G=6.674\times10^{-11}$, $M_\oplus=5.972\times10^{24}$ kg y $m=7.35\times10^{22}$ kg. Antes de la transferencia, el material lunar sigue formando parte de la Tierra, de modo que el progenitor contiene ambos. En el código se conserva la suma exacta de los valores adoptados:

$$M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m=6.0455\times10^{24}\ \mathrm{kg}.$$

Su valor redondeado en la fuente es $6.045\times10^{24}$. La diferencia de redondeo explica pequeñas diferencias entre reproducciones; no es una diferencia física.

Paso 2: el tamaño. El radio de referencia definido a través de la densidad terrestre media es de unos 6,397 km: es el radio que tendría toda la masa inicial con la densidad de la Tierra actual. La Tierra joven del modelo está caliente y expandida. Una adición adoptada de 120 km da un radio volumétrico $R_{V,0}=6{,}517$ km (el radio de una esfera con el mismo volumen que el cuerpo achatado) y una densidad de unos 5,214 kg por metro cúbico.

Paso 3: la forma. Un cuerpo fluido uniforme que gira se asienta en una figura achatada, más ancha en el ecuador que a través de los polos. Para un cuerpo de densidad uniforme, esta figura es un esferoide de Maclaurin, y su forma la fija una única ecuación [1]:

$$\mathcal M(e)=\frac{2\sqrt{1-e^2}}{e^3}(3-2e^2)\arcsin e -\frac{6(1-e^2)}{e^2}, \qquad \frac{\omega^2}{\pi G\rho}=\mathcal M(e).$$

En palabras: el lado izquierdo, $\omega^2/(\pi G\rho)$, mide la rapidez con que gira el cuerpo comparada con la fuerza con que su propia gravedad lo mantiene cohesionado ($\omega$ es la velocidad angular, $\rho$ la densidad). El lado derecho, $\mathcal M(e)$, es el achatamiento que exige ese equilibrio, escrito a través de la excentricidad $e$ de la sección meridiana: $e=0$ es una esfera, y $e$ crece a medida que el cuerpo se achata. Dados el giro y la densidad, la ecuación se resuelve para $e$.

Una vez conocido $e$, el radio ecuatorial $a$ y el radio polar $c$ se siguen del radio volumétrico:

$$a=\frac{R_V}{(1-e^2)^{1/6}}, \qquad c=R_V(1-e^2)^{1/3}.$$

Estas dos expresiones mantienen fijo el volumen: $a^2c=R_V^3$, de modo que el cuerpo se achata sin ganar ni perder material.

Para un giro dado por debajo del máximo, la ecuación de Maclaurin tiene dos soluciones, una ligeramente achatada y otra fuertemente achatada. Un cuerpo acelerado gradualmente a partir de una esfera sigue la primera. En la rama próxima a la forma esférica se obtiene $e_0\simeq0.4107$, $a_0\simeq6{,}721$ km y $c_0\simeq6{,}128$ km: un ecuador unos 600 km más alejado del centro que los polos.

Paso 4: el momento de inercia y el momento angular. El momento de inercia mide lo difícil que es poner a girar un cuerpo, y depende de lo lejos del eje que se encuentre su masa. Para un esferoide uniforme que gira alrededor de su eje corto es $\frac25$ de la masa por el cuadrado del radio ecuatorial. El momento angular es el momento de inercia por la velocidad angular:

$$I_0=\frac25M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_{\mathrm{initial}}=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

Aquí $\omega_0=2\pi/19{,}800$ s$^{-1}$, la velocidad angular de un día de 5.5 horas. Este número recuadrado es todo el balance del que puede disponer la transferencia; §A.6 lo compara con el sistema Tierra–Luna actual.

La densidad uniforme es una entrada del cálculo. Describe un progenitor todavía en una etapa temprana de diferenciación: el hierro puede haber empezado ya a reunirse en el núcleo al principio, y la organización del núcleo continuó durante la transferencia y tras la liberación. Un cuerpo que no ha completado la diferenciación no es necesariamente uniforme; el efecto de las desviaciones respecto a la densidad uniforme se examina más abajo en una prueba de sensibilidad (Apéndice C y §A.4.1).

Appendix B.2El barrido original de la expansión

La expansión de 120 km es un valor adoptado, de modo que la cuestión es cuánto depende de ella el resultado. La tabla lo responde. Cada fila da una expansión; la segunda columna es el radio volumétrico resultante; la tercera es el excedente del balance inicial sobre el actual si el día es de 5.5 horas; la cuarta es el día inicial más largo con el que el balance sigue igualando el actual (el techo escalar). Leyendo la tabla hacia abajo: a medida que crece la expansión, el cuerpo se hace mayor, su momento de inercia aumenta, y tanto el excedente como el techo crecen con él.

Dos filas marcan los bordes del intervalo admisible. Sin expansión, el balance queda un 3.3% por debajo del actual, de modo que un progenitor no expandido que girase a 5.5 horas no podría proporcionar el sistema actual. A 98 km, el balance iguala exactamente el actual; esta es la menor expansión que funciona. A 520 km, el excedente alcanza el 15%, el límite adoptado para lo que pudo perderse después hacia el Sol. El intervalo de 98–520 km de §D.3 procede de estas dos filas.

La tabla se conserva de la tabla fuente como sensibilidad del modelo escalar. El techo de 5.54 horas pertenece al estado de referencia, no a toda estructura posible. El suelo de 4.90 horas descansa en un tope adoptado de pérdida exterior del 15%; aquí no hay una derivación independiente de ese tope. El intervalo de 4.90–5.54 horas no es, por tanto, una restricción observacional probada; es la ventana dentro de la cual las entradas adoptadas siguen siendo coherentes.

Los 120 km son también un parámetro adoptado. Usar este parámetro para representar la expansión térmica no sustituye un cálculo con ecuación de estado (un cálculo que sigue cómo cambia la densidad del material con la presión y la temperatura, capa a capa). Establecer la expansión de un cuerpo bajo presión requiere integrar la estructura y la densidad; una estimación lineal basada en la profundidad de la capa y en un coeficiente de expansión no es una base independiente cerrada. La lista de trabajo futuro nombra este cálculo como una abertura para la investigación.

Este apéndice describe cómo se planteó el cálculo de dos capas en que se basan §A.4 y §A.4.1, y hasta qué punto son fiables sus números. Sustenta la tabla de periodos finales y radios de corrotación frente a la razón de densidades $D$ (para $D=2$: 5.77 horas y 16,331 km), y el valor $k=0.360$ de §B.6. La idea física es la de la patinadora que recoge los brazos: cuando el hierro se hunde hacia el centro, el momento de inercia disminuye y, con el momento angular fijo, el giro se acelera.

El modelo tiene dos capas: una interna y una externa. $q$ es la razón entre el radio volumétrico interno y el externo, y $D$ es la razón entre sus densidades. Las capas son incompresibles y están en rotación compartida, de modo que giran juntas como un solo cuerpo. El volumen del cuerpo final es fijo en todos los escenarios; el estado inicial usado para fijar $L_0$ sigue siendo homogéneo, de modo que todos los escenarios parten del mismo balance y difieren solo en cómo ha dispuesto su masa el cuerpo final.

Para cada escenario se resuelve un potencial efectivo constante en ambos límites: se exige que cada límite sea una superficie de igual potencial gravitatorio y centrífugo combinado, que es la condición para que una capa fluida esté en reposo en el sistema en rotación. $I$ se calcula entonces directamente a partir de la densidad y la forma, no se toma de una fórmula para un cuerpo uniforme. Aquí no hay una trayectoria de diferenciación en el tiempo ni una ecuación de estado: el cálculo compara estados finales, y no sigue paso a paso el hundimiento del hierro.

Dos comprobaciones fijan la precisión. Permitir que varíen las formas de los límites (en lugar de obligarlas a ser esferoides exactos) cambió el radio hasta en unos 2.5 km en el barrido de $q=0.55$, poco frente a un radio de corrotación de más de 15,000 km. Cambiar la resolución numérica cambió los radios en unos pocos metros; los residuos del campo no convergen de forma monótona en todas las comprobaciones, por lo que no se afirma una precisión física a nivel de metro. Los resultados son fiables a nivel de kilómetro, que es el nivel en que los usa el artículo.

El cálculo principal libera la Luna en el plano ecuatorial. Este apéndice pregunta qué cambia si el punto de liberación se encuentra fuera del ecuador. Sustenta la ecuación del balance de §A.6.6 y los valores de sensibilidad citados allí. La cuestión es geométrica: fuera del ecuador, el momento angular orbital de la Luna y el momento angular de giro de la Tierra ya no apuntan a lo largo del mismo eje, y los momentos angulares que apuntan en direcciones distintas se suman como flechas, no como simples números.

En un sistema de referencia en el que $z$ es el eje de giro final, y $\lambda$ es la latitud del punto de liberación medida respecto a su ecuador, el momento angular total es:

$$\mathbf{L}_{\mathrm{tot}}=(-H\sin\lambda,0,S+H\cos\lambda),\quad H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda.$$

Aquí $S$ es el momento angular de giro de la Tierra, a lo largo del eje. $H$ es el momento angular orbital de la Luna: $\mu_{\mathrm{red}}$ es la masa reducida del par, $\omega$ la velocidad angular común y $r\cos\lambda$ la distancia del punto de liberación al eje de giro; solo esa distancia cuenta para la velocidad que proporciona la rotación. La flecha orbital está inclinada $\lambda$ respecto al eje de giro, de modo que tiene una componente $H\cos\lambda$ a lo largo del eje y una componente $-H\sin\lambda$ transversal a él.

La longitud de la flecha total se halla elevando al cuadrado y sumando las componentes:

$$L_0^2=(H\sin\lambda)^2+(S+H\cos\lambda)^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.$$

De ahí la ecuación del balance de §A.6.6: el balance inicial debe igualar esta longitud. Con $\lambda=0$ se reduce a la suma simple $L_0=S+H$ del cálculo ecuatorial. El ángulo entre el giro y el momento angular total es:

$$\beta=\arctan\left(\frac{H\sin\lambda}{S+H\cos\lambda}\right).$$

Este ángulo indica cuánto se inclina el eje de giro final de la Tierra respecto al eje de todo el sistema: el punto de partida de las inclinaciones que sigue el Artículo 4.

Para la prueba $q=0.55$, $D=1$, $\lambda=25^\circ$ se obtienen unos 17,177 km y 3.85° en la aproximación de partícula de prueba, o unos 17,240 km y 3.84° con dos masas. Los 25° son un valor de prueba de sensibilidad, elegido para mostrar la magnitud de la corrección; la latitud de liberación adoptada es 22.5°, el centro del área de contacto, y la liberación allí se recalcula en el Artículo 4 (La órbita). Se trata de resultados de sensibilidad propuestos, que no sustituyen a los valores de referencia. Los números anteriores 17,115 y 4.48° se apartaron en el registro porque requerían una corrección de coherencia del sistema de referencia: mezclaban vectores expresados respecto a ejes distintos. Esta ecuación cinemática no calcula cómo cambia el eje con el tiempo; da el estado en un momento dado.

La documentación completa, incluido el material orbital destinado al Artículo 4: LEF_PaperI_Calculation2_Latitude25_HE.

Este apéndice ofrece el trasfondo de §A.7 y §B.7: los dos límites de Roche y una primera estimación de la intensidad con que la marea de la Tierra carga a la Luna joven. El límite de Roche es la distancia por debajo de la cual la diferencia entre la atracción de la Tierra sobre las caras cercana y lejana de un satélite (el estiramiento mareal) supera la propia gravedad del satélite que lo mantiene cohesionado. Un cuerpo que se deforma libremente, como un fluido, se alarga y aumenta así el estiramiento sobre sí mismo; su límite se sitúa más lejos (coeficiente 2.44). Un cuerpo que conserva su forma tiene un límite más cercano (coeficiente 1.26). La pregunta que responde este apéndice es qué magnitud tiene la carga mareal a la distancia de liberación, y qué más se necesita para convertir esa carga en un resultado de supervivencia.

Las constantes 1.26 y 2.44 y las definiciones de los límites se mantuvieron del texto anterior. Antes del envío debe completarse una verificación específica de la fuente del llamado coeficiente rígido y de su dominio de validez. No contiene ninguna ley de resistencia para una corteza: el límite rígido describe un cuerpo que no cambia de forma, sin decir qué resistencia del material lo hace posible.

Estimación de la aceleración y de la deformación — un texto de cálculo anterior conservado

La estimación compara dos aceleraciones. $\Delta a$ es el estiramiento mareal: la diferencia entre la atracción de la Tierra en el centro del cuerpo y en su superficie, a lo largo de la línea hacia la Tierra. $g_s$ es la propia gravedad superficial del cuerpo. Para un radio del cuerpo $R_s=1{,}890$ km:

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3}, \qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

El estiramiento disminuye con el cubo de la distancia $r$: reducir la distancia a la mitad lo multiplica por ocho. A 15,818 km se obtiene $\Delta a\simeq0.381$, $g_s\simeq1.373$ m/s² y una razón de aproximadamente 0.277. La razón compara el estiramiento mareal con la autogravedad: por debajo de uno gana la autogravedad, y a esta distancia la marea es algo más de un cuarto de la propia gravedad del cuerpo. Una razón inferior a uno es necesaria, pero no resuelve la cuestión para un cuerpo que se deforma; la deformación de un cuerpo caliente durante los años que pasa dentro del límite fluido es la condición de supervivencia de §D.3.

El paso siguiente convierte la aceleración en una tensión y la tensión en un tiempo. Puede construirse una estimación de la tensión:

$$\sigma_{\mathrm{tidal}}\sim\rho_s\Delta aR_s\sim1.9\times10^9\ \mathrm{Pa}, \qquad t_{\mathrm{strain}}\sim\frac{\varepsilon_*\eta}{\sigma_{\mathrm{tidal}}}.$$

La primera expresión es la carga, análoga a un peso, de una columna del material del cuerpo, de densidad $\rho_s$ y altura $R_s$, bajo la aceleración $\Delta a$. La segunda indica cuánto tarda un material de viscosidad $\eta$ (su resistencia a fluir, en pascales-segundo) en alcanzar una deformación $\varepsilon_*$ —un cambio relativo de forma— bajo esa tensión: cuanto más rígido es el material, más tarda.

Elegir $\varepsilon_*=0.5$ (un cambio de forma de la mitad) y $\eta=10^{19}\ \mathrm{Pa\,s}$ da unos 85 años (con $\rho_s=2{,}600$ kg/m$^3$, $\Delta a\simeq0.381$ m/s$^2$ y $R_s=1{,}890$ km la tensión es $1.87\times10^9$ Pa; una versión anterior de esta estimación daba $1.4\times10^9$ Pa y unos 116 años, lo que corresponde a una densidad del cuerpo de unos 1,950 kg/m$^3$). Se trata de una estimación de la deformación bajo una tensión representativa constante, no de un cálculo de un tiempo de disrupción. Deben examinarse la reología (cómo responde el material a la carga a lo largo del tiempo), la forma, la tensión variable y el tiempo de permanencia real.

Esta estimación se conserva como una dependencia paramétrica: muestra cómo escala el tiempo con la viscosidad y la tensión, de modo que el lector pueda introducir otros valores. El propio tiempo de permanencia pertenece al cálculo orbital y no se adopta aquí. El tercer documento de cálculo reúne las comprobaciones de Roche, de carga y de órbita y la separación entre un resultado y un requisito abierto: LEF_PaperI_Calculation3_Release_Survival_HE. La carga mecánica está destinada al Artículo 3 (Mecanismo LEF en la práctica) y las tablas orbitales al Artículo 4 (La órbita).

Este apéndice indica, componente por componente, qué toma el artículo de la física anterior y qué añade. Sustenta la declaración de novedad de §D.2. La tabla debe leerse fila por fila: la primera columna nombra un componente del argumento, la segunda indica si es física estándar, trabajo previo o aplicación propia del artículo, y la tercera indica cómo lo usa el artículo. El patrón es deliberado: las leyes son antiguas; lo nuevo es dónde se evalúan y cómo se combinan en un único escenario conectado.

Antes del envío se requiere también una comparación específica con los trabajos previos sobre estabilidad síncrona y estados de equilibrio para evaluar la prioridad; en particular, las referencias a Counselman, Hut y Grjebine & Marchal procedentes del registro de revisión anterior no se marcan aquí como reverificadas. Son tareas bibliográficas abiertas, no resultados nuevos.

Se conserva la prueba del editor: para cada tesis central debe identificarse su estado, definirse las hipótesis y el resultado, exponerse la sensibilidad y proporcionarse una vía de reproducción. La tabla de tesis centrales de §D.1 (en el texto anterior denominada «Tabla E.4»), junto con la tabla de hipótesis y requisitos de §D.3, completa la estructura; la ausencia de una solución de supervivencia se marca como abierta y no se convierte en SUPERADO.

Referencias

[1] Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale University Press. Fuente procedente del texto existente; las referencias exactas de página para los valores de la secuencia y los coeficientes de Roche deben completarse antes del envío.

[2] Ferraz-Mello, S., Rodríguez, A., & Hussmann, H. Tidal friction in close-in satellites and exoplanets. The Darwin theory re-visited. Versión de los autores: https://arxiv.org/abs/0712.1156.

[3] Leconte, J., Chabrier, G., Baraffe, I., & Levrard, B. (2010). Is tidal heating sufficient to explain bloated exoplanets? Consistent calculations accounting for finite initial eccentricity. DOI: 10.1051/0004-6361/201014337.

[4] Efroimsky, M., & Makarov, V. V. (2013). Tidal Friction and Tidal Lagging. Applicability Limitations of a Popular Formula for the Tidal Torque. ApJ, 764, 26. DOI: 10.1088/0004-637X/764/1/26.

[5] Huré, J.-M. (2022). Nested spheroidal figures of equilibrium I. Approximate solutions for rigid rotations. Versión del autor: https://arxiv.org/abs/2202.11044.

[6] Darwin, G. H. (1879). On the precession of a viscous spheroid, and on the remote history of the Earth. DOI: 10.1098/rstl.1879.0073.

[7] Meier, M. M. M., Reufer, A., & Wieler, R. (2014, prepublicación). On the origin and composition of Theia: Constraints from new models of the Giant Impact. Versión de los autores: https://arxiv.org/abs/1410.3819.

[8] Battin, R. H. (2008). The Two Body Problem. MIT 16.346, Lecture 1. https://ocw.mit.edu/courses/16-346-astrodynamics-fall-2008/resources/lec_01/.

[9] Yu, H., Lau, S. Y., Mckeever, E., Arras, P., & Weinberg, N. N. (2025). Dynamical tide modified Roche limit in eccentric, asynchronous binaries. Versión de los autores: https://arxiv.org/abs/2508.20183.

Este apéndice es la versión completa de la tabla del entorno computacional que figura al principio del artículo. Su finalidad es práctica: cada cálculo de la serie se realiza para un momento y un lugar concretos del escenario, y la tabla registra, magnitud por magnitud, qué se conoce, qué se adopta y qué sigue abierto en cada momento. Evita el error más común al reconstruir un estado antiguo: tomar prestado un valor de la Tierra actual, o de otra etapa, e insertarlo donde no corresponde. Cada fila lleva un identificador (E01, E02, …) para que los artículos posteriores puedan citarla.

Cómo leer la tabla

Cada fila lleva uno de cinco estados. Adoptado: una entrada elegida en el modelo. Calculado: un resultado dentro de hipótesis concretas. Reproducido: un cálculo cuyo código se ejecutó y se reprodujo, sin que ello valide todas sus hipótesis. Abierto: aún no determinado o aún no demostrado. Restricción actual: un dato sobre el sistema actual destinado a limitar una reconstrucción antigua, y no una medición del pasado.

Las columnas siguen el escenario en el tiempo. Las etapas no son tres sistemas separados: A — un estado de referencia anterior a la división de la masa, cuando el material lunar todavía se cuenta en la Tierra; B — construcción y transferencia, mientras el cuerpo crece y asciende; C — un estado próximo a la liberación. Todos los números de la columna C se refieren a un estado de referencia acoplado definido, no a una trayectoria evolutiva ya resuelta por completo. La diferenciación, una latitud no nula o una mezcla de fuentes de material requieren un cálculo coherente adicional.

La tabla se divide en bloques por tema: tiempo, masa y geometría; el interior de la Tierra, la rotación y el momento angular; la gravedad y dónde se mide; el calor, el material, el flujo y la conexión; y dos actualizaciones posteriores del autor sobre volátiles, enfriamiento y cronología.

La tabla del entorno — tiempo, masa y geometría

Este primer bloque fija la contabilidad: cuándo tiene lugar el escenario, cuánta masa hay y a qué cuerpo se asigna cada parte, qué tamaño tienen los cuerpos y dónde se encuentra la fuente. Su uso principal es evitar el doble cómputo —el mismo material nunca debe situarse a la vez en la Tierra y en la Luna— y mantener separados los tamaños de distintos estados de referencia.

Lo que establece este bloque: una única masa del sistema, dividida entre dos cuerpos y, donde sea necesario, un tercer reservorio de material en tránsito; tamaños de referencia que pertenecen a densidades y estados enunciados; y una fuente que es una región amplia, no un punto.

La tabla del entorno — interior de la Tierra, rotación y momento angular

El segundo bloque se refiere a las magnitudes que fijan el giro y el balance: cómo se dispone la masa en el interior de la Tierra (el coeficiente de inercia $k$, que es 0.4 para una esfera uniforme y menor cuando la masa se concentra hacia el centro), el momento de inercia, el periodo, el eje de giro, el momento angular total y el radio de corrotación. Son las magnitudes de las Partes A y B; el bloque registra qué valores pertenecen al estado de referencia y cuáles al estado acoplado cerca de la liberación, para que no se mezclen.

Lo que establece este bloque: el giro y el radio de corrotación cambian durante la construcción, en ambos sentidos; los dos valores del radio de corrotación en la liberación (16,331 km para una partícula de prueba, 16,399 km para dos masas) son dos aproximaciones de un mismo estado; y los tres porcentajes de E24 miden tres cosas distintas.

La tabla del entorno — gravedad variable y lugar de medición

El tercer bloque trata de la gravedad, que en este escenario no es un único número. A medida que la masa pasa de la Tierra al cuerpo en desarrollo, la atracción en un punto dado cambia, y cambia de forma distinta fuera de la Tierra, en su superficie, en su interior y en la conexión entre los cuerpos. Cada fila nombra un lugar o componente e indica qué debe incluir un cálculo allí. La finalidad es evitar que un valor válido en un lugar se use en otro.

Lo que establece este bloque: la gravedad debe calcularse a partir de la distribución real de la masa en el lugar y el momento indicados; la aceleración centrífuga y las demás aceleraciones del sistema de referencia se añaden solo en un sistema en rotación indicado; y los límites de Roche de E35 son distancias de referencia, con la supervivencia tratada como el requisito aparte de §D.3.

La tabla del entorno — calor, material, flujo y conexión

El cuarto bloque pasa de la mecánica al estado del material: temperatura, calor, presión, densidad, volátiles, viscosidad, la corteza exterior y la conexión, y lo que ocurre tras la liberación. Son las magnitudes que necesita el Artículo 3 (Mecanismo LEF en la práctica) para comprobar si el material puede ascender, si la corteza puede soportar la carga y si puede conservarse el registro de la superficie. El bloque registra los valores de trabajo en uso y, columna por columna, lo que aún debe fijarse.

Lo que establece este bloque: los valores mecánicos de trabajo que usa el Artículo 3 (las presiones de E39, la corteza de E44, la conexión de E47), el punto fijo de que la Luna es rígida y redonda en la liberación (E48), y una lista explícita de magnitudes térmicas y materiales aún por determinar. El achatamiento y el redondeo del cuerpo tuvieron lugar antes, cuando aún estaba unido (Artículo 7, Los polos).

La ficha que acompaña a cada cálculo

La tabla anterior se convierte en una regla de trabajo: una ficha breve que cualquier cálculo de la serie enuncia antes de su resultado, para que el lector vea de inmediato qué estado describe.

Antes de una ecuación o de una tabla de resultados, indíquese: (1) etapa y tiempo; (2) punto de medición; (3) sistema de referencia y eje; (4) versión del escenario; (5) masas y radios en la misma etapa; (6) entradas de calor y de material; (7) efectos despreciados; (8) resultado y sensibilidad. Si falta un dato, el cálculo se marca como condicional o aplazado: no debe tomarse prestado un valor del presente o de otra etapa sin justificación.

La contabilidad de la masa se escribe como una única ecuación. Ecuación de gestión de la masa: $M_{\mathrm{total}}=M_E+m_{\mathrm{body}}+M_{\mathrm{transit}}+M_{\mathrm{escaped}}$, según los límites del sistema y de los reservorios: la Tierra, el cuerpo en desarrollo, el material en camino entre ambos y cualquier material perdido por el sistema. Si se elige un sistema cerrado sin pérdida, o se asigna material más allá de uno de los cuerpos, debe indicarse y reducirse los términos en consecuencia. La masa que entra en GM debe coincidir con la definición de reservorio del mismo cálculo.

El campo gravitatorio combinado debe calcularse a partir de la distribución real de la masa. Una aproximación de dos masas puntuales se permite solo donde y con la precisión definidas; no es una descripción completa del interior de la Tierra, de la conexión ni de una anomalía local. En una descomposición en fondo y anomalía, solo se añade la masa diferencial, de modo que ninguna masa se cuente dos veces.

La actualización del autor — el inventario antiguo de volátiles y el material de retorno

Esta actualización añade a la tabla los volátiles —agua, gases y otras sustancias que se evaporan con facilidad—, que afectan a la densidad, el flujo, el enfriamiento y el material de retorno. Registra la imagen del autor y las distinciones que todo cálculo posterior debe mantener, sin calcular ahora cantidades.

Instrucción explícita del autor: en el escenario examinado, el inventario antiguo de volátiles es mucho mayor que el inventario que queda hoy. Los volátiles están presentes en el material a partir del cual se construye el sistema, incluidos el material profundo y el magma; parte de los volátiles transferidos con el cuerpo en desarrollo se perdieron en el espacio, y durante el desprendimiento se produjo una pérdida adicional según la hipótesis. No se pide ahora calcular las cantidades ni las tasas de pérdida.

Las filas separan lo que fácilmente se confunde: cuánto material volátil había (E54), dónde estaba (E55), en qué forma (E56), cómo se perdió (E57), cómo entra la pérdida en la cuenta de masa (E58) y cómo puede relacionarse con el material de retorno que después cae sobre la Luna (E59). E60 mantiene separadas dos propiedades de un magma —la resistencia a fluir y la ligereza—, que un magma rico en burbujas puede tener a la vez pero que no son la misma magnitud.

Actualización acumulativa — ciclo de volátiles, enfriamiento y cronología

La segunda actualización describe cómo se enfrió el sistema joven mientras se construía, y fija el orden de los sucesos desde la construcción activa hasta un cuerpo separado.

11 de septiembre de 2026. Esta actualización se añade a todo el contenido anterior; no sustituye a las tablas E01–E60 ni a las distinciones que contienen. El documento contiene ahora 70 entradas. La referencia anterior a 53 magnitudes describe solo la tabla base original.

Aclaración del autor: en la imagen propuesta del entorno, el inventario de agua representado hoy en los mares y océanos estaba, al inicio del escenario, en estado vaporizado, y el sistema era rico en volátiles también dentro del material profundo. Tiene lugar un movimiento cíclico: el material rico en volátiles asciende, se enfría, y parte de él vuelve hacia abajo, se calienta y asciende de nuevo, a la manera de una olla de sopa sobre el fuego, cuya superficie desprende calor mientras el interior sigue removiéndose. Según la hipótesis, el ciclo contribuye al enfriamiento de la superficie exterior y a la conservación del registro, mientras el interior permanece caliente y móvil.

Estado: esta es la descripción del escenario que el autor pide examinar. No contiene una determinación cuantitativa verificada del inventario antiguo de agua, del estado de los volátiles a cada profundidad, de la duración de la construcción ni de la capacidad de enfriamiento. Se conserva la distinción anterior entre hipótesis, resultado y dato. La ventana de 600 Myr no debe sustituirse por otro tiempo corto sin una decisión, ni presentarse como una duración de cierre medida.

La tabla que sigue introduce el ciclo en el entorno fila por fila: el agua al inicio (E61), el propio ciclo (E62–E64), su efecto sobre la corteza (E65), la ventana temporal (E66), y la disminución de las eyecciones hacia fuera, su fin en el desprendimiento y su relación con la alimentación interna (E67–E70).

Cronología para la descripción — sin tiempos intermedios inventados

La cronología ordena las etapas sin asignar fechas a los pasos intermedios, puesto que esas fechas no se han calculado. Cada fila se lee de izquierda a derecha: da, para una etapa, el estado de las eyecciones hacia fuera, de la conexión y del calor. Leyendo una columna hacia abajo se sigue un proceso de principio a fin: las eyecciones disminuyen a medida que crece la pera, pero continúan mientras el cuerpo está unido, y se detienen en el desprendimiento.

Cómo se conecta la actualización con las tablas anteriores

La lista siguiente vincula la actualización con las filas que afecta, para que el lector que siga cualquier magnitud pueda encontrar todos los lugares en que aparece.

• E01–E02: la ventana del escenario y la época se mantienen separadas de los tiempos de etapa aún no determinados.

• E37–E38 y E52: el ciclo de volátiles y la vía de pérdida de calor se añadieron a la descripción térmica; los valores de temperatura y potencia siguen abiertos.

• E42 y E54–E58: inventario, fase, liberación y escape siguen siendo magnitudes separadas; los volátiles disueltos no deben convertirse en vapor libre a todas las profundidades.

• E44–E46 y E50–E51: se mantienen la estructura gradual de todo el espesor de la corteza, la movilidad y la conservación del registro. La propuesta de un ciclo de enfriamiento no anula el requisito de la prueba mecánica.

• E48 y E53: el redondeo se completa antes de la liberación, como también se mantiene la distinción entre un cuerpo unido y un cuerpo en órbita tras la liberación.

• E60: la cuestión de la viscosidad frente a la densidad no se eliminó ni se resolvió automáticamente con la aclaración del ciclo de vapor.

Para examen futuro, sin abrir ahora un cálculo: flujo de calor a través de la atmósfera; calor latente en la evaporación y la condensación; efecto de la atmósfera sobre la salida de la radiación; balance de agua y volátiles entre los reservorios; coherencia entre enfriamiento, duración de la actividad, movilidad de la corteza y conservación de los registros. Aquí no se determina que una atmósfera de vapor acelere necesariamente el enfriamiento en todas las condiciones.

Uso de herramientas de IA: El autor utilizó asistentes de IA (Claude, Anthropic; ChatGPT, OpenAI; el asistente de búsqueda con IA de Google) para escribir y ejecutar los scripts de cálculo, analizar los catálogos y mapas, preparar figuras y tablas, discutir los escenarios, y para la edición lingüística y la traducción. El modelo y sus conclusiones son del autor. El autor revisó el contenido y asume la plena responsabilidad sobre él.