गणनात्मक पर्यावरण तालिका

इस शोधपत्र की गणनाएँ LEF परिदृश्य में एक प्रारंभिक स्थलीय जनक पिंड का वर्णन करती हैं — वह युवा पृथ्वी, जब चंद्रमा उसे छोड़ नहीं गया था। चूँकि प्रक्रिया के दौरान तंत्र बदलता है (द्रव्यमान एक पिंड से दूसरे में जाता है, आकृति और घूर्णन बदलते हैं), नीचे दी गई प्रत्येक संख्या एक निर्धारित अवस्था से संबंधित है: द्रव्यमान के विभाजन से पहले की अवस्था, तुलना के लिए प्रयुक्त एक गणनात्मक संदर्भ अवस्था, या मुक्ति के समय की युग्मित अंतिम अवस्था। इन अवस्थाओं को अलग रखने से किसी एक क्षण का मान किसी दूसरे क्षण पर प्रयुक्त नहीं होता। परिशिष्ट G में पूरा पर्यावरण, E01–E70, दिया गया है; यहाँ की तालिका केवल वे राशियाँ सूचीबद्ध करती है जो Paper 2 के लिए आवश्यक हैं।

तालिका में तीन स्तंभ हैं। पहला राशि का नाम देता है, दूसरा उसका मान या परिभाषा देता है, और तीसरा बताता है कि वह किस प्रकार की संख्या है: तंत्र की एक मान्यता, मॉडल के लिए चुना गया एक निवेश, इस शोधपत्र में परिकलित एक मान, या केवल यह परखने के लिए प्रयुक्त मान कि परिणाम कितना संवेदनशील है। पाठक तीसरे स्तंभ से तुरंत देख सकता है कि कौन-सी संख्याएँ डाली गई हैं और कौन-सी परिणाम के रूप में निकलती हैं।

कुछ पंक्तियों को थोड़ी व्याख्या चाहिए। आरंभ में जनक द्रव्यमान, 6.0455×10²⁴ kg, केवल आज की पृथ्वी और चंद्रमा का योग है: कुछ भी बाहर निकलता नहीं माना गया, इसलिए पूरा चंद्रमा कभी पृथ्वी का भाग था। प्रारंभिक त्रिज्या, 6,517 km, आज की पृथ्वी से बड़ी है, क्योंकि युवा, गर्म पृथ्वी प्रसारित होती है; अपनाया गया प्रसार 120 km है। घूमता हुआ तरल पिंड अपनी विषुवत पर फूल जाता है, और मैकलॉरिन मॉडल — एकसमान घनत्व वाले घूमते तरल पिंड की शास्त्रीय साम्य आकृति, एक चपटा गोला — उस आयतन को लगभग 6,721 km की विषुवतीय त्रिज्या में बदल देता है। परीक्षण-कण सन्निकटन मुक्त हुए पिंड को केंद्रीय द्रव्यमान के क्षेत्र में एक छोटे कण के रूप में लेता है, जिससे सूत्र में केवल पृथ्वी का द्रव्यमान आता है; युग्मित द्वि-पिंड मान (16,331 km के स्थान पर 16,399 km) दिखाता है कि यह सरलीकरण कितना छोटा है। दो-परत पंक्तियाँ $q$ का उपयोग करती हैं, जो सघन आंतरिक परत की त्रिज्या और पूरे पिंड की त्रिज्या का अनुपात है, और $D$ का, जो आंतरिक घनत्व और बाहरी घनत्व का अनुपात है; $D=1$ एक एकसमान पिंड है और बड़ा $D$ अर्थ है केंद्र की ओर अधिक लोहे का एकत्र होना। 25° की पंक्ति एक संवेदनशीलता परीक्षण है, जिसका उपयोग यह देखने के लिए होता है कि जब मुक्ति विषुवत पर नहीं होती तो परिणाम कितना बदलता है; यह अपनाया गया मान नहीं है, जो 22.5° है (Paper 4)। जहाँ तालिका कहती है कि किसी राशि का कोई एक मान नहीं है — तापमान, श्यानता, गुरुत्व — वहाँ शोधपत्र उसके स्थान पर कोई आधुनिक मान उधार नहीं लेता। 600 Myr की निर्माण अवधि श्रृंखला का कार्यकारी परिदृश्य है: उभार और नाशपाती-आकृति के लिए लगभग 400 Myr, चपटेपन के लिए लगभग 100 Myr और 3.873 Ga पर मुक्ति तक लगभग 100 Myr। Paper 2 इस अवधि की गणना नहीं करता और उस पर निर्भर नहीं है।

व्यवहार में इसका अर्थ है: चंद्रमा का 7.35×10²² kg एक ही बार गिना जाता है। स्थानांतरण से पहले वह पृथ्वी के 6.0455×10²⁴ kg के भीतर है; उसके बाद वह चंद्रमा है, और पृथ्वी के पास 5.972×10²⁴ kg रहता है।

पुरानी आपत्ति क्यों लागू नहीं होती। शास्त्रीय विखंडन पृथ्वी से अपनी ही सतह से पदार्थ फेंकने की अपेक्षा करता था। 5.5 घंटे वाले जनक की सतह पर घूर्णन लगभग 2,133 m/s देता है, जबकि वहाँ मुक्त कक्षा को लगभग 7,701 m/s चाहिए (§A.1.2)। सतह पर इस अंतर को पाटने का एकमात्र तरीका पूरी पृथ्वी को कहीं तेज़ घुमाना है, और तेज़ घूर्णन का अर्थ है अधिक कोणीय संवेग: उस शास्त्रीय बिंदु पर जहाँ घूमता तरल पिंड अस्थिर हो जाता है (जैकोबी द्विशाखन, §A.6.5) जनक को आज के पृथ्वी–चंद्र तंत्र के कोणीय संवेग का 2.74 गुना चाहिए, और पुरानी संदर्भ गणना ने, जो उसी अनुक्रम के एक अन्य बिंदु पर की गई थी, लगभग चार गुना दिया था। तंत्र के पास इतना नहीं है, और इसी कारण विखंडन को त्याग दिया गया। LEF मार्ग इस अंतर को दूसरे ढंग से पाटता है: तेज़ घूमकर नहीं, बल्कि पदार्थ को पृथ्वी के साथ घूमते हुए बाहर ले जाकर। उसी घूर्णन दर पर उसकी गति दूरी के साथ बढ़ती है, जब तक कि सह-घूर्णन त्रिज्या पर वह कक्षीय गति के बराबर नहीं हो जाती। इसके लिए पृथ्वी को जिस घूर्णन की आवश्यकता है, वह वही घूर्णन है जो उसका होता यदि आज का सारा कोणीय संवेग उसे लौटा दिया जाए — लगभग 5.5 घंटे (§A.2) — और तब आवश्यक बजट आज के बजट का 1.007 गुना है। एक रोज़मर्रा का चित्र: झूले (चकरी) पर बैठा बच्चा जो केंद्र से किनारे तक चलता है, किनारे पर तेज़ चलता है, जबकि किसी ने चकरी को और ज़ोर से नहीं धकेला।

आवश्यकताओं का अर्थ। $k$ जड़त्व-आघूर्ण गुणांक है: यह मापता है कि किसी पिंड का द्रव्यमान केंद्र और सतह के बीच कैसे फैला है। एकसमान गोले का $k=0.4$ होता है; लोहे के कोर वाली आज की पृथ्वी का लगभग 0.33। मार्ग को स्थानांतरण के आरंभ में $k\gtrsim0.397$ चाहिए, अर्थात छँटाई की प्रारंभिक अवस्था में स्थित जनक: वह पृथ्वी जिसका द्रव्यमान केंद्र की ओर कम सांद्रित है, उसी घूर्णन पर अधिक घूर्णन संचित करती है। पृथ्वी के कोर का संगठन एक सतत प्रक्रिया है जो कभी रुकी नहीं। उभार के दौरान वह अपने आरंभ में थी; जब नाशपाती-आकृति बढ़ी तब वह जारी रही; और मुक्ति के बाद भी चलती रही, जब पृथ्वी ने नाशपाती-आकृति को वापस भीतर समा लिया। संभवतः कोई पूर्णतः एकसमान काल कभी नहीं था: अवस्था जितनी प्रारंभिक, पृथ्वी उतनी ही कम छँटी हुई। संभव है कि आरंभ में ही लोहा कोर में एकत्र होने लगा हो; प्रक्रिया जारी रही। युवा पृथ्वी को गर्म और इसलिए आज से बड़ा भी होना चाहिए: 98 और 520 km के बीच का प्रसार स्वीकार्य है, और 120 km अपनाया गया है। पिंड को सह-घूर्णन त्रिज्या से परे मुक्त होना चाहिए, ठीक उस पर नहीं: ठीक रेखा पर ज्वार तटस्थ है और किसी भी दिशा में धक्का नहीं देता, जबकि रेखा से थोड़ा भी परे स्थित पिंड को ज्वार बाहर की ओर धकेलता है, जिससे वह आरंभ से ही दूर हटता है (Paper 4); आवश्यक अंतर छोटा है, $\Delta r\simeq2d_0$, लगभग 210 km (Paper 3, §C.5a)। तरल रोश सीमा वह दूरी है जिसके भीतर पृथ्वी का ज्वार केवल अपने गुरुत्व से बँधे पिंड को खींचकर अलग कर देगा। आंतरिक दृढ़ता वाला पिंड और निकट तक, अपनी दृढ़ सीमा तक, बचा रहता है; मुक्ति पर चंद्रमा दृढ़ और गोल है, उसका चपटापन और गोलाई पहले ही, जब वह अभी जुड़ा था, पूर्ण हो चुके थे (Paper 7)। दोनों पिंडों के बीच का संयोजन — नाशपाती-आकृति — मुक्ति तक भार वहन करना चाहिए। ये आवश्यकताएँ परिणामों में छिपी नहीं हैं; वे §D.3 में एकत्र हैं, और Paper 3 उनकी परीक्षा करता है।

भूमिका — भाग A: मौजूदा मॉडलों के संदर्भ में मुक्ति शर्त

चंद्रमा की उत्पत्ति पर दो प्रकार के प्रमाण लागू होते हैं: उसका पदार्थ कक्षा तक कैसे पहुँच सकता था (पृथक्करण की गतिकी) और क्या उसकी संरचना उस पिंड से मेल खाती है जिससे वह आया। ज्वार और घूर्णन पर डार्विन का कार्य पृथ्वी–चंद्र तंत्र के विकास की परीक्षा की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि का भाग है [6]; उनका विखंडन विचार — कि तेज़ घूमती पृथ्वी ने चंद्रमा को अलग कर दिया — स्थलीय उत्पत्ति का शास्त्रीय रूप है। इस शोधपत्र में शास्त्रीय विखंडन के साथ मात्रात्मक तुलना एक निर्धारित साम्य विन्यास के माध्यम से की गई है; एक विन्यास के परिणाम को हर संभव पथ की सीमा में नहीं बदला जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, यह दिखाना कि विखंडन का एक विशेष पथ बहुत अधिक कोणीय संवेग माँगता है, यह नहीं दिखाता कि पृथ्वी से निकलने वाला हर पथ ऐसा करता है।

विशाल-संघट्ट मॉडलों के परिवार में चंद्रमा मलबे से बनता है, जब कोई अन्य पिंड पृथ्वी से टकराता है, और समस्थानिक संरचना स्थलीय पदार्थ और संघट्टक पदार्थ के मिश्रण पर सीमाएँ लगाती है। मॉडल के विभिन्न संस्करण हैं, और सीमाएँ संरचनाओं तथा मिश्रण के ढंग पर निर्भर करती हैं [7]। LEF परिदृश्य में एक साझा स्थलीय भंडार से निर्माण की परीक्षा की जाती है: चंद्रमा पृथ्वी के अपने पदार्थ से बना है, इसलिए निकट समस्थानिक मेल सीधे अनुसरण करता है। साझा स्रोत संरचनात्मक तुलना का आधार देता है, किंतु कक्षा तक स्थानांतरण के परीक्षण का स्थान नहीं लेता। वह परीक्षण इस शोधपत्र का विषय है।

इस शोधपत्र का केंद्रित प्रश्न यह है कि क्या साझा घूर्णन में द्रव्यमान को बाहर ले जाना, सतह से सीधी मुक्ति की तुलना में, वेग शर्त और कोणीय-संवेग बजट को बदलता है। शोधपत्र का उत्तर है कि हाँ, बदलता है: मुक्ति शर्त सतह से सह-घूर्णन त्रिज्या पर चली जाती है, और तब गति और बजट दोनों अनुरूप होते हैं। निर्माण की क्रियाविधि — भीतर से पोषण और उसी पिंड की सतह के रूप में बाहरी कवच का उठना — Paper 3, LEF Mechanism in Practice (व्यवहार में LEF क्रियाविधि) का विषय है। वर्तमान शोधपत्र उन भौतिक शर्तों को परिभाषित करता है जिन्हें उसे पूरा करना है। यह विभाजन जानबूझकर है: Paper 2 पूछता है कि क्या मानक भौतिकी के आधार पर मार्ग सिद्धांततः संभव है; Paper 3 दिखाता है कि वह कैसे संपन्न होता है।

भूमिका — भाग B: शोधपत्र क्या प्रस्तुत करता है

शोधपत्र समस्याओं के एक समूह और उसके बाद उनके हलों के रूप में बना है, ताकि प्रत्येक आपत्ति का उत्तर उसी स्थान पर मिले जहाँ वह उठाई गई है। भाग A उन समस्याओं को एक-एक करके रखता है जिनका मार्ग को सामना करना है: वह वेग अंतर जिसके कारण शास्त्रीय विखंडन अस्वीकृत हुआ, क्या परिकलित करना है, वह नाशपाती-आकृति जो पृथ्वी को सह-घूर्णन रेखा से जोड़ती है, लंबी होती नाशपाती-आकृति और केंद्रीकृत होते कोर के बीच का संतुलन, स्वयं सह-घूर्णन, कोणीय-संवेग बजट, रोश सीमा और ज्वारीय विकास की दिशा। भाग B उन्हें एक ही गणना से आरंभ करते हुए उसी क्रम में हल करता है। भाग C बताता है कि क्या दिखाया गया है; भाग D दावों, परीक्षणों और आवश्यकताओं को एकत्र करता है; भाग E निष्कर्ष बताता है। परिशिष्ट A–G व्युत्पत्तियाँ, संवेदनशीलता क्रमवीक्षण, रोश गणनाएँ और पूरा गणनात्मक पर्यावरण देते हैं, ताकि मुख्य पाठ की प्रत्येक संख्या का स्रोत खोजा और उसे पुनः प्राप्त किया जा सके।

विषुवतीय तल सबसे सरल स्थिति है: वहाँ घूर्णन पदार्थ को सबसे तेज़ ले जाता है और सह-घूर्णन त्रिज्या एक ही दूरी है। उच्चतर अक्षांश से मुक्ति संख्याओं को कुछ बदलती है किंतु सिद्धांत को नहीं; परिवर्तन का आकार पर्यावरण तालिका के 25° संवेदनशीलता परीक्षण से दिखता है, और 22.5° की अपनाई गई स्थिति की गणना Paper 4 में की गई है।

यह भाग उस भौतिकी को, एक-एक समस्या करके, रखता है जिसे मार्ग को संतुष्ट करना है। यह उस कठिनाई से आरंभ होता है जिसने शास्त्रीय विखंडन मार्ग को बंद कर दिया — तेज़ घूमती पृथ्वी की सतह से निकलने वाले पिंड के पास कक्षा की गति नहीं होती — और फिर क्रम से पूछता है कि वह गति कहाँ प्राप्त होती है, पृथ्वी को उस स्थान से क्या जोड़ता है, पदार्थ के बाहर जाने के दौरान पृथ्वी का घूर्णन कैसे बदलता है, क्या कोणीय संवेग पर्याप्त है, क्या पिंड पृथ्वी के ज्वार से बचा रहता है, और उसके बाद वह किस दिशा में चलता है। प्रत्येक खंड एक परिभाषित राशि पर समाप्त होता है, जिसकी गणना फिर भाग B करता है।

A.1समस्या: वेग अंतर

A.1.1दो अलग गतिक प्रश्न

स्थलीय-उत्पत्ति परिदृश्य को जनक पिंड से मुक्त कक्षा तक पदार्थ के स्थानांतरण की व्याख्या चाहिए। संरचनात्मक मेल साझा स्रोत का समर्थन कर सकता है, बिना यह निर्धारित किए कि पदार्थ कक्षा तक कैसे पहुँचा: दो पिंड एक ही पदार्थ से बने हो सकते हैं और फिर भी यह प्रश्न खुला छोड़ सकते हैं कि उनमें से एक दूसरे की परिक्रमा कैसे करने लगा। इसलिए इस शोधपत्र का केंद्र गतिकी है। मूल ऐतिहासिक समीक्षा की परीक्षा यहाँ परिभाषित साम्य विन्यासों की तुलना से की जाती है, यह दावा करके नहीं कि हर स्थलीय-उत्पत्ति पथ उसी विखंडन देहली के अधीन है।

दो प्रश्नों को अलग रखना होगा। पहला प्रश्न यह है कि किन शर्तों में पदार्थ का वेग मुक्त कक्षा से संगत है — अर्थात क्या, छोड़े जाने के क्षण, पदार्थ पार्श्व दिशा में इतनी तेज़ी से चल रहा है कि वह पृथ्वी के चारों ओर गिरता रहे और वापस उस पर न गिरे। दूसरा प्रश्न यह है कि क्या प्रक्रिया के आरंभ में उपलब्ध कोणीय संवेग अंतिम अवस्था और बाद के विकास की अनुमति देता है। मुक्ति शर्त को बदलने से वेग परीक्षण बदल सकता है, किंतु समग्र कोणीय-संवेग संतुलन फिर भी संतुष्ट होना चाहिए। कोई मार्ग पहला परीक्षण पार कर सकता है और दूसरे में विफल हो सकता है, इसलिए दोनों की गणना की जाती है।

कोणीय संवेग और जड़त्व आघूर्ण। कोणीय संवेग किसी पिंड द्वारा वहन की गई घूर्णी गति की मात्रा है। घूमते पिंड के लिए यह इस बात का गुणनफल है कि वह कितनी तेज़ घूमता है और उसका द्रव्यमान अक्ष के चारों ओर कैसे फैला है। चक्रण कोणीय संवेग है:

$$L_{\mathrm{spin}}=I\omega.$$

यहाँ $\omega$ कोणीय वेग है (प्रति सेकंड घूमा गया कोण, $2\pi$ भाग अवधि) और $I$ जड़त्व आघूर्ण है: पिंड के प्रत्येक अंश के लिए उसके द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष से उसकी दूरी के वर्ग के गुणनफल का योग। जड़त्व आघूर्ण मापता है कि द्रव्यमान अक्ष से कितनी दूर स्थित है; अक्ष से दूर का द्रव्यमान निकट के द्रव्यमान से कहीं अधिक गिना जाता है, क्योंकि दूरी वर्ग के रूप में आती है। द्रव्यमान $M$ और विषुवतीय त्रिज्या $a$ वाले पिंड के लिए $I=kMa^2$ लिखना सुविधाजनक है, जहाँ विमाहीन गुणांक $k$ दर्ज करता है कि द्रव्यमान कैसे वितरित है: एकसमान पिंड का $k=0.4$ होता है, और सघन कोर वाले पिंड का $k$ छोटा होता है।

कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: जिस तंत्र पर कोई बाहरी वस्तु ऐंठन बल (बल-आघूर्ण) नहीं लगाती, उसका कुल मान नहीं बदल सकता; वह केवल तंत्र के एक भाग से दूसरे भाग में जा सकता है। पृथ्वी–चंद्र तंत्र के लिए एकमात्र महत्वपूर्ण बाहरी बल-आघूर्ण सूर्य द्वारा उठाया गया ज्वार है, जो तंत्र के इतिहास में लगभग 1% हटाता है (§A.2)। यही संरक्षण समस्या को परिकलनीय बनाता है: चंद्रमा आज अपनी कक्षा में जो कुछ वहन करता है, वह कभी जनक के घूर्णन में रहा होगा।

पदार्थ को सह-घूर्णन में बाहर स्थानांतरित करना — अर्थात जब वह जनक के अपने कोणीय वेग से उसके साथ घूमता रहता है — जनक से उस पदार्थ को अतिरिक्त कोणीय संवेग देने की अपेक्षा करता है, क्योंकि अधिक दूरी पर वही कोणीय वेग उस पदार्थ के लिए अधिक जड़त्व आघूर्ण का अर्थ है। बाहरी बल-आघूर्ण के अभाव में यह मौजूदा कोणीय संवेग का पुनर्वितरण है: पदार्थ जो प्राप्त करता है, जनक का घूर्णन वह खोता है।

A.1.2सतह से मुक्ति

हम पहले शास्त्रीय स्थिति की परीक्षा करते हैं: तेज़ घूमते जनक की विषुवत से सीधे छोड़ा गया पदार्थ। संदर्भ अवस्था में अवधि $T_0=5.5$ घंटे है और विषुवतीय त्रिज्या $a_0\simeq6{,}721$ km है। अतः, चूँकि 5.5 घंटे 19,800 सेकंड हैं:

$$\omega_0=\frac{2\pi}{19{,}800}\simeq3.17333\times10^{-4}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$$

अब विषुवत पर दो गतियों की तुलना करनी है। पहली वह गति है जो घूर्णन स्वयं सतह के किसी बिंदु को देता है, $v_{\mathrm{rot}}$: कोणीय वेग गुणा अक्ष से दूरी। दूसरी वृत्तीय कक्षीय गति $v_{\mathrm{circ}}$ है: वह गति जिस पर उस दूरी पर एक मुक्त पिंड पृथ्वी के चारों ओर वृत्त में गिरता रहेगा, उसकी अपकेंद्री प्रवृत्ति गुरुत्व को ठीक संतुलित करती हुई।

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega_0a_0\simeq2{,}133\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{a_0}}\simeq7{,}701\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$$

केवल 5.5 घंटे के दिन के साथ भी, सतह उस गति के एक-तिहाई से कम पर चलती है जो वहाँ की कक्षा को चाहिए। वेग अंतर, इस शोधपत्र की मूल संदर्भ गणना के पूर्णांकन में, लगभग 5,568 m/s है। यही वेग अंतर है।

यदि ऐसे पदार्थ को केवल छोड़ दिया जाए तो वह किस कक्षा का अनुसरण करेगा? अतिरिक्त त्रिज्य वेग के बिना, विशिष्ट ऊर्जा (प्रति किलोग्राम कक्षीय ऊर्जा, गतिज ऋण गुरुत्वीय) और अर्ध-दीर्घ अक्ष (परिणामी दीर्घवृत्त के लंबे अक्ष का आधा) हैं:

$$\varepsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{GM_\oplus}{r}\simeq-5.70\times10^7\ \mathrm{J\,kg^{-1}}, \qquad A_{\mathrm{orb}}=-\frac{GM_\oplus}{2\varepsilon}\simeq3{,}495\ \mathrm{km}.$$

ऊर्जा प्रबल रूप से ऋणात्मक है — पदार्थ गहराई से बँधा है — और अर्ध-दीर्घ अक्ष, 3,495 km, जनक की विषुवतीय त्रिज्या का लगभग आधा है। मुक्ति बिंदु इस दीर्घवृत्त का सबसे दूर का बिंदु है, इसलिए पथ का शेष पूरा भाग जनक के भीतर गहराई में स्थित है। इन प्रारंभिक शर्तों में केप्लरीय कक्षा जनक पिंड को भेदती है: पदार्थ बस वापस गिर जाता है। इसलिए केवल सतही वेग ऐसी मुक्त कक्षा नहीं देता जो उसके बाहर रहे। यही विखंडन के विरुद्ध शास्त्रीय आपत्ति का मर्म है: सतह पर अंतर को पाटने के लिए जनक को कई गुना तेज़ घूमना पड़ता, जिसके लिए पृथ्वी–चंद्र तंत्र के पास जितना है उससे कहीं अधिक कोणीय संवेग चाहिए (§A.6.5)।

§A.2 की संख्याएँ मूल संदर्भ तुलना को सुरक्षित रखती हैं, जिसमें अंतिम पृथ्वी द्रव्यमान का GM प्रयुक्त हुआ था। वे पूरे प्रारंभिक जनक के यथार्थ क्षेत्र की गणना नहीं हैं। यह परिभाषा पुनरुत्पादित संदर्भ तुलना को §A.6 के समग्र बजट से अलग करती है।

A.1.3स्थानांतरण शर्त की परीक्षा

LEF मार्ग पदार्थ को सतह पर नहीं छोड़ता। परखे गए परिदृश्य में पदार्थ जुड़े रहते हुए ऊपर उठता है और कोणीय संवेग प्राप्त करता है, जिससे बाहर जाते हुए वह जनक के साथ घूमता रहता है। तब दोनों गतियाँ विपरीत ढंग से व्यवहार करती हैं। वेग $\omega r$ दूरी के साथ बढ़ता है, क्योंकि जो बिंदु प्रति दिन एक चक्कर लगाता है वह जितना बाहर हो उतना बड़ा वृत्त तय करता है — जैसे घूमती चकरी पर बाहर की ओर चलता बच्चा और तेज़, और तेज़ घुमाया जाता है। कक्षीय गति $\sqrt{GM/r}$ घटती है, क्योंकि गुरुत्व दूरी के साथ दुर्बल होता है और उसे संतुलित करने के लिए कम पार्श्व गति चाहिए। इसलिए §A.1.2 का अंतर पदार्थ के ऊपर उठने के साथ संकरा होता है, और एक दूरी पर वह बंद हो जाता है।

शोधपत्र समानता के बिंदु और स्थानांतरण की कोणीय-संवेग लागत की गणना करता है; आरोहण प्रक्रिया स्वयं एक अलग यांत्रिक प्रश्न है। Paper 3, LEF Mechanism in Practice, परिवहन क्षमता और संयोजन की परीक्षा करता है; विस्तृत दाब गणना यहाँ प्रस्तुत बजट गणना के बाहर है। कक्षीय प्रारंभिक शर्तें Paper 4, The Orbit (कक्षा), को सौंपी जाती हैं।

A.2क्या परिकलित करना है

समस्या का अब एक निश्चित रूप है। पाँच राशियों की गणना करनी है: चंद्रमा कहाँ मुक्त होता है, किस पृथ्वी दिन के साथ, क्या कोणीय संवेग पर्याप्त है, क्या पिंड ज्वार से बचा रहता है, और क्या उसके बाद वह दूर हटता है।

5.5 घंटे क्यों। आरंभिक घूर्णन स्वतंत्र रूप से नहीं चुना गया; वह पीछे की ओर चलाए गए कोणीय संवेग संरक्षण से निकलता है। आज का सारा पृथ्वी–चंद्र कोणीय संवेग, $3.44\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$ — पृथ्वी का घूर्णन और चंद्रमा की कक्षा एक साथ — एक युवा, गर्म, प्रसारित पृथ्वी के घूर्णन को लौटाया जाता है, जो अभी छँटाई की प्रारंभिक अवस्था में है (गणना निवेश के रूप में $k=0.4$)। “प्रसारित” का अर्थ है कि गर्म प्रारंभिक पृथ्वी आज की ठंडी पृथ्वी से कुछ बड़ी थी; “छँटाई की प्रारंभिक अवस्था” का अर्थ है कि कोर का संगठन अभी आरंभ ही हुआ था, इसलिए द्रव्यमान लगभग एकसमान फैला था और एकसमान मान $k=0.4$ उसका निकट वर्णन करता है। पूरे बजट को ऐसे पिंड के घूर्णन में डालने पर अवधि मिलती है: $$T_0=\frac{2\pi I_0}{L}\simeq5.54\ \mathrm{h}.$$ शब्दों में: जड़त्व आघूर्ण $I_0$ वाला पिंड, जो कोणीय संवेग $L$ वहन करता है, $\omega=L/I_0$ पर घूमता है, और उसकी अवधि $2\pi/\omega$ है। सौर ज्वारों ने तब से तंत्र के कोणीय संवेग का लगभग 1% हटा दिया है (दूर हटते चंद्रमा का अनुसरण करने पर लगभग 1.35%; Eulenfeld & Heubeck 2023; Canup 2004)। इसलिए 5.5 h की अवधि आज का कोणीय संवेग और लगभग 1% जो खो गया, दोनों वहन करती है: वह 5.54 h से थोड़ी छोटी है, क्योंकि प्रारंभिक तंत्र के पास थोड़ा अधिक था। कुछ प्रतिशत अधिक द्रव्यमान वाला युवा सूर्य इस हानि को केवल 1–2% तक बढ़ाता है।

A.2.1संदर्भ अवस्था

$GM_\oplus\simeq3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ और $T_0=5.5$ घंटे के लिए, वह दूरी जिस पर घूर्णन की गति कक्षीय गति के बराबर होती है — सह-घूर्णन त्रिज्या, जो §A.5 में व्युत्पन्न है — और वहाँ की साझा गति हैं:

$$\boxed{R_{\mathrm{sync},0}\simeq15{,}818\ \mathrm{km}, \qquad v_{\mathrm{sync},0}\simeq5{,}020\ \mathrm{m\,s^{-1}}.}$$

यह शोधपत्र की केंद्रीय संख्या है। 15,818 km पर, जो जनक की विषुवतीय त्रिज्या के दुगुने से अधिक है, पृथ्वी के साथ हर 5.5 घंटे में एक चक्कर लगाने वाला पिंड पहले से ही 5,020 m/s पर चलता है, जो ठीक उस दूरी पर वृत्तीय कक्षा की गति है। वहाँ सह-घूर्णन में थामा गया और फिर छोड़ा गया पिंड किसी अतिरिक्त धक्के की आवश्यकता नहीं रखता: वह पहले से ही कक्षा में है।

दूरी परीक्षण-कण सन्निकटन में केंद्रीय पिंड के केंद्र से मापी जाती है, जिसमें परिक्रमा करते पिंड का अपना द्रव्यमान गुरुत्वीय खिंचाव में उपेक्षित किया जाता है। इस त्रिज्या को दोनों वेग सूत्रों में रखने से पुष्टि होती है कि गतियाँ बराबर हैं।

व्युत्पत्ति केंद्रीय क्षेत्र में गति के समीकरणों का अनुप्रयोग है [8]। यदि प्रारंभिक अवस्था की गणना पूरे जनक द्रव्यमान के साथ की जाए, तो $M_{\mathrm{tot}}$ सूत्र में रखना होगा। मान 15,818 km तालिका में परिभाषित संदर्भ बना रहता है; §A.4 का युग्मित हल द्रव्यमान के विभाजन को स्पष्ट रूप से सम्मिलित करता है।

A.3नाशपाती-आकृति

सह-घूर्णन त्रिज्या सतह से बहुत ऊपर स्थित है, इसलिए किसी चीज़ को पदार्थ को वहाँ तक ले जाना होगा, जबकि वह पृथ्वी के साथ घूमता रहे। मॉडल में यह नाशपाती-आकृति है। संयोजन पृथ्वी से उठती एक पहाड़ी है: सतह पर लगभग 9,000 km चौड़ा आधार, बिना कमर के एक ही चाप बनाती भुजाएँ, और चंद्रमा पर 3,000 km चौड़ी संपर्क चक्रिका। यह पृथ्वी की सतह और चंद्रमा के बीच लगभग 7,800 km को जोड़ती है और पूरी तरह सह-घूर्णन रेखा के भीतर स्थित है, इसलिए भीतर की ओर खिंचती है: नाशपाती-आकृति के साथ हर जगह गुरुत्व उससे अधिक प्रबल है जितना घूर्णन को पदार्थ को परिक्रमा में रखने के लिए चाहिए, इसलिए नाशपाती-आकृति का अपना पदार्थ पृथ्वी द्वारा थमा रहता है और उड़कर नहीं जाता। केवल उसके शीर्ष पर स्थित पिंड रेखा तक पहुँचता है। उसकी लंबाई और द्रव्यमान एक आवश्यकता हैं: चंद्रमा पूरा का पूरा मुक्त हुआ, इसलिए ऐसी नाशपाती-आकृति का अस्तित्व होना चाहिए जो शर्तों को पूरा करे। नाशपाती-आकृति कैसे बनती है और भार कैसे वहन करती है, यह Paper 3 का विषय है।

चित्र 1 अनुपातों को पैमाने के अनुसार दिखाता है: पृथ्वी पर नाशपाती-आकृति का चौड़ा आधार, उसकी भुजाओं का एक ही चाप, और उसके शीर्ष पर चंद्रमा, जिसका केंद्र सह-घूर्णन रेखा पर है। आरेख में प्रयुक्त 5.77 h का दिन मुक्ति के समय का दिन है, जिसकी गणना §A.4 में की गई है।

A.4 संतुलन: साथ-साथ कार्य करती दो प्रक्रियाएँ

मुक्ति पर पृथ्वी के दिन की गणना से पहले उन दो प्रक्रियाओं को ध्यान में लेना होगा जो पृथ्वी के घूर्णन पर एक ही समय में, और विपरीत दिशाओं में, कार्य करती हैं। यह महत्वपूर्ण है, क्योंकि मुक्ति का दिन सह-घूर्णन रेखा की स्थिति निर्धारित करता है, और इसलिए यह कि चंद्रमा कहाँ छोड़ा जाता है।

1. नाशपाती-आकृति लंबी होती है। पदार्थ घूर्णन के साथ बाहर जाता है और अपने साथ कोणीय संवेग ले जाता है; पृथ्वी को छोड़ने वाला कोणीय संवेग उसके घूर्णन को धीमा करता है। चकरी पर बाहर की ओर चलता बच्चा चकरी को इसी प्रकार धीमा करता है।

2. कोर केंद्रीकृत होता है। विभेदन प्रारंभ में मिश्रित पिंड का घनत्व के अनुसार परतों में पृथक होना है: लोहा, सबसे सघन घटक, केंद्र की ओर डूबता है और कोर बनाता है, जबकि हल्का पदार्थ उसके ऊपर रह जाता है। LEF मॉडल में कोर का यह संगठन एक सतत प्रक्रिया है: यह स्थानांतरण से पहले आरंभ हो चुका था, नाशपाती-आकृति के बढ़ने के दौरान जारी रहा, और मुक्ति के बाद भी चलता रहा। तेज़ घूर्णन विभेदन को तेज़ करता है: लोहा भीतर डूबता है और पृथ्वी का जड़त्व आघूर्ण घटता है, क्योंकि द्रव्यमान अक्ष के निकट आता है। कम जड़त्व आघूर्ण और उसी कोणीय संवेग के साथ पिंड को तेज़ घूमना होगा। जैसे स्केटर अपनी बाँहें भीतर खींचती है, घूर्णन तेज़ हो जाता है।

कोणीय संवेग संरक्षित है, और दोनों प्रक्रियाएँ एक-दूसरे को संतुलित करती हैं: परिणाम उनके बीच का संतुलन है। जो गणना उनमें से केवल एक को ध्यान में लेती है, वह उस समय की पृथ्वी का वर्णन नहीं करती — केवल नाशपाती-आकृति बहुत लंबा दिन देगी, और केवल कोर बहुत छोटा।

तालिका पंक्ति-दर-पंक्ति पढ़ी जाती है। केवल नाशपाती-आकृति दिन को 0.94 h लंबा करती और सह-घूर्णन रेखा को लगभग 1,750 km बाहर धकेलती, क्योंकि धीमे घूर्णन को घूर्णन द्वारा कक्षीय गति मिलने से पहले अधिक दूरी चाहिए। केंद्रीकृत होता कोर 0.67 h वापस ले लेता है। साथ मिलकर दिन केवल 0.27 h लंबा होता है, 5.50 से 5.77 h तक, और रेखा केवल थोड़ा बाहर, 16,331 km तक, जाती है।

चित्र 2 वही संतुलन आलेखीय रूप में दिखाता है: नाशपाती-आकृति द्वारा जोड़ा गया दंड और कोर द्वारा हटाया गया दंड, उनके बीच शुद्ध परिणाम के साथ।

चित्र 3 स्थानांतरण के आगे बढ़ने के साथ सह-घूर्णन रेखा का अनुसरण करता है। केवल नाशपाती-आकृति के साथ रेखा लगातार बाहर की ओर चलती है; उसी समय केंद्रीकृत होते कोर के साथ वह अपनी आरंभिक स्थिति के कहीं निकट रहती है।

A.4.1 अंतिम अवस्था पर विभेदन का प्रभाव

द्रव्यमान का भीतर की ओर सांद्रण जड़त्व आघूर्ण को बदलता है। इसे परखने के लिए दोनों परत सीमाओं, घनत्व, आकृति और घूर्णन की गणना एक साथ की गई। यह संवेदनशीलता परीक्षण का विस्तार है, और केवल एक स्थिर समांगी आकृति के भीतर $k$ का प्रतिस्थापन नहीं: विभेदित होता पिंड अपना चपटापन भी बदलता है, और चपटापन बदले में जड़त्व आघूर्ण को बदलता है, इसलिए चारों को एक साथ हल करना होगा। सीमाओं को गोलाभों से विचलित होने दिया गया; परतदार तंत्रों में गोलाभीय मान्यता की सीमा की चर्चा साहित्य में भी है [5]।

संरचना का वर्णन दो संख्याओं से होता है। आयतनिक त्रिज्या अनुपात $q$ आंतरिक परत की त्रिज्या भाग पूरे पिंड की त्रिज्या है; $q=0.55$ सीमा को आधे से थोड़ा अधिक बाहर रखता है, जो वर्तमान पृथ्वी के कोर से तुलनीय है। घनत्व अनुपात $D=\rho_{\mathrm{inner}}/\rho_{\mathrm{outer}}$ बताता है कि आंतरिक परत बाहरी से कितनी अधिक सघन है: $D=1$ एकसमान पिंड है, $D=2$ बाहरी से दुगुनी सघन आंतरिक परत। जितना बड़ा $D$, उतना अधिक द्रव्यमान केंद्र के निकट और उतना छोटा गुणांक $k$ ( $q=0.55$ और $D=2$ के लिए, $k=0.360$; §B.6)। आयतनिक त्रिज्या अनुपात $q=0.55$, और घनत्व अनुपात $D$ के लिए, परीक्षण-कण सन्निकटन देता है:

तालिका एक स्थिर प्रवृत्ति दिखाती है: जैसे-जैसे $D$ 1 से 3 तक बढ़ता है, अंतिम दिन 6.438 से 5.274 घंटे तक छोटा होता है और सह-घूर्णन रेखा 17,569 से 15,382 km तक भीतर की ओर जाती है। पहली पंक्ति, $D=1$, केवल नाशपाती-आकृति का प्रभाव है (कोई केंद्रीकरण नहीं); पंक्ति $D=2$ §A.4 की अपनाई गई अवस्था है। $D=2.5$ पर केंद्रीकृत होता कोर नाशपाती-आकृति द्वारा उत्पन्न धीमेपन को लगभग ठीक निरस्त कर देता है, और दिन लगभग अपने आरंभिक मान पर लौट आता है।

अंतिम संरचना में विभेदन उस घूर्णन-मंदन के एक भाग को संतुलित कर सकता है जो स्थानांतरण के साथ होता है। पंक्तियाँ संभावित अवस्थाएँ हैं, समय में विकास का अनुक्रम नहीं। सभी पंक्तियाँ समांगी जनक के लिए एक ही प्रारंभिक बजट का उपयोग करती हैं; वे यह स्थापित नहीं करतीं कि सांद्रित प्रारंभिक संरचना वह बजट प्रदान करेगी। मान्यताएँ, पूरा क्रमवीक्षण और अभिसरण जाँचें परिशिष्ट C में और उससे जुड़े गणना दस्तावेज़ में हैं।

A.5 सह-घूर्णन

यह खंड पूरे शोधपत्र में प्रयुक्त सह-घूर्णन त्रिज्या को व्युत्पन्न करता है, और बताता है कि उसका उपयोग कहाँ मान्य है।

चित्र 4 §A.1.3 की दोनों गतियों को पृथ्वी के केंद्र से दूरी के सापेक्ष आलेखित करता है। घूर्णन द्वारा वहन की गई गति सीधी रेखा में बढ़ती है; कक्षीय गति घटती है। कटान बिंदु के भीतर घूर्णन उससे कम देता है जितना कक्षा को चाहिए और पदार्थ भीतर की ओर खिंचता है; उसके बाहर घूर्णन उससे अधिक देता है जितना कक्षा को चाहिए और पदार्थ बाहर की ओर प्रवृत्त होता है। कटान बिंदु सह-घूर्णन रेखा है।

सह-घूर्णन द्रव्यमान-केंद्र पर कार्य करता है, ज्यामितीय केंद्र पर नहीं, क्योंकि गुरुत्व और घूर्णन का संतुलन पिंड पर समग्र रूप से लागू होता है, और पूरा पिंड ऐसे चलता है मानो उसका द्रव्यमान उसके द्रव्यमान-केंद्र पर एकत्र हो। सह-घूर्णन बलों ने चंद्रमा को उसके ज्यामितीय केंद्र के रेखा पार करने के थोड़ा बाद खींचा होगा, क्योंकि उसका द्रव्यमान-केंद्र पृथ्वी की ओर थोड़ा विस्थापित है (आज लगभग 2 km): ज्यामितीय केंद्र पहले रेखा तक पहुँचता है, और द्रव्यमान-केंद्र थोड़ा बाद में; चंद्रमा अपने द्रव्यमान-केंद्र के पार करने के थोड़ा बाद मुक्त होता है, रेखा से लगभग 210 km परे (§D.3; Paper 3, §C.5a)।

A.5.1 व्युत्पत्ति

परीक्षण-कण सन्निकटन में, विषुवतीय तल में और केंद्रीय क्षेत्र में, घूर्णन द्वारा वहन की गई गति कोणीय वेग गुणा दूरी है; वृत्तीय कक्षीय गति गुरुत्वीय खिंचाव को उस बल के बराबर रखने से निकलती है जो द्रव्यमान $m$ को त्रिज्या $R$ के वृत्त पर रखने के लिए आवश्यक है:

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega R, \qquad \frac{GMm}{R^2}=\frac{mv_{\mathrm{circ}}^2}{R}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM}{R}}.$$

परिक्रमा करते पिंड का द्रव्यमान $m$ कट जाता है: किसी दी गई दूरी पर कक्षीय गति एक कण और एक चंद्रमा के लिए समान है। गतियों को बराबर करने पर मिलता है:

$$\omega R=\sqrt{\frac{GM}{R}} \quad\Longrightarrow\quad \omega^2R^3=GM.$$

$R$ के लिए हल करने और $\omega=2\pi/T$ लिखने पर:

$$\boxed{R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{GM}{\omega^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}}$$

परिणाम बताता है कि सह-घूर्णन त्रिज्या केवल केंद्रीय पिंड के द्रव्यमान और उसकी घूर्णन अवधि पर निर्भर है, और अवधि की दो-तिहाई घात के रूप में बढ़ती है: धीमा घूर्णन रेखा को बाहर धकेलता है। इसी कारण लंबी होती नाशपाती-आकृति रेखा को बाहर ले जाती है और केंद्रीकृत होता कोर उसे वापस लाता है (§A.4)।

धनात्मक, स्थिर द्रव्यमान और कोणीय वेग के लिए एक ही धनात्मक मूल है। यह मानक कक्षीय यांत्रिकी का तुल्यकालिक-कक्षा संबंध है — वही संबंध जो भूस्थिर उपग्रहों को आज की पृथ्वी के ऊपर रखता है; नया यह है कि उसका मूल्यांकन कहाँ किया जाता है। शास्त्रीय आपत्ति ने गति शर्त का मूल्यांकन जनक की सतह पर किया; LEF मार्ग उसका मूल्यांकन सह-घूर्णन त्रिज्या पर करता है।

A.5.2 मुक्ति शर्त और वैधता का क्षेत्र

समानता विषुवतीय वृत्तीय कक्षा के अनुरूप है जब त्रिज्य वेग शून्य हो और संपर्क बल समाप्त हो जाएँ — अर्थात जब पिंड शुद्ध रूप से पार्श्व दिशा में चल रहा हो और संयोजन उसे अब न धकेले न खींचे। अतिरिक्त वेग के साथ, या विषुवत से हटकर मुक्ति के साथ, प्रारंभिक-शर्त सदिशों की गणना करनी होगी। कक्षीय विवरण Paper 4 का है; इस शोधपत्र में केवल कोणीय-संवेग बजट के लिए आवश्यक संशोधन रखा गया है, §A.6 और परिशिष्ट D में।

सह-घूर्णन तक पहुँचना उत्थापन के लिए आवश्यक कार्य या कोणीय संवेग के स्थानांतरण को निरस्त नहीं करता: गति शर्त रेखा पर पूरी होती है, किंतु ऊर्जा और कोणीय संवेग को मार्ग में फिर भी पदार्थ तक पहुँचाना होता है। चपटे जनक का क्षेत्र, विकसित होते पिंड का आकार और द्वि-पिंड गुरुत्व भी केंद्रीय वर्णन पर संशोधन लगाते हैं। §A.4 का हल एक विशेष द्वि-पिंड संशोधन सम्मिलित करता है, किंतु एक-दूसरे से जुड़ी दो विकृत आकृतियों का पूर्ण हल नहीं है।

A.5.3 मुक्ति के लिए शर्त का अर्थ

§A.4 का युग्मित हल एक बजट संबंधी अंतिम अवस्था परिभाषित करता है: मुक्ति के क्षण पृथ्वी के घूर्णन में कितना कोणीय संवेग है और चंद्रमा की कक्षा में कितना। वह स्वयं उससे दूर हटने के आरंभ को निर्धारित नहीं करता। जोड़ा गया त्रिज्य वेग भी स्थायी दूर हटने की पर्याप्त शर्त नहीं है, क्योंकि वह उत्केंद्रता (कक्षा कितनी लंबी है) और ज्वारों को बदलता है। विलंब मॉडल और प्रवाहिकी (इस बात का वर्णन कि भार के अंतर्गत पदार्थ कैसे विकृत होता और बहता है) परस्पर संगत होने चाहिए [3,4]। रेखा के प्रत्येक ओर ज्वारीय धक्के की दिशा §A.8 में दी गई है।

A.5.4 Paper 2 और Paper 4 के बीच की सीमा

Paper 2 कक्षीय परीक्षण को सौंपे जाने वाले द्रव्यमान, घूर्णन और बजट को निर्धारित करता है। Paper 4 कक्षीय अवयवों, झुकाव और मुक्ति के बाद के विकास को लेता है। यहाँ दूर हटने का कोई परिकलित समय नहीं है, और सह-घूर्णन त्रिज्या के भीतर मुक्त कक्षा पर कोई सामान्य निषेध नहीं। संयोजित परिदृश्य में मुक्त-पिंड समीकरणों को वहाँ संयोजित अवस्था के समीकरणों से प्रतिस्थापित करना है जहाँ मुक्त-पिंड समीकरण लागू होना बंद कर देते हैं: जब तक चंद्रमा नाशपाती-आकृति के माध्यम से अभी जुड़ा है, वह संयोजन द्वारा थमा है और मुक्त पिंड नहीं है।

A.6कोणीय-संवेग बजट

गति की समस्या सह-घूर्णन त्रिज्या पर हल हो जाती है। §A.1.1 का दूसरा प्रश्न शेष है: क्या जनक के पास चंद्रमा को वहाँ रखने और फिर भी आज दिखने वाले तंत्र से मेल खाने के लिए पर्याप्त कोणीय संवेग है? यह खंड बजट को चरण-दर-चरण बनाता है: जनक का प्रारंभिक कोणीय संवेग, पदार्थ को बाहर ले जाने की लागत, वर्तमान तंत्र से तुलना, अवधि, प्रसार और संरचना के प्रति संवेदनशीलता, और शास्त्रीय विखंडन मार्ग से तुलना।

A.6.1जनक और प्रारंभिक बजट

प्रारंभिक जनक द्रव्यमान $M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m$ है। जो पदार्थ बाद में स्थानांतरित होना है, वह अभी उसके जड़त्व आघूर्ण में सम्मिलित है। जनक को मैकलॉरिन गोलाभ के रूप में वर्णित किया गया है: स्थिर घूर्णन में एकसमान तरल पिंड की साम्य आकृति, ध्रुवों पर चपटी और विषुवत पर उभरी हुई, अपने अक्ष के प्रति सममित। वह जितना तेज़ घूमता है, उतना चपटा होता है। समांगी मैकलॉरिन मॉडल में, तालिका की मान्यताओं के अंतर्गत, प्राप्त होता है [1]:

$$I_0=\frac{2}{5}M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_0=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

पहली पंक्ति 6,721 km की विषुवतीय त्रिज्या वाले एकसमान गोलाभ ($k=2/5$) का जड़त्व आघूर्ण है; दूसरी उसे 5.5 घंटे के दिन के कोणीय वेग से गुणा करती है। परिणाम, $3.466\times10^{34}$, वह पूरा कोणीय-संवेग बजट है जिसके साथ मार्ग को कार्य करना है। आकृति समीकरण और पूरा प्रतिस्थापन परिशिष्ट B में रखा गया है। एकसमानता संदर्भ मान्यता है; संरचना के परिवर्तन की परीक्षा नीचे की गई है।

A.6.2 आधार गणना में स्थानांतरण की लागत

स्थानांतरण से पहले चंद्र पदार्थ जनक का भाग है और उसके साथ घूमता है, जनक के कोणीय संवेग में अपना अंश वहन करता हुआ। एकसमान द्रव्यमान वितरण का प्रतिनिधित्व करने वाले पदार्थ के लिए अक्ष से उसकी माध्य वर्ग दूरी जनक के समान है, और उसका अंश है:

$$L_{0,\mathrm{mat}}=m\omega_0\left\langle r_\perp^2\right\rangle =\frac25m\omega_0a_0^2\simeq4.21\times10^{32}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.$$

यहाँ $\langle r_\perp^2\rangle$ पदार्थ पर, घूर्णन अक्ष से वर्ग दूरी का औसत है। जब वही द्रव्यमान सह-घूर्णन त्रिज्या पर स्थित हो और अभी भी जनक के साथ घूमता हो, तब उसका कोणीय संवेग है:

$$L_{\mathrm{orb},0}=m\omega_0R_{\mathrm{sync},0}^2\simeq5.83\times10^{33}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

लगभग चौदह गुना अधिक, क्योंकि अक्ष से दूरी बढ़ गई है और वर्ग के रूप में आती है। दोनों के बीच का अंतर जनक के घूर्णन द्वारा दिया जाना चाहिए। पूरे बजट के अंश के रूप में:

$$\boxed{\frac{L_{\mathrm{orb},0}-L_{0,\mathrm{mat}}}{L_{\mathrm{initial}}}\simeq15.6\%.}$$

स्थानांतरण के दौरान जनक के कोणीय संवेग का लगभग छठा भाग पदार्थ को सौंपा जाता है। यह वह मात्रा है जिससे केंद्रीकृत होते कोर को ध्यान में लेने से पहले नाशपाती-आकृति द्वारा जनक का घूर्णन धीमा होता है (§A.4)।

आधार गणना में विषुवतीय सतही स्रोत लगभग 13.8% देता है; मूल त्रिज्या के आधे पर स्थित समान आंतरिक क्षेत्र का एक प्रतिनिधि नमूना लगभग 16.5% देता है। स्रोत महत्वपूर्ण है, क्योंकि जो पदार्थ अक्ष से दूर आरंभ होता है वह पहले से अधिक कोणीय संवेग वहन करता है और उसे कम जोड़ने की आवश्यकता होती है। किसी विशिष्ट आंतरिक स्रोत को अपनी माध्य वर्ग दूरी चाहिए। “आंतरिक” शब्द से यह नहीं समझना चाहिए कि वैश्विक माध्य अनिवार्यतः लागू होता है।

A.6.3 वर्तमान तंत्र से तुलना

अब जनक के बजट की तुलना उससे करनी है जो पृथ्वी–चंद्र तंत्र के पास आज है। वर्तमान कुल के दो भाग हैं: पृथ्वी का घूर्णन और चंद्रमा की कक्षा। स्रोत से लिए गए संदर्भ स्थिरांक देते हैं:

$$L_{\mathrm{spin}}=I_\oplus\omega_\oplus\simeq5.86\times10^{33},$$

$$L_{\mathrm{orbit}}=\mu_{\mathrm{red}}\sqrt{GM_{\mathrm{tot}}a_m(1-e_m^2)} \simeq2.855\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

जहाँ $a_m=3.844\times10^8$ m और $e_m=0.0549$। दूसरा सूत्र अपने साझा केंद्र की परिक्रमा करते दो पिंडों का कक्षीय कोणीय संवेग है: $\mu_{\mathrm{red}}=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ समानीत द्रव्यमान है, $a_m$ चंद्र कक्षा का अर्ध-दीर्घ अक्ष और $e_m$ उसकी उत्केंद्रता। परिमाणों का योग लगभग $3.441\times10^{34}$ है, जिसका लगभग 83% कक्षीय है: तंत्र का अधिकांश कोणीय संवेग अब चंद्रमा की कक्षा में है, पृथ्वी के घूर्णन में नहीं। परिमाणों के योग के सापेक्ष जनक के बजट का अधिशेष लगभग 0.7% है। जनक के पास आज के तंत्र से थोड़ा अधिक था, जो सौर ज्वारों की छोटी हानि द्वारा अपेक्षित चिह्न है (§A.2)।

घूर्णन और कक्षीय कोणीय संवेग सदिश हैं, और वे एक ही दिशा में इंगित नहीं करते: पृथ्वी का अक्ष चंद्र कक्षा के तल के सापेक्ष झुका है। यदि सदिशों के बीच का कोण $\theta$ है, तो कुल परिमाण है:

$$L_{\mathrm{vec}}=\sqrt{L_s^2+L_o^2+2L_sL_o\cos\theta}.$$

किसी कोण पर दो तीरों को जोड़ने से उन्हें सिरे से सिरा मिलाकर रखने की तुलना में छोटा कुल मिलता है, इसलिए सदिश कुल अदिश योग से छोटा है और उस पर जनक का अधिशेष बड़ा है। परीक्षण कोणों 18.3°, 23.4° और 28.6° के लिए लगभग 1.46%, 1.92% और 2.51% के अधिशेष मिलते हैं। कोण संवेदनशीलता परीक्षण का कार्य करते हैं; यहाँ कोई प्रेक्षण युग नहीं चुना गया और कोई पूर्ण सदिश इतिहास परिकलित नहीं किया गया। चंद्रमा का वर्तमान घूर्णन बहुत छोटा है, किंतु उसका प्रारंभिक घूर्णन बड़ा था, और दोनों को अलग रखना होगा।

अधिशेष इस पर निर्भर करता है कि जनक कितना एकसमान था। स्थिर आकृति पर $k$ को बदलने से अदिश योग के विरुद्ध लगभग 0.397 और सदिश परास के विरुद्ध लगभग 0.390–0.394 की देहली मिलती है: इस मान से नीचे $k$ होने पर जनक का बजट आज के बजट से कम पड़ेगा। वर्तमान विभेदित पृथ्वी का $k$ लगभग 0.33 है, देहली से काफ़ी नीचे, इसलिए मार्ग की आवश्यकता है कि स्थानांतरण आरंभ होने पर जनक अभी छँटाई की प्रारंभिक अवस्था में था; यह आवश्यकता §D.3 में सूचीबद्ध है। यह एक संवेदनशीलता शर्त है, स्तरित मैकलॉरिन हलों का परिवार नहीं। धनात्मक अधिशेष का अर्थ है कि यह परीक्षण कोई कोणीय-संवेग घाटा नहीं पाता, किंतु सूर्य को होने वाली हानि की दर से मेल के लिए एक और गणना चाहिए।

A.6.4 अवधि और प्रसार के प्रति संवेदनशीलता

छोटा प्रारंभिक दिन अधिक कोणीय संवेग का अर्थ है; बड़े (अधिक प्रसारित) जनक का जड़त्व आघूर्ण बड़ा होता है और वह लंबे दिन पर वही कोणीय संवेग धारण करता है। इसलिए स्वीकार्य प्रारंभिक अवधि अपनाए गए प्रसार पर निर्भर करती है। संदर्भ मॉडल में 4.90–5.54 घंटे की खिड़की प्रारंभिक अवधि और अपनाए गए बजट तथा हानि शर्तों को संदर्भित करती है: 5.54 घंटे पर जनक ठीक आज का कोणीय संवेग धारण करता है, और 4.90 घंटे पर लगभग 15% अधिक, जो बाहर को हानि की अपनाई गई सीमा है। इसकी ऊपरी सीमा कोणीय संवेग के स्थानांतरण के बाद की अंतिम अवधि पर लागू नहीं की जानी चाहिए, जो रचना के अनुसार ही लंबी है (§A.4)। परिशिष्ट B मूल संवेदनशीलता तालिका को बनाए रखता है, अपनाए गए प्रसार और अभी न की गई तापीय गणना के बीच के भेद के साथ।

चित्र 5 को अनुमत आरंभिक अवस्थाओं के मानचित्र के रूप में पढ़ा जाता है। क्षैतिज अक्ष यह है कि गर्म जनक अपनी ठंडी त्रिज्या से कितना प्रसारित था; ऊर्ध्वाधर अक्ष उसका दिन है। ठोस रेखा के ऊपर की आरंभिक अवस्था आज के तंत्र से कम कोणीय संवेग धारण करती है और अपवर्जित है; धराशायी रेखा के नीचे की अवस्था 15% से अधिक अतिरिक्त धारण करती है, जितना बाहरी हानि हटा सकती है उससे अधिक। उनके बीच की पट्टी स्वीकार्य है, और वह दाईं ओर ऊपर उठती है, क्योंकि बड़ा जनक लंबे दिन पर वही कोणीय संवेग धारण करता है। संदर्भ अवस्था, 120 km प्रसार के साथ 5.5 h, पट्टी के भीतर, ऊपरी सीमा के ठीक नीचे स्थित है।

A.6.5 साम्य आकृतियों की तुलना

विखंडन के विरुद्ध शास्त्रीय आपत्ति को अब ठीक-ठीक स्थान दिया जा सकता है। शास्त्रीय मार्ग में पूरी पृथ्वी को इतनी तेज़ घूमना होगा कि वह अस्थिर होकर विभाजित हो जाए। एकसमान घूमता तरल, जैसे-जैसे उसका कोणीय संवेग बढ़ता है, आकृतियों के एक ज्ञात अनुक्रम का अनुसरण करता है। पहले वह मैकलॉरिन गोलाभ है (§A.6.1), चपटा किंतु विषुवत में गोल। एक निश्चित चपटेपन पर एक दूसरा परिवार शाखा के रूप में निकलता है: जैकोबी दीर्घवृत्तज, जिनकी विषुवत अब वृत्त नहीं बल्कि दीर्घवृत्त है, इसलिए पिंड सिरे-पर-सिरा घूमती रग्बी गेंद की तरह लंबा हो जाता है। जैकोबी अनुक्रम में आगे एक नाशपाती-आकार की आकृति आती है, जिससे शास्त्रीय विखंडन के आगे बढ़ने की अपेक्षा थी। इनमें से प्रत्येक बिंदु एक निश्चित घूर्णन और एक निश्चित कोणीय संवेग की अपेक्षा करता है।

मैकलॉरिन से जैकोबी के शास्त्रीय द्विशाखन बिंदु पर, $e\simeq0.81267$ और $\omega^2/(\pi G\rho)\simeq0.37423$ के साथ, अपनाए गए द्रव्यमान और आयतन के लिए $T\simeq2.73$ घंटे, $a\simeq7{,}802$ km और लगभग $9.42\times10^{34}$ का कोणीय संवेग प्राप्त होता है, वर्तमान योग से लगभग 2.74 का अनुपात [1]। यहाँ $e$ याम्योत्तर परिच्छेद की उत्केंद्रता है (गोले के लिए शून्य, बहुत चपटे पिंड के लिए एक के निकट) और $\omega^2/(\pi G\rho)$ पिंड के अपने गुरुत्व के विरुद्ध घूर्णन को मापता है। सरल शब्दों में: केवल शास्त्रीय पथ के पहले चरण तक पहुँचने के लिए पृथ्वी को तीन घंटे से कम का दिन और पृथ्वी–चंद्र तंत्र के पास जितना है उसका लगभग तीन गुना कोणीय संवेग चाहिए।

यह इस शास्त्रीय पथ पर एक परिभाषित विन्यास से तुलना है। मूल संदर्भ गणना का मान 4.08 मैकलॉरिन अनुक्रम के एक भिन्न बिंदु को संदर्भित करता है — अधिकतम-$\Omega$ बिंदु, जैकोबी द्विशाखन नहीं — और उसे सार्वभौमिक सीमा के रूप में प्रस्तुत नहीं किया गया है। यही इस परिचित कथन का स्रोत है कि विखंडन को लगभग चार गुना अधिक कोणीय संवेग चाहिए। नाशपाती-आकार के बिंदु के लिए मान 3.5 नहीं अपनाया गया, क्योंकि तालिका का सत्यापन पूरा नहीं हुआ है।

अंतर का कारण वह स्थान है जहाँ गति शर्त का मूल्यांकन होता है। शास्त्रीय मार्ग जनक की सतह से कक्षीय गति प्राप्त करने की अपेक्षा करता है (§A.1.2); यह जनक को विखंडन की ओर धकेलता है, और विखंडन की लागत उपलब्ध कोणीय संवेग की कई गुना है। LEF मार्ग उस शर्त का कभी उपयोग नहीं करता: पदार्थ सह-घूर्णन में बाहर ले जाया जाता है और गति का मेल सह-घूर्णन त्रिज्या पर होता है (§A.5), जहाँ 5.5 घंटे में एक चक्कर लगाने वाला जनक पहले से ही कक्षीय गति देता है। वहाँ मूल्यांकन करने पर आवश्यकता उस बजट तक गिर जाती है जो जनक के पास वास्तव में है। तुलना एक ही परिणाम तक पहुँचने वाले दो मार्गों के बीच है: शास्त्रीय मार्ग को वर्तमान बजट का 2.74 गुना चाहिए; इसे 1.007।

A.6.6 विषुवत से हटकर मुक्ति के लिए सदिश संशोधन

अब तक माना गया कि पदार्थ विषुवतीय तल में निकलता है। विषुवत से हटकर घूर्णन सदिश और कक्षीय कोणीय संवेग को एक ही निर्देश-तंत्र में जोड़ना होगा, क्योंकि किसी अक्षांश पर मुक्त हुए पिंड की कक्षा घूर्णन के सापेक्ष झुकी होती है। मान लें $S=I\omega$ घूर्णन कोणीय संवेग है और $H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda$ मुक्त पिंड का कक्षीय कोणीय संवेग, जहाँ $\lambda$ विषुवतीय तल से मुक्ति का कोण है। परिशिष्ट D में परिभाषित ज्यामिति के लिए:

$$\boxed{L_0^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.}$$

यह किसी कोण पर दो तीरों को जोड़ने का वही नियम है जो §A.6.3 में था: प्रारंभिक बजट घूर्णन और झुकी कक्षा के सदिश योग के बराबर होना चाहिए।

उदाहरण $\lambda=25^\circ$ में, अंतिम अक्ष के सापेक्ष और समांगी संरचना के साथ, द्वि-द्रव्यमान युग्मित गणना 6.220 घंटे की अंतिम अवधि, लगभग 17,240 km की संदर्भ दूरी और बजट के लगभग 15.83% का कक्षीय कोणीय संवेग देती है। 25° का मान इस बात का संवेदनशीलता परीक्षण है कि विषुवत से हटकर मुक्ति बजट को कितना बदलती है; अपनाया गया मुक्ति अक्षांश, संपर्क क्षेत्र का केंद्र, 22.5° है (Paper 4)। यह बजट पर संवेदनशीलता संशोधन है, नया अपनाया गया संदर्भ मान नहीं। झुकाव और उत्केंद्रता की व्युत्पत्ति, उपभू और मुक्ति के बाद का विकास Paper 4 को सौंपे गए हैं।

A.6.7बजट संबंधी निर्णय शर्त

परीक्षण को एक संगत प्रारंभिक अवस्था, अंतिम अवस्था और बाहरी स्थानांतरण चाहिए:

$$\mathbf{L}_i=\mathbf{L}_f+\Delta\mathbf{L}_{\mathrm{external}}.$$

समीकरण लेखे के रूप में लिखा गया कोणीय संवेग संरक्षण है: तंत्र ने जिससे आरंभ किया, वह उसके बराबर है जो उसके पास अब है और जो बाहर से हटाया गया (पृथ्वी–चंद्र तंत्र के लिए, मुख्यतः सूर्य के ज्वार द्वारा)। संख्यात्मक संतुलन का पूरा होना परिभाषित अवस्थाओं के बीच संगति सिद्ध करता है। संरचना और बाहरी स्थानांतरणों की समर्थित परासों के भीतर मेल न मिलना इस बजट संबंधी परिदृश्य को खारिज करेगा। मेल यह स्थापित नहीं करता कि पिंड यांत्रिक रूप से अंतिम अवस्था तक कैसे पहुँचता है; वह Paper 3 का विषय है।

इसलिए बजट इस प्रकार है: 5.5 घंटे का जनक आज के तंत्र से थोड़ा अधिक कोणीय संवेग धारण करता है, स्थानांतरण की लागत उसका लगभग छठा भाग है, और शास्त्रीय मार्ग को 2.74 गुना चाहिए होता।

A.7रोश सीमा

सह-घूर्णन त्रिज्या तक पहुँचने वाले पिंड को वहाँ एकजुट भी रहना होगा। विशाल जनक के निकट जनक का गुरुत्व पिंड के निकट वाले भाग को दूर वाले भाग से अधिक खींचता है; यह अंतर, ज्वारीय बल, पिंड को खींचकर अलग करने की प्रवृत्ति रखता है। रोश सीमा वह दूरी है जिसके भीतर यह खिंचाव पिंड को एकजुट रखने वाले उसके अपने गुरुत्व से अधिक हो जाता है। केवल अपने गुरुत्व से बँधा पिंड उसके भीतर पूरा नहीं रह सकता।

A.7.1दो संदर्भ सीमाएँ

$\rho_s=2{,}600\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ और प्रस्थान के बाद के जनक द्रव्यमान के लिए:

$$d_{\mathrm{fluid}}=2.44\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq19{,}971\ \mathrm{km},$$

$$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq10{,}314\ \mathrm{km}.$$

(एक पूर्ववर्ती संस्करण ने 10,313 km दिया था; दोनों पूर्णांकन के भीतर समान हैं, और श्रृंखला 10,314 km का उपयोग करती है। चित्र 1, 6, 8 और 9 तरल सीमा को 19,972 km के रूप में छापते हैं, जो पूर्णांकन के भीतर वही मान है।) कोष्ठक वाला पद उस गोले की त्रिज्या है जो पृथ्वी के द्रव्यमान का हो और जिसका घनत्व उपग्रह के घनत्व के बराबर हो; सीमा उसका एक निश्चित गुणज है। दोनों सूत्र केवल उस गुणज में भिन्न हैं, और कारण भौतिक है। तरल सन्निकटन विकृत होते पिंड से संबंधित है: खिंचने पर वह जनक की ओर लंबा होता है, उसके निकट और दूर के सिरे और अलग हो जाते हैं, उसके आर-पार ज्वारीय अंतर बढ़ता है, और वह जल्दी टूट जाता है — इसलिए तरल सीमा और बाहर स्थित है। तथाकथित दृढ़ सन्निकटन आकृति के परिवर्तन की उपेक्षा करता है: पिंड अपनी गोल आकृति बनाए रखता है, उसके आर-पार ज्वारीय अंतर छोटा रहता है, और वह और निकट तक बचा रहता है। इसमें कोई भूपर्पटी मोटाई या पदार्थ दृढ़ता नहीं है [1]; यह केवल अपने गुरुत्व से बँधा पिंड है जो बस अपनी आकृति नहीं बदलता। आधार त्रिज्या और दोनों युग्मित त्रिज्याएँ इन सीमाओं के बीच स्थित हैं: तरल सीमा के भीतर, दृढ़ सीमा के बाहर। इसलिए केवल भूपर्पटी की उपस्थिति बचे रहने को स्थापित नहीं करती; बचा रहना इस पर निर्भर है कि वहाँ बिताए गए समय-पैमाने पर पिंड दृढ़ की तरह व्यवहार करता है या नहीं।

पिंड का घनत्व बढ़ने के साथ रोश सीमाएँ भीतर की ओर खिसकती हैं, क्योंकि सघन पिंड स्वयं को अधिक प्रबलता से एकजुट रखता है। लगभग 4,700 kg प्रति घन मीटर का घनत्व तरल सीमा को लगभग 16,400 km की मुक्ति दूरी तक ले आएगा; मुक्ति पर दृढ़ पिंड के लिए दृढ़ सीमा लागू होती है (§B.7)। यह रोश सन्निकटन में परिकलित एक आवश्यकता है, न यह प्रमाण कि पिंड उस घनत्व तक पहुँचा, न सभी स्थायित्व आवश्यकताओं का हल।

A.7.2 त्वरणों की तुलना क्या सिखाती है

मूल तुलना जनक की गुरुत्व प्रवणता और स्व-गुरुत्व के बीच है:

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3},\qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

पहली राशि, $\Delta a$, पिंड के केंद्र पर और उसकी सतह पर, जो $R_s$ दूरी निकट है, जनक के खिंचाव का अंतर है; यह तीव्रता से, दूरी $r$ के घन के रूप में, घटती है। दूसरी, $g_s$, पिंड का अपना सतही गुरुत्व है जो उसके पदार्थ को भीतर थामे रखता है। जब पहली दूसरी से छोटी हो, पिंड का अपना गुरुत्व जीतता है। परिशिष्ट E के संदर्भ आँकड़ों के साथ अनुपात एक से नीचे है (15,818 km पर लगभग 0.277)। यह भार का एक उपयोगी माप है, किंतु आकृति का परिवर्तन और घूर्णन अनुपात में सम्मिलित नहीं हैं। स्थैतिक रोश सीमा तुलना का आधार देती है; उत्केंद्र कक्षा में अनुक्रिया विरूपण के इतिहास पर भी निर्भर कर सकती है [9]।

A.7.3क्या सशर्त रहता है

सह-घूर्णन त्रिज्या दृढ़ता की देहली नहीं है: वहाँ पहुँचना गति को तय करता है, बचे रहने को नहीं। पिंड और संयोजन के गुणों की परीक्षा Paper 3 में की गई है, और मुक्ति के बाद की कक्षा की Paper 4 में। Paper 2 रोश क्षेत्र में कोई बाध्यकारी निवास समय और कोई सार्वभौमिक श्यानता देहली नहीं अपनाता। तुलना में चुनी गई कक्षा की निकटतम दूरी का उपयोग होना चाहिए, केवल मुक्ति दूरी का नहीं। परीक्षणों को शोधपत्रों में बाँटना बचे रहने की आवश्यकता को नहीं हटाता।

चित्र 6 मुक्ति के समय चंद्रमा को सीमाओं के दोनों परिवारों के सामने रखता है। घनत्वों की पूरी परास के लिए दृढ़ सीमाएँ चंद्रमा की स्थिति से काफ़ी भीतर स्थित हैं; तरल सीमाएँ उससे परे। इसलिए मुक्ति के समय चंद्रमा दृढ़ पिंड के रूप में सुरक्षित है, और उसका चपटापन और गोलाई पहले ही, जब वह अभी जुड़ा था, पूर्ण हो चुके थे (§B.7; Paper 7)।

A.8ज्वारीय विकास की दिशा

भाग A का अंतिम प्रश्न यह है कि मुक्ति के बाद क्या होता है: क्या चंद्रमा पृथ्वी से दूर जाता है या वापस गिरता है? उत्तर इस पर निर्भर है कि वह सह-घूर्णन रेखा के किस ओर स्थित है।

A.8.1 कोणीय-संवेग स्थानांतरण की दिशा

प्रत्यक्ष, वृत्तीय, विषुवतीय कक्षा के लिए हम जनक के घूर्णन की तुलना माध्य गति से करते हैं — जनक के चारों ओर परिक्रमा करते पिंड का कोणीय वेग:

$$n=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}.$$

परिक्रमा करता पिंड जनक पर एक ज्वारीय उभार उठाता है। जब $\omega>n$, जनक पिंड की परिक्रमा से तेज़ घूमता है, और उसका घूर्णन उभार को पिंड से आगे ले जाता है; उभार पिंड को आगे खींचता है, उसे कोणीय संवेग देता है, और पिंड बाहर की ओर चढ़ता है जबकि जनक का घूर्णन धीमा होता है। ज्वारीय समीकरणों की भाषा में, जनक में क्षयकारी ज्वारीय योगदान उसके घूर्णन से कक्षा तक कोणीय संवेग स्थानांतरित करता है। जब $\omega<n$, पिंड उभार से आगे निकल जाता है, उभार उसे पीछे खींचता है, और दिशा उलट जाती है: पिंड कोणीय संवेग खोता है और सर्पिल रूप से भीतर आता है। ठीक वृत्तीय तुल्यकालिकता पर संबंधित योगदान लुप्त हो जाता है: उभार पिंड के ठीक नीचे रहता है और कोई आगे या पीछे का खिंचाव नहीं होता। चूँकि $n$ दूरी के साथ घटता है और $\omega$ नहीं, $\omega>n$ सह-घूर्णन त्रिज्या के बाहर और $\omega<n$ उसके भीतर लागू होता है। इस प्रकार सह-घूर्णन रेखा एक जलविभाजक है: उससे ठीक परे मुक्त हुआ पिंड आरंभ से ही बाहर की ओर धकेला जाता है। झुकाव और उत्केंद्रता वाली कक्षा तक सामान्यीकरण के लिए उपयुक्त ज्वारीय समीकरण चाहिए [2,3]।

चित्र 7 वर्तमान सौर मंडल में जलविभाजक को कार्य करते दिखाता है। मंगल के दो छोटे चंद्रमा उसकी तुल्यकालिक त्रिज्या के विपरीत ओर हैं: Phobos, भीतर, भीतर की ओर खिंच रहा है; Deimos, बाहर, दूर जा रहा है। मुक्ति के समय पृथ्वी–चंद्र स्थिति वही नियम है, रेखा से ठीक परे रखे चंद्रमा पर लागू।

भाग A के पूर्ण होने के साथ समस्याएँ पूरी तरह परिभाषित हैं: एक वेग अंतर जो सह-घूर्णन त्रिज्या पर बंद होता है, एक नाशपाती-आकृति जो उस त्रिज्या तक पहुँचती है, दो विरोधी प्रक्रियाओं द्वारा निर्धारित मुक्ति का दिन, एक बजट जो आज के तंत्र के विरुद्ध पूरा होना चाहिए, एक रोश परीक्षण जिसे पिंड को पार करना है, और एक ज्वारीय जलविभाजक जो उसकी बाद की दिशा तय करता है। भाग B एक ही गणना से उनका उत्तर देता है।

भाग A ने शर्तें बताईं; यह भाग दिखाता है कि संख्याओं का एक ही, संगत समूह उन सभी को एक साथ पूरा करता है। यह बात महत्वपूर्ण है, क्योंकि अकेले ली गई प्रत्येक शर्त को सामान्यतः एक प्राचल समायोजित करके पूरा किया जा सकता है, जबकि उसी पृथ्वी, उसी चंद्रमा और उसी घूर्णन के साथ उन सभी को पूरा करना मार्ग का कहीं अधिक कठोर परीक्षण है।

B.1गणना

निवेश। प्रारंभिक पृथ्वी दिन $T_0=5.5$ h (§A.2); 6,517 km की आयतनिक त्रिज्या और 5,214 kg m$^{-3}$ घनत्व वाला समांगी, प्रसारित जनक (विषुवतीय 6,721 km, ध्रुवीय 6,128 km); चंद्रमा: एक चंद्र द्रव्यमान, $m=7.35\times10^{22}$ kg, घनत्व 2,600 kg m$^{-3}$। “समांगी” का अर्थ है कि आरंभ में जनक को घनत्व में एकसमान लिया गया है, जो छँटाई की प्रारंभिक अवस्था में स्थित जनक के लिए एक गणना निवेश है; “प्रसारित” का अर्थ है कि वह गर्म है और इसलिए उसी द्रव्यमान की ठंडी पृथ्वी से कुछ बड़ा है (§A.2)। विषुवतीय और ध्रुवीय त्रिज्याएँ भिन्न हैं, क्योंकि 5.5 h में एक बार घूमने वाला पिंड विषुवत पर फूलता है और ध्रुवों पर चपटा होता है।

भाग A से मुक्ति अवस्था तक, चरण-दर-चरण। मुक्ति अवस्था भाग A की प्रक्रियाओं से पाँच चरणों में निकलती है। नीचे की तालिका उन्हें एकत्र करती है; उसकी पंक्तियाँ ऊपर से नीचे पढ़ी जाती हैं, और रंगत प्रत्येक चरण की दिशा दिखाती है: लाल उस चरण के लिए जो पृथ्वी को धीमा करता है और सह-घूर्णन रेखा को बाहर ले जाता है, नीला उस चरण के लिए जो उसे तेज़ करता है और रेखा को भीतर ले जाता है।

1. आरंभ बिंदु। 5.5-h दिन वाले जनक की सह-घूर्णन रेखा 15,818 km पर है (§A.2.1)। सह-घूर्णन रेखा वह दूरी है जिस पर पृथ्वी के साथ घूमता पिंड पहले से ही मुक्त वृत्तीय कक्षा की गति से चलता है।

2. नाशपाती-आकृति पृथ्वी को धीमा करती है। नाशपाती-आकृति के लंबी होने के साथ पदार्थ पृथ्वी के साथ घूमते हुए बाहर जाता है, और अपने साथ कोणीय संवेग ले जाता है। कोणीय संवेग किसी पिंड की “घूर्णन की मात्रा” है, उसका द्रव्यमान गुणा उसकी गति गुणा अक्ष से उसकी दूरी; किसी बाहरी बल-आघूर्ण के बिना उसका कुल संरक्षित रहता है। पदार्थ के साथ जाने वाला कोणीय संवेग पृथ्वी के घूर्णन से लिया जाता है, इसलिए पृथ्वी धीमी घूमती है: अकेले यह चरण दिन को 5.50 से 6.44 h तक लंबा करेगा और रेखा को 17,569 km तक बाहर ले जाएगा (§A.4)।

3. संगठित होता कोर पृथ्वी को तेज़ करता है। उसी समय लोहा केंद्र की ओर डूबता है। इससे पृथ्वी का जड़त्व आघूर्ण घटता है — इस बात का माप कि उसका द्रव्यमान अक्ष से कितनी दूर है — और, अपनी बाँहें भीतर खींचती स्केटर की तरह, पृथ्वी तेज़ घूमती है। अपने ऊपर के मैंटल से दुगुने सघन कोर ($D=2$) के साथ, यह चरण दिन से 0.67 h घटाता है।

4. शुद्ध परिणाम। दोनों चरण साथ-साथ कार्य करते हैं और आंशिक रूप से एक-दूसरे को निरस्त करते हैं: मुक्ति का दिन 5.77 h है, और सह-घूर्णन रेखा 16,331 km पर स्थित है जब चंद्रमा को परीक्षण कण माना जाए, या 16,399 km पर जब चंद्रमा का अपना द्रव्यमान नीचे के द्वि-पिंड सूत्र में सम्मिलित किया जाए। हम द्वि-पिंड मान का उपयोग करते हैं, जो लगभग 16,400 km तक पूर्णांकित है।

5. मुक्ति। चंद्रमा अलग होना तब आरंभ करता है जब उसका द्रव्यमान-केंद्र इस रेखा तक पहुँचता है। वह वहाँ घूर्णन द्वारा ले जाया जाता है, फेंका नहीं जाता: उस दूरी पर घूमते तंत्र के भाग के रूप में उसके पास पहले से जो गति है, वही मुक्त कक्षा की गति है, इसलिए कोई अतिरिक्त धक्का आवश्यक नहीं (§B.2)।

इन चरणों की मात्रात्मक सामग्री निम्नलिखित है।

1. मुक्ति पर पृथ्वी का दिन। लंबी होती नाशपाती-आकृति और केंद्रीकृत होता कोर साथ-साथ कार्य करते हैं (§A.4); $D=2$ के साथ, $$T=5.77\ \mathrm{h},\qquad \Omega=\frac{2\pi}{T}=3.025\times10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}.$$ यहाँ $T$ दिन की लंबाई है और $\Omega$ घूर्णन का कोणीय वेग, प्रति सेकंड रेडियन में घूमा गया कोण। दिन आरंभिक 5.5 h से केवल लगभग चौथाई घंटा लंबा है, क्योंकि डूबते लोहे से होने वाली गति वृद्धि नाशपाती-आकृति द्वारा उत्पन्न धीमेपन के अधिकांश को निरस्त कर देती है।

2. मुक्ति बिंदु। चंद्रमा अलग होना तब आरंभ करता है जब उसका द्रव्यमान-केंद्र सह-घूर्णन रेखा तक पहुँचता है: $$r=R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{G\,(M_\oplus+m)}{\Omega^{2}}\right)^{1/3}\simeq16{,}400\ \mathrm{km}.$$ यह §A.5.1 का सह-घूर्णन सूत्र है, दो पिंडों के लिए लिखा गया: $G$ गुरुत्वीय स्थिरांक है, $M_\oplus$ पृथ्वी का द्रव्यमान और $m$ चंद्रमा का। शब्दों में, यह वह एक दूरी देता है जिस पर वृत्तीय कक्षा में ठीक उतना समय लगता है जितना पृथ्वी के एक चक्कर में। सूत्र में $m$ को सम्मिलित करना ही 16,331 km को 16,399 km में बदलता है। मान आज की पृथ्वी त्रिज्या का लगभग 2.6 गुना है। $R_m=\left(\tfrac{3m}{4\pi\rho}\right)^{1/3}=1{,}890$ km के साथ, निकट बिंदु पृथ्वी के केंद्र से 14,509 km पर और दूर का भाग 18,289 km पर स्थित है। $R_m$ 2,600 kg m$^{-3}$ घनत्व पर एक चंद्र द्रव्यमान के गोले की त्रिज्या है; केंद्र के 16,400 km से इसे घटाने और जोड़ने से पृथ्वी–चंद्र रेखा के साथ चंद्रमा का विस्तार मिलता है।

3. मुक्ति पर पृथ्वी (मैकलॉरिन, समांगी): $$\frac{\Omega^{2}}{\pi G\rho_\oplus}=\frac{2\sqrt{1-e^{2}}\,(3-2e^{2})}{e^{3}}\arcsin e-\frac{6(1-e^{2})}{e^{2}} \quad\Rightarrow\quad a=6{,}701\ \mathrm{km},\ c=6{,}165\ \mathrm{km}.$$ मैकलॉरिन गोलाभ स्थिर रूप से घूमते एकसमान तरल पिंड की साम्य आकृति है: ध्रुवों पर चपटा गोला। समीकरण घूर्णन (बायाँ पक्ष, जहाँ $\rho_\oplus$ पृथ्वी का माध्य घनत्व है) को उत्केंद्रता $e$ से जोड़ता है, एक संख्या जो चपटेपन को मापती है (गोले के लिए 0, चपटी चक्रिका के लिए 1 के निकट)। 5.77-h घूर्णन के लिए इसे हल करने पर विषुवतीय त्रिज्या $a$ और ध्रुवीय त्रिज्या $c$ मिलती हैं। इस प्रकार मुक्ति पर पृथ्वी अभी भी स्पष्ट रूप से चपटी है, यद्यपि 5.5-h जनक (6,721 और 6,128 km) से थोड़ी कम, क्योंकि अब वह थोड़ा धीमे घूमती है। पृथ्वी की विषुवतीय सतह और चंद्रमा के बीच का अंतराल लगभग 7,800 km है: 14,509 km पर चंद्रमा का निकट बिंदु ऋण 6,701 km की विषुवतीय त्रिज्या। यही वह दूरी है जिसे नाशपाती-आकृति को पाटना है (§A.3)।

4. कोणीय संवेग। $$L_0=k_0Ma_0^{2}\Omega_0=3.466\times10^{34},\qquad L=I_\oplus\Omega+\mu\,\Omega\,r^{2}.$$ पहला व्यंजक जनक का आरंभिक बजट है (§A.6.1, kg m$^2$ s$^{-1}$ में): जड़त्व-आघूर्ण गुणांक $k_0$ (एकसमान पिंड के लिए 0.4), द्रव्यमान, विषुवतीय त्रिज्या का वर्ग और प्रारंभिक घूर्णन। दूसरा व्यंजक उसी बजट को मुक्ति पर दो भागों में बाँटता है: पृथ्वी का घूर्णन, $I_\oplus\Omega$, जहाँ $I_\oplus$ उसका जड़त्व आघूर्ण है, और चंद्रमा की कक्षा, $\mu\Omega r^2$, जहाँ $\mu=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ युग्म का समानीत द्रव्यमान है और $r$ मुक्ति दूरी। मुक्ति पर चंद्रमा की कक्षा $5.9\times10^{33}$ (17%) धारण करती है और पृथ्वी का घूर्णन $2.88\times10^{34}$; तंत्र आज के मान का 1.007 गुना धारण करता है (एक पूर्ववर्ती संस्करण ने 1.008 दिया था, आज के कुल को $3.44\times10^{34}$ तक पूर्णांकित करके; §A.6.3 के $3.441\times10^{34}$ के साथ यह 1.007 है, जो पूरे शोधपत्र में प्रयुक्त मान है)। $5.9\times10^{33}$ को युग्म के साझा केंद्र के परितः उसके कक्षीय कोणीय संवेग के रूप में परिभाषित किया गया है, $\mu\Omega r^2$, समानीत द्रव्यमान $\mu=7.26\times10^{22}$ kg और विषुवत पर $r=16{,}399$ km के साथ। पूरे चंद्र द्रव्यमान $m$ को पृथ्वी के केंद्र के परितः गिनने पर, जैसा Paper 3 करता है, वही अवस्था $6.0\times10^{33}$ देती है; 22.5 ($r=17{,}287$ km, Paper 4) पर मुक्ति के लिए, जहाँ चंद्रमा घूर्णन अक्ष से $r\cos22.5^\circ=15{,}971$ km पर घूमता है, वही गिनती $5.7\times10^{33}$ देती है (Paper 3)। 17% स्थानांतरण का मूल्य है: मूल घूर्णन का वह अंश जो पृथ्वी के घूर्णन से चंद्रमा की कक्षा में चला गया है। कुल, आज का 1.007 गुना, वर्तमान मान से थोड़ा ऊपर है, जो अपेक्षित चिह्न है, क्योंकि तब से सौर ज्वारों ने तंत्र के कोणीय संवेग का लगभग 1% हटा दिया है (§A.2)।

चित्र 8 इस अवस्था को पैमाने के अनुसार खींचता है। यह दिखाता है कि मुक्ति पर चंद्रमा पृथ्वी के कितना निकट है: लगभग 7,800 km के अंतराल को §A.3 की नाशपाती-आकृति पाटती है।

अब हमारे पास एक पूर्ण मुक्ति अवस्था है: पृथ्वी का दिन और आकृति, चंद्रमा की स्थिति और आकार, और उनके बीच कोणीय संवेग का विभाजन। आगे के खंड इस अवस्था को भाग A की प्रत्येक समस्या के विरुद्ध जाँचते हैं।

B.2वेग अंतर

§A.1 की समस्या यह थी कि 5.5-h पृथ्वी की सतह से मुक्त हुआ पदार्थ लगभग 2,133 m s$^{-1}$ पर चलता है, वृत्तीय कक्षा के 7,701 m s$^{-1}$ से बहुत नीचे, लगभग 5,568 m s$^{-1}$ का अंतर। अंतर दूरी के साथ बंद होता है, क्योंकि घूर्णन द्वारा वहन की गई गति दूरी के साथ बढ़ती है जबकि कक्षीय गति घटती है। सह-घूर्णन रेखा पर घूर्णन चंद्रमा को ठीक कक्षीय गति देता है, $$v=\Omega r=\sqrt{\frac{G(M_\oplus+m)}{r}}\approx4{,}960\ \mathrm{m\,s^{-1}},$$ इसलिए कोई अंतर शेष नहीं रहता (§A.1, §A.5)। बायाँ पक्ष दूरी $r$ पर पृथ्वी के साथ घूमते बिंदु की गति है; दायाँ पक्ष उसी दूरी पर मुक्त वृत्तीय कक्षा की गति है; रेखा पर वे बराबर हैं। मान 5.5-h संदर्भ (§A.2.1) के 5,020 m s$^{-1}$ से थोड़ा नीचे है, क्योंकि थोड़ी धीमी पृथ्वी रेखा को और बाहर रखती है, जहाँ कक्षीय गतियाँ कम हैं। रोज़मर्रा का चित्र चकरी पर बैठा बच्चा है: वह केंद्र से जितना दूर बैठे, उतनी तेज़ चलती है, बिना किसी के उसे धकेले।

B.3नाशपाती-आकृति

नाशपाती-आकृति लगभग 7,800 km को पाटती है और पूरी तरह सह-घूर्णन रेखा के भीतर स्थित है; चंद्रमा तब मुक्त होता है जब उसका द्रव्यमान-केंद्र रेखा तक पहुँचता है (§A.3; मुक्ति की क्रियाविधि Paper 3, LEF Mechanism in Practice, है)। चूँकि नाशपाती-आकृति रेखा के भीतर स्थित है, घूमते निर्देश-तंत्र में शुद्ध बल उसे पृथ्वी की ओर खींचता है (§B.5): वह पृथ्वी के साथ रहती है, जबकि चंद्रमा, जिसका केंद्र रेखा पर है, अलग होने के लिए मुक्त है। इसी कारण चंद्रमा पूरा का पूरा निकलता है और संयोजन उसके साथ नहीं जाता।

B.4संतुलन

गणना दोनों प्रक्रियाओं को एक साथ ध्यान में लेती है: पृथ्वी दिन 5.77 h, सह-घूर्णन रेखा 16,331 km (§A.4)। 16,331 km §B.1 के चरण 4 का परीक्षण-कण मान है; चंद्रमा का अपना द्रव्यमान सम्मिलित करने पर 16,399 km, लगभग 16,400 km, मिलता है, जो मुक्ति बिंदु के लिए प्रयुक्त है। केवल नाशपाती-आकृति वाली गणना 6.44 h और 17,569 km देगी, और केवल कोर वाली गणना बहुत तेज़ पृथ्वी देगी; केवल दोनों साथ मिलकर उस समय की पृथ्वी का वर्णन करती हैं।

B.5 सह-घूर्णन

चंद्रमा का द्रव्यमान-केंद्र लगभग 16,400 km पर सह-घूर्णन रेखा तक पहुँचता है; उससे परे सह-घूर्णन चंद्रमा को बाहर की ओर खींचता है और वह मुक्त होता है: $$a_{\mathrm{net}}=\Omega^{2}r-\frac{GM_\oplus}{r^{2}}.$$ यह दूरी $r$ पर पृथ्वी के साथ घूमते पदार्थ द्वारा अनुभव किया गया शुद्ध त्वरण है, घूमते निर्देश-तंत्र में देखा गया। पहला पद घूर्णन का बाहरी (अपकेंद्री) त्वरण है, जो दूरी के साथ बढ़ता है; दूसरा पृथ्वी का गुरुत्व है, जो दूरी के साथ घटता है। रेखा के भीतर गुरुत्व जीतता है और $a_{\mathrm{net}}$ भीतर की ओर इंगित करता है, इसी कारण नाशपाती-आकृति पृथ्वी से थमी रहती है; रेखा पर दोनों संतुलित होते हैं; उससे परे घूर्णन जीतता है और पदार्थ बाहर की ओर खिंचता है। जैसे ही चंद्रमा का द्रव्यमान-केंद्र रेखा पार करता है, पिंड समग्र रूप से पृथ्वी से दूर खिंचता है, और अलग हो जाता है।

चित्र 9 उस क्षण को बड़ा करके दिखाता है जब पृथक्करण आरंभ होता है। रेखा चंद्रमा के केंद्र से होकर खींची गई है; चंद्रमा का निकट अर्धभाग अभी उसके भीतर है और दूर का अर्धभाग बाहर।

B.6 कोणीय संवेग

तंत्र आज के कोणीय संवेग का 1.007 गुना धारण करता है। मुक्ति पर, पृथ्वी के शेष घूर्णन कोणीय संवेग से निहित उसका जड़त्व-आघूर्ण गुणांक $k=0.355$ है; $q=0.55$ और $D=2$ वाली दो-परत संरचना देती है $$k=\frac{2}{5}\,\frac{(1-q^{5})+Dq^{5}}{(1-q^{3})+Dq^{3}}=0.360.$$ गुणांक $k$ वर्णन करता है कि द्रव्यमान कैसे वितरित है: एकसमान गोले के लिए 0.4, कम जब द्रव्यमान केंद्र की ओर एकत्र हो (आज की पृथ्वी का लगभग 0.33)। मान 0.355 वह है जो पृथ्वी के पास मुक्ति पर होना चाहिए, यदि 5.77 h का उसका घूर्णन शेष $2.88\times10^{34}$ को वहन करना है। सूत्र दो परतों वाली पृथ्वी के लिए $k$ की गणना करता है: त्रिज्या के अंश $q$ तक पहुँचने वाली आंतरिक परत, जिसका घनत्व $D$ गुना बाहरी परत का है। $q=0.55$ और $D=2$ के साथ यह 0.360 देता है, आवश्यक 0.355 के निकट। इस प्रकार मुक्ति अवस्था द्वारा माँगा गया कोणीय संवेग और डूबते लोहे द्वारा उत्पन्न संरचना एक-दूसरे से सहमत हैं। बाहर से किसी विशाल संघट्ट और कोणीय संवेग के किसी बाद के निष्कासन की आवश्यकता नहीं; उच्च-कोणीय-संवेग संघट्ट मॉडल आज के मान के लगभग 2–3 गुना से आरंभ होते हैं। मार्ग अपना बजट उससे पूरा करता है जो पृथ्वी–चंद्र तंत्र के पास आज है, साथ में लगभग 1% जो सौर ज्वारों ने तब से हटाया है।

B.7रोश सीमा

रोश सीमा वह दूरी है जिसके भीतर किसी बड़े पिंड का ज्वारीय खिंचाव, अर्थात छोटे पिंड के निकट और दूर के भाग के बीच उसके गुरुत्व का अंतर, छोटे पिंड के अपने गुरुत्व से अधिक हो जाता है और उसे खींचकर अलग कर सकता है। दो शास्त्रीय रूप इसे सीमित करते हैं: $$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3},\qquad d_{\mathrm{fluid}}=2.44\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3}.$$ दृढ़ रूप उस पिंड पर लागू होता है जो अपनी आकृति बनाए रखता है; तरल रूप उस पिंड पर जो स्वतंत्र रूप से विकृत होता है और इसलिए ज्वार द्वारा और अधिक खिंचता है। दोनों में $\rho$ छोटे पिंड का घनत्व है: वह जितना सघन, उतना निकट आ सकता है। 16,400 km पर चंद्रमा का केंद्र दृढ़ सीमा से काफ़ी परे स्थित है (1,300–3,344 kg m$^{-3}$ के लिए 9,484–12,994 km)। वही दूरी 2,600 kg m$^{-3}$ के पिंड के लिए तरल सीमा के भीतर स्थित है (19,971 km, §A.7.1); इसलिए दोनों में से कौन-सी सीमा लागू होती है, यह इससे तय होता है कि मुक्ति पर चंद्रमा दृढ़ है या नहीं। गोलाई मुक्ति से पहले पूर्ण हो चुकी थी; पिंड दृढ़ और गोल है। चंद्र पिंड का चपटापन और बाद की गोलाई पहले हुई, जब वह अभी जुड़ा था (Paper 7, The Poles); जो रेखा छोड़ता है वह दृढ़ बाहरी कवच वाला पिंड है। दृढ़ पिंड ज्वारीय अनुक्रिया को $$\frac{1}{1+\dfrac{19\mu}{2\rho gR}},$$ से घटाता है, जिससे $\mu\ge10$ GPa के लिए अक्ष अनुपात अधिकतम 1.04 है। यहाँ $\mu$ पिंड की दृढ़ता (अपरूपण मापांक) है, $g$ उसका सतही गुरुत्व और $R$ उसकी त्रिज्या; $\rho gR$ पिंड के अपने भार का दाब है। गुणक बताता है कि जिस पिंड की दृढ़ता उसके अपने भार के दाब की तुलना में बड़ी है, वह तरल पिंड की तुलना में उसका केवल एक छोटा अंश विकृत होता है। अधिकतम 1.04 का अक्ष अनुपात अर्थात चंद्रमा का सबसे लंबा अक्ष सबसे छोटे से 4% से अधिक नहीं है: पिंड गोल रहता है।

B.8ज्वारीय विकास की दिशा

चंद्रमा सह-घूर्णन रेखा पर मुक्त होता है, और ज्वार पृथ्वी के घूर्णन से उसे कोणीय संवेग स्थानांतरित करते हैं: वह दूर हटता है (§A.8; कक्षा Paper 4, The Orbit, है)। ठीक रेखा पर ज्वारीय प्रभाव तटस्थ है, क्योंकि पृथ्वी उतने ही समय में एक चक्कर लगाती है जितने में चंद्रमा परिक्रमा करता है। पृथक्करण स्वयं चंद्रमा के द्रव्यमान-केंद्र को रेखा से लगभग 210 km परे ले जाता है, जब चंद्रमा का आधे से थोड़ा अधिक भाग उसे पार कर चुका होता है (§D.3 का अंतर $\Delta r\simeq2d_0$); वहाँ पृथ्वी चंद्रमा की परिक्रमा से तेज़ घूमती है, पृथ्वी पर उठा ज्वारीय उभार चंद्रमा से आगे चलता है, उसे आगे खींचता है, और चंद्रमा बाहर की ओर चलता है। यह जलविभाजक का वह पक्ष है जिस पर आज Deimos स्थित है (चित्र 7)।

रेखा से कितना परे। रेखा से परे की दूरी मुक्ति त्रिज्या की तुलना में छोटी है, किंतु वह पहली कक्षा की आकृति निर्धारित करती है। रेखा पर चंद्रमा ठीक वृत्तीय कक्षा की गति वहन करता है; उससे परे, थोड़ा अधिक, इसलिए मुक्ति बिंदु थोड़ी खिंची कक्षा का निकटतम बिंदु बन जाता है, उत्केंद्रता $e_0$ के साथ जो दूरी के साथ बढ़ती है। तालिका इसका अनुसरण 22.5° के मुक्ति अक्षांश पर करती है, जहाँ 5.77 घंटे के दिन के साथ सह-घूर्णन रेखा 17,287 km पर स्थित है; प्रारंभिक कक्षा Paper 4 के सूत्रों (Appendix A) से और अंतिम कोण Paper 4 के समानीत tan-नियम (Part D) से आता है। “पार” मुक्ति पर रेखा से परे चंद्रमा के आयतन का अंश है।

तालिका B.8. 22.5° पर मुक्ति: जैसे-जैसे मुक्ति सह-घूर्णन रेखा से परे जाती है, प्रारंभिक कक्षा और समानीत नियम का अंतिम कोण (Paper 3, §C.5a)। गहरा नीला रंग अंतिम कोण के साथ गहरा होता है; हरा प्रेक्षित 5.145° को चिह्नित करता है, जो अपनाई गई मुक्ति है।

ठीक रेखा पर मुक्ति एक वृत्त देती है, और ज्वार वृत्त को वृत्त के रूप में ही बाहर ले जाता है; इसलिए चंद्रमा की वर्तमान उत्केंद्रता उसके द्रव्यमान-केंद्र के पार करने के थोड़ा बाद मुक्ति की अपेक्षा करती है। लगभग 210 km पर समानीत नियम प्रेक्षित झुकाव लौटाता है, और Paper 3 (§C.5a) दिखाता है कि वही अंतर एक गर्म युवा चंद्रमा के लिए आज की 0.0549 की उत्केंद्रता लौटाता है; श्रृंखला इस मुक्ति को अपनाती है। Paper 3 उत्केंद्रता तालिका और शीर्ष के अक्षांश के प्रति संवेदनशीलता देता है; Paper 4 का पूर्ण समाकलन मुक्ति अवस्था को पूरे इतिहास में आगे ले जाता है।

अब हमारे पास क्या है: §B.1 की मुक्ति अवस्था संख्याओं के एक ही समूह से भाग A की सातों समस्याओं को पूरा करती है।

C.1 क्या दिखाया गया है

तालिका भाग A की प्रत्येक समस्या को भाग B में दिए गए उत्तर के साथ जोड़ती है। इसे पंक्ति-दर-पंक्ति पढ़ा जाता है; प्रत्येक सही का चिह्न अर्थ है कि §B.1 की मुक्ति अवस्था उस समस्या को किसी अलग मान्यता के बिना पूरा करती है।

यह भाग एक ही स्थान पर एकत्र करता है कि शोधपत्र क्या दावा करता है, प्रत्येक दावे की परीक्षा कैसे होती है, और मार्ग अपनी क्रियाविधि से क्या माँगता है, ताकि ये बिंदु पूरे पाठ में बिखरे होने के बजाय यहाँ मिलें।

D.1केंद्रीय दावे और परीक्षण

तालिका पाँच केंद्रीय दावों को सूचीबद्ध करती है। पहला स्तंभ प्रत्येक दावे का नाम और उसकी स्थिति बताता है; दूसरा, वह क्या मानता और पूर्वानुमानित करता है; और तीसरा, उसकी परीक्षा कैसे होती है।

सरल शब्दों में दावे ये हैं।

• सह-घूर्णन। दावा यह है कि सह-घूर्णन रेखा पर घूर्णन से प्राप्त गति कक्षीय गति के बराबर है। परिदृश्य को जिन संशोधनों की आवश्यकता है (चपटी पृथ्वी का क्षेत्र, चंद्रमा का आकार, दोनों पिंडों के बीच का खिंचाव), उन्हें उस समानता के विरुद्ध जाँचा जाता है।

• कोणीय संवेग का समापन। दावा यह है कि $3.466\times10^{34}$ का आरंभिक बजट लगभग 16,400 km पर मुक्ति के लिए पर्याप्त है। मुक्ति से पहले का बजट संरचना और सौर-ज्वारीय हानि के माध्यम से उसके बाद के बजट से मिलाया जाता है।

• संरचना के प्रति संवेदनशीलता। दावा यह है कि डूबता कोर दिन और रेखा को परिकलित ढंग से बदलता है (§A.4.1)। गणना क्रमवीक्षित प्रत्येक संरचना के लिए एक हल पर स्थिर होती है।

• अविषुवतीय कोणीय संवेग। दावा यह है कि विषुवत से हटकर मुक्ति बजट को केवल परिकलित सदिश संशोधन से बदलती है (§A.6.6)। सभी सदिश एक ही निर्देश-तंत्र में जोड़े जाते हैं।

• बचे रहना। दावा यह है कि मुक्ति पर चंद्रमा पृथ्वी के ज्वार से बचा रहता है। इसकी परीक्षा आगामी शोधपत्रों में की जाती है।

ये सभी दावे स्वतंत्र प्रेक्षणात्मक पूर्वानुमान नहीं हैं: कुछ भौतिक सर्वसमिकाएँ हैं, कुछ संगति परीक्षण और कुछ क्रियाविधि पर आवश्यकताएँ। यह भेद परिशिष्ट F के नवीनता मानचित्र में रखा गया है। एक सर्वसमिका, जैसे सह-घूर्णन सूत्र, निवेश सही होने पर गलत नहीं हो सकती; संगति परीक्षण जाँचता है कि संख्याएँ पूरी होती हैं; आवश्यकता वह शर्त है जिसे अगले शोधपत्रों को पूरा करना है।

D.2कार्य की नवीनता

सह-घूर्णन सूत्र, मैकलॉरिन आकृतियाँ, कोणीय संवेग का संरक्षण और रोश सीमाएँ पूर्ववर्ती भौतिकी हैं। यह कार्य संयोजित-स्थानांतरण शर्त पर उनके संयुक्त अनुप्रयोग की परीक्षा करता है, द्रव्यमान, आकृति और घूर्णन के परिवर्तन की संगत गणना और संवेदनशीलता क्षेत्रों की प्रस्तुति के साथ। “संयोजित स्थानांतरण” का अर्थ है कि पदार्थ सतह से प्रक्षेपित होने के बजाय, रेखा तक पहुँचने तक पृथ्वी से जुड़ा रहता है और उसके साथ घूमता है; यही वह मुक्ति शर्त है जिसके अंतर्गत विखंडन के विरुद्ध शास्त्रीय आपत्ति, कई गुना बड़ा बजट, उत्पन्न नहीं होती (§A.6.5)। ऐतिहासिक प्राथमिकता के पूर्ण दावे के लिए परिशिष्ट F की पूर्व-कार्य जाँच चाहिए; संख्यात्मक पुनरुत्पादन की सफलता प्राथमिकता सिद्ध नहीं करती।

D.3क्या माना गया और क्या आवश्यक है

तर्क का समर्थन करने वाली मान्यताएँ और आवश्यकताएँ यहाँ एकत्र की गई हैं, ताकि प्रत्येक परिणाम के साथ उन्हें दोहराना न पड़े। प्रत्येक पंक्ति अपनाया गया या आवश्यक मान देती है।

कुछ पंक्तियों को थोड़ी व्याख्या चाहिए। तापीय प्रसार वह मात्रा है जिससे गर्म युवा पृथ्वी ठंडी पृथ्वी से बड़ी थी; 6,495 km स्वीकार्य परास के निचले सिरे (98 km प्रसार) पर आयतनिक त्रिज्या है। मुक्ति शर्त इस प्रकार पढ़ी जाती है। ठीक सह-घूर्णन रेखा पर मुक्त हुआ पिंड ज्वारीय रूप से तटस्थ अवस्था में होता है; जैसे ही वह रेखा से परे होता है, ज्वार उसे बाहर की ओर धकेलता है, इसलिए चंद्रमा आरंभ से ही दूर हटता है (Paper 4, §B.2)। पृथक्करण द्रव्यमान-केंद्र को रेखा से एक अंतर $\Delta r\simeq2d_0$ से परे रखता है, जहाँ $d_0$ संयोजन का मोटाई पैमाना है (परिशिष्ट E, पंक्ति E47); अंतर लगभग 210 km है, $d_0\approx105$ km, जो Paper 3, §C.5a की मुक्ति-दूरी खोज से निर्धारित है (एक पूर्ववर्ती संस्करण ने लगभग 100 km दिया था)। बजट तुलना दो ढंग से की जाती है: घूर्णन और कक्षीय कोणीय संवेगों को साधारण परिमाणों (अदिश) के रूप में जोड़कर, जो 0.7% का अधिशेष देता है, और किसी कोण पर सदिशों के रूप में जोड़कर, जो 1.5–2.5% देता है (एक पूर्ववर्ती संस्करण ने 1.5–2.6% दिया था; परखे गए तीन कोणों में सबसे बड़ा 2.51% देता है); अदिश योग आधार है और सदिश योग संवेदनशीलता परीक्षण (§A.6.3)।

पहली तीन पंक्तियाँ खिड़कियों सहित अपनाए गए मान हैं; अगली दो वे आवश्यकताएँ हैं जो मार्ग Paper 3 पर रखता है; अंतिम दो वे जाँचें हैं जो यह शोधपत्र स्वयं करता है। सातों में से कोई भी किसी परिणाम के भीतर छिपी नहीं है, और सह-घूर्णन त्रिज्या बताने के लिए किसी की आवश्यकता नहीं, जो केवल जनक के द्रव्यमान और घूर्णन से निकलती है।

चंद्रमा के आकार का पिंड बाहर से किसी विशाल संघट्ट के बिना पृथ्वी के अपने पदार्थ से कक्षा तक पहुँच सकता है। तेज़ घूमती पृथ्वी गति देती है; नाशपाती-आकृति पृथ्वी को सह-घूर्णन रेखा से जोड़ती है; लंबी होती नाशपाती-आकृति और केंद्रीकृत होता कोर मिलकर मुक्ति पर पृथ्वी का दिन 5.77 h निर्धारित करते हैं; चंद्रमा, दृढ़ और गोल, तब मुक्त होता है जब उसका द्रव्यमान-केंद्र लगभग 16,400 km पर सह-घूर्णन रेखा तक पहुँचता है; कोणीय-संवेग बजट आज के मान के 1.007 गुना पर पूरा होता है, सौर ज्वारों की हानि से संगत; और चंद्रमा मुक्ति के क्षण से दूर हटता है।

एक ही शृंखला के रूप में: पृथ्वी का घूर्णन पदार्थ को बाहर ले जाता है; वह रेखा जहाँ वहन की गई गति कक्षीय गति के बराबर है, तय करती है कि चंद्रमा कहाँ निकलता है; नाशपाती-आकृति और कोर का संतुलन तय करता है कि वह रेखा कहाँ है; और पृथ्वी ने जिस कोणीय संवेग से आरंभ किया वह पर्याप्त है, लगभग 1% अतिरिक्त के साथ जिसे सूर्य बाद में हटाएगा।

E.1बनाए रखे गए पूर्ववर्ती निष्कर्ष

इस शोधपत्र के पूर्ववर्ती संस्करणों के निम्नलिखित निष्कर्ष मान्य बने रहते हैं और उनके मूल संदर्भ मानों के साथ यहाँ रखे गए हैं।

1. मुक्ति शर्त वेग परीक्षण निर्धारित करती है; सतह से सीधी मुक्ति और सह-घूर्णन में स्थानांतरण भिन्न प्रारंभिक शर्तें हैं। सतही मुक्ति वेग अंतर छोड़ती है (§A.1.2); सह-घूर्णी स्थानांतरण कोई अंतर नहीं छोड़ता (§B.2)।

2. मूल संदर्भ मान 5.5 घंटे की अवधि पर और उसके लिए निर्धारित द्रव्यमान परिभाषा में लगभग 15,818 km है। यह स्थानांतरण आरंभ होने से पहले की रेखा है; लगभग 16,400 km का मुक्ति मान नाशपाती-आकृति और कोर के कार्य करने के बाद की रेखा है (§B.1)।

3. पदार्थ में जोड़ आधार में लगभग 15.6% और युग्मित हल में लगभग 16.5% है; लगभग 17.7% परीक्षण-कण सन्निकटन में, केवल नाशपाती-आकृति वाली युग्मित अवस्था ($D=1$, 6.44 h, 17,569 km) के लिए, अंतिम कक्षीय कोणीय संवेग है; $D=2$ वाली मुक्ति अवस्था में चंद्रमा की कक्षा लगभग 17.0% धारण करती है (§B.1)। ये तीन प्रतिशत भिन्न राशियाँ मापते हैं: पहले दो, वह कोणीय संवेग जो पदार्थ को स्थानांतरण के दौरान प्राप्त करना होगा (§A.6.2); तीसरा, अंत में चंद्रमा की कक्षा द्वारा धारित बजट का अंश।

4. आंतरिक संरचना और सदिश ज्यामिति परिणाम को प्रभावित करती हैं, और इसलिए उन्हें संवेदनशीलता परीक्षणों के रूप में सम्मिलित किया गया, मापे गए अतीत के मानों के रूप में नहीं।

5. सह-घूर्णन गति और बजट देता है। सह-घूर्णन से परे यांत्रिक पृथक्करण, स्थायी दूर हटना और रोश क्षेत्र में बचे रहना वे तीन शर्तें हैं जो मार्ग अपनी क्रियाविधि पर रखता है; वे §D.3 में एकत्र हैं।

आगे का कार्य — शोध के लिए अवसर

इस शोधपत्र की गणनाएँ आगे के कार्य के लिए निवेश परिभाषित करती हैं, जिसे अन्य शोध समूह करने में सक्षम हैं। प्रत्येक मद एक ऐसी गणना का नाम लेती है जो यह शोधपत्र नहीं करता, और श्रृंखला के उस शोधपत्र का जो उसके परिणाम का उपयोग करेगा।

1. स्तरित मैकलॉरिन समस्या। युग्मित अंतिम अवस्था (§A.6.2) परिवर्ती जड़त्व गुणांक पर एकसमान आकृति का उपयोग करती है। डूबते लोहे वाले जनक का Clairaut–Darwin–Radau उपचार केंद्रीकृत होते कोर के लिए सह-घूर्णन त्रिज्या स्व-संगत रूप से देता है ($D=2$ पर लगभग 16,300–16,400 km), और Paper 4 को उसकी आरंभिक कक्षा सौंपता है। Clairaut–Darwin–Radau विधि उस घूमते पिंड की आकृति की गणना का मानक ढंग है जिसका घनत्व भीतर की ओर बढ़ता है; यह यहाँ प्रयुक्त एकसमान आकृति को ऐसी आकृति से प्रतिस्थापित करेगी जो डूबते लोहे का अनुसरण करती है।

2. प्रारंभिक पृथ्वी का क्षय। लगभग 2.6 पृथ्वी त्रिज्याओं (16,400 km; 6.44 h की पूर्ववर्ती केवल-नाशपाती-आकृति अवस्था में 2.8 पृथ्वी त्रिज्याएँ) से दूर हटना $k_2/Q$ और उसके इतिहास से निर्धारित होता है; वर्तमान मान असामान्य है। यहाँ $k_2$ मापता है कि पृथ्वी ज्वार के अंतर्गत कितनी विकृत होती है और $Q$ कि वह ज्वारीय ऊर्जा का कितना भाग क्षय करती है; उनका अनुपात तय करता है कि चंद्रमा कितनी तेज़ी से दूर हटता है। मुक्ति के 5.77 घंटे के दिन से (पूर्ववर्ती, केवल-नाशपाती-आकृति अवस्था के 6.4 घंटे के दिन के स्थान पर) चलाए गए महासागर-अनुनाद मॉडल वह दर फलन देंगे जिसकी Paper 4 को आवश्यकता है।

3. जनक का तापीय प्रसार। यहाँ अपनाया गया 120 km (98–520 स्वीकार्य) मैग्मा-महासागर की गहराई और गलित प्रसार से एक अनुमान है; गर्म, वाष्पशील-समृद्ध प्रारंभिक पृथ्वी का अवस्था-समीकरण समाकलन इसे निश्चित करेगा और, इसके साथ, घूर्णन खिड़की को भी।

4. दूर हटने का आरंभ। ठीक सह-घूर्णन रेखा पर मुक्त हुआ पिंड ज्वारीय रूप से तटस्थ अवस्था अनुभव करता है: पृथ्वी उतने समय में एक चक्कर लगाती है जितने में पिंड एक परिक्रमा, और ज्वार उसे न बाहर धकेलता है न भीतर खींचता है। जैसे ही पिंड रेखा से परे होता है, ज्वार उसे बाहर की ओर धकेलता है, इसलिए चंद्रमा आरंभ से ही दूर हटता है (§B.8; Paper 4, §B.2)। पृथक्करण द्रव्यमान-केंद्र को रेखा से मुक्ति अंतर $\Delta r\simeq2d_0$ से परे छोड़ता है, लगभग 210 km (§D.3, §E.1)। दोनों पिंडों में आवृत्ति-निर्भर प्रवाहिकी के साथ ज्वारीय समाकलन, Paper 3 की मुक्ति अवस्था से आरंभ करके, अंतर की परास और पहले दूर हटने की दर निश्चित करेगा। “आवृत्ति-निर्भर प्रवाहिकी” का अर्थ है कि प्रत्येक पिंड जिस ढंग से ज्वार के आगे झुकता है, वह इस पर निर्भर है कि ज्वार कितनी तेज़ी से बदलता है।

5. तरल रोश सीमा के भीतर बचे रहना। परिशिष्ट “त्वरण और विकृति का अनुमान” का कोटि-परिमाण विकृति अनुमान विरूपण हल नहीं है। पृथ्वी से लगभग 16,400 km पर 1,890 km के दृढ़ पिंड की, वहाँ बिताए गए $10^1$–$10^3$ वर्षों पर, श्यान-प्रत्यास्थ गणना उसका स्थान लेगी। श्यान-प्रत्यास्थ गणना पिंड को छोटे समयों पर प्रत्यास्थ और लंबे समयों पर धीरे-धीरे बहने वाला मानती है, जो दृढ़ बाहरी कवच वाले गर्म पिंड का व्यवहार है।

6. शास्त्रीय मार्ग। जैकोबी द्विशाखन पर गुणक 2.74 परिकलित है; जैकोबी अनुक्रम के साथ नाशपाती-आकार के बिंदु के लिए सारणीबद्ध मानों का सत्यापन आवश्यक है, और इस द्रव्यमान और घनत्व के लिए अनुक्रम की आधुनिक गणना इसे तय करेगी। जैकोबी अनुक्रम लंबी, त्रि-अक्षीय साम्य आकृतियों का वह परिवार है जिसमें तेज़ घूमता तरल पिंड मैकलॉरिन आकृतियों से आगे प्रवेश करता है (§A.6.5)।

कोड की उपलब्धता

इस शोधपत्र के सभी संख्यात्मक परिणाम LEF पुनरुत्पादन पैकेज (Python 3, numpy, scipy) की स्क्रिप्टों द्वारा पुनरुत्पादित होते हैं, जो पाठ में बताए गए निवेशों से प्रत्येक खंड के मान छापती हैं। पैकेज इस प्रीप्रिंट के साथ पूरक सामग्री के रूप में संलग्न है (LEF_code_and_data.zip)। श्रृंखला और पैकेज का एक पूर्ववर्ती संस्करण doi:10.5281/zenodo.22743615 पर जमा है।

यह परिशिष्ट वे परिभाषाएँ निर्धारित करता है जिन पर शोधपत्र की प्रत्येक संख्या टिकी है। यह §A.2.1 और §A.5 की सह-घूर्णन त्रिज्या (5.5 घंटे के संदर्भ के लिए 15,818 km) और §B.1 की मुक्ति दूरी का समर्थन करता है। जो पाठक किसी परिणाम की जाँच करना चाहता है उसे यहीं से आरंभ करना चाहिए, क्योंकि पुनरुत्पादनों के बीच अधिकांश प्रत्यक्ष असहमतियाँ द्रव्यमान, दूरी या स्थिरांक के भिन्न चयन से आती हैं, भिन्न भौतिकी से नहीं।

संक्षिप्त पूर्ण व्युत्पत्ति §B.1 में है। दो द्रव्यमानों को अलग रखना होगा। $M_{\mathrm{tot}}$ कुल प्रारंभिक द्रव्यमान है: पृथ्वी और चंद्र पदार्थ एक साथ, उसके किसी भी भाग के निकलने से पहले। $M_\oplus$ अंतिम जनक द्रव्यमान है: चंद्र पदार्थ के दूसरे पिंड को सौंपे जाने के बाद की पृथ्वी। जहाँ एक अभिप्रेत हो वहाँ दूसरे का उपयोग चंद्र द्रव्यमान को दो बार या बिल्कुल नहीं गिनता है।

दो दूरियों को भी अलग रखना होगा। जनक के केंद्र के सापेक्ष त्रिज्या तंत्र के द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष त्रिज्या नहीं है; वास्तविक द्रव्यमान वाला दूसरा पिंड अस्तित्व में आते ही दोनों पिंड अपने साझा द्रव्यमान-केंद्र के परितः घूमते हैं, जो पृथ्वी के केंद्र से थोड़ा हटकर स्थित है। द्वि-पिंड स्थिति में दूरी $r$ केंद्रों के बीच है, और गुरुत्वीय प्राचल (गुरुत्वीय स्थिरांक और खींचने वाले द्रव्यमान का गुणनफल) $G(M_\oplus+m)$ है, क्योंकि प्रत्येक पिंड दूसरे के खिंचाव के अंतर्गत परिक्रमा करता है और सापेक्ष गति द्रव्यमानों के योग द्वारा नियंत्रित होती है।

स्थिरांक पुनरुत्पादित स्रोत निवेश हैं, किसी पंचांग (प्रेक्षित स्थितियों की तालिका) पर नया समंजन नहीं। इसलिए द्रव्यमान की परिभाषा बदलने के लिए नई गणना चाहिए, लेबल 15,818 का मौन परिवर्तन नहीं: वह संख्या एक बताई गई परिभाषा से संबंधित है, और भिन्न परिभाषा भिन्न संख्या उत्पन्न करती है।

यह परिशिष्ट स्थानांतरण आरंभ होने से पहले युवा पृथ्वी की आकृति और कोणीय संवेग को व्युत्पन्न करता है। यह §A.6.1 और §B.1 के प्रारंभिक बजट $L_0\simeq3.466\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$, §A.6.3 में वर्तमान तंत्र से तुलना, और §A.6.4 में चित्र 5 के स्वीकार्य क्षेत्र का समर्थन करता है। चरण ये हैं: द्रव्यमान और आकार निर्धारित करना; 5.5 घंटे के घूर्णन पर एकसमान पिंड द्वारा ग्रहण की गई चपटी आकृति ज्ञात करना; उसके जड़त्व आघूर्ण की गणना करना; घूर्णन दर से गुणा करना।

Appendix B.1प्रारंभिक संरचना की व्युत्पत्ति — सुरक्षित रखा गया आधार पाठ

चरण 1: द्रव्यमान। हम $G=6.674\times10^{-11}$, $M_\oplus=5.972\times10^{24}$ kg और $m=7.35\times10^{22}$ kg अपनाते हैं। स्थानांतरण से पहले चंद्र पदार्थ अभी भी पृथ्वी का भाग है, इसलिए जनक दोनों को वहन करता है। कोड में अपनाए गए मानों का यथार्थ योग रखा गया है:

$$M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m=6.0455\times10^{24}\ \mathrm{kg}.$$

स्रोत में इसका पूर्णांकित मान $6.045\times10^{24}$ है। पूर्णांकन का अंतर पुनरुत्पादनों के बीच छोटे अंतरों की व्याख्या करता है; यह भौतिक अंतर नहीं है।

चरण 2: आकार। माध्य स्थलीय घनत्व के माध्यम से परिभाषित संदर्भ त्रिज्या लगभग 6,397 km है: यह वह त्रिज्या है जो पूरे प्रारंभिक द्रव्यमान की वर्तमान पृथ्वी के घनत्व पर होती। मॉडल में युवा पृथ्वी गर्म और प्रसारित है। 120 km का अपनाया गया जोड़ आयतनिक त्रिज्या $R_{V,0}=6{,}517$ km (चपटे पिंड के समान आयतन वाले गोले की त्रिज्या) और लगभग 5,214 kg प्रति घन मीटर का घनत्व देता है।

चरण 3: आकृति। घूमता एकसमान तरल पिंड एक चपटी आकृति में स्थिर हो जाता है, जो ध्रुवों से होकर की तुलना में विषुवत पर अधिक चौड़ी होती है। एकसमान घनत्व वाले पिंड के लिए यह आकृति मैकलॉरिन गोलाभ है, और उसकी आकृति एक समीकरण से निर्धारित होती है [1]:

$$\mathcal M(e)=\frac{2\sqrt{1-e^2}}{e^3}(3-2e^2)\arcsin e -\frac{6(1-e^2)}{e^2}, \qquad \frac{\omega^2}{\pi G\rho}=\mathcal M(e).$$

शब्दों में: बायाँ पक्ष, $\omega^2/(\pi G\rho)$, मापता है कि पिंड कितनी तेज़ घूमता है, इसकी तुलना में कि उसका अपना गुरुत्व उसे कितनी प्रबलता से एकजुट रखता है ($\omega$ कोणीय वेग है, $\rho$ घनत्व)। दायाँ पक्ष, $\mathcal M(e)$, वह चपटापन है जिसकी वह संतुलन अपेक्षा करता है, याम्योत्तर परिच्छेद की उत्केंद्रता $e$ के माध्यम से लिखा गया — $e=0$ गोला है, और $e$ पिंड के चपटा होने के साथ बढ़ता है। घूर्णन और घनत्व दिए होने पर समीकरण $e$ के लिए हल किया जाता है।

जब $e$ ज्ञात हो, विषुवतीय त्रिज्या $a$ और ध्रुवीय त्रिज्या $c$ आयतनिक त्रिज्या से निकलती हैं:

$$a=\frac{R_V}{(1-e^2)^{1/6}}, \qquad c=R_V(1-e^2)^{1/3}.$$

ये दोनों व्यंजक आयतन को स्थिर रखते हैं: $a^2c=R_V^3$, इसलिए पिंड पदार्थ प्राप्त किए या खोए बिना चपटा होता है।

अधिकतम से नीचे किसी दिए गए घूर्णन के लिए मैकलॉरिन समीकरण के दो हल हैं, एक थोड़ा चपटा और एक अत्यधिक चपटा। गोले से धीरे-धीरे तेज़ घुमाया गया पिंड पहले का अनुसरण करता है। गोलाकार आकृति के निकट वाली शाखा पर $e_0\simeq0.4107$, $a_0\simeq6{,}721$ km और $c_0\simeq6{,}128$ km प्राप्त होते हैं — विषुवत ध्रुवों की तुलना में केंद्र से लगभग 600 km अधिक दूर।

चरण 4: जड़त्व आघूर्ण और कोणीय संवेग। जड़त्व आघूर्ण मापता है कि किसी पिंड को घुमाना कितना कठिन है, और इस पर निर्भर करता है कि उसका द्रव्यमान अक्ष से कितनी दूर स्थित है। अपने लघु अक्ष के परितः घूमते एकसमान गोलाभ के लिए यह द्रव्यमान गुणा विषुवतीय त्रिज्या के वर्ग का $\frac25$ है। कोणीय संवेग जड़त्व आघूर्ण गुणा कोणीय वेग है:

$$I_0=\frac25M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_{\mathrm{initial}}=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

यहाँ $\omega_0=2\pi/19{,}800$ s$^{-1}$, 5.5 घंटे के दिन का कोणीय वेग। यह बॉक्स में दी गई संख्या वह पूरा बजट है जिससे स्थानांतरण ले सकता है; §A.6 इसकी तुलना वर्तमान पृथ्वी–चंद्र तंत्र से करता है।

एकसमान घनत्व एक गणना निवेश है। यह छँटाई की प्रारंभिक अवस्था में स्थित जनक का वर्णन करता है: संभव है कि आरंभ में ही लोहा कोर में एकत्र होने लगा हो, और कोर का संगठन स्थानांतरण के दौरान और मुक्ति के बाद भी जारी रहा। जिस पिंड ने विभेदन पूरा नहीं किया, वह अनिवार्यतः एकसमान नहीं है; एकसमान घनत्व से विचलनों के प्रभाव की परीक्षा नीचे एक संवेदनशीलता परीक्षण में की गई है (परिशिष्ट C और §A.4.1)।

Appendix B.2मूल प्रसार क्रमवीक्षण

120 km का प्रसार एक अपनाया गया मान है, इसलिए प्रश्न यह है कि परिणाम उस पर कितना निर्भर है। तालिका इसका उत्तर देती है। प्रत्येक पंक्ति एक प्रसार देती है; दूसरा स्तंभ परिणामी आयतनिक त्रिज्या है; तीसरा, यदि दिन 5.5 घंटे का हो तो वर्तमान बजट पर प्रारंभिक बजट का अधिशेष; चौथा, वह सबसे लंबा प्रारंभिक दिन जिस पर बजट अभी भी वर्तमान के बराबर है (अदिश ऊपरी सीमा)। तालिका को नीचे की ओर पढ़ें: प्रसार बढ़ने के साथ पिंड बड़ा होता है, उसका जड़त्व आघूर्ण बढ़ता है, और अधिशेष तथा ऊपरी सीमा दोनों उसके साथ बढ़ते हैं।

दो पंक्तियाँ स्वीकार्य परास के किनारों को चिह्नित करती हैं। बिना प्रसार के बजट वर्तमान से 3.3% कम पड़ता है, इसलिए 5.5 घंटे पर घूमता अप्रसारित जनक आज के तंत्र की आपूर्ति नहीं कर सकता। 98 km पर बजट ठीक वर्तमान के बराबर है; यह सबसे छोटा प्रसार है जो कार्य करता है। 520 km पर अधिशेष 15% तक पहुँचता है, जो उस पर अपनाई गई सीमा है जो बाद में सूर्य को खोया जा सकता था। §D.3 की 98–520 km की परास इन्हीं दो पंक्तियों से आती है।

तालिका स्रोत तालिका से अदिश मॉडल की संवेदनशीलता के रूप में रखी गई है। 5.54 घंटे की ऊपरी सीमा संदर्भ अवस्था की है, हर संभव संरचना की नहीं। 4.90 घंटे की निचली सीमा 15% की अपनाई गई बाहरी-हानि सीमा पर टिकी है; यहाँ उस सीमा की कोई स्वतंत्र व्युत्पत्ति नहीं है। इसलिए 4.90–5.54 घंटे की परास कोई सिद्ध प्रेक्षणात्मक बाध्यता नहीं है; यह वह खिड़की है जिसके भीतर अपनाए गए निवेश संगत बने रहते हैं।

120 km भी एक अपनाया गया प्राचल है। तापीय प्रसार के प्रतिनिधित्व के लिए इस प्राचल का उपयोग अवस्था-समीकरण गणना (ऐसी गणना जो परत-दर-परत अनुसरण करती है कि दाब और तापमान के साथ पदार्थ का घनत्व कैसे बदलता है) का स्थान नहीं लेता। दाब के अंतर्गत किसी पिंड के प्रसार को स्थापित करने के लिए संरचना और घनत्व का समाकलन चाहिए; परत की गहराई और प्रसार गुणांक पर आधारित रैखिक अनुमान एक बंद स्वतंत्र आधार नहीं है। आगे के कार्य की सूची इस गणना को शोध के अवसर के रूप में नामित करती है।

यह परिशिष्ट बताता है कि §A.4 और §A.4.1 के पीछे की दो-परत गणना कैसे स्थापित की गई, और उसकी संख्याओं पर कितना भरोसा किया जा सकता है। यह घनत्व अनुपात $D$ के सापेक्ष अंतिम अवधियों और सह-घूर्णन त्रिज्याओं की तालिका ( $D=2$ के लिए: 5.77 घंटे और 16,331 km), और §B.6 के मान $k=0.360$ का समर्थन करता है। भौतिक विचार अपनी बाँहें भीतर खींचती स्केटर का है: जब लोहा केंद्र की ओर डूबता है, जड़त्व आघूर्ण घटता है और, कोणीय संवेग स्थिर रहने पर, घूर्णन तेज़ होता है।

मॉडल में दो परतें हैं: एक आंतरिक और एक बाहरी। $q$ आंतरिक और बाहरी आयतनिक त्रिज्या का अनुपात है, और $D$ उनके घनत्वों का अनुपात। परतें असंपीड्य हैं और साझा घूर्णन में हैं, इसलिए वे एक पिंड के रूप में साथ घूमती हैं। अंतिम पिंड का आयतन सभी परिदृश्यों में स्थिर है; $L_0$ निर्धारित करने के लिए प्रयुक्त प्रारंभिक अवस्था समांगी रहती है, इसलिए प्रत्येक परिदृश्य उसी बजट से आरंभ होता है और केवल इसमें भिन्न है कि अंतिम पिंड ने अपना द्रव्यमान कैसे व्यवस्थित किया है।

प्रत्येक परिदृश्य के लिए दोनों सीमाओं पर एक स्थिर प्रभावी विभव हल किया जाता है: प्रत्येक सीमा को संयुक्त गुरुत्वीय और अपकेंद्री विभव का समविभव पृष्ठ होना आवश्यक है, जो घूमते निर्देश-तंत्र में तरल परत के विराम में होने की शर्त है। $I$ की गणना तब सीधे घनत्व और आकृति से की जाती है, एकसमान पिंड के सूत्र से नहीं ली जाती। यहाँ समय में कोई विभेदन पथ और कोई अवस्था-समीकरण नहीं है: गणना अंतिम अवस्थाओं की तुलना करती है, और लोहे के डूबने का चरण-दर-चरण अनुसरण नहीं करती।

दो जाँचें परिशुद्धता निर्धारित करती हैं। सीमा आकृतियों को बदलने देने से (उन्हें यथार्थ गोलाभ होने के लिए बाध्य करने के बजाय) $q=0.55$ क्रमवीक्षण में त्रिज्या लगभग 2.5 km तक बदली — 15,000 km से अधिक की सह-घूर्णन त्रिज्या की तुलना में छोटा। संख्यात्मक विभेदन बदलने से त्रिज्याएँ कुछ मीटर बदलीं; क्षेत्र अवशेष हर जाँच में एकदिष्ट रूप से अभिसरित नहीं होते, इसलिए मीटर-स्तर की भौतिक परिशुद्धता का कोई दावा नहीं किया जाता। परिणाम किलोमीटर स्तर तक विश्वसनीय हैं, जो वह स्तर है जिस पर शोधपत्र उनका उपयोग करता है।

मुख्य गणना चंद्रमा को विषुवतीय तल में मुक्त करती है। यह परिशिष्ट पूछता है कि यदि मुक्ति बिंदु विषुवत से हटकर हो तो क्या बदलता है। यह §A.6.6 के बजट समीकरण और वहाँ उद्धृत संवेदनशीलता मानों का समर्थन करता है। बात ज्यामितीय है: विषुवत से हटकर चंद्रमा का कक्षीय कोणीय संवेग और पृथ्वी का घूर्णन कोणीय संवेग अब एक ही अक्ष के साथ इंगित नहीं करते, और भिन्न दिशाओं में इंगित करने वाले कोणीय संवेग तीरों की तरह जुड़ते हैं, साधारण संख्याओं की तरह नहीं।

एक निर्देश-तंत्र में जहाँ $z$ अंतिम घूर्णन अक्ष है, और $\lambda$ मुक्ति बिंदु का उसकी विषुवत के सापेक्ष मापा गया अक्षांश है, कुल कोणीय संवेग है:

$$\mathbf{L}_{\mathrm{tot}}=(-H\sin\lambda,0,S+H\cos\lambda),\quad H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda.$$

यहाँ $S$ पृथ्वी का घूर्णन कोणीय संवेग है, अक्ष के साथ। $H$ चंद्रमा का कक्षीय कोणीय संवेग है: $\mu_{\mathrm{red}}$ युग्म का समानीत द्रव्यमान है, $\omega$ साझा कोणीय वेग और $r\cos\lambda$ घूर्णन अक्ष से मुक्ति बिंदु की दूरी — घूर्णन द्वारा दी गई गति के लिए केवल वही दूरी गिनी जाती है। कक्षीय तीर घूर्णन अक्ष से $\lambda$ झुका है, इसलिए उसका एक घटक $H\cos\lambda$ अक्ष के साथ और एक घटक $-H\sin\lambda$ उसके आर-पार है।

कुल तीर की लंबाई घटकों का वर्ग करके और जोड़कर ज्ञात की जाती है:

$$L_0^2=(H\sin\lambda)^2+(S+H\cos\lambda)^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.$$

इसी से §A.6.6 का बजट समीकरण: प्रारंभिक बजट इस लंबाई के बराबर होना चाहिए। $\lambda=0$ पर यह विषुवतीय गणना के साधारण योग $L_0=S+H$ में बदल जाता है। घूर्णन और कुल कोणीय संवेग के बीच का कोण है:

$$\beta=\arctan\left(\frac{H\sin\lambda}{S+H\cos\lambda}\right).$$

यह कोण बताता है कि पृथ्वी का अंतिम घूर्णन अक्ष पूरे तंत्र के अक्ष से कितना झुका है — उन झुकावों का आरंभ बिंदु जिनका Paper 4 अनुसरण करता है।

परीक्षण $q=0.55$, $D=1$, $\lambda=25^\circ$ के लिए परीक्षण-कण सन्निकटन में लगभग 17,177 km और 3.85°, या दो द्रव्यमानों के साथ लगभग 17,240 km और 3.84° प्राप्त होते हैं। 25° एक संवेदनशीलता परीक्षण मान है, जो संशोधन का आकार दिखाने के लिए चुना गया है; अपनाया गया मुक्ति अक्षांश 22.5° है, संपर्क क्षेत्र का केंद्र, और वहाँ मुक्ति की पुनर्गणना Paper 4 (The Orbit) में की गई है। ये प्रस्तावित संवेदनशीलता परिणाम हैं, जो संदर्भ मानों का स्थान नहीं लेते। पूर्ववर्ती संख्याएँ 17,115 और 4.48° अभिलेख में अलग रखी गईं, क्योंकि उन्हें निर्देश-तंत्र संगति संशोधन की आवश्यकता थी: वे भिन्न अक्षों के सापेक्ष व्यक्त सदिशों को मिलाती थीं। यह शुद्धगतिक समीकरण यह परिकलित नहीं करता कि अक्ष समय के साथ कैसे बदलता है; यह एक क्षण की अवस्था देता है।

पूर्ण प्रलेखन, Paper 4 के लिए अभिप्रेत कक्षीय सामग्री सहित: LEF_PaperI_Calculation2_Latitude25_HE।

यह परिशिष्ट §A.7 और §B.7 की पृष्ठभूमि देता है: दोनों रोश सीमाएँ और इसका पहला अनुमान कि पृथ्वी का ज्वार युवा चंद्रमा पर कितना प्रबल भार डालता है। रोश सीमा वह दूरी है जिसके भीतर उपग्रह के निकट और दूर के भागों पर पृथ्वी के खिंचाव का अंतर (ज्वारीय खिंचाव) उपग्रह को एकजुट रखने वाले उसके अपने गुरुत्व से अधिक हो जाता है। तरल की तरह स्वतंत्र रूप से विकृत होने वाला पिंड लंबा होता है और इस प्रकार अपने ऊपर खिंचाव बढ़ाता है; उसकी सीमा और बाहर है (गुणांक 2.44)। अपनी आकृति बनाए रखने वाले पिंड की सीमा और भीतर है (गुणांक 1.26)। यह परिशिष्ट जिस प्रश्न का उत्तर देता है वह यह है कि मुक्ति दूरी पर ज्वारीय भार कितना बड़ा है, और उस भार को बचे रहने के परिणाम में बदलने के लिए और क्या चाहिए।

स्थिरांक 1.26 और 2.44 तथा सीमाओं की परिभाषाएँ पिछले पाठ से रखी गई हैं। तथाकथित दृढ़ गुणांक के स्रोत और उसकी वैधता के क्षेत्र का केंद्रित सत्यापन प्रस्तुति से पहले पूरा होना चाहिए। इसमें भूपर्पटी के लिए कोई दृढ़ता नियम नहीं है: दृढ़ सीमा उस पिंड का वर्णन करती है जो आकृति नहीं बदलता, यह बताए बिना कि कौन-सी पदार्थ दृढ़ता इसे संभव बनाती है।

त्वरण और विकृति का अनुमान — सुरक्षित रखा गया पूर्ववर्ती गणना पाठ

अनुमान दो त्वरणों की तुलना करता है। $\Delta a$ ज्वारीय खिंचाव है: पिंड के केंद्र पर और उसकी सतह पर, पृथ्वी की ओर की रेखा के साथ, पृथ्वी के खिंचाव का अंतर। $g_s$ पिंड का अपना सतही गुरुत्व है। पिंड त्रिज्या $R_s=1{,}890$ km के लिए:

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3}, \qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

खिंचाव दूरी $r$ के घन के साथ घटता है: दूरी आधी करने पर वह आठ गुना बढ़ता है। 15,818 km पर $\Delta a\simeq0.381$, $g_s\simeq1.373$ m/s² और लगभग 0.277 का अनुपात प्राप्त होते हैं। अनुपात ज्वारीय खिंचाव की तुलना स्व-गुरुत्व से करता है: एक से नीचे स्व-गुरुत्व जीतता है, और इस दूरी पर ज्वार पिंड के अपने गुरुत्व के चौथाई से थोड़ा अधिक है। एक से नीचे का अनुपात आवश्यक है, किंतु विकृत होते पिंड के लिए प्रश्न को तय नहीं करता; तरल सीमा के भीतर बिताए गए वर्षों में गर्म पिंड का विरूपण §D.3 की बचे रहने की शर्त है।

अगला चरण त्वरण को प्रतिबल में और प्रतिबल को समय में बदलता है। एक प्रतिबल अनुमान बनाया जा सकता है:

$$\sigma_{\mathrm{tidal}}\sim\rho_s\Delta aR_s\sim1.9\times10^9\ \mathrm{Pa}, \qquad t_{\mathrm{strain}}\sim\frac{\varepsilon_*\eta}{\sigma_{\mathrm{tidal}}}.$$

पहला व्यंजक पिंड के पदार्थ के एक स्तंभ का भार-सदृश भार है, जिसका घनत्व $\rho_s$ और ऊँचाई $R_s$ है, त्वरण $\Delta a$ के अंतर्गत। दूसरा बताता है कि श्यानता $\eta$ (बहाव के प्रति उसका प्रतिरोध, पास्कल-सेकंड में) वाला पदार्थ उस प्रतिबल के अंतर्गत विकृति $\varepsilon_*$ — आकृति का भिन्नात्मक परिवर्तन — तक पहुँचने में कितना समय लेता है: पदार्थ जितना कठोर, उतना अधिक समय।

$\varepsilon_*=0.5$ (आकृति का आधा परिवर्तन) और $\eta=10^{19}\ \mathrm{Pa\,s}$ चुनने पर लगभग 85 वर्ष मिलते हैं ($\rho_s=2{,}600$ kg/m$^3$, $\Delta a\simeq0.381$ m/s$^2$ और $R_s=1{,}890$ km के साथ प्रतिबल $1.87\times10^9$ Pa है; इस अनुमान के एक पूर्ववर्ती संस्करण ने $1.4\times10^9$ Pa और लगभग 116 वर्ष दिए थे, जो लगभग 1,950 kg/m$^3$ के पिंड घनत्व के अनुरूप है)। यह एक स्थिर प्रतिनिधि प्रतिबल के अंतर्गत विकृति का अनुमान है, विघटन समय की गणना नहीं। प्रवाहिकी (समय के साथ पदार्थ भार पर कैसे अनुक्रिया करता है), आकृति, बदलते प्रतिबल और वास्तविक निवास समय की परीक्षा करनी होगी।

यह अनुमान एक प्राचलिक निर्भरता के रूप में रखा गया है: यह दिखाता है कि समय श्यानता और प्रतिबल के साथ कैसे बदलता है, ताकि पाठक अन्य मान रख सके। निवास समय स्वयं कक्षीय गणना का है और यहाँ अपनाया नहीं गया। तीसरा गणना दस्तावेज़ रोश, भार और कक्षा जाँचों तथा परिणाम और खुली आवश्यकता के बीच के पृथक्करण को एकत्र करता है: LEF_PaperI_Calculation3_Release_Survival_HE। यांत्रिक भार Paper 3 (LEF Mechanism in Practice) के लिए अभिप्रेत है और कक्षीय तालिकाएँ Paper 4 (The Orbit) के लिए।

यह परिशिष्ट घटक-दर-घटक बताता है कि शोधपत्र पूर्ववर्ती भौतिकी से क्या लेता है और क्या जोड़ता है। यह §D.2 के नवीनता कथन का समर्थन करता है। तालिका को पंक्ति-दर-पंक्ति पढ़ना चाहिए: पहला स्तंभ तर्क के एक घटक का नाम देता है, दूसरा बताता है कि वह मानक भौतिकी है, पूर्व कार्य है या शोधपत्र का अपना अनुप्रयोग, और तीसरा बताता है कि शोधपत्र उसका उपयोग कैसे करता है। यह प्रतिरूप जानबूझकर है: नियम पुराने हैं; नया यह है कि उनका मूल्यांकन कहाँ होता है और एक संयोजित परिदृश्य में उन्हें कैसे जोड़ा जाता है।

प्रस्तुति से पहले प्राथमिकता के आकलन के लिए तुल्यकालिक स्थायित्व और साम्य अवस्थाओं पर पूर्व कार्य से एक केंद्रित तुलना भी आवश्यक है; विशेष रूप से पिछले समीक्षा अभिलेख से Counselman, Hut और Grjebine & Marchal के संदर्भों को यहाँ पुनः सत्यापित के रूप में चिह्नित नहीं किया गया है। वे खुले ग्रंथसूची कार्य हैं, नए परिणाम नहीं।

संपादक का परीक्षण सुरक्षित रखा गया है: प्रत्येक केंद्रीय दावे के लिए उसकी स्थिति पहचानी जानी चाहिए, मान्यताएँ और परिणाम परिभाषित होने चाहिए, संवेदनशीलता उजागर होनी चाहिए, और पुनरुत्पादन का मार्ग दिया जाना चाहिए। §D.1 में केंद्रीय दावों की तालिका (पूर्ववर्ती पाठ में “Table E.4” नाम से), §D.3 में मान्यताओं और आवश्यकताओं की तालिका के साथ, इस संरचना को भरती है; बचे रहने के हल का अभाव खुला चिह्नित है और उत्तीर्ण (PASS) नहीं बनता।

संदर्भ

[1] Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale University Press. मौजूदा पाठ से स्रोत; अनुक्रम मानों और रोश गुणांकों के लिए यथार्थ पृष्ठ संदर्भ प्रस्तुति से पहले पूरे करने आवश्यक हैं।

[2] Ferraz-Mello, S., Rodríguez, A., & Hussmann, H. Tidal friction in close-in satellites and exoplanets. The Darwin theory re-visited. लेखकों का संस्करण: https://arxiv.org/abs/0712.1156.

[3] Leconte, J., Chabrier, G., Baraffe, I., & Levrard, B. (2010). Is tidal heating sufficient to explain bloated exoplanets? Consistent calculations accounting for finite initial eccentricity. DOI: 10.1051/0004-6361/201014337.

[4] Efroimsky, M., & Makarov, V. V. (2013). Tidal Friction and Tidal Lagging. Applicability Limitations of a Popular Formula for the Tidal Torque. ApJ, 764, 26. DOI: 10.1088/0004-637X/764/1/26.

[5] Huré, J.-M. (2022). Nested spheroidal figures of equilibrium I. Approximate solutions for rigid rotations. लेखक का संस्करण: https://arxiv.org/abs/2202.11044.

[6] Darwin, G. H. (1879). On the precession of a viscous spheroid, and on the remote history of the Earth. DOI: 10.1098/rstl.1879.0073.

[7] Meier, M. M. M., Reufer, A., & Wieler, R. (2014, preprint). On the origin and composition of Theia: Constraints from new models of the Giant Impact. लेखकों का संस्करण: https://arxiv.org/abs/1410.3819.

[8] Battin, R. H. (2008). The Two Body Problem. MIT 16.346, Lecture 1. https://ocw.mit.edu/courses/16-346-astrodynamics-fall-2008/resources/lec_01/.

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यह परिशिष्ट शोधपत्र के आरंभ में दी गई गणनात्मक पर्यावरण तालिका का पूर्ण संस्करण है। इसका प्रयोजन व्यावहारिक है: श्रृंखला की प्रत्येक गणना परिदृश्य के किसी विशेष क्षण और विशेष स्थान के लिए की जाती है, और तालिका राशि-दर-राशि दर्ज करती है कि प्रत्येक क्षण क्या ज्ञात है, क्या अपनाया गया है और क्या अभी खुला है। यह किसी प्राचीन अवस्था के पुनर्निर्माण की सबसे सामान्य त्रुटि को रोकती है — वर्तमान पृथ्वी से, या किसी भिन्न चरण से, कोई मान उधार लेकर उसे वहाँ रख देना जहाँ वह संबंधित नहीं है। प्रत्येक पंक्ति एक पहचानकर्ता (E01, E02, …) वहन करती है, ताकि बाद के शोधपत्र उसका उल्लेख कर सकें।

तालिका कैसे पढ़ें

प्रत्येक पंक्ति पाँच स्थितियों में से एक वहन करती है। अपनाया गया: मॉडल में चुना गया निवेश। परिकलित: विशेष मान्यताओं के भीतर एक परिणाम। पुनरुत्पादित: ऐसी गणना जिसका कोड चलाया और पुनरुत्पादित किया गया, बिना इसके कि यह उसकी सभी मान्यताओं को मान्य करे। खुला: अभी निर्धारित नहीं या अभी प्रदर्शित नहीं। वर्तमान बाध्यता: आज के तंत्र पर एक आँकड़ा, जो प्राचीन पुनर्निर्माण को सीमित करने के लिए अभिप्रेत है, अतीत का माप नहीं।

स्तंभ समय में परिदृश्य का अनुसरण करते हैं। चरण तीन अलग तंत्र नहीं हैं: A — द्रव्यमान के विभाजन से पहले की संदर्भ अवस्था, जब चंद्र पदार्थ अभी पृथ्वी में गिना जाता है; B — निर्माण और स्थानांतरण, जब पिंड बढ़ता और उठता है; C — मुक्ति के निकट की अवस्था। स्तंभ C की सभी संख्याएँ एक परिभाषित युग्मित संदर्भ अवस्था को संदर्भित करती हैं, पहले से पूरी तरह हल किए गए विकास पथ को नहीं। विभेदन, अशून्य अक्षांश या पदार्थ स्रोतों का मिश्रण एक और संगत गणना की अपेक्षा करते हैं।

तालिका विषय के अनुसार खंडों में विभाजित है: समय, द्रव्यमान और ज्यामिति; पृथ्वी का आंतरिक भाग, घूर्णन और कोणीय संवेग; गुरुत्व और वह कहाँ मापा जाता है; ऊष्मा, पदार्थ, प्रवाह और संयोजन; और वाष्पशीलों, शीतलन और समयरेखा पर लेखक के दो बाद के अद्यतन।

पर्यावरण तालिका — समय, द्रव्यमान और ज्यामिति

यह पहला खंड लेखा-जोखा निर्धारित करता है: परिदृश्य कब घटित होता है, कितना द्रव्यमान है और प्रत्येक भाग किस पिंड को सौंपा गया है, पिंड कितने बड़े हैं, और स्रोत कहाँ स्थित है। इसका मुख्य उपयोग दोहरी गणना को रोकना है — एक ही पदार्थ को कभी भी पृथ्वी और चंद्रमा दोनों में नहीं रखा जाना चाहिए — और भिन्न संदर्भ अवस्थाओं के आकारों को अलग रखना है।

यह खंड क्या स्थापित करता है: एक तंत्र द्रव्यमान, दो पिंडों के बीच और, जहाँ आवश्यक हो, पारगमन में पदार्थ के एक तीसरे भंडार में विभाजित; संदर्भ आकार जो बताए गए घनत्वों और अवस्थाओं से संबंधित हैं; और एक स्रोत जो विस्तृत क्षेत्र है, बिंदु नहीं।

पर्यावरण तालिका — पृथ्वी का आंतरिक भाग, घूर्णन और कोणीय संवेग

दूसरा खंड उन राशियों से संबंधित है जो घूर्णन और बजट निर्धारित करती हैं: पृथ्वी के भीतर द्रव्यमान कैसे व्यवस्थित है (जड़त्व गुणांक $k$, जो एकसमान गोले के लिए 0.4 है और द्रव्यमान के केंद्र की ओर सांद्रित होने पर छोटा), जड़त्व आघूर्ण, अवधि, घूर्णन अक्ष, कुल कोणीय संवेग और सह-घूर्णन त्रिज्या। ये भाग A और B की राशियाँ हैं; खंड दर्ज करता है कि कौन-से मान संदर्भ अवस्था के हैं और कौन-से मुक्ति के निकट की युग्मित अवस्था के, ताकि दोनों मिश्रित न हों।

यह खंड क्या स्थापित करता है: घूर्णन और सह-घूर्णन त्रिज्या निर्माण के दौरान दोनों दिशाओं में बदलते हैं; मुक्ति पर सह-घूर्णन त्रिज्या के दो मान (परीक्षण कण के लिए 16,331 km, दो द्रव्यमानों के लिए 16,399 km) एक ही अवस्था के दो सन्निकटन हैं; और E24 के तीन प्रतिशत तीन भिन्न चीज़ें मापते हैं।

पर्यावरण तालिका — परिवर्ती गुरुत्व और माप का स्थान

तीसरा खंड गुरुत्व के बारे में है, जो इस परिदृश्य में एक संख्या नहीं है। जैसे-जैसे द्रव्यमान पृथ्वी से विकसित होते पिंड की ओर जाता है, किसी दिए गए बिंदु पर खिंचाव बदलता है, और वह पृथ्वी के बाहर, उसकी सतह पर, उसके भीतर और पिंडों के बीच के संयोजन में भिन्न ढंग से बदलता है। प्रत्येक पंक्ति एक स्थान या घटक का नाम देती है और बताती है कि वहाँ की गणना में क्या सम्मिलित होना चाहिए। उद्देश्य यह है कि एक स्थान पर मान्य मान दूसरे स्थान पर प्रयुक्त न हो।

यह खंड क्या स्थापित करता है: गुरुत्व की गणना बताए गए स्थान और क्षण पर वास्तविक द्रव्यमान वितरण से करनी है; अपकेंद्री और अन्य निर्देश-तंत्र त्वरण केवल एक बताए गए घूमते निर्देश-तंत्र में जोड़े जाते हैं; और E35 की रोश सीमाएँ संदर्भ दूरियाँ हैं, जबकि बचे रहने को §D.3 की अलग आवश्यकता के रूप में लिया जाता है।

पर्यावरण तालिका — ऊष्मा, पदार्थ, प्रवाह और संयोजन

चौथा खंड यांत्रिकी से पदार्थ की अवस्था की ओर मुड़ता है: तापमान, ऊष्मा, दाब, घनत्व, वाष्पशील, श्यानता, बाहरी कवच और संयोजन, और मुक्ति के बाद क्या होता है। ये वे राशियाँ हैं जिनकी Paper 3 (LEF Mechanism in Practice) को यह परखने के लिए आवश्यकता है कि क्या पदार्थ ऊपर उठ सकता है, क्या कवच भार वहन कर सकता है और क्या सतह पर अभिलेख सुरक्षित रह सकता है। खंड उपयोग में आने वाले कार्यकारी मान और, स्तंभ-दर-स्तंभ, यह दर्ज करता है कि क्या अभी निर्धारित करना शेष है।

यह खंड क्या स्थापित करता है: वे यांत्रिक कार्यकारी मान जिनका Paper 3 उपयोग करता है (E39 के दाब, E44 का कवच, E47 का संयोजन), यह निश्चित बिंदु कि मुक्ति पर चंद्रमा दृढ़ और गोल है (E48), और अभी निर्धारित की जाने वाली तापीय और पदार्थ राशियों की एक स्पष्ट सूची। पिंड का चपटापन और गोलाई पहले हुए, जब वह अभी जुड़ा था (Paper 7, The Poles)।

हर गणना के साथ रहने वाला कार्ड

ऊपर की तालिका को एक कार्यकारी नियम में बदला गया है: एक छोटा कार्ड जिसे श्रृंखला की कोई भी गणना अपने परिणाम से पहले बताती है, ताकि पाठक तुरंत देख सके कि वह किस अवस्था का वर्णन करती है।

किसी समीकरण या परिणामों की तालिका से पहले बताएँ: (1) चरण और समय; (2) माप का बिंदु; (3) निर्देश-तंत्र और अक्ष; (4) परिदृश्य संस्करण; (5) उसी चरण पर द्रव्यमान और त्रिज्याएँ; (6) ऊष्मा और पदार्थ निवेश; (7) उपेक्षित प्रभाव; (8) परिणाम और संवेदनशीलता। यदि कोई आँकड़ा अनुपस्थित है, तो गणना को सशर्त या स्थगित चिह्नित किया जाता है — कोई मान बिना औचित्य के वर्तमान से या किसी अन्य चरण से उधार नहीं लिया जाना चाहिए।

द्रव्यमान का लेखा-जोखा एक समीकरण के रूप में लिखा जाता है। द्रव्यमान-प्रबंधन समीकरण: $M_{\mathrm{total}}=M_E+m_{\mathrm{body}}+M_{\mathrm{transit}}+M_{\mathrm{escaped}}$, तंत्र और भंडार की सीमाओं के अनुसार: पृथ्वी, विकसित होता पिंड, उनके बीच मार्ग में स्थित पदार्थ, और तंत्र से खोया गया कोई भी पदार्थ। यदि बिना हानि वाला बंद तंत्र चुना जाए, या पदार्थ किसी एक पिंड से परे सौंपा जाए, तो यह बताना होगा और पदों को तदनुसार घटाना होगा। GM में प्रवेश करने वाला द्रव्यमान उसी गणना में भंडार की परिभाषा से मेल खाना चाहिए।

संयुक्त गुरुत्वीय क्षेत्र की गणना वास्तविक द्रव्यमान वितरण से करनी होगी। दो-बिंदु-द्रव्यमान सन्निकटन केवल वहीं और उसी परिशुद्धता पर अनुमत है जहाँ परिभाषित किया गया है; यह पृथ्वी के आंतरिक भाग, संयोजन या किसी स्थानीय विसंगति का पूर्ण वर्णन नहीं है। पृष्ठभूमि और विसंगति में वियोजन करने पर केवल अंतर द्रव्यमान जोड़ा जाता है, ताकि कोई द्रव्यमान दो बार न गिना जाए।

लेखक का अद्यतन — प्राचीन वाष्पशील भंडार और लौटता पदार्थ

यह अद्यतन तालिका में वाष्पशीलों को जोड़ता है — जल, गैसें और अन्य पदार्थ जो आसानी से वाष्पित होते हैं — जो घनत्व, प्रवाह, शीतलन और लौटते पदार्थ को प्रभावित करते हैं। यह लेखक के चित्र और उन भेदों को दर्ज करता है जिन्हें कोई भी बाद की गणना बनाए रखे, अभी मात्राओं की गणना किए बिना।

लेखक का स्पष्ट निर्देश: परखे गए परिदृश्य में प्राचीन वाष्पशील भंडार आज शेष भंडार से कहीं बड़ा है। वाष्पशील उस पदार्थ में उपस्थित हैं जिससे तंत्र बना है, गहरे पदार्थ और मैग्मा सहित; विकसित होते पिंड के साथ स्थानांतरित वाष्पशीलों का एक भाग अंतरिक्ष में खो गया, और परिकल्पना के अनुसार पृथक्करण के दौरान और हानि हुई। अभी मात्राओं या हानि दरों की गणना का कोई अनुरोध नहीं है।

पंक्तियाँ उन बातों को अलग करती हैं जो आसानी से आपस में मिल जाती हैं: कितना वाष्पशील पदार्थ था (E54), वह कहाँ था (E55), किस रूप में (E56), वह कैसे खोया गया (E57), हानि द्रव्यमान लेखे में कैसे प्रवेश करती है (E58), और वह उस लौटते पदार्थ से कैसे संबंधित हो सकता है जो बाद में चंद्रमा पर गिरता है (E59)। E60 मैग्मा के दो गुणों — प्रवाह का प्रतिरोध और हल्कापन — को अलग रखता है, जो बुलबुलों से समृद्ध मैग्मा में एक साथ हो सकते हैं, किंतु जो एक ही राशि नहीं हैं।

संचयी अद्यतन — वाष्पशील चक्र, शीतलन और समयरेखा

दूसरा अद्यतन वर्णन करता है कि युवा तंत्र अपने निर्माण के दौरान कैसे ठंडा हुआ, और सक्रिय निर्माण से एक अलग पिंड तक घटनाओं का क्रम निर्धारित करता है।

11 सितंबर 2026। यह अद्यतन पूरी पिछली सामग्री में जोड़ा गया है; यह तालिकाओं E01–E60 या उनमें के भेदों का स्थान नहीं लेता। दस्तावेज़ में अब 70 मदें हैं। 53 राशियों का पूर्ववर्ती उल्लेख केवल मूल आधार तालिका का वर्णन करता है।

लेखक का स्पष्टीकरण: पर्यावरण के प्रस्तावित चित्र में, आज समुद्रों और महासागरों में दर्शाया गया जल भंडार परिदृश्य के आरंभ में वाष्पित अवस्था में था, और तंत्र गहरे पदार्थ के भीतर भी वाष्पशीलों से समृद्ध था। एक चक्रीय गति होती है: वाष्पशील-समृद्ध पदार्थ ऊपर उठता है, ठंडा होता है, और उसका एक भाग नीचे लौटता है, गर्म होता है और फिर उठता है — चूल्हे पर रखे सूप के बर्तन की तरह, जहाँ सतह ऊष्मा छोड़ती है जबकि भीतरी भाग पलटता रहता है। परिकल्पना के अनुसार यह चक्र बाहरी सतह के शीतलन और अभिलेख के संरक्षण में सहायता करता है, जबकि भीतरी भाग गर्म और गतिशील रहता है।

स्थिति: यह उस परिदृश्य का वर्णन है जिसकी परीक्षा लेखक चाहता है। इसमें प्राचीन जल भंडार, हर गहराई पर वाष्पशीलों की अवस्था, निर्माण की अवधि या शीतलन क्षमता का कोई सत्यापित मात्रात्मक निर्धारण नहीं है। मान्यता, परिणाम और आँकड़े के बीच का पिछला भेद सुरक्षित रखा गया है। 600 Myr की खिड़की को बिना निर्णय के किसी अन्य छोटे समय से प्रतिस्थापित नहीं करना चाहिए, और उसे मापी गई समापन अवधि के रूप में प्रस्तुत नहीं करना चाहिए।

आगे की तालिका चक्र को पंक्ति-दर-पंक्ति पर्यावरण में प्रविष्ट करती है: आरंभ में जल (E61), स्वयं चक्र (E62–E64), कवच पर उसका प्रभाव (E65), समय खिड़की (E66), और बाहरी निष्कासनों का ह्रास, पृथक्करण पर उनका अंत और आंतरिक पोषण से उनका संबंध (E67–E70)।

वर्णन के लिए समयरेखा — बिना कल्पित मध्यवर्ती समयों के

समयरेखा चरणों को क्रम में रखती है, मध्यवर्ती चरणों को तिथियाँ दिए बिना, क्योंकि वे तिथियाँ परिकलित नहीं की गई हैं। प्रत्येक पंक्ति को आड़ा पढ़ें: वह एक चरण के लिए बाहरी निष्कासनों, संयोजन और ऊष्मा की अवस्था देती है। किसी प्रक्रिया का आरंभ से अंत तक अनुसरण करने के लिए स्तंभ को नीचे पढ़ें: निष्कासन नाशपाती-आकृति के बढ़ने के साथ घटते हैं, किंतु जब तक पिंड जुड़ा है, जारी रहते हैं, और पृथक्करण पर रुक जाते हैं।

अद्यतन पिछली तालिकाओं से कैसे जुड़ता है

नीचे की सूची अद्यतन को उन पंक्तियों से जोड़ती है जिन्हें वह छूता है, ताकि किसी एक राशि का अनुसरण करने वाला पाठक वे सभी स्थान ढूँढ सके जहाँ वह आती है।

• E01–E02: परिदृश्य खिड़की और युग को अभी निर्धारित न किए गए चरण समयों से अलग रखा गया है।

• E37–E38 और E52: वाष्पशील चक्र और ऊष्मा-हानि पथ तापीय वर्णन में जोड़े गए; तापमान और शक्ति के मान अभी खुले हैं।

• E42 और E54–E58: भंडार, प्रावस्था, मुक्ति और पलायन अलग राशियाँ बनी रहती हैं; घुले हुए वाष्पशीलों को हर गहराई पर मुक्त वाष्प में नहीं बदलना चाहिए।

• E44–E46 और E50–E51: कवच की पूरी मोटाई की क्रमिक संरचना, गतिशीलता और अभिलेख का संरक्षण बनाए रखे गए हैं। शीतलन चक्र का प्रस्ताव यांत्रिक परीक्षण की आवश्यकता को निरस्त नहीं करता।

• E48 और E53: गोलाई मुक्ति से पहले पूर्ण होती है, जैसे कि जुड़े पिंड और मुक्ति के बाद कक्षा में स्थित पिंड के बीच का भेद भी बना रहता है।

• E60: श्यानता बनाम घनत्व का प्रश्न वाष्प चक्र के स्पष्टीकरण से न तो हटाया गया और न स्वतः हल हुआ।

भविष्य की परीक्षा के लिए, अभी कोई गणना खोले बिना: वायुमंडल से होकर ऊष्मा अभिवाह; वाष्पन और संघनन पर गुप्त ऊष्मा; विकिरण के निकास पर वायुमंडल का प्रभाव; भंडारों के बीच जल और वाष्पशील संतुलन; शीतलन, सक्रियता की अवधि, कवच की गतिशीलता और अभिलेखों के संरक्षण के बीच संगति। यहाँ यह कोई निर्धारण नहीं है कि वाष्प वायुमंडल सभी परिस्थितियों में अनिवार्यतः शीतलन को तेज़ करता है।

AI उपकरणों का उपयोग: लेखक ने AI सहायकों (Claude, Anthropic; ChatGPT, OpenAI; Google का AI खोज सहायक) का उपयोग गणना स्क्रिप्टें लिखने और चलाने, सूचियों और मानचित्रों का विश्लेषण करने, चित्र और तालिकाएँ तैयार करने, परिदृश्यों पर चर्चा करने, और भाषा संपादन तथा अनुवाद के लिए किया। मॉडल और उसके निष्कर्ष लेखक के हैं। लेखक ने सामग्री की जाँच की है और उसकी पूरी ज़िम्मेदारी लेता है।