טבלת הסביבה החישובית

החישובים במאמר זה מתארים גוף-אם ארצי מוקדם, כלומר את כדור הארץ הצעיר לפני שהירח עזב אותו, בתרחיש LEF. המערכת משתנה במהלך התהליך (מסה עוברת מגוף אחד לגוף השני, והצורה והסיבוב משתנים), ולכן כל מספר שלהלן שייך למצב מוגדר: המצב שלפני חלוקת המסה, מצב ייחוס חישובי שמשמש להשוואה, או המצב הסופי המצומד ברגע השחרור. ההפרדה בין המצבים מונעת שימוש בערך מרגע אחד ברגע אחר. נספח G מכיל את הסביבה המלאה, E01–E70; הטבלה כאן מציגה רק את הגדלים הדרושים למאמר 2.

לטבלה שלוש עמודות. הראשונה מציינת את הגודל, השנייה את ערכו או את הגדרתו, והשלישית את סוג המספר: הנחה של המערכת, קלט שנבחר למודל, ערך שחושב במאמר זה, או ערך שמשמש רק לבדיקת רגישות התוצאה. בעזרת העמודה השלישית הקורא יכול לראות מיד אילו מספרים מוכנסים לחישוב ואילו יוצאים ממנו.

כמה שורות דורשות מילת הסבר. מסת גוף-האם בהתחלה, 6.0455×10²⁴ kg, היא פשוט סכום המסות של כדור הארץ והירח של היום: לא מניחים שדבר נמלט, ולכן הירח כולו היה פעם חלק מכדור הארץ. הרדיוס ההתחלתי, 6,517 km, גדול מרדיוס כדור הארץ היום, משום שכדור ארץ צעיר וחם מורחב; ההתפשטות המאומצת היא 120 km. גוף נוזלי מסתובב בולט במשווה שלו, ומודל Maclaurin — צורת שיווי המשקל הקלאסית של גוף נוזלי מסתובב בעל צפיפות אחידה, כדור פחוס — הופך את הנפח הזה לרדיוס משווני של כ-6,721 km. קירוב חלקיק-המבחן מתייחס לגוף המשתחרר כאל חלקיק קטן בשדה של המסה המרכזית, כך שרק מסת כדור הארץ נכנסת לנוסחה; הערך המצומד של שני גופים (16,399 km במקום 16,331 km) מראה עד כמה הפישוט הזה קטן. בשורות של שתי השכבות מופיעים $q$, היחס בין רדיוס השכבה הפנימית הצפופה לרדיוס הגוף כולו, ו- $D$, היחס בין הצפיפות הפנימית לצפיפות החיצונית; $D=1$ הוא גוף אחיד, ו- $D$ גדול יותר פירושו יותר ברזל שהתרכז לכיוון המרכז. שורת ה-25° היא בדיקת רגישות, שנועדה לראות עד כמה התוצאה משתנה כאשר השחרור אינו מתרחש על המשווה; זה אינו הערך המאומץ, שהוא 22.5° (מאמר 4). במקומות שבהם הטבלה מציינת שלגודל אין ערך יחיד — טמפרטורה, צמיגות, כבידה — המאמר אינו שואל במקומו ערך של ימינו. חלון הבנייה של 600 Myr הוא תרחיש העבודה של הסדרה: כ-400 Myr לבליטה ולאגס, כ-100 Myr לפחיסות וכ-100 Myr עד לשחרור ב-3.873 Ga. מאמר 2 אינו מחשב משך זה ואינו תלוי בו.

בפועל, משמעות הדבר היא שה-7.35×10²² kg של הירח נספרים פעם אחת. לפני ההעברה הם נמצאים בתוך ה-6.0455×10²⁴ kg של כדור הארץ; לאחריה הם הירח, וכדור הארץ נשאר עם 5.972×10²⁴ kg.

מדוע ההתנגדות הישנה אינה חלה כאן. הפיצול הקלאסי דרש מכדור הארץ לזרוק חומר מעל פני השטח שלו עצמו. על פני גוף-אם של 5.5 שעות הסיבוב נותן כ-2,133 m/s, בעוד שמסלול חופשי שם דורש כ-7,701 m/s (§A.1.2). הדרך היחידה לסגור את הפער הזה על פני השטח היא לסובב את כדור הארץ כולו מהר הרבה יותר, וסיבוב מהיר יותר פירושו יותר תנע זוויתי: בנקודה הקלאסית שבה גוף נוזלי מסתובב הופך לבלתי יציב (התפצלות Jacobi, §A.6.5) גוף-האם צריך פי 2.74 מהתנע הזוויתי שיש למערכת כדור הארץ–ירח היום, וחישוב הייחוס הישן, שנעשה בנקודה אחרת של אותה סדרה, נתן כפי ארבעה. למערכת אין כל כך הרבה, ובגלל זה נזנח הפיצול. מסלול LEF סוגר את הפער בדרך אחרת: לא על ידי סיבוב מהיר יותר, אלא על ידי נשיאת החומר החוצה בזמן שהוא מסתובב עם כדור הארץ. מהירותו גדלה עם המרחק באותו קצב סיבוב, עד שברדיוס הקורוטציה היא שווה למהירות המסלולית. הסיבוב שכדור הארץ צריך לשם כך הוא הסיבוב שהיה לו אילו כל התנע הזוויתי של היום הוחזר אליו — כ-5.5 שעות (§A.2) — והמאזן הדרוש אז הוא פי 1.007 מזה של היום. תמונה יומיומית: ילד על קרוסלה שהולך מהמרכז אל השפה נע מהר יותר בשפה, בלי שאיש דוחף את הקרוסלה חזק יותר.

מה פירוש הדרישות. $k$ הוא מקדם מומנט ההתמד: הוא מודד כיצד מסת הגוף מפוזרת בין המרכז לפני השטח. לכדור אחיד $k=0.4$; לכדור הארץ של היום, עם ליבת הברזל שלו, כ-0.33. המסלול צריך $k\gtrsim0.397$ בתחילת ההעברה, כלומר גוף-אם שעדיין נמצא בשלב מוקדם של התמיינות: כדור ארץ שמסתו פחות מרוכזת לכיוון המרכז אוגר יותר סיבוב באותו קצב סיבוב. התארגנות הליבה של כדור הארץ היא תהליך אחד רציף שמעולם לא נעצר. בתקופת הבליטה הוא היה בתחילתו; בזמן צמיחת האגס הוא נמשך; ואחרי השחרור הוא המשיך, בזמן שכדור הארץ לקח אליו בחזרה את האגס. כנראה מעולם לא הייתה תקופה אחידה לגמרי: ככל שהשלב מוקדם יותר, כדור הארץ ממוין פחות. ייתכן שברזל כבר התאסף בליבה בהתחלה; התהליך נמשך. כדור הארץ הצעיר צריך גם להיות חם, ולכן גדול יותר מהיום: התפשטות בין 98 ל-520 km קבילה, ו-120 km מאומצים. הגוף צריך להשתחרר מעבר לרדיוס הקורוטציה ולא בדיוק עליו: בדיוק על הקו הגאות נייטרלית ואינה דוחפת לשום כיוון, ואילו גוף שנמצא אפילו מעט מעבר לקו נדחף החוצה על ידי הגאות, כך שהוא מתרחק מההתחלה (מאמר 4); המרווח הדרוש קטן, $\Delta r\simeq2d_0$, כ-210 km (מאמר 3, §C.5a). גבול רוש הנוזלי הוא המרחק שבתוכו הגאות של כדור הארץ הייתה מפרקת גוף שמוחזק יחד רק על ידי הכבידה שלו עצמו. גוף בעל חוזק פנימי שורד קרוב יותר, עד לגבול הקשיח שלו; הירח בשחרור קשיח ועגול, והפחיסות וההתעגלות שלו הושלמו קודם לכן, בזמן שעדיין היה מחובר (מאמר 7). החיבור בין שני הגופים — האגס — צריך לשאת את העומס עד השחרור. הדרישות האלה אינן מוסתרות בתוך התוצאות; הן מרוכזות ב-§D.3, ומאמר 3 בודק אותן.

מבוא — חלק A: תנאי השחרור בהקשר של המודלים הקיימים

שני סוגי ראיות נוגעים למוצא הירח: כיצד החומר שלו יכול היה להגיע למסלול (הדינמיקה של הניתוק), והאם ההרכב שלו תואם את הגוף שממנו בא. עבודתו של Darwin על גאות ועל סיבוב היא חלק מהרקע ההיסטורי לבחינת האבולוציה של מערכת כדור הארץ–ירח [6]; רעיון הפיצול שלו — שכדור ארץ מסתובב מהר השיל את הירח — הוא הצורה הקלאסית של מוצא ארצי. במאמר זה ההשוואה הכמותית לפיצול הקלאסי נעשית דרך תצורת שיווי משקל מוגדרת; אין להפוך תוצאה עבור תצורה אחת לחסם על כל מסלול אפשרי. במילים אחרות, ההראיה שמסלול פיצול מסוים אחד דורש יותר מדי תנע זוויתי אינה מראה שכל מסלול מכדור הארץ דורש זאת.

במשפחת מודלי ההתנגשות הענקית, הירח נוצר מפסולת לאחר שגוף אחר פוגע בכדור הארץ, וההרכב האיזוטופי מציב אילוצים על הערבוב בין חומר ארצי לחומר הגוף הפוגע. קיימות גרסאות שונות של המודל, והאילוצים תלויים בהרכבים ובאופן הערבוב [7]. בתרחיש LEF נבחנת בנייה ממאגר ארצי משותף: הירח עשוי מחומרו של כדור הארץ עצמו, ולכן התאמה איזוטופית קרובה נובעת מכך ישירות. מקור משותף מספק בסיס להשוואת הרכב, אבל אינו מחליף את מבחן ההעברה למסלול. המבחן הזה הוא נושא המאמר.

השאלה הממוקדת של המאמר היא האם נשיאת מסה החוצה בסיבוב משותף משנה את תנאי המהירות ואת מאזן התנע הזוויתי ביחס לשחרור ישיר מפני השטח. התשובה שהמאמר נותן היא שכן: תנאי השחרור עובר מפני השטח אל רדיוס הקורוטציה, ואז גם המהירות וגם המאזן מתאימים. מנגנון הבנייה — ההזנה מבפנים והתרוממות הקליפה החיצונית כפני השטח של אותו גוף — הוא נושא מאמר 3, LEF Mechanism in Practice. המאמר הנוכחי מגדיר את התנאים הפיזיקליים שהמנגנון צריך לעמוד בהם. החלוקה מכוונת: מאמר 2 שואל האם המסלול אפשרי עקרונית, בעזרת פיזיקה סטנדרטית; מאמר 3 מראה כיצד הוא מתבצע.

מבוא — חלק B: מה המאמר מציג

המאמר בנוי כסדרה של בעיות ואחריהן הפתרונות שלהן, כך שכל התנגדות נענית במקום שבו היא עולה. חלק A מציג את הבעיות שהמסלול צריך לעמוד בהן, אחת אחת: פער המהירות שהוביל לדחיית הפיצול הקלאסי, מה צריך לחשב, האגס שמחבר את כדור הארץ לקו הקורוטציה, הקיזוז בין האגס המתארך לבין הליבה המתמרכזת, הקורוטציה עצמה, מאזן התנע הזוויתי, גבול רוש וכיוון האבולוציה הגאותית. חלק B פותר אותן באותו סדר, החל מחישוב אחד. חלק C מסכם את מה שהוראה; חלק D מרכז את הטענות, המבחנים והדרישות; חלק E מנסח את המסקנות. נספחים A–G מביאים את הפיתוחים, סריקות הרגישות, חישובי רוש ואת הסביבה החישובית המלאה, כך שכל מספר בגוף המאמר ניתן למעקב ולשחזור.

מישור המשווה הוא המקרה הפשוט ביותר: שם הסיבוב נושא את החומר במהירות הגבוהה ביותר ורדיוס הקורוטציה הוא מרחק יחיד. שחרור מקו רוחב גבוה יותר משנה במעט את המספרים אך לא את העיקרון; גודל השינוי מוצג בבדיקת הרגישות של 25° בטבלת הסביבה, והמקרה המאומץ של 22.5° מחושב במאמר 4.

חלק זה מציג את הפיזיקה שהמסלול צריך לקיים, בעיה אחר בעיה. הוא פותח בקושי שסגר את מסלול הפיצול הקלאסי — לגוף שעוזב את פני השטח של כדור ארץ המסתובב מהר אין מהירות של מסלול — ואחר כך שואל, בזה אחר זה, היכן מושגת המהירות הזאת, מה מחבר את כדור הארץ אל המקום הזה, כיצד משתנה סיבוב כדור הארץ בזמן שהחומר נע החוצה, האם התנע הזוויתי מספיק, האם הגוף שורד את הגאות של כדור הארץ, ולאיזה כיוון הוא נע לאחר מכן. כל סעיף מסתיים בגודל מוגדר, שחלק B מחשב אותו.

A.1הבעיה: פער המהירות

A.1.1שתי שאלות דינמיות נפרדות

תרחיש של מוצא ארצי מחייב הסבר למעבר החומר מגוף-האם אל מסלול חופשי. התאמה בהרכב יכולה לתמוך במקור משותף, אך אינה קובעת כיצד הגיע החומר למסלול: שני גופים יכולים להיות עשויים מאותו חומר, ועדיין נשארת פתוחה השאלה כיצד אחד מהם הגיע להקיף את האחר. לכן מוקד המאמר הוא הדינמיקה. הסקירה ההיסטורית המקורית נבחנת כאן באמצעות השוואה בין תצורות שיווי משקל מוגדרות, ולא בטענה שכל מסלול של מוצא ארצי כפוף לאותו סף פיצול.

יש להפריד בין שתי שאלות. השאלה הראשונה היא באילו תנאים מהירות החומר מתיישבת עם מסלול חופשי — כלומר, האם ברגע שהחומר משוחרר הוא נע הצידה מהר מספיק כדי להמשיך ליפול סביב כדור הארץ בלי ליפול חזרה עליו. השאלה השנייה היא האם התנע הזוויתי הזמין בתחילת התהליך מאפשר את מצב הסיום ואת ההתפתחות שאחריו. שינוי תנאי השחרור יכול לשנות את מבחן המהירות, אך מאזן התנע הזוויתי הכולל חייב עדיין להתקיים. מסלול יכול לעבור את המבחן הראשון ולהיכשל בשני, ולכן מחושבים שניהם.

תנע זוויתי ומומנט התמד. תנע זוויתי הוא כמות התנועה הסיבובית שגוף נושא. בגוף מסתובב הוא מכפלה של מהירות הסיבוב באופן שבו המסה פרוסה סביב הציר. התנע הזוויתי של הסיבוב העצמי הוא:

$$L_{\mathrm{spin}}=I\omega.$$

כאן $\omega$ היא המהירות הזוויתית (הזווית שהגוף מסתובב בשנייה, $2\pi$ חלקי זמן המחזור), ו- $I$ הוא מומנט ההתמד: הסכום, על פני כל חלקי הגוף, של המסה של כל חלק כפול ריבוע מרחקו מציר הסיבוב. מומנט ההתמד מודד עד כמה רחוק מהציר יושבת המסה; מסה רחוקה מהציר נחשבת הרבה יותר ממסה קרובה אליו, משום שהמרחק נכנס בריבוע. לגוף בעל מסה $M$ ורדיוס משווני $a$ נוח לכתוב $I=kMa^2$, כאשר המקדם חסר-הממדים $k$ מתאר את פיזור המסה: לגוף אחיד $k=0.4$, ולגוף בעל ליבה צפופה $k$ קטן יותר.

תנע זוויתי נשמר: במערכת שאין עליה כוח פיתול חיצוני (מומנט כוח), הסכום הכולל שלו אינו יכול להשתנות; הוא יכול רק לעבור מחלק אחד של המערכת לחלק אחר. במערכת כדור הארץ–ירח מומנט הכוח החיצוני המשמעותי היחיד הוא הגאות שמעוררת השמש, והיא מסירה כ-1% לאורך תולדות המערכת (§A.2). השימור הזה הוא שהופך את הבעיה לניתנת לחישוב: כל מה שהירח נושא היום במסלולו היה פעם בסיבוב של גוף-האם.

העברת חומר החוצה בקורוטציה — כלומר, כשהוא ממשיך להסתובב יחד עם גוף-האם במהירות הזוויתית של גוף-האם עצמו — מחייבת את גוף-האם לספק לחומר הזה תנע זוויתי נוסף, משום שאותה מהירות זוויתית במרחק גדול יותר פירושה מומנט התמד גדול יותר לאותו חומר. בהיעדר מומנט כוח חיצוני, זוהי חלוקה מחדש של תנע זוויתי קיים: מה שהחומר מרוויח, הסיבוב של גוף-האם מפסיד.

A.1.2שחרור מפני השטח

תחילה נבחן את המקרה הקלאסי: חומר שמשוחרר ישירות מקו המשווה של גוף-אם המסתובב מהר. במצב הייחוס זמן המחזור הוא $T_0=5.5$ שעות והרדיוס המשווני הוא $a_0\simeq6{,}721$ km. לכן, מאחר ש-5.5 שעות הן 19,800 שניות:

$$\omega_0=\frac{2\pi}{19{,}800}\simeq3.17333\times10^{-4}\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$$

כעת יש להשוות בקו המשווה בין שתי מהירויות. הראשונה היא המהירות שהסיבוב עצמו מקנה לנקודה על פני השטח, $v_{\mathrm{rot}}$: המהירות הזוויתית כפול המרחק מהציר. השנייה היא מהירות המסלול המעגלי $v_{\mathrm{circ}}$: המהירות שבה גוף חופשי באותו מרחק היה ממשיך ליפול סביב כדור הארץ במעגל, כשהנטייה הצנטריפוגלית שלו מאזנת בדיוק את הכבידה.

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega_0a_0\simeq2{,}133\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM_\oplus}{a_0}}\simeq7{,}701\ \mathrm{m\,s^{-1}}.$$

גם ביממה של 5.5 שעות בלבד, פני השטח נעים בפחות משליש מהמהירות שמסלול במקום הזה דורש. הפרש המהירויות, בעיגול של חישוב הייחוס המקורי של מאמר זה, הוא כ-5,568 m/s. זהו פער המהירות.

באיזה מסלול היה נע חומר כזה אילו פשוט שוחרר? ללא מהירות רדיאלית נוספת, האנרגיה הסגולית (האנרגיה המסלולית לקילוגרם, קינטית פחות כבידתית) והציר הראשי למחצה (מחצית הציר הארוך של האליפסה המתקבלת) הם:

$$\varepsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{GM_\oplus}{r}\simeq-5.70\times10^7\ \mathrm{J\,kg^{-1}}, \qquad A_{\mathrm{orb}}=-\frac{GM_\oplus}{2\varepsilon}\simeq3{,}495\ \mathrm{km}.$$

האנרגיה שלילית מאוד — החומר קשור בחוזקה — והציר הראשי למחצה, 3,495 km, הוא כמחצית הרדיוס המשווני של גוף-האם. נקודת השחרור היא הנקודה הרחוקה ביותר של האליפסה הזאת, ולכן כל שאר המסלול עובר עמוק בתוך גוף-האם. בתנאי התחלה אלה המסלול הקפלרי חודר לגוף-האם: החומר פשוט נופל בחזרה. לכן מהירות פני השטח לבדה אינה מספקת מסלול חופשי שנשאר מחוץ לו. זהו לב ההתנגדות הקלאסית לפיצול: כדי לסגור את הפער בפני השטח, גוף-האם היה צריך להסתובב מהר פי כמה, וזה מחייב הרבה יותר תנע זוויתי ממה שמערכת כדור הארץ–ירח מחזיקה (§A.6.5).

המספרים ב-§A.2 משמרים את השוואת הייחוס המקורית, שבה נעשה שימוש ב-GM של מסת כדור הארץ הסופית. הם אינם חישוב של השדה המדויק של גוף-האם ההתחלתי כולו. הגדרה זו מבחינה בין השוואת הייחוס המשוחזרת לבין המאזן הכולל שב-§A.6.

A.1.3תנאי המעבר הנבחן

מסלול LEF אינו משחרר את החומר בפני השטח. בתרחיש הנבחן, החומר עולה בעודו מחובר ומקבל תנע זוויתי, כך שהוא ממשיך להסתובב יחד עם גוף-האם בזמן שהוא נע החוצה. שתי המהירויות מתנהגות אז בכיוונים הפוכים. המהירות $\omega r$ גדלה עם המרחק, משום שנקודה שמשלימה סיבוב אחד ביממה עוברת מעגל גדול יותר ככל שהיא רחוקה יותר — כמו ילד שהולך החוצה על קרוסלה מסתובבת ונישא סביב מהר יותר ויותר. מהירות המסלול $\sqrt{GM/r}$ קטנה, משום שהכבידה נחלשת עם המרחק ונדרשת פחות מהירות צידית כדי לאזן אותה. לכן הפער של §A.1.2 מצטמצם ככל שהחומר עולה, ובמרחק מסוים הוא נסגר.

המאמר מחשב את נקודת השוויון ואת מחיר המעבר בתנע זוויתי; תהליך העלייה עצמו הוא שאלה מכנית נפרדת. מאמר 3, LEF Mechanism in Practice, בוחן את כושר ההובלה ואת החיבור; חישוב הלחצים המפורט נמצא מחוץ לחישוב המאזן המוצג כאן. תנאי ההתחלה המסלוליים מועברים למאמר 4, The Orbit.

A.2מה צריך לחשב

לבעיה יש עכשיו צורה מוגדרת. יש לחשב חמישה גדלים: היכן הירח משתחרר, באיזו יממה של כדור הארץ, האם התנע הזוויתי מספיק, האם הגוף שורד את הגאות, והאם הוא מתרחק לאחר מכן.

מדוע 5.5 שעות. סיבוב ההתחלה אינו נבחר באופן חופשי; הוא נובע משימור התנע הזוויתי כשמריצים אותו לאחור. כל התנע הזוויתי של מערכת כדור הארץ–ירח היום, $3.44\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$ — הסיבוב של כדור הארץ יחד עם מסלול הירח — מוחזר אל הסיבוב של כדור ארץ צעיר, חם ומורחב, שעדיין נמצא בשלב מוקדם של התמיינות ($k=0.4$ כקלט החישוב). "מורחב" פירושו שכדור הארץ החם המוקדם היה גדול במעט מכדור הארץ הקר של היום; "שלב מוקדם של התמיינות" פירושו שהתארגנות הליבה רק החלה, כך שהמסה הייתה פרוסה באופן כמעט אחיד והערך האחיד $k=0.4$ מתאר אותה היטב. הכנסת כל המאזן לסיבוב של גוף כזה נותנת את זמן המחזור: $$T_0=\frac{2\pi I_0}{L}\simeq5.54\ \mathrm{h}.$$ במילים: גוף בעל מומנט התמד $I_0$ הנושא תנע זוויתי $L$ מסתובב ב- $\omega=L/I_0$, וזמן המחזור שלו הוא $2\pi/\omega$. גאויות השמש הסירו מאז כ-1% מהתנע הזוויתי של המערכת (כ-1.35% כשעוקבים אחר הירח המתרחק; Eulenfeld & Heubeck 2023; Canup 2004). לכן זמן מחזור של 5.5 h נושא את התנע הזוויתי של היום ועוד את כ-1% שאבד: הוא קצר במעט מ-5.54 h משום שהמערכת המוקדמת החזיקה מעט יותר. שמש צעירה מסיבית יותר בכמה אחוזים מעלה את האובדן הזה ל-1–2% בלבד.

A.2.1מצב הייחוס

עבור $GM_\oplus\simeq3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ ו- $T_0=5.5$ שעות, המרחק שבו מהירות הסיבוב שווה למהירות המסלול — רדיוס הקורוטציה, הנגזר ב-§A.5 — והמהירות המשותפת שם הם:

$$\boxed{R_{\mathrm{sync},0}\simeq15{,}818\ \mathrm{km}, \qquad v_{\mathrm{sync},0}\simeq5{,}020\ \mathrm{m\,s^{-1}}.}$$

זהו המספר המרכזי של המאמר. במרחק 15,818 km, יותר מפי שניים מהרדיוס המשווני של גוף-האם, גוף שמשלים סיבוב אחד כל 5.5 שעות יחד עם כדור הארץ כבר נע ב-5,020 m/s, שהיא בדיוק מהירות המסלול המעגלי באותו מרחק. גוף המוחזק שם בקורוטציה ואחר כך משוחרר אינו צריך שום דחיפה נוספת: הוא כבר במסלול.

המרחק נמדד ממרכז הגוף המרכזי בקירוב חלקיק-מבחן, שבו מסת הגוף המקיף עצמו מוזנחת במשיכה הכבידתית. הצבת הרדיוס הזה בשתי נוסחאות המהירות מאשרת שהמהירויות שוות.

הגזירה היא יישום של משוואות התנועה בשדה מרכזי [8]. אם מצב התחלתי מחושב עם מסת גוף-האם המלאה, יש להכניס לנוסחה את $M_{\mathrm{tot}}$. הערך 15,818 km נשאר הייחוס המוגדר בטבלה; הפתרון המצומד ב-§A.4 כולל במפורש את חלוקת המסה.

A.3האגס

רדיוס הקורוטציה נמצא הרחק מעל פני השטח, ולכן משהו חייב לשאת את החומר לשם בזמן שהוא ממשיך להסתובב עם כדור הארץ. במודל זהו האגס. החיבור הוא גבעה העולה מכדור הארץ: בסיס ברוחב של כ-9,000 km על פני השטח, דפנות היוצרות קשת אחת ללא מותניים, ודיסקת מגע ברוחב 3,000 km אצל הירח. הוא מגשר על כ-7,800 km בין פני השטח של כדור הארץ לבין הירח, ונמצא כולו בתוך קו הקורוטציה, ולכן הוא נמשך פנימה: בכל נקודה לאורך האגס הכבידה חזקה ממה שהסיבוב צריך כדי להחזיק את החומר במעגל, כך שחומר האגס עצמו מוחזק על ידי כדור הארץ ואינו עף החוצה. רק הגוף שבקצה מגיע אל הקו. אורכו ומסתו הם דרישה: הירח שוחרר בשלמותו, ולכן חייב להתקיים אגס שעומד בתנאים. כיצד האגס נבנה וכיצד הוא נושא את העומס — אלה נושאו של מאמר 3.

איור 1 מציג את הפרופורציות בקנה מידה: בסיס האגס הרחב על כדור הארץ, הקשת האחת של דפנותיו, והירח בקצה כשמרכזו על קו הקורוטציה. היממה של 5.77 h שבשרטוט היא היממה ברגע השחרור, המחושבת ב-§A.4.

A.4 הקיזוז: שני תהליכים הפועלים יחד

לפני שאפשר לחשב את יממת כדור הארץ ברגע השחרור, יש להביא בחשבון שני תהליכים הפועלים על סיבוב כדור הארץ בו בזמן, ובכיוונים הפוכים. הדבר חשוב משום שהיממה ברגע השחרור קובעת את מקומו של קו הקורוטציה, ולכן את המקום שבו הירח משתחרר.

1. האגס מתארך. חומר נע החוצה עם הסיבוב ונושא איתו תנע זוויתי; התנע הזוויתי שיוצא מכדור הארץ מאט את סיבובו. ילד שהולך החוצה על קרוסלה מאט את הקרוסלה באותו אופן.

2. הליבה מתמרכזת. מיון (דיפרנציאציה) הוא היפרדות של גוף שהיה מעורב בתחילה לשכבות לפי צפיפות: הברזל, הרכיב הצפוף ביותר, שוקע לעבר המרכז ויוצר ליבה, והחומר הקל יותר נשאר מעליו. במודל LEF התארגנות הליבה היא תהליך אחד רציף: היא החלה לפני ההעברה, נמשכה בזמן צמיחת האגס, והמשיכה גם אחרי השחרור. סיבוב מהיר מאיץ את המיון: הברזל שוקע פנימה ומומנט ההתמד של כדור הארץ יורד, משום שמסה עוברת קרוב יותר לציר. עם פחות מומנט התמד ואותו תנע זוויתי, הגוף חייב להסתובב מהר יותר. כמו מחליקה שמקרבת את זרועותיה, הסיבוב מואץ.

התנע הזוויתי נשמר, ושני התהליכים מקזזים זה את זה: התוצאה היא הקיזוז ביניהם. חישוב שמביא בחשבון רק אחד מהם אינו מתאר את כדור הארץ של אותה תקופה — האגס לבדו היה נותן יממה ארוכה מדי, והליבה לבדה יממה קצרה מדי.

הטבלה נקראת שורה אחר שורה. האגס לבדו היה מאריך את היממה ב-0.94 h ודוחף את קו הקורוטציה החוצה בכ-1,750 km, משום שסיבוב איטי יותר צריך מרחק גדול יותר עד שהסיבוב מספק מהירות מסלולית. הליבה המתמרכזת לוקחת בחזרה 0.67 h. יחד, היממה מתארכת ב-0.27 h בלבד, מ-5.50 ל-5.77 h, והקו זז החוצה במידה מתונה בלבד, ל-16,331 km.

איור 2 מציג את אותו איזון באופן גרפי: העמודה שהאגס מוסיף והעמודה שהליבה מורידה, והתוצאה נטו ביניהן.

איור 3 עוקב אחר קו הקורוטציה ככל שההעברה מתקדמת. עם האגס לבדו הקו נע בהתמדה החוצה; כשהליבה מתמרכזת באותו זמן, הוא נשאר קרוב הרבה יותר למקום ההתחלה שלו.

A.4.1 השפעת המיון על מצב הסיום

ריכוז מסה פנימה משנה את מומנט ההתמד. כדי לבדוק זאת, חושבו יחד שני גבולות השכבות, הצפיפות, הצורה והסיבוב. זוהי הרחבה של בדיקת הרגישות, ולא רק החלפה של $k$ בתוך צורה הומוגנית קבועה: גוף שעובר מיון משנה גם את הפחיסות שלו, והפחיסות בתורה משנה את מומנט ההתמד, ולכן יש לפתור את ארבעתם בבת אחת. הותר לגבולות לסטות מצורת ספרואיד; המגבלה של הנחת הספרואיד במערכות שכבתיות נידונה גם בספרות [5].

המבנה מתואר בשני מספרים. יחס הרדיוסים הנפחי $q$ הוא רדיוס השכבה הפנימית חלקי רדיוס הגוף כולו; $q=0.55$ מציב את הגבול מעט מעבר למחצית הדרך החוצה, בדומה לליבת כדור הארץ של היום. יחס הצפיפויות $D=\rho_{\mathrm{inner}}/\rho_{\mathrm{outer}}$ אומר עד כמה השכבה הפנימית צפופה מהחיצונית: $D=1$ הוא גוף אחיד, $D=2$ שכבה פנימית צפופה פי שניים מהחיצונית. ככל ש- $D$ גדול יותר, כך יותר מסה יושבת קרוב למרכז והמקדם $k$ קטן יותר (עבור $q=0.55$ ו- $D=2$, $k=0.360$; §B.6). עבור יחס רדיוסים נפחי $q=0.55$, ויחס צפיפויות $D$, קירוב חלקיק-מבחן נותן:

הטבלה מראה מגמה עקבית אחת: ככל ש- $D$ עולה מ-1 ל-3, היממה הסופית מתקצרת מ-6.438 ל-5.274 שעות וקו הקורוטציה נע פנימה מ-17,569 ל-15,382 km. השורה הראשונה, $D=1$, היא האגס הפועל לבדו (ללא התמרכזות); השורה $D=2$ היא המצב המאומץ של §A.4. ב- $D=2.5$ הליבה המתמרכזת מבטלת כמעט בדיוק את ההאטה שגורם האגס, והיממה חוזרת לערך קרוב לערך ההתחלתי שלה.

מיון במבנה הסופי יכול לקזז חלק מהאטת הסיבוב הנלווית להעברה. השורות הן מצבים אפשריים, ולא רצף של התפתחות בזמן. כל השורות משתמשות באותו מאזן התחלתי של גוף-אם הומוגני; הן אינן מבססות שמבנה התחלתי מרוכז היה מספק את אותו מאזן. ההנחות, הסריקה המלאה ובדיקות ההתכנסות נמצאות בנספח C ובמסמך החישוב המקושר אליו.

A.5 קורוטציה

סעיף זה גוזר את רדיוס הקורוטציה שבו נעשה שימוש לאורך כל המאמר, ומציין היכן השימוש בו תקף.

איור 4 משרטט את שתי המהירויות של §A.1.3 כפונקציה של המרחק ממרכז כדור הארץ. המהירות שהסיבוב נושא עולה בקו ישר; מהירות המסלול יורדת. בתוך נקודת החיתוך, הסיבוב נותן פחות ממה שמסלול צריך, והחומר נמשך פנימה; מחוץ לה, הסיבוב נותן יותר ממה שמסלול צריך, והחומר נוטה החוצה. נקודת החיתוך היא קו הקורוטציה.

הקורוטציה פועלת על מרכז המסה, ולא על המרכז הגיאומטרי, משום שהאיזון בין הכבידה לסיבוב חל על הגוף כשלם, והגוף כולו נע כאילו מסתו מרוכזת במרכז המסה שלו. ייתכן שכוחות הקורוטציה משכו את הירח מעט אחרי שמרכזו הגיאומטרי חצה את הקו, משום שמרכז המסה שלו מוזז מעט לעבר כדור הארץ (היום כ-2 km): המרכז הגיאומטרי מגיע אל הקו ראשון, ומרכז המסה מעט אחריו; הירח משתחרר מעט אחרי שמרכז המסה שלו חוצה את הקו, כ-210 km מעבר לו (§D.3; מאמר 3, §C.5a).

A.5.1 הגזירה

בקירוב חלקיק-מבחן, במישור המשווה ובשדה מרכזי, המהירות שהסיבוב נושא היא המהירות הזוויתית כפול המרחק; מהירות המסלול המעגלי נובעת מהשוואת המשיכה הכבידתית לכוח הדרוש כדי להחזיק מסה $m$ על מעגל ברדיוס $R$:

$$v_{\mathrm{rot}}=\omega R, \qquad \frac{GMm}{R^2}=\frac{mv_{\mathrm{circ}}^2}{R}, \qquad v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM}{R}}.$$

המסה $m$ של הגוף המקיף מצטמצמת: מהירות המסלול במרחק נתון זהה לגרגר ולירח. השוואת המהירויות נותנת:

$$\omega R=\sqrt{\frac{GM}{R}} \quad\Longrightarrow\quad \omega^2R^3=GM.$$

פתרון עבור $R$, וכתיבת $\omega=2\pi/T$:

$$\boxed{R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{GM}{\omega^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}}$$

התוצאה אומרת שרדיוס הקורוטציה תלוי רק במסת הגוף המרכזי ובזמן הסיבוב שלו, וגדל כמו זמן המחזור בחזקת שתיים-שלישיות: סיבוב איטי יותר דוחף את הקו החוצה. זו הסיבה שהאגס המתארך מזיז את הקו החוצה והליבה המתמרכזת מחזירה אותו (§A.4).

עבור מסה ומהירות זוויתית חיוביות וקבועות יש שורש חיובי יחיד. זהו יחס המסלול הסינכרוני של המכניקה המסלולית הסטנדרטית — אותו יחס שמציב לוויינים גיאוסטציונריים מעל כדור הארץ של היום; מה שחדש הוא המקום שבו הוא מוערך. ההתנגדות הקלאסית העריכה את תנאי המהירות בפני השטח של גוף-האם; מסלול LEF מעריך אותו ברדיוס הקורוטציה.

A.5.2 תנאי השחרור ותחום התקפות

השוויון מתאים למסלול מעגלי משווני כאשר המהירות הרדיאלית אפס וכוחות המגע פוסקים — כלומר, כאשר הגוף נע הצידה בלבד והחיבור כבר אינו דוחף או מושך אותו. כשיש מהירות נוספת, או כשהשחרור מחוץ לקו המשווה, יש לחשב את וקטורי תנאי ההתחלה. הפירוט המסלולי שייך למאמר 4; במאמר זה נשמר רק התיקון הדרוש למאזן התנע הזוויתי, ב-§A.6 ובנספח D.

ההגעה לקורוטציה אינה מבטלת את העבודה הדרושה להרמה או להעברת התנע הזוויתי: תנאי המהירות מתקיים בקו, אך עדיין יש להעביר לחומר אנרגיה ותנע זוויתי בדרך. השדה של גוף-אם פחוס, גודלו של הגוף המתפתח והכבידה של שני גופים מוסיפים גם הם תיקונים לתיאור המרכזי. הפתרון ב-§A.4 כולל תיקון מסוים של שני גופים, אך אינו פתרון מלא של שתי צורות מעוותות המחוברות זו לזו.

A.5.3 משמעות התנאי לשחרור

הפתרון המצומד ב-§A.4 מגדיר מצב סיום מאזני: כמה תנע זוויתי נמצא בסיבוב של כדור הארץ וכמה במסלול הירח ברגע השחרור. הוא אינו קובע בעצמו את תחילת ההתרחקות ממנו. גם מהירות רדיאלית נוספת אינה תנאי מספיק להתרחקות מתמשכת, משום שהיא משנה את האקסצנטריות (עד כמה המסלול מוארך) ואת הגאויות. מודל ההשהיה והראולוגיה (התיאור של האופן שבו החומר מתעוות וזורם תחת עומס) חייבים להיות עקביים זה עם זה [3,4]. כיוון הדחיפה הגאותית בכל צד של הקו מוצג ב-§A.8.

A.5.4 הגבול בין מאמר 2 למאמר 4

מאמר 2 קובע את המסה, הסיבוב והמאזן שיועברו למבחן המסלולי. מאמר 4 עוסק באלמנטים המסלוליים, בנטייה ובהתפתחות שאחרי השחרור. אין כאן זמן התרחקות מחושב, ואין איסור כללי על מסלול חופשי בתוך רדיוס הקורוטציה. בתרחיש המחובר, משוואות הגוף החופשי מוחלפות במשוואות של המצב המחובר במקום שבו משוואות הגוף החופשי מפסיקות לחול: כל עוד הירח עדיין מחובר דרך האגס, הוא מוחזק על ידי החיבור ואינו גוף חופשי.

A.6מאזן התנע הזוויתי

בעיית המהירות נפתרת ברדיוס הקורוטציה. נשארת השאלה השנייה של §A.1.1: האם גוף-האם מחזיק מספיק תנע זוויתי כדי להציב את הירח שם ועדיין להתאים למערכת שאנו רואים היום? סעיף זה בונה את המאזן צעד אחר צעד: התנע הזוויתי ההתחלתי של גוף-האם, מחיר הוצאת החומר החוצה, ההשוואה למערכת של היום, הרגישות לזמן המחזור, להתפשטות ולמבנה, וההשוואה למסלול הפיצול הקלאסי.

A.6.1גוף-האם והמאזן ההתחלתי

מסת גוף-האם ההתחלתית היא $M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m$. החומר שיועבר מאוחר יותר עדיין כלול במומנט ההתמד שלו. גוף-האם מתואר כספרואיד Maclaurin: צורת שיווי המשקל של גוף נוזלי אחיד בסיבוב יציב, פחוס בקטבים ובולט בקו המשווה, סימטרי סביב צירו. ככל שהוא מסתובב מהר יותר, כך הוא פחוס יותר. במודל Maclaurin ההומוגני, תחת הנחות הטבלה, מתקבל [1]:

$$I_0=\frac{2}{5}M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_0=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

השורה הראשונה היא מומנט ההתמד של ספרואיד אחיד ($k=2/5$) ברדיוס משווני של 6,721 km; השנייה מכפילה אותו במהירות הזוויתית של יממה בת 5.5 שעות. התוצאה, $3.466\times10^{34}$, היא כל מאזן התנע הזוויתי שהמסלול יכול לעבוד איתו. משוואת הצורה וההצבה המלאה שמורות בנספח B. האחידות היא הנחת הייחוס; שינוי מבנה נבדק להלן.

A.6.2 מחיר ההעברה בחישוב הבסיס

לפני ההעברה, חומר הירח הוא חלק מגוף-האם ומסתובב איתו, ונושא את חלקו בתנע הזוויתי של גוף-האם. עבור חומר המייצג את פיזור המסה האחיד, המרחק הריבועי הממוצע שלו מהציר זהה לזה של גוף-האם, וחלקו הוא:

$$L_{0,\mathrm{mat}}=m\omega_0\left\langle r_\perp^2\right\rangle =\frac25m\omega_0a_0^2\simeq4.21\times10^{32}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.$$

כאן $\langle r_\perp^2\rangle$ הוא הממוצע, על פני החומר, של ריבוע המרחק מציר הסיבוב. כשאותה מסה יושבת ברדיוס הקורוטציה ועדיין מסתובבת עם גוף-האם, התנע הזוויתי שלה הוא:

$$L_{\mathrm{orb},0}=m\omega_0R_{\mathrm{sync},0}^2\simeq5.83\times10^{33}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

בערך פי ארבעה-עשר, משום שהמרחק מהציר גדל ונכנס בריבוע. ההפרש בין השניים חייב להיות מסופק מהסיבוב של גוף-האם. כחלק מהמאזן כולו:

$$\boxed{\frac{L_{\mathrm{orb},0}-L_{0,\mathrm{mat}}}{L_{\mathrm{initial}}}\simeq15.6\%.}$$

כשישית מהתנע הזוויתי של גוף-האם נמסרת לחומר במהלך ההעברה. זו המידה שבה האגס מאט את הסיבוב של גוף-האם (§A.4) לפני שמביאים בחשבון את הליבה המתמרכזת.

בחישוב הבסיס, מקור משווני בפני השטח נותן כ-13.8%; מדגם מייצג של אזור פנימי דומה במחצית הרדיוס המקורי נותן כ-16.5%. למקור יש משמעות משום שחומר שמתחיל רחוק מהציר כבר נושא יותר תנע זוויתי וצריך פחות תוספת. מקור פנימי מסוים מחייב מרחק ריבועי ממוצע משלו. אין להבין את המילה "פנימי" כאילו הממוצע הגלובלי חל בהכרח.

A.6.3 השוואה למערכת של היום

כעת יש להשוות את מאזן גוף-האם למה שמערכת כדור הארץ–ירח מחזיקה היום. הסכום של היום מורכב משני חלקים: הסיבוב של כדור הארץ ומסלול הירח. קבועי הייחוס המועתקים מהמקור נותנים:

$$L_{\mathrm{spin}}=I_\oplus\omega_\oplus\simeq5.86\times10^{33},$$

$$L_{\mathrm{orbit}}=\mu_{\mathrm{red}}\sqrt{GM_{\mathrm{tot}}a_m(1-e_m^2)} \simeq2.855\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}},$$

כאשר $a_m=3.844\times10^8$ m ו- $e_m=0.0549$. הנוסחה השנייה היא התנע הזוויתי המסלולי של שני גופים המקיפים את מרכזם המשותף: $\mu_{\mathrm{red}}=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ היא המסה המצומצמת, $a_m$ הציר הראשי למחצה של מסלול הירח ו- $e_m$ האקסצנטריות שלו. סכום הגדלים הוא כ- $3.441\times10^{34}$, מתוכם כ-83% מסלולי: רוב התנע הזוויתי של המערכת נמצא היום במסלול הירח, ולא בסיבוב של כדור הארץ. העודף של מאזן גוף-האם ביחס לסכום הגדלים הוא כ-0.7%. גוף-האם החזיק מעט יותר ממה שהמערכת מחזיקה היום, וזה הסימן הנדרש בגלל האובדן הקטן לגאויות השמש (§A.2).

התנע הזוויתי של הסיבוב והתנע הזוויתי המסלולי הם וקטורים, והם אינם מצביעים לאותו כיוון: ציר כדור הארץ נטוי ביחס למישור מסלול הירח. אם הזווית בין הווקטורים היא $\theta$, הגודל הכולל הוא:

$$L_{\mathrm{vec}}=\sqrt{L_s^2+L_o^2+2L_sL_o\cos\theta}.$$

חיבור שני חצים בזווית נותן סכום קצר יותר מאשר הנחתם זה אחר זה בקו ישר, ולכן הסכום הווקטורי קטן מהסכום הסקלרי, והעודף של גוף-האם מעליו גדול יותר. עבור זוויות הבדיקה 18.3°, 23.4° ו-28.6° מתקבלים עודפים של כ-1.46%, 1.92% ו-2.51%. הזוויות משמשות בדיקת רגישות; לא נבחרה כאן תקופה תצפיתית ולא חושבה היסטוריה וקטורית מלאה. הסיבוב של הירח היום קטן מאוד, אך הסיבוב המוקדם שלו היה גדול יותר, ויש להפריד בין השניים.

העודף תלוי במידת האחידות של גוף-האם. בצורה קבועה, שינוי $k$ נותן סף של כ-0.397 ביחס לסכום הסקלרי וכ-0.390–0.394 ביחס לטווח הווקטורי: כאשר $k$ נמוך מערך זה, מאזן גוף-האם היה נופל מזה של היום. לכדור הארץ הממוין של היום $k$ של כ-0.33, הרבה מתחת לסף, ולכן המסלול מחייב שגוף-האם היה עדיין בשלב מוקדם של התמיינות כשההעברה התחילה; דרישה זו מופיעה ב-§D.3. זהו תנאי רגישות, ולא משפחת פתרונות Maclaurin שכבתית. העודף החיובי פירושו שהמבחן הזה אינו מוצא גירעון בתנע זוויתי, אך התאמת קצב האובדן לשמש מחייבת חישוב נוסף.

A.6.4 רגישות לזמן המחזור ולהתפשטות

יממה התחלתית קצרה יותר פירושה יותר תנע זוויתי; לגוף-אם גדול יותר (מורחב יותר) יש מומנט התמד גדול יותר, והוא מחזיק את אותו תנע זוויתי ביממה ארוכה יותר. לכן זמן המחזור ההתחלתי המותר תלוי בהתפשטות המאומצת. במודל הייחוס, החלון 4.90–5.54 שעות מתייחס לזמן המחזור ההתחלתי ולתנאי המאזן והאובדן המאומצים: ב-5.54 שעות גוף-האם מחזיק בדיוק את התנע הזוויתי של היום, וב-4.90 שעות הוא מחזיק כ-15% יותר — הגבול המאומץ לאובדן כלפי חוץ. אין להחיל את התקרה שלו על זמן המחזור הסופי שאחרי העברת התנע הזוויתי, שהוא ארוך יותר מעצם התכנון (§A.4). נספח B שומר את טבלת הרגישות המקורית, עם ההבחנה בין התפשטות מאומצת לבין חישוב תרמי שטרם בוצע.

את איור 5 קוראים כמפה של מצבי התחלה מותרים. הציר האופקי מראה בכמה גוף-האם החם היה מורחב מעבר לרדיוס הקר שלו; הציר האנכי הוא היממה שלו. מצב התחלה מעל הקו הרציף מחזיק פחות תנע זוויתי מהמערכת של היום, ולכן נשלל; מצב מתחת לקו המקווקו מחזיק יותר מ-15% תוספת, יותר ממה שהאובדן החיצוני יכול להסיר. הרצועה שביניהם מותרת, והיא עולה ימינה משום שגוף-אם גדול יותר מחזיק את אותו תנע זוויתי ביממה ארוכה יותר. מצב הייחוס, 5.5 h עם התפשטות של 120 km, נמצא בתוך הרצועה, מעט מתחת לתקרה.

A.6.5 השוואה בין צורות שיווי משקל

כעת אפשר למקם במדויק את ההתנגדות הקלאסית לפיצול. במסלול הקלאסי כדור הארץ כולו חייב להסתובב כל כך מהר שהוא נעשה בלתי יציב ומתחלק. נוזל אחיד מסתובב עובר רצף ידוע של צורות ככל שהתנע הזוויתי שלו גדל. בתחילה הוא ספרואיד Maclaurin (§A.6.1), פחוס אך עגול בקו המשווה. בפחיסות מוגדרת מסתעפת משפחה שנייה: האליפסואידים של Jacobi, שקו המשווה שלהם כבר אינו מעגל אלא אליפסה, כך שהגוף מתארך כמו כדור רוגבי המסתובב סביב ציר קצר. בהמשך רצף Jacobi מגיעה צורה דמוית אגס, שממנה ציפו שהפיצול הקלאסי יתרחש. כל אחת מהנקודות האלה מחייבת סיבוב מוגדר ותנע זוויתי מוגדר.

בנקודת ההסתעפות הקלאסית מ-Maclaurin ל-Jacobi, עם $e\simeq0.81267$ ו- $\omega^2/(\pi G\rho)\simeq0.37423$, מתקבלים עבור המסה והנפח המאומצים $T\simeq2.73$ שעות, $a\simeq7{,}802$ km ותנע זוויתי של כ- $9.42\times10^{34}$, יחס של כ-2.74 לסכום של היום [1]. כאן $e$ היא האקסצנטריות של חתך המרידיאן (אפס לכדור, ומתקרבת לאחד לגוף פחוס מאוד), ו- $\omega^2/(\pi G\rho)$ מודד את הסיבוב ביחס לכבידה העצמית של הגוף. במילים פשוטות: רק כדי להגיע לצעד הראשון של המסלול הקלאסי, כדור הארץ היה צריך יממה של פחות משלוש שעות וכמעט פי שלושה מהתנע הזוויתי שמערכת כדור הארץ–ירח מחזיקה.

זוהי השוואה לתצורה מוגדרת על המסלול הקלאסי הזה. הערך 4.08 של חישוב הייחוס המקורי מתייחס לנקודה אחרת על רצף Maclaurin — נקודת ה-$\Omega$ המרבית, ולא הסתעפות Jacobi — ואינו מוצג כחסם אוניברסלי. ממנו נובעת הטענה המוכרת שפיצול צריך בערך פי ארבעה יותר מדי תנע זוויתי. הערך 3.5 לנקודה דמוית האגס אינו מאומץ, משום שאימות הטבלה טרם הושלם.

הסיבה להבדל היא המקום שבו מוערך תנאי המהירות. המסלול הקלאסי דורש שפני השטח של גוף-האם יגיעו למהירות מסלולית (§A.1.2); זה דוחף את גוף-האם לעבר התפרקות, והתפרקות עולה פי כמה מהתנע הזוויתי הזמין. מסלול LEF אינו משתמש בתנאי הזה כלל: החומר נישא החוצה בקורוטציה, והתאמת המהירות נעשית ברדיוס הקורוטציה (§A.5), שבו גוף-אם המסתובב פעם ב-5.5 שעות כבר מספק מהירות מסלולית. כשהדרישה מוערכת שם, היא יורדת למאזן שגוף-האם באמת מחזיק. ההשוואה היא בין שני מסלולים לאותו תוצר: הקלאסי צריך פי 2.74 מהמאזן של היום; זה צריך פי 1.007.

A.6.6 התיקון הווקטורי לשחרור מחוץ לקו המשווה

עד כאן הונח שהחומר עוזב במישור המשווה. מחוץ לקו המשווה יש לסכום את וקטור הסיבוב ואת התנע הזוויתי המסלולי באותה מערכת ייחוס, משום שמסלול של גוף המשוחרר בקו רוחב מסוים נטוי ביחס לסיבוב. יהי $S=I\omega$ התנע הזוויתי של הסיבוב ו- $H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda$ התנע הזוויתי המסלולי של הגוף המשוחרר, כאשר $\lambda$ היא זווית השחרור ממישור המשווה. עבור הגיאומטריה המוגדרת בנספח D:

$$\boxed{L_0^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.}$$

זהו אותו כלל לחיבור שני חצים בזווית כמו ב-§A.6.3: המאזן ההתחלתי חייב להיות שווה לסכום הווקטורי של הסיבוב ושל המסלול הנטוי.

בדוגמה $\lambda=25^\circ$ ביחס לציר הסופי ובמבנה הומוגני, החישוב המצומד של שתי מסות נותן זמן מחזור סופי של 6.220 שעות, מרחק ייחוס של כ-17,240 km ותנע זוויתי מסלולי של כ-15.83% מהמאזן. ערך ה-25° הוא בדיקת רגישות לשאלה עד כמה שחרור מחוץ לקו המשווה משנה את המאזן; קו רוחב השחרור המאומץ, מרכז אזור המגע, הוא 22.5° (מאמר 4). זהו תיקון רגישות למאזן, ולא ערך ייחוס חדש שאומץ. גזירת הנטייה והאקסצנטריות, הפריגיאום וההתפתחות שאחרי השחרור מועברות למאמר 4.

A.6.7תנאי ההכרעה המאזני

המבחן דורש מצב התחלה, מצב סיום והעברה חיצונית עקביים:

$$\mathbf{L}_i=\mathbf{L}_f+\Delta\mathbf{L}_{\mathrm{external}}.$$

המשוואה היא שימור התנע הזוויתי הכתוב כחשבון: מה שהמערכת התחילה איתו שווה למה שהיא מחזיקה עכשיו ועוד מה שהוסר מבחוץ (במערכת כדור הארץ–ירח, בעיקר על ידי גאות השמש). סגירת המאזן המספרי מוכיחה עקביות בין המצבים המוגדרים. אי-מציאת התאמה בתוך הטווחים הנתמכים של המבנה וההעברות החיצוניות הייתה שוללת את התרחיש המאזני הזה. התאמה אינה מבססת כיצד הגוף מגיע מכנית למצב הסיום; זה נושאו של מאמר 3.

המאזן עומד אפוא כך: גוף-האם בן 5.5 השעות מחזיק מעט יותר תנע זוויתי מהמערכת של היום, ההעברה עולה כשישית ממנו, והמסלול הקלאסי היה צריך פי 2.74.

A.7גבול רוש

גוף שמגיע לרדיוס הקורוטציה חייב גם להחזיק את עצמו שם בשלמותו. קרוב לגוף-אם מסיבי, הכבידה של גוף-האם מושכת חזק יותר את הצד הקרוב של הגוף מאשר את הצד הרחוק; ההפרש הזה, הכוח הגאותי, נוטה למתוח את הגוף לפירוק. גבול רוש הוא המרחק שבתוכו המתיחה הזאת עולה על הכבידה העצמית של הגוף המחזיקה אותו יחד. גוף המוחזק רק על ידי הכבידה העצמית שלו אינו יכול להישאר שלם בתוכו.

A.7.1שני גבולות ייחוס

עבור $\rho_s=2{,}600\ \mathrm{kg\,m^{-3}}$ ומסת גוף-האם אחרי העזיבה:

$$d_{\mathrm{fluid}}=2.44\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq19{,}971\ \mathrm{km},$$

$$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\left(\frac{3M_\oplus}{4\pi\rho_s}\right)^{1/3} \simeq10{,}314\ \mathrm{km}.$$

(גרסה קודמת נתנה 10,313 km; שני הערכים זהים בגבולות העיגול, והסדרה משתמשת ב-10,314 km. באיורים 1, 6, 8 ו-9 הגבול הנוזלי מודפס כ-19,972 km, אותו ערך בגבולות העיגול.) הביטוי שבסוגריים הוא הרדיוס שהיה לכדור בעל מסת כדור הארץ אילו הייתה לו צפיפות הלוויין; הגבול הוא כפולה קבועה שלו. שתי הנוסחאות נבדלות רק בכפולה הזאת, והסיבה פיזיקלית. הקירוב הנוזלי עוסק בגוף מתעוות: כשהוא נמתח הוא מתארך לעבר גוף-האם, קצותיו הקרוב והרחוק מתרחקים זה מזה, ההפרש הגאותי לאורכו גדל, והוא נכנע מוקדם יותר — ולכן הגבול הנוזלי רחוק יותר. הקירוב המכונה קשיח מזניח את שינוי הצורה: הגוף שומר על צורתו העגולה, ההפרש הגאותי לאורכו נשאר קטן יותר, והוא שורד קרוב יותר. אין בו עובי קרום או חוזק חומר [1]; זהו גוף המוחזק על ידי הכבידה העצמית שלו בלבד, שפשוט אינו משנה את צורתו. רדיוס הבסיס ושני הרדיוסים המצומדים נמצאים בין שני הגבולות האלה: בתוך הגבול הנוזלי ומחוץ לגבול הקשיח. לכן נוכחות קרום לבדה אינה מבססת שרידות; השרידות תלויה בשאלה אם הגוף מתנהג כקשיח בסקלת הזמן שהוא שוהה שם.

גבולות רוש נעים פנימה ככל שצפיפות הגוף עולה, משום שגוף צפוף יותר מחזיק את עצמו בחוזקה רבה יותר. צפיפות של כ-4,700 kg למטר מעוקב הייתה מזיזה את הגבול הנוזלי למרחק השחרור של כ-16,400 km; לגוף הקשיח ברגע השחרור חל הגבול הקשיח (§B.7). זוהי דרישה המחושבת בקירוב רוש, ולא ראיה שהגוף הגיע לצפיפות הזאת או פתרון לכל דרישות היציבות.

A.7.2 מה מלמדת השוואת התאוצות

ההשוואה הבסיסית היא בין מפל הכבידה של גוף-האם לבין הכבידה העצמית:

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3},\qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

הגודל הראשון, $\Delta a$, הוא ההפרש בין משיכת גוף-האם במרכז הגוף לבין משיכתו בפני השטח שלו, במרחק $R_s$ קרוב יותר; הוא יורד בחדות, כמו חזקה שלישית של המרחק $r$. השני, $g_s$, הוא כבידת פני השטח של הגוף עצמו, המחזיקה את חומרו פנימה. כשהראשון קטן מהשני, הכבידה העצמית של הגוף גוברת. עם נתוני הייחוס של נספח E היחס קטן מאחד (כ-0.277 ב-15,818 km). זהו מדד שימושי להעמסה, אך שינוי הצורה והסיבוב אינם כלולים ביחס. גבול רוש הסטטי מספק בסיס להשוואה; התגובה במסלול אקסצנטרי עשויה להיות תלויה גם בהיסטוריית העיוות [9].

A.7.3מה נשאר מותנה

רדיוס הקורוטציה אינו סף חוזק: ההגעה אליו מסדירה את המהירות, לא את השרידות. תכונות הגוף ותכונות החיבור נבחנות במאמר 3, והמסלול שאחרי השחרור במאמר 4. מאמר 2 אינו מאמץ זמן שהייה מחייב בתחום רוש, ולא סף צמיגות אוניברסלי. ההשוואה צריכה להשתמש במרחק הקרוב ביותר של המסלול שנבחר, ולא במרחק השחרור בלבד. חלוקת המבחנים בין המאמרים אינה מסירה את דרישת השרידות.

איור 6 מציב את הירח ברגע השחרור מול שתי משפחות הגבולות. הגבולות הקשיחים, לכל טווח הצפיפויות, נמצאים הרבה בתוך מקומו של הירח; הגבולות הנוזליים נמצאים מעבר לו. לכן הירח ברגע השחרור בטוח כגוף קשיח, והפחיסות וההתעגלות שלו הושלמו קודם לכן, בעודו מחובר (§B.7; מאמר 7).

A.8כיוון ההתפתחות הגאותית

השאלה האחרונה של חלק A היא מה קורה אחרי השחרור: האם הירח מתרחק מכדור הארץ או נופל בחזרה? התשובה תלויה בצד של קו הקורוטציה שבו הוא נמצא.

A.8.1 כיוון העברת התנע הזוויתי

עבור מסלול ישיר, מעגלי ומשווני, אנו משווים את הסיבוב של גוף-האם לתנועה הממוצעת — המהירות הזוויתית של הגוף המקיף סביב גוף-האם:

$$n=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}.$$

הגוף המקיף מעורר בליטה גאותית על גוף-האם. כאשר $\omega>n$, גוף-האם מסתובב מהר יותר מכפי שהגוף מקיף, והסיבוב שלו נושא את הבליטה לפני הגוף; הבליטה מושכת את הגוף קדימה, מעניקה לו תנע זוויתי, והגוף מטפס החוצה בזמן שהסיבוב של גוף-האם מאט. בשפת משוואות הגאות, התרומה הגאותית המפזרת (הדיסיפטיבית) בגוף-האם מעבירה תנע זוויתי מהסיבוב שלו אל המסלול. כאשר $\omega<n$, הגוף עוקף את הבליטה, הבליטה מושכת אותו לאחור, והכיוון מתהפך: הגוף מאבד תנע זוויתי ונע בספירלה פנימה. בסינכרוניות מעגלית מדויקת התרומה הרלוונטית מתאפסת: הבליטה נשארת ישירות מתחת לגוף, ואין משיכה קדימה או אחורה. מאחר ש- $n$ יורד עם המרחק ו- $\omega$ לא, $\omega>n$ מתקיים מחוץ לרדיוס הקורוטציה ו- $\omega<n$ בתוכו. קו הקורוטציה הוא אפוא קו פרשת מים: גוף המשתחרר ממש מעבר לו נדחף החוצה מההתחלה. הכללה למסלול בעל נטייה ואקסצנטריות מחייבת את משוואות הגאות המתאימות [2,3].

איור 7 מראה את קו פרשת המים בפעולה במערכת השמש של היום. ל-Mars יש שני ירחים קטנים משני צדי הרדיוס הסינכרוני שלו: Phobos, בפנים, נמשך פנימה; Deimos, בחוץ, מתרחק. המקרה של כדור הארץ–ירח ברגע השחרור הוא אותו כלל, המוחל על ירח הממוקם ממש מעבר לקו.

עם השלמת חלק A, הבעיות מוגדרות במלואן: פער מהירות הנסגר ברדיוס הקורוטציה, אגס המגיע לרדיוס הזה, יממה ברגע השחרור הנקבעת על ידי שני תהליכים מנוגדים, מאזן שחייב להיסגר מול המערכת של היום, מבחן רוש שהגוף חייב לעבור, וקו פרשת מים גאותי המכריע את כיוונו לאחר מכן. חלק B עונה עליהן בחישוב אחד.

חלק A הציג את התנאים; חלק זה מראה שמערכת מספרים אחת ועקבית עומדת בכולם בבת אחת. לכך יש משקל, כי כל תנאי לבדו אפשר בדרך כלל לקיים על ידי כוונון של פרמטר אחד, ואילו קיום כולם יחד, באותו כדור ארץ, באותו ירח ובאותו סיבוב, הוא מבחן חזק בהרבה למסלול.

B.1החישוב

הנתונים. יממה התחלתית של כדור הארץ $T_0=5.5$ h (§A.2); גוף-אם הומוגני ומורחב, ברדיוס נפחי של 6,517 km ובצפיפות 5,214 kg m$^{-3}$ (רדיוס משווני 6,721 km, קוטבי 6,128 km); הירח: מסה ירחית אחת, $m=7.35\times10^{22}$ kg, בצפיפות 2,600 kg m$^{-3}$. "הומוגני" פירושו שגוף-האם נלקח בתחילת התהליך כבעל צפיפות אחידה, קלט חישוב לגוף-אם שעדיין נמצא בשלב מוקדם של התמיינות; "מורחב" פירושו שהוא חם ולכן גדול במקצת מכדור ארץ קר בעל אותה מסה (§A.2). הרדיוס המשווני והרדיוס הקוטבי שונים זה מזה, כי גוף שמשלים סיבוב אחד ב-5.5 h בולט במשווה ונפחס בקטבים.

מחלק A אל מצב השחרור, צעד אחר צעד. מצב השחרור נובע מן התהליכים של חלק A בחמישה צעדים. הטבלה שלהלן מרכזת אותם; שורותיה נקראות מלמעלה למטה, והגוון מראה את כיוונו של כל צעד: אדום לצעד שמאט את כדור הארץ ומזיז את קו הקורוטציה החוצה, כחול לצעד שמאיץ אותו ומזיז את הקו פנימה.

1. נקודת המוצא. לגוף-אם שיממתו 5.5 h, קו הקורוטציה נמצא ב-15,818 km (§A.2.1). קו הקורוטציה הוא המרחק שבו גוף שמסתובב יחד עם כדור הארץ כבר נע במהירות של מסלול מעגלי חופשי.

2. האגס מאט את כדור הארץ. כשהאגס מתארך, חומר נע החוצה בעודו מסתובב עם כדור הארץ, והוא נושא עמו תנע זוויתי. תנע זוויתי הוא "כמות הסיבוב" של גוף, המסה שלו כפול מהירותו כפול מרחקו מן הציר; כשאין מומנט כוח חיצוני, הסכום הכולל שלו נשמר. התנע הזוויתי שיוצא עם החומר נלקח מסיבובו של כדור הארץ, ולכן כדור הארץ מסתובב לאט יותר: לבדו, הצעד הזה היה מאריך את היממה מ-5.50 ל-6.44 h ומזיז את הקו החוצה ל-17,569 km (§A.4).

3. הליבה המתארגנת מאיצה את כדור הארץ. באותו זמן שוקע הברזל לעבר המרכז. הדבר מקטין את מומנט ההתמד של כדור הארץ — המדד למידת ריחוק המסה שלו מן הציר — וכמו מחליקה שמקרבת את זרועותיה, כדור הארץ מסתובב מהר יותר. כשהליבה צפופה פי שניים מן המעטפת שמעליה ($D=2$), הצעד הזה מוריד 0.67 h מן היממה.

4. התוצאה נטו. שני הצעדים פועלים יחד ומקזזים זה את זה בחלקם: היממה ברגע השחרור היא 5.77 h, וקו הקורוטציה נמצא ב-16,331 km כשהירח מטופל כחלקיק-מבחן, או ב-16,399 km כשמסת הירח עצמה נכללת בנוסחת שני הגופים שלהלן. אנו משתמשים בערך של שני הגופים, מעוגל לכ-16,400 km.

5. שחרור. הירח מתחיל להינתק כשמרכז המסה שלו מגיע לקו הזה. הוא מובל לשם על ידי הסיבוב ולא נזרק: במרחק הזה, המהירות שכבר יש לו כחלק מן המערכת המסתובבת היא מהירות של מסלול חופשי, ולכן אין צורך בדחיפה נוספת (§B.2).

התוכן הכמותי של הצעדים האלה הוא כדלקמן.

1. יממת כדור הארץ ברגע השחרור. האגס המתארך והליבה המתמרכזת פועלים יחד (§A.4); עם $D=2$, $$T=5.77\ \mathrm{h},\qquad \Omega=\frac{2\pi}{T}=3.025\times10^{-4}\ \mathrm{s^{-1}}.$$ כאן $T$ הוא אורך היממה ו- $\Omega$ מהירות הסיבוב הזוויתית, הזווית ברדיאנים שכדור הארץ מסתובב בה בכל שנייה. היממה ארוכה רק בכרבע שעה מ-5.5 h שבהתחלה, כי ההאצה שגורם הברזל השוקע מבטלת את רוב ההאטה שגורם האגס.

2. נקודת השחרור. הירח מתחיל להינתק כשמרכז המסה שלו מגיע לקו הקורוטציה: $$r=R_{\mathrm{sync}}=\left(\frac{G\,(M_\oplus+m)}{\Omega^{2}}\right)^{1/3}\simeq16{,}400\ \mathrm{km}.$$ זו נוסחת הקורוטציה של §A.5.1, בכתיבה לשני גופים: $G$ הוא קבוע הכבידה, $M_\oplus$ מסת כדור הארץ ו- $m$ מסת הירח. במילים: הנוסחה נותנת את המרחק היחיד שבו מסלול מעגלי נמשך בדיוק זמן סיבוב אחד של כדור הארץ. הכללת $m$ בנוסחה היא שהופכת את 16,331 km ל-16,399 km. הערך הוא כפי 2.6 מרדיוס כדור הארץ של היום. עם $R_m=\left(\tfrac{3m}{4\pi\rho}\right)^{1/3}=1{,}890$ km, הנקודה הקרובה נמצאת ב-14,509 km והצד הרחוק ב-18,289 km ממרכז כדור הארץ. $R_m$ הוא הרדיוס של כדור בעל מסה ירחית אחת בצפיפות של 2,600 kg m$^{-3}$; החסרתו מ-16,400 km של המרכז והוספתו להם נותנות את פריסת הירח לאורך הקו שבין כדור הארץ לירח.

3. כדור הארץ ברגע השחרור (Maclaurin, הומוגני): $$\frac{\Omega^{2}}{\pi G\rho_\oplus}=\frac{2\sqrt{1-e^{2}}\,(3-2e^{2})}{e^{3}}\arcsin e-\frac{6(1-e^{2})}{e^{2}} \quad\Rightarrow\quad a=6{,}701\ \mathrm{km},\ c=6{,}165\ \mathrm{km}.$$ ספרואיד Maclaurin הוא צורת שיווי המשקל של גוף נוזלי אחיד המסתובב בקצב קבוע: כדור פחוס בקטבים. המשוואה קושרת את הסיבוב (האגף השמאלי, שבו $\rho_\oplus$ היא הצפיפות הממוצעת של כדור הארץ) לאקסצנטריות $e$, מספר המודד את הפחיסות (0 לכדור, ומתקרב ל-1 לדסקה שטוחה). פתרונה עבור סיבוב של 5.77 h נותן את הרדיוס המשווני $a$ ואת הרדיוס הקוטבי $c$. כדור הארץ ברגע השחרור עדיין פחוס בבירור, אך מעט פחות מגוף-האם של 5.5 h (6,721 ו-6,128 km), כי עכשיו הוא מסתובב מעט לאט יותר. הפער בין פני השטח המשווניים של כדור הארץ לבין הירח הוא כ-7,800 km: הנקודה הקרובה של הירח ב-14,509 km פחות הרדיוס המשווני של 6,701 km. זה המרחק שהאגס צריך לגשר עליו (§A.3).

4. התנע הזוויתי. $$L_0=k_0Ma_0^{2}\Omega_0=3.466\times10^{34},\qquad L=I_\oplus\Omega+\mu\,\Omega\,r^{2}.$$ הביטוי הראשון הוא המאזן ההתחלתי של גוף-האם (§A.6.1, ביחידות kg m$^2$ s$^{-1}$): מקדם מומנט ההתמד $k_0$ (0.4 לגוף אחיד), המסה, ריבוע הרדיוס המשווני והסיבוב ההתחלתי. הביטוי השני מחלק את אותו מאזן ברגע השחרור לשני חלקים: סיבובו של כדור הארץ, $I_\oplus\Omega$, שבו $I_\oplus$ הוא מומנט ההתמד שלו, ומסלול הירח, $\mu\Omega r^2$, שבו $\mu=M_\oplus m/(M_\oplus+m)$ היא המסה המצומצמת של הזוג ו- $r$ מרחק השחרור. ברגע השחרור מחזיק מסלול הירח $5.9\times10^{33}$ (17%) וסיבוב כדור הארץ $2.88\times10^{34}$; המערכת מחזיקה פי 1.007 מן הערך של היום (גרסה קודמת נתנה 1.008, מסך התנע של היום מעוגל ל- $3.44\times10^{34}$; עם $3.441\times10^{34}$ של §A.6.3 מתקבל 1.007, הערך שבו משתמשים לאורך כל המאמר). ה- $5.9\times10^{33}$ מוגדר כתנע הזוויתי המסלולי של הזוג סביב מרכזם המשותף, $\mu\Omega r^2$, עם המסה המצומצמת $\mu=7.26\times10^{22}$ kg ו- $r=16{,}399$ km על קו המשווה. כשסופרים את מסת הירח המלאה $m$ סביב מרכז כדור הארץ, כפי שעושה מאמר 3, אותו מצב נותן $6.0\times10^{33}$; לשחרור ב-22.5 ($r=17{,}287$ km, מאמר 4), שבו הירח מסתובב במרחק $r\cos22.5^\circ=15{,}971$ km מציר הסיבוב, אותה ספירה נותנת $5.7\times10^{33}$ (מאמר 3). ה-17% הם מחיר ההעברה: החלק של הסיבוב המקורי שעבר מסיבוב כדור הארץ אל מסלול הירח. הסכום הכולל, פי 1.007 מן הערך של היום, גבוה מעט מן הערך הנוכחי, וזה הסימן הנדרש, שכן גאויות השמש הוציאו מאז כ-1% מן התנע הזוויתי של המערכת (§A.2).

איור 8 משרטט את המצב הזה בקנה מידה. הוא מראה עד כמה הירח עדיין קרוב לכדור הארץ ברגע השחרור: הפער של כ-7,800 km מגושר על ידי האגס של §A.3.

מה שיש בידינו עכשיו הוא מצב שחרור שלם: היממה והצורה של כדור הארץ, מיקומו וגודלו של הירח, וחלוקת התנע הזוויתי ביניהם. הסעיפים הבאים בודקים את המצב הזה מול כל אחת מבעיות חלק A.

B.2פער המהירות

הבעיה של §A.1 הייתה שחומר המשתחרר מפני השטח של כדור ארץ בעל יממה של 5.5 h נע בכ-2,133 m s$^{-1}$, הרחק מתחת ל-7,701 m s$^{-1}$ של מסלול מעגלי — פער של כ-5,568 m s$^{-1}$. הפער נסגר עם המרחק, כי המהירות שהסיבוב נושא גדלה עם המרחק ואילו מהירות המסלול קטנה. על קו הקורוטציה הסיבוב נותן לירח בדיוק את מהירות המסלול, $$v=\Omega r=\sqrt{\frac{G(M_\oplus+m)}{r}}\approx4{,}960\ \mathrm{m\,s^{-1}},$$ ולכן לא נשאר פער (§A.1, §A.5). האגף השמאלי הוא מהירותה של נקודה המסתובבת עם כדור הארץ במרחק $r$; האגף הימני הוא מהירותו של מסלול מעגלי חופשי באותו מרחק; על הקו השתיים שוות. הערך נמוך מעט מ-5,020 m s$^{-1}$ של ייחוס ה-5.5 h (§A.2.1), כי כדור הארץ, שמסתובב מעט לאט יותר, ממקם את הקו רחוק יותר, במקום שבו מהירויות המסלול נמוכות יותר. התמונה היומיומית היא ילדה על קרוסלה: ככל שהיא יושבת רחוק יותר מן המרכז, כך היא נעה מהר יותר, בלי שאיש דוחף אותה.

B.3האגס

האגס מגשר על כ-7,800 km ונמצא כולו בתוך קו הקורוטציה; הירח משתחרר כשמרכז המסה שלו מגיע לקו (§A.3; מנגנון השחרור הוא נושא מאמר 3, LEF Mechanism in Practice). מאחר שהאגס נמצא בתוך הקו, הכוח השקול במערכת המסתובבת מושך אותו לעבר כדור הארץ (§B.5): הוא נשאר עם כדור הארץ, ואילו הירח, שמרכזו על הקו, חופשי להינתק. זו הסיבה שהירח עוזב שלם, והחיבור אינו הולך עמו.

B.4הקיזוז

החישוב מביא בחשבון את שני התהליכים יחד: יממת כדור הארץ 5.77 h, קו הקורוטציה ב-16,331 km (§A.4). ה-16,331 km הם ערך חלקיק-המבחן של צעד 4 ב-§B.1; הכללת מסת הירח עצמה נותנת את ה-16,399 km, כ-16,400 km, שמשמשים לנקודת השחרור. חישוב עם האגס בלבד היה נותן 6.44 h ו-17,569 km, וחישוב עם הליבה בלבד היה נותן כדור ארץ מהיר מדי; רק שניהם יחד מתארים את כדור הארץ של אותה תקופה.

B.5 קורוטציה

מרכז המסה של הירח מגיע לקו הקורוטציה בכ-16,400 km; מעבר לו הקורוטציה מושכת את הירח החוצה, והוא משתחרר: $$a_{\mathrm{net}}=\Omega^{2}r-\frac{GM_\oplus}{r^{2}}.$$ זו התאוצה השקולה שחש חומר המסתובב עם כדור הארץ במרחק $r$, כפי שהיא נראית במערכת המסתובבת. האיבר הראשון הוא התאוצה החיצונית (הצנטריפוגלית) של הסיבוב, שגדלה עם המרחק; השני הוא כבידת כדור הארץ, שקטנה עם המרחק. בתוך הקו הכבידה גוברת ו- $a_{\mathrm{net}}$ מכוונת פנימה, ולכן האגס מוחזק אל כדור הארץ; על הקו השתיים מאוזנות; מעבר לו הסיבוב גובר והחומר נמשך החוצה. ברגע שמרכז המסה של הירח חוצה את הקו, הגוף כולו נמשך הרחק מכדור הארץ, והוא מתנתק.

איור 9 מגדיל את הרגע שבו מתחיל הניתוק. הקו משורטט דרך מרכז הירח; החצי הקרוב של הירח עדיין נמצא בתוכו, והחצי הרחוק מחוצה לו.

B.6 התנע הזוויתי

המערכת מחזיקה פי 1.007 מן התנע הזוויתי של היום. ברגע השחרור, מקדם מומנט ההתמד של כדור הארץ הנובע מן התנע הזוויתי הסיבובי שנותר לו הוא $k=0.355$; מבנה דו-שכבתי עם $q=0.55$ ו- $D=2$ נותן $$k=\frac{2}{5}\,\frac{(1-q^{5})+Dq^{5}}{(1-q^{3})+Dq^{3}}=0.360.$$ המקדם $k$ מתאר כיצד המסה מפוזרת: 0.4 לכדור אחיד, ופחות מזה כשהמסה מרוכזת לעבר המרכז (לכדור הארץ של היום כ-0.33). הערך 0.355 הוא מה שנדרש מכדור הארץ ברגע השחרור כדי שסיבוב של 5.77 h יישא את $2.88\times10^{34}$ הנותרים. הנוסחה מחשבת את $k$ לכדור ארץ בן שתי שכבות: שכבה פנימית המגיעה עד שבר $q$ מן הרדיוס, וצפיפותה פי $D$ מצפיפות השכבה החיצונית. עם $q=0.55$ ו- $D=2$ היא נותנת 0.360, קרוב ל-0.355 הנדרש. התנע הזוויתי שמצב השחרור דורש והמבנה שהברזל השוקע יוצר מתיישבים אפוא זה עם זה. אין צורך בפגיעה ענקית מבחוץ ואין צורך בהוצאה מאוחרת של תנע זוויתי; מודלי הפגיעה בעלי התנע הזוויתי הגבוה מתחילים מכפי 2–3 מן הערך של היום. המסלול סוגר את המאזן שלו במה שמערכת כדור הארץ–ירח מחזיקה היום, ועוד כ-1% שגאויות השמש הוציאו מאז.

B.7גבול רוש

גבול רוש הוא המרחק שבתוכו משיכת הגאות של גוף גדול, ההפרש בין הכבידה שלו בצד הקרוב לבין הכבידה שלו בצד הרחוק של גוף קטן יותר, עולה על הכבידה העצמית של הגוף הקטן ויכולה לפרק אותו. שתי צורות קלאסיות תוחמות אותו: $$d_{\mathrm{rigid}}=1.26\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3},\qquad d_{\mathrm{fluid}}=2.44\,R_\oplus\left(\frac{\rho_\oplus}{\rho}\right)^{1/3}.$$ הצורה הקשיחה חלה על גוף ששומר על צורתו; הצורה הנוזלית על גוף שמתעוות בחופשיות ולכן נמתח על ידי הגאות יותר. בשתיהן $\rho$ היא צפיפות הגוף הקטן: ככל שהוא צפוף יותר, כך הוא יכול להתקרב יותר. מרכז הירח ב-16,400 km נמצא הרחק מעבר לגבול הקשיח (9,484–12,994 km עבור 1,300–3,344 kg m$^{-3}$). אותו מרחק נמצא בתוך הגבול הנוזלי לגוף של 2,600 kg m$^{-3}$ (19,971 km, §A.7.1); איזה משני הגבולות חל נקבע אפוא לפי השאלה אם הירח קשיח ברגע השחרור. ההתעגלות הושלמה לפני השחרור; הגוף קשיח ועגול. הפחיסות וההתעגלות המאוחרת יותר של גוף הירח התרחשו קודם לכן, כשהוא עדיין היה מחובר (מאמר 7, The Poles); מה שעוזב את הקו הוא גוף בעל קליפה חיצונית קשיחה. גוף קשיח מקטין את תגובת הגאות בגורם $$\frac{1}{1+\dfrac{19\mu}{2\rho gR}},$$ כך שעבור $\mu\ge10$ GPa יחס הצירים הוא לכל היותר 1.04. כאן $\mu$ היא הקשיחות (מודול הגזירה) של הגוף, $g$ הכבידה על פניו ו- $R$ הרדיוס שלו; $\rho gR$ הוא הלחץ של משקל הגוף עצמו. הגורם אומר שגוף שקשיחותו גדולה בהשוואה ללחץ של משקלו העצמי מתעוות רק בשבר קטן ממה שגוף נוזלי היה מתעוות. יחס צירים של 1.04 לכל היותר פירושו שהציר הארוך ביותר של הירח עולה על הקצר ביותר ב-4% לכל היותר: הגוף נשאר עגול.

B.8כיוון ההתפתחות הגאותית

הירח משתחרר על קו הקורוטציה, והגאות מעבירה אליו תנע זוויתי מסיבובו של כדור הארץ: הוא מתרחק (§A.8; המסלול הוא נושא מאמר 4, The Orbit). בדיוק על הקו השפעת הגאות נייטרלית, כי כדור הארץ מסתובב פעם אחת באותו זמן שבו הירח משלים הקפה. הניתוק עצמו מעביר את מרכז המסה של הירח כ-210 km אל מעבר לקו, כשמעט יותר ממחצית הירח חצתה אותו (המרווח $\Delta r\simeq2d_0$ של §D.3); שם כדור הארץ מסתובב מהר יותר מקצב ההקפה של הירח, הבליטה הגאותית שמתעוררת על כדור הארץ מקדימה את הירח, מושכת אותו קדימה, והירח נע החוצה. זה הצד של קו פרשת המים שבו נמצא Deimos כיום (איור 7).

כמה רחוק מעבר לקו. המרחק מעבר לקו קטן לעומת רדיוס השחרור, אבל הוא קובע את צורת המסלול הראשון. על הקו הירח נושא בדיוק את המהירות של מסלול מעגלי; מעבר לו — מעט יותר, ולכן נקודת השחרור הופכת לנקודה הקרובה ביותר של מסלול מתוח מעט, באקסצנטריות $e_0$ שגדלה עם המרחק. הטבלה עוקבת אחר זה בקו רוחב השחרור, 22.5°, שבו קו הקורוטציה נמצא ב-17,287 km, ביממה של 5.77 שעות; המסלול ההתחלתי בא מן הנוסחאות של מאמר 4 (נספח A), והזווית הסופית מחוק הטנגנס המצומצם של מאמר 4 (חלק D). "חצה" הוא החלק מנפח הירח שנמצא מעבר לקו ברגע השחרור.

טבלה B.8. שחרור ב-22.5°: המסלול ההתחלתי והזווית הסופית של החוק המצומצם ככל שהשחרור מתרחק מעבר לקו הקורוטציה (מאמר 3, §C.5a). הכחול-כהה מעמיק עם הזווית הסופית; הירוק מסמן את 5.145° הנצפים, שהם השחרור המאומץ.

שחרור בדיוק על הקו נותן מעגל, והגאות נושאת מעגל החוצה כמעגל; האקסצנטריות של הירח היום דורשת אפוא שחרור מעט אחרי שמרכז המסה שלו חצה את הקו. בכ-210 km החוק המצומצם מחזיר את הנטייה הנצפית, ומאמר 3 (§C.5a) מראה שאותו מרחק מחזיר את האקסצנטריות של היום, 0.0549, לירח צעיר וחם; הסדרה מאמצת את השחרור הזה. מאמר 3 נותן את טבלת האקסצנטריות ואת הרגישות לקו הרוחב של הקצה; האינטגרציה המלאה של מאמר 4 נושאת את מצב השחרור דרך ההיסטוריה כולה.

מה שיש בידינו עכשיו: מצב השחרור של §B.1 עונה על כל אחת משבע הבעיות של חלק A במערכת מספרים אחת.

C.1 מה הוצג

הטבלה מצמידה לכל בעיה של חלק A את התשובה שניתנה לה בחלק B. היא נקראת שורה אחר שורה; כל סימן וי פירושו שמצב השחרור של §B.1 עונה על הבעיה הזו בלי הנחה נפרדת.

חלק זה מרכז במקום אחד את מה שהמאמר טוען, כיצד כל טענה נבחנת, ומה המסלול דורש מהמנגנון שלו, כך שהנקודות האלה נמצאות כאן ולא מפוזרות לאורך הטקסט.

D.1טענות מרכזיות ומבחנים

הטבלה מונה את חמש הטענות המרכזיות. העמודה הראשונה נותנת שם לכל טענה ומציינת את מעמדה; השנייה, מה היא מניחה ומה היא חוזה; והשלישית, כיצד היא נבחנת.

במילים פשוטות, אלה הטענות.

• קורוטציה. הטענה היא שעל קו הקורוטציה המהירות שמעניק הסיבוב שווה למהירות המסלול. התיקונים שהתרחיש זקוק להם (השדה של כדור ארץ פחוס, גודלו של הירח, המשיכה בין שני הגופים) נבדקים מול השוויון הזה.

• סגירת התנע הזוויתי. הטענה היא שהמאזן ההתחלתי של $3.466\times10^{34}$ מספיק לשחרור בכ-16,400 km. המאזן שלפני השחרור מותאם למאזן שאחריו דרך המבנה והאובדן לגאות השמש.

• רגישות למבנה. הטענה היא שליבה שוקעת משנה את היממה ואת הקו באופן המחושב (§A.4.1). החישוב מתייצב על פתרון לכל מבנה שנסרק.

• תנע זוויתי לא-משווני. הטענה היא ששחרור מחוץ למשווה משנה את המאזן רק בתיקון הווקטורי המחושב (§A.6.6). כל הווקטורים מסוכמים במערכת ייחוס אחת.

• שרידות. הטענה היא שהירח שורד את גאות כדור הארץ ברגע השחרור. הדבר נבחן במאמרים הבאים.

הטענות האלה אינן כולן חיזויים תצפיתיים בלתי תלויים: חלקן זהויות פיזיקליות, חלקן מבחני עקביות וחלקן דרישות מן המנגנון. ההבחנה נשמרת במפת החידוש של נספח F. זהות, כמו נוסחת הקורוטציה, אינה יכולה להיות שגויה אם הנתונים נכונים; מבחן עקביות בודק שהמספרים נסגרים; דרישה היא תנאי שהמאמרים הבאים צריכים לעמוד בו.

D.2החידוש שבעבודה

נוסחת הקורוטציה, צורות Maclaurin, שימור התנע הזוויתי וגבולות רוש הם פיזיקה קודמת. העבודה בוחנת את היישום המשותף שלהם לתנאי של העברה מחוברת, עם חישוב עקבי של השינוי במסה, בצורה ובסיבוב, ועם הצגה של תחומי הרגישות. "העברה מחוברת" פירושה שהחומר נשאר מחובר לכדור הארץ ומסתובב עמו עד שהוא מגיע לקו, במקום להיות משוגר מפני השטח; זה תנאי השחרור שבו ההתנגדות הקלאסית לפיצול, מאזן גדול פי כמה מן הנדרש, אינה מתעוררת (§A.6.5). טענה מלאה של קדימות היסטורית דורשת את בדיקת העבודות הקודמות של נספח F; הצלחת השחזור המספרי אינה מוכיחה קדימות.

D.3מה מונח ומה נדרש

ההנחות והדרישות שעליהן נשען הטיעון מרוכזות כאן כדי שלא לחזור עליהן לצד כל תוצאה. כל שורה נותנת את הערך שאומץ או שנדרש.

כמה שורות צריכות מילת הסבר. ההתפשטות התרמית היא המידה שבה כדור הארץ הצעיר והחם היה גדול מכדור ארץ קר; 6,495 km הוא הרדיוס הנפחי בקצה התחתון של התחום הקביל (98 km של התפשטות). תנאי השחרור נקרא כך. גוף המשתחרר בדיוק על קו הקורוטציה נמצא במצב נייטרלי מבחינה גאותית; ברגע שהוא נמצא מעבר לקו, הגאות דוחפת אותו החוצה, ולכן הירח מתרחק מן ההתחלה (מאמר 4, §B.2). הניתוק מציב את מרכז המסה מעבר לקו במרווח $\Delta r\simeq2d_0$, שבו $d_0$ הוא סקלת העובי של החיבור (נספח E, שורה E47); המרווח הוא כ-210 km, $d_0\approx105$ km, שנקבע בחיפוש מרחק השחרור של מאמר 3, §C.5a (גרסה קודמת נתנה כ-100 km). השוואת המאזן נעשית בשתי דרכים: סיכום התנע הזוויתי הסיבובי והמסלולי כגדלים פשוטים (סקלרית), שנותן עודף של 0.7%, וסיכומם כווקטורים בזווית זה לזה, שנותן 1.5–2.5% (גרסה קודמת נתנה 1.5–2.6%; הגדולה מבין שלוש הזוויות שנבדקו נותנת 2.51%); הסכום הסקלרי הוא הבסיס, והסכום הווקטורי הוא בדיקת רגישות (§A.6.3).

שלוש השורות הראשונות הן ערכים שאומצו, עם חלונות; שתי הבאות הן דרישות שהמסלול מציב למאמר 3; שתי האחרונות הן הבדיקות שמאמר זה עצמו מבצע. אף אחת משבע השורות אינה מוסתרת בתוך תוצאה, ואף אחת מהן אינה נחוצה כדי לקבוע את רדיוס הקורוטציה, הנובע ממסת גוף-האם ומסיבובו בלבד.

גוף בגודל הירח יכול להגיע למסלול מחומרו של כדור הארץ עצמו, בלי פגיעה ענקית מבחוץ. כדור ארץ המסתובב מהר מספק את המהירות; האגס מחבר את כדור הארץ אל קו הקורוטציה; האגס המתארך והליבה המתמרכזת קובעים יחד את יממת כדור הארץ ברגע השחרור ל-5.77 h; הירח, קשיח ועגול, משתחרר כשמרכז המסה שלו מגיע לקו הקורוטציה בכ-16,400 km; מאזן התנע הזוויתי נסגר בפי 1.007 מן הערך של היום, בהתאמה לאובדן לגאויות השמש; והירח מתרחק מרגע השחרור.

בשרשרת אחת: הסיבוב של כדור הארץ נושא את החומר החוצה; הקו שבו המהירות הנישאת שווה למהירות המסלול קובע היכן הירח עוזב; האיזון בין האגס לליבה קובע היכן נמצא הקו הזה; והתנע הזוויתי שעמו התחיל כדור הארץ מספיק, עם עודף של כ-1% שהשמש תוציא מאוחר יותר.

E.1המסקנות הקודמות שנשמרו

המסקנות הבאות מגרסאות קודמות של מאמר זה נשארות בתוקף ונשמרות כאן, עם ערכי הייחוס המקוריים שלהן.

1. תנאי השחרור קובע את מבחן המהירות; שחרור ישיר מפני השטח והעברה בקורוטציה הם תנאי התחלה שונים. שחרור מפני השטח משאיר פער מהירות (§A.1.2); העברה בקורוטציה אינה משאירה פער (§B.2).

2. ערך הייחוס המקורי הוא כ-15,818 km, בזמן סיבוב של 5.5 שעות ובהגדרת המסה שנקבעה עבורו. זה הקו לפני שההעברה החלה; ערך השחרור של כ-16,400 km הוא הקו אחרי שהאגס והליבה פעלו (§B.1).

3. התוספת לחומר היא כ-15.6% בבסיס וכ-16.5% בפתרון המצומד; כ-17.7% הוא התנע הזוויתי המסלולי הסופי בקירוב חלקיק-מבחן, למצב המצומד עם האגס לבדו ($D=1$, 6.44 h, 17,569 km); במצב השחרור עם $D=2$ מחזיק מסלול הירח כ-17.0% (§B.1). שלושת האחוזים האלה מודדים גדלים שונים: שני הראשונים, את התנע הזוויתי שהחומר צריך לרכוש במהלך ההעברה (§A.6.2); השלישי, את חלק המאזן שמסלול הירח מחזיק בסוף.

4. המבנה הפנימי והגיאומטריה הווקטורית משפיעים על התוצאה, ולכן נכללו כבדיקות רגישות ולא כערכי עבר מדודים.

5. הקורוטציה מספקת את המהירות ואת המאזן. ניתוק מכני מעבר לקורוטציה, התרחקות מתמשכת ושרידות בתחום רוש הם שלושת התנאים שהמסלול מציב למנגנון שלו; הם מרוכזים ב-§D.3.

עבודה נוספת — פתחים למחקר

החישובים במאמר זה מגדירים את הנתונים לעבודה נוספת שקבוצות מחקר אחרות מצוידות לבצע. כל פריט מציין חישוב שמאמר זה אינו מבצע, ואת המאמר בסדרה שישתמש בתוצאתו.

1. בעיית Maclaurin המרובדת. מצב הסיום המצומד (§A.6.2) משתמש בצורה אחידה עם מקדם התמד משתנה. טיפול Clairaut–Darwin–Radau בגוף-אם שבו הברזל שוקע נותן את רדיוס הקורוטציה עבור הליבה המתמרכזת באופן עקבי-עצמי (כ-16,300–16,400 km ב- $D=2$), ומעביר למאמר 4 את מסלול המוצא שלו. שיטת Clairaut–Darwin–Radau היא הדרך המקובלת לחשב את צורתו של גוף מסתובב שצפיפותו עולה פנימה; היא תחליף את הצורה האחידה שבה משתמשים כאן בצורה שעוקבת אחר הברזל השוקע.

2. הפיזור (דיסיפציה) של כדור הארץ הקדום. ההתרחקות מכ-2.6 רדיוסי כדור הארץ (16,400 km; 2.8 רדיוסי כדור הארץ במצב הקודם של האגס לבדו, ביממה של 6.44 h) נקבעת על ידי $k_2/Q$ ועל ידי ההיסטוריה שלו; הערך הנוכחי חריג. כאן $k_2$ מודד עד כמה כדור הארץ מתעוות תחת גאות, ו- $Q$ כמה מאנרגיית הגאות הוא מפזר; היחס ביניהם קובע את מהירות התרחקות הירח. מודלים של תהודת אוקיינוס שירוצו מן היממה של 5.77 שעות ברגע השחרור (ולא מן היממה של 6.4 שעות במצב הקודם, של האגס לבדו) יתנו את פונקציית הקצב שמאמר 4 זקוק לה.

3. ההתפשטות התרמית של גוף-האם. ה-120 km שאומצו כאן (98–520 קבילים) הם הערכה מעומק אוקיינוס המאגמה ומהתפשטות ההתכה; אינטגרציה של משוואת מצב לכדור ארץ קדום, חם ועשיר בחומרים נדיפים, תקבע אותם, ועמם את חלון הסיבוב.

4. תחילת ההתרחקות. גוף המשתחרר בדיוק על קו הקורוטציה נמצא במצב נייטרלי מבחינה גאותית: כדור הארץ מסתובב פעם אחת בזמן שהגוף משלים הקפה אחת, והגאות אינה דוחפת אותו החוצה ואינה מושכת אותו פנימה. ברגע שהגוף נמצא מעבר לקו, הגאות דוחפת אותו החוצה, ולכן הירח מתרחק מן ההתחלה (§B.8; מאמר 4, §B.2). הניתוק משאיר את מרכז המסה מעבר לקו במרווח השחרור $\Delta r\simeq2d_0$, כ-210 km (§D.3, §E.1). אינטגרציה גאותית עם ראולוגיה תלוית-תדר בשני הגופים, היוצאת ממצב השחרור של מאמר 3, תקבע את טווח המרווח ואת קצב ההתרחקות הראשונה. "ראולוגיה תלוית-תדר" פירושה שהאופן שבו כל גוף נכנע לגאות תלוי במהירות שבה הגאות משתנה.

5. שרידות בתוך גבול רוש הנוזלי. הערכת המאמץ בסדר גודל שבנספח "הערכת תאוצה ומאמץ" אינה פתרון עיוות. חישוב ויסקו-אלסטי של הגוף הקשיח בן 1,890 km, בכ-16,400 km מכדור הארץ, לאורך $10^1$–$10^3$ השנים שהוא שוהה שם, יחליף אותה. חישוב ויסקו-אלסטי מתייחס לגוף כאלסטי בזמנים קצרים וכזורם לאט בזמנים ארוכים, וכך מתנהג גוף חם בעל קליפה חיצונית קשיחה.

6. המסלול הקלאסי. הגורם 2.74 בנקודת ההתפצלות של Jacobi מחושב; נקודת צורת האגס לאורך רצף Jacobi דורשת אימות של הערכים הטבלאיים, וחישוב מודרני של הרצף עבור המסה והצפיפות האלה יכריע בכך. רצף Jacobi הוא משפחת צורות שיווי המשקל המוארכות, בעלות שלושה צירים, שאליהן עובר גוף נוזלי המסתובב מהר מעבר לצורות Maclaurin (§A.6.5).

זמינות הקוד

כל התוצאות המספריות של מאמר זה משוחזרות על ידי הסקריפטים של חבילת השחזור של LEF (Python 3, numpy, scipy), המדפיסה את ערכי כל סעיף מן הנתונים המוצגים בטקסט. החבילה מצורפת לטיוטה מוקדמת זו כחומר משלים (LEF_code_and_data.zip). גרסה קודמת של הסדרה ושל החבילה מופקדת ב-doi:10.5281/zenodo.22743615.

נספח זה מקבע את ההגדרות שעליהן נשען כל מספר במאמר. הוא תומך ברדיוס הקורוטציה של §A.2.1 ושל §A.5 (15,818 km עבור ייחוס ה-5.5 שעות) ובמרחק השחרור של §B.1. קורא שמבקש לבדוק תוצאה כלשהי צריך להתחיל כאן, משום שרוב אי-ההתאמות הנראות בין שחזורים נובעות מבחירה שונה של מסה, מרחק או קבוע, ולא מפיזיקה שונה.

הגזירה המלאה והקצרה נמצאת ב-§B.1. יש להבחין בין שתי מסות. $M_{\mathrm{tot}}$ היא המסה ההתחלתית הכוללת: כדור הארץ והחומר הירחי יחד, לפני שחלק כלשהו ממנו עזב. $M_\oplus$ היא מסת גוף-האם הסופית: כדור הארץ לאחר שהחומר הירחי שויך לגוף השני. שימוש באחת במקום שבו נדרשת האחרת סופר את מסת הירח פעמיים, או אינו סופר אותה כלל.

יש להבחין גם בין שני מרחקים. רדיוס הנמדד ממרכז גוף-האם אינו רדיוס הנמדד ממרכז המסה של המערכת; מרגע שקיים גוף שני בעל מסה ממשית, שני הגופים סובבים סביב מרכז המסה המשותף שלהם, הנמצא מעט הרחק ממרכז כדור הארץ. במקרה של שני גופים, המרחק $r$ נמדד בין המרכזים, והפרמטר הכבידתי (מכפלת קבוע הכבידה במסה המושכת) הוא $G(M_\oplus+m)$, משום שכל גוף מקיף בהשפעת משיכתו של האחר, והתנועה היחסית נקבעת על ידי סכום המסות.

הקבועים הם קלטי המקור כפי ששוחזרו, ולא התאמה חדשה לאפמריס (טבלה של מיקומים נצפים). לכן שינוי בהגדרת המסה מחייב חישוב חדש, ולא החלפה שקטה של התווית 15,818: המספר הזה שייך להגדרה מוצהרת אחת, והגדרה אחרת מניבה מספר אחר.

נספח זה גוזר את הצורה ואת התנע הזוויתי של כדור הארץ הצעיר לפני שההעברה מתחילה. הוא תומך במאזן ההתחלתי $L_0\simeq3.466\times10^{34}$ kg m$^2$ s$^{-1}$ של §A.6.1 ושל §B.1, בהשוואה למערכת של היום ב-§A.6.3, ובתחום המותר של איור 5 ב-§A.6.4. השלבים הם: לקבע את המסה ואת הגודל; למצוא את הצורה הפחוסה שגוף אחיד מקבל בסיבוב של 5.5 שעות; לחשב את מומנט ההתמד שלו; ולהכפיל במהירות הסיבוב.

Appendix B.1גזירת המבנה ההתחלתי — טקסט הבסיס כפי שנשמר

שלב 1: המסה. אנו מאמצים $G=6.674\times10^{-11}$, $M_\oplus=5.972\times10^{24}$ kg ו- $m=7.35\times10^{22}$ kg. לפני ההעברה החומר הירחי עדיין חלק מכדור הארץ, ולכן גוף-האם נושא את שניהם. בקוד נשמר הסכום המדויק של הערכים המאומצים:

$$M_{\mathrm{tot}}=M_\oplus+m=6.0455\times10^{24}\ \mathrm{kg}.$$

ערכו המעוגל במקור הוא $6.045\times10^{24}$. הפרש העיגול מסביר הבדלים קטנים בין שחזורים; אין זה הבדל פיזיקלי.

שלב 2: הגודל. רדיוס הייחוס המוגדר דרך הצפיפות הארצית הממוצעת הוא כ-6,397 km: זהו הרדיוס שהיה לכל המסה ההתחלתית בצפיפות של כדור הארץ של היום. כדור הארץ הצעיר במודל חם ומורחב. תוספת מאומצת של 120 km נותנת רדיוס נפחי $R_{V,0}=6{,}517$ km (רדיוס של כדור שנפחו שווה לנפח הגוף הפחוס) וצפיפות של כ-5,214 kg למטר מעוקב.

שלב 3: הצורה. גוף נוזלי אחיד המסתובב מתייצב בצורה פחוסה, רחבה יותר במשווה מאשר בין הקטבים. עבור גוף בעל צפיפות אחידה צורה זו היא ספרואיד Maclaurin, וצורתו נקבעת במשוואה אחת [1]:

$$\mathcal M(e)=\frac{2\sqrt{1-e^2}}{e^3}(3-2e^2)\arcsin e -\frac{6(1-e^2)}{e^2}, \qquad \frac{\omega^2}{\pi G\rho}=\mathcal M(e).$$

במילים: האגף השמאלי, $\omega^2/(\pi G\rho)$, מודד עד כמה מהר הגוף מסתובב לעומת עוצמת הכבידה העצמית המחזיקה אותו יחד ($\omega$ היא המהירות הזוויתית, $\rho$ הצפיפות). האגף הימני, $\mathcal M(e)$, הוא הפחיסות שהאיזון הזה מחייב, הכתובה באמצעות האקסצנטריות $e$ של חתך המרידיאן — $e=0$ הוא כדור, ו- $e$ גדלה ככל שהגוף נפחס. בהינתן הסיבוב והצפיפות, פותרים את המשוואה עבור $e$.

כאשר $e$ ידועה, הרדיוס המשווני $a$ והרדיוס הקוטבי $c$ נובעים מהרדיוס הנפחי:

$$a=\frac{R_V}{(1-e^2)^{1/6}}, \qquad c=R_V(1-e^2)^{1/3}.$$

שני הביטויים האלה שומרים על הנפח קבוע: $a^2c=R_V^3$, כך שהגוף נפחס בלי להוסיף או לאבד חומר.

עבור סיבוב נתון מתחת למרבי, למשוואת Maclaurin יש שני פתרונות: אחד פחוס מעט ואחד פחוס מאוד. גוף שמהירות סיבובו עולה בהדרגה מכדור הולך לפי הראשון. בענף הקרוב לצורה הכדורית מתקבלים $e_0\simeq0.4107$, $a_0\simeq6{,}721$ km ו- $c_0\simeq6{,}128$ km — משווה הרחוק מהמרכז בכ-600 km יותר מהקטבים.

שלב 4: מומנט ההתמד והתנע הזוויתי. מומנט ההתמד מודד עד כמה קשה להביא גוף לסיבוב, והוא תלוי במרחק המסה שלו מהציר. עבור ספרואיד אחיד הסובב סביב צירו הקצר הוא שווה ל- $\frac25$ מהמסה כפול ריבוע הרדיוס המשווני. התנע הזוויתי הוא מומנט ההתמד כפול המהירות הזוויתית:

$$I_0=\frac25M_{\mathrm{tot}}a_0^2\simeq1.092\times10^{38}\ \mathrm{kg\,m^2},$$

$$\boxed{L_{\mathrm{initial}}=I_0\omega_0\simeq3.466\times10^{34}\ \mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}.}$$

כאן $\omega_0=2\pi/19{,}800$ s$^{-1}$, המהירות הזוויתית של יממה בת 5.5 שעות. המספר שבמסגרת הוא כל המאזן שההעברה יכולה לשאוב ממנו; §A.6 משווה אותו למערכת כדור הארץ–ירח של היום.

צפיפות אחידה היא קלט חישוב. היא מתארת גוף-אם שעדיין נמצא בשלב מוקדם של התמיינות: ייתכן שברזל כבר התאסף בליבה בהתחלה, והתארגנות הליבה נמשכה לאורך ההעברה ואחרי השחרור. גוף שלא השלים מיון אינו בהכרח אחיד; השפעת הסטיות מצפיפות אחידה נבדקת להלן בבדיקת רגישות (נספח C ו-§A.4.1).

Appendix B.2סריקת ההתפשטות המקורית

ההתפשטות של 120 km היא ערך מאומץ, ולכן השאלה היא עד כמה התוצאה תלויה בו. הטבלה עונה על כך. כל שורה נותנת התפשטות אחת; העמודה השנייה היא הרדיוס הנפחי המתקבל; השלישית היא העודף של המאזן ההתחלתי על המאזן של היום אם היממה בת 5.5 שעות; הרביעית היא היממה ההתחלתית הארוכה ביותר שבה המאזן עדיין שווה לזה של היום (התקרה הסקלרית). קראו את הטבלה מלמעלה למטה: ככל שההתפשטות גדלה, הגוף גדל, מומנט ההתמד שלו עולה, ועמו גדלים גם העודף וגם התקרה.

שתי שורות מסמנות את קצוות התחום הקביל. ללא התפשטות, המאזן חסר ב-3.3% לעומת זה של היום, כך שגוף-אם שלא התפשט והמסתובב ב-5.5 שעות לא היה יכול לספק את המערכת של היום. ב-98 km המאזן שווה בדיוק לזה של היום; זוהי ההתפשטות הקטנה ביותר שעובדת. ב-520 km העודף מגיע ל-15%, הגבול המאומץ למה שעשוי היה לאבוד מאוחר יותר לשמש. התחום 98–520 km של §D.3 נובע משתי השורות האלה.

הטבלה נשמרה מטבלת המקור כרגישות של המודל הסקלרי. התקרה של 5.54 שעות שייכת למצב הייחוס, ולא לכל מבנה אפשרי. הרצפה של 4.90 שעות נשענת על תקרת אובדן חיצוני מאומצת של 15%; אין כאן גזירה בלתי תלויה של התקרה הזאת. לכן התחום 4.90–5.54 שעות אינו אילוץ תצפיתי מוכח; זהו החלון שבתוכו הקלטים המאומצים נשארים עקביים.

גם ה-120 km הם פרמטר מאומץ. השימוש בפרמטר הזה לייצוג ההתפשטות התרמית אינו מחליף חישוב של משוואת מצב (חישוב העוקב אחר האופן שבו צפיפות החומר משתנה עם הלחץ והטמפרטורה, שכבה אחר שכבה). כדי לבסס את ההתפשטות של גוף תחת לחץ יש לבצע אינטגרציה של המבנה והצפיפות; הערכה לינארית המבוססת על עומק השכבה ועל מקדם התפשטות אינה בסיס עצמאי סגור. רשימת העבודה הנוספת מציינת את החישוב הזה כפתח למחקר.

נספח זה מתאר כיצד הוקם החישוב הדו-שכבתי שמאחורי §A.4 ו-§A.4.1, ועד כמה אפשר לסמוך על מספריו. הוא תומך בטבלת זמני המחזור הסופיים ורדיוסי הקורוטציה מול יחס הצפיפויות $D$ (עבור $D=2$: 5.77 שעות ו-16,331 km), ובערך $k=0.360$ של §B.6. הרעיון הפיזיקלי הוא המחליקה שמקרבת את זרועותיה: כשהברזל שוקע לעבר המרכז, מומנט ההתמד יורד, וכשהתנע הזוויתי קבוע, הסיבוב מואץ.

למודל שתי שכבות: פנימית וחיצונית. $q$ הוא היחס בין הרדיוס הנפחי הפנימי לחיצוני, ו- $D$ הוא היחס בין צפיפויותיהן. השכבות בלתי דחיסות ובסיבוב משותף, כך שהן מסתובבות יחד כגוף אחד. נפח הגוף הסופי קבוע בכל התרחישים; המצב ההתחלתי שמשמש לקביעת $L_0$ נשאר הומוגני, כך שכל תרחיש מתחיל מאותו מאזן ונבדל רק באופן שבו הגוף הסופי סידר את מסתו.

לכל תרחיש נפתר פוטנציאל אפקטיבי קבוע על שני הגבולות: כל גבול נדרש להיות משטח של פוטנציאל כבידתי וצנטריפוגלי משולב שווה, וזה התנאי לכך ששכבה נוזלית תהיה במנוחה במערכת המסתובבת. $I$ מחושב אז ישירות מן הצפיפות והצורה, ולא נלקח מנוסחה לגוף אחיד. אין כאן מסלול מיון בזמן ואין משוואת מצב: החישוב משווה בין מצבי סיום, ואינו עוקב אחר שקיעת הברזל צעד אחר צעד.

שתי בדיקות קובעות את הדיוק. מתן חופש לצורות הגבולות להשתנות (במקום לכפות עליהן להיות ספרואידים מדויקים) שינה את הרדיוס בעד כ-2.5 km בסריקת $q=0.55$ — מעט לעומת רדיוס קורוטציה של יותר מ-15,000 km. שינוי הרזולוציה הנומרית שינה את הרדיוסים בכמה מטרים; שאריות השדה אינן מתכנסות באופן מונוטוני בכל בדיקה, ולכן אין טענה לדיוק פיזיקלי ברמת המטר. התוצאות אמינות ברמת הקילומטר, שהיא הרמה שבה המאמר משתמש בהן.

החישוב הראשי משחרר את הירח במישור המשווה. נספח זה שואל מה משתנה אם נקודת השחרור נמצאת מחוץ למשווה. הוא תומך במשוואת המאזן של §A.6.6 ובערכי הרגישות המצוטטים שם. הנקודה היא גיאומטרית: מחוץ למשווה, התנע הזוויתי המסלולי של הירח והתנע הזוויתי של סיבוב כדור הארץ כבר אינם מצביעים לאורך אותו ציר, ותנעים זוויתיים המצביעים לכיוונים שונים מתחברים כחצים, ולא כמספרים פשוטים.

במערכת צירים שבה $z$ הוא ציר הסיבוב הסופי, ו- $\lambda$ הוא קו הרוחב של נקודת השחרור הנמדד ביחס למשווה שלו, התנע הזוויתי הכולל הוא:

$$\mathbf{L}_{\mathrm{tot}}=(-H\sin\lambda,0,S+H\cos\lambda),\quad H=\mu_{\mathrm{red}}\omega r^2\cos\lambda.$$

כאן $S$ הוא התנע הזוויתי של סיבוב כדור הארץ, לאורך הציר. $H$ הוא התנע הזוויתי המסלולי של הירח: $\mu_{\mathrm{red}}$ היא המסה המצומצמת של הזוג, $\omega$ המהירות הזוויתית המשותפת ו- $r\cos\lambda$ המרחק של נקודת השחרור מציר הסיבוב — רק מרחק זה קובע את המהירות שהסיבוב מספק. החץ המסלולי נוטה בזווית $\lambda$ מציר הסיבוב, ולכן יש לו רכיב $H\cos\lambda$ לאורך הציר ורכיב $-H\sin\lambda$ בניצב לו.

אורך החץ הכולל מתקבל מהעלאת הרכיבים בריבוע וחיבורם:

$$L_0^2=(H\sin\lambda)^2+(S+H\cos\lambda)^2=S^2+H^2+2SH\cos\lambda.$$

מכאן משוואת המאזן של §A.6.6: המאזן ההתחלתי חייב להיות שווה לאורך הזה. ב- $\lambda=0$ היא מצטמצמת לסכום הפשוט $L_0=S+H$ של החישוב המשווני. הזווית בין הסיבוב לבין התנע הזוויתי הכולל היא:

$$\beta=\arctan\left(\frac{H\sin\lambda}{S+H\cos\lambda}\right).$$

זווית זו אומרת עד כמה ציר הסיבוב הסופי של כדור הארץ נוטה מהציר של המערכת כולה — נקודת המוצא להטיות שמאמר 4 עוקב אחריהן.

עבור המבחן $q=0.55$, $D=1$, $\lambda=25^\circ$ מתקבלים כ-17,177 km ו-3.85° בקירוב חלקיק-מבחן, או כ-17,240 km ו-3.84° עם שתי מסות. ה-25° הוא ערך לבדיקת רגישות, שנבחר כדי להראות את גודל התיקון; קו הרוחב המאומץ לשחרור הוא 22.5°, מרכז אזור המגע, והשחרור שם מחושב מחדש במאמר 4 (The Orbit). אלה תוצאות רגישות מוצעות, שאינן מחליפות את ערכי הייחוס. המספרים הקודמים 17,115 ו-4.48° הופרדו ביומן משום שנדרש להם תיקון של עקביות מערכת הצירים: הם ערבבו וקטורים שבוטאו ביחס לצירים שונים. משוואה קינמטית זו אינה מחשבת כיצד הציר משתנה עם הזמן; היא נותנת את המצב ברגע אחד.

התיעוד המלא, כולל החומר המסלולי המיועד למאמר 4: LEF_PaperI_Calculation2_Latitude25_HE.

נספח זה נותן את הרקע ל-§A.7 ול-§B.7: שני גבולות רוש והערכה ראשונה של עוצמת העומס שהגאות של כדור הארץ מטילה על הירח הצעיר. גבול רוש הוא המרחק שבתוכו ההפרש בין משיכת כדור הארץ בצד הקרוב ובצד הרחוק של לוויין (המתיחה הגאותית) עולה על הכבידה העצמית של הלוויין המחזיקה אותו יחד. גוף שמתעוות בחופשיות, כמו נוזל, מתארך ובכך מגדיל את המתיחה על עצמו; הגבול שלו רחוק יותר (מקדם 2.44). לגוף ששומר על צורתו יש גבול קרוב יותר (מקדם 1.26). השאלה שנספח זה עונה עליה היא מה גודל העומס הגאותי במרחק השחרור, ומה עוד נדרש כדי להפוך את העומס הזה לתוצאת שרידות.

המקדמים 1.26 ו-2.44 והגדרות הגבולות נשמרו מהטקסט הקודם. לפני ההגשה יש להשלים אימות ממוקד של המקור למקדם המכונה קשיח ושל תחום תקפותו. אין בו חוק חוזק לקרום: הגבול הקשיח מתאר גוף שאינו משנה צורה, בלי לומר איזה חוזק חומר מאפשר זאת.

הערכת התאוצה והעיוות — טקסט חישוב קודם כפי שנשמר

ההערכה משווה שתי תאוצות. $\Delta a$ היא המתיחה הגאותית: ההפרש בין משיכת כדור הארץ במרכז הגוף לבין משיכתו על פני הגוף, לאורך הקו לכדור הארץ. $g_s$ היא הכבידה העצמית על פני הגוף. עבור רדיוס גוף $R_s=1{,}890$ km:

$$\Delta a\simeq\frac{2GM_\oplus R_s}{r^3}, \qquad g_s=\frac{Gm}{R_s^2}.$$

המתיחה יורדת עם החזקה השלישית של המרחק $r$: חציית המרחק מגדילה אותה פי שמונה. ב-15,818 km מתקבלים $\Delta a\simeq0.381$, $g_s\simeq1.373$ m/s² ויחס של כ-0.277. היחס משווה את המתיחה הגאותית לכבידה העצמית: מתחת לאחד, הכבידה העצמית גוברת, ובמרחק זה הגאות היא מעט יותר מרבע מהכבידה העצמית של הגוף. יחס מתחת לאחד הוא הכרחי, אך אינו מכריע את השאלה עבור גוף מתעוות; העיוות של גוף חם במשך השנים שהוא שוהה בתוך הגבול הנוזלי הוא תנאי השרידות של §D.3.

השלב הבא ממיר את התאוצה למאמץ ואת המאמץ לזמן. אפשר לבנות הערכת מאמץ:

$$\sigma_{\mathrm{tidal}}\sim\rho_s\Delta aR_s\sim1.9\times10^9\ \mathrm{Pa}, \qquad t_{\mathrm{strain}}\sim\frac{\varepsilon_*\eta}{\sigma_{\mathrm{tidal}}}.$$

הביטוי הראשון הוא עומס דמוי-משקל של עמוד מחומר הגוף, בצפיפות $\rho_s$ ובגובה $R_s$, תחת התאוצה $\Delta a$. השני אומר כמה זמן לוקח לחומר בעל צמיגות $\eta$ (התנגדותו לזרימה, בפסקל-שניות) להגיע לעיוות $\varepsilon_*$ — שינוי צורה יחסי — תחת המאמץ הזה: ככל שהחומר קשיח יותר, כך הדבר אורך זמן רב יותר.

בחירת $\varepsilon_*=0.5$ (שינוי צורה במחצית) ו- $\eta=10^{19}\ \mathrm{Pa\,s}$ נותנת כ-85 שנים (עם $\rho_s=2{,}600$ kg/m$^3$, $\Delta a\simeq0.381$ m/s$^2$ ו- $R_s=1{,}890$ km המאמץ הוא $1.87\times10^9$ Pa; גרסה קודמת של ההערכה נתנה $1.4\times10^9$ Pa וכ-116 שנים, ערך שמתאים לצפיפות גוף של כ-1,950 kg/m$^3$). זוהי הערכה של עיוות תחת מאמץ מייצג קבוע, ולא חישוב של זמן התפרקות. יש לבחון את הראולוגיה (האופן שבו החומר מגיב לעומס לאורך זמן), את הצורה, את המאמץ המשתנה ואת זמן השהייה בפועל.

הערכה זו נשמרת כתלות פרמטרית: היא מראה כיצד הזמן משתנה עם הצמיגות ועם המאמץ, כך שקורא יוכל להציב ערכים אחרים. זמן השהייה עצמו שייך לחישוב המסלולי ואינו מאומץ כאן. מסמך החישוב השלישי מרכז את בדיקות רוש, העומס והמסלול ואת ההפרדה בין תוצאה לבין דרישה פתוחה: LEF_PaperI_Calculation3_Release_Survival_HE. העומס המכני מיועד למאמר 3 (LEF Mechanism in Practice) והטבלאות המסלוליות למאמר 4 (The Orbit).

נספח זה מפרט, רכיב אחר רכיב, מה המאמר לוקח מהפיזיקה הקודמת ומה הוא מוסיף. הוא תומך בהצהרת החידוש של §D.2. יש לקרוא את הטבלה שורה אחר שורה: העמודה הראשונה מציינת רכיב של הטיעון, השנייה אומרת אם הוא פיזיקה סטנדרטית, עבודה קודמת או יישום של המאמר עצמו, והשלישית אומרת כיצד המאמר משתמש בו. הדפוס מכוון: החוקים ישנים; החדש הוא היכן הם מוערכים וכיצד הם משולבים בתרחיש מחובר אחד.

לפני ההגשה נדרשת גם השוואה ממוקדת לעבודות קודמות על יציבות סינכרונית ועל מצבי שיווי משקל, כדי להעריך בכורה; בפרט, ההפניות ל-Counselman, ל-Hut ול-Grjebine & Marchal מתיעוד הביקורת הקודם אינן מסומנות כאן כמאומתות מחדש. אלה משימות ביבליוגרפיות פתוחות, ולא תוצאות חדשות.

מבחן העורך נשמר: לכל טענה מרכזית יש לזהות את מעמדה, להגדיר הנחות ותוצאה, לחשוף את הרגישות, ולספק דרך לשחזור. טבלת הטענות המרכזיות ב-§D.1 (בטקסט המוקדם סומנה "Table E.4"), יחד עם טבלת ההנחות והדרישות ב-§D.3, ממלאות את המבנה; היעדר פתרון לשרידות מסומן כפתוח ואינו הופך ל-PASS.

מקורות

[1] Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal Figures of Equilibrium. Yale University Press. מקור מן הטקסט הקיים; הפניות מדויקות לעמודים עבור ערכי הרצף ומקדמי רוש טעונות השלמה לפני ההגשה.

[2] Ferraz-Mello, S., Rodríguez, A., & Hussmann, H. Tidal friction in close-in satellites and exoplanets. The Darwin theory re-visited. גרסת המחברים: https://arxiv.org/abs/0712.1156.

[3] Leconte, J., Chabrier, G., Baraffe, I., & Levrard, B. (2010). Is tidal heating sufficient to explain bloated exoplanets? Consistent calculations accounting for finite initial eccentricity. DOI: 10.1051/0004-6361/201014337.

[4] Efroimsky, M., & Makarov, V. V. (2013). Tidal Friction and Tidal Lagging. Applicability Limitations of a Popular Formula for the Tidal Torque. ApJ, 764, 26. DOI: 10.1088/0004-637X/764/1/26.

[5] Huré, J.-M. (2022). Nested spheroidal figures of equilibrium I. Approximate solutions for rigid rotations. גרסת המחבר: https://arxiv.org/abs/2202.11044.

[6] Darwin, G. H. (1879). On the precession of a viscous spheroid, and on the remote history of the Earth. DOI: 10.1098/rstl.1879.0073.

[7] Meier, M. M. M., Reufer, A., & Wieler, R. (2014, טיוטה מוקדמת). On the origin and composition of Theia: Constraints from new models of the Giant Impact. גרסת המחברים: https://arxiv.org/abs/1410.3819.

[8] Battin, R. H. (2008). The Two Body Problem. MIT 16.346, Lecture 1. https://ocw.mit.edu/courses/16-346-astrodynamics-fall-2008/resources/lec_01/.

[9] Yu, H., Lau, S. Y., Mckeever, E., Arras, P., & Weinberg, N. N. (2025). Dynamical tide modified Roche limit in eccentric, asynchronous binaries. גרסת המחברים: https://arxiv.org/abs/2508.20183.

נספח זה הוא הגרסה המלאה של טבלת הסביבה החישובית שבתחילת המאמר. מטרתו מעשית: כל חישוב בסדרה נעשה לרגע מסוים ולמקום מסוים בתרחיש, והטבלה מתעדת, גודל אחר גודל, מה ידוע, מה מאומץ ומה עדיין פתוח בכל רגע. היא מונעת את הטעות הנפוצה ביותר בשחזור מצב קדום — שאילת ערך מכדור הארץ של היום, או משלב אחר, והצבתו במקום שאינו שייך אליו. כל שורה נושאת מזהה (E01, E02, …) כדי שמאמרים מאוחרים יותר יוכלו לצטט אותה.

כיצד לקרוא את הטבלה

כל שורה נושאת אחד מחמישה מעמדות. מאומץ: קלט שנבחר במודל. מחושב: תוצאה בתוך הנחות מסוימות. משוחזר: חישוב שהקוד שלו הורץ ושוחזר, בלי שהדבר מאמת את כל הנחותיו. פתוח: טרם נקבע או טרם הודגם. אילוץ עכשווי: נתון על המערכת של היום שנועד להגביל שחזור קדום, ולא מדידה של העבר.

העמודות עוקבות אחר התרחיש בזמן. השלבים אינם שלוש מערכות נפרדות: A — מצב ייחוס לפני חלוקת המסה, כשהחומר הירחי עדיין נספר בכדור הארץ; B — בנייה והעברה, בזמן שהגוף גדל ועולה; C — מצב קרוב לשחרור. כל המספרים בעמודה C מתייחסים למצב ייחוס מצומד מוגדר, ולא למסלול התפתחות שכבר נפתר במלואו. מיון, קו רוחב שאינו אפס או ערבוב של מקורות חומר מחייבים חישוב עקבי נוסף.

הטבלה מחולקת לגושים לפי נושא: זמן, מסה וגיאומטריה; פנים כדור הארץ, הסיבוב והתנע הזוויתי; הכבידה והמקום שבו היא נמדדת; חום, חומר, זרימה והחיבור; ושני עדכונים מאוחרים של המחבר על חומרים נדיפים, התקררות וציר הזמן.

טבלת הסביבה — זמן, מסה וגיאומטריה

הגוש הראשון הזה מקבע את הרישום: מתי התרחיש מתרחש, כמה מסה יש ולאיזה גוף משויך כל חלק, מה גודל הגופים, והיכן נמצא המקור. שימושו העיקרי הוא למנוע ספירה כפולה — אסור שאותו חומר ייכלל גם בכדור הארץ וגם בירח — ולהפריד בין גדלים ממצבי ייחוס שונים.

מה גוש זה קובע: מסת מערכת אחת, המחולקת בין שני גופים ובמקרה הצורך מאגר שלישי של חומר במעבר; גדלי ייחוס השייכים לצפיפויות ולמצבים מוצהרים; ומקור שהוא אזור רחב, לא נקודה.

טבלת הסביבה — פנים כדור הארץ, סיבוב ותנע זוויתי

הגוש השני עוסק בגדלים הקובעים את הסיבוב ואת המאזן: כיצד המסה מסודרת בתוך כדור הארץ (מקדם ההתמד $k$, שהוא 0.4 לכדור אחיד וקטן יותר כאשר המסה מרוכזת לעבר המרכז), מומנט ההתמד, זמן המחזור, ציר הסיבוב, התנע הזוויתי הכולל ורדיוס הקורוטציה. אלה הגדלים של חלקים A ו-B; הגוש רושם אילו ערכים שייכים למצב הייחוס ואילו למצב המצומד הקרוב לשחרור, כדי שהשניים לא יעורבבו.

מה גוש זה קובע: הסיבוב ורדיוס הקורוטציה משתנים במהלך הבנייה, בשני הכיוונים; שני ערכי רדיוס הקורוטציה בשחרור (16,331 km לחלקיק-מבחן, 16,399 km לשתי מסות) הם שני קירובים של מצב אחד; ושלושת האחוזים של E24 מודדים שלושה דברים שונים.

טבלת הסביבה — כבידה משתנה ומקום המדידה

הגוש השלישי עוסק בכבידה, שבתרחיש זה אינה מספר אחד. כאשר מסה עוברת מכדור הארץ לגוף המתפתח, המשיכה בנקודה נתונה משתנה, והיא משתנה באופן שונה מחוץ לכדור הארץ, על פניו, בתוכו ובחיבור בין הגופים. כל שורה מציינת מקום או רכיב אחד וקובעת מה חישוב שם חייב לכלול. המטרה היא למנוע שימוש בערך התקף במקום אחד במקום אחר.

מה גוש זה קובע: יש לחשב את הכבידה מהתפלגות המסה בפועל במקום וברגע המוצהרים; התאוצה הצנטריפוגלית ושאר תאוצות מערכת הצירים מתווספות רק במערכת מסתובבת מוצהרת; וגבולות רוש של E35 הם מרחקי ייחוס, כאשר השרידות מטופלת כדרישה הנפרדת של §D.3.

טבלת הסביבה — חום, חומר, זרימה והחיבור

הגוש הרביעי עובר מהמכניקה למצב החומר: טמפרטורה, חום, לחץ, צפיפות, חומרים נדיפים, צמיגות, הקליפה החיצונית והחיבור, ומה קורה לאחר השחרור. אלה הגדלים שמאמר 3 (LEF Mechanism in Practice) זקוק להם כדי לבדוק אם החומר יכול לעלות, אם הקליפה יכולה לשאת את העומס ואם התיעוד על פני השטח יכול להישמר. הגוש רושם את ערכי העבודה שבשימוש, ועמודה אחר עמודה, מה עוד יש לקבע.

מה גוש זה קובע: ערכי העבודה המכניים שמאמר 3 משתמש בהם (הלחצים של E39, הקליפה של E44, החיבור של E47), הנקודה הקבועה שהירח קשיח ועגול בשחרור (E48), ורשימה מפורשת של גדלים תרמיים וחומריים שעוד יש לקבוע. הפחיסות וההתעגלות של הגוף התרחשו מוקדם יותר, בעודו מחובר (מאמר 7, The Poles).

הכרטיס שילווה כל חישוב

הטבלה שלמעלה הופכת לכלל עבודה: כרטיס קצר שכל חישוב בסדרה מציג לפני התוצאה שלו, כדי שקורא יראה מיד איזה מצב הוא מתאר.

לפני משוואה או טבלת תוצאות, יש לציין: (1) שלב וזמן; (2) נקודת מדידה; (3) מערכת צירים וציר; (4) גרסת התרחיש; (5) מסות ורדיוסים באותו שלב; (6) קלטי חום וחומר; (7) השפעות שהוזנחו; (8) תוצאה ורגישות. אם נתון חסר, החישוב מסומן כמותנה או כנדחה — אסור לשאול ערך מההווה או משלב אחר בלי הצדקה.

רישום המסה נכתב כמשוואה אחת. משוואת ניהול המסה: $M_{\mathrm{total}}=M_E+m_{\mathrm{body}}+M_{\mathrm{transit}}+M_{\mathrm{escaped}}$, לפי גבולות המערכת והמאגרים: כדור הארץ, הגוף המתפתח, החומר שבדרך ביניהם, וכל חומר שאבד מהמערכת. אם נבחרת מערכת סגורה ללא אובדן, או שחומר משויך מעבר לאחד הגופים, יש לציין זאת ולצמצם את האיברים בהתאם. המסה הנכנסת ל-GM חייבת להתאים להגדרת המאגר באותו חישוב.

שדה הכבידה המשולב חייב להיות מחושב מהתפלגות המסה בפועל. קירוב של שתי מסות נקודתיות מותר רק היכן שהוגדר וברמת הדיוק שהוגדרה; אין זה תיאור מלא של פנים כדור הארץ, של החיבור או של אנומליה מקומית. בפירוק לרקע ולאנומליה מוסיפים רק את מסת ההפרש, כך שאף מסה אינה נספרת פעמיים.

עדכון המחבר — מלאי החומרים הנדיפים הקדום והחומר החוזר

עדכון זה מוסיף לטבלה את החומרים הנדיפים — מים, גזים וחומרים אחרים המתאדים בקלות — המשפיעים על הצפיפות, על הזרימה, על ההתקררות ועל החומר החוזר. הוא רושם את התמונה של המחבר ואת ההבחנות שכל חישוב מאוחר יותר חייב לשמור, בלי לחשב כמויות עכשיו.

הנחיה מפורשת מהמחבר: בתרחיש הנבחן, מלאי החומרים הנדיפים הקדום גדול בהרבה מהמלאי שנותר כיום. חומרים נדיפים נמצאים בחומר שממנו נבנית המערכת, כולל החומר העמוק והמאגמה; חלק מהחומרים הנדיפים שעברו עם הגוף המתפתח אבדו לחלל, ובמהלך הניתוק התרחש אובדן נוסף לפי ההשערה. אין כעת בקשה לחשב את הכמויות או את קצבי האובדן.

השורות מפרידות בין דברים שקל לערבב: כמה חומר נדיף היה (E54), היכן הוא היה (E55), באיזו צורה (E56), כיצד הוא אבד (E57), כיצד האובדן נכנס לחשבון המסה (E58), וכיצד הוא עשוי להתקשר לחומר החוזר שנוחת מאוחר יותר על הירח (E59). E60 מפריד בין שתי תכונות של מאגמה — התנגדות לזרימה וקלילות — שמאגמה עשירה בבועות יכולה להחזיק בשתיהן בבת אחת, אך הן אינן אותו גודל.

עדכון מצטבר — מחזור החומרים הנדיפים, ההתקררות וציר הזמן

העדכון השני מתאר כיצד המערכת הצעירה התקררה בזמן שנבנתה, ומקבע את סדר האירועים מבנייה פעילה ועד גוף נפרד.

11 בספטמבר 2026. עדכון זה מתווסף לכל התוכן הקודם; הוא אינו מחליף את הטבלאות E01–E60 או את ההבחנות שבהן. המסמך מכיל כעת 70 פריטים. ההתייחסות המוקדמת ל-53 גדלים מתארת את טבלת הבסיס המקורית בלבד.

הבהרת המחבר: בתמונת הסביבה המוצעת, מלאי המים המיוצג כיום בימים ובאוקיינוסים היה, בתחילת התרחיש, במצב מאודה, והמערכת הייתה עשירה בחומרים נדיפים גם בתוך החומר העמוק. מתרחשת תנועה מחזורית: חומר עשיר בחומרים נדיפים עולה, מתקרר, וחלקו חוזר מטה, מתחמם ועולה שוב — בדומה לסיר מרק על כיריים, שבו פני השטח פולטים חום בעוד הפנים ממשיך להתהפך. לפי ההשערה, המחזור מסייע להתקררות פני השטח החיצוניים ולשימור התיעוד, בעוד הפנים נשאר חם וניע.

מעמד: זהו תיאור התרחיש שהמחבר מבקש לבחון. אין בו קביעה כמותית מאומתת של מלאי המים הקדום, של מצב החומרים הנדיפים בכל עומק, של משך הבנייה או של יכולת ההתקררות. ההבחנה הקודמת בין הנחה, תוצאה ונתון נשמרת. אסור להחליף את חלון ה-600 Myr בזמן קצר אחר בלי החלטה, ואסור להציגו כמשך סגירה מדוד.

הטבלה הבאה מכניסה את המחזור לתמונת הסביבה שורה אחר שורה: המים בהתחלה (E61), המחזור עצמו (E62–E64), השפעתו על הקליפה (E65), חלון הזמן (E66), ודעיכת ההשלכות החוצה, סיומן ברגע הניתוק והקשר שלהן להזנה הפנימית (E67–E70).

ציר זמן לתיאור — ללא זמני ביניים מומצאים

ציר הזמן מסדר את השלבים בלי לייחס תאריכים לצעדי הביניים, משום שתאריכים אלה לא חושבו. קראו כל שורה לרוחבה: היא נותנת, עבור שלב אחד, את מצב ההשלכות החוצה, של החיבור ושל החום. קראו עמודה מלמעלה למטה כדי לעקוב אחר תהליך אחד מתחילתו ועד סופו: ההשלכות מתמעטות ככל שהאגס גדל אבל נמשכות כל עוד הגוף מחובר, ונפסקות ברגע הניתוק.

כיצד העדכון מתחבר לטבלאות הקודמות

הרשימה שלהלן קושרת את העדכון בחזרה לשורות שהוא נוגע בהן, כך שקורא העוקב אחר גודל כלשהו יוכל למצוא כל מקום שבו הוא מופיע.

• E01–E02: חלון התרחיש והתקופה נשמרים בנפרד מזמני שלבים שטרם נקבעו.

• E37–E38 ו-E52: מחזור החומרים הנדיפים ומסלול איבוד החום נוספו לתיאור התרמי; ערכי הטמפרטורה וההספק עדיין פתוחים.

• E42 ו-E54–E58: המלאי, הפאזה, השחרור והבריחה נשארים גדלים נפרדים; אסור להמיר חומרים נדיפים מומסים לאדים חופשיים בכל עומק.

• E44–E46 ו-E50–E51: נשמרים המבנה המדורג של כל עובי הקליפה, הניידות ושימור התיעוד. הצעת מחזור ההתקררות אינה מבטלת את דרישת המבחן המכני.

• E48 ו-E53: ההתעגלות מושלמת לפני השחרור, וכך גם נשמרת ההבחנה בין גוף מחובר לבין גוף במסלול לאחר השחרור.

• E60: שאלת הצמיגות לעומת הצפיפות לא נמחקה ולא נפתרה אוטומטית על ידי הבהרת מחזור האדים.

לבחינה עתידית, בלי לפתוח חישוב עכשיו: שטף החום דרך האטמוספרה; החום הכמוס בהתאדות ובעיבוי; השפעת האטמוספרה על יציאת הקרינה; מאזן המים והחומרים הנדיפים בין המאגרים; עקביות בין ההתקררות, משך הפעילות, ניידות הקליפה ושימור התיעוד. אין כאן קביעה שאטמוספרת אדים בהכרח מאיצה את ההתקררות בכל התנאים.

שימוש בכלי בינה מלאכותית: המחבר השתמש בעוזרי בינה מלאכותית (Claude, Anthropic; ChatGPT, OpenAI; עוזר החיפוש מבוסס הבינה המלאכותית של Google) לכתיבת סקריפטי החישוב ולהרצתם, לניתוח הקטלוגים והמפות, להכנת איורים וטבלאות, לדיון בתרחישים, ולעריכה לשונית ולתרגום. המודל ומסקנותיו הם של המחבר. המחבר בדק את התוכן ונושא באחריות מלאה עליו.